normalna raspodela
Post on 21-Jan-2016
134 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
12008/2009
Normalna raspodelaNormalna raspodela
22008/2009
Raspodela kontinuirane Raspodela kontinuirane verovatnoćeverovatnoće
BinomnaBinomna
HHiipergeometripergeometrijskajska
PoissonPoisson-ova-ova
Raspodele Raspodele verovatnoćeverovatnoće
Raspodela diskretne Raspodela diskretne verovatnoćeverovatnoće
NormalNormalnana
UniformUniformnana
EEksksponenponencciijjalalnana
Raspodele verovatnoćeRaspodele verovatnoće
32008/2009
Normalna gustina raspodele verovatnoće:Normalna gustina raspodele verovatnoće:2
)(21
2
1)(
x
exf
Normalna raspodelaNormalna raspodela
srednja vrednostsrednja vrednost standardna devijacijastandardna devijacija
42008/2009
Osobine normalne raspodeleOsobine normalne raspodele
zvonastog” oblikazvonastog” oblika
simetričnasimetrična
unimodalnaunimodalna
asimptotskaasimptotska
srednja vrednost, medijana i srednja vrednost, medijana i modus su jednakimodus su jednaki
Raspodelu definišu srednja Raspodelu definišu srednja vrednostvrednost, , ii standard standardnana devidevijjaacijacija, , ..
Srednja vrednost kontroliše Srednja vrednost kontroliše centar, a standardna devijacija centar, a standardna devijacija širinuširinu
52008/2009
Osobine normalne raspodeleOsobine normalne raspodele
Standardna devijacija je Standardna devijacija je rastojanje od srednje rastojanje od srednje vrednosti do tačke gde vrednosti do tačke gde kriva menja oblik od kriva menja oblik od konkavne na dole u konkavne na dole u konkavnu na gorekonkavnu na gore
62008/2009
Mnogo normalnih raspodelaMnogo normalnih raspodela
Promenom parametaraPromenom parametara μμ ii σσ, , dobijaju se različite normalne raspodeledobijaju se različite normalne raspodele
Postoji beskonačan broj normalnih raspodelaPostoji beskonačan broj normalnih raspodela
72008/2009
Primeri podataka sa normalnom raspodelomPrimeri podataka sa normalnom raspodelom
očekivani životni vek osoba u populacijiočekivani životni vek osoba u populaciji visinavisina težinatežina IQIQ visina platavisina plata parametri vremenske prognozeparametri vremenske prognoze podaci iz proizvodnjepodaci iz proizvodnje društvenih nauka i dr.društvenih nauka i dr.
82008/2009
Standardizovano odstupanje (z-score)Standardizovano odstupanje (z-score)
Odstupanje posmatrane vrednosti od srednje vrednosti izraženo u Odstupanje posmatrane vrednosti od srednje vrednosti izraženo u broju standardnih devijacijabroju standardnih devijacija
z-score je razlika između posmatrane vrednosti i srednje vrednosti z-score je razlika između posmatrane vrednosti i srednje vrednosti podeljena sa standardnom devijacijompodeljena sa standardnom devijacijom
na primer: ako je z = 2, vrednost je udaljena 2 na primer: ako je z = 2, vrednost je udaljena 2 standardne devijacije od srednje vrednostistandardne devijacije od srednje vrednosti
AAko je -3,0 >ko je -3,0 > z-score > z-score > 33,,0 0 vrednost se smatra ekstremnomvrednost se smatra ekstremnom
Sd
xxz
92008/2009
Z-score - primerZ-score - primer
Prosečan unos proteina 77 g/dan, Sd = 8 g, N = 500Prosečan unos proteina 77 g/dan, Sd = 8 g, N = 500 Gde se nalazi osoba koja unosi 93 g/dan ?Gde se nalazi osoba koja unosi 93 g/dan ?
28
16
8
7793z
Osoba koja unosi 93 g/dan ima vrednost koja je za 2 Sd Osoba koja unosi 93 g/dan ima vrednost koja je za 2 Sd veća od prosečnog unosa proteinaveća od prosečnog unosa proteina
Negativan z-score znači da je vrednost manja od srednje Negativan z-score znači da je vrednost manja od srednje vrednostivrednosti
102008/2009
Standardizovana normalna raspodelaStandardizovana normalna raspodela
• standardizovana normalna kriva je simetrična oko nulestandardizovana normalna kriva je simetrična oko nule• najveći deo površine ispod krive leži izmedju -3z i 3znajveći deo površine ispod krive leži izmedju -3z i 3z• površina ispod standardne normalne krive je 1površina ispod standardne normalne krive je 1• krajevi krive se asimptotski približavaju x-osikrajevi krive se asimptotski približavaju x-osi
standardizovana standardizovana normalna krivanormalna kriva
• z-score je normalno distribuiran sa srednjom vrednošću z-score je normalno distribuiran sa srednjom vrednošću 0 0 ii standardstandardnomnom devi devijjaacciijjoomm 1 1
• standardstandardizovanaizovana normal normalnana raspodelaraspodela
= 0 = 1
≠ 0 ≠ 1
112008/2009
PrimerPrimer
Ako je varijabla x normalno distribuirana sa Ako je varijabla x normalno distribuirana sa srednjom srednjom vrednošću vrednošću μμ = = 55 i i standardnom devijacijom standardnom devijacijom σσ = = 22, z , z vrednost za vrednost za x = 6,2x = 6,2 je je
Ovo znači da se vrednost x = 6,2 nalazi 0,6 Ovo znači da se vrednost x = 6,2 nalazi 0,6 standardnih devijacija standardnih devijacija ((0,60,6 in inkkremenremenaattaa o odd 22 jedinicejedinice) ) iznad srednje vrednostiiznad srednje vrednosti
6,02
52,6xz
122008/2009
PrimerPrimer
6,02
52,6xz
NormalNormalna raspodelana raspodela StandardizStandardizovanaovana nnormalormalna raspodelana raspodela
6,2 x 0,6
σσ = 2 = 2 σσzz = 1 = 1
μμ = 5 = 5 μμzz = 0 = 0
z
132008/2009
PrimerPrimer
25,12
55,7xz25,1
2
55,2xz
Normalna raspodela StandardizStandardizovanaovana nnormalormalna raspodelana raspodela
xx zz
σσ = 2 = 2 σσzz = 1 = 1
μμ = 5 = 5 μμzz = 0 = 0
2,52,5 7,57,5 -1,25-1,25 1,251,25
142008/2009
Nalaženje verovatnoćeNalaženje verovatnoće
Verovatnoća je Verovatnoća je površina ispod površina ispod krivekrive!!
cc dd xx
ff((xx))
?P c X d
152008/2009
Verovatnoća kao površina ispod kriveVerovatnoća kao površina ispod krive
Ukupna površina ispod krive jeUkupna površina ispod krive je 1 1,,00
Raspodela je simetričnaRaspodela je simetrična
f(f(xx))
xxμμ
00,,5500,,55
1,0)xP(
0,5)xP(μ 0,5μ)xP(
162008/2009
Tabela standardizovane normalne raspodeleTabela standardizovane normalne raspodele
Tablica standardizovane normalne raspodele daje Tablica standardizovane normalne raspodele daje verovatnoću, odnosno površinu za vrednosti verovatnoću, odnosno površinu za vrednosti manje odmanje od željene vrednosti z (od - željene vrednosti z (od - ∞ do z)∞ do z)
primerprimer: :
P(P(zz < 2 < 2,,00) = 000) = 0,,97729772 0.97720.9772
z0 22,,0000
172008/2009
Tabela standardne normalne raspodeleTabela standardne normalne raspodele
Verovatnoća/površinaVerovatnoća/površina za za vrednosti manje z manje od vrednosti manje z manje od željene vrednosti zželjene vrednosti z
0,0,97729772
2.0P(P(zz < 2 < 2,,00) = 000) = 0,,97729772
U U redovimaredovima su su vrednosti z do prvog vrednosti z do prvog decimalnog mestadecimalnog mesta
U U kolonamakolonama su vrednosti z na su vrednosti z na drugom decimalnom mestudrugom decimalnom mestu
22,,00
.
.
.
Z 0Z 0,,00 000 0,,01 001 0,,02 …02 …
00,,00
00,,11
182008/2009
Procedura za određivanje verovatnoćeProcedura za određivanje verovatnoće
Za određivanje Za određivanje P(P(xx < b) < b) kada je varijabla x normalno kada je varijabla x normalno distribuirana:distribuirana: varijabla x se prevede u zvarijabla x se prevede u z koristi se tabela standardne normalne raspodele koristi se tabela standardne normalne raspodele
8,6
xx
88,,00
Primer:Primer:
Odrediti P(x < 8,6), ako je varijabla Odrediti P(x < 8,6), ako je varijabla x normalno distribuirana sa x normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5standardnom devijacijom 2,5
192008/2009
Određivanje verovatnoće levo od z - PrimerOdređivanje verovatnoće levo od z - Primer
Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5. standardnom devijacijom 2,5. Ako je potrebno 8,6 poena da se ispit položi, koji Ako je potrebno 8,6 poena da se ispit položi, koji
procenat studenata nije položio ispit?procenat studenata nije položio ispit? Ako je ispit je polagalo 250 studenata, koji broj Ako je ispit je polagalo 250 studenata, koji broj
studenata nije položio ispit?studenata nije položio ispit?
1. Izračunati vrednost z1. Izračunati vrednost z 2. Odrediti površinu levo od z i izraziti je u procentima2. Odrediti površinu levo od z i izraziti je u procentima 3. Izračunati broj studenata iz dobijenog procenta3. Izračunati broj studenata iz dobijenog procenta
202008/2009
Određivanje površine za z < 0,64Određivanje površine za z < 0,64
0,642,5
8,08,6
σ
μxz
zz
00,64,64 00
xx
88,,66 88
μμ = 8 = 8 σσ = = 2,52,5
μμ = 0= 0σσ = 1 = 1
P(P(xx < 8 < 8,,6)6) P(P(zz < 0 < 0,64,64))
212008/2009
Površina za zPovršina za z << 0 0,64,64))
0,73890,7389
zz
00,64,64
0,00
P(P(xx < 8 < 8,,6)6) ) = ) = P(P(zz < 0 < 0,64,64)) = = 0,73890,7389
ZZ ,,0000 ........
00,,00 0,0,50005000 ........ 0,0,50805080
0,0,53985398 ........
........ ........ ........ ........
00,6,6 0,72570,7257 ........ 0,73890,7389
,,0044
00,,11 0,0,54785478
Tabela standardizovane Tabela standardizovane normalne raspodelenormalne raspodele
73,89% studenata ima manje od 8,6 poena73,89% studenata ima manje od 8,6 poena
185 (250 x 0,7389) studenata ima manje od 8,6 poena 185 (250 x 0,7389) studenata ima manje od 8,6 poena
222008/2009
Površina i.e. verovatnoća Površina i.e. verovatnoća
Koja je verovatnoća da student ima tačno Koja je verovatnoća da student ima tačno
8,6 poena?8,6 poena?
P(P(xx == 8 8,,6)6) ) = ) = P(P(zz == 0 0,64,64)) = = 00
232008/2009
Određivanje površine desno od zOdređivanje površine desno od z
Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijomvrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,52,5. .
OdreditiOdrediti P(P(xx >> 8 8,,6)6)
xx
88,,66
88,,00
242008/2009
P(P(xx > 8 > 8,,6) = P(6) = P(zz > 0 > 0,64,64) ) = = 11,,0 – 0 – PP((zz ≤≤ 0 0,64,64)) == 11,,0 – 00 – 0,7389,7389 = 0 = 0,2611,2611
Određivanje verovatnoće desno od zOdređivanje verovatnoće desno od z
Z
00,64,64 00
Z
00,64,64
00,7389,7389
00
11,,000000 11,,0 – 00 – 0,7389,7389 = = 0,26110,2611
26,11% studenata ima više od 8,6 poena26,11% studenata ima više od 8,6 poena
65 (250 x 0,2611) studenata ima više od 8,6 poena 65 (250 x 0,2611) studenata ima više od 8,6 poena
252008/2009
Određivanje površine između dve vrednosti zOdređivanje površine između dve vrednosti z
P(8 < P(8 < xx < 8 < 8,,6)6)
= P(0 < = P(0 < zz < 0 < 0,64,64))
02,5
88
σ
μxz
0,642,5
88,6
σ
μxz
Izračunati vrednost z Izračunati vrednost z :
Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijomvrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,52,5. .
OdreditiOdrediti P(P(8,0 < x8,0 < x << 8 8,,6)6)
zz00,64,64 00
x88,,66 88
262008/2009
RešenjeRešenje: : OdređivanjeOdređivanje P(0 < P(0 < zz < 0 < 0,,12)12)
P(8 < X < 8.6)P(8 < X < 8.6) = P(0 < z < 0,64) = = P(0 < z < 0,64) =
= P(z < 0,64) – P(z = P(z < 0,64) – P(z ≤ 0) =≤ 0) =
= 0,7389 – 0,500 = = 0,7389 – 0,500 = 0,23890,2389
zz
00,64,64
00,2389,2389
00,,0000
00,,50005000
ZZ ,,0000 ........
00,,00 0,0,50005000 ........ 0,0,50805080
0,0,53985398 ........
........ ........ ........ ........
00,6,6 0,72570,7257 ........ 0,73890,7389
,,0044
00,,11 0,0,54785478
Tabela standardizovane Tabela standardizovane normalne raspodelenormalne raspodele
272008/2009
Važne površine ispod kriveVažne površine ispod krive
Površina između -1z i +1z = 0,6826 = 68,3%Površina između -1z i +1z = 0,6826 = 68,3%
Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -1z i +1z : Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -1z i +1z :
P = 0,6826 = 68,3%P = 0,6826 = 68,3%
282008/2009
Važne površine ispod kriveVažne površine ispod krive
U rasponu U rasponu μμ ± 1 ± 1σσ jeje
6868,3,3% % površine ispod krivepovršine ispod krive
68,3% svih vrednosti68,3% svih vrednosti
f(f(xx))
xxμμ μμ+1+1σσμμ-1-1σσ
σσσσ
6868,26,26%%
292008/2009
Važne površine ispod kriveVažne površine ispod krive
Površina između -2z i +2z = Površina između -2z i +2z = 0,9544 = 95,4%0,9544 = 95,4%
Verovatnoća da se varijabla x Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -2z i +2z : nađe u granicama -2z i +2z : P = 0,9544 = 95,4%P = 0,9544 = 95,4%
Površina između -3z i +3z = Površina između -3z i +3z = 0,9974 = 99,7%0,9974 = 99,7%
Verovatnoća da se varijabla x Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -3z i +3z : nađe u granicama -3z i +3z : P = 0,9974 = 99,7%P = 0,9974 = 99,7%
302008/2009
Važne površine ispod kriveVažne površine ispod krive
xxμ
22σσ 22σσ
95.44%95.44%
μμ++22σσμμ--22σσxx
μ
33σσ 33σσ
99.73%99.73%
μμ--33σσ μμ++33σσ
U rasponu U rasponu μμ ± ± 22σσ jeje
95,495,4% % površine ispod krivepovršine ispod krive
95,4% svih vrednosti95,4% svih vrednosti
U rasponu U rasponu μμ ± ± 33σσ jeje
99,799,7% % površine ispod krivepovršine ispod krive
99,7% svih vrednosti99,7% svih vrednosti
312008/2009
Određivanje vrednosti x iz poznate verovatnoćeOdređivanje vrednosti x iz poznate verovatnoće:: pronaći vrednost z za poznatu verovatnoću pronaći vrednost z za poznatu verovatnoću
(površinu)(površinu) konvertovati vrednost z u vrednost xkonvertovati vrednost z u vrednost x
Određivanje vrednosti x iz verovatnoćeOdređivanje vrednosti x iz verovatnoće
zSdx x
zσμx
322008/2009
Određivanje vrednosti x iz verovatnoćeOdređivanje vrednosti x iz verovatnoće
xx?88,,00
00,,20002000
Z? 0
Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijomvrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,52,5. .
OdreditiOdrediti vrednost x tako da je vrednost x tako da je 20% svih vrednosti20% svih vrednosti manje manje od x (P = 0,2)od x (P = 0,2)
332008/2009
Određivanje vrednosti x iz verovatnoćeOdređivanje vrednosti x iz verovatnoće
Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5. standardnom devijacijom 2,5. Koji je granični broj poena koji ima 20% studenata sa Koji je granični broj poena koji ima 20% studenata sa
najmanjim brojem poena?najmanjim brojem poena?
1. Izračunati vrednost z iz date verovatnoće/površine1. Izračunati vrednost z iz date verovatnoće/površine 2. Izračunati vrednost x2. Izračunati vrednost x
342008/2009
Nalaženje vrednosti z iz tabeleNalaženje vrednosti z iz tabele
20% 20% površine (P = 0,2) u površine (P = 0,2) u levom delu raspodele levom delu raspodele odgovara vrednosti odgovara vrednosti z = - 0,84z = - 0,84
ZZ ,,0303
-0.9-0.9 ,,17621762 ,,17361736
,,20332033
-0.7-0.7 ,,23272327 ,,22962296
,,0404
-0.8-0.8 ,,20052005
Tabela standardizovane normalne Tabela standardizovane normalne raspodeleraspodele
,,0505
,,17111711
,,19771977
,,22662266
……
……
……
……
xx? 8.08.0
00,,20002000
Z-0-0,,8484 0
1. 1. Pronalaženje vrednost Pronalaženje vrednost zz za poznatu verovatnoću za poznatu verovatnoću
352008/2009
2. 2. Konvertovanje vrednosti Konvertovanje vrednosti zz u vrednost u vrednost xx
Određivanje vrednosti xOdređivanje vrednosti x
9,55,2)84,0(0,8 zSdxx
U raspodeli sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom U raspodeli sa srednjom vrednošću 8,0 i standardnom devijacijom 2,5 , 20% vrednosti je manje od 5,9devijacijom 2,5 , 20% vrednosti je manje od 5,9
20% studenata ima manje od 5,9 poena20% studenata ima manje od 5,9 poena
362008/2009
Domaći zadatakDomaći zadatak
Prosečna težina beba rođenih u jednoj bolnici je 3,25 kg sa Prosečna težina beba rođenih u jednoj bolnici je 3,25 kg sa standardnom devijacijom od 0,75 kg. Raspodela težina 10000 beba standardnom devijacijom od 0,75 kg. Raspodela težina 10000 beba rođenih tokom 10 godina u toj bolnici je normalna. Izračunati sledeće:rođenih tokom 10 godina u toj bolnici je normalna. Izračunati sledeće:
a.a. Verovatnoću da se u toj bolnici rodi beba koja ima težinu između 3 i Verovatnoću da se u toj bolnici rodi beba koja ima težinu između 3 i 3,5 kg?3,5 kg?
b.b. Koji procenat beba ima težinu najmanje 4 kg?Koji procenat beba ima težinu najmanje 4 kg?
c.c. Koliko je dečaka rođeno sa težinom najmanje 3.5 kg? (računati kao Koliko je dečaka rođeno sa težinom najmanje 3.5 kg? (računati kao da je rođen podjednak broj dečaka i devojčica)da je rođen podjednak broj dečaka i devojčica)
d.d. Bebe sa malom težinom zahtevaju specijalnu negu. Ako je bolnica Bebe sa malom težinom zahtevaju specijalnu negu. Ako je bolnica definisala kao kritično malu težine u prvom kvintilu, izračunati koja je definisala kao kritično malu težine u prvom kvintilu, izračunati koja je maksimalna težina na rođenju koja će bebu kvalifikovati za specijalnu maksimalna težina na rođenju koja će bebu kvalifikovati za specijalnu negu (inkubator i sl.)negu (inkubator i sl.)
top related