primzahlen zum zweiten 1 mehr über primzahlen und zahlentheorie
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Primzahlen zum Zweiten 1
Primzahlen zum Zweiten
Mehr über Primzahlen und Zahlentheorie
Primzahlen zum Zweiten 2
Referenzen: Meine Hochschule
Primzahlen zum Zweiten 3
Referenzen: Meine Gemeinde
• Fritz-Herrmann Lutz,
bewundernswerter Kommunikator, aber:
• Er hat noch nie eine Matheveranstaltung in Eppelborn besucht. Mathephobie?
• Zur Zeit Wahlk(r)ampf
Primzahlen zum Zweiten 4
Der Plan
• Was sind Primzahlen und warum sie interessant sind
• Es gibt unendlich viele Primzahlen• Praxis, Primfaktorzerlegung • Pause für notwendige körperliche Aktivitäten• Primzahlenzwillinge• Rekorde• Wie Sie berühmt werden können• Wie geht es weiter?
Primzahlen zum Zweiten 5
Anmerkungen
• Was kann man einem intelligenten Laien-publikum zumuten?
• Nicht alle Ankündigungen werden erfüllt
• Das Problem der Ergebnissicherung
Primzahlen zum Zweiten 6
Primzahlen
Die endgültige Definition:
Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.
1 ist keine Primzahl. (Eine Konvention der Mathematiker)
Primzahlen zum Zweiten 7
Einige Primzahlen
Der Anfang:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ….
Einige größere Primzahlen:
131, 313, 641,
1 111 111 111 111 111 111,
220996011-1,
eine Zahl mit 6 320 430 Dezimalstellen.
Die größte bekannte Primzahl (10.12.2003!)
Primzahlen zum Zweiten 8
Anmerkung
273 – 1 ist keine Primzahl, denn:
273 – 1 = 9 444 732 965 739 290 427 391
= 439 * (9 361 973 132 609) * (2 298 041)
Primzahlen zum Zweiten 9
Anmerkung zur Anmerkung
Können Sie diese Rechnung überprüfen?
– Wie kann man 273 berechnen? (2*2*2*…*2, 73 Faktoren)?
– Wie berechnet man dieses Riesenprodukt bei der Zerlegung?
– Haben Sie Vertrauen zu Programmen?
Primzahlen zum Zweiten 10
Warum Primzahlen wichtig sind(aus der Sicht der Mathematiker)
Der Fundamentalsatz der Arithmetik:
Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen
Beispiele:
42 = 2∙3∙7700 = 2∙2∙5∙5∙7 = 22∙52∙7
Sie finden dies bei Euklid
Primzahlen zum Zweiten 11
Warum Primzahlen wichtig sind(Praxis)
Große Primzahlen für
asymmetrische Verfahren der Kryptologie
Es ist schwierig, die Primfaktorzerlegung großer Zahlen herzustellen.
Primzahlen zum Zweiten 12
Wie viele Primzahlen gibt es?
Euklid:
Es gibt unendlich
viele Primzahlen
Primzahlen zum Zweiten 13
Schönheit in der Mathematik
Paul Erdös Idee:
Proofs from the Book
Eine Sammlung
schöner Beweise
Primzahlen zum Zweiten 14
Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet
Die Idee:
Aus endlich vielen Primzahlen kann man eine neue konstruieren.
Beispiele:
p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5
E = 2∙3∙5 + 1 = 31: Eine neue Primzahl!
Primzahlen zum Zweiten 15
Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet
Beispiele:
p1 = 3, p2 = 5, p3 = 7
E = 3∙5∙7 + 1 = 106: Keine neue Primzahl!
Aber:
E enthält nur neue Primzahlen als Faktoren, hier die Zahlen 2 und 53. Keine der Zahlen 3,5,7 teilt 106
Primzahlen zum Zweiten 16
Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet
Allgemein:
p1, p2, p3, …, pn seien Primzahlen.
E = p1∙ p2 ∙ p3 ∙ … ∙ pn + 1 :
Keine der Zahlen p1, p2, p3, …, pn teilt E.
Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen.
Primzahlen zum Zweiten 17
Beweise für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen
• Sechs Beweise in THE BOOK
• 12 Beweise in Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory
• 27 Beweise auf www.beweise.mathematic.de
Primzahlen zum Zweiten 18
Der Fakultätenbeweis
Idee: Keine der Zahlen 1, 2, 3, 4, …, n ist Teiler von f(n) = n! + 1.
Also sind alle Primfaktoren von f(n) größer als n.
Primzahlen zum Zweiten 19
Exkurs: Fakultäten
4! = 1∙2∙3∙4 = 24
n! = 1∙2∙3∙ ∙∙∙∙∙ ∙(n-1) ∙n0! = 1
5! = 120 10! = 3 628 800
Primzahlen zum Zweiten 20
Warum Rainer Roos Mathematiker wurde
• Warum ist 0! = 1?
• Ist x! eine „richtige“ Funktion?
• Wie kommt ein Auto zum Stehen?
• Später: Wie sicher sind mathematische Aussagen?
Primzahlen zum Zweiten 21
100!
9332621544 3944152681 6992388562 6670049071 5968264381 6214685929 6389521759 9993229915 6089414639 7615651828 6253697920 8272237582
5118521091 6864000000 0000000000 00000000
Primzahlen zum Zweiten 22
1000!4023872600770937735437024339230039857193748642107146325437999104\ 2993851239862902059204420848696940480047998861019719605863\ 1666872994808558901323829669944590997424504087073759918823\ 6277271887325197795059509952761208749754624970436014182780\ 9464649629105639388743788648733711918104582578364784997701\ 2476632889835955735432513185323958463075557409114262417474\ 3493475534286465766116677973966688202912073791438537195882\ 4980812686783837455973174613608537953452422158659320192809\ 0878297308431392844403281231558611036976801357304216168747\ 6096758713483120254785893207671691324484262361314125087802\ 0800026168315102734182797770478463586817016436502415369139\ 8281264810213092761244896359928705114964975419909342221566\ 8325720808213331861168115536158365469840467089756029009505\ 3761647584772842188967964624494516076535340819890138544248\ 7984959953319101723355556602139450399736280750137837615307\ 1277619268490343526252000158885351473316117021039681759215\ 1090778801939317811419454525722386554146106289218796022383\ 8971476088506276862967146674697562911234082439208160153780\ 8898939645182632436716167621791689097799119037540312746222\ 8998800519544441428201218736174599264295658174662830295557\ 0299024324153181617210465832036786906117260158783520751516\ 2842255402651704833042261439742869330616908979684825901254\ 5832716822645806652676995865268227280707578139185817888965\ 2208164348344825993266043367660176999612831860788386150279\ 4659551311565520360939881806121385586003014356945272242063\ 4463179746059468257310379008402443243846565724501440282188\ 5252470935190620929023136493273497565513958720559654228749\ 7740114133469627154228458623773875382304838656889764619273\ 8381490014076731044664025989949022222176590433990188601856\ 6526485061799702356193897017860040811889729918311021171229\ 8459016419210688843871218556461249607987229085192968193723\ 8864261483965738229112312502418664935314397013742853192664\ 9875337218940694281434118520158014123344828015051399694290\ 1534830776445690990731524332782882698646027898643211390835\ 0621709500259738986355427719674282224875758676575234422020\ 7573630569498825087968928162753848863396909959826280956121\ 4509948717012445164612603790293091208890869420285106401821\ 5439945715680594187274899809425474217358240106367740459574\ 1785160829230135358081840096996372524230560855903700624271\ 2434169090041536901059339838357779394109700277534720000000\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
0000000000
Primzahlen zum Zweiten 23
Stirlingsche Formel
James Stirling,
1692 – 1770,
Mitstreiter Newtons
nn
n! 2πn e
für große n
Primzahlen zum Zweiten 24
Der Fakultätenbeweis
n Zerlegung von n! + 1
2 3
3 7
4 5∙5
5 11 ∙11
6 7 ∙103
7 71 ∙71
8 61∙661
9 19 ∙71∙269
Primzahlen zum Zweiten 25
Der Satz von Wilson
p ist genau dann eine Primzahl, wenn p ein Teiler von (p-1)! + 1 ist.
Beispiel:
p = 7: 7 teilt 6! + 1; 7 ist Primzahl
p = 6; 6 teilt 5! + 1 nicht; 6 keine Primzahl
Primzahlen zum Zweiten 26
Ein Beweis mit Fermat-Zahlenaus dem Buch
Pierre de Fermat
Geb.: 1601 in
Beaumont de Lomagne
Gest.: 1665 in Castres
Genialer
Zahlentheoretiker
Primzahlen zum Zweiten 27
Fermat-Zahlen
n(2 )F(n) = 2 1Fermats Vermutung:
Alle Zahlen dieser Form sind Primzahlen.
Primzahlen zum Zweiten 28
Fermat-Zahlen
F(0) = 21 + 1 = 3, PrimzahlF(1) = 22 + 1 = 5, PrimzahlF(2) = 24 + 1 = 17, PrimzahlF(3) = 28 + 1 = 257, PrimzahlF(4) = 216 + 1 = 65 537, PrimzahlF(5) = 232 + 1 = 4 294 967 297 = 641 ∙ 6700417
Primzahlen zum Zweiten 29
Eine wunderschöne Idee:
Man zeigt:
Die Fermat-Zahlen sind paarweise teilerfremd.
Daher enthalten verschiedene Fermatzahlen verschiedene Primfaktoren.
Es gibt aber unendlich viele Fermatzahlen,
fertig!
Primzahlen zum Zweiten 30
Teilerfremde Zahlen
Beispiele:
25, 42 sind teilerfremd
40, 63 sind teilerfremd
24, 42 sind nicht teilerfremd: 2, 3, 6 sind gemeinsame Teiler
Primzahlen zum Zweiten 31
Die Teilerfremdheit der F(n)
Man beweist: Für jede natürliche Zahl n gilt:
F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2
Primzahlen zum Zweiten 32
F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2
F(0)∙F(1) ∙F(2) = F(3) – 2:
3 ∙ 5 ∙ 17 = 257 – 2
Primzahlen zum Zweiten 33
F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2
F(0)∙F(1) ∙F(2) = F(3) – 2:
1
1 2 3
3 3
0 1 2
2 2
(2 )(2 )
(2 )
(2 ) (2 ) (2 )(2 ) (2 )
(2 ) (2 ) (2 )
a - ba+b =
a - b
2 12 1 =
2 1
2 -1 2 -1 2 -1=2 -1=2 +1-2=F(3)-2
2 -1 2 -1 2 -1
n
n
n
Primzahlen zum Zweiten 34
F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2
Jeder gemeinsame Teiler von F(i), i <n, und F(n) teilt 2.
Alle F(i) sind ungerade.
Es bleibt nur eins übrig als Teiler von 2.
Primzahlen zum Zweiten 35
Bestimmung von Primzahlen
Verschiedene Vorgehensweisen:
– Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe)– Formeln (traurig und schön)– Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen
Primzahlen zum Zweiten 36
Eine Formel für alle Primzahlen
• Hardy und Littlewoods Formel
• n Zweien bei f(n) • ω = 1.9287800…• Zur Berechnung von ω
benötigt man alle Primzahlen
• Nicht sehr praktisch!• Es gibt weitere solcher
Formeln
Primzahlen zum Zweiten 37
Noch einmal: Drei wichtige Probleme
• Wie findet man große Primzahlen?
• Wie prüft man große Zahlen auf Primzahl-eigenschaft?
• Wie hoch ist der Aufwand, beliebige große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen?
Primzahlen zum Zweiten 38
Große Primzahlen für die Praxis
• Erzeuge eine Zufallszahl mit vorgegebener Stellenzahl.
• Teste, ob die Zahl durch kleine Primzahlen teilbar ist.
• Teste mit einem probabilistischen Test auf Primalität, mehrfach.
Primzahlen zum Zweiten 39
Probabilistische Tests (z.B. Miller-Rabin)
Sagt der Test nein, dann keine Primzahl.
Sagt der Test ja, dann mit hoher Wahrscheinlichkeit Primzahl.
Irrtumswahrscheinlichkeit: etwa 0,001
Bei n-maliger erfolgreicher Durchführung ist die Fehlerwahrscheinlichkeit (0,001)n.
Primzahlen zum Zweiten 40
Deterministische Tests für beliebige Zahlen n
Bis vor wenigen Monaten nur Tests mit nicht polynomialer Laufzeit in n.
Seit dem 6.8.2002 sieht die dieser Teil der Primzahlenwelt freundlicher aus.
Primzahlen zum Zweiten 41
Test von Nitin, Neeraj, Manindra(August 2002)
A(n) = Aufwand, n auf Primalität zu testen
A (n) = O((ln n)12)
Primzahlen zum Zweiten 42
Aufwand bei Primfaktorzerlegung:Quadratisches Sieb
ln(n) ln(ln(n))Aufwand e
Primzahlen zum Zweiten 43
Aufwand beim quadratischen Sieb
k n=10^k Operationen
50 1E+50 1,42E+10100 1E+100 2,34E+15150 1E+150 3,26E+19200 1E+200 1,20E+23250 1E+250 1,86E+26300 1E+300 1,53E+29350 1E+350 7,83E+31400 1E+400 2,72E+34450 1E+450 6,87E+36500 1E+500 1,33E+39
Primzahlen zum Zweiten 44
Primzahlenzwillinge
Primzahlen im Abstand 2:
3, 5
11, 13
29, 31
101, 103
……..
Primzahlen zum Zweiten 45
Die Top 10
rank prime digits who when comment
1 33218925 · 2169690-1 51090 g259 2002 Twin (p)
2 60194061 · 2114689-1 34533 g294 2002 Twin (p)
3 1765199373 · 2107520-1 32376 g182 2002 Twin (p)
4 318032361 · 2107001-1 32220 p100 2001 Twin (p)
5 1807318575 · 298305-1 29603 g216 2001 Twin (p)
6 665551035 · 280025-1 24099 g216 2000 Twin (p)
7 781134345 · 266445-1 20011 p53 2001 Twin (p)
8 1693965 · 266443-1 20008 g183 2000 Twin (p)
9 83475759 · 264955-1 19562 g144 2000 Twin (p)
10 37831341 · 261777-1 18605 g277 2003 Twin (p)
Primzahlen zum Zweiten 46
Wie viele Zwillinge gibt es?
• Man weiß es nicht.
• Wahrscheinlich unendlich viele (Hardy)
Primzahlen zum Zweiten 47
Bruns Witz
2, 2
Pr
2
1 1 = B 1,902160583...
2
1 1 1 1 1 1 1 1.... B
3 5 5 7 11 13 17 19
p pimzahl
p p
Primzahlen zum Zweiten 48
Viggo Brun
• Norwegischer Mathematiker,
• 1885 – 1978
• Bedeutender Zahlen-theoretiker
Primzahlen zum Zweiten 49
Rekorde
2. Dezember 2003:
Größte Primzahl entdeckt, Typ Mersenne:
M(20 996 011) = 220996011 – 1Diese Zahl hat 6 320 430 Dezimalstellen!
Projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)
Primzahlen zum Zweiten 50
Wie groß ist diese Zahl?
• In Winword bei 12-Punkt-Arial 3825 Einsen pro Seite
• Also 6 320430 : 3825 Seiten, dies sind mehr als 1650 Seiten
Primzahlen zum Zweiten 51
Einige Anmerkungen
M40 oder M41 oder M42?
Preise:
100 000 $ für die erste Primzahl mit 10 000 000 Stellen150 000 $ für die erste Primzahl mit 100 000 000 Stellen
250 000 $ für die erste Primzahl mit 1 000 000 000 Stellen
(Electronic Frontier Foundation)
Primzahlen zum Zweiten 52
Wege zum Ruhm: Offene Probleme der Zahlentheorie
• Die Goldbachsche Vermutung• Die Riemannsche Vermutung• Vermutung, dass es nur endlich viele
Fermatprimzahlen gibt• Vermutung, dass es unendlich viele
Primzahlenzwillinge gibt• Ein schnelle Algorithmus zur
Primfaktorzerlegung
Primzahlen zum Zweiten 53
Konkurrenten beim Berühmtwerden
Primzahlen zum Zweiten 54
Die Goldbachschen Vermutungen
Christian Goldbach
Geb. 1690 in KönigsbergGest.: 1764 in Moskau
Bedeutender preussischer Mathematiker, Zusammenarbeit mit Euler und den Bernoullis
Primzahlen zum Zweiten 55
Brief an Euler 1742
Primzahlen zum Zweiten 56
Die Vermutungen
Goldbach I: Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe zweier Primzahlen.Beispiel: 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 13 + 87 = ….
Goldbach II: Jede ungerade Zahl > 7 ist die Summe von drei ungeraden PrimzahlenBeispiel: 51 = 3 + 17 + 31 = 5 + 17 + 29 = 5 + 23 + 23 = ….
Primzahlen zum Zweiten 57
Goldbach I: State of the Art
• Bestätigt bis 2x1016 • Jede gerade Zahl ist Summe von höchstens 6
Primzahlen• Vinogradov: Jede genügend große Zahl ist
Summe von höchstens 4 Primzahlen• Vinogradov: Fast alle geraden Zahlen sind
Summe von 2 Primzahlen• Cheng Jing-run (1966): Jede gerade Zahl ≥ 4
ist Summe aus einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren
Primzahlen zum Zweiten 58
Goldbach I: State of the Art
Im Jahr 2000 wurde ein Preis von
1 000 000 $ für den Beweis der Goldbachschen Vermutung ausgesetzt.
Nach Ansicht der meisten Mathematiker stimmt die Goldbachsche Vermutung; statistische Argumente sprechen dafür.
Primzahlen zum Zweiten 59
Goldbach II: State of the Art
Cheng und Wang 1989:
Jede Zahl n > 1043000 erfüllt Goldbach II
Mit der Riemannschen Vermutung:
Jede Zahl > 1,615∙1012 erfüllt Goldbach II; Überprüfung mit Computern war erfolgreich!
Primzahlen zum Zweiten 60
Bernhard Riemann (1826 – 1866)
Nachfolger von Gauß inGöttingen
Mathematisches Genie
Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts-theorie
Primzahlen zum Zweiten 61
Die Riemannsche Vermutung
zn=1
1ς(z)=
n
Alle komplexen Nullstellen
haben die Form
1z = +iy.
2Schwierig,
Sie haben schlechte Chancen.
Primzahlen zum Zweiten 62
Ein weiterer Weg zum Ruhm
Es gibt nur
endlich viele
Fermat-
Primzahlen
n2
Fermat-Zahlen:
F(n) = 2 1
Primzahlen zum Zweiten 63
Primzahlenzwillinge
Zeigen Sie, dass es unendlich viele gibt, entschärfen Sie den Witz von Viggo Brun.
Sie werden länger berühmt sein als Daniel Kübelböck.
Sie werden die Fields-Medaille oder den Abelpreis erhalten.
Primzahlen zum Zweiten 64
Ein schneller Algorithmus zur PFZ
• Überleben schwierig!
• Falls doch, Sie sind berühmt, für immer!
Primzahlen zum Zweiten 65
Literaturtipps
• Harald Scheid: ZahlentheorieSpektrum Verlag 2003, 49,95 €
• Paolo Ribenboim: My Numbers, my FriendsSpringer Verlag 2000, 39,95 $
• Paolo Ribenboim: The New Book of Prime Number RecordsSpringer Verlag 1996, 40,41€
Primzahlen zum Zweiten 66
Links
• www.primzahlen.de
• www.beweise.mathematic.de
• http://www-gap.dcs.st-and.ac-uk/~history/(The Mac-Tutor of History of Mathematics Archive)
Primzahlen zum Zweiten 67
Weitere Veranstaltungen
• Mathe für Alle in Eppelborn: Induktion und voll-ständige InduktionIm April 2004
• Schrecken der Unendlichkeit II: Am 22. 1.2004 um 19.30 in Tholey. Ort: Sitzungsaal im Rathaus
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