moti - capitolo 2 e 4 hrw1 moti meccanica: branca della fisica che studia il moto dei corpi e le...
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Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 1
MOTI
Meccanica: branca della fisica che studia il moto dei corpi e le forze che lo fanno variare
Cinematica: descrive il moto dei corpi senza fare riferimento esplicito alle forze che agiscono su di essi
Dinamica: è lo studio della relazione esplicita tra le forze ed il loro effetto sul moto
Per descrivere un moto è necessario specificare la posizione del corpo in ogni istante. E’ quindi necessario definire un sistema di coordinate:
Caso Mono-dimensionale
• Coordinate Cartesiane
Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)
O
Oggetto
Coordinata- spesso indicata con X
Origine delle Coordinate(posizione dell’osservatore)
O
Oggetto
Coordinata- spesso indicata con - X
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 2
Caso Bidimensionale
• Coordinate Cartesiane
• Ascissa X• Ordinata Y
O x
y
---> (X,Y)
• Coordinate Polari
• Distanza Radiale r• Angolo
O
---> (r, )
r
E’ ovviamente possibile trasformare le coordinate cartesiane in polari e viceversa
)sin(
cos
ry
rx
x
y
yxr
arctan
22
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 3
Caso Tridimensionale
• Coordinate Cartesiane
• Coordinate Sferiche
• Coordinate Cilindriche
cos
sinsin
cossin
rz
ry
rx
zz
ry
rx
sin
cos
yx
z
Coordinate Cartesiane
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 4
La Traiettoria è il percorso del corpo nel piano xy (o xyz)
La Traiettoria viene visualizzata in un piano cartesiano con le coordinate (X,Y,Z ……. ) come assi
ATTENZIONE
Attenzione: lo spostamento s nell’intervallo t0,t può non coincidere con la traiettoria
)(tOP
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 5
Equazione Oraria
tt
OP
tOP
tempottfOP
y
x
3log37
53
)(
t
sx
t2
s3
s2
s1
t3
t1 t
sy
t2
s2
s1
t1
L’equazione oraria permette di determinare le componenti del vettore posizione del corpo in studio in qualsiasi istante di tempo t
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 6
Il Concetto di Diagramma OrarioNota: è cosa ben diversa dalla Traiettoria
Nel Diagramma orario l’asse delle X rappresenta il Tempo, quello delle Y una coordinata
Un moto mono-dimensionale si rappresenta in un Diagramma orario a 2D
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 7
Per descrivere un moto è necessario, una volta specificata la posizione del corpo, definire lo spostamento, la velocità e l’accelerazione.
Spostamento: lo spostamento di un corpo è il vettore il cui modulo è la distanza fra la posizione iniziale e la posizione finale del moto misurata lungo la retta che li congiunge. La direzione è quella delle retta che congiunge la posizione iniziale con la posizione finale. Il verso è quello rivolto dalla posizione iniziale alla posizione finale.
Tanto più la posizione iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore spostamento.Per definire lo spostamento è necessario aver definito in precedenza sia l’origine del sistema di coordinate che il sistema di coordinate da usare. Altrimenti non sapremmo da dove far partire il vettore posizione.
A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore spostamento diventa sempre più simile ad un segmento della traiettoria.
Portando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore spostamento infinitesimo ds che descrive lo spostamento tra due posizioni infinitamente vicine
ds Il vettore spostamento infinitesimo risulta quindi essere un segmentino della traiettoria.
La traiettoria risulta essere composta dall’inviluppo di tutti i vettori spostamento
ds dsdsdsds
0101 opops
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 8
Per descrivere un moto è necessario, una volta specificato lo spostamento, definire quanto velocemente un corpo si muove
Velocità: La velocità di un corpo è, per definizione, il rapporto fra lo spazio percorso (cioè lo spostamento) e l’intervallo di tempo impiegato per percorrerlo
Poiché ho bisogno del vettore spostamento, anche la velocità dovrà essere un vettore.
Modulo: |vettore spostamento| * 1/intervallo di tempoDirezione: quella del vettore spostamentoVerso: quella del vettore spostamento
Tanto più la posizione iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore velocità
A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore velocità diventa sempre più vicino alla tangente alla traiettoria.
Portando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore velocità istantanea v(t) che dà la velocità di un punto materiale nell’istante t. La velocità istantanea risulta essere tangente alla traiettoria
dt
ds
tt
sv
tt
sv
ttist
12
12
12
12
12
lim s
mv
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 9
Diagramma Orario
Curva di Velocità
dt
dsv
ist
Problema svolto 2.2 – pag. 16 – HRW
Moto di una cabina di ascensore
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 10
dt
ds
tt
XXv
tt
XXv
bc
bc
ttist
bc
bc
bc
lim
In un Diagramma Orario la velocità istantanea calcolata nel punto generico X rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente la traiettoria nel
punto X
dt
xdsxv
)()( x
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 11
Per descrivere un moto è necessario, una volta specificato lo spostamento e la velocità, definire quanto velocemente un corpo cambia la sua velocità
Accelerazione: L’accelerazione di un corpo è, per definizione, il rapporto fra il vettore variazione di velocità istantanea e l’intervallo di tempo associato
Poiché ho bisogno del vettore variazione di velocità, anche la accelerazione dovrà essere un vettore.
Modulo: |vettore variazione di velocità| * 1/intervallo di tempoDirezione: … dipende da caso a casoVerso: … dipende da caso a caso
Tanto più la velocità iniziale e la finale distano nel tempo tanto meno ‘preciso’ risulta essere il vettore accelerazione
A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo è possibile definire il vettore accelerazione istantanea a(t) che dà la accelerazione di un punto materiale nell’istante t.
dt
dv
tt
vva
tt
vva
ttist
12
12
12
12
12
lim 2s
ma
Nota:
Lo spostamento infinitesimo è un segmentino di traiettoriaLa velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoriaL’accelerazione può avere un orientamento qualsiasi rispetto alla traiettoria
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 12
Analogamente che per lo spostamento….
ttv
v
tempotdt
tfdtgv
y
x
137
3
)()(
2
Permette di conoscere le componenti della velocità di un corpo in qualsiasi tempo t
vx
t
vy
t
Un discorso Analogo vale per l’accellerazione
Accellerazione, Velocita’ e Spostamento sono legate tra loro da relazioni matematiche
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 13
aa
atv
atx
2
2
2
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 14
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 15
dt
dzdt
dydt
dx
dt
dsdt
dsdt
ds
v
v
v
dt
dstv
z
y
x
z
y
x
)(
dtta
dtta
dtta
dtta
dttv
dttv
dttv
dttvts
z
y
x
z
y
x
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
dtta
dtta
dtta
dttatv
z
y
x
)(
)(
)(
)()(
• Spostamento infinitesimo
dzzz
dyyy
dxxx
sds
12
12
12
12
• Velocità istantanea
• Accelerazione istantanea
2
2
2
2
2
2
2
2
dt
sddt
sddt
sd
dt
sd
dt
dvdt
dvdt
dv
dt
dva
z
y
x
z
y
x
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 16
Composizione dei moti (moto del proiettile)
Un proiettile di massa m, viene sparato con velocità v = 25 m/s ad un angolo rispetto al suolo. Quale è la traiettoria? Qual è la gittata del cannone? Quale è la massima altezza raggiunta dal proiettile? ……(trascurare l’attrito).
Quale sarebbe l’angolo che massimizza la gittata.
Altri esempi:
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 17
Moto Circolare
Coordinate Polari (1D)
)(2
)()(
)()(
2)(
)/(
)(
1
22
2
st
t
st
tT
)(rad/sdt
θd
dt
da
angolareioneaccelleraza
sraddt
dθ
angolarevelocità
rado angolarespostamentθ
θ
θ
vr
)(2
)()(
)()(
2)(
)(
1
22
2
sr
tvt
stv
rtT
ara
)(m/sdt
xd
dt
dva
zialeone tangenaccelerazia
rv
(m/s)dt
dxv
etangenzialvelocitàv
metangenzialospostamentx
rx
t
t
t
tt
t
t
t
t
Nota:Quando è costante prende il nome di pulsazione
Moti - Capitolo 2 e 4 HRW 18
Obiettivi generali degli esercizi svolti in aula:
Saper ricavare velocità ed accelerazione, nota la legge oraria;
Saper ricavare il vettore posizione, noto il vettore velocità o il vettore accelerazione. Quando possibile, sapere anche calcolare l’equazione della traiettoria (per esempio: moto del proiettile).
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