primzahlen zum zweiten 1 mehr über primzahlen und zahlentheorie

Primzahlen zum Zweiten 1

Primzahlen zum Zweiten

Mehr über Primzahlen und Zahlentheorie


Referenzen: Meine Hochschule


Referenzen: Meine Gemeinde

• Fritz-Herrmann Lutz,

bewundernswerter Kommunikator, aber:

• Er hat noch nie eine Matheveranstaltung in Eppelborn besucht. Mathephobie?

• Zur Zeit Wahlk(r)ampf


Der Plan

• Was sind Primzahlen und warum sie interessant sind

• Es gibt unendlich viele Primzahlen• Praxis, Primfaktorzerlegung • Pause für notwendige körperliche Aktivitäten• Primzahlenzwillinge• Rekorde• Wie Sie berühmt werden können• Wie geht es weiter?


Anmerkungen

• Was kann man einem intelligenten Laien-publikum zumuten?

• Nicht alle Ankündigungen werden erfüllt

• Das Problem der Ergebnissicherung


Primzahlen

Die endgültige Definition:

Eine natürliche Zahl, von 1 verschieden, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

1 ist keine Primzahl. (Eine Konvention der Mathematiker)


Einige Primzahlen

Der Anfang:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ….

Einige größere Primzahlen:

131, 313, 641,

1 111 111 111 111 111 111,

220996011-1,

eine Zahl mit 6 320 430 Dezimalstellen.

Die größte bekannte Primzahl (10.12.2003!)


Anmerkung

273 – 1 ist keine Primzahl, denn:

273 – 1 = 9 444 732 965 739 290 427 391

= 439 * (9 361 973 132 609) * (2 298 041)


Anmerkung zur Anmerkung

Können Sie diese Rechnung überprüfen?

– Wie kann man 273 berechnen? (2*2*2*…*2, 73 Faktoren)?

– Wie berechnet man dieses Riesenprodukt bei der Zerlegung?

– Haben Sie Vertrauen zu Programmen?


Warum Primzahlen wichtig sind(aus der Sicht der Mathematiker)

Der Fundamentalsatz der Arithmetik:

Jede Zahl lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen

Beispiele:

42 = 2∙3∙7700 = 2∙2∙5∙5∙7 = 22∙52∙7

Sie finden dies bei Euklid


Warum Primzahlen wichtig sind(Praxis)

Große Primzahlen für

asymmetrische Verfahren der Kryptologie

Es ist schwierig, die Primfaktorzerlegung großer Zahlen herzustellen.


Wie viele Primzahlen gibt es?

Euklid:

Es gibt unendlich

viele Primzahlen


Schönheit in der Mathematik

Paul Erdös Idee:

Proofs from the Book

Eine Sammlung

schöner Beweise


Euklids Beweis, ins Konstruktive gewendet

Die Idee:

Aus endlich vielen Primzahlen kann man eine neue konstruieren.

Beispiele:

p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5

E = 2∙3∙5 + 1 = 31: Eine neue Primzahl!



Beispiele:

p1 = 3, p2 = 5, p3 = 7

E = 3∙5∙7 + 1 = 106: Keine neue Primzahl!

Aber:

E enthält nur neue Primzahlen als Faktoren, hier die Zahlen 2 und 53. Keine der Zahlen 3,5,7 teilt 106



Allgemein:

p1, p2, p3, …, pn seien Primzahlen.

E = p1∙ p2 ∙ p3 ∙ … ∙ pn + 1 :

Keine der Zahlen p1, p2, p3, …, pn teilt E.

Die Primfaktoren von E sind neue Primzahlen.


Beweise für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen

• Sechs Beweise in THE BOOK

• 12 Beweise in Narkiewicz, The Development of Prime Number Theory

• 27 Beweise auf www.beweise.mathematic.de


Der Fakultätenbeweis

Idee: Keine der Zahlen 1, 2, 3, 4, …, n ist Teiler von f(n) = n! + 1.

Also sind alle Primfaktoren von f(n) größer als n.


Exkurs: Fakultäten

4! = 1∙2∙3∙4 = 24

n! = 1∙2∙3∙ ∙∙∙∙∙ ∙(n-1) ∙n0! = 1

5! = 120 10! = 3 628 800


Warum Rainer Roos Mathematiker wurde

• Warum ist 0! = 1?

• Ist x! eine „richtige“ Funktion?

• Wie kommt ein Auto zum Stehen?

• Später: Wie sicher sind mathematische Aussagen?


100!

9332621544 3944152681 6992388562 6670049071 5968264381 6214685929 6389521759 9993229915 6089414639 7615651828 6253697920 8272237582

5118521091 6864000000 0000000000 00000000


1000!4023872600770937735437024339230039857193748642107146325437999104\ 2993851239862902059204420848696940480047998861019719605863\ 1666872994808558901323829669944590997424504087073759918823\ 6277271887325197795059509952761208749754624970436014182780\ 9464649629105639388743788648733711918104582578364784997701\ 2476632889835955735432513185323958463075557409114262417474\ 3493475534286465766116677973966688202912073791438537195882\ 4980812686783837455973174613608537953452422158659320192809\ 0878297308431392844403281231558611036976801357304216168747\ 6096758713483120254785893207671691324484262361314125087802\ 0800026168315102734182797770478463586817016436502415369139\ 8281264810213092761244896359928705114964975419909342221566\ 8325720808213331861168115536158365469840467089756029009505\ 3761647584772842188967964624494516076535340819890138544248\ 7984959953319101723355556602139450399736280750137837615307\ 1277619268490343526252000158885351473316117021039681759215\ 1090778801939317811419454525722386554146106289218796022383\ 8971476088506276862967146674697562911234082439208160153780\ 8898939645182632436716167621791689097799119037540312746222\ 8998800519544441428201218736174599264295658174662830295557\ 0299024324153181617210465832036786906117260158783520751516\ 2842255402651704833042261439742869330616908979684825901254\ 5832716822645806652676995865268227280707578139185817888965\ 2208164348344825993266043367660176999612831860788386150279\ 4659551311565520360939881806121385586003014356945272242063\ 4463179746059468257310379008402443243846565724501440282188\ 5252470935190620929023136493273497565513958720559654228749\ 7740114133469627154228458623773875382304838656889764619273\ 8381490014076731044664025989949022222176590433990188601856\ 6526485061799702356193897017860040811889729918311021171229\ 8459016419210688843871218556461249607987229085192968193723\ 8864261483965738229112312502418664935314397013742853192664\ 9875337218940694281434118520158014123344828015051399694290\ 1534830776445690990731524332782882698646027898643211390835\ 0621709500259738986355427719674282224875758676575234422020\ 7573630569498825087968928162753848863396909959826280956121\ 4509948717012445164612603790293091208890869420285106401821\ 5439945715680594187274899809425474217358240106367740459574\ 1785160829230135358081840096996372524230560855903700624271\ 2434169090041536901059339838357779394109700277534720000000\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\

0000000000


Stirlingsche Formel

James Stirling,

1692 – 1770,

Mitstreiter Newtons

nn

n! 2πn e

für große n


Der Fakultätenbeweis

n Zerlegung von n! + 1

2 3

3 7

4 5∙5

5 11 ∙11

6 7 ∙103

7 71 ∙71

8 61∙661

9 19 ∙71∙269


Der Satz von Wilson

p ist genau dann eine Primzahl, wenn p ein Teiler von (p-1)! + 1 ist.

Beispiel:

p = 7: 7 teilt 6! + 1; 7 ist Primzahl

p = 6; 6 teilt 5! + 1 nicht; 6 keine Primzahl


Ein Beweis mit Fermat-Zahlenaus dem Buch

Pierre de Fermat

Geb.: 1601 in

Beaumont de Lomagne

Gest.: 1665 in Castres

Genialer

Zahlentheoretiker


Fermat-Zahlen

n(2 )F(n) = 2 1Fermats Vermutung:

Alle Zahlen dieser Form sind Primzahlen.


Fermat-Zahlen

F(0) = 21 + 1 = 3, PrimzahlF(1) = 22 + 1 = 5, PrimzahlF(2) = 24 + 1 = 17, PrimzahlF(3) = 28 + 1 = 257, PrimzahlF(4) = 216 + 1 = 65 537, PrimzahlF(5) = 232 + 1 = 4 294 967 297 = 641 ∙ 6700417


Eine wunderschöne Idee:

Man zeigt:

Die Fermat-Zahlen sind paarweise teilerfremd.

Daher enthalten verschiedene Fermatzahlen verschiedene Primfaktoren.

Es gibt aber unendlich viele Fermatzahlen,

fertig!


Teilerfremde Zahlen

Beispiele:

25, 42 sind teilerfremd

40, 63 sind teilerfremd

24, 42 sind nicht teilerfremd: 2, 3, 6 sind gemeinsame Teiler


Die Teilerfremdheit der F(n)

Man beweist: Für jede natürliche Zahl n gilt:

F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2


F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2

F(0)∙F(1) ∙F(2) = F(3) – 2:

3 ∙ 5 ∙ 17 = 257 – 2


F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2

F(0)∙F(1) ∙F(2) = F(3) – 2:

1

1 2 3

3 3

0 1 2

2 2

(2 )(2 )

(2 )

(2 ) (2 ) (2 )(2 ) (2 )

(2 ) (2 ) (2 )

a - ba+b =

a - b

2 12 1 =

2 1

2 -1 2 -1 2 -1=2 -1=2 +1-2=F(3)-2

2 -1 2 -1 2 -1

n

n

n


F(0)∙F(1)∙F(2) ∙∙∙∙ F(n-1) = F(n) - 2

Jeder gemeinsame Teiler von F(i), i <n, und F(n) teilt 2.

Alle F(i) sind ungerade.

Es bleibt nur eins übrig als Teiler von 2.


Bestimmung von Primzahlen

Verschiedene Vorgehensweisen:

– Siebe (Eratosthenes, quadratische Siebe)– Formeln (traurig und schön)– Monte-Carlo-Methoden für große Primzahlen


Eine Formel für alle Primzahlen

• Hardy und Littlewoods Formel

• n Zweien bei f(n) • ω = 1.9287800…• Zur Berechnung von ω

benötigt man alle Primzahlen

• Nicht sehr praktisch!• Es gibt weitere solcher

Formeln


Noch einmal: Drei wichtige Probleme

• Wie findet man große Primzahlen?

• Wie prüft man große Zahlen auf Primzahl-eigenschaft?

• Wie hoch ist der Aufwand, beliebige große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen?


Große Primzahlen für die Praxis

• Erzeuge eine Zufallszahl mit vorgegebener Stellenzahl.

• Teste, ob die Zahl durch kleine Primzahlen teilbar ist.

• Teste mit einem probabilistischen Test auf Primalität, mehrfach.


Probabilistische Tests (z.B. Miller-Rabin)

Sagt der Test nein, dann keine Primzahl.

Sagt der Test ja, dann mit hoher Wahrscheinlichkeit Primzahl.

Irrtumswahrscheinlichkeit: etwa 0,001

Bei n-maliger erfolgreicher Durchführung ist die Fehlerwahrscheinlichkeit (0,001)n.


Deterministische Tests für beliebige Zahlen n

Bis vor wenigen Monaten nur Tests mit nicht polynomialer Laufzeit in n.

Seit dem 6.8.2002 sieht die dieser Teil der Primzahlenwelt freundlicher aus.


Test von Nitin, Neeraj, Manindra(August 2002)

A(n) = Aufwand, n auf Primalität zu testen

A (n) = O((ln n)12)


Aufwand bei Primfaktorzerlegung:Quadratisches Sieb

ln(n) ln(ln(n))Aufwand e


Aufwand beim quadratischen Sieb

k n=10^k Operationen

50 1E+50 1,42E+10100 1E+100 2,34E+15150 1E+150 3,26E+19200 1E+200 1,20E+23250 1E+250 1,86E+26300 1E+300 1,53E+29350 1E+350 7,83E+31400 1E+400 2,72E+34450 1E+450 6,87E+36500 1E+500 1,33E+39


Primzahlenzwillinge

Primzahlen im Abstand 2:

3, 5

11, 13

29, 31

101, 103

……..


Die Top 10

rank prime digits who when comment

1 33218925 · 2169690-1 51090 g259 2002 Twin (p)

2 60194061 · 2114689-1 34533 g294 2002 Twin (p)

3 1765199373 · 2107520-1 32376 g182 2002 Twin (p)

4 318032361 · 2107001-1 32220 p100 2001 Twin (p)

5 1807318575 · 298305-1 29603 g216 2001 Twin (p)

6 665551035 · 280025-1 24099 g216 2000 Twin (p)

7 781134345 · 266445-1 20011 p53 2001 Twin (p)

8 1693965 · 266443-1 20008 g183 2000 Twin (p)

9 83475759 · 264955-1 19562 g144 2000 Twin (p)

10 37831341 · 261777-1 18605 g277 2003 Twin (p)


Wie viele Zwillinge gibt es?

• Man weiß es nicht.

• Wahrscheinlich unendlich viele (Hardy)


Bruns Witz

2, 2

Pr

2

1 1 = B 1,902160583...

2

1 1 1 1 1 1 1 1.... B

3 5 5 7 11 13 17 19

p pimzahl

p p


Viggo Brun

• Norwegischer Mathematiker,

• 1885 – 1978

• Bedeutender Zahlen-theoretiker


Rekorde

2. Dezember 2003:

Größte Primzahl entdeckt, Typ Mersenne:

M(20 996 011) = 220996011 – 1Diese Zahl hat 6 320 430 Dezimalstellen!

Projekt GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)


Wie groß ist diese Zahl?

• In Winword bei 12-Punkt-Arial 3825 Einsen pro Seite

• Also 6 320430 : 3825 Seiten, dies sind mehr als 1650 Seiten


Einige Anmerkungen

M40 oder M41 oder M42?

Preise:

100 000 $ für die erste Primzahl mit 10 000 000 Stellen150 000 $ für die erste Primzahl mit 100 000 000 Stellen

250 000 $ für die erste Primzahl mit 1 000 000 000 Stellen

(Electronic Frontier Foundation)


Wege zum Ruhm: Offene Probleme der Zahlentheorie

• Die Goldbachsche Vermutung• Die Riemannsche Vermutung• Vermutung, dass es nur endlich viele

Fermatprimzahlen gibt• Vermutung, dass es unendlich viele

Primzahlenzwillinge gibt• Ein schnelle Algorithmus zur

Primfaktorzerlegung


Konkurrenten beim Berühmtwerden


Die Goldbachschen Vermutungen

Christian Goldbach

Geb. 1690 in KönigsbergGest.: 1764 in Moskau

Bedeutender preussischer Mathematiker, Zusammenarbeit mit Euler und den Bernoullis


Brief an Euler 1742


Die Vermutungen

Goldbach I: Jede gerade Zahl ≥ 4 ist Summe zweier Primzahlen.Beispiel: 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 13 + 87 = ….

Goldbach II: Jede ungerade Zahl > 7 ist die Summe von drei ungeraden PrimzahlenBeispiel: 51 = 3 + 17 + 31 = 5 + 17 + 29 = 5 + 23 + 23 = ….


Goldbach I: State of the Art

• Bestätigt bis 2x1016 • Jede gerade Zahl ist Summe von höchstens 6

Primzahlen• Vinogradov: Jede genügend große Zahl ist

Summe von höchstens 4 Primzahlen• Vinogradov: Fast alle geraden Zahlen sind

Summe von 2 Primzahlen• Cheng Jing-run (1966): Jede gerade Zahl ≥ 4

ist Summe aus einer Primzahl und einer Zahl mit höchstens zwei Primfaktoren


Goldbach I: State of the Art

Im Jahr 2000 wurde ein Preis von

1 000 000 $ für den Beweis der Goldbachschen Vermutung ausgesetzt.

Nach Ansicht der meisten Mathematiker stimmt die Goldbachsche Vermutung; statistische Argumente sprechen dafür.


Goldbach II: State of the Art

Cheng und Wang 1989:

Jede Zahl n > 1043000 erfüllt Goldbach II

Mit der Riemannschen Vermutung:

Jede Zahl > 1,615∙1012 erfüllt Goldbach II; Überprüfung mit Computern war erfolgreich!


Bernhard Riemann (1826 – 1866)

Nachfolger von Gauß inGöttingen

Mathematisches Genie

Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts-theorie


Die Riemannsche Vermutung

zn=1

1ς(z)=

n

Alle komplexen Nullstellen

haben die Form

1z = +iy.

2Schwierig,

Sie haben schlechte Chancen.


Ein weiterer Weg zum Ruhm

Es gibt nur

endlich viele

Fermat-

Primzahlen

n2

Fermat-Zahlen:

F(n) = 2 1


Primzahlenzwillinge

Zeigen Sie, dass es unendlich viele gibt, entschärfen Sie den Witz von Viggo Brun.

Sie werden länger berühmt sein als Daniel Kübelböck.

Sie werden die Fields-Medaille oder den Abelpreis erhalten.


Ein schneller Algorithmus zur PFZ

• Überleben schwierig!

• Falls doch, Sie sind berühmt, für immer!


Literaturtipps

• Harald Scheid: ZahlentheorieSpektrum Verlag 2003, 49,95 €

• Paolo Ribenboim: My Numbers, my FriendsSpringer Verlag 2000, 39,95 $

• Paolo Ribenboim: The New Book of Prime Number RecordsSpringer Verlag 1996, 40,41€


Links

• www.primzahlen.de

• www.beweise.mathematic.de

• http://www-gap.dcs.st-and.ac-uk/~history/(The Mac-Tutor of History of Mathematics Archive)

http://www.primzahlen.de/

http://www.beweise.mathematic.de/

http://www-gap.dcs.st-and.ac-uk/~history/


Weitere Veranstaltungen

• Mathe für Alle in Eppelborn: Induktion und voll-ständige InduktionIm April 2004

• Schrecken der Unendlichkeit II: Am 22. 1.2004 um 19.30 in Tholey. Ort: Sitzungsaal im Rathaus

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