productos notables y factorización a
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UNIDAD II: ALGEBRA
TEMA: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION
13/04/2023 MSC. ROBERTO AGUILERA L. 1
MATEMATICA BASICA
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
RJAL
13/04/2023 MSC. ROBERTO AGUILERA L. 2
CONCETOS BASICOS
La palabra álgebra proviene del vocablo árabe ilm al-ŷabr w’al muqabala titulo en arábigo de un libro escrito en el siglo IX por el matemático árabe al-Khwarizmi.
Traducido como ciencia de la restauración y la reducción, lo cual proviene de trasponer y combinar términos semejantes (de una ecuación).
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CONCEPTOS BASICOS
El algebra “es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible”. (Aurelio Baldor)
A diferencia de la aritmética elemental, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables o coeficientes), o cantidades desconocidas (incógnitas).
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CONJUNTOS NUMERICOS
Números Reales
Números Complejos
Números Racionales Números Irracionales
Números Enteros
Números decimales finitos e infinitos
periódicos
Números Naturales
Negativos de los números naturales0
Números Imaginarios
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CONCEPTOS BASICOS
Una expresión algebraica es una combinación de símbolos, letras y números reales ligadas por las operaciones fundamentales del algebra suma, resta, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces.
Ejemplos : -4x +3y , (2a +3b)c, 5x2 + 3x - 2 3a + b
Un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre si por el signo + o –.
Ejemplos: 2b , 3xyz, 4cd 5x
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CONCEPTOS BASICOS
Un Monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término.
Ejemplos: 5x, -4z, 2x3yz
Un Polinomio es una expresión algebraica que consta de mas de un término. Si tiene dos términos se le llama binomio, si es de tres términos se le llama trinomio.
Ejemplos:
Binomios 2x - 3y, 2a2 – 5ab, 2x3 + xyz 3wTrinomios 2a – 5b + z, -3a2 + 5a + 6
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Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección es decir sin verificar la multiplicación.
1. Cuadrado de la suma de dos cantidades
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Ejemplo: (2x + 3z2 )2 = (2x)2 + 2(2x)(3z2) + (3z2)2
= 4x2 + 12xz2 + 9z4
PRODUCTOS NOTABLES
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PRODUCTOS NOTABLES
Cuadrado de la suma o de la (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
diferencia de dos cantidades (x - y)2 = x2 - 2xy + y2
Producto de la suma por la (x + y)(x - y) = x2 - y2
diferencia de dos cantidades
Producto de dos binomios de (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + abde la forma (x + a)(x + b)
Producto de dos binomios de (ax+ b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bdde la forma (ax + b)(cx + d)
Producto de un binomio por (x + y)( x2 - xy + y2) = x3 + y3
un trinomio (x - y)( x2 + xy + y2) = x3 - y3
Cubo de un binomio (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
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Ejemplos:1. (5x + 2y)2 = (5x)2 + 2(5x)(2y) + (2y)2
25x2 + 20xy + 4y2
2. (3m2 – 4n3)2 = (3m2)2 - 2(3m2)(4n3) + (4m3)2
= 9m4 + 24m2n3 + 16m6
3. (2x - 3y)3 = (2x)3– 3(2x)2(3y)+3(2x)(3y)2– (3y)3
= 8x3 - 36x2y + 54xy2 - 27y3
4. (n + 3)(n2 - 3n + 9) = n3 + 27
PRODUCTOS NOTABLES
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5. (x + 5)(x - 3) = x2 + (5 - 3)x – 5(3) = x2 + 2x - 15 6. (a + b)(a - b)(a2 – b2) = (a2 – b2) )(a2 – b2) = (a2 – b2)2 = a4 - 2a2 b2 + b4
7. (8n - 6p)(7n - 10p) = = (8)(7)n2 + [(8)(-10)+(-6)(7)] np + (-6)(-10)p2
= 56n2 -122pn + 60 p2
PRODUCTOS NOTABLES
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8. (2a + 3b + c)(2a + 3b - c)
= [(2a + 3b) + c][(2a + 3b) - c] = (2a + 3b)2 + c2
= 4a2 + 12ab + 9b2 – c2
PRODUCTOS NOTABLES
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Se llaman factorización al proceso de expresar una expresión algebraica como como el producto de dos o más factores.
1. Factor común monomio ax + ay = a(x + y) Ejemplo:
35m2n3 + 70m3 = 35m2 (n3 + 2m)
FACTORIZACION
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FACTORIZACION
Factor común monomio ax+ ay = a(x + y)Factor común polinomio a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)Trinomio cuadrado perfecto x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
x2 - 2xy + y2 = (x - y)2
Diferencia de cuadrados x2 - y2 = (x + y)(x - y)
Trinomio de la forma x2 + bx + c = (x + A)(x + B) x2 + bx + c donde A + B = b y A*B = cTrinomio de la forma ax2 + bx + c = (Ax + B)(Cx + D) ax2 + bx + c donde A*C = a A*D + B*C = b y B*D = cSuma o diferencia de cubos x3 + y3 = (x + y)( x2 - xy + y2)
x3 - y3 = (x - y)( x2 + xy + y2)
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Ejemplos:1. 8a2 b3 - 2ab2 + 4a3 = 2a(4ab3 – b2 + 2a2) 2. 16x2 - 9y2 = (4x + 3y)(4x- 3y) 3. 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2
4. (x2 + 6x + 9) - (y2 - 4y + 4) = (x + 3)2 - (y - 2)2 = [(x+3) + (y-2)] [(x+3) - (y-2)] = (x + y +1) (x – y + 5)
FACTORIZACION
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Ejemplos:
5. x2 - 6x + 8 = (x - 4)(x - 2) 6. 6x2 - 7x – 3 = 6(6x2) - 6(7x) - 6(3) 6 = 62x2 - 7(6x) - 18 6 = (6x - 9)(6x + 2) (3)(2) = (2x - 3)(3x + 1)
FACTORIZACION
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7. 8x3 - 125 = (2x)3 - 53
= (2x - 5)[(2x)2 + 2x(5) + 52] = (2x - 5)(4x2 + 10x + 25)
8. 16x4 - y4 = (4x)2 - (y2)2 = (4x2 + y2)(4x2 - y2) = (4x2 + y2)(2x - y)(2x + y)
9. 2a2x - 5a2y + 15by - 6bx = (2a2x - 5a2y) - (6bx - 15by) = a2(2x - 5y) - 3b(2x - 5y) = (2x - 5y)(a2 - 3b)
FACTORIZACION
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FACTORIZACION PRODUCTOS NOTABLESFactor común monomio ax+ ay = a(x + y)
Factor común polinomio a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)
Trinomio cuadrado perfecto x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 Cuadrado de la suma o de la
x2 - 2xy + y2 = (x - y)2diferencia de dos cantidades
Diferencia de cuadrados x2 - y2 = (x + y)(x - y) Producto de la suma por la
diferencia de dos cantidades
Trinomio de la forma x2 + bx + c = (x + A)(x + B) Producto de dos binomios de
x2 + bx + c donde A + B = b y A*B = c de la forma (x + A)(x + B)
Trinomio de la forma ax2 + bx + c = (Ax + B)(Cx + D) Producto de dos binomios de
ax2 + bx + c donde A*C = a A*D + B*C = b y B*D = c de la forma (Ax + B)(Cx + D)
Suma o diferencia de cubos x3 + y3 = (x + y)( x2 - xy + y2) Producto de un binomio por
x3 - y3 = (x - y)( x2 + xy + y2) un trinomio
RESUMEN
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Productos notables
1. (x - 2)(x + 2)(x2 + 4)(x4 + 16)
2. (x + 3y + 2z – 4w) (x + 3y - 2z + 4w)
3. [2(x - 3y) + 5] [3(x - 3y) - 2]
4. (m2 + t2) (m4 - m2 t2 + t4)
EJERCICIOS PROPUESTOS
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Factorización
1. 4x3 + 4x2 + x
2. (x - y)2 + 2(x - y) - 24
3. 8x3/27 - y6/125
4. pa2 + (1-p)b2 - [pa + (1-p)b]2
5. 8x6 + 19x3 - 27
EJERCICIOS PROPUESTOS
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13/04/2023 MSC. ROBERTO AGUILERA L. 20
Algebra. Aurelio Baldor
Algebra y trigonometría con Geometría
Analítica. Earl W. Swokowky y Jeffery A. Cole.
Algebra y trigonometría.. Dennis Zill
Algebra y funciones elementales. Carlos J.
Walsh M.
EJERCICIOS PROPUESTOS
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MUCHAS GRACIAS
MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
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