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Agenda
• Risco e Retorno Esperados • Linha Característica • Linha do Mercado de Títulos • Linha de Combinação • Realidade Brasileira
Risco e Retorno Esperados
• Risco de um ativo – Risco sistemático ou não diversificável: inerente a todos os ativos
do mercado, não pode ser reduzido pela diversificação da carteira. • Ex: Inflação, taxa de juros, PIB
– Risco não-sistemático ou diversificável: identificado nas
características do próprio ativo, não se alastrando aos demais ativos da carteira. Pode ser total ou parcialmente diluído pela diversificação da carteira. A correlação entre os riscos não-sistemáticos de dois ativos é zero.
• Ex: descoberta de petróleo, aumento do preço do aço
– Risco total = Risco sistemático + Risco não-sistemático
Risco e Retorno Esperados
• Risco de um ativo – Exemplo: Seja uma carteira com n ativos com mesma
variância (VAR) e mesma Covariância (COV) e com o mesmo peso (1/n).
– É fácil provar (anexo 1) que a variância total da carteira é igual a: (1/n)VAR + (1-1/n)COV.
• Logo, quando n tende para infinito, a variância da carteira tende para COV. Ou seja, mesmo com uma diversificação total, existe o risco da carteira, chamado de risco sistemático.
– Risco total (VAR) = Risco sistemático (COV) + Risco não-sistemático ou diversificável (VAR – COV).
• Risco de um ativo – Se os retornos forem independentes e COV = 0, então,
se tivermos a diversificação integral, ou seja, com infinitos ativos, o risco total será zero.
– O que ocorre na prática é que os retornos dos títulos tendem a ser correlacionados pois são influenciados pelos mesmos riscos sistemáticos.
– O problema da diversificação é o custo que ela gera com corretagem, o qual é inversamente proporcional ao valor da aplicação.
Risco e Retorno Esperados
• Risco de uma carteira – Dado o retorno esperado de cada ativo i
(i=1,...,n) de uma carteira, o retorno esperado de toda a carteira depende da proporção investida em cada ativo (Wi) que a compõe e é calculado por:
Risco e Retorno Esperados
• Risco de uma carteira – A expressão geral de cálculo do risco de uma
carteira contendo n ativos, com base no modelo de Markowitz, é:
21
1 1
22 ),(2
×××+×= ∑ ∑
= =≠
n
i
n
jijiiic jiCovWWW σσ
21
1 1),(
××××= ∑∑
= =
n
i
n
jjijic jiWW σσρσ
Risco e Retorno Esperados
Linha Característica
• Carteira de mercado É a carteira que contém todo e
qualquer ativo de risco do sistema econômico internacional, na proporção do seu valor de mercado em relação ao valor total dos outros ativos.
• Suponha que estejamos interessados em analisar uma ação J e a carteira de mercado. Os retornos obtidos nos últimos 5 meses foram:
Mês
1 2 3 4 5 Ação J 2% 3% 6% -4% 8%
Carteira de mercado 4% -2% 8% -4% 4%
Linha Característica
• A reta de mínimos quadrados que relaciona os retornos de uma ação com a carteira de mercado é conhecida como linha característica.
• Esta linha descreve o retorno que você espera de uma particular ação dado um retorno para a carteira de mercado.
Linha Característica
• Fator Beta – A inclinação da linha característica é conhecida
como o fator beta (β) daquela ação. – Se A representa o intercepto, rJ os retornos da
ação J e rM os retornos da ação de mercado, temos:
MJJJ
r
MJJ
rrA
rrCov
M
×−=
=
β
σβ
ˆˆ
),(ˆ2
Linha Característica
• Fator Beta – No caso do exemplo anterior, temos:
– O fator beta de uma ação representa um
indicador do nível com o qual a ação responde a mudanças no retorno produzido pelo mercado. É um indicador do risco da ação em relação ao risco do mercado, ou seja, é uma medida do risco sistemático da ação.
0158,002,0708,003,0ˆ
708,00024,00017,0ˆ
=×−=
==
J
J
A
β
Linha Característica
• Fator Beta – A função básica do beta é ser um indicador de
riscos. Ele pode ser classificado como agressivo (maior que 1); neutro (igual a 1) e defensivo (menor que 1). Dessa forma, o investidor pode ter uma noção de qual será a tendência de comportamento do investimento.
Linha Característica
• Fator Beta – Quando uma ação se comporta exatamente
como o mercado, dizemos que ela tem beta igual a 1. Se variar mais que o mercado mas no mesmo sentido, terá beta maior que 1. Se variar menos, mantendo o mesmo sentido, o beta será menor que 1. Uma ação com beta muito maior do que 1, por exemplo, tende a subir mais que o mercado quando este está em alta. Em compensação, tende a cair mais quando há baixa na bolsa.
Linha Característica
Linha do Mercado de Títulos
• Serve para verificar como o risco é remunerado no mercado.
• Um ativo livre de risco possui beta igual a zero.
• Seja uma carteira formada pelo ativo livre de risco, cujo taxa de retorno (taxa livre de risco) é de 8%, e pelo ativo A, que tem um retorno esperado de 20% e um beta de 1,6. Suponha ainda que 25% do capital foi investido no ativo A.
• O retorno esperado e o beta da carteira serão:
• Outras alocações fornecem o seguinte quadro:
4,00)25,01(25,0%1108,0)25,01(20,025,0)(
=×−+×==×−+×=
Ac
cREββ
% do ativo A E(Rc) βc
0 8 0,0
25 11 0,4
50 14 0,8
75 17 1,2
100 20 1,6
125 23 2,0
150 26 2,4
Linha do Mercado de Títulos
Retornos esperados e betas de carteiras contendo o ativo A
1,6
0
5
10
15
20
25
30
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Beta da carteira
Ret
orno
esp
erad
o da
car
teira
Linha do Mercado de Títulos
• Note que todas as combinações situam-se sobre uma linha reta.
• A inclinação dessa linha é dada por:
• Isso nos diz que o ativo A oferece um quociente recompensa/risco (índice de Treynor) de 7,5%. Ou seja, o ativo A tem um prêmio por risco de 7,5% por unidade de risco sistemático.
%5,76,1
08,02,0
)(
=−
=
−
A
fA RREβ
Linha do Mercado de Títulos
• Considere agora um ativo B, que possua beta igual a 1,2 e um retorno esperado de 16%.
• Qual investimento escolher A ou B?
• Para decidir, utilizaremos o mesmo procedimento realizado para o ativo A.
Linha do Mercado de Títulos
% do ativo B E(Rc) βc
0 8 0,0
25 10 0,3
50 12 0,6
75 14 0,9
100 16 1,2
125 18 1,5
150 20 1,8
Assim, para diferentes alocações para o ativo B e o ativo livre de risco, temos:
Linha do Mercado de Títulos
• A linha que descreve as combinações para o ativo A é mais alta do que a linha correspondente para o ativo B.
• Isto significa que, para qualquer dado nível de risco sistemático, sempre há alguma combinação entre o ativo A e o ativo livre de risco que oferece retorno mais alto.
• Logo, o ativo A deve ser preferido em relação ao ativo B.
Linha do Mercado de Títulos
• Em um mercado eficiente, esta situação não pode perdurar por muito tempo.
• Os investidores seriam atraídos para o ativo A e se
afastariam de B. Em consequência, o preço de A subiria e o de B cairia.
• Como os preços e as taxas de retorno variam em direções
opostas, o retorno esperado de A cairia e o de B se elevaria num processo que prosseguiria até que os dois estivessem na mesma linha.
– Logo:
O quociente entre recompensa e risco deve ser o mesmo para
todos os ativos no mercado. Assim, todos os ativos devem estar situados na mesma linha, que é conhecida como linha de mercado de títulos (SML – Security Market Line).
Linha do Mercado de Títulos
Linha de Combinação
• É a reta que relaciona o valor esperado do retorno de uma carteira para as diferentes combinações de alocação de dois ativos a seus respectivos desvios-padrão.
• Logo, a linha de combinação nos diz o quanto o retorno esperado e o risco de uma carteira de dois ativos muda quando mudamos a alocação (pesos) dos ativos na carteira.
Considere uma carteira composta por 2 ativos, X e Y, e calcule o seu risco e o seu retorno, dados:
Estado da natureza
Probabilidade Retorno do ativo X Retorno do ativo Y
Recessão 0,10 -5% 2%
Médio 0,35 10% 10%
Bom 0,45 25% 15%
Excelente 0,10 50% 20%
Linha de Combinação – Exemplo 1
• Considere diversas composições possíveis de carteiras e calcule o retorno esperado e o risco para estas diferentes composições.
• Faça um gráfico com a relação risco-retorno para todo o conjunto possível de combinações (linha de combinação).
• Deduza a expressão da alocação do ativo X para o ponto que representa a carteira de ativos que apresenta o menor risco possível (carteira de variância mínima).
• Calcule este valor para o exemplo.
Linha de Combinação – Exemplo 1
Linha de Combinação – Exemplo 1
Probabilidade Retorno X Retorno Y %X %Y Retorno C Risco C
0,1 -0,05 0,02 -0,5 1,5 9,05% 1,90% 0,35 0,1 0,1 -0,44 1,44 9,46% 1,82% 0,45 0,25 0,15 0 1 12,45% 4,65% 0,1 0,5 0,2 0,1 0,9 13,13% 5,56%
0,2 0,8 13,81% 6,48% 0,3 0,7 14,49% 7,41%
Retorno Médio 19,25% 12,45% 0,4 0,6 15,17% 8,35% Risco (desvio padrão) 14,08% 4,65% 0,5 0,5 15,85% 9,30%
0,6 0,4 16,53% 10,25% Covariância 0,006309 0,7 0,3 17,21% 11,21% Correlação 0,963166 0,8 0,2 17,89% 12,16%
0,9 0,1 18,57% 13,12% 1 0 19,25% 14,08%
Alocação em X -44,25% 1,1 -0,1 19,93% 15,04% 1,2 -0,2 20,61% 16,00%
Risco da Carteira 1,82%
Linha de Combinações dos Ativos X e Y
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
-1% 1% 3% 5% 7% 9% 11% 13% 15%
Risco
Ret
orno
Considere uma nova carteira composta por 2 ativos, X e Y, e calcule o fator de alocação para o ativo X que minimiza o risco da carteira, dados:
Estado da natureza
Probabilidade Retorno do ativo X Retorno do ativo Y
Recessão 0,10 45% 2%
Médio 0,35 35% 10%
Bom 0,45 -0,5% 15%
Excelente 0,10 10% 20%
Linha de Combinação – Exemplo 2
Linha de Combinação – Exemplo 2
Probabilidade Retorno X Retorno Y %X %Y Retorno
C Risco C
0,1 0,45 0,02 -0,5 1,5 11,93% 17,37% 0,35 0,35 0,1 0 1 12,45% 4,65% 0,45 -0,05 0,15 0,1 0,9 12,56% 2,45% 0,1 -0,1 0,2 0,1665 0,8335 12,62% 1,73%
0,2 0,8 12,66% 1,94% 0,3 0,7 12,77% 3,87%
Retorno Médio 13,50% 12,45% 0,4 0,6 12,87% 6,30% Risco (desvio padrão) 21,69% 4,65% 0,5 0,5 12,98% 8,82%
0,6 0,4 13,08% 11,38% Covariância -0,009033 0,7 0,3 13,19% 13,94% Correlação -0,895240 0,8 0,2 13,29% 16,52%
0,9 0,1 13,40% 19,10% 1 0 13,50% 21,69%
Alocação em X 16,65% 1,1 -0,1 13,61% 24,27% 1,2 -0,2 13,71% 26,86%
Risco da Carteira 1 73%
Linha de Combinação – Exemplo 2
• Veja que com a correlação negativa, não precisa ter uma participação negativa do ativo X, mesmo este tendo um risco muito maior do que Y.
• O efeito da diversificação foi forte neste exemplo, principalmente pela correlação negativa entre os ativos.
• A correlação negativa ajuda tanto na diversificação que é melhor ter 16,65% no ativo de maior risco para obtermos o risco mínimo.
Realidade Brasileira
• A queda nas taxas de juros tem levado alguns agentes a procurarem investimentos de maior risco.
• Seguradoras continuam assumindo pouquíssimo risco.
• No Brasil a lógica de maior risco, maior retorno não tem sido observada nos últimos 20 anos com taxas reais de juros recordistas mundiais. – Vários países com taxas reais de juros negativas.
• As condições econômicas e políticas não devem favorecer investimentos de risco no curto prazo. – Governo incentiva consumo e aumenta gastos públicos em
um cenário de inflação elevada e com Banco Central executando aperto monetário Taxas de juros provavelmente terão que aumentar no futuro.
Realidade Brasileira
• Limite de 70% para aplicação em renda variável das Fundações é mais uma aberração que só acontece no Brasil. – Os demais riscos das Fundações já são muito elevados.
• O Beta das empresas brasileiras é muito elevado, o que reduz o valor em uma negociação.
• A volatilidade dos ativos brasileiros é muito alta. – A gestão dos ativos casada com a gestão dos passivos
tornou-se ainda mais importante nesse cenário de volatilidades.
– Estudos da Susep mostram que a necessidade de Capital no risco de Mercado é enorme, podendo dobrar o Capital atual.
• Nós atuários precisamos evoluir muito na análise do risco financeiro.
Anexo 1 - Demonstração
ij
n
i
n
jij
n
i
n
jji COV
nnCOVwwVTOTAL ××== ∑∑∑∑
= == = 1 11 1
11
Para ji = temos VARij =cov Para ji ≠ temos COVij =cov
Logo, VARnn
nCOVnn
nnnVTOTAL ×××+×××−×=1111)(
VARn
COVn
VTOTAL ×+×−=1)11(
Anexo 2 - Demonstração
Seja 2cσ a variância total da carteira
COVwwww AABAAAc )1(2)1( 22222 −+−+= σσσ
COVwCOVwwww AABABABAAc22222222 222 −++−+= σσσσσ
Para termos o risco mínimo, então Aw é tal que: 02
=A
c
dwdσ
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