profesor milan merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs
Post on 18-Mar-2022
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
5. Karakteristicne funkcije
Profesor Milan Merkleemerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs
Verovatnoca i Statistika-prolece 2019
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 1 / 10
Definicija
Karakteristicna funkcija ϕX slucajne promenljive X , odnosno njeneraspodele, definise se sa
ϕX (t) = E e itX .
Ako X ima neprekidnu raspodelu sa funkcijom gustine f , tada je
ϕX (t) =
∫ +∞
−∞e itx f (x) dx ,
a ako X ima diskretnu raspodelu, onda je
ϕX (t) =∑k
e itkP(X = xk) .
Karakteristicna funkcija je dvostrana Furijeova transformacija funkcijegustine (sa e itx umesto e−itx).
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 2 / 10
Definicija
Karakteristicna funkcija ϕX slucajne promenljive X , odnosno njeneraspodele, definise se sa
ϕX (t) = E e itX .
Ako X ima neprekidnu raspodelu sa funkcijom gustine f , tada je
ϕX (t) =
∫ +∞
−∞e itx f (x) dx ,
a ako X ima diskretnu raspodelu, onda je
ϕX (t) =∑k
e itkP(X = xk) .
Karakteristicna funkcija je dvostrana Furijeova transformacija funkcijegustine (sa e itx umesto e−itx).
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 2 / 10
Primeri
Za Bernulijevu slucajnu promenljivu sa verovatnocom uspeha p,
ϕ(t) = e it·1p + e it·0(1− p) = pe it + (1− p).
Primer 113 Za X ∼ Poiss (λ),
ϕ(t) =+∞∑k=0
e itk · e−λλk
k!= e−λ
+∞∑k=0
(λe it
)kk!
= e−λ · eλe it = eλ(e it−1) .
Primer 114 Za Z ∼ N (0, 1):
ϕZ (t) =1√2π
∫ +∞
−∞e itx−
x2
2 dx = · · · = e−t2
2 .
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 3 / 10
Primeri
Za Bernulijevu slucajnu promenljivu sa verovatnocom uspeha p,
ϕ(t) = e it·1p + e it·0(1− p) = pe it + (1− p).
Primer 113 Za X ∼ Poiss (λ),
ϕ(t) =+∞∑k=0
e itk · e−λλk
k!= e−λ
+∞∑k=0
(λe it
)kk!
= e−λ · eλe it = eλ(e it−1) .
Primer 114 Za Z ∼ N (0, 1):
ϕZ (t) =1√2π
∫ +∞
−∞e itx−
x2
2 dx = · · · = e−t2
2 .
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 3 / 10
Primeri
Za Bernulijevu slucajnu promenljivu sa verovatnocom uspeha p,
ϕ(t) = e it·1p + e it·0(1− p) = pe it + (1− p).
Primer 113 Za X ∼ Poiss (λ),
ϕ(t) =+∞∑k=0
e itk · e−λλk
k!= e−λ
+∞∑k=0
(λe it
)kk!
= e−λ · eλe it = eλ(e it−1) .
Primer 114 Za Z ∼ N (0, 1):
ϕZ (t) =1√2π
∫ +∞
−∞e itx−
x2
2 dx = · · · = e−t2
2 .
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 3 / 10
Osobine karakteristicne funkcije
Karakteristicna funkcija je definisana za svaku slucajnu promenljivu X(za razliku od matematickog ocekivanja)
√
Raspodela je jedinstveno odredena svojom karakteristicnom funkcijom.
Znajuci karakteristicnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodeleu diskretnom slucaju) mozemo da nademo primenom teoreme oinverziji (Teorema 5.1. u udzbeniku), ili cesce preko tablica Furijeovetransformacije.
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 4 / 10
Osobine karakteristicne funkcije
Karakteristicna funkcija je definisana za svaku slucajnu promenljivu X(za razliku od matematickog ocekivanja)
√
Raspodela je jedinstveno odredena svojom karakteristicnom funkcijom.
Znajuci karakteristicnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodeleu diskretnom slucaju) mozemo da nademo primenom teoreme oinverziji (Teorema 5.1. u udzbeniku), ili cesce preko tablica Furijeovetransformacije.
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 4 / 10
Osobine karakteristicne funkcije
Karakteristicna funkcija je definisana za svaku slucajnu promenljivu X(za razliku od matematickog ocekivanja)
√
Raspodela je jedinstveno odredena svojom karakteristicnom funkcijom.
Znajuci karakteristicnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodeleu diskretnom slucaju) mozemo da nademo primenom teoreme oinverziji (Teorema 5.1. u udzbeniku), ili cesce preko tablica Furijeovetransformacije.
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 4 / 10
Osobine karakteristicne funkcije
Karakteristicna funkcija je definisana za svaku slucajnu promenljivu X(za razliku od matematickog ocekivanja)
√
Raspodela je jedinstveno odredena svojom karakteristicnom funkcijom.
Znajuci karakteristicnu funkciju, funkciju gustine (ili zakon raspodeleu diskretnom slucaju) mozemo da nademo primenom teoreme oinverziji (Teorema 5.1. u udzbeniku), ili cesce preko tablica Furijeovetransformacije.
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 4 / 10
Momenti
Definicija 4.9 Za slucajnu promenljivu X i prirodan broj k , moment redak definise se kao EX k , ukoliko postoji ocekivanje slucajne promenljive X k .
Teorema 4.14 Ako postoji moment reda n, onda postoje i svi momentireda k < n.
√
∼∼∼
Vise o momentima moze se (neobavezno) procitati u odeljku 4.8 (stranice106-108 udzbenika).
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 5 / 10
Momenti
Definicija 4.9 Za slucajnu promenljivu X i prirodan broj k , moment redak definise se kao EX k , ukoliko postoji ocekivanje slucajne promenljive X k .
Teorema 4.14 Ako postoji moment reda n, onda postoje i svi momentireda k < n.
√
∼∼∼
Vise o momentima moze se (neobavezno) procitati u odeljku 4.8 (stranice106-108 udzbenika).
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 5 / 10
Momenti
Definicija 4.9 Za slucajnu promenljivu X i prirodan broj k , moment redak definise se kao EX k , ukoliko postoji ocekivanje slucajne promenljive X k .
Teorema 4.14 Ako postoji moment reda n, onda postoje i svi momentireda k < n.
√
∼∼∼
Vise o momentima moze se (neobavezno) procitati u odeljku 4.8 (stranice106-108 udzbenika).
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 5 / 10
Osobine karakteristicne funkcije - nastavak
Teorema 5.2
1 Za svaku slucajnu promenljivu X i za svaka dva realna (ilikompleksna) broja a, b vazi da je
ϕaX+b(t) = e ibtϕX (at)
2 Ako slucajna promenljiva X ima moment reda n, tada se on mozenaci pomocu n-tog izvoda karakteristicne funkcije u nuli:
EX n = i−nϕ(n)(0)
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 6 / 10
Osobine karakteristicne funkcije - nastavak
Teorema 5.2
1 Za svaku slucajnu promenljivu X i za svaka dva realna (ilikompleksna) broja a, b vazi da je
ϕaX+b(t) = e ibtϕX (at)
2 Ako slucajna promenljiva X ima moment reda n, tada se on mozenaci pomocu n-tog izvoda karakteristicne funkcije u nuli:
EX n = i−nϕ(n)(0)
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 6 / 10
Osobine karakteristicne funkcije - nastavak
Teorema 5.2
1 Za svaku slucajnu promenljivu X i za svaka dva realna (ilikompleksna) broja a, b vazi da je
ϕaX+b(t) = e ibtϕX (at)
2 Ako slucajna promenljiva X ima moment reda n, tada se on mozenaci pomocu n-tog izvoda karakteristicne funkcije u nuli:
EX n = i−nϕ(n)(0)
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 6 / 10
Primeri
Primer 114 Za X ∼ N (µ, σ2) naci karakteristicnu funkciju, znajuci da je
za standardnu normalnu raspodelu ϕZ (t) = e−t2
2 .
R: X = σZ + µ =⇒ ϕX (t) = e iµt · ϕZ (σt) = exp(iµt − σ2t2
2 )
Primer 113 Naci VarX za X ∼ Poiss (λ), znajuci da je ϕX (t) = eλ(e it−1).R: EX = λ, EX 2 = i−2ϕ′(0) = λ2 + λ. VarX = λ
Primer Kosijeva slucajna promenljiva, sa gustinom
f (x) =1
π(1 + x2), −∞ < x < +∞
nema matematicko ocekivanje, a time ni momente viseg reda.Karakteristicna funkcija je ϕ(t) = e−|t|; ova funkcija nema izvode u nuli.√
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 7 / 10
Primeri
Primer 114 Za X ∼ N (µ, σ2) naci karakteristicnu funkciju, znajuci da je
za standardnu normalnu raspodelu ϕZ (t) = e−t2
2 .
R: X = σZ + µ =⇒ ϕX (t) = e iµt · ϕZ (σt) = exp(iµt − σ2t2
2 )
Primer 113 Naci VarX za X ∼ Poiss (λ), znajuci da je ϕX (t) = eλ(e it−1).R: EX = λ, EX 2 = i−2ϕ′(0) = λ2 + λ. VarX = λ
Primer Kosijeva slucajna promenljiva, sa gustinom
f (x) =1
π(1 + x2), −∞ < x < +∞
nema matematicko ocekivanje, a time ni momente viseg reda.Karakteristicna funkcija je ϕ(t) = e−|t|; ova funkcija nema izvode u nuli.√
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 7 / 10
Primeri
Primer 114 Za X ∼ N (µ, σ2) naci karakteristicnu funkciju, znajuci da je
za standardnu normalnu raspodelu ϕZ (t) = e−t2
2 .
R: X = σZ + µ =⇒ ϕX (t) = e iµt · ϕZ (σt) = exp(iµt − σ2t2
2 )
Primer 113 Naci VarX za X ∼ Poiss (λ), znajuci da je ϕX (t) = eλ(e it−1).R: EX = λ, EX 2 = i−2ϕ′(0) = λ2 + λ. VarX = λ
Primer Kosijeva slucajna promenljiva, sa gustinom
f (x) =1
π(1 + x2), −∞ < x < +∞
nema matematicko ocekivanje, a time ni momente viseg reda.Karakteristicna funkcija je ϕ(t) = e−|t|; ova funkcija nema izvode u nuli.√
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 7 / 10
Zbir nezavisnih slucajnih promenljivih preko karakteristicnihfunkcija
Teorema 5.3 Ako su X i Y nezavisne slucajne promenljive, tada je
ϕX+Y (t) = ϕX (t) · ϕY (t).√
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 8 / 10
Raspodela zbira nezavisnih s.p. - primeri
Primer 117 Za nezavisne slucajne promenljive X ∼ N (µ1, σ21) i
Y ∼ N (µ2, σ22), naci raspodelu zbira X + Y .
√ √
Primer 116 Ako su X1 i X2 nezavisne Puasonove slucajne promenljive saparametrima λ1 i λ2 respektivno, naci raspodelu zbira X1 + X2
√ √
U oba primera raspodela ostaje u istoj familiji, a parametri se sabiraju.
Pogledajte primer 118 za jos jedan slican slucaj, i primer 119 kadraspodela zbira nije u istoj familiji.
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 9 / 10
Raspodela zbira nezavisnih s.p. - primeri
Primer 117 Za nezavisne slucajne promenljive X ∼ N (µ1, σ21) i
Y ∼ N (µ2, σ22), naci raspodelu zbira X + Y .
√ √
Primer 116 Ako su X1 i X2 nezavisne Puasonove slucajne promenljive saparametrima λ1 i λ2 respektivno, naci raspodelu zbira X1 + X2
√ √
U oba primera raspodela ostaje u istoj familiji, a parametri se sabiraju.
Pogledajte primer 118 za jos jedan slican slucaj, i primer 119 kadraspodela zbira nije u istoj familiji.
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 9 / 10
Raspodela zbira nezavisnih s.p. - primeri
Primer 117 Za nezavisne slucajne promenljive X ∼ N (µ1, σ21) i
Y ∼ N (µ2, σ22), naci raspodelu zbira X + Y .
√ √
Primer 116 Ako su X1 i X2 nezavisne Puasonove slucajne promenljive saparametrima λ1 i λ2 respektivno, naci raspodelu zbira X1 + X2
√ √
U oba primera raspodela ostaje u istoj familiji, a parametri se sabiraju.
Pogledajte primer 118 za jos jedan slican slucaj, i primer 119 kadraspodela zbira nije u istoj familiji.
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 9 / 10
Za vezbu: Zadaci 110-112, 113, 114, 116-119.
Milan Merkle Karakteristicne funkcije ETF Beograd 10 / 10
top related