oi1 dz2 2013

Rješavanje problema grafičkom i simpleks

metodom

Izradile: Ana Damijanić, Katarina Ferenčić & Andrija Novaković

Probleme maksimuma i minimuma najednostavije rješavamo pomoću grafičke metode, no često se koristi i simpleks metoda

Korištenjem tih metoda dobivamo najoptimalnije rješenje problema

Uvod

Riješite problem linearnoga programiranja grafičkom i simpleks metodom, ako je zadano:

max Z = 2x1 + 6x2 uz ograničenja: x1 + x2 ≤ 20 -x1 + 3x2 ≤ 6 3x1 - 4x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0 a) označite skup mogućih rješenja te ekstremne točke, b) izračunajte vrijednost funkcije cilja, c) interpretirajte rješenje d) interpretirajte vezu između grafičkog rješenja i iteracija simpleks

postupka prilikom rješavanja

Zadatak 1.

Grafička metoda

A) Skup mogućih rješenja označen je zelenom bojom. Ekstremne točke su A(0,2), B(4,0) i C(12,6)• B) Vrijednost funkcije cilja iznosi: Z(C)=60• C) Rješenje je jedinstveno, tj. optimalno rješenje dobiva se u točki C(12,6)• D) Prva iteracija simpleks metode ujedno predstavlja ishodište grafičke metode, drugom iteracijom dolazimo u točku A(0,2), a posljednjom iteracijom dolazimo do rješenja, odnodno točke C(12,6)

Rješenje grafičke metode

Tablica1

RED Z x1 x2 y1 y2 y3 cons.

0 1 -2 -6 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 0 20

2 0 -1 3 0 1 0 6

3 0 3 -4 0 0 1 12

Simpleks metoda 1/3

• Red2*1/3• Red2*2 + Red0• Red2*(-1/3) + Red1• Red2*4/3 + Red3

Z = 0x1 = 0x2 = 0

Ključni stupac Tablice1 je x2, a ključni redak Red2 Ključni element je 3 (označen crvenom bojom) pa

na tom mjestu moramo dobiti 1, a ostali elementi tog stupca moraju biti 0

U bazi su y1, y2, y3, a iz baze moramo izbaciti y2 Z=0, x1=x2=0 (ishodište)

Postupak

Simpleks metoda 2/3Tablica2

RED Z x1 x2 y1 y2 y3 cons.

0 1 -4 0 0 2 0 12

1 0 4/3 0 1 -1/3 0 18

2 0 -1/3 1 0 1/3 0 2

3 0 5/3 0 0 4/3 1 20

• Red3(Tablica2)*3/5• Red3(Tablica3)*1/3 + Red2(Tablica2)• Red3(Tablica3)*(-4/3) + Red1(Tablica2)• Red3(Tablica3)*4 + Red0(Tablica2)

Z = 12x1 = 0x2 = 2

Ključni stupac Tablice2 je x1, a ključni redak Red3 Ključni element je 5/3 pa na tom mjestu moramo

dobiti 1, a ostali elementi tog stupca moraju biti 0

U bazi su x2,y1,y3 a iz baze moramo izbaciti y3 Z=12, x1=0, x2=2; (A(0,2))

Postupak

Tablica3

RED Z x1 x2 y1 y2 y3 cons.

0 1 0 0 0 26/5 12/5 60

1 0 0 0 1 -7/5 -4/5 2

2 0 0 1 0 3/5 1/5 6

3 0 1 0 0 4/5 3/5 12

Simpleks metoda 3/3

Z = 60x1 = 12x2 = 6

Tablica3 prikazuje konačno rješenje U bazi se nalazi x1, x2, y1 Z=60, x1=12, x2=6; (C(12,6))

Rješenje simpleks metodom

Riješite problem linearnoga programiranja grafičkom metodom, ako je zadano:

min Z=x+2y x+2y ≥2 x-y+3 ≥0 x, y≥0 a) označite skup mogućih rješenja te ekstremne točke, b) izračunajte vrijednost funkcije cilja, c) interpretirajte rješenje.

Zadatak 2.

Grafička metoda

Rješenje Zadatka 2

Riješite problem linearnoga programiranja grafičkom metodom, ako je zadano:

max Z=x1+ x2 -x1+ x2≤1 x1-2 x2 ≤-2 2x1- x2 ≤4 x1, x2 ≥0 a) označite skup mogućih rješenja te ekstremne točke b) izračunajte vrijednost funkcije cilja, c) interpretirajte rješenje.

Zadatak 3.

Grafička metoda

A) Skup mogućih rješenja označen je zelenom

bojom. Ekstremne točke su A(0,1), B(10/3,8/3) i C(5,6)• B) Vrijednost funkcije cilja iznosi: Z(C)=11• C) Rješenje je jedinstveno, tj. optimalno rješenje je u točki C(5,6)

Rješenje Zadatka3

Riješite sljedeći problem grafičkom metodom, ako je zadano:

min Z=3x-4y x-y+2 ≥0 x-y≤2 a) označite skup mogućih rješenja te ekstremne točke b) izračunajte vrijednost funkcije cilja, c) interpretirajte rješenje.

Zadatak 4.

Grafička metoda

A) Skup mogućih rješenja označen je plavom bojom. Ekstremne točke su A(0,2), B(2,0)

B) Vrijednost funkcije cilja iznosi: Z(A)=-8• C) Rješenje je jedinstveno, tj. optimalno rješenje je u točki A(0,2). U toj točki postižemo negativnu dobit, odnosno

trošak

Rješenje Zadatka4

Ove metode korisne su za pronalaženje optimalnog rješenja na brz, jednostavan i efikasan način.

Zaključak