osobine raspodela verovatnoćehikom.grf.bg.ac.rs/stari-sajt/web_stranice/katzahidr/predmeti/... ·...
Post on 01-Jan-2020
14 Views
Preview:
TRANSCRIPT
8.12.2014
1
Osobine raspodela verovatnoće
Momenti raspodele
momenti oko koordinatnog početka
momenti oko sredine
dxxfx rr )('
dxxfx rr )()(
Osobine raspodela verovatnoće
Mere centralne tendencije
srednja vrednost
težište gustine raspodele:
iz uzorka:
medijana (Me)
mod (Mo) – maksimum gustine
dxxfx )('1
n
i
ixn
x
1
1
5.0)()()(
Me
Me
dxxfdxxfMeF
x
f x( )
Me x
f x( )
0.5 0.5
Mo
Mo
8.12.2014
2
Osobine raspodela verovatnoće
Mere odstupanja od srednje vrednosti
disperzija (varijansa):
iz uzorka:
standardna devijacija:
koeficijent varijacije:
dxxfx )()( 222
n
i
i xxn
S
1
22 )(1
1
n
i
i xxn
S
1
2)(1
1
vC
x
Scv
x
malo σ
veliko σ
f(x)
Osobine raspodela verovatnoće
Asimetrija raspodele
treći momenat:
koeficijent asimetrije:
iz uzorka:
dxxfx )()( 33
n
i
is xxSnn
nc
1
3
3)(
1
)2)(1(
3
3
sC
x
simetrična raspodela = 0Cs
srednja vrednost = medijana = mod
f x( )
pozitivnaasimetrija
> 0Cs
negativnaasimetrija
< 0Cs
x
Me
Mo
f x( )
8.12.2014
3
Osobine raspodela verovatnoće
Kvantili
Kvantil = inverzna funkcija raspodele verovatnoće
Medijana = kvantil za p = 0.5
Kvartili
)(1 pFxp
0 x
F x( )
xp
p
1
)5.0(15.0
FxMe
)25.0(125.0
Fx
)75.0(175.0
Fx
Osobine raspodela verovatnoće
Primer: Sava – Sremska Mitrovica
broj podataka
70
srednja vrednost
4194
standardna devijacija
769.6
koeficijent varijacije
0.183
koeficijent asimetrije
0.562
x sx sx
gustina raspodele fi* = ni*/Δx
8.12.2014
4
0.0140.043
0.200 0.200 0.214
0.071
0.157
0.043 0.0430.014
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600 6000 6400
x
rel. fre
kve
ncije
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
rel. frekv.
kumul. rel. frekv.
Osobine raspodela verovatnoće
Primer: Sava – Sremska Mitrovica
relativne frekvencije ni*
broj podataka
70
srednja vrednost
4194
x0.25 3601
x0.5 = Me 4046
x0.75 4802
x0.25 Me = x0.5 x0.75
Statistička analiza hidroloških ekstrema
Cilj statističke analize:
pronaći raspodelu verovatnoće (“model”) koja dovoljno dobro opisuje vezu X-P u osmotrenom nizu podataka
uz pomoć odabrane raspodele, odrediti:
verovatnoću pojave zadatog ekstrema, P(X)
veličinu ekstrema zadate verovatnoće pojave, X(P)
veličina ekstrema X
verovatnoća pojave P
raspodela verovatnoće
8.12.2014
5
velike vode (maksimumi)
P{X ≤ x} = F(x) → obezbeđenost
P{X > x} = 1 – F(x) → rizik, neobezbeđenost
male vode (minimumi)
P{X ≤ x} = F(x) → rizik, neobezbeđenost
P{X > x} = 1 – F(x) → obezbeđenost
Način izražavanja veze X-P
vrednost slučajne promenljive
x
VEROVATNOĆA:
funkcija raspodele ili verovatnoća neprevazilaženja
F(x) = P{X x}
verovatnoća prevazilaženja
P{X > x} = 1 – F(x)
Povratni period
Definiše se kao recipročna vrednost verovatnoće kritičnog događaja
predstavlja način izražavanja verovatnoće kritičnog događaja
predstavlja prosečan broj godina između dva prevazilaženja vrednosti
izražava se u godinama
velike vode (maksimumi)
primer: T(200 m3/s) = 50 god. znači da će se protok od 200 m3/s prevazići jednom u 50 godina (odnosno sa verovatnoćom 1/50 = 0.02 = 2%)
male vode (minimumi)
primer: T(0.4 m3/s) = 20 god. znači da će se protok manji od 0.4 m3/s javiti jednom u 20 godina (odnosno sa verovatnoćom 1/20 = 0.05 = 5%)
)(1
1
}{
1)(
xFxXPxT
)(
1
}{
1)(
xFxXPxT
8.12.2014
6
Uslovi za statističku analizu
Uslovi koje hidrološki nizovi ekstrema moraju da ispune:
nezavisni podaci (slučajnost)
jednako raspoređeni, “istorodni” (homogenost)
Ispunjavanje uslova proverava se pomoću odgovarajućih statističkih testova
Smatra se da nizovi godišnjih ekstrema i pikova iznad praga u opštem slučaju ispunjavaju ove uslove
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1.1.1998. 1.1.1999. 1.1.2000. 31.12.2000.
Q (
m3/s
)
n 1 = 5
Z 2
Z 3
Z 1
Z 5
Z 4
=
x B
Z 6
Z
M
n 2 = 4 n 3 = 3 ... n N = 4
godina 1 godina 2 godina 3 godina N
Z = X - x B
X 1
X 2
X 3
X
N
godišnji maksimumi/minimumi prekoračenja preko praga (pikovi)
POSTUPAK statističke analize
PRILAGOĐAVANJE teorijskih raspodela osmotrenim podacima
formiranje EMPIRIJSKE RASPODELE >>>
proračun parametara TEORIJSKIH RASPODELA >>>
TESTIRANJE SAGLASNOSTI empirijske i teorijskih raspodela >>>
IZBOR najbolje raspodele >>>
F
x
F
x
osmotreni podaci – EMPIRIJSKA RASPODELA
prilagođavanje – TEORIJSKA RASPODELA
Fe(x) F (x)
8.12.2014
7
POSTUPAK statističke analize
PRORAČUN teorijske raspodele
VEROVATNOĆE za zadatu vrednost, F(x)
KVANTILA (vrednosti za zadatu verovatnoću), x(F)
F
x
proračun KVANTILA
F (x)
F
x
proračun VEROVATNOĆE
F (x)
x
Fx
xF
F
Empirijska raspodela
Proračun empirijske funkcije raspodele
potrebno oceniti funkciju raspodele F(x) tj. verovatnoću P{X x}
kumulativna relativna frekvencija:
xk – k-ti podatak u nizu uređenom u rastući redosled
primer (n = 51):
nizuu podataka broj
podataka broj}{ k
k
x
n
kxXP
k xk
1 2680
2 2996
3 3190
4 3310
5 3360
6 ...
098.051
5}3360{}{ 5 XPxXP
8.12.2014
8
Empirijska raspodela
Kumulativna relativna frekvencija kao empirijska raspodela
k xk k / n
1 x1 = xmin 1/40
2 x2 2/40
3 x3 3/40
4 x4 4/40
5 x5 5/40
...
38 x38 38/40
39 x39 39/40
40 x40 = xmax 40/40 = 1
n = 40
1}{ m ax n
nxXP
?
0}{1}{ maxmax xXPxXP
sigurno će X biti manje od xmax
tj. nemoguće da X bude veće od xmax
Empirijska raspodela
“Korekcija” kumulativne relativne frekvencije kao empirijska raspodela
k xk (k – 1) / n
1 x1 = xmin 0/40 = 0
2 x2 1/40
3 x3 2/40
4 x4 3/40
5 x5 4/40
...
38 x38 37/40
39 x39 38/40
40 x40 = xmax 39/40
n = 40
00
}{ m in n
xXP
?
1}{1}{ minmin xXPxXP
nemoguće je da X bude manje od xmin
tj. sigurno će X biti veće od xmin
8.12.2014
9
Empirijska raspodela
Kumulativna relativna frekvencija kao empirijska raspodela
x1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0 F x( )
x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
x
n
kxXP k }{
n
kxXP k
1}{
n = 10
“nešto između” = kompromisna verovatnoća
Empirijska raspodela
Kompromisna verovatnoća po Hejzenu kao empirijska raspodela
k xk (k – 0.5) / n
1 x1 = xmin 0.5/40
2 x2 1.5/40
3 x3 2.5/40
4 x4 3.5/40
5 x5 4.5/40
...
38 x38 37.5/40
39 x39 38.5/40
40 x40 = xmax 39.5/40
n = 40
0125.040
5.05.0}{ m in
nxXP
n
kxXP k
5.0}{
0125.0}{1}{
9875.040
5.391}{
m axm ax
m ax
xXPxXP
n
nxXP
8.12.2014
10
Empirijska raspodela
Kompromisna verovatnoća po Vejbulu kao empirijska raspodela
k xk k / (n + 1)
1 x1 = xmin 1/41
2 x2 2/41
3 x3 3/41
4 x4 4/41
5 x5 5/41
...
38 x38 38/41
39 x39 39/41
40 x40 = xmax 40/41
n = 40
0244.041
1
1
1}{ m in
nxXP
1}{
n
kxXP k
0244.0}{1}{
9756.041
40
1}{
m axm ax
m ax
xXPxXP
n
nxXP
Empirijska raspodela
Korekcija kumulativne relativne frekvencije: kompromisna verovatnoća
Autor Kompromisna verovatnoca
a Koristi se za
Weibull 0 sve raspodele
Hazen 0.5 sve raspodele
Blom 0.375 normalna i log-normalna
raspodela
Gringorten 0.44 Gumbelova raspodela
Cunnane 0.4 sve raspodele
Opšta formula
n
ixXP i
5.0}{
1}{
n
ixXP i
25.0
375.0}{
n
ixXP i
12.0
44.0}{
n
ixXP i
2.0
4.0}{
n
ixXP i
nazad >
an
aixXP i
21}{
8.12.2014
11
Teorijske raspodele verovatnoće u hidrologiji
Normalna i log-normalna raspodela
Gumbelova raspodela
Pirson III i log-Pirson III raspodela
Opšta raspodela ekstremnih vrednosti
nazad >
primer >
Normalna raspodela
Gustina raspodele:
Funkcija raspodele:
neintegrabilna funkcija
računa se na osnovu tablica standardne normalne raspodele
x
xxf ,
2
)(exp
2
1)(
2
2
x
f(x)
μ
F(x)
x
1
0
duu
xF
x
2
2
2
)(exp
2
1)(
0.5
μ
8.12.2014
12
Normalna raspodela
Parametri:
μ – srednja vrednost (μ = μ’1)
σ – standardna devijacija (σ2 = μ2)
Važna osobina: simetričnost (Cs = 0)
x
f(x)
μ
F(x)
x
1
0
0.5
μ μ – parametar
lokacije
σ – parametar razmere
σ1
σ2
σ1
σ2
Normalna raspodela
Standardna normalna raspodela = normalna raspodela sa parametrima μ = 0 i σ = 1
Standardizovana normalna promenljiva:
Funkcija raspodele: Φ(z) = FZ(z) = P{Z ≤ z}
XZ
Tablice standardne normalne raspodele
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
gustina raspodele
φ(z)
0
0.5
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
funkcija raspodele
Φ(z)
standardna normalna promenljiva z
Φ(z) z Φ(z) z
0.001 -3.09 0.999 3.09
0.002 -2.88 0.998 2.88
0.005 -2.58 0.995 2.58
0.01 -2.33 0.99 2.33
0.02 -2.05 0.98 2.05
0.05 -1.64 0.95 1.64
0.1 -1.28 0.9 1.28
0.2 -0.84 0.8 0.84
0.3 -0.52 0.7 0.52
0.4 -0.25 0.6 0.25
0.5 0 0.5 0
8.12.2014
13
Normalna raspodela
Standardna normalna raspodela
P{–1 < Z ≤ 1} = Φ(1) – Φ(–1) = 0.841 – 0.159 = 0.683
P{–2 < Z ≤ 2} = Φ(2) – Φ(–2) = 0.977 – 0.023 = 0.954
P{–3 < Z ≤ 3} = Φ(3) – Φ(–3) = 0.9987 – 0.0014 = 0.9973
68% 95% 99.7%
Normalna raspodela
Proračun normalne raspodele preko standardne normalne raspodele:
xxZP
xZPxXPxF }{}{)(
xxF )(
-3
3
-2
2
-1
0
1
2
2
3
3
z
x
φ(z), f(x)
XZ
8.12.2014
14
Normalna raspodela
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
F = NORMSDIST(z) z = NORMSINV(F)
)()(TAB
xFzS
xxzx
x
Φ
xSzxxzzxF TAB
)()( Φ
xS
x
Log-normalna raspodela
Primena normalne raspodele na logaritmovane podatke
ako slučajna promenljiva Y = log X prati normalnu raspodelu, tada X prati log-normalnu raspodelu
parametri: srednja vrednost i standardna devijacija logaritmovanog niza
YY ,
F(y)
y = log x
1
0
0.5
μY
8.12.2014
15
Log-normalna raspodela
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
F = NORMSDIST(z) z = NORMSINV(F)
yY
Y
S
y
)()()(logTAB
xFyFzS
yyzxyx XY
y
Φ
yyX xSzyyzzxF 10)()(
TAB Φ
Gumbelova raspodela
Gustina raspodele:
Funkcija raspodele:
Inverzna funkcija raspodele:
Drugi nazivi:
dvostruko eksponencijalna raspodela
raspodela ekstremnih vrednosti I tipa
x
uxuxxf ,expexp
1)(
uxxF expexp)(
)]lnln([)( FuFx
8.12.2014
16
Gumbelova raspodela
Parametri:
α – parametar razmere
u – parametar lokacije
Osobine:
srednja vrednost μ(u,α)
standardna devijacija σ(u,α)
koef. asimetrije Cs = 1.14
x
f(x)
u
α1
α2 > α1
u – parametar lokacije
α – parametar razmere
6
5772.0u
Gumbelova raspodela
Standardna Gumbelova raspodela
Gumbelova raspodela sa parametrima u = 0, α = 1
Smena:
Funkcija raspodele:
Inverzna funkcija raspodele:
yeeyF)(
)lnln()( FFyG
uXYG
Cs = 1.14
y
f(y)
0
8.12.2014
17
Gumbelova raspodela
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
F = EXP(–EXP(–y)) y = –LN(–LN(F))
x
x
S
Sxu
78.0
45.0
)()( xFeyFux
yx Xe
Y
y
yuxFyyFxF YX )lnln()()(
Pirsonova raspodela III tipa
Troparametarska gama raspodela
Gustina raspodele:
Parametri:
– parametar oblika, b – parametar razmere, g – parametar lokacije
g
b
g
b bg
xex
xf x ,)(
1)( /)(
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
f(x
)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
f(x
)
= 1
= 2
= 4
b = 1
b = 2 b = 4
β = 1 γ = 0
α = 2 γ = 0
8.12.2014
18
Pirsonova raspodela III tipa
Osobine:
momenti:
asimetrična
za Cs = 0 postaje normalna raspodela
troparametarska - lakše prilagođavanje
Proračun
Tablice faktora frekvencije KP(F, Cs)
/2sC
)()( FKFX P
bgb
2,, sC
Pirsonova raspodela III tipa
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
Csx > 0: F = GAMMADIST((x – γ)/β, α,1,TRUE) x = γ + β * GAMMAINV(F,α,1) Csx < 0: F = 1 – GAMMADIST((x – γ)/β, α,1,TRUE) x = γ + β * GAMMAINV(1 – F, α,1)
bg
b xcS
c
sxx
sx
,2
,42
)( za TAB
xFc
S
xxKx X
sx
x
P
xPPsx
X SKxxKc
xF za TAB
)(
KP – faktor
frekvencije
8.12.2014
19
Log-Pirson III raspodela
Log-Pirson III raspodela
ako slučajna promenljiva Y = log X prati Pirson III raspodelu, tada X prati log-Pirson III raspodelu
primena Pirson III raspodele na logaritmovane podatke
Log-Pirson III raspodela
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
Csy > 0: F = GAMMADIST((y – γ)/β, α,1,TRUE) y = γ + β * GAMMAINV(F,α,1) Csy < 0: F = 1 – GAMMADIST((y – γ)/β, α,1,TRUE) y = γ + β * GAMMAINV(1 – F, α,1)
bg
b ycS
c
syy
sy
,2
,42
)()(log za TAB
xFyFc
S
yyKxyx XY
sy
y
P
yyPP
syX xSKyyK
cxF 10)(
za TAB
nazad >
8.12.2014
20
Opšta raspodela ekstremnih vrednosti
Drugi nazivi:
GEV raspodela (General Extreme Value distribution)
Dženkinsonova raspodela
Funkcija raspodele:
za k = 0, GEV raspodela se svodi na Gumbelovu:
Inverzna funkcija raspodele:
uxxF expexp)(
0,1exp)(
/1
k
uxkxF
k
α
0],)ln(1[)( kFk
uFx kα
Opšta raspodela ekstremnih vrednosti
Parametri:
k – parametar oblika
α – parametar razmere
u – parametar lokacije
osobine:
α = 1 u = 0
8.12.2014
21
Opšta raspodela ekstremnih vrednosti
Određivanje parametara na osnovu uzorka
Postupak proračuna
Γ(.) = EXP(GAMMALN(.)) F = EXP(–((1–ky)^(1/k))) y = 1–(–LN(F))^k
)]1(1[,)]1()21([ 2/12
kk
xukk
kSx
Γ
α
ΓΓα
])1[(exp)( /1 kkyxFux
yx
α
α yuxFyxF k)ln(1)(
k
Izbor teorijske raspodele
Izbor najbolje teorijske raspodele
na osnovu primenljivosti teorijske raspodele da li osobine teorijske raspodele
odgovaraju osobinama uzorka (npr. asimetrija)
na osnovu testova saglasnosti emirijske i teorijske raspodele
vizuelna provera na papiru verovatnoće
nazad >
8.12.2014
22
Testiranje saglasnosti
Saglasnost empirijske i teorijske raspodele
empirijska raspodela Fe(x)
teorijska raspodela Ft(x)
Test Kolmogorova-Smirnova
H0: raspodele su saglasne, Ha: raspodele nisu saglasne
kontrolna statistika Dmax = max |Ft(x) – Fe(x)|
kriterijum:
Dmax < Dkr → raspodele su saglasne
Dmax > Dkr → raspodele nisu saglasne
Dkr zavisi od dužine uzorka n i praga značajnosti α:
n α = 10% α = 5% α = 2% α = 1%
20 0.265 0.294 0.329 0.352
40 0.189 0.210 0.235 0.252
Testiranje saglasnosti
Test Kramer – fon Mizesa (ili nω2 test)
H0: raspodele su saglasne, Ha: raspodele nisu saglasne
kontrolna statistika
kriterijum:
nω2 < nω2kr → raspodele su saglasne
nω2 > nω2kr → raspodele nisu saglasne
nω2kr zavisi od praga značajnosti α:
n
i
ieit
n
i
it xFxFnn
ixF
nn
1
2
1
22 )()(
12
15.0)(
12
1ω
α = 10% α = 5% α = 2.5% α = 1%
nω2 0.348 0.462 0.581 0.744
nazad >
8.12.2014
23
Grafički prikaz funkcija raspodele
Dijagram F(x) u aritmetičkoj razmeri
Funkcije raspodele se prikazuju na dijagramima (papirima) verovatnoće
Na papirima verovatnoće zavisnost F(x) se linearizuje
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0 200 400 600 800 1000
x
F(x
)
oblasti teškog očitavanja
verovatnoće
Dijagram normalne verovatnoće
Standardizovana normalna promenljiva Z i verovatnoća Φ(z) su u jednoznačnoj vezi
Linearna veza između standardizovane i originalne promenljive: X = μ+ σZ
Φ(z)
z
1
0
0.5
0
X
z 0
μ
x
z z
8.12.2014
24
Dijagram normalne verovatnoće - konstrukcija
F (z ) z F (z ) z
0.001 -3.090 0.5 0.000
0.002 -2.878 0.6 0.253
0.005 -2.576 0.7 0.524
0.01 -2.326 0.75 0.674
0.02 -2.054 0.8 0.842
0.025 -1.960 0.9 1.282
0.05 -1.645 0.95 1.645
0.1 -1.282 0.975 1.960
0.2 -0.842 0.98 2.054
0.25 -0.674 0.99 2.326
0.3 -0.524 0.995 2.576
0.4 -0.253 0.998 2.878
0.999 3.090
0.3 0.1 0.01 0.001 0.7 0.9 0.999
Funkcija raspodele F(x)
0.5
1. Linearna veza između standardizovane i originalne promenljive: X = μ + σ Z
2. Jednoznačna veza između standardizovane normalne promenljive i funkcije raspodele: Z – F(z)
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
Standardizovana normalna promenljiva z
Slu
;ajn
a pro
men
ljiv
a x
0.99
Φ(z)
z
1
0
0.5
0
Papir normalne verovatnoće
“Komercijalni” papir normalne verovatnoće
0.9
99
0.9
98
0.9
95
0.9
9
0.9
8
0.9
5
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
5
0.0
2
0.0
1
0.0
05
0.0
02
0.0
01
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
z
F = P {X ≤ x }
8.12.2014
25
Dijagram normalne verovatnoće
Ako se tačke empirijske raspodele na papiru normalne verovatnoće grupišu oko prave linije, tada se smatra da normalna raspodela dobro opisuje taj niz
Povratni period T (god)
0.99
9
0.99
8
0.99
5
0.99
0.98
0.950.
9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
0.02
0.01
0.00
5
0.00
2
0.00
1
2 5 10 20 50 100
200
500
1000
0
5
10
15
20
25
30
Funkcija raspodele F (x ) = P {X < x }
Q (
m3 /s
)
Empirijska raspodela
Normalna raspodela
Dijagram log-normalne verovatnoće
Dijagram normalne verovatnoće sa osom za X u logaritamskoj raspodeli
10
100
1000
10000
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Standardna normalna promenljiva z
Pro
tok
(m
3/s
)
osmotreni niz
LN raspodela
0.005 0.01 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.99 0.99
Funkcija raspodele F (x )
0.999
log x = y = σy· z + μy
8.12.2014
26
Standardizovana Gumbelova promenljiva y
Slu
čajn
a p
rom
enlj
iva
x
Funkcija raspodele ( )F x
Verovatnoća prevazilaženja { > } = 1 ( ) = 1/P X x F x T-
Povratni period (godina)T
0
200
400
600
800
1000
1200
-2
0.001
-1
0.01
0.99
0
0.1
0.9
0.3
0.7
0.5
0.5
2
1
0.7
0.3
2
0.9
0.1
10
3 4 5
0.99
0.01
100
0.95
0.05
20
0.98
0.02
50
6 7
0.999
0.001
1000
0.998
0.002
500
0.995
0.005
200Dijagram Gumbelove verovatnoće
1. Linearna veza između standardizovane i originalne promenljive: X = u + α YG
2. Jednoznačna veza između standardizovane promenljive i funkcije raspodele: YG = –ln(–ln F))
Dijagrami verovatnoće
Ocena podobnosti raspodele
na dijagramu normalne verovatnoće:
z
x
Cs > 0
Cs = 0
Cs < 0
8.12.2014
27
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Q (
m3/s
)
Primer Sava – Sremska Mitrovica
originalni niz X
logaritmovani niz Y = log X
broj podataka 51 51
srednja vrednost 4187 3.6147
standardna devijacija 781.3 0.07936
koeficijent varijacije 0.187 0.022
koeficijent asimetrije 0.623 0.196
Primer
Proračun parametara raspodela
Normalna raspodela:
Log-normalna raspodela:
Gumbelova raspodela:
X Y = log X
broj podataka 51 51
srednja vrednost 4187 3.6147
standardna devijacija 781.3 0.07936
koeficijent asimetrije 0.623 0.196 /sm3.781
/sm4187
3
3
xS
x
07936.0
6147.3
yY
Y
S
y
/sm4.6093.78178.078.0
/sm38353.78145.0418745.0
3
3
x
x
S
Sxu
8.12.2014
28
Primer
Proračun parametara raspodela
Pirson III raspodela:
Log-Pirson III raspodela:
X Y = log X
broj podataka 51 51
srednja vrednost 4187 3.6147
standardna devijacija 781.3 0.07936
koeficijent asimetrije 0.623 0.196
/sm1678623.0
3.78124187
2
3.2432
623.03.781
2
31.10623.0
44
3
22
g
b
sx
x
sxx
sx
c
Sx
cS
c
804.2196.0
07936.026147.3
2
007771.02
196.007936.0
2
31.104196.0
4422
g
b
sy
y
syy
sy
c
Sy
cS
c
Primer
Proračun teorijskih raspodela
protok za F(x) = 0.95
Normalna raspodela:
Log-normalna raspodela:
/sm54723.781645.14187
645.1)95.0(95.0)(
3
XL TAB,
x
X
Szxx
zxF
/sm556210
74524.307936.0645.16147.3
645.1)95.0(95.0)(
3
XL TAB,
y
y
X
x
Szyy
zxF
8.12.2014
29
Primer
Proračun teorijskih raspodela
protok za F(x) = 0.95
Gumbelova raspodela:
Pirson III raspodela:
/sm56454.609970.23835
970.2)95.0lnln()95.0(95.0)(
3
yux
yxFX
/sm55953.781802.14187
802.1)623.0,95.0(
819.1)7.0,95.0(,797.1)6.0,95.0(95.0)(
3
TAB
xP
sxP
sxPsxPX
Skxx
cFk
cFkcFkxF
/sm55953.243098.161678
098.1695.0)(
3
XL
bg
b
g
ux
ux
xFX 1)10.311,.95,GAMMAINV(0
Primer
Proračun teorijskih raspodela
protok za F(x) = 0.95
Log-Pirson III raspodela:
/sm561710
74953.307936.0699.16147.3
699.1)196.0,95.0(
700.1)2.0,95.0(,673.1)1.0,95.0(95.0)(
3
TAB
y
yP
syP
syPsyPX
x
Skyy
cFk
cFkcFkxF
/sm561700777.066.1218041.2
66.12195.0)(
3
XL
bg
b
g
uy
uy
xFX 1)104.31,.95,GAMMAINV(0
8.12.2014
30
Primer
Sava – Sremska Mitrovica
Rezultati proračuna kvantila od 95%
Raspodela Protok sa F(x) = 0.95
(m3/s)
Normalna 5472
Log-normalna 5562
Gumbelova 5645
Pirson III 5595
Log-Pirson 3 5617
Primer
Sava – Sremska Mitrovica
Saglasnost empirijske i teorijske raspodele – test Kolmogorova-Smirnova
Dmax
N LN G P3 LP3
0.088 0.072 0.072 0.065 0.067
Dkr
N α = 10% α = 5% α = 2% α = 1%
51 0.171 0.190 0.213 0.228
8.12.2014
31
Primer
Sava – Sremska Mitrovica
izbor najbolje raspodele: kontrola osobina raspodela
originalni niz X
logaritmovani niz Y = log X
broj podataka 51 51
srednja vrednost 4187 3.6147
standardna devijacija 781.3 0.07936
koeficijent varijacije 0.187 0.022
koeficijent asimetrije 0.623 0.196
P3 LP3, možda LN
Primer
Sava – Sremska Mitrovica
izbor najbolje raspodele: saglasnost empirijske i teorijske raspodele
Dmax
N LN G P3 LP3
0.088 0.072 0.072 0.065 0.067
najbolje slaganje
8.12.2014
32
Primer
Sava – Sremska Mitrovica
izbor najbolje raspodele: vizuelna provera na papiru verovatnoće
0.9990.990.950.90.80.50.20.001 0.01 0.05 0.1
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
F(x)
x =
Q (
m3
/s)
N LN
G P3
LP3 emp
top related