p dictaat toegepaste mechanica / draagconstructies...
Post on 13-Mar-2021
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
P DICTAAT TOEGEPASTE MECHANICA / DRAAGCONSTRUCTIES
BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES
TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT AFDELING BOUWKUNDE
VAKGROEP TOEGEPASTE MECHANICA / / DRAAGCONSTRUCTIES
1 PROF.IR. D. DICKE / IR. W.A. EISMA
1 FEBRUARI 19 78
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.0.1 INLEIDING
1
BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES
Onder een bi j z o n d e r e d r a a g c o n s t r u c t i e v e r
staan we een c o n s t r u c t i e d i e i n het a l g e
meen n i e t wordt opgebouwd u i t een een
voudig systeem van vl o e r e n , balken en
kolommen.
Voorbeelden van zo'n b i j z o n d e r e draagcon
s t r u c t i e z i j n de k a b e l c o n s t r u c t i e s en de
pneumatische c o n s t r u c t i e s , d i e kortweg
pneus worden genoemd.
We gaan ons bezig houden met deze k a b e l
c o n s t r u c t i e s en pneus en z u l l e n nagaan
hoe de k r a c h t s v e r d e l i n g i n deze co n s t r u c
t i e s kan worden bepaald.
Bijzondere d r a a g c o n s t r u c t i e s worden v e e l a l
toegepast voor het overspannen van g r o t e
k o l o m v r i j e ruimten. Deze c o n s t r u c t i e s wor
den b i j voorkeur zo ontworpen dat ze een
ge r i n g eigen gewicht b e z i t t e n .
De k r a c h t s v e r d e l i n g i n een b i j z o n d e r e draag
c o n s t r u c t i e i s meestal n i e t gemakkelijk t e
bepalen. Een u i t z o n d e r i n g h i e r o p vormen de
k a b e l c o n s t r u c t i e s en de pneus d i e een een
voudig evenwichtssysteem hebben. We z u l l e n
d i t nagaan en enkele voorbeelden u i t w e r k e n .
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.0,2 INLEIDING
2
15 15 15.1.1
BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES KABELCONSTRUCTIES
3
1. KABELCONS TRUCTIES
S t a l e n k a b e l s z i j n zeer s l a p p e bouwelemen
t e n . Ze z i j n i n h e t algemeen zo s l a p d a t we
v e r w a a r l o z e n d a t ze i n w e n d i g e b u i g e n d e momen
t e n kunnen l e v e r e n . Dan kunnen ze ook geen
d w a r s k r a c h t e n opnemen.
Kabels kunnen a l l e e n n o r m a a l k r a c h t e n opnemen
en dan nog s l e c h t s t r e k k r a c h t e n .
A l s d r a a g c o n s t r u c t i e z i j n s t a l e n k a b e l s h e t
e e r s t t o e g e p a s t b i j bruggen.
Hangbrug over de Conway hij Conway Castle Mes 1826
; .
\ J
Pas l a t e r z i j n s t a l e n k a b e l s t o e g e p a s t v o o r
h e t overspannen van g r o t e k o l o m v r i j e r u i m t e n .
K a b e l c o n s t r u c t i e s worden o.a. t o e g e p a s t v o o r
hang- en t u i d a k e n . Deze d a k c o n s t r u c t i e s wor
den u i t g e v o e r d i n v e r s c h i l l e n d e vormen.
B i j een hangdak w o r d t h e t dak d i r e c t gedragen
door de k a b e l s , b.v. z o a l s aangegeven i n de
f i g u u r .
B i j een t u i d a k w o r d t h e t dak opgehangen aan
de k a b e l s .
De c o n s t r u c t i e v o r m v o l g e n s de e e r s t e f i g u u r
v e r t o o n t v e e l overeenkomst met de vorm v an
de c o n s t r u c t i e van een hangdak. Het maakt
v o o r de b e r e k e n i n g v an de k a b e l k r a c h t e n
n a u w e l i j k s e n i g v e r s c h i l o f h e t dak w o r d t
gedragen door o f i s opgehangen aan de
k a b e l s .
De c o n s t r u c t i e v o r m v o l g e n s de tweede f i g u u r
d a a r e n t e g e n i s een d u i d e l i j k e vorm van een
tüidak-constructie.
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.2 KABELCONSTRUCTIES
We z u l l e n ons bezi g h o u d e n met eenvoudige
hang- en t u i d a k e n w a a r b i j de k a b e l s i n êên
r i c h t i n g p a r a l l e l l o p e n . Deze daken b e z i t t e n
s l e c h t s i n êên r i c h t i n g een gekromd v l a k .
We sp r e k e n i n d i t g e v a l van l i n e a i r e hang
en t u i d a k e n .
De k a b e l c o n s t r u c t i e van deze l i n e a i r e daken
h e e f t een ee n v o u d i g e v e n w i c h t s s y s t e e m w a a r b i
de vorm van de k a b e l w o r d t b e p a a l d door de
st a n g e n v e e l h o e k t e n g e v o l g e van de b e l a s t i n g
van deze k a b e l .
dx
ds
I n d i e n de k a b e l a l l e e n z i c h z e l f moet d r a g e n
dan i s de b e l a s t i n g van de k a b e l - h o r i z o n
t a a l gemeten - n i e t g e l i j k m a t i g v e r d e e l d .
We kunnen d i t a l s v o l g t v e r k l a r e n .
S t e l de k a b e l weegt g N/m"*".
B e k i j k e n we een d e e l t j e van de k a b e l met een
l e n g t e d s , gemeten l a n g s de k a b e l , dan weegt
d i t g.ds N.
De h o r i z o n t a l e p r o j e c t i e v a n de l e n g t e ds
i s dx.
Dus h o r i z o n t a a l g e z i e n i s de b e l a s t i n g g^
g e l i j k aan:
1 g.ds dx cos ^
N/m"
B i j de ophangpunten A en B van de k a b e l i s
hoek (j) h e t g r o o t s t en dus cos (}) h e t k l e i n s t
Daarom i s i n deze p u n t e n g^ h e t g r o o t s t . I n
h e t midden van de k a b e l i s (}) = O en dus de 1
b e l a s t i n g g. g N/m
We z i e n d a t g n i e t c o n s t a n t i s . !K1
15 15 15.1.3
BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES KABELCONSTRUCTIES
5
Tengevolge van de b e l a s t i n g g^ = ^
neemt de k a b e l de vorm aan van een zogeheten
k e t t i n g l i j n .
(De w i s k u n d i g e vorm van deze l i j n i s een
c o s i n u s h y p e r b o l i c u s f u n c t i e ) .
Zouden we re k e n e n met een g e l i j k m a t i g v e r
d e e l d e b e l a s t i n g g N/m"*" - h o r i z o n t a a l geme
t e n - dan neemt de k a b e l de vorm aan van
een p a r a b o o l .
Omdat h e t g e w i c h t van de k a b e l s i n h e t a l
gemeen k l e i n z a l z i j n t e n o p z i c h t e van h e t
g e w i c h t van de t o t a l e d a k c o n s t r u c t i e , maken
we geen g r o t e f o u t i n d i e n we h e t k a b e l g e w i c h t
- h o r i z o n t a a l gemeten - a l s g e l i j k m a t i g v e r
d e e l d beschouwen.
_ ^ Het kan voorkomen d a t h e t g e w i c h t v an de
t o t a l e d a k c o n s t r u c t i e h o r i z o n t a a l gemeten -
n i e t g e l i j k m a t i g v e r d e e l d i s . D i t i s b.v.
h e t g e v a l wanneer de d i k t e d van h e t dak
c o n s t a n t w o r d t gehouden.
Ook i n d i t g e v a l maken we geen g r o t e f o u t
i n d i e n we v o o r h e t b e p a l e n v an de o r d e van
g r o o t t e v a n de k r a c h t e n i n de k a b e l s en de
ophangpunten i n p l a a t s v a n de w e r k e l i j k e
b e l a s t i n g u i t g a a n van een g e l i j k m a t i g v e r
d e e l d e b e l a s t i n g p e r s t r e k k e n d e m e t e r ,
h o r i z o n t a a l gemeten.
We z u l l e n i n h e t v o l g e n d e de k a b e l s s t e e d s
a l s q e w i c h t s l o o s beschouwen en nagaan hoe
de g r o o t t e v a n de k r a c h t e n i n de k a b e l s
kan worden b e p a a l d b i j i
a. ophangpunten op g e l i j k e h o o g t e
b. ophangpunten n i e t op g e l i j k e h o o g t e
We z u l l e n v e r d e r nagaan hoe de k r a c h t e n i n
de ophangpunten kunnen worden a f g e v o e r d
naar de v a s t e g r o n d s l a g , a f h a n k e l i j k van
Co de o n d e r s t e u n i n g s c o n s t r u c t i e
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.4 KABELCONSTRUCTIES
a. Ophangpunten op g e l i j k e h o o g t e
A l s e e r s t e v o o r b e e l d beschouwen we een ka
b e l d i e i n A en B i s b e v e s t i g d en i n h e t
midden C w o r d t b e l a s t door een massa met
een g e w i c h t G.
I n h o o f d s t u k 13 hebben we a l aangetoond
d a t de k a b e l i n d i t g e v a l een d r i e h o e k i g
v e r l o o p z a l hebben.
De g r o o t t e van de k r a c h t e n i n de k a b e l en
i n de ophangpunten z a l a f h a n k e l i j k z i j n
van de p i j 1 f van de k a b e l . We z u l l e n d i t
nagaan.
I n de ophangpunten A en B o n t s t a a n t e n g e
v o l g e van h e t g e w i c h t G de r e a c t i e k r a c h t e n
\ en Rg.
U i t EV = O en EM = O ( o f u i t de symmetrie)
v o l g t d a t de v e r t i c a l e componenten van deze
r e a c t i e k r a c h t e n moeten z i j n :
= = I °
U i t EH = O v o l g t d a t v o o r de h o r i z o n t a l e
componenten g e l d t :
HA = = H
U i t de f i g u u r kunnen we a f l e i d e n d a t :
f tg(j) =
H en tgcf) =
H i e r u i t v o l g t v o o r de g r o o t t e van k r a c h t H:
H =
15 15 15,1.5
BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES KABELCONSTRUCTIES
7
We kunnen de g r o o t t e van k r a c h t H ook be
p a l e n d o o r t u s s e n de ophangpunten een v e r -
b i n d i n g s s t a a f AB aan t e bren g e n .
K r a c h t H w o r d t dan opgenomen door deze ver-
b i n d i n g s s t a a f . Daardoor o n t s t a a n i n de op
hangpunten A en B s l e c h t s de v e r t i c a l e
r e a c t i e k r a c h t e n en waarvoor g e l d t :
V A
= V. = 2 < ^
We beschouwen nu k a b e l en v e r b i n d i n g s s t a a f
a l s êên c o n s t r u c t i e d i e i s t e v e r g e l i j k e n
met een l i g g e r op twee s t e u n p u n t e n A en B
( z i e h o o f d s t u k 1 3 ) .
We bre n g e n een snede aan d i r e c t l i n k s v a n
h e t midden van de c o n s t r u c t i e .
Het moment i n deze middendoorsnede i s :
M = " l G
Omdat k a b e l en v e r b i n d i n g s s t a a f z e l f geen
momenten kunnen opnemen moet d i t moment M
v o l l e d i g worden opgenomen door h e t k o p p e l
gevormd door de k r a c h t e n H.
Het moment van d i t k o p p e l i s H.f
Nu g e l d t : H.f = \ G.l
Of: H =
Hal e n we de v e r b i n d i n g s s t a a f AB weer weg
dan v o l g t u i t de voorwaarde EH = O v o o r
h e t k a b e l d e e l l i n k s van de middendoorsnede
1 G.l
H^ = H =
U i t EH = O v o l g t dan v e r d e r d i r e c t d a t
H, = H, A
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.6 KABELCONSTRUCTIES
Zodra de g r o o t t e van k r a c h t H bekend i s
kunnen de k r a c h t e n i n de ophangpunten en
de k a b e l worden b e p a a l d .
Voor de r e a c t i e k r a c h t e n i n A en B v i n d e n we
\ = ^B = + (| G l ^
V e r d e r g e l d t v o o r de k r a c h t S i n de k a b e l s
We z i e n d a t de g r o o t t e v a n de k r a c h t e n S,
R^ en Rg mede w o r d t b e p a a l d door de g r o o t t e
van k r a c h t H. De g r o o t t e v a n deze k r a c h t i s
a f h a n k e l i j k v an de waarde van de p i j l f .
D i t b e t e k e n t dus d a t de k r a c h t e n i n de k a b e l
en i n de ophangpunten ook a f h a n k e l i j k z i j n
van de p i j l f van de k a b e l .
Door h e t aanbrengen van d e . v e r b i n d i n g s s t a a f
AB ( s l u i t l i j n ) o n t s t a a t de d r i e h o e k ABC.
Deze d r i e h o e k i s t e beschouwen a l s een ge
s l o t e n s t a n g e n v e e l h o e k d i e , op een bepaalde
s c h a a l , de j u i s t e vorm w e e r g e e f t van h e t
momentenvlak van de t o t a l e c o n s t r u c t i e ( z i e
ook h o o f d s t u k 1 3 ) .
D i t b e t e k e n t d a t we omgekeerd u i t h e t
momentenvlak de j u i s t e k a b e l v o r m en de
g r o o t t e van de h o r i z o n t a l e componenten
van de k r a c h t e n i n de k a b e l kunnen a f l e i
den. We z u l l e n d i t nagaan aan de hand van
een v o o r b e e l d .
15 15 15.1.7
BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES KABELCONSTRUCTIES
9
•
We gaan de vorm b e p a l e n van een k a b e l
waarvan de ophangpunten A en B 6 m u i t
e l k a a r l i g g e n .
De k a b e l w o r d t i n C b e l a s t door een massa
met een g e w i c h t G = 3 0 kN.
De p i j l v a n de k a b e l mag maximaal 1,6 m
bedragen.
Voor h e t b e p a l e n v an de m o m e n t e n l i j n v e r
vangen we k a b e l c o n s t r u c t i e door een l i g g e r
op twee s t e u n p u n t e n A en B.
De o p l e g r e a c t i e s z i j n s
en V^ = 20 kN A
V^ = 10 kN B
Het maximum moment i s :
M = 20 . 2 = 40 kNm max
We z e t t e n de m o m e n t e n l i j n u i t op een be
p a a l d e s c h a a l , b.v. 1 mm = 2 kNm.
De vorm van de k a b e l t e n g e v o l g e v an de
b e l a s t i n g door de massa met g e w i c h t G
komt o v e r e e n met de gevonden momenten
l i j n . We geven de k a b e l de maximale p i j l
omdat dan de k r a c h t e n i n de k a b e l en i n
de ophangpunten zo k l e i n m o g e l i j k z i j n .
Brengen we de v e r b i n d i n g s s t a a f AB aan dan
v i n d e n we v o o r de g r o o t t e van k r a c h t H:
M H = max 40 = 25 kN
f 1,6
De r e a c t i e k r a c h t e n i n A en B z i j n :
20^ + 25^ = 32,0 kN
R, ^ + 25^ = 26,9 kN
De g r o o t s t e k r a c h t i n de k a b e l i s dus 32 kN
Tekenen we nog een k r a c h t e n d r i e h o e k met de
k r a c h t e n G, en R^ dan kunnen we daarmee
de gevonden waarden c o n t r o l e r e n .
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES ' 10 15.1.8 KABELCONSTRUCTIES
i
A l s tweede v o o r b e e l d beschouwen we nog een
k a b e l d i e i n A en B i s b e v e s t i g d , maar d i e
w o r d t b e l a s t door een - h o r i z o n t a a l gemeten
g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g q kN/m"^.
De k a b e l h e e f t een p i j l f .
Brengen we de v e r b i n d i n g s s t a a f AB aan dan
komt de m o m e n t e n l i j n v o o r deze c o n s t r u c t i e
( k a b e l + v e r b i n d i n g s s t a a f ) o v e r e e n met de
m o m e n t e n l i j n v an een l i g g e r AB op twee
s t e u n p u n t e n .
De v e r t i c a l e r e a c t i e k r a c h t e n z i j n i
Voor de m o m e n t e n l i j n g e l d t s
M^ = | q . l . x - | q . x 2 = ^ q . x . ( l - x )
D i t i s de v e r g e l i j k i n g van een p a r a b o o l .
Het maximum moment i s :
M = -H" q. 1 max 8 ^
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.9 KABELCONSTRUCTIES
11
Het k a b e l v e r l o o p t e n g e v o l g e van de b e l a s
t i n g q komt o v e r e e n met de gevonden momen
t e n l i j n .
D i t k a b e l v e r l o o p i s dus p a r a b o l i s c h .
Brengen we een snede aan i n h e t midden dan
v i n d e n we v o o r de g r o o t t e van k r a c h t H:
M H =
max 8
Dus % H = ^ 8f
De t o t a l e r e a c t i e k r a c h t e n i n A en B z i j n s
^A " ^B " ,1 -, X 2 ^ ., q . l V 2 (2 +
De g r o o t s t e waarde v o o r de k r a c h t i n de
k a b e l i s g e l i j k aan de g r o o t t e v an de
k r a c h t e n en R^. A ±5
De k l e i n s t e waarde v o o r de k r a c h t i n de
k a b e l i s g e l i j k aan de g r o o t t e v an k r a c h t H
Opmerking
Voor de h e l l i n g s h o e k b i j A en B g e l d t
V. 1 ,
A q . l ^ 8 f
2 f
D i t b e t e k e n t d a t de r a a k l i j n e n i n A en B
aan de k a b e l e l k a a r s n i j d e n op een a f s t a n d
van 2 f onder de l i j n AB. D i t i s een belang
r i j k e e i g e n s c h a p v an de p a r a b o o l .
i
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.10 KABELCONSTRUCTIES
12
b. Ophangpunten n i e t op g e l i j k e h o o g t e
A l s e e r s t e v o o r b e e l d beschouwen we eens een
k a b e l d i e i n A en B i s b e v e s t i g d en i n h e t
midden C w o r d t b e l a s t door een massa met
een g e w i c h t G. De ophangpunten l i g g e n nu
n i e t op g e l i j k e h oogte ( h o o g t e v e r s c h i l = 2a)
De g r o o t t e van de k r a c h t e n i n de k a b e l en
i n de ophangpunten z a l weer a f h a n k e l i j k
z i j n van de p i j l f van de k a b e l . We z u l
l e n d i t nagaan.
Tengevolge van h e t g e w i c h t G o n t s t a a n i n
de ophangpunten A en B de r e a c t i e k r a c h t e n
\ ^B-
I n d i e n we deze r e a c t i e k r a c h t e n o n t b i n d e n
i n een v e r t i c a l e component en een compo
n e n t R^g d i e de v e r b i n d i n g s l i j n AB a l s
w e r k l i j n h e e f t , dan i s de g r o o t t e van deze
v e r t i c a l e component g e l i j k aan G.
D i t v o l g t d i r e c t u i t de voorwa a r d e : o f EMg = O
Brengen we de v e r b i n d i n g s s t a a f AB aan dan
worden de componenten R^^ van de r e a c t i e
k r a c h t e n R^ en Rg opgenomen door deze s t a a f ,
z o d a t i n de ophangpunten A en B nog s l e c h t s
de v e r t i c a l e r e a c t i e s G o p t r e d e n .
We v e r g e l i j k e n de c o n s t r u c t i e - k a b e l met
v e r b i n d i n g s s t a a f - weer met een l i g g e r AB
op twee s t e u n p u n t e n .
15 15 15.1.11
BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES KABELCONSTRUCTIES
13
Ha^h
"N We brengen een snede aan d i r e c t l i n k s van
h e t midden v an de c o n s t r u c t i e en o n t b i n d e n
de b e i d e k r a c h t e n d i e i n deze snede werken
i n een h o r i z o n t a l e en een v e r t i c a l e compo
n e n t .
U i t EH = O v o l g t v o o r h e t - d e e l l i n k s van
de snede d a t de h o r i z o n t a l e componenten
van beidé k r a c h t e n g e l i j k maar t e g e n g e s t e l d
g e r i c h t z i j n .
We d u i d e n deze componenten aan a l s k r a c h t H,
Het moment van h e t k o p p e l gevormd door de
k r a c h t e n H i s g e l i j k aan H.f
Omdat h e t moment M d a t door de middendoor
snede moeten worden o v e r g e b r a c h t i s
M = i G . i l = i G . l
v i n d e n we v o o r de g r o o t t e van k r a c h t H:
H . f = ^ G . 1 H =
Halen we de v e r b i n d i n g s s t a a f AB weg en
brengen we weer een snede aan d i r e c t l i n k s
van h e t midden, dan v i n d e n we u i t de v o o r
waarde EH = O v o o r h e t k a b e l d e e l l i n k s van
deze snedes'
= H =
U i t de voorwaarde EH = O v o o r de g e h e l e
k a b e l v o l g t dan d a t H^ = H. = H. B
Van de r e a c t i e k r a c h t e n R.. en R„ i n de A rs
ophangpunten z i j n nu de h o r i z o n t a l e com
ponenten H^ en Hg bekend.
De v e r t i c a l e componenten V en V„ z i j n 1
n i e t meer g e l i j k aan •2 G. De g r o o t t e van
deze r e a c t i e k r a c h t e n kan op v e r s c h i l l e n d e
m a n i e r e n worden b e p a a l d .
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.12 KABELCONSTRUCTIES
14
Methode 1
We berekenen de k r a c h t e n V_ en V„ u i t de A D
meetkundige gegevens van de f i g u u r .
V tgcf.^ = H
A . f + a
A
Of. v ^ = H . i ^ = i
XT ^ 1 r f + a
G.l
V t ^ * 2 =
B f - a
2^
j G.l
2^
f + a
f - a
V - i r f " ^
We z i e n d a t zowel de g r o o t t e van de h o r i z o n
t a l e a l s van de v e r t i c a l e r e a c t i e k r a c h t e n i n
A en B a f h a n k e l i j k i s van de waarde van de
p i j l f van de k a b e l . D i t b e t e k e n t d a t ook de
g r o o t t e van de t o t a l e r e a c t i e k r a c h t e n R^ en ,
Rg a f h a n k e l i j k i s van deze waarde.
Omdat de g r o o t t e van de k r a c h t e n S^ en S2 i n
de b e i d e d e l e n van de k a b e l d i r e c t w o r d t a f
g e l e i d u i t d i e van de r e a c t i e k r a c h t e n R^ en
R„ i s ook deze g r o o t t e a f h a n k e l i j k van de
waarde f van de p i j 1 .
Methode 2
We b e p a l e n de k r a c h t e n en u i t de
e v e n w i c h t s v o o r w a a r d e n .
U i t = O v o l g t :
H . 2a - G . -Jl = O
_ 1 ^ 2a 1 1 f + a
U i t EM = O v o l g t :
. 1 - H . 2a + G . 1 = O
2 a f - a
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1,13 KABELCONSTRUCTIES
15
Methode 3
We gaan b i j deze methode u i t van de con
s t r u c t i e met v e r b i n d i n g s s t a a f AB. Deze
c o n s t r u c t i e i s i n e v e n w i c h t . I n de ophang
p u n t e n A en B t r e d e n de v e r t i c a l e r e a c t i e
k r a c h t e n V^' = Vg' = " l G op.
We h a l e n nu de v e r b i n d i n g s s t a a f AB weg.
Daardoor o n t s t a a n i n A en B de h o r i z o n t a l e
r e a c t i e k r a c h t e n
= Hg = H = f 0.1
Omdat de w e r k l i j n e n van de k r a c h t e n en
n i e t s a m e n v a l l e n w o r d t er op de k a b e l -B
c o n s t r u c t i e een k o p p e l u i t g e o e f e n d met een
moment M = - H . 2a. Daardoor i s deze con
s t r u c t i e n i e t meer i n e v e n w i c h t .
Voor e v e n w i c h t i s n o d i g een tegenwerkend
moment d a t kan worden g e l e v e r d door de
v e r t i c a l e k r a c h t e n V^'' = V^'' = V.
U i t de voorwaarde EM
H . 2a = V . 1
W a a r u i t : V^'' = ''
DUS-. V ^ " = Vg
= O v o l g t dan;
2a V = H . — = — .
2 ^ • f
2a
Voor de t o t a l e v e r t i c a l e r e a c t i e k r a c h t e n
v i n d e n we dan:
V. = V , . . V , . . = i G . i G . | = | G . ^ - ^
VB = ^ B ' " ^ B " = i°"i^-t = i ^ "
f
f - a
Opmerking
Wé kunnen a l s c o n t r o l e ook d i r e k t de k r a c h
t e n G, R en R^ u i t z e t t e n i n een k r a c h t e n -A JD
d r i e h o e k van h e t p u n t C. De g r o o t t e van
R en R worden dan door opmeten b e p a a l d .
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.14 KABELCONSTRUCTIES
16
1 ^ = -/^ k^/h^"^
40O hij.
A
ï
I
A
6 o o
A l s tweede v o o r b e e l d beschouwen we nog een
k a b e l d i e i n A en B i s b e v e s t i g d en d i e
w o r d t b e l a s t door een g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e
b e l a s t i n g q = 100 kN/m ( h o r i z o n t a a l gemeten)
De ophangpunten A en B z i j n a a n g e b r a c h t met
een h o o g t e v e r s c h i l van 3 m. De p i j l van de
k a b e l b e d r a a g t 8 m.
We gaan p r o b e r e n de h o r i z o n t a l e en v e r t i
c a l e r e a c t i e s H^, H^, en Vg s n e l t e be
rek e n e n .
We brengen d a a r t o e de v e r b i n d i n g s s t a a f AB
aan, v e r g e l i j k e n de c o n s t r u c t i e met een
l i g g e r op twee s t e u n p u n t e n en v i n d e n dan:
V^' = V g ' = I q . 1 = I . 100 . 12 = 600 kN
= = è q • 1 ^ = i . 100 . 12^ = 1800 kNm max O O
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.15 KABELCONSTRUCTIES
17
Brengen we een snede aan i n h e t midden dan
v i n d e n we de g r o o t t e van k r a c h t H u i t :
H . f = M = 1800 kNm max
Dus; H = 1800 8 = 225 kN
De g r o o t t e van de v e r t i c a l e component V.
van de b e i d e k r a c h t e n d i e i n de midden
doorsnede werken w o r d t b e p a a l d door de
h e l l i n g van de v e r b i n d i n g s s t a a f AB.
Dus; V = 225 . = 56 kN m 12
m
H a len we de v e r b i n d i n g s s t a a f AB weer weg
dan o n t s t a a n d a a r d o o r i n de ophangpunten
A en B de h o r i z o n t a l e r e a c t i e k r a c h t e n ;
H^ = Hg = H = 225 kN
Door deze r e a c t i e k r a c h t e n w o r d t op de
k a b e l c o n s t r u c t i e een k o p p e l u i t g e o e f e n d
met een moment M = H . 3 = 225 . 3 = 675 kNm,
De c o n s t r u c t i e i s d a a r d o o r n i e t meer i n
e v e n w i c h t .
Voor e v e n w i c h t i s een tegenwerkend moment
n o d i g d a t kan worden g e l e v e r d door de v e r
t i c a l e k r a c h t e n V^'' = Vg''
We v i n d e n :
^A' ' " '^B'' " " ^ ; 12 = 56 kN;
g e l i j k dus met de waarde van V^.
De t o t a l e v e r t i c a l e r e a c t i e k r a c h t e n z i j n
dus:
V^ = Vj,' + V^ ' ' = 600 + 56 = 656 kN r\. ra
V = v^' - V^'' = 600 - 56 = 544 kN B B B
Opmerking
Ga z e l f eens na waarom V.. ' ' = V„ ' ' = V , A B m
3
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.16 KABELCONSTRUCTIES
18
We b e p a l e n nog h e t s n i j p u n t C van de werk
l i j n van de r e a c t i e k r a c h t R^ met de v e r t i
c a a l door h e t midden van de c o n s t r u c t i e .
We v i n d e n v o o r hoek
CD
656 225
CD
= 2,92
= AD = X
Dan i s : CD = 6 . 2,92 = 17,5 m
We gaan na öf de w e r k l i j n van de r e a c t i e k r a c h t R„ ook door h e t p u n t C g a a t .
B We v i n d e n v o o r hoek
2'
4- A 'B 544
4- A CE t g (1)2 = ^ =
225
CE
= 2,42
BE 6
Dan i s s CE = 6 . 2,42 = 14,5 m
U i t de waarden v o o r CD en CE v o l g t d a t
DE = CD - CE = 17,5 - 14,5 = 3 m.
D i t i s j u i s t ? de w e r k l i j n van R^ g a a t
dus ook door h e t p u n t C.
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.17 KABELCONSTRUCTIES
19
U i t de gevonden waarden v o o r CD en CE.
b l i j k t d a t we p u n t C g e m a k k e l i j k kunnen
v i n d e n door de p i j l f van de k a b e l t e v e r
d u b b e l e n . D i t i s een ei g e n s c h a p v a n de
p a r a b o o l , z o a l s we d i e a l e e r d e r vonden.
H i e r b l i j k t d a t deze ook g e l d t v o o r een
p a r a b o o l op een s c h u i n e b a s i s (de l i j n AB)
Omgekeerd kunnen we van deze e i g e n s c h a p
g e b r u i k maken b i j h e t t e k e n e n van de
k r a c h t e n d r i e h o e k gevormd door de k r a c h t e n
R^, R^ en Q = q . 1 = 12 . 100 = 1200 kN.
Door opmeten v i n d e n we u i t deze d r i e h o e k
de g r o o t t e van R^en R^.
— 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.18 KABELCONSTRUCTIES
20
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
c. O n d e r s t e u n i n g s c o n s t r u c t i e s
De a c t i e k r a c h t e n en F„ d i e door de A B
k a b e l worden u i t g e o e f e n d op de ophangpun
t e n A en B moeten worden a f g e v o e r d naar de
a a r d k o r s t . Daarvoor z i j n o n d e r s t e u n i n g s
c o n s t r u c t i e s n o d i g .
Voor deze c o n s t r u c t i e s z i j n v e l e goede
o p l o s s i n g e n m o g e l i j k ; we z u l l e n e r twee
geven.
Een eenvoudige c o n s t r u c t i e i s de st e u n b o k ,
samengesteld u i t twee s t a a f v o r m i g e elemen
t e n . We kunnen de h e l l i n g e n van deze e l e
menten w i l l e k e u r i g k i e z e n .
De g r o o t t e van de k r a c h t e n èn R2 i n de
elementen kan o.a. worden b e p a a l d met be
h u l p v an een k r a c h t e n d r i e h o e k en i s a f
h a n k e l i j k van deze h e l l i n g e n , z o a l s b l i j k t
u i t de f i g u r e n .
Hoe we de h e l l i n g e n van de elem e n t e n ook
k i e z e n , a l t i j d z a l i n êên van de elementen
een t r e k k r a c h t o n t s t a a n .
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.1.19 KABELCONSTRUCTIES
21
T r e k k r a c h t e n kunnen s l e c h t worden opgenomen
door de a a r d k o r s t .
Om t r e k k r a c h t e n t e v e i m i j d e n kunnen we een
b a l l a s t aanbrengen aan de b o v e n z i j d e van
de steunbok. Door h e t g e w i c h t van deze b a l
l a s t o n t s t a a t een d r u k k r a c h t i n h e t g e t r o k
ken e l e m e n t . Deze d r u k k r a c h t moet g r o t e r
z i j n dan de door de k a b e l r e a c t i e opgewekte
t r e k k r a c h t .
I s h e t aanbrengen van een b a l l a s t n i e t moge
l i j k dan kunnen we een t e g e n w i c h t i n de g r o n d
aanbrengen.
Een tweede c o n s t r u c t i e v e o p l o s s i n g v i n d e n we
door de k a b e l op t e hangen aan i n g e k l e m d e
kolommen o f s c h i j f v o r m i g e wanden. Het i n -
klemmingsmoment kan i n d i t g e v a l b.v. worden
g e l e v e r d door een k o p p e l gevormd door h o r i
z o n t a l e k r a c h t e n i n de twee v l o e r e n (begane
g r o n d en k e l d e r v l o e r ) van een k e l d e r c o n s t r u c
t i e .
Spanwijdte 163 m; kraageinden 43 m. j breedte 30 m.
Een c o m b i n a t i e van b e i d e gegeven o p l o s s i n g e n
v i n d e n we i n h e t door de a r c h i t e c t / c o n s t r u c
t e u r N e r v i o n t w o r p e n p a p i e r f a b r i e k t e Mantua.
!
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.2.1 VOORGESPANNEN KABELS
22
2. VOORGESPANNEN KABELS
Het zonder meer t o e p a s s e n van k a b e l c o n s t r u c
t i e s h e e f t i n h e t algemeen g r o t e bezwaren
omdat:
- k a b e l s geen d r u k k r a c h t e n kunnen opnemen
- k a b e l s zeer s l a p p e elementen z i j n
- k a b e l s v e r v o r m i n g e n ondergaan t e n g e v o l g e
van de t r e k k r a c h t e n d i e er i n o p t r e d e n
A
Kabels kunnen geen d r u k k r a c h t e n opnemen.
D i t b e t e k e n t d a t we o.a. moeten oppassen
v o o r o m k e r i n g van de b e l a s t i n g e n , b.v. t e n - (
ge v o l g e van een omhoog g e r i c h t e w i n d b e l a s t i n g
( w i n d z u i g i n g ) op de d a k c o n s t r u c t i e .
We kunnen o m k e r i n g van de b e l a s t i n g e n voor
komen door de d a k c o n s t r u c t i e zo zwaar t e
maken d a t de w i n d b e l a s t i n g k l e i n i s t e n op
z i c h t e van h e t e i g e n g e w i c h t van deze con
s t r u c t i e .
K a b e l s z i j n zeer s l a p p e elementen. Daardoor
z i j n k a b e l c o n s t r u c t i e s van hang- en t u i d a k e n
e r g g e v o e l i g v o o r v e r a n d e r l i j k e b e l a s t i n g e n
( b . v . w i n d en sneeuw), v o o r a l a l s deze
n i e t - s y m m e t r i s c h a a n g r i j p e n .
Omdat h e t e i g e n g e w i c h t m e e s t a l k l e i n i s i n
v e r h o u d i n g t o t de l e n g t e van de o v e r s p a n n i n g
z u l l e n deze daken b i j e l k e b e l a s t i n g v e r a n
d e r i n g a l gauw een daaraan aangepaste vorm
aannemen.
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.2.2 VOORGESPANNEN KABELS
23
' I ' L i J
l
Zo kunnen b.v. de k a b e l s v an een d a k c o n s t r u c
t i e t e n g e v o l g e van een b e l a s t i n g door de w i n d
de i n de f i g u u r aangegeven vorm aannemen.
Ook t e n g e v o l g e van een n i e t - s y m m e t r i s c h e be
l a s t i n g ondergaan k a b e l s v o r m v e r a n d e r i n g e n .
S t e l eens d a t twee b o l v o r m i g e r e s e r v o i r s z i j n
opgehangen aan een k a b e l .
I n d i e n de b e i d e r e s e r v o i r s v o l z i j n h e e f t deze
k a b e l de getekende vorm.
I n d i e n êên r e s e r v o i r l e e g i s dan k r i j g t de
k a b e l nevenstaande vorm a l s we h e t e i g e n
g e w i c h t van de r e s e r v o i r s gemakshalve v e r
w a a r l o z e n .
K a b e l s ondergaan een l e n g t e v e r a n d e r i n g i n d i e n
e r t r e k k r a c h t e n i n o p t r e d e n .
Zo o n d e r g a a t b.v. een k a b e l , samengesteld u i t
een e l a s t i s c h m a t e r i a a l , waaraan een b l o k met
een g e w i c h t G w o r d t opgehangen een l e n g t e v e r
a n d e r i n g .
A l = G.l E.A
a l s 1 de l e n g t e en A de doorsnede v an de k a b e l
i s (aangenomen d a t de v l o e i s p a n n i n g n i e t w o r d t
o v e r s c h r e d e n ) .
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.2.3 VOORGESPANNEN KABELS
24
We kunnen aan de genoemde bezwaren van h e t
toe p a s s e n van k a b e l c o n s t r u c t i e s i n b e l a n g
r i j k e mate tegemoet komen door de k a b e l s d i e
de b e l a s t i n g d ragen - de d r a a g k a b e l s - v o o r a f
onder s p a n n i n g t e brengen met b e h u l p van
sp a h k a b e l s .
Deze s p a n k a b e l s worden dus nog v o o r d a t de
d r a a g k a b e l s hun b e l a s t i n g k r i j g e n t e dra g e n
onder s p a n n i n g g e b r a c h t . D i t kan g e s c h i e d e n
door aan b e i d e e i n d e n v an de k a b e l s t e t r e k
ken met b e h u l p van h y d r a u l i s c h e v i j z e i s .
Spankabels moeten zo worden a a n g e b r a c h t d a t
door h e t spannen van deze k a b e l s ook de
d r a a g k a b e l s onder s p a n n i n g worden g e b r a c h t .
Daarom moet de kromming v an deze s p a n k a b e l s
t e g e n g e s t e l d z i j n aan d i e van de d r a a g k a b e l s .
Omdat de spa n n i n g i n de d r a a g k a b e l s v o o r a f
w o r d t a a n g e b r a c h t s p r e k e n we o v e r h e t geven
van een v o o r s p a n n i n g aan deze k a b e l s .
We z u l l e n aan de hand van een e e n v o u d i g
v o o r b e e l d h e t e f f e c t van h e t voorspannen
van een k a b e l eens nagaan.
I I
hi pc
+40
1 4 .
l i l
777777777
We hangen aan een k a b e l AB een b l o k met een
g e w i c h t G = 40 kN. Door d i t g e w i c h t o n t s t a a t
i n de k a b e l een n o r m a a l k r a c h t van 40 kN d i e
een v e r l e n g i n g A l v e r o o r z a a k t .
We h a l e n h e t b l o k weg en b e v e s t i g e n aan
k a b e l AB een andere k a b e l BC. L e n g t e , d o o r
snede en m a t e r i a a l van k a b e l BC z i j n g e l i j k
aan d i e van k a b e l AB.
Brengen we h e t b l o k weer aan dan z a l
k a b e l AB d e z e l f d e v e r l e n g i n g A l k r i j g e n .
Omdat k a b e l s geen d r u k k r a c h t e n kunnen op
nemen g a a t k a b e l BC s l a p hangen.
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.2.4 VOORGESPANNEN KABELS
25
10
B ^
C i ^2S
+ m
-2o
\2o
c i
kso
O
We h a l e n h e t b l o k weer weg en brengen i n
k a b e l BC (de sp a n k a b e l ) een v o o r s p a n n i n g
aan v an 25 kN. Daardoor o n t s t a a t ook i n
k a b e l AB (de d r a a g k a b e l l een v o o r s p a n n i n g
van 25 kN.
Brengen we nu h e t b l o k v/eer aan dan z a l
k a b e l AB l a n g e r worden e n ' k a b e l BC even v e e l
k o r t e r . Omdat de k a b e l s AB en BC volkomen
g e l i j k z i j n z a l h e t g e w i c h t G van h e t b l o k
z i c h g e l i j k o v e r b e i d e k a b e l s v e r d e l e n .
De k a b e l s AB en BC k r i j g e n dus e l k 20 kN t e
drag e n . Daardoor g r o e i t de n o r m a a l k r a c h t i n
k a b e l AB aan van 25 kN t o t 45 kN en neemt de
n o r m a a l k r a c h t i n k a b e l BC a f van 25 kN t o t
5 kN.
Door h e t ophangen van h e t b l o k o n d e r g a a t
k a b e l AB een v e r l e n g i n g d i e nu n i e t A l
( t . g . v . 40 kN) maar 0,5 A l ( t . g . v .
45 - 25 = 20 kN) i s .
Brengen we een b l o k aan met een g e w i c h t
G = 50 kN dan o n t s t a a t i n k a b e l AB een
n o r m a a l k r a c h t van 25 + 2 - ^0 kN en
l o o p t de n o r m a a l k r a c h t i n k a b e l BC t e r u g
t o t 25 - - 1 0 = 0.
Kabe l AB z a l een v e r l e n g i n g ondergaan van
50 - 25 40
. A l = 0,625 A l
Brengen we een b l o k aan met een g e w i c h t
G = 60 kN dan zou de n o r m a a l k r a c h t i n
k a b e l BC t e r u g moeten l o p e n t o t
2 5 - i G = - 5 k N . Het m i n t e k e n b e t e k e n t
d a t de n o r m a a l k r a c h t een d r u k k r a c h t i s
geworden. D i t kan n i e t , k a b e l BC z a l dus
s l a p gaan hangen. Het t o t a l e g e w i c h t v an
h e t b l o k w o r d t nu opgenomen door k a b e l AB
Daardoor o n d e r g a a t deze k a b e l een v e r
l e n g i n g van
60 -- 25 40
. A l = 0,875 A l
Zonder v o o r s p a n n i n g zou i n d i t g e v a l de
v e r l e n g i n g v a n k a b e l AB z i j n geweest:
60 40
. A l = 1,5 A l .
O )
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.2.5 VOORGESPANNEN KABELS
26
B
U i t h e t gegeven v o o r b e e l d b l i j k t d u i d e l i j k
d a t i n k a b e l s d i e z i j n voorgespannen
- d r u k k r a c h t e n kunnen worden opgenomen zo
l a n g e r t r e k (door de v o o r s p a n n i n g ) i n z i t
- k l e i n e r e v e r v o r m i n g e n o p t r e d e n
Door h e t aanbrengen van v o o r s p a n n i n g w o r d t
een k a b e l c o n s t r u c t i e ook s t i j v e r .
G r i j p t een h o r i z o n t a l e k r a c h t aan op h e t
b l o k van h e t v o o r b e e l d dan z a l d i t gaan
s l i n g e r e n a l s h e t a l l e e n i s opgehangen aan
k a b e l AB. Wordt ook k a b e l BC a a n g e b r a c h t
dan i s n a u w e l i j k s beweging m o g e l i j k .
We z i e n dus d a t door h e t aanbrengen van
v o o r s p a n n i n g i n een k a b e l c o n s t r u c t i e de
ee r d e r genoemde bezwaren g r o t e n d e e l s kun
nen worden opgeheven.
Het aanbrengen van v o o r s p a n n i n g i n de
kabélconstructies van hang- en t u i d a k e n
A « ó^a^kah-eA door m i d d e l v an span k a b e l s kan g e s c h i e d e n
door deze k a b e l s t e p l a a t s e n i n de r i c h
t i n g v a n de d r a a g k a b e l s .
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.2.6 VOORGESPANNEN KABELS
27
Luohtvaartoentmm Schiphol 'Arah. E.A. Riphagen
1967
Een bekend v o o r b e e l d van een l i n e a i r e
h a n g d a k c o n s t r u c t i e w a a r b i j d r a a g - en span
k a b e l s worden t o e g e p a s t i s h e t J a w e r t h -
systeem.
De d r a a g - en spankabels worden b i j d i t
systeem o n d e r l i n g verbonden door d i a g o n a a l
g e p l a a t s t e s t a v e n . V i a deze s t a v e n worden
•beide k a b e l s naar e l k a a r t o e g e t r o k k e n en
zo onder s p a n n i n g g e b r a c h t .
De b e l a s t i n g e n van h e t dak kunnen zodoende
door b e i d e k a b e l s worden gedragen. Er i s
a l s h e t ware een k a b e l l i g g e r o n t s t a a n .
Het J a w e r t h - s y s t e e m i s o.a. t o e g e p a s t b i j
h e t l u c h t v r a c h t c e n t r u m S c h i p h o l .
V e e l i n g e w i k k e l d e r z i j n de i n twee r i c h
t i n g e n gekromde k a b e l n e t t e n .
Op de b e r e k e n i n g van deze n e t t e n w o r d t dan
ook n i e t i n g e g a a n .
Eén van de meest bekende t o e p a s s i n g e n v an
zo'n n e t i s h e t Olympische dak t e München.
Otympisah dak MUnoheriy 1972
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.2.7 VOORGESPANNEN KABELS
2
"Das ktassisahe Konstmiktionsprinsip von nur auf Zug be-anspruahten Speiahen in der Fahrradfelge diente erst viel spater als Anregung su weitgespannten Haltenkonstruktio-yi&n
Konrad "Maohsmann, 1959
Tentoonstellingsgebouw U.S.A. Expo-Brusselj 1958 Arah. E.D. Stone
Een r u i m t e l i j k e t o e p a s s i n g van k a b e l s v i n
den we i n de w i e l v o r m i g e hangdaken. B i j
deze daken b e s t a a t de opha n g i n g u i t een
a a n t a l i n v e r t i c a l e v l a k k e n g e l e g e n k a b e l s
d i e worden gespannen t u s s e n een b u i t e n r i n g
en een b i n n e n r i n g .
Deze b e i d e r i n g e n nemen de h o r i z o n t a l e
componenten van de k a b e l k r a c h t e n op.
Een v o o r b e e l d van zo'n d a k c o n s t r u c t i e was
h e t dak van h e t Amerikaanse p a v i l j o e n op
de Expo t e B r u s s e l . We merken nog op d a t
deze c o n s t r u c t i e v e e l overeenkomst ver-^-
t o o n t met de " c o n s t r u c t i e " van een f i e t s
w i e l .
A A
Opmerking
I n de moderne b e t o n t e c h n i e k w o r d t soms
v o o r s p a n n i n g t o e g e p a s t i n b a l k e n . Door i n
de "balk p a r a b o l i s c h gevormde k a b e l s t e
p l a a t s e n en deze t e spannen kunnen i n deze
b a l k i n w e n d i g e k r a c h t e n (spanningen) wor
den opgewekt d i e t e g e n g e s t e l d g e r i c h t z i j n
aan de k r a c h t e n (spanningen) v e r o o r z a a k t
door h e t e i g e n g e w i c h t en de v e r a n d e r l i j k e
b e l a s t i n g .
Door h e t spannen van de k a b e l s w o r d t Immers
op h e t b e t o n van de b a l k een g e l i j k m a t i g
v e r d e e l d e b e l a s t i n g u i t g e o e f e n d . Deze b e l a s
t i n g w e r k t i n o p w a a r t s e r i c h t i n g , dus t e g e n
de z w a a r t e k r a c h t i n .
J5 15 15.3.1
BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES PNEUS
29
3. PNEUS
B i j d r a a g c o n s t r u c t i e s i n de g e b r u i k e l i j k e
b o u w m a t e r i a l e n b e t o n , s t a a l en h o u t s p e e l t
h e t e i g e n g e w i c h t van de c o n s t r u c t i e t e n
o p z i c h t e van de o v e r i g e b e l a s t i n g e n m e e s t a l
een n i e t t e v e r w a a r l o z e n r o l .
Een h o u t e n v l o e r , d i e a l s zeer l i c h t Wordt
beschouwd, weegt i n c l u s i e f de h o u t e n b a l k -2
l a a g , c i r c a 500 N/m . Een v l o e r van b e t o n weegt a l gauw 4000-6000 N/m
2
Door de o n t w i k k e l i n g e n op h e t g e b i e d van
de k u n s t s t o f f e n z i j n b o u w m a t e r i a l e n o n t
w i k k e l d d i e h e t m o g e l i j k maken zeer l i c h t e
d r a a g c o n s t r u c t i e s t e ontwe r p e n met een 2
e i g e n g e w i c h t van 10 §. 50 N/m .
K'inders'piethülle
Een v o o r b e e l d van zo'n zeer l i c h t e d r a a g
c o n s t r u c t i e i s de pneumatische c o n s t r u c t i e ,
k o r t w e g pneu genoemd.
B i j een pneu w o r d t l u c h t a l s een w e z e n l i j k
e l e m ent i n de d r a a g c o n s t r u c t i e opgenomen.
Omdat l u c h t goed d r u k k r a c h t e n kan opnemen
i s deze l u c h t h e t d r u k e l e m e n t van de d r a a g
c o n s t r u c t i e . De h u i d van de pneu, d i e de
l u c h t o m s l u i t , f u n g e e r t d a a r b i j a l s t r e k -
e l e m e n t .
Een bekend v o o r b e e l d van een pneu i s de
f i e t s b a n d . Het g e w i c h t van de f i e t s en
z i j n b e r i j d e r w o r d t gedragen door de
l u c h t i n deze band.
J 'ü)
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.3.2 PNEUS
30
Jm
A l s d r a a g c o n s t r u c t i e z i j n pneus bekend i n
hun t o e p a s s i n g b i j de d r a a g l u c h t h a l l e n .
Telstar antenna shelter
Deze l u c h t b a l l e n kunnen b o l v o r m i g z i j n zo
a l s de T e l s t a r antenna s h e l t e r t e Andover
U.S.A.
Andover,USA, 1962
L u c h t b a l l e n kunnen ook c y l i n d e r v o r m i g z i j n ,
Deze h a l l e n worden dan aan de e i n d e n b o l
v o r m i g a f g e s l o t e n .
De b o l en de c y l i n d e r z i j n e e nvoudige v o r
men v o o r een pneu met een zeer d u i d e l i j k
e v e n w i c h t s s y s t e e m . We z u l l e n d i t nagaan..
We beschouwen d a a r t o e e e r s t eens een b a l l o n (
g e v u l d met h e l i u m d i e z w e e f t i n de l u c h t .
De g a s d r u k i n deze b a l l o n i s g r o t e r dan de
d r u k van de b u i t e n l u c h t . Er h e e r s t dus i n
de b a l l o n een o v e r d r u k . S t e l d i e o v e r d r u k
IS p N/m .
Ten g e v o l g e van deze o v e r d r u k i n de b a l l o n
o n t s t a a n spanningen i n de h u i d van de b a l
l o n .
D e z e l f d e spanningen z u l l e n o p t r e d e n wanneer 2
i n de b a l l o n een ga s d r u k van p N/m h e e r s t
en de d r u k van de b u i t e n l u c h t n u l i s . We
z u l l e n v o o r d i t e e n v o u d i g e r g e v a l nagaan
hoe g r o o t deze spanningen i n de h u i d z i j n .
We beschouwen d a a r b i j deze h u i d a l s een
membraan.
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.3.3 PNEUS
31
De d r u k van p N/m i s a l z i j d i g . Voor h e t
be p a l e n van de sp a n n i n g i n h e t membraan
kunnen we daarom h e t e v e n w i c h t beschouwen
van een h a l v e b a l l o n .
I n h e t m e r i d i a a n v l a k h e e r s t dan een d r u k 2
van p N/m . A l s de b a l l o n , e e n s t r a a l R
h e e f t dan i s de t o t a l e d r u k k r a c h t i n d i t
v l a k : D = TT . R' P
I n h e t membraan van de b a l l o n h e e r s t een
t r e k k r a c h t van n N/m"*". De t o t a l e t r e k
k r a c h t i n h e t m e r i d i a a n v l a k i s dan:
T = 2TrR . n
Er moet e v e n w i c h t z i j n , dus D = T. Dan i s 2
TTR . P = 2TTR . n
o f : n = f . p . R (N/m^)
Een m e r i d i a a n - d o o r s n e d e van de b o l kunnen
we i n a l l e r i c h t i n g e n aanbrengen. Daarom
z a l o v e r a l i n h e t membraan van de b a l l o n
e e n z e l f d e t r e k k r a c h t aanwezig z i j n van
n = i . p . R N/m"*"
Een b o l v o r m i g e d r a a g l u c h t h a l w o r d t o v e r e i n d gehouden door een k u n s t m a t i g e o v e r -
2
d r u k v an p N/m . Zouden we d i t n i e t doen
dan z a k t de h u i d van de h a l i n e l k a a r .
De vorm van zo'n h a l i s n o o i t een v o l
l e d i g e b o l , z o a l s de b a l l o n , maar een
g e d e e l t e d a a r v a n . Ook i n d i t g e v a l w e r k t 2
de o v e r d r u k van p N/m a l z i j d i g en o n t
s t a a n i n de h u i d t r e k s p a n n i n g e n
n = I . p . R N/m^.
Halen we een k l e i n e l e m e n t j e dA u i t de
h u i d van een b o l v o r m i g e h a l dan w o r d t
d i t i n e v e n w i c h t gehouden door de span
n i n g s k r a c h t j e s n i n de v i e r r a nden t e n
g e v o l g e van de op t r e d e n d e s p a n n i n g
n = i . p . R.
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.3.4 PNEUS
32
B i j een c y l i n d e r v o r m i g e d r a a g l u c h t h a l
w o r d t de o v e r d r u k t e g e n een e l e m e n t j e
dA s l e c h t s gedragen door de s p a n n i n g s
k r a c h t j e s n i n twee r a n d e n . De s p a n n i n g s
k r a c h t j e s n' i n de b e i d e andere randen
worden v e r o o r z a a k t door de o v e r d r u k t e g e n
de a f s l u i t i n g e n i n de e i n d v l a k k e n van de
c y l i n d e r . Déze k r a c h t j e s n' z i j n met e l
k a a r i n e v e n w i c h t .
Beschouwen we h e t e v e n w i c h t van een h a l v e
c y l i n d e r met een l e n g t e van 1 m dan v i n d e n
we:
D = 2R . p
T = n . 1
U i t de e v e n w i c h t s v o o r w a a r d e D = 2T v o l g t
dan:
n = p . R N/m
Omdat een c y l i n d e r door een w i l l e k e u r i g e
snede kan worden g e h a l v e e r d z a l i n h e t
membraan van de c y l i n d e r o v e r a l een
t r e k k r a c h t n = p . R N/m""" aanwezig z i j n .
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.3.5 PNEUS
33
A l s v o o r b e e l d van de b e r e k e n i n g v a n een
pneu z u l l e n we ons bezighouden met h e t
ont w e r p v o o r een s t a d aan de n o o r d p o o l ,
gemaakt door de a r c h i t e c t F r e i O t t o .
D i t o n t w e r p w o r d t b e s p r o k e n i n z i j n boek
"Zugbeanspruchte K o n s t r u k t i o n e n " .
Deze s t a d aan de n o o r d p o o l i s on t w o r p e n
onder een pneu gevormd door een b o l
segment. De s t r a a l van de b o l b e d r a a g t
R = 2200 m.
De s t r a a l van de c i r k e l v a n d i t b o l s e g m e n t
i s r = 1000 m en de ho o g t e b e d r a a g t 240 m.
De pneu h e e f t een dubbele h u i d . Om t e
g r o t e t r e k k r a c h t e n i n h e t membraan van
de pneu t e voorkomen z i j n om de 10 m i n
twee r i c h t i n g e n k a b e l s o v e r de pneu ge
spannen.
Het t o t a l e g e w i c h t , van h e t dak be s t a a n d e 2
u i t pneu en k a b e l s , b e d r a a g t 82 N/m .
Om de pneu o v e r e i n d t e kunnen houden w o r d t
i n de pneu k u n s t m a t i g een o v e r d r u k gehand
h a a f d van 350 N/m^. D i t komt o v e r e e n met
35 mm Wk. 2
(1 mm Wk = 1 mm w a t e r k o l o m = 10 N/m 1.
Voor de b e r e k e n i n g van de t r e k k r a c h t e n i n
de pneu nemen we aan d a t h e t e i g e n g e w i c h t
van h e t dak w e r k t i n de r i c h t i n g v a n h e t
m i d d e l p u n t v an de b o l i n p l a a t s v an h e t
m i d d e l p u n t van de aar d e . We maken met deze
aanname s l e c h t s een zeer g e r i n g e f o u t .
De pneu w o r d t dan b e l a s t d o o r een o v e r
d r u k van:
p = 350 - 82 = 268 N/m^
Door deze o v e r d r u k zouden i n h e t membraan
van de pneu t r e k k r a c h t e n o n t s t a a n v a n :
1 1 ^ = 2
p . R = . 268 . 2200
= 294800 N/m- = 295 kN/m"^
5 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.3.6 PNEUS
34
Door h e t aanbrengen van k a b e l s worden de
t r e k k r a c h t e n g e c o n c e n t r e e r d i n deze k a b e l s .
Omdat de k a b e l s om de 10 m z i j n a a n g e b r a c h t
b e d r a a g t de t r e k k r a c h t N i n deze k a b e l s s
N = 10 , 295 = 2950 kN
De k a b e l k r a c h t e n worden afgegeven aan een
betonnen r i n g b a l k . Deze b a l k i s a l s de
f u n d e r i n g van de pneu t e beschouwen.
We o n t b i n d e n k r a c h t N i n een v e r t i c a l e com
ponent N^ en een h o r i z o n t a l e component N .
De g r o o t t e van e l k e component i s :
1000 N = 2950 v
= 13 40 kN
s i n a = 2950
N„ = 2950 n
= 2620 kN
cos a = 2950
2200
1960 2200
Deze k r a c h t e n werken op e l k e 10 m van de
r i n g b a l k . Per s t r e k k e n d e m r i n g b a l k wer
ken dus:
n^ = 1340 10 = 134 kN/m"
= 2620 : 10 = 262 kN./m
We kunnen de g r o o t t e v an n^ n a t u u r l i j k ook
d i r e c t b e p a l e n u i t h e t v e r t i c a l e e v e n w i c h t
van de pneu.
We v i n d e n dan:
2 O TTr . p = n . 7T2r
. p . r
= i . 268 . 1000 N/m = 134 kN/m
Dan i s : n^ = . 134 = 262 kN/m^
15 15 15.3.7
BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES PNEUS
35
Tengevolge van n w o r d t de r i n g b a l k i n op
w a a r t s e r i c h t i n g b e l a s t . D i t b e t e k e n t d a t
h e t e i g e n g e w i c h t g van deze b a l k g r o t e r
moet z i j n dan 134 kN/m""". I s d i t n i e t h e t
g e v a l dan w o r d t de r i n g b a l k omhoog g e t r o k
ken i n de pneu.
De massa van b e t o n i s 250Q kg/m , h e t 3
g e w i c h t dus 2 5 kN/m .
A l s h e t g e w i c h t g p e r s t r e k k e n d e meter
r i n g b a l k g r o t e r moet z i j n dan 134 kN,
dan moet de doorsnede A v a n deze b a l k
g r o t e r z i j n dan: A > 134 25 > 5,4 m'
Een b a l k dus met een doorsnede van b.v.
3,3 . 1,7 m.
Tengevolge van n^ w o r d t de r i n g b a l k
a l z i j d i g naar b i n n e n g e t r o k k e n . Daar
door o n t s t a a n i n deze b a l k d r u k k r a c h t e n .
De g r o o t t e van deze d r u k k r a c h t e n kunnen
we b e p a l e n door h e t e v e n w i c h t t e beschou
wen van een h a l v e r i n g . We v i n d e n :
2 D = n^ . 2r ^ D = n^ . r
Dus: D = 262 . 1000 = 262.000 kN
I n de r i n g b a l k w e r k t dus een n o r m a a l k r a c h t
van 262.000 kN. Tengevolge van deze k r a c h t
o n t s t a a t een s p a n n i n g i n h e t b e t o n van de
b a l k i
c b e t o n 2^2-000 = 49.000 kN/m2= 49 N/mm^
Deze s p a n n i n g i s e r g g r o o t v o o r b e t o n .
Normaal l a t e n we een s p a n n i n g t o e v an
c i r c a 10 N/iran en b i j een zeer goede 2
b e t o n k w a l i t e i t gaan we w e l t o t 20 N/mm .
Om een l a g e r e s p a n n i n g i n h e t b e t o n t e
b e r e i k e n zouden we dus de doorsnede v an
de r i n g b a l k 3 §. 4 maal zo g r o o t moeten
k i e z e n .
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.3.8 PNEUS
36
Opmerking
1. F r e i O t t o koos v o o r de vorm van de pneu
h e t bolsegment, g e f u n d e e r d op een c i r k e l
v o r m i g e r a n d b a l k .
De vorm van d i t segment i s i d e n t i e k aan d i e
van een z e e p v l i e s onder o v e r d r u k , gespannen
op een c i r k e l v o r m i g raampje van i j z e r d r a a d .
Het h u i d o p p e r v l a k van h e t bolsegment i s ,
e v e n a l s d a t van h e t z e e p v l i e s m i n i m a a l , b i j
een b epaalde i n h o u d aan b i n n e n r u i m t e en b i j
de gekozen vorm van de r a n d b a l k .
De a l d u s gevormde pneu - " k r a p i n z'n j a s j e "
h e e f t de m i n s t e u i t w i j k m o g e l i j k h e d e n b i j
w i n d b e l a s t i n g en i s daarom h e t meest s t a b i e l
2, Om f a b r i c a g e - t e c h n i s c h e redenen i s een
s t a n d a a r d h a l v e e l a l een sa m e n s t e l van een
h a l v e c y l i n d e r ( a l l e e n r e c h t e banen) en
twee k w a r t b o l l e n ( a l l e e n s p i e v o r m i g e banen
van g e l i j k e g r o o t t e ) .
Het h u i d o p p e r v l a k van zo'n s t a n d a a r d h a l i s
e c h t e r - u i t g a a n d e van een be p a a l d e i n h o u d
aan b i n n e n r u i m t e en van de vorm van de r a n d
b a l k - n i e t m i n i m a a l .
7801MB
Oversïchtsfoto's^van een in 1971 op de TH-Bouwkunde gehouden Vneu-seminar
(aaneengesloten periode van 14 dagen) o.l.v. Gemot Minke en Fieter Euyhers
Vanuit een model (sohaal 1:12^5} werd de realiteit opgebouwd: een membraam
werd gespannen over een samenstel van twee bollen (diameter 1200 mm) en een
halve torus (straal + 4000 mm).
15 15.4,1
BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES ZELFTOETS
38
4 , ZELFTOETS
VRAGEN
1, Noem twee v o o r b e e l d e n van een b i j z o n d e r e d r a a g c o n s t r u c
t i e , d i e n i e t i s opgebouwd u i t een e e n v o u d i g systeem
van v l o e r e n , b a l k e n en kolommen.
2. Waar worden b i j z o n d e r e d r a a g c o n s t r u c t i e s v e e l a l t o e
g e p a s t .
Hoe worden deze c o n s t r u c t i e s o n t w o r p e n .
3. Welke k r a c h t e n kunnen de k a b e l s van een k a b e l c o n s t r u c t i , | '
opnemen.
4. Voor w e l k e d a k c o n s t r u c t i e s worden o.a. k a b e l c o n s t r u c
t i e s t o e g e p a s t ,
5. Wanneer s p r e k e n we van l i n e a i r e hang- en t u i d a k e n .
6. I s h e t e i g e n g e w i c h t van een k a b e l - h o r i z o n t a a l ge
meten - een g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g .
Welke vorm neemt een k a b e l t e n g e v o l g e van de b e l a s t i n g
door z i j n e i g e n g e w i c h t aan.
7. Een k a b e l w o r d t i n h e t midden b e l a s t door een massa /
met een g e w i c h t G.
Hoe g r o o t i s de h o r i z o n t a l e k r a c h t H d i e deze k a b e l
u i t o e f e n t op de ophangpunten a l s de k a b e l een p i j l f
h e e f t .
Maakt h e t v o o r de g r o o t t e van k r a c h t H v e r s c h i l u i t
o f de ophangpunten w e l o f n i e t op g e l i j k e h o o g t e l i g -
8. Een k a b e l w o r d t b e l a s t door een - h o r i z o n t a a l gemeten -
g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g q.
Hoe g r o o t i s de h o r i z o n t a l e k r a c h t H d i e deze k a b e l
u i t o e f e n t op de ophangpunten a l s deze k a b e l een p i j l f
h e e f t .
gen.
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.4.2 ZELFTOETS
39
ANTWOORDEN
1. K a b e l c o n s t r u c t i e s en pn e u m a t i s c l i e c o n s t r u c t i e s
( k o r t w e g pneus). z i j n b i j z o n d e r e d r a a g c o n s t r u c t i e s
d i e n i e t worden opgebouwd u i t een e e n v o u d i g s y s
teem van v l o e r e n , b a l k e n en kolommen.
2. B i j z o n d e r e d r a a g c o n s t r u c t i e s worden v e e l a l t o e g e
p a s t v o o r h e t overspannen van g r o t e k o l o m v r i j e
r u i m t e n .
Deze c o n s t r u c t i e s worden zo ontworpen d a t ze een
g e r i n g e i g e n g e w i c h t b e z i t t e n .
3. De k a b e l s van een k a b e l c o n s t r u c t i e kunnen a l l e e n
n o r m a a l k r a c h t e n opnemen.
4. K a b e l c o n s t r u c t i e s worden o.a. t o e g e p a s t v o o r hang
en t u i d a k e n en w i e l v o r m i g e hangdaken.
5. I n de k a b e l c o n s t r u c t i e van l i n e a i r e hang- en t u i d a k e n
l o p e n de k a b e l s i n êên r i c h t i n g p a r a l l e l .
6. Het e i g e n g e w i c h t van een k a b e l i s - h o r i z o n t a a l
gemeten - geen g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g . De
k a b e l neemt daarom t e n g e v o l g e van de b e l a s t i n g door
z i j n e i g e n g e w i c h t geen p a r a b o o l maar een k e t t i n g l i j n
aan,
7. A l s een k a b e l i n h e t midden w o r d t b e l a s t d o o r een
massa m met een g e w i c h t G dan o e f e n t deze k a b e l op
de ophangpunten, a l s f de p i j l van deze k a b e l i s , een
k r a c h t H = ' ^ u i t .
De g r o o t t e v a n k r a c h t H i s o n a f h a n k e l i j k van de l i g
g i n g van de ophangpunten ( w e l o f n i e t op g e l i j k e
h o o g t e ) .
8. A l s een k a b e l w o r d t b e l a s t door een - h o r i z o n t a a l
gemeten - g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g q dan
o e f e n t deze k a b e l op de ophangpunten een
8 ^
k r a c h t H = — ^ — u i t , a l s f de p i j l van deze k a b e l i s
De g r o o t t e van deze k r a c h t H i s o n a f h a n k e l i j k van de
l i g g i n g van de ophangpunten (wel o f n i e t op g e l i j k e
h o o g t e ) .
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 40 15.4.3 ZELFTOETS
VRAGEN
Een k a b e l met een p a r a b o l i s c h e vorm h e e f t een p i j l f .
I n de ophangpunten A en B van deze k a b e l worden r a a k
l i j n e n aan de k a b e l g e t r o k k e n .
I n w e l k p u n t s n i j d e n deze r a a k l i j n e n e l k a a r .
10, Een k a b e l w o r d t b e l a s t door een - h o r i z o n t a a l gemeten -
g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g q.
Hoe g r o o t z i j n de v e r t i c a l e r e a c t i e k r a c h t e n V^ en V^
i n de ophangpunten A en B a l s :
a, A en B op g e l i j k e h oogte l i g g e n
b. A een a f s t a n d a hoger l i g t dan B
11. Hoe kunnen we t r e k k r a c h t e n i n de elementen van een
steunbok v e r m i j d e n .
12. Waarom h e e f t h e t zonder meer t o e p a s s e n van k a b e l
c o n s t r u c t i e s i n h e t algemeen g r o t e bezwaren.
Hoe kunnen we aan deze bezwaren tegemoet komen.
13, Wat i s h e t e f f e c t v a n h e t geven van een v o o r s p a n n i n g
aan k a b e l s .
14. Op w e l k e w i j z e kan door m i d d e l van sp a n k a b e l s v o o r
s p a n n i n g worden a a n g e b r a c h t i n de d r a a g k a b e l s .
15 15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 41 15.4.4 ZELFTOETS
ANTWOORDEN
9. De r a a k l i j n e n i n de p u n t e n A en B van een p a r a b o o l met
p i j l f s n i j d e n e l k a a r i n h e t midden op een a f s t a n d 2 f
onder de l i j n AB.
D i t g e l d t zowel v o o r h e t g e v a l d a t de p u n t e n A en B
op g e l i j k e hoogte l i g g e n a l s v o o r h e t g e v a l d a t ze
n i e t op g e l i j k e h oogte l i g g e n .
10. De v e r t i c a l e r e a c t i e k r a c h t e n i n de ophangpunten A
en B van een k a b e l d i e w o r d t b e l a s t door een
- h o r i z o n t a a l gemeten - g e l i j k m a t i g v e r d e e l d e be
l a s t i n g q z i j n
a. a l s A en B op g e l i j k e h o o g t e l i g g e n :
b. a l s A een a f s t a n d a hoger l i g t dan B:
^A = i g l ^ = i (4 ^ 1 ^B = i g l - = i g l (4 - | i
1 1 . T r e k k r a c h t e n i n de elementen van een steunbok kunnen
we v e r m i j d e n door h e t aanbrengen van een b a l l a s t .
12. Het zonder meer t o e p a s s e n van k a b e l c o n s t r u c t i e s
h e e f t i n h e t algemeen g r o t e bezwaren omdat:
- k a b e l s geen d r u k k r a c h t e n kunnen opnemen
- k a b e l s zeer s l a p p e elementen z i j n
- k a b e l s v e r v o r m i n g e n ondergaan t e n g e v o l g e van de
t r e k k r a c h t e n d i e e r i n o p t r e d e n
We kunnen aan deze bezwaren i n b e l a n g r i j k e mate
tegemoet komen door de k a b e l s d i e de b e l a s t i n g
d r a gen - de d r a a g k a b e l s - v o o r a f onder s p a n n i n g
t e b r e n g e n m.b.v. s p a n k a b e l s .
13. I n k a b e l s d i e z i j n voorgespannen kunnen d r u k k r a c h t e n
worden opgenomen ( z o l a n g e r t r e k i n z i t ) ên t r e d e n
k l e i n e r e v e r v o r m i n g e n op.
Door h e t aanbrengen van v o o r s p a n n i n g w o r d t een k a b e l
c o n s t r u c t i e ook s t i j v e r .
14. Het aanbrengen van o v e r s p a n n i n g i n de d r a a g k a b e l s
kan g e s c h i e d e n door s p a n k a b e l s t e p l a a t s e n
- i n de r i c h t i n g van de d r a a g k a b e l s
- i n een r i c h t i n g l o o d r e c h t op de r i c h t i n g van de
d r a a g k a b e l s
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.4.5 ZELFTOETS
42
VRAGEN
15. Hoe v e e l weegt ongeveer een h o u t e n v l o e r , i n c l u s i e f
de h o u t e n b a l k l a a g .
En een betonnen v l o e r ?
16. Noem een v o o r b e e l d van een zeer l i c h t e d r a a g c o n
s t r u c t i e .
17. Hoe worden b i j een pneu t r e k - en d r u k k r a c h t e n op
genomen.
18. Hoe v i n d e n pneus a l s d r a a g c o n s t r u c t i e hun t o e p a s s i n g .
Hoe w o r d t zo'n pneu o v e r e i n d gehouden.
19. Hoe g r o o t i s de t r e k k r a c h t i n de h u i d van een b o l
v o r m i g e d r a a g l u c h t h a l met s t r a a l R a l s h i e r i n een 2
o v e r d r u k h e e r s t van p N/m .
20. Hoe g r o o t i s de t r e k k r a c h t i n de h u i d van een
c y l i n d e r v o r m i g e d r a a g l u c h t h a l .
15 15.4.6
BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES ZELFTOETS
43
ANTWOORDEN
15. Een h o u t e n v l o e r , i n c l u s i e f de h o u t e n b a l k l a a g , 2
weegt c i r c a 500 N/m . 2
Een be t o n n e n v l o e r weegt a l gauw 4000-6000 N/m .
16. Een pneumatische c o n s t r u c t i e , k o r t w e g pneu genoemd,
i s een v o o r b e e l d van een zeer l i c h t d r a a g c o n s t r u c -2
t i e met een e i g e n g e w i c h t van 10-50 N/m .
17. B i j een pneu worden d r u k k r a c h t e n opgenomen door de
l u c h t , t e r w i j l de h u i d van de pneu de t r e k k r a c h t e n
opneemt.
18. A l s d r a a g c o n s t r u c t i e s z i j n pneus bekend i n hun t o e
p a s s i n g b i j de zogeheten d r a a g l u c h t h a l l e n .
Om deze d r a a g l u c h t h a l l e n o v e r e i n d t e kunnen houden
w o r d t een k u n s t m a t i g e o v e r d r u k gehandhaafd van
c i r c a 300 N/m^.
19. I n de h u i d van een b o l v o r m i g e d r a a g l u c h t h a l , w a a r i n 2
een o v e r d r u k van p N/m w o r d t gehandhaafd, h e e r s t
een a l z i j d i g e t r e k s p a n n i n g n:
20. I n de h u i d van een c y l i n d e r v o r m i g e d r a a g l u c h t h a l ,
h e e r s t een t r e k s p a n n i n g n:
Deze t r e k s p a n n i n g w e r k t l o o d r e c h t op de r i c h t i n g
v an de as van de c y l i n d e r .
De g r o o t t e v an de t r e k s p a n n i n g i n de r i c h t i n g van
de as v a n de c y l i n d e r i s a f h a n k e l i j k van de w i j z e
waarop de c y l i n d e r aan z i j n e i n d e n w o r d t a f g e s l o t e n .
n = 4 . p . R (N/m^
n = p . R
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.5.1 VOORBEELDEN
44
^ 1
H
5. VOORBEELDEN
V o o r b e e l d 1
Om een g r o t e r u i m t e k o l o m v r i j t e kunnen
overspannen i s een h a n g d a k c o n s t r u c t i e ont
worpen .
We w i l l e n de g r o o t s t e k r a c h t i n de k a b e l s
van de k a b e l c o n s t r u c t i e v o o r d i t hangdak
weten en de r e a c t i e k r a c h t e n i n de s t e u n -
bokken. •
We b e k i j k e n e e r s t h e t e v e n w i c h t v an k a b e l EF.
Brengen we v e r b i n d i n g s s t a a f EF aan en een
snede i n h e t midden dan v i n d e n wes
i . , 1 ^ = H . f
I . 10 . 40 = H . 4
H = 500 kN.
U i t de h e l l i n g van s t a a f EF v o l g t :
% = é • « = é • = 75 kN
Dan i s (we h a l e n s t a a f EF weg):
Vg = i q . 1 + V^ = 200 + 75 = m
= I . 10 . 40 + 75 = 275 kN
= H = 500 kN E
V^ = i q . 1 - V_ = 125 kN F 2 ^ m
«F = H = 500 kN
15 15 15.5.2
BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES VOORBEELDEN
45
Voor de o p l e g r e a c t i e v i n d e n wes
} R ^ = 1300 kN = H = 500 kN
V, = ~ . 500 = 1200 kN A
Vb = V, + 275 = 1200 + 275 = 1475 kN B A
Hp = H =• 500 kN
V = - i ^ . 500 = 1200 kN' } R^ = 1300 kN
V^ = Vj^ + 125 = 1200 + 125 = 1325 kN
k 4o
Bh
HO
+
Ho
21
r 13 L 6 I
k
-30
i
30
\i/0
V o o r b e e l d 2
Een k a b e l AB met l e n g t e 1 w o r d t voorgespannen
door een k a b e l AC met l e n g t e 2 1 . De g r o o t t e
van de v o o r s p a n n i n g b e d r a a g t 4 0 kN. Overi g e n s
i s de doorsnede en h e t m a t e r i a a l v an b e i d e
k a b e l s g e l i j k . Aan deze k a b e l c o n s t r u c t i e w o r d t
i n B een b l o k gehangen met een g e w i c h t G = 90 kN
We w i l l e n de g r o o t t e van de r e a c t i e k r a c h t e n i n
A en C weten.
Tengevolge van de v o o r s p a n n i n g i s de n o r m a a l
k r a c h t i n de b e i d e k a b e l s AB en AC g e l i j k aan
40 kN.
Hangen we i n B h e t b l o k op dan z a l h e t ge
w i c h t G van d i t b l o k z i c h z o d a n i g over de
k a b e l s AB en BC v e r d e l e n d a t de l e n g t e v e r
a n d e r i n g e n van b e i d e k a b e l s g e l i j k worden.
Omdat k a b e l BC tweemaal zo l a n g i s a l s 2
k a b e l AB k r i j g t k a b e l AB dus 3 - 0 = 6 0 kN
en k a b e l AC ^ G = 30 kN t e d r a g e n .
De r e a c t i e k r a c h t e n i n A en C worden;
R = 4 0 + 6 0 = 1 0 0 k N A
R ^ = 4 0 - 3 0 = 1 0 k N
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 46 15.5.3 VOORBEELDEN
V o o r b e e l d 3
Twee b o l v o r m i g e pneus ( s t r a a l R = 10 m) z i j n
t e g e n e l k a a r g e p l a a t s t en o n d e r l i n g h e c h t
verbonden. Ter p l a a t s e van de v e r b i n d i n g
w o r d t een k a b e l o v e r de pneu g e l e g d .
We w i l l e n de g r o o t t e van de t r e k k r a c h t i n deze
k a b e l weten a l s i n de pneu een o v e r d r u k h e e r s t
van 4 00 N/m^.
We s n i j d e n de pneu i n h e t midden door en v i n
den voor de t r e k k r a c h t n i n de snede:
R = I . 400
0
10 = 2000 N/m
Omdat a = 30 i s :
n = i n/3 = 1000/3 N/m
^h = 2 n = 1000 N/m
We maken v e r v o l g e n s een snede over de k a b e l .
Op deze k a b e l werken de t r e k k r a c h t e n n^. De
h o r i z o n t a l e componenten van deze k r a c h t e n
houden e l k a a r i n e v e n w i c h t . De k a b e l w o r d t
dus i n z i j n e i g e n v l a k b e l a s t door een ge
l i j k m a t i g v e r d e e l d e b e l a s t i n g
2n^ = 2000/3 N/m'.
Beschouwen we h e t e v e n w i c h t van de k a b e l dan
g e l d t :
2T = 10 . 2000 . /3
Dus: T = 10000/3 N = 10/3 kN
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 4 7 15.5.4 VOORBEELDEN
i
1 ^
8óó
V o o r b e e l d 4
Een b e t o n b a l k h e e f t een l e n g t e 1 = 12 m en
een doorsnede A = 300 . 800 mm.
Deze b a l k moet b e h a l v e z i j n e i g e n g e w i c h t
nog een v e r a n d e r l i j k e b e l a s t i n g p = 16 kN/m'
dr a g e n .
I n de b a l k worden p a r a b o l i s c h gevormde k a b e l s
g e p l a a t s t d i e na h e t s t o r t e n en v e r h a r d e n
van h e t b e t o n worden gespannen en v e r a n k e r d
aan de e i n d e n van de b a l k .
We w i l l e n de g r o o t t e van de s p a n k r a c h t i n
deze k a b e l s weten a l s deze een p i j l f = 240 mm
hebben en e r geen t r e k s p a n n i n g e n i n de b a l k
mogen o p t r e d e n .
We b e k i j k e n e e r s t eens h e t e v e n w i c h t s s y s t e e m
van de k a b e l s . S t e l d a t aan de e i n d e n w o r d t
g e t r o k k e n met een k r a c h t V. Daardoor worden
de k a b e l s t e g e n de b o v e n z i j d e van de c i r k e l
v o r m i g e b u i s , w a a r i n z i j z i c h b e v i n d e n , ge
d r u k t .
Omgekeerd o e f e n t deze b u i s , d i e g e h e e l i s om
s l o t e n door b e t o n , een k r a c h t u i t op de k a b e l s
De g r o o t t e van deze k r a c h t , d i e g e l i j k m a t i g i s
v e r d e e l d o v e r de l e n g t e van de kabèls i s een
v o u d i g t e b e p a l e n .
Deze i s : 1 2
H . f = q l ' ^ q = 8 Hf ,2
a l s H de h o r i z o n t a l e component i s van k r a c h t V
Omdat de p i j l f van de k a b e l zeer k l e i n i s t . o
de l e n g t e van deze k a b e l kunnen we s t e l l e n
'H = V.
Dan i s dus: q 3 Vf . 2
Door de a c t i e k r a c h t e n t e n g e v o l g e v an h e t
spannen van de k a b e l s worden r e a c t i e k r a c h
t e n op h e t b e t o n van de b a l k u i t g e o e f e n d .
Omdat a c t i e = r e a c t i e g e l d t :
8 Vf q^ = q = en
1'
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.5.5 VOORBEELDEN
48
Het e i g e n g e w i c h t van de b a l k i s
g = 0 , 3 . 0 , 8 . 2 5 = 6 kN/m
Ve r d e r i s : p = 16 kN/m"*"
T o t a l e b e l a s t i n g q = 22 kN/m^
- 3,^
4-
- f2,
Tengevolge van g i s :
M = ^ . 6 max 8
12 = 108 kNm
,6 a = - a, = O b
108 . 10
300 . 800' - = 3,4 N/mm^
Tengevolge van g + p i s :
M = i . 22 . 12^ = 396 kNm max 8
, = ^ = • : ^ ^ 12,4 N/mm2 ° ^ 300 . 800^
We b e p a l e n de g r o o t t e van V en dus van q.^
z o d a n i g d a t q.^ = g + - l p.
Dan i s : q ^ = 6 + i . 16 = 14 kN/m'
rr 1 2 2
V = = tr^^ = ^050 kN
Tengevolge van = g + ^ p i s :
= 10
= 252 kNm
M = i q^ . 1^ = V . f = 1050 . 0 , 24 max 8 ^v
Dan i s : M V " max
^O = - A - "W"
1050000 300 800
252 . 10
300 800'
^b =
- 4,4 - 7,9
- 4,4 + 7,9
= - 12,3 N/mm'
= + 3,5 N/mm'
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.5.6 VOORBEELDEN
49
»0
ZO
De spanningen i n de b a l k t e n g e v o l g e van de
v o o r s p a n n i n g en h e t e i g e n g e w i c h t worden:
a_ = - 12,3 + 3,4 = - 8,9 N/mm^ O
= + 3,5 - 3,4 O
De span n i n g i n de b a l k t e n g e v o l g e van de
v o o r s p a n n i n g , h e t e i g e n g e w i c h t en de
v e r a n d e r l i j k e b e l a s t i n g worden:
= + 12,4 - 12,3 - O
aj^ = - 1 2 , 4 + 3,5 = 8,9 N/min^
We z i e n dus d a t door h e t aanbrengen van
k a b e l s i n een b e t o n b a l k en h e t spannen
d a a r v a n t r e k s p a n n i n g e n kunnen worden v e r
meden. D i t i s g u n s t i g omdat b e t o n immers
geen t r e k s p a n n i n g e n kan opnemen.
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.6.1 VRAAGSTUKKEN
50
È
3 M
6. VRAAGSTUKKEN
1. Tussen de p u n t e n A en B w o r d t een k a b e l
a a n g e b r a c h t waaraan twee l a s t e n worden op
gehangen. De g r o o t s t e p i j l i n de k a b e l be
d r a a g t 2,5 m. Teken de j u i s t e vorm van de
k a b e l en be r e k e n de g r o o t s t e k a b e l k r a c h t .
2. Een k a b e l h a n g t t u s s e n de p u n t e n A en B.
Deze p u n t e n z i j n de t o p p e n van twee s t i j f
i n g eklemde kolommen.
Aan de k a b e l z i j n twee massa's van 5 t o n op
gehangen .
Hoe g r o o t i s de g r o o t s t e k r a c h t i n de k a b e l ?
Bepaal de M-, D- en N - l i j n v o o r kolom AC.
8^
3. Een k a b e l met een p i j l v an 4 m w o r d t op
gehangen t u s s e n de p u n t e n A en B. Deze punter,
l i g g e n h o r i z o n t a a l gemeten 8 m en v e r t i c a a l
gemeten 4 m u i t e l k a a r .
De b e l a s t i n g van de k a b e l b e d r a a g t 40 kN/m',
h o r i z o n t a a l gemeten. Bepaal l a n g s g r a f i s c h e
weg de g r o o t t e van de t o t a l e r e a c t i e k r a c h t e n
i n A en B. C o n t r o l e e r de u i t k o m s t v o l g e n s
een a n a l y t i s c h e methode.
: " ) )
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.6.2 VRAAGSTUKKEN
51
-LiA
36 r -"1 l i l
4. Een k a b e l AB w o r d t voorgespannen door een
k a b e l BC. De doorsnede van k a b e l AB i s twee
maal zo g r o o t a l s d i e van k a b e l BC.
Ov e r i g e n s i s de l e n g t e en h e t m a t e r i a a l van
b e i d e k a b e l s g e l i j k . Bepaal de g r o o t t e van
de r e a c t i e k r a c h t e n i n A en C a l s i n B aan
de k a b e l c o n s t r u c t i e een b l o k w o r d t gehangen
met een g e w i c h t G = 60 kN.
De g r o o t t e van de v o o r s p a n n i n g b e d r a a g t
20, 30 resp.' 4 0 kN.
5. I n een b o l v o r m i g e pneu met s t r a a l R 2
h e e r s t een o v e r d r u k van p N/m .
Bepaal: a) de t r e k s p a n n i n g i n de pneu b i j
de p u n t e n A en B.
b) de v e r t i c a l e r e a c t i e s n^.
6. Een h a l f - c y l i n d e r v o r m i g e pneu ( l e n g t e 40m;
b r e e d t e 1-6 m) w o r d t aan de e i n d e n b o l v o r m i g e
a f g e s l o t e n . 2
I n de pneu h e e r s t een o v e r d r u k van 3 00 N/m .
Bepaal de t r e k k r a c h t e n d i e i n de h u i d v an h e t
c y l i n d r i s c h e g e d e e l t e werken i n de l e n g t e
r i c h t i n g van de pneu.
I
I
15 BIJZONDERE DRAAGCONSTRUCTIES 15.6.3 VRAAGSTUKKEN
52
ANTWOORDEN
3o
io
20
50
1. De g r o o t s t e k a b e l k r a c h t w e r k t i n
d e e l AC; S ^ = 100 kN
ÓÓO ioö so N
2. De g r o o t s t e k r a c h t i n de k a b e l t r e e d t
op i n h e t s c h u i n e d e e l en h e e f t de
g r o o t t e : 50/5 = 112 kN
. v o o r s p . t r e k k r a c h t
kN SAB ^BC
20 60 0
30 70 10
40 80 20
5. a. n = i . p . R N/m"
b. = i . p . R . /3 N/m"
6. n = 1200 N/m"'"
1
t
top related