nisa_kepadatan mobil jalan tol

MODEL LALULINTAS JALAN TOL DALAMPERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

Nisa Miftachurohmah (1213201026)

Pascasarjana MatematikaInstitut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

December 18, 2013

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 1 / 10

Outline

Outline

1 Pendahuluan

2 Pembahasan

3 Referensi

4 Penutup

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 2 / 10

Outline

Outline

1 Pendahuluan

2 Pembahasan

3 Referensi

4 Penutup

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 2 / 10

Outline

Outline

1 Pendahuluan

2 Pembahasan

3 Referensi

4 Penutup

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 2 / 10

Outline

Outline

1 Pendahuluan

2 Pembahasan

3 Referensi

4 Penutup

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 2 / 10

Pendahuluan

Pendahuluan

LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan

AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama

Mobil tidak saling mendahului

Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak

Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10

Pendahuluan

Pendahuluan

LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan

AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama

Mobil tidak saling mendahului

Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak

Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10

Pendahuluan

Pendahuluan

LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan

AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama

Mobil tidak saling mendahului

Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak

Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10

Pendahuluan

Pendahuluan

LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan

AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama

Mobil tidak saling mendahului

Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak

Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10

Pendahuluan

Pendahuluan

LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan

AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama

Mobil tidak saling mendahului

Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak

Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10

Pendahuluan

Pendahuluan

LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan

AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama

Mobil tidak saling mendahului

Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak

Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10

Pendahuluan

Pendahuluan

LALULINTAS JALANTingkat mobilitas masyarakat kini semakin tinggi. Hal ini dapat terlihat pada banyaknyavolume kendaraan yang terus meningkat, tidak hanya per tahun atau per bulan, tetapi perharinya. Dengan terus meningkatnya jumlah kendaraan yang melintas di jalan makaterdapat masalah lalulintas. Seperti, kemacetan dan kecelakaan

AsumsiPanjang setiap mobil dan jarak antar mobil adalah sama

Mobil tidak saling mendahului

Yang digunakan hanya panjang jalan, lebarnya tidak

Tidak terdapat jalan lain yang memotong, selain jalan tersebut

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 3 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Parameters : jarak tempuh mobil

x : posisi mobil

t : Waktu

v : Kecepatan mobil

ρ : Kepadatan lalulintas

L : Panjang mobil

d : Jarak antar mobil

q : Arus lalulintas

N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Parameters : jarak tempuh mobil

x : posisi mobil

t : Waktu

v : Kecepatan mobil

ρ : Kepadatan lalulintas

L : Panjang mobil

d : Jarak antar mobil

q : Arus lalulintas

N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Parameters : jarak tempuh mobil

x : posisi mobil

t : Waktu

v : Kecepatan mobil

ρ : Kepadatan lalulintas

L : Panjang mobil

d : Jarak antar mobil

q : Arus lalulintas

N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Parameters : jarak tempuh mobil

x : posisi mobil

t : Waktu

v : Kecepatan mobil

ρ : Kepadatan lalulintas

L : Panjang mobil

d : Jarak antar mobil

q : Arus lalulintas

N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Parameters : jarak tempuh mobil

x : posisi mobil

t : Waktu

v : Kecepatan mobil

ρ : Kepadatan lalulintas

L : Panjang mobil

d : Jarak antar mobil

q : Arus lalulintas

N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Parameters : jarak tempuh mobil

x : posisi mobil

t : Waktu

v : Kecepatan mobil

ρ : Kepadatan lalulintas

L : Panjang mobil

d : Jarak antar mobil

q : Arus lalulintas

N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Parameters : jarak tempuh mobil

x : posisi mobil

t : Waktu

v : Kecepatan mobil

ρ : Kepadatan lalulintas

L : Panjang mobil

d : Jarak antar mobil

q : Arus lalulintas

N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Parameters : jarak tempuh mobil

x : posisi mobil

t : Waktu

v : Kecepatan mobil

ρ : Kepadatan lalulintas

L : Panjang mobil

d : Jarak antar mobil

q : Arus lalulintas

N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Parameters : jarak tempuh mobil

x : posisi mobil

t : Waktu

v : Kecepatan mobil

ρ : Kepadatan lalulintas

L : Panjang mobil

d : Jarak antar mobil

q : Arus lalulintas

N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Parameters : jarak tempuh mobil

x : posisi mobil

t : Waktu

v : Kecepatan mobil

ρ : Kepadatan lalulintas

L : Panjang mobil

d : Jarak antar mobil

q : Arus lalulintas

N(t) : Jumlah mobil di waktu tertentu

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 4 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaKecepatan(v )v = ds

dtKecepatan sesaat, kecepatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:v(x , t)

Kepadatan Lalulintas (ρ)ρ = 1

L+dKepadatan sesaat, kepadatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:ρ(x , t)

Arus Lalulintas (q)q = ρ.vArus sesaat, arus di posisi x pada saat t, dapat ditulis:q(x , t) = ρ(x , t).v(x , t)

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 5 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaKecepatan(v )v = ds

dtKecepatan sesaat, kecepatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:v(x , t)

Kepadatan Lalulintas (ρ)ρ = 1

L+dKepadatan sesaat, kepadatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:ρ(x , t)

Arus Lalulintas (q)q = ρ.vArus sesaat, arus di posisi x pada saat t, dapat ditulis:q(x , t) = ρ(x , t).v(x , t)

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 5 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaKecepatan(v )v = ds

dtKecepatan sesaat, kecepatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:v(x , t)

Kepadatan Lalulintas (ρ)ρ = 1

L+dKepadatan sesaat, kepadatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:ρ(x , t)

Arus Lalulintas (q)q = ρ.vArus sesaat, arus di posisi x pada saat t, dapat ditulis:q(x , t) = ρ(x , t).v(x , t)

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 5 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaKecepatan(v )v = ds

dtKecepatan sesaat, kecepatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:v(x , t)

Kepadatan Lalulintas (ρ)ρ = 1

L+dKepadatan sesaat, kepadatan di posisi x pada saat t, dapat ditulis:ρ(x , t)

Arus Lalulintas (q)q = ρ.vArus sesaat, arus di posisi x pada saat t, dapat ditulis:q(x , t) = ρ(x , t).v(x , t)

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 5 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaJumlah mobil yang melewati interval jalan pada posisi x = a dan x = bN =

∫ ba ρ(x , t)dx

Laju perubahan jumlah kendaraan terhadap satuan waktuN(t1)− N(t0) =

∫ t1t0

q(a, t)dt −∫ t1

t0q(b, t)dt =

∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt

karena t0 tidak tergantung pada t1 maka dapat dilakukan penurunan terhadap t1dN(t1)

dt1= d

dt1

∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt

dN(t1)dt1

= q(a, t1)− q(b, t1)

Dari persamaan diatas, makadN(t)

dt = ddt

∫ ba ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(b, t)

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 6 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaJumlah mobil yang melewati interval jalan pada posisi x = a dan x = bN =

∫ ba ρ(x , t)dx

Laju perubahan jumlah kendaraan terhadap satuan waktuN(t1)− N(t0) =

∫ t1t0

q(a, t)dt −∫ t1

t0q(b, t)dt =

∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt

karena t0 tidak tergantung pada t1 maka dapat dilakukan penurunan terhadap t1dN(t1)

dt1= d

dt1

∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt

dN(t1)dt1

= q(a, t1)− q(b, t1)

Dari persamaan diatas, makadN(t)

dt = ddt

∫ ba ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(b, t)

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 6 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaJumlah mobil yang melewati interval jalan pada posisi x = a dan x = bN =

∫ ba ρ(x , t)dx

Laju perubahan jumlah kendaraan terhadap satuan waktuN(t1)− N(t0) =

∫ t1t0

q(a, t)dt −∫ t1

t0q(b, t)dt =

∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt

karena t0 tidak tergantung pada t1 maka dapat dilakukan penurunan terhadap t1dN(t1)

dt1= d

dt1

∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt

dN(t1)dt1

= q(a, t1)− q(b, t1)

Dari persamaan diatas, makadN(t)

dt = ddt

∫ ba ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(b, t)

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 6 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaJumlah mobil yang melewati interval jalan pada posisi x = a dan x = bN =

∫ ba ρ(x , t)dx

Laju perubahan jumlah kendaraan terhadap satuan waktuN(t1)− N(t0) =

∫ t1t0

q(a, t)dt −∫ t1

t0q(b, t)dt =

∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt

karena t0 tidak tergantung pada t1 maka dapat dilakukan penurunan terhadap t1dN(t1)

dt1= d

dt1

∫ t1t0(q(a, t)− q(b, t))dt

dN(t1)dt1

= q(a, t1)− q(b, t1)

Dari persamaan diatas, makadN(t)

dt = ddt

∫ ba ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(b, t)

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 6 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaInterval jarak posisi x = a dan x = b, maka x = b juga dapat dinyatakan x = a +4a∂∂t

∫ a+4aa ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(a +4a, t)

Memanipulasi persamaan di atas dengan aturan kalkulus menggunakan notasi4,sehinggalim4a→0

∂∂t

1−4a

∫ a+4aa ρ(x , t)dx = lim4a→0

q(a,t)−q(a+4a,t)−4a

− ∂∂t ρ(x , t) = ( ∂

∂a )q(a, t)karena a = x maka dapat dinyatakan juga sebagai− ∂∂t ρ(x , t) = ( ∂

∂x )q(x , t)sehingga dari persamaan di atas maka dapat menunjukkan model hubungan antarakepadatan (ρ) dengan arus (q) lalu lintas.

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 7 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaInterval jarak posisi x = a dan x = b, maka x = b juga dapat dinyatakan x = a +4a∂∂t

∫ a+4aa ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(a +4a, t)

Memanipulasi persamaan di atas dengan aturan kalkulus menggunakan notasi4,sehinggalim4a→0

∂∂t

1−4a

∫ a+4aa ρ(x , t)dx = lim4a→0

q(a,t)−q(a+4a,t)−4a

− ∂∂t ρ(x , t) = ( ∂

∂a )q(a, t)karena a = x maka dapat dinyatakan juga sebagai− ∂∂t ρ(x , t) = ( ∂

∂x )q(x , t)sehingga dari persamaan di atas maka dapat menunjukkan model hubungan antarakepadatan (ρ) dengan arus (q) lalu lintas.

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 7 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaInterval jarak posisi x = a dan x = b, maka x = b juga dapat dinyatakan x = a +4a∂∂t

∫ a+4aa ρ(x , t)dx = q(a, t)− q(a +4a, t)

Memanipulasi persamaan di atas dengan aturan kalkulus menggunakan notasi4,sehinggalim4a→0

∂∂t

1−4a

∫ a+4aa ρ(x , t)dx = lim4a→0

q(a,t)−q(a+4a,t)−4a

− ∂∂t ρ(x , t) = ( ∂

∂a )q(a, t)karena a = x maka dapat dinyatakan juga sebagai− ∂∂t ρ(x , t) = ( ∂

∂x )q(x , t)sehingga dari persamaan di atas maka dapat menunjukkan model hubungan antarakepadatan (ρ) dengan arus (q) lalu lintas.

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 7 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaHubungan antara kepadatan dan arus lalu lintas, dengan asumsi jumlah yang tetap kedalam bentuk PD Parsial∂ρ(x,t)∂t + ∂q(x,t)

∂x = 0dapat juga ditulis dalam bentuk sederhana∂ρ∂t + ∂q

∂x = 0∂ρ∂t + ∂(ρ.v)

∂x = 0dari persamaan tersebut dapat digunakan untuk memprediksi kepadatan yang akandatang, dengan mengetahui kepadatan dan kecepatan mula-mula.

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 8 / 10

Pembahasan

Pembahasan

Model MatematikaHubungan antara kepadatan dan arus lalu lintas, dengan asumsi jumlah yang tetap kedalam bentuk PD Parsial∂ρ(x,t)∂t + ∂q(x,t)

∂x = 0dapat juga ditulis dalam bentuk sederhana∂ρ∂t + ∂q

∂x = 0∂ρ∂t + ∂(ρ.v)

∂x = 0dari persamaan tersebut dapat digunakan untuk memprediksi kepadatan yang akandatang, dengan mengetahui kepadatan dan kecepatan mula-mula.

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 8 / 10

Referensi

Referensi

Wikipedia The Free Encyclopedia, 18 Desember 2013, Traffic Flow, (diakses Hari Rabu, 18Desember 2013 pukul 00:14 WIB) http://en.wikipedia.org/wiki/Traffic-flow

Sudrajat, Tony, S dan Asropi. (1997). ”MODEL JALAN LALULINTAS JALAN TOL DALAMPERSAMAAN DIFERENDIAL PARSIAL”. Artikel, Jurusan Matematika FMIPAUniversitas Padjadjaran .

Iswanto, RJ. (2002). Pemodelan Matematika Aplikasi dan Terapannya. Graha Ilmu:Yogyakarta.

Tim Penyusun Buku Ajar Kalkulus Jurusan Matematika FMIPA ITS. (2012). Seri Buku Ajar- Kalkulus 1, Rev. 4. ITS Press: Surabaya.

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 9 / 10

Penutup

Penutup

Nisa Miftachurohmah (1213201026) (Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya)Pemodelan Matematika December 18, 2013 10 / 10