proyecto de ecuaciones dario agrazal-sara vega
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1
DARÍO AGRAZAL C.
2-730-1494
SARA VEGA
6-716-1509
MONTEMAYOR BERNAL
4IL121
2
ÍNDICE
Método de variables separables………………………..……………..3
Factor integrante…………………………………………………..…….3
Método de ecuaciones exactas……………….……………………....4
Método para transformar ecuaciones diferenciales a exactas….. 5
Ecuación de Berdulli………………………………………………….…7
Método de sustitución……………………………………………...…..9
Aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales………………………………………………………….…10
Caída de los cuerpos…………………………………………..……...10
Leyes de crecimiento y decaimiento………………………..…….…11
Ley de enfriamiento……………………………………….………..….12
Mezclas……………………………………………………………..…..13
Trayectorias ortogonales…………………………………….………..14
Puente colgante…………………………………………………..…….15
Cables de tendido eléctrico…………………………………………...16
Reacciones de vigas…………………………………………….…..…17
Forma estándar………………………………………………….…..…18
Reducción de orden………………………………………..……..……20
Ecuaciones con coeficiente constante…………………..…..………21
Método de superposición……………………………………...………21
Método de factor anulador…………………………………….……....23
Variación de parámetros (wronskiano)……………………….………24
Método de cauch y euler…………………………………………..…..26
Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales………….……..27
Movimiento armónico simple……………………………………….….30
Movimiento amortiguado…………………………………….………...31
Circuitos RLC……………………………………………………………32
3
Método de variables separables
Problema 1 Problema 2
= (
= *dy
=
Factor Integrante
Problema 1
FI=
= =x
4
Problema 2
Método de Ecuaciones Exactas
Problema 1 Problema 2
5
Método para transformar ecuaciones diferenciales a exactas
Problema 1
)
(
6
Problema 2
7
Ecuación de Berdulli
Problema 1
Factor Integrante
Sustitución de integración
Z=x
1dx
8
Problema 2
9
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Problema 1 Problema 2
10
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.
Caída de los cuerpos
Un objeto se lanza desde la cima de un edificio hacia arriba.
Determine la posición del objeto en cualquier tiempo.
Condiciones:
T = 0; y = h0
y´ = V0; t = 0
ma= -mg
a =
v =
a = d
=
ma = -mg
m
my´´ = -mg
y´ = -gt + c1
V0 = -g(0) + c1
V0 = c1
y´ = -gt + c1
y =
c2
h0 =
c2
h0 = c2
y =
h0
11
Leyes de Crecimiento y Decaimiento:
1. En un tiempo t = 0, cierta cantidad de insectos (Io) se encuentra en un
lugar húmedo. En t = 2, los insectos han llegado a reproducirse 3(Io). Si
su crecimiento es proporcional al número de insectos I(t) presentes en
un tiempo (t). Determine:
El tiempo necesario para que el número de bacterias se
quintuplique (5).
ln A = Kt + c
A = c
A =
A = c
Io = c
ln ln Io = c
1.09 = k Io = c
A = c
5Io = Io
=
5=
ln 5 = ln 1.61 = 1.09t 1.47 = t
t A
0 Io
2 3Io
? 5Po
12
Leyes de Enfriamiento
1. Un objeto tiene una temperatura de 70°F; en t = 0 se coloca en un lugar
donde la temperatura se mantiene a 40°F. después de 3 minutos la
temperatura del cuerpo es de 60°F. Determine:
¿Cuál es la temperatura del cuerpo cuando han pasado 8
minutos?
¿Cuánto tiempo pasara para que el cuerpo tenga 45°F?
To(°F)
30
T – 30 = c
65 – 30 = c
=
ln (T - To) = Kt + c ln 0.7 = ln
= -0.3566 = 3k
T – 30 = -0.1188 = k
T – 30 = c
80 – 30 = c T – 30= c
50 = c 45 – 30 = 50
T – 30 = c
=
T – 30 = 50 0.5 =
T = 30 + 50 ln(0.5) = ln
T = 49.3 °F -0.69 = -0.1188 t 5.83 minutos = t
T(min.) T(°F)
0 80
3 65
8 ?
? 45
13
Mezclas
1. Un tanque está lleno con 10 galones de agua salada en la cual esta
disuelto 4 libras de sal. El agua salada contiene 2 libras de sal por galón.
Esta mezcla entra y sale del recipiente a una razón de 2 galones por
minuto.
Encontrar la cantidad de sal en cualquier tiempo.
Cuanta sal está presente después de 6 minutos.
Condiciones iniciales: si t = 0; A = 8
=
=
A =
A = (4) (5)
A = 20(
A = 20 + c
A = 20 + c
A = 20 + c
A = 20 + 0.4
8 = 20 + c
A = 20 + 0.4 (3.32)
c = 0.4 A = 21.32 lbs
14
Trayectorias Ortogonales
1. Encuentre las trayectorias ortogonales para la familia de
curvas dada por la ecuacion:
X2 +
Y´=
ln y =
=
1/2
15
16
O
20
17
A B
)
18
Ecuaciones de orden superior
FORMA ESTÁNDAR
19
Problema 2
Solución general:
20
REDUCCIÓN DE ORDEN
Problema 1 Problema 2
xy” – 2y´ -3y = 0 (se divide entre x); y1(x) = x2
21
ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES
CONSTANTES
Problema 1 Problema 2
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
Problema 1
22
Problema 2
23
MÉTODO DE FACTOR ANULADOR
Problema 1
Problema 2
Y´´ + Y´ - 6Y = 2X2 m2 + m - 6 = 0 (m + 3) (m – 2) m1 = -3 m2 = 2 Yc = C1 C2 D3(Y´´ + Y´ -6Y) = D3(2X2) D3(D2 + D – 6) = 0 D3 = 0 m1= m2 =m3 = 0 D2 + D -6 = 0 (D + 3)(D – 2) = 0 D = -3 D = 2 Y = C1 + C2X + C3 X2 + C4 + C5
Yp = Ax2+ Bx + C Y´p = 2Ax + B Y´´p = 2A 2A + 2AX + B -6(AX2 + BX + C) = 2X2
2A + 2AX + B – 6AX2 – 6BX + 6C = 2X2
A =
B =
C =
Yp =
+
YT = C1 + C2
+
24
VARIACIÓN DE PARÁMETROS (WRONSKIANO)
Problema 1
25
Problema 2
Y´´ + Y´ - Y = X m2 + m - 2 = 0 (m + 2) (m - 1) = 0 m = -2 m = 1 Y1 = e-2x Y2 = e-x
Y1´ = -2e-2x Y2´ = -e-x
e-2x e-x w = -2e-2x -e-x = - 3e-3x
0 e-x w1= X -e-x = -Xe-x
e-2x 0 w2 = -2e-2x x = Xe-2x
u´1 =
= -
=
u1 =
u1 =
(integración por partes)
u1 =
u´2 =
=
= -
u2 =
u2 = -
(integración por partes)
u2 =
YT = C1 e-2x + C2 e-x +
+
26
MÉTODO DE CAUCH Y EULES
Problema 1 Problema 2
X2
– 5X
+ 8Y = 0
y = Xm
X2y´´ - 5 Xy´ + 8y = 0 y´ = mXm-1
X2(m(m-1)Xm-2) – 5X(mXm-1) + 8 Xm = 0 y´´ = m(m-1)Xm-2
X2((m2 – m )(Xm X-2)) – 5XmXm-1 + 8Xm = 0 X2(m2XmX-2 - mXmX-2) -5Xm Xm-1 + 8Xm = 0 m2Xm - mXm - 5Xm Xm X-1 + 8Xm = 0 Xm(m2 - m - 5m + 8) = 0 m2 - 6m + 8 (m – 2)(m - 4) = 0 m1= 2 m1 = 4 YT = C1X2 + C2X4
27
Solución de sistema de ecuaciones diferenciales lineales.
Problema 1
-2 2y + Dx = 0 D -2Dy -X = 0 2Dy +D2 x = 0 D2 x- 2 x = 0 m2 – 2 = 0 m = -+ √2
X = C1 + C2
D 2y + Dx = 0 -1 D2y + Dx = 0 -2y – Dx = 0 D2y - 2y = 0 m2 – 2 = 0 m = -+ √2
Y = C3 + C4
X = C1 + C2
= C1 - C2
C1 - C2 = -2(C3 + C4 )
C1 - C2 = -2C3 -2 C4
28
C1√2 = -2C3
C3 =
-C2√2 = -2C4
C4 =
X = C1 + C2
Y =
+
29
Problema 2
30
Movimiento armónico simple:
1. un cuerpo se une a un resorte con constante de fuerza de 100 N-
m. se observa que vibra con una frecuencia de 3Hz.
Encuentre el periodo, la frecuencia angular y la masa del
cuerpo.
31
Movimiento amortiguado.
.
32
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