mukavemet ii

1- Yapı yönetmeliklerindeki deformasyon hükümleri

2- Eğilme Momenti ile Şekil değiştirme arasındaki ilişki

3- Elastik Eğri (EE) tanımı, Diferansiyel Denkleminin çıkartılması ve sınır koşulları

4- Örnek problemler – Üçüncü mertebeden diferansiyel denklem yolu ile çözüm

– Dördüncü mertebeden diferansiyel denklem yolu ile çözüm

– İkinci mertebeden diferansiyel denklem yolu ile çözüm

– Yük veya yük şiddetinde değişme olması hali ile ilgili problemler

– Hiperstatik problemlerin çözümünde EE’nin kullanılması

Çalışma soruları

ELASTİK EĞRİ

DALGALANAN KÖPRÜDE ASFALTTA SÖRF

6 KATLI BA BİNANIN DEPREM TESTİ

13 - BETONARME ELEMANLARDA KULLANILABİLİRLİK

1- YAPI

YÖNETMELİKLERİNDE

DEFORMASYONLA

İLGİLİ HÜKÜMLER

y

x

aL

AB C

Pq

y

x

aL

A

B

C

y

x

aL

A

B

C

L

B

x

y

A

EI

L

B x

y

A EI

Büküm noktası

+

SS

+N N

+

MM

MM

--

2- ŞEKİL DEĞİŞTİRME - MOMENT

3- ELASTİK EĞRİNİN İNTEGRASYON YOLU İLE BULUNMASI

y , v

x , u

qS

u=0

M

MΘ

P

v:Sehim

Elastik Eğri

dv

dx

ρ

tanθ=θ:Eğim

3/ 2

2

1 1,

1

v Mv

EIv

2

2,

d v MEI v M

dx EI

y

dS dMq S

dx dx

Amaç: y eksenine göre simetrik kesite sahip kirişlerde yalnızca Momentten oluşan eğim ve sehimin bulunması

EI v M

dMEI v S

dx

2

2

d M dSEI v q x

dx dx

İkinci mertebeden diferansiyel denklem

Üçüncü mertebeden diferansiyel denklem

Dördüncü mertebeden diferansiyel

denklem

Sınır koşulları

a

V

x

0v a

0a

a

V

x

a

V

x

P

C

0M a

M a C

0v a

Ankestre uçta çökme ve

dönme yoktur.

Mafsallı uçta çökme ve

moment yoktur.

Serbest uçtaki moment ve

kesme kuvveti etkiyen yüke

eşit olmalıdır.

S a PDinamik

Sınır

Koşulları

Geometrik

Sınır

Koşulları

dMEI v S

dx

1

2

1 2

3 2

1 2 3

2

6 2

EI v P

EI v Px C

PxEI v C x C

Px xEI v C C x C

3( 0) 0 0v x C

2 2

3 2 3

2 2

6 2 3

B

B

P x PLv Lx

EI EI

P x Lx PLv v

EI EI

2( 0) 0 0v x C

1( 0)M x PL C PL

y

x

L

A

P

B

P

PL

SA=-P

MA=-PL

ÖRNEK 1 Şekilde gösterilen konsol kirişin elastik eğri denklemini üçüncü mertebeden diferansiyel denklem kullanarak bulunuz. B noktasındaki eğim ve sehimi hesaplayınız.

+

SS

+N N

+

MM

x

L-x

P

B

S=-P

Sınır Koşulları

y

x

L

A

P

BBv

B

7

y

x

L

A

q

B

qL

qL²/2

MA=-qL²/2

SA=-qL

ÖRNEK 2 Şekilde gösterilen konsol kirişin elastik eğri denklemini dördüncücü mertebeden diferansiyel denklem kullanarak bulunuz. B noktasındaki eğim ve sehimi hesaplayınız.

+

SS

+N N

+

MM

EI v q

1

2

1 2

3 2

1 2 3

4 3 2

1 2 3 4

2

6 2

24 6 2

EI v q

EI v qx C

xEI v q C x C

x xEI v q C C x C

x x xEI v q C C C x C

3( 0) 0 0v x C

1( 0)S x qL C qL

2 2

2( 0)2 2

L LM x q C q

4( 0) 0 0v x C

Sınır Koşulları

2 33 2

2 44 3 2

6 2 2 6

24 6 4 8

B

B

q qL qL qLEI v x x x

EI

q qL qL qLEI v x x x v

EI

y

x

L

A

BBv

B

y

x

q

L

A B

2

q L

2

q L

ÖRNEK 3 Şekilde gösterilen basit kirişin elastik eğri denklemini ikinci mertebeden diferansiyel denklem kullanarak bulunuz. En büyük sehimin yerini ve değerini hesaplayınız.

Sınır Koşulları

y

x

q

x

A

2

q L ( )2

q LS x qx

2

( )2 2

q x q LM x x

EI v M

2

32

1

43

1 2

2 2

6 4

24 12

qx qLEI v x

qx qLEI v x C

qx qLEI v x C x C

3

1( ) 024

qLv x L C

2( 0) 0 0v x C

3 32

34 3

6 4 24

24 12 24

qx qL qLEI v x

q qL qLEI v x x x

Eğimin sıfır olduğu yerde sehim en büyük değerine ulaşır.

4

2 2

5( ) 0, ( )

384L L

qLv v

EI

y

x

q

L

A B

A B0v

9

y

x

P

a b

L

A B

C

P b

L

P a

L

ÖRNEK 4

Şekilde gösterilen basit kirişin elastik eğri denklemini bulu-

nuz. C noktasındaki sehimi hesaplayınız.

y

xA B

Vc

c

1

P bEI v x

L

2 1P b x

EI v x P x a P aL L

0 < x < a bölgesi a < x < L bölgesi

2

1 12

P bEI v x c

L

2

2 32

xEI v P a x c

L

3

1 1 26

P bEI v x c x c

L

2 3

2 3 42 6

x xEI v P a c x c

L

1 20 0 0v x c 2 2

2 3 40 02 6

PaL PaLv x L c L c

3 3 4

1 2 1 3 46 2 6

Pa b Pa Pav x a v x a c a c a c

L L

2 3

2

1 2 1 32 2

Pa b Pav x a v x a c Pa c

L L

Sınır Koşulları

y

xA B

vc

v1 v2

C

10

2 2 2

16

Pbv x L b x

LEI

2 2 2

1 36

Pbv L b x

LEI

3

2 2 2

26 6

P x aPbv L b x

LEI EI

2

2 2 2

2 36 2

P x aPbv L b x

LEI EI

3

2 2 2 2

1 2 3 4, 0, 2 ,6 6 6

Pb Pa pac L b c c L a c

L L

C noktasındaki eğim ve sehim (x=a)

2 2 2

2 2 2

1 2

36

6

0 0 dan x

en büyük çokme hesaplanabilir.

c

c

PbL a b

EIL

Pbav L a b

EIL

v ya da v

Özel durum: a=b=L/2

P

3

0

48

C

maks

PLv

EI

y

x

P

a b

L

A B

C

P b

L

P a

L

11

ÖRNEK 5 Şekilde görülen konsollu kirişin elastik eğri denklemini;

a) İkinci mertebeden diferansiyel denklem kullanarak,

b) Üçüncü mertebeden diferansiyel denklem kullanarak çıkartınız.

y

x

L/2L

A

B

C

P

P/2 3P/2

102

Px L M x 2

3 3

2 2

LL x L M P x

12

PEI v x

2

1 14

PEI v x c

3

1 1 212

PEI v x c x c

2

3

2

PLEI v Px

2

2 3

3

2 2

P PLEI v x x c

3 2

2 3 4

3

6 4

P PLEI v x x c x c

1 20 0 0v x c

2

3

1 1 10 012 12

P PLv x L L c L c

EI v M

12

1 2v x L v x L 2 2 2

2

3

3

4 12 2 2

P P L P L P LL c

2

3

5

6

P Lc

3 3 2

2 4

3 50 0

6 4 6

PL PL PLv x L c

3

44

P Lc

2 2

112

Pxv L x

EI 2 2 2 3

2 3 10 9 212

Pv L L x Lx x

EI

3

2

3

2 8

L PLv

EI

0 x L 12

PS 3

2L x L 2S P

12

PEIv

1 12

PEI v x c

Elastik eğri denklemleri

Konsol

Ucundaki

Çökme

2

1 1 24

PEI v x c x c

23

1 1 2 312 2

P xEI v x c c x c

2EI v P

2 4EI v Px c

2

2 4 52

PEI v x c x c

23

2 4 5 66 2

P xEI v x c c x c

dMEI v S

dx

y

x

L/2L

A

B

C

P

P/2 3P/2

13

ÖRNEK 6 Şekilde gösterilen konsollu kirişin reaksiyon kuvvetlerini çift katlı integrasyon yolu ile hesaplayınız.

y

x

L/3L

A

B

C

q

L/3LRA

B

C

q

MA A

RB

0, 0yF M 4

3A BR R q L

24 4 4

3 6 3 9A A

L L LR L M q qL

43 21 1

06 2 24

A A

qLR L M L

2

2 2 2

2

4 1216 7

849 9

9

A A

A

A A

R L M qL

M qL qL qLR L M qL

27 13 19, ,

72 24 24A A BM qL R qL R qL

I

II

III

43 2

2

1 1 240 *

6 2 24A A

qLR L M L

L

Düşey yükler etkisindeki kirişlerde yatay doğrultuda reaksiyon oluşmayacağından yazılabilecek iki adet denge denklemi mevcuttur. Bu iki denklemde bilinmeyen üç reaksiyon kuvveti bulunur. Çözüm için gereken üçüncü denklemi elastik eğri bağıntısı sağlar.

xRA

qMA M

2 2

0,2 2

A A A A

x qxM M q R x M R x M

2

2A A

qxEIv R x M

32

1

1

2 6A A

qxEIv R x M x c

43 2

1 2

1 1

6 2 24A A

qxEIv R x M x c x c

2

1

0 0 0

0 0 0

v c

v c

Sınır koşulları:

43 21 1

6 2 24A A

qxEIv R x M x

1 0v L

L

B

x

y

A

EI

L

B

x

y

AEIAM BM

A BM M

L

A BM M

L

Şekilde gösterilen ankastre kirişin B mesnedi kiriş eksenine dik yönde Δ kadar yer değiştirmektedir. Çubuk uç kuvvetlerini elastik eğri denklemi yardımıyla hesaplayınız. Eğim ve sehim fonksiyonlarını yazınız. Δ=1 olması durumundaki çubuk ucu kuvvetlerini bir şekil üzerinde gösteriniz.

L

B

x

y

A

EI

ÖRNEK 7

EI v M

Sınır Koşulları

2

1

3 2

1 2

2

6 2

A BA

A BA

A BA

M MEI v x M

L

M M xEI v M x C

L

M M x xEI v M C x C

L

1( 0) 0 0v x C

2( 0) 0 0v x C

2

3 2

2

6 2

A BA

A BA

M M xEI v M x

L

M M x xEI v M

L

Ek Sınır Koşulları

2

( ) 0 02

A BA A B

M M Lv x L M L M M

L

3 2

2

2 6( )

6 2

AA A

M L L EIv x L M EI M

L L

2 2

3 2 2

3 2 3 2

3 2 2

12 6 6

2

12 6 6

6 2 3 2

EI x EI EI xEI v x x

L L L L

EI x EI x EI x xEI v

L L L L

L

B

x

y

A

EI2

6EI

L1

3

12EI

L 3

12EI

L

2

6EI

L

Şekilde gösterilen ankastre kirişin B mesnedi MB momentinin etkisiyle θ kadar dönmektedir. Çubuk uç kuvvetlerini elastik eğri denklemi yardımıyla hesaplayınız. Eğim ve sehim fonksiyonlarını yazınız. θ=1 olması durumundaki çubuk ucu kuvvetlerini bir şekil üzerinde gösteriniz.

L

B x

y

A

EI

BM

ÖRNEK 8

L

B

x

y

A

EI

B

x

y

A

EI

A BM M

L

A BM M

L

AM

BM

EI v M

Sınır Koşulları 2

1

3 2

1 2

2

6 2

A BA

A BA

A BA

M MEI v x M

L

M M xEI v M x C

L

M M x xEI v M C x C

L

1( 0) 0 0v x C

2( 0) 0 0v x C

Ek Sınır Koşulları 2

3 2

2

6 2

A BA

A BA

M M xEI v M x

L

M M x xEI v M

L

2 4( )

2

A BA B

M M L EIv x L M L EI M

L L

3 2

( ) 0 06 2 2

A B BA A

M M ML Lv x L M M

L

2 2

2

3 2 32

2

6 2 32

2

6 2

6 2

EI x EI EI xEI v x x

L L L L

EI x EI x EI xEI v x

L L L L

B

x

y

A

EI

1

2

6EI

L2

6EI

L

2EI

L

4EI

L

18

2 m1 m

Bx

y

A C

10 kN

Yükleme durumu şekilde verilen konsol kirişin elastik eğri denklemini bulunuz. A noktasındaki eğim ve sehimi hesaplayınız.

1

1

1

0 1

0

20'

1(20 46.667)

x m

EIv

vEI

v xEI

2

2

2

3 252 3

1 3

10 10

1' ( 5 10 15)

1( 5 15 45)

x m

EIv x

v x xEI

v x x xEI

2

3 2

35 144, 35 144

1' (17.5 144 )

1(5.833 72 )

M x EIv x

v x xEI

v x xEI

4 m

Bx

y

A

35 kN

4 kNm

Yükleme durumu şekilde verilen konsol kirişin elastik eğri denklemini bulunuz.

ÖRNEK 9 ÖRNEK 10

y

x

q

L/2

A B

L/2

y

x

q

L

A B

L/2

C

y

xM0

L/3

A B

2L/3

y

x

L

A B

L/2

C

M0

L

D

Yükleme durumu ve boyutları şekilde gösterilen kirişlerin elastik eğri denklemini çıkartınız. En büyük sehimin yerini ve değerini hesaplayınız.

Yükleme durumu yanda verilen hiperstatik kirişin B mesnedi, eksenine dik doğrultuda Δ kadar yer değiştirmektedir. Mesnet reaksiyonlarını elastik eğri denklemi yardımıyla hesaplayınız. B mesnedindeki eğimi belirleyiniz.

a

dc

b

eL

B

x

y

A

EI