modélisation et commande des systèmes...

30/01/2006 1

Modélisation et commande des systèmes électriques

Edouard Laroche (laroche@lsiit.u-strasbg.fr)

http://eavr.u-strasbg.fr/perso/edouard/Student/

ULP – IPST (http://www-ipst.u-strasbg.fr/)

Master IT, spécialité IISA

Objectifs• Connaître les différents systèmes électriques

d’actionnement (moteur + électronique de puissance)

• Connaître les différents types de commande d’actionneur électrique.

• Être capable d’établir un modèle de simulation d’un système électrique comprenant moteur, électronique de puissance et commande

• Être capable de simuler un modèle dans l’environnement Matlab/Simulink

• Être capable de régler les correcteurs PI présents dans les asservissement des moteurs par une méthode adaptée

Bibliographie 1

• Electrotechnique industrielle, Guy Séguier et Francis Notelet, Tech et Doc, 1994

• L’Electronique de puissance, Guy Séguier,Dunod, 1990

• Modélisation et commande de la machine asynchrone, J.P. Caron et J.P. Hautier, Technip, 1995

• Control of Electrical Drives, W. Leonard, Springer-Verlag, 1996

Bibliographie 2

• Vector control of AC machines, Peter Vas, Oxford university press, 1990

• Commande des machines à vitesse variable, Techniques de l’ingénieur, vol D3.III, n°3611, 1996

• Actionneurs électriques, Guy Grellet et Guy Clerc, Eyrolles, 1997

• Modélisation contrôle vectoriel et DTC, sous la direction de C. Canudas de Wit, Hermes, 2000

1. Utilisation des systèmes électriques2. Lois des circuits électriques3. Lois de la magnétostatique4. Les convertisseurs statiques5. Le moteur à courant continu 6. La machine synchrone triphasée 7. Le moteur asynchrone triphasé8. Le moteur à réluctance variable9. Le moteur piézo-électrique 10. Filtrage (facteur de puissance, harmoniques)11. Stabilisation de la tension continue

Prérequis

• Math: complexes, intégrales, vecteurs, matrices,

• Automatique : asservissement à temps continu, boucle d’asservissement, modèle d’état,

• Électricité: lois de base de l’électrocinétique.

1. Utilisation des systèmes électriques

• entraînement, actionnement (rotatif ou linéaire),

• production d’électricité (alternateurs, groupes électrogènes),

• transformation de l’électricité (onduleur, hacheur, filtrage actif)

Application 1 : l’entraînement

• Vitesse fixe (ventilation, pompe, machine outil) / vitesse variable (véhicule: TGV)

• Linéaire / rotatif• Asservissement du couple, de la vitesse et de la

position d’une charge• Technologie: moteur à courant continu, moteur

synchrone (DC brushless), moteur asynchrone (à induction), moteur pas à pas, moteur à réluctance variable, moteur piézo-électrique.

Entraînement: les différents services

• S1: régime permanent

• S2: régime temporaire

• S3: régime intermittent

• S4: régime dynamique

Application 2 : production d’électricité

• Centrale électrique / groupe électrogène

• Asservissement de l’amplitude et de la pulsation de tension

Application 3 : transformation de l’électricité

• Forme alternative / continu → 4 types de conversion: redresseur (≈/=), onduleur (=/≈), hacheur (=/=), gradateur (≈/≈)

→ Asservissement de l’amplitude de la tension ou du courant d’une alimentation stabilisée

• Filtrage passif/actif→ Asservissement du courant et/ou de la tension

à une référence sinusoïdale

Les chaînes d’alimentation des moteurs (1)

• moteur à courant continu : redresseur, filtre et hacheur

réseau 50 Hz

redres-seur

filtre hacheur MCC

Alimentation des moteurs (2)

• moteurs à courant alternatif (synchrone et asynchrone) : redresseur, filtre et onduleur

réseau 50 Hz

redres-seur

filtre onduleur MS ou MAS

2. Lois des circuits électriques

• éléments de base• conventions• puissance• régime sinusoïdal• régime alternatif non sinusoïdal,

harmoniques• systèmes triphasés équilibrés• systèmes triphasés déséquilibrés

Éléments de base de l’électricité

• Source de tension continue: v(t)=E• Source de tension sinusoïdale: v(t)=E√2cos(ωt)

• Source de courant continu: i(t)=I• Source de courant alternatif: i(t)=I√2cos(ωt–δ)

• Résistance (Ohm, Ω): v(t)=Ri(t)• Inductance (Henry, H): v(t)=Ldi(t)/dt• Condensateur (Farad, F): i(t)=Cdv(t)/dt

Loi des nœuds, loi des mailles

0=∑k

Convention des dipôles électriques

convention récepteur: on compte la puissance

absorbée par le dipôle

convention générateur: on compte la puissance fournie par le dipôle

Valeur moyenne, valeur efficace

• valeur moyenne:

• valeur efficace:

• définition: un signal périodique est alternatif si sa valeur moyenne est nulle

tv )(1)(

∫==T

tvV )(1)( 22

Puissance électrique

• puissance instantanée: p(t)=v(t)i(t), (Watt, W)

• puissance active = puissance moyenne: P=<p(t)>

• puissance apparente: S=VI (produit des valeurs efficaces, VA)

• facteur de puissance Fp=P/S

Régime sinusoïdal: grandeurs de Fresnel

)exp()cos(2)(

β=→β+ω=α=→α+ω=

jIItIti

jVVtVtv

Puissance en régime sinusoïdal

)cos(2)(

ϕ−ω=ω=tIti

ϕ=ϕ=

puissance réactive (VAR)

Impédance et puissance complexes: définitions

( )( )

• dipôle passif: V = Z I

Impédance et puissance complexes: calculs

Admittance et puissance complexes: calculs

Signal alternatif non sinusoïdal

α+ω=

111 )cos(2)(

)cos(2)(

Le taux de distorsion dest le rapport des

valeurs efficaces de la partie déformante du

signal et du signal total

fondamental

signal périodique de période 2π/ω

Régime périodique alternatif: tension alternative

ϕ−ω=

)cos(2)(

ϕ=ϕ=

puissance déformante

Régime périodique alternatif:

ϕ−α+ω=

α+ω=

)cos(2)(

∑∑

ϕ=ϕ=

Système triphasé équilibré 1

• système triphasé équilibré direct (de tensions sinusoïdales):

π−α+ω=

α+ω=

4cos2)(

2cos2)(

cos2)(

( ) ( ))

,,,, 112

VaVaVVVV

• système triphasé équilibré inverse (de tensions sinusoïdales):

π+α+ω=

α+ω=

4cos2)(

2cos2)(

cos2)(

( ) ( ))

,,,, 12

VaVaVVVV

• système triphasé équilibré homopolaire (de tensions sinusoïdales):

( )( )( )

α+ω=

cos2)(

( ) ( )111321 ,,,, VVVVVV =

• couplage étoile:

Ne3(t)

u12(t)

u23(t)u31(t)

π−ω=

4cos2)(

2cos2)(

cos2)(

π−π+ω=

π+ω=

6cos2)(

• couplage triangle:

u12(t)

u23(t)u31(t)

π−ω==

4cos2)()(

2cos2)()(

cos2)()(

tEtetu

• couplage étoile/étoile (1):

ϕ−π−α+ω=

ϕ−α+ω=

4cos2)(

2cos2)(

cos2)(

))(exp(

ϕ−α=

• couplage étoile/étoile (2): schéma monophasé équivalent

IaIVaV

• couplage triangle/triangle: schéma monophasé équivalent

( ) ( )

JaaIaI

JaJaJJJJ

• couplage triangle/étoile: source étoile équivalente

1I1V2E

• couplage étoile/triangle (1)

( ) ( )

JaaIaI

JaJaJJJJ

• couplage étoile/triangle (2): charge étoile équivalente

Système triphasé déséquilibré 1

• système triphasé déséquilibré de tensions:

δ+π−ω=

4cos2)(

2cos2)(

cos2)(

VVaVaV

3. Lois de la magnétostatique

• Lois de Maxwell• Théorème d’Ampère• Conservation du flux magnétique• Lois de comportement des matériaux• Modélisation des bobines à noyau de fer et

des transformateurs• Production de couple

Électrocinétique 1

• Lois de Maxwell simplifiées dans le cas des basses fréquences

=∂∂−=

Champ magnétisant

Conductivité

(A/V-1m-1=Ω-1m-1)Champ électrique (V/m)

Densité de courant (A/m2)

Champ magnétique (T)

Électrocinétique 2• Théorème d’Ampère : l’intégrale du champ

magnétisant le long d’un contour fermé est égal au courant total traversant la surface définie par le contour

• Sens du champ: règle de la main droite

→→

∫∫∫ = dSJdlH

• Flux Ψ (Wb)

• Conservation du flux: Ψ1 = Ψ2

∫∫→

• Loi de Lenz: la variation du flux donne lieu à une fem qui tend à s’opposer à la cause des variations

• Loi de Faraday: force électromotrice (V)

Ψ−=

Loi de comportement magnétique des matériaux (caractéristique)

• Vide:

µ0=4π10-7 H/m: perméabilité du vide

• Matériau magnétique linéaire:

avec µ = µ0µr > µ0

µr : perméabilité relative

(µr > 1, ex: µr ≅ 10000 pour un ‘bon’ matériau magnétique)

Loi de comportement 2• Matériau magnétique doux : tôles utilisées pour

réaliser les circuits magnétiques (transformateurs et moteurs)

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400-2

H (A/m)

Caractéristique d'un matériau magnétique doux

Loi de comportement 3

• Matériau magnétique dur : aimants permanents (excitation des MCC et MS de petites puissances)

• B = µ0(Hc+H) = M+µ0H

Bobine à noyau de fer

• circuit magnétique homogène composé d’un matériau magnétique linéaire de section uniforme S, de longueur l avec µr>>1

• circuit électrique composé de n spires enroulées autour du circuit magnétique

Bobine à noyau de fer 2

• Pour un courant positif, déterminez le sens et l’amplitude du champ magnétisant

• Déterminez le flux vu du circuit électrique

• Déterminez l’inductance L de la bobine

• Donnez l’équation différentielle liant v(t) et i(t)

Méthode de résolution

• Théorème d’Ampère → H

• Loi de comportement → B

• Intégration sur la surface → Φ (flux dans le matériau)

• Multiplication par n → ϕ (flux vu par la bobine)

• Loi de Faraday → fem

• Prise en compte de la résistance et du flux de fuite → équation de détermination de la tension

Loi d’Hopkinson

F=Rψforce magnéto-

motrice = ni(A.tr)

reluctance du circuit

magnétique (H-1)

flux (Wb)

∫ µ=

dans le cas d’une section S et d’une perméabilité µ uniformes

Transformateur 1

• circuit magnétique (µr) de section S et de longueur l

• circuit électrique primaire de n1 spires de résistance R1; circuit électrique secondaire de n2 spires de résistance R2;

v2 (t)

Transformateur 2

• On suppose les circuits électriques primaire et secondaire respectivement parcourus par les courants i1 et i2 positifs

• Déterminez l’amplitude du champ magnétisant• Déterminez le flux vu des circuits électriques

primaires et secondaires• Déterminez les inductances propres L1 et L2 du

primaire et du secondaire ainsi que la mutuelle inductance M

• En tenant compte des chutes de tensions ohmiques, donnez les équations différentielles liant u1(t), u2(t), i1(t) et i2(t)

Bobine avec entrefer 1

• circuit magnétique homogène composé de matériau magnétique linéaire de section uniforme S, de longueur l avec µr>>1

• le circuit est interrompu sur une longueur e<<l.

• circuit électrique composé de n spires enroulées autour du circuit magnétique

Bobine avec entrefer 2

• Donnez l’expression de l’inductance

• Généralement, on néglige la réluctance du fer devant celle de l’entrefer

Circuit magnétique avec aimant

• circuit magnétique composé d’un matériau magnétique linéaire de section uniforme S, de longueur lf avec µr>>1 et d’un aimant de même surface et de longueur la produisant un champ àvide M (T)

• Calculez le flux traversant le circuit magnétique

Résistance du circuit électrique

σ=ρ= 1

résistance (Ω)

résistivité (Ωm)

conductivité (Ω-1m-1)

section du conducteur

longueur du conducteur (m)

Fuites du circuit magnétique

• Une partie du flux qui traverse le primaire n’arrive pas au secondaire mais se boucle sur lui-même

Ψ+=ψ+ψ=ψ

2222122

1111211

Pertes dans les matériaux magnétiques

• Pertes par hystérésis

• Pertes par courant de Foucault

→ feuilletage des circuits magnétiques

ω∝ 2B

22ˆ ω∝ B

Système électro-mécanique

• La partie électrique reçoit la puissance p=v.i• La partie mécanique fournit la puissance Ω.C

• La partie magnétique couple les parties électriques et mécaniques et stocke une partie de l’énergie

Détermination du couple (1)

• Bilan d’énergie

mécamage WdWW δ+=δθ⋅=δ

ϕ⋅=⋅⋅=δdCW

didtivW

θ⋅θ∂

∂+ϕ⋅

ϕ∂∂

θ−ϕ⋅=

=ϕ=θ

CddidW

θ∂∂

=ϕ∂

• Énergie magnétique – coénergie magnétique

ϕ⋅=+

⋅ϕ+ϕ⋅=+

⋅ϕ=

ϕ⋅=

didiWddW

magmag

θ⋅θ∂

∂+⋅

∂∂

θ+⋅ϕ=

CddiWd

=θ∂

∂=⇒

• Cas linéaire:

• Cas linéaire multivariable:

= ∑∑= = d

lkkl T

4. Les convertisseurs statiques

4.1. Les composants (interrupteurs)

4.2. Généralités sur la modélisation

4.3. Le redresseur (pont de Diodes, rectifier)

4.4. Le hacheur (chopper)

4.5. L’onduleur (inverter)

4.6. Le filtre LC

4.1. Les composants de l’électronique de puissance

• Diode

• Thyristor

• Transistor, Thyristor GTO

• Transistor et Diode en antiparallèle

• Plages de tension et courant

• interrupteur passif monodirectionnel en courant et en tension

• condition de mise en conduction: vD≥0• condition de blocage: iD≤0• 2 technologies: diodes de redressement (50 Hz) et

diodes rapides (diodes shotky) pour hacheurs et onduleurs

• diode commandable à la mise en conduction• interrupteur passif monodirectionnel en courant et

bidirectionnel en tension• condition de mise en conduction: vT≥0 et un

courant dans la gachette• condition de blocage: iT≤0

Thyristor

• interrupteur passif monodirectionnel en courant et bidirectionnel en tension

• commandable à la mise en conduction et au blocage• condition de mise en conduction: vT≥0 et un courant

dans la gachette• condition de blocage: iT≤0• techno: bipolaire, mosfet, IGBT, GTO

Transistor et thyristor GTO

Association transistor et diode

• interrupteur bidirectionnel en courant• commandable à la mise en conduction et au

blocage dans le sens iT >0 • mise en conduction et blocage automatiques dans

le sens iT<0

Gammes d’utilisation

fréquence

puissance1 MW100 kW100 kW

100 kHz

10 kHz

MOSFET

thyristor

limite technologique

à un instant donné

innovation

4.2. Généralités sur la simulation des systèmes

• On cherche à modéliser chaque partie comme un quadripôle d’entrées:– la tension amont vk,

– le courant aval ik+1

• de sorties:– la tension aval vk+1

– le courant amont ik.

Généralités (2)

• L’association de deux systèmes se fait alors simplement:

Sys. kSys. k+1

ik+2ik

Généralités (3)

• Certains systèmes ne se mettent pas sous la forme souhaitée ; ex:

Généralités (4)

• Mais leur association se met sous la forme souhaitée s’ils sont de nature différente (l’un inductif, l’autre capacitif)

v1 i1i2

1∫i3

Généralités (5)

• Si ce n’est pas le cas, la modélisation est à revoir

i3L1+L2

4.3. Les redresseurs à Diodes

• Redresseur monophasé

• Conduction discontinue

• Redresseur triphasé

• Modélisation fine

Redresseur monophasé

230 V, 50 Hz

• Structure

monophasé (2) : formes d’onde (2)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-400

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

Monophasé (3) : Étude et modélisation

• Conduction continue (i2 > 0)

• Cas T1 et T4 passants, T2 et T3 bloqués – v2 = v1 , i1 = i2

– condition : v1 > 0

• Cas T1 et T4 bloqués, T2 et T3 passants– v2 = -v1 , i1 = -i2– condition : v1 < 0

Conduction discontinue (1)

• blocage de toutes les diodes si i2 < 0,• alors

– le circuit amont est coupé du circuit aval– i1 = i2 = 0, v2 = v3,

• Fin de la séquence de bloquage si v2th > v2 où– v2th = |v1| est la tension que délivrerait le redresseur seul– v2 = v3 est imposé par le circuit aval.

CD1 D2

Conduction discontinue (2)

Simulation du bloc Filtre:• Si i2 < 0 ou (i2 = 0 et v3 > v2th), % v2th = abs(v1)

• alors – i2 = 0,– dv3/dt = -i3/C,– v2 = v3.

• Sinon, simulation normale

Redresseur Filtre

Le redresseur triphasé

230/400 V, 50 Hz

v1av1bv1c

Le redresseur triphasé : formes d’ondes

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-400

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-600

Étude et modélisation

• Conduction continue (i2 > 0)

• Cas T1 et T6 passants, T2, T3, T4 et T5 bloqués – v2 = v1a - v1c , i1a = i2 , i1b = 0 , i3a = -i2 ,

– condition : v1a > v1b > v1c

• Les interrupteurs qui conduisent sont ceux qui amènent la tension maximale en sortie.

Simulation fine (1) : prise en compte des inductances

4 lois des nœuds:

+−==

+==⇒

=−=−=+=+

41iiii

iiiiDDDD

v12 v2

(symétrie)

Simulation fine (2)

• 4 États:– État 1: D1 et D4 passantes, D2 et D3 bloquées– État 2: D1 et D4 bloquées, D2 et D3 passantes– État 3: D1, D2, D3, D4 passantes– État 4: D1, D2, D3 et D4 bloquées

• Lorsque les 4 diodes conduisent en même temps, on parle d’empiètement

Simulation fine (3)

• Variables d’état : i1, i2 et l’état du redresseur

État 1

État 4 État 3

État 2

iD2 < 0

v12 < 0

v12 > 0

iD1 < 0

i2 < 0

v2th > v2 et v1 < 0

v2th > v2 et v1 > 0

i2 < 0

Conditions de changement d’état

Simulation fine (4)

• État 1:

• État 2:

211212

4.4. Le Hacheur

• Structure

• Formes d’onde

• Commande

Hacheur : les structures

mono-directionnel en tension et en courant bi-directionnel en

tension et en courant

= charge

T3 T4v2

= charge

Hacheur 4Q : formes d’ondes (1)

• Commande alternée: sur une période T, T1 et T4

sont mis en conduction pendant αT (T2 et T3 sont alors ouverts); T2 et T3 sont mis en conduction pendant (1-α)T (T1 et T4 sont alors ouverts);

• α est appelé rapport-cyclique (0≤α≤1)

• des temps morts sont appliqués à la mise en conduction afin d’éviter un court-circuit de la source à travers un bras de pont.

Hacheur 1Q : modèle

• C : signal de commutation– C = 1 : le transistor conduit (v2 = v1 ; i1 = i2)– C = 0 : le transistor est bloqué (v2 = 0 ; i1 = 0)

⋅=⋅=

α=CHacheur

Hacheur 4Q : modèle

• C : signal de commutation– C = 1 : le transistor conduit (v2 = v1 ; i1 = i2)– C = 0 : le transistor est bloqué (v2 = -v1 ; i1 = -i2)

( )( ) 21

⋅−=⋅−=

Hacheur 4Q : formes d’ondes (2)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-100

t (ms)

charge RL; α=0,7; fH=10 kHz

• Hacheur 1Q (v2∈v1,0)

• Hacheur 4Q (v2∈v1,-v1)

• Limiter de α entre 0 et 1 (ou ε et 1- ε ; ε = qque %)

Hacheurs : commande

+=α⇒⋅−α=1

12 12112

T=α⇒α=

valeur estimée

valeur de référence

4.5. L’onduleur

• Structures

• onduleur monophasé : structure et formes d’ondes

• onduleur triphasé : structure et formes d’ondes

L’onduleur : structures

= charge

T3 T4v2

monophasé

triphasé

v1= charge

T4 T6 v2a

Onduleur monophasé : modèle

• Idem au hacheur 4Q

Onduleur monophasé

L’onduleur monophasé : commande

( ) 12 12 vvT

⋅−α=

Comme pour le hacheur 4Q, on a:

Pour réaliser une tension v* quelconque, il suffit de choisir:

)cos(2* tVv ω=

L’onduleur monophasé :formes d’ondes

0 5 10 15 20 25 30-1000

1000u1

0 5 10 15 20 25 30-1000

t (ms)

2charge RL; fH = 1 kHz; V = 230 V

L’onduleur triphasé : modèle (1)

−=−=−=

On a : avec:

Neutre non-connecté ⇒ ia+ib+ic ≡ 0

( ) 10 3

1vCCCv cba ⋅++=⇒

Onduleurv1 = av~

diLRiv

Charge équilibrée : ⇒ va+vb+vc = 0

−−

44 344 213

⋅=⋅+⋅+⋅=

cbaccbbaa

CCCiCiCiCi1

Onduleur triphasé

ia, ib, ic i1

va, vb, vc

αa, αb, αcCa, Cb, Cc

−=−=−=

On a : avec

Onduleurv1 = av~

−=−=−=

⋅=⋅+⋅+⋅=

cbaccbbaa

CCCiCiCiCi1avec

Onduleur triphasé

MLIαa, αb, αc

ja, jc, jc i1

Ca, Cb, Cc

ua, uc, uc

L’onduleur triphasé : commande (1)

−⋅α=

On a :avec: ( )Ev cba α+α+α=

ααα

−−

444 3444 213

1d’où

L’onduleur triphasé : commande (2)

+α=α

Pour réaliser les tensions va*, vb*, vc*, il suffit de choisir:

π−ω=

L’onduleur triphasé : formes d’ondescharge RL; fH = 1 kHz; V = 230 V

0 5 10 15 20 25-200

0 5 10 15 20 25-500

0 5 10 15 20 25-40

t (ms)

5. Le moteur à courant continu

• Modélisation

• Alimentation avec hacheur

• Asservissement du courant

• Asservissement de la vitesse

• Asservissement de position

MCC à aimants : équations

)()()(

tCtCdt

diLtRitEtv

−=Ω

E (V) : fem ; Ω (rad/s) : vitesse de rotation ; K (N.s ou N.m.A-1) : constante de fem ou de couple ; Cm (N) : couple moteur ; v (V) : tension d’induit ; i (A) : courant d’induit ; R (Ω) : résistance d’induit ; L (H) : inductance d’induit; J

(kg.m2) : inertie ; Cr (N) : couple résistant

MCC à aimants : schéma

position

vitesse

courant

Integrator2s

Integrator1

Integrator

couplerésistant

tension

charge

Commande de la tension du hacheur

Hacheur 4Q MCC

uref(t) α(t)

u ref1

1 u(t)

on peut négliger l’effet de la modulation pour les dynamiques plus lentes que le hachage

( ) ,12 ref

TuEu =−α=

MCC : asservissement de courant

- asservir le couple

- gérer les limitations de courant (par l’ajout d’une limitation en entrée)

Ci(z) MCCi

uiref +

Modèle du transfert tension-courant

• Cr = f.Ω• 2 pôles réels si • 2 pôles complexes conjugués sinon

LsR +1

Jsf +1

( )( ) ( ) 22 KfRsfLJRJLs

+++++=

( ) ( ) 04 22 ≥+−+ KRJLfLJR

Correcteur PI

dτ)()()(0

⋅τε⋅+ε⋅= ∫t

ip KtKtu

Correcteur proportionnel intégral à temps continu :

Correcteur proportionnel intégral à temps échantillonné :

)()()(

1 kekk

tTtItI

tIKtKtu

ε⋅+=

⋅+ε⋅=

Il faut penser à limiter le terme intégral (problème d’anti-windup)

Réglage PI

• On cherche à approcher la bande passante du système vers les hautes fréquences.

• Alors

• Le hacheur peut être approché par un retard pur de Th/2

• Il faut généralement compter une période de hachage pour le temps de calcul du correcteur

• Soit avec

( )( ) Lssu

si 1≅

( )( ) Ls

sisτ−

≅ hT2

Réglage PI (2)

• On approche alors l’exponentielle pour, approximation valable dans la bande passante car la bande passante est nécessaire inférieure au retard pur:

• d’où

τ+≅τ−

( )( ) ( )sLssu

τ+≅

Réglage PI (3)

• On cherche un correcteur sous la forme

• Une première méthode consiste à :– placer le zéro du correcteur loin du pôle du

correcteur (ex. τi = 10 τ),– choisir Kp de sorte qu’on respecte la marge de

phase ∆ϕ désirée.

Réglage PI (4)

• Une seconde méthode (optimum symétrique) consiste à – placer le zéro du correcteur dans un rapport a avec le

pôle du correcteur (ex. τi = a τ),

– choisir a de sorte que la phase maximale soit égale à−π+∆ϕ

– choisir Kp tel que le gain en boucle ouverte coupe l’axe 0 dB à la pulsation où la phase est de π+∆ϕ.

Réglage PI (5)• optimum symétrique : calculs

τ+τ+

τ+ττ+=

( ) ( ) 22

ωτ+−τω+ωτ+

τω+τω+

ωτ=ω

( ) ( )( )

ωτ+−τω+π−=

τω−τω+π−=ω

1arctan

arctanarctan)(arg

1*argument maximal en

Réglage PI (6)

• optimum symétrique : calculs (suite)

−+τ

+τ−=ω

τ=ω )( *

( )ajH BO arctan2

3)(arg * +π−=ω

π+ϕ∆=⇒ϕ∆+π−=ω42

tan)(arg * ajHBOτ=⇒=ω

LKjH pBO 1)( *

MCC : asservissement de vitesse

CΩ(z) MCC asservie en

courantCr

Ωref +

ε irefΩ

• généralement: correcteur PI

• besoin d’un effet intégrale fort pour rejeter les variations du couple de charge

Asservissement de vitesse (2)

• On modélise la boucle de courant comme un premier ordre de pulsation de coupure sa bande passante ω*.

•Approximation pour les hautes fréquences (ω>>f/J) :

Jsf +1iref i Ω

( )( ) ( )

Technologie : capteur de courant

• La mesure de courant est généralement faite dans le variateur par une mesure de tension aux bornes d’une résistance de très faible valeur placée en série avec le moteur ; cette tension est ensuite amplifiée.

• A partir d’une certaine gamme de prix, on peut envisager d’utiliser des sonde à effet Hall (délivrent une tension proportionnelle au champ produit par le courant)

Technologie : capteur de vitesse

• sans capteur (mode RI) : estimation de la vitesse en tenant compte de la chute de tension résistive,

où F(s) est un filtre• avec génératrice tachymétrique (donne une tension

proportionnelle à la vitesse),• avec codeur de position (généralement un codeur

incrémental ; la vitesse est estimée à partir de la position).

⋅−⋅=Ω

Technologie : capteur de position

• Pour l’asservissement de position, il est nécessaire de disposer d’un capteur de position :– codeur incrémental + butée pour l’initialisation

– codeur absolu

6. La machine synchrone triphasée à pôles lisses

• Structure

• Modélisation

• Commande vectorielle

Structure des machines Synchrones

• stator : système de trois enroulements à p paires de pôles alimentés par les tensions va, vb, vc et parcourus par les courants ia, ib, ic, intercalés dans des encoches du circuit magnétique.

• rotor : roue polaire excitatrice à p paires de pôles avec aimants (puissance entre 100 W et qque kW) ou bobinage intercalé dans les encoches du circuit magnétique (pour les alternateurs; plus rarement pour les moteurs)

MS : structure (2)

MS : structure (3)

Inductance de deux circuits

• deux enroulements au stator ou au rotor décalés d’un angle α

• l’inductance mutuelle est de la forme:

)cos(12 α= MM

Flux du stator sur lui-même

• 3 circuits (a, b et c) décalés de 2π/3p

++=ϕ++=ϕ++=ϕ

csbsassc

csbsassb

csbsassa

iLiMiM

iMiLiM

iMiMiL

ϕϕϕ

444 3444 21M

Lso : inductance correspondant au flux principal ; lfs : inductance correspondant au flux de fuite

Flux mutuel entre le stator et le rotor

• le rotor est à la position θ par rapport au stator

• cela correspond à la position pθ en angle électrique (période 2π/p ramenée à 2π)

π+θ=ϕ

π−θ=ϕ

π−θ

⋅ϕ=

ϕϕϕ

Équations du modèle triphasé

ϕ+ϕ=ϕϕ+ϕ=ϕϕ+ϕ=ϕ

π−θ

⋅ϕ+

ϕϕϕ

Expression du couple (1)

ϕϕϕ

⋅=⋅θ

⋅⋅=

[ ]( )

π−θ

⋅⋅ϕ⋅

π+θ⋅+

π−θ⋅+θ⋅⋅ϕ⋅

2sinsin

pipipip

Transformation triphasé-diphasé (1)

• pour des enroulements à répartition spatiale sinusoïdale, le champ B dans l’entrefer s’écrit :

( ) ( )

π+ξ=ξ

π−ξ=ξ

( ) ( )

π+ξ+

π−ξ+ξ=ξ3

2coscos pipipiAB cbast

• en développant les cos et sin, on obtient

• iα et iβ sont les courants diphasés équivalents

( ) ( ) ( )[ ]ξ+ξ=ξ βα pipiAB st sincos

−−=

44 344 21

• en ajoutant la contrainteon peut inverser le système et on obtient:

• on vérifie que

0=++ cba iii

−−=

⋅⋅=

−−

44 344 21

23223 ITT =⋅

Modèle diphasé (1)

• En remplaçant les grandeurs triphasées dans les équations triphasées dans les équations aux flux (cf. eq. 1 p. 132), on obtient :

π−θ

⋅ϕ+

⋅⋅=

iTT fsM

• En multipliant à gauche par T23, on obtient l’expression des flux diphasés :

π−θ

⋅⋅ϕ+

⋅⋅⋅=

233223

iTT fsM

• On vérifie que :

( ) 23223 IMLTT sss ⋅−=⋅⋅M

( )( )( )

π−θ

• Expression des flux diphasés :

( ) ( )( )

⋅ϕ⋅+

⋅−=

343421

Lcs : inductance cyclique statorique

• En remplaçant les grandeurs triphasées dans les équations triphasées dans les équations aux tensions (cf. p. 132), on obtient :

• En multipliant à gauche par T23 :

⋅⋅+

⋅⋅=

α323232 d

• En reprenant l’expression du couple à partir des grandeurs triphasées (p. 133), on obtient :

( ) ( )[ ]θ⋅+θ⋅−⋅ϕ⋅

= βα pipip

cossin2

Modèle d’état (1)

• Variables d’état : flux

⋅−

( )( )

⋅ϕ⋅−

cs sin

31avec

Modèle d’état (2)

• Variables d’état : courants

(à calculer)

Structure du modèle

modèle d’état en

iβ ic

charge

Ω : vitesse mécanique ; Cr : couple résistant

Principe de la commande (1)

• Pour que le couple ait une valeur moyenne non nulle, il faut que les courants évoluent à la même pulsation que cos(pθ), soit à ω=pΩoù Ω=dθ/dt.

• On peut alors poser que les courants sont pilotés par la position du rotor :

• Ce qui donne

( ) ( )( )( ) ( )( )

δ−θ=δ−θ=

( )δ⋅⋅ϕ⋅

= sin2

sf IpC

Principe de la commande (2)

• Pour optimiser le couple produit par les courants, on impose δ=π/2;

• Le couple est alors proportionnel à Is:

• On asservit alors iα et iβ aux valeurs de consignes iα

* et iβ*

2sf Ip

C⋅ϕ⋅

( ) ( )

π−θ=

ϕ⋅⋅=

Schéma de la commande

ϕ⋅⋅=

vb onduleur

machine

synchroneT23

Cα et Cβ : correcteurs PI

Schéma simplifié de la commande

ϕ⋅⋅=

vβmodèle d’état

Modèle pour la synthèse des correcteurs – cas α-β

• Le correcteur doit compenser (ou rejeter) les fem sinusoïdales eα et eβ considérées comme des perturbations

( )θΩϕ−=

θΩϕ=

3sLR css +1

sLR css +1

Modèle dans le repère du rotor (en vue de l’autopilotage)

• Pour travailler avec des grandeurs continues, on pose :

• Propriété (matrice de rotation) :

( ) ( )( ) ( )

θθθ−θ

444 3444 21cossin

sincos

( ) ( ) ( )θ−=θ=θ−pRpRpR

Équations• Flux :

• Tension :

⋅ϕ⋅+

π⋅Ω+

( ) ( ) ( )

⋅θ+

⋅θ⋅=

( ) ( )[ ] ( )

⋅θ+

⋅θ=

⋅θq

( )[ ] ( ) ( ) ( )

π+θ⋅Ω=θθ

⋅θ=θ2d

dpRppR

d’où

Couple

• L’expression du couple devient :

• Structure de la commande :

- on asservit iq à

- on asservit id à 0

qf ipC ⋅ϕ⋅=2

ϕ⋅⋅=

Modèle d’état d-q (1)

• Variables d’état : flux

ϕ−Ω−

⋅−

⋅ϕ⋅−

Modèle d’état d-q (2)

• Variables d’état : courants

(à calculer)

Structure du modèle dq

Ω : vitesse mécanique ; Cr : couple résistant

iβ ic

charge

R(-pθ)

iqR(pθ)

Schéma de la commande (1)

ϕ⋅⋅ *2

vb onduleur

machine

synchroneT23

R(pθ)

R(-pθ)

Schéma simplifié de la commande

Schéma simplifié (schéma de synthèse) pour le réglage des correcteurs

ϕ⋅⋅ *2

Modèle

d’état

Modèle pour la synthèse des correcteurs – cas dq

• Le correcteur doit compenser (ou rejeter) les fem continues ed et eq

ϕ+Ω−=

sLR css +1

7. Le moteur asynchrone triphasé

• Modélisation

• Flux rotorique orienté (FRO ou FOC)

• Control direct du couple (DTC)

Structure de la MAS

• stator identique à celui du moteur synchrone (enroulement triphasé à 2p pôles)

• rotor : - à cage (le plus courant) : système de barres reliées par un anneau de court-circuit et placé dans un empilement de tôles magnétiques

- bobiné : système d’enroulements triphasés à 2ppôles (court-circuités en fonctionnement normal)

- massif, composé d’un seul matériau avec un compromis entre la conductivité et la perméabilité

Modèle : inductances propres du stator

• 3 circuits (a, b et c) décalés de 2π/3p

++=ϕ++=ϕ++=ϕ

scssbssasssc

scssbssasssb

scssbssasssa

iLiMiM

iMiLiM

iMiMiL

ϕϕϕ

444 3444 21M

Modèle : inductances propres du rotor

• On considère le cas du rotor bobiné: 3 circuits (a, b et c) décalés de 2π/3p

++=ϕ++=ϕ++=ϕ

rcrrbrrarrrc

rcrrbrrarrrb

rcrrbrrarrra

iLiMiM

iMiLiM

iMiMiL

ϕϕϕ

444 3444 21M

mutuelles inductances stator / rotor (1)

π−θ+

π+θ=ϕ

π+θ+θ+

π−θ=ϕ

π−θ+

π+θ+θ=ϕ

rcsrrbsrrasrsrc

rcsrrbsrrasrsrb

rcsrrbsrrasrsra

ipMipMipM

2coscos

Msr : mutuelle inductance maximale entre un enroulement du stator et un enroulement du rotor

π+θ+

π−θ=ϕ

π−θ+θ+

π+θ=ϕ

π+θ+

π−θ+θ=ϕ

scsrsbsrsasrrsc

scsrsbsrsasrrsb

scsrsbsrsasrrsa

ipMipMipM

2coscos

π−θ

π+θθ

π−θ

π+θθ

ϕϕϕ

2coscos

π−θ

π−θθ

ϕϕϕ

2coscos

)(Soit

Alors( )

⋅θ⋅=

ϕϕϕ

pSM ( )

⋅θ−⋅=

ϕϕϕ

Flux totaux

srcsscsc

srbssbsb

srassasa

rrcrscrc

rrbrsbrb

rrarsara

⋅θ⋅+

ϕϕϕ

⋅θ−⋅=

ϕϕϕ

Équations aux tensions

scscssc

sbsbssb

sasassa

ϕϕϕ

rcrcrrc

rbrbrrb

rararra

ϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

⋅=⋅θ

⋅⋅=

( ) ( )

⋅θ−⋅

⋅θ⋅

⋅⋅

où ( ) ( )

π+==2

⋅θ⋅

⋅⋅=

or ( ) ( )xSxS T&& =−

d’où

et ( )xSxS −=

Modèle diphasé: équations aux tensions

• On remplace les grandeurs triphasées

par et on multiplie à gauche par T23.

• On obtient:

Modèle diphasé: flux

⋅⋅θ⋅⋅+

⋅⋅⋅=

iTpSTM

iTT 32233223 M

⋅⋅⋅+

⋅⋅θ−⋅⋅=

iTpSTM 32233223 M

( ) 23223 IMLTT

sss ⋅−=⋅⋅43421

( ) 23223 IMLTT

sss ⋅−=⋅⋅43421

Lcs et Lcr sont les inductances cycliques du stator et du rotor

où est l’inductance mutuelle cyclique stator/rotor

Flux: simplification

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )xRxx

xxTxST ⋅=

−⋅=⋅⋅

cossin

sincos

d’où ( )

⋅θ⋅+

⋅θ−⋅=

src MM ⋅=2

Flux: inversion de la relation

⋅θ⋅−

⋅−⋅

ccrcss

Pour la simulation, on peut souhaiter inverser les flux.On peut vérifier que:

⋅θ−⋅−−⋅

ccrcsr

Couple : diphasé

( )( )

⋅⋅θ⋅⋅

⋅⋅=

44 344 21&

où ( ) ( )

π+==2

π+θ⋅

⋅⋅=

Modèle dynamique

iβ ic

charge

Modèle dans le repère du stator

• On peut utiliser la transformation suivante dans le but de ramener les grandeurs rotorique dans le repère du stator:

⋅θ−=

Modèle dans le repère du stator (2)

• Les équations sont alors simplifiées:

( )rqsrdssr

iiiiMp

⋅−⋅⋅⋅=

⋅⋅=

π⋅Ω⋅−

Modèle dans le repère du stator (3)

• Le modèle inverse flux-courant est :

⋅−

⋅−⋅

ccrcss

⋅−−⋅

ccrcsrq

Commande par orientation du flux rotorique

• Modèle dans un repère quelconque

• Principe

• Modèle dans le repère du flux rotorique

• Structure de la commande

Modèle dans un repère quelconque (1)

• Le modèle inverse flux-courant est :

⋅ξ=

condition d’unicité du repère : θ+ξ=ξ prs

• Les équations sont

π⋅ξ+

⋅⋅=

• Les équations s’écrivent aussi

⋅+⋅=ϕ⋅+⋅=ϕ

rqcrsqcrq

rdcrsdcrd

rqcsqcssq

rdcsdcssd

( )rqsdrdsqsr iiiiMpC ⋅−⋅⋅⋅=

ϕ+ϕ⋅ξ+⋅=

ϕ+ϕ⋅ξ−⋅=

ϕ+ϕ⋅ξ+⋅=

ϕ+ϕ⋅ξ−⋅=

rdrrqr

rdrqrrdr

sdssqssq

sdsqssdssd

Principe du contrôle FRO

• En remplaçant ird et irq dans l’expression du couple grâce aux équations 3 et 4 du flux, on obtient:

• Le contrôle à flux rotorique orienté (FRO) consiste :

- à choisir un repère tel que ϕrq=0, entraînant

- à maintenir ϕrd constant et à asservir isq pour imposer C.

( )rqsdrdsqcr

sr iiL

MpC ϕ⋅−ϕ⋅⋅⋅=

sqrdcr

MpC ⋅ϕ⋅⋅=

Modèle dans le repère du flux rotorique (1)

• On impose la condition ϕrq=0 à tout instant. • La dernière équation aux flux donne

• En remplaçant dans dernière équation aux tensions, on obtient la relation permettant d’estimer la pulsation rotorique:

• L’angle de changement ξs de repère des grandeurs statorique est estimé par

Mi ⋅−=

ϕ⋅⋅

θ+ξ=ξ prs

Modèle dans le repère du flux rotorique (2)

• En éliminant ird dans les 3èmes relations de flux et de tension, on obtient l’équation différentielle liant isd et ϕrd :

• Cette relation permet d’estimer ϕrd à partir de isd via une fonction de transfert du premier ordre.

rrd iL

⋅=ϕ⋅+

Structure du FRO (1)

• En plus des blocs d’estimation ci-dessous, le contrôle FRO comporte des boucles d’asservissement

onduleur

machine

asynchroneT23

R(ξs)

R(-ξs)

ϕrdrξ&

ξsξr

• En éliminant ird et irq dans les 4 équations aux flux, on obtient :

• Les équations des tensions du stator s’écrivent alors :

⋅⋅σ=ϕ

ϕ⋅+⋅⋅σ=ϕ

sqcssq

csdcssd

⋅⋅σ+ϕ⋅⋅ξ+⋅⋅σ⋅ξ+⋅=

ϕ⋅+⋅⋅σ+⋅⋅σ⋅ξ−⋅=

MiLiRv

iLiLiRv

csrdcr

cssdcsssqssq

csdcssqcsssdssd

⋅−=σ

• En remplaçant dans l’équation de vsd la dérivée de ϕrd grâce à l’équation différentielle, on obtient :

• Les équations aux tensions s’écrient alors

MRiLiR

MRv sd

crsqcsssdr

cssd d

⋅⋅σ+ϕ⋅⋅−⋅⋅σ⋅ξ−⋅

⋅⋅σ+⋅=+

⋅⋅σ+⋅

iLiRev

cssqsqsq

sdcssdr

avec :

ϕ⋅⋅ξ−⋅⋅σ⋅ξ−=

ϕ⋅⋅+⋅⋅σ⋅ξ=

cssdcssq

crsqcssd

d’où le modèle suivant :

⋅σ=

srs RsN +⋅1

rs RsN +⋅1

qui peut aussi s’écrire :

csdcssq

MpiLe ϕ⋅⋅Ω−⋅⋅σ⋅ξ−= &~avec

srs RsN +⋅1

d’où le schéma d’asservissement des courants suivant :

- Les correcteurs Cd et Cq sont classiquement des PI. L’effet intégrale doit permettre de rejeter les perturbations ed et eq.- Des saturation doivent être placées sur les consignes de courant afin de limiter celui-ci.

La consigne de courant de l’axe d vient de la consigne de flux par l’intermédiaire d’une boucle d’asservissement

Le correcteur Cϕ est classiquement un PI.

• Comme consigne de courant isq*, on choisit

généralement

• On peut également choisir

à condition de faire attention au cas où ϕrd ≅ 0.

crsq ⋅

Commande directe du couple (DTC)

• Dans les commandes directes du couple, le modulateur MLI n’est plus utilisé. Les ordres de commutation sont envoyés successivement à l’onduleur

• Le DTC est adapté aux grosses puissances où les fréquences de hachages sont faibles

DTC : Principe (1)

• Chacun des 3 bras de l’onduleur est soit au niveau haut (Ck=1), soit au niveau bas (Ck=0).

• Le potentiel du bras k est CkE

• Les tensions diphasées sont alors

−⋅⋅

+⋅−⋅=

⋅⋅=

DTC : Principe (2)

• Il y a 23=8 combinaisons possibles pour les Ck. Elles aboutissent aux points suivants dans le plan (vsα,vsβ):

vsαE-E

E⋅−2

110010

001 101

111000

DTC : Principe (3)

• On s’appuie sur l’expression suivante du coupe :

• Il s’agit de choisir une séquence permettant de maintenir le flux autour de sa valeur nominale et le couple à sa valeur de consigne

( )sdsqsqsd iipC ⋅ϕ−⋅ϕ⋅⋅=3

DTC : Principe (4)

• Notons avec

• L’équation du flux est

→ équation permettant d’estimer le flux statorique→ le vecteur tension est choisi de manière à

maintenir l’amplitude du flux autour d’une valeur de référence

sbss xjxx ⋅+= α

ss xx =

ϕ+⋅=

DTC : Principe (5)

• On observe que les états- 100 et 010 correspondent à une augmentation du flux- 001 et 011 correspondent à une diminution du flux- 101, 010, 000 et 111 correspondent à un flux sensiblement constant

DTC : Principe (6)

• A partir des équations aux flux, on obtient:

• d’où

• Ainsi, pour augmenter la composante du courant en quadrature avec le flux statorique, il faut appliquer un vecteur de tension dans cette direction.

• Pour l’exemple:- 010 et 011 correspondent à une augmentation du couple- 100 et 101 correspondent à une diminution du couple- 110 et 001 correspondent à un couple sensibliment constant

MiL ϕ⋅+⋅⋅σ=ϕ

scsrcr

cscssss i

dLiRv ⋅⋅σ≅ϕ⋅+⋅⋅σ+⋅=

Le DTC selon Takahashi (1)

• On construit un estimateur du flux

• On estime le couple

βββ

ααα

ϕ+ϕ=ϕ

⋅⋅−=ϕ

( )αββα ⋅ϕ−⋅ϕ⋅⋅= ssss iipC3

• En fonction des grandeurs de consigne ϕ*

et C*, on calcule les variables de commande φ et τ :

-1ϕ*- ϕ

φ=1 : augmenter le fluxφ=0 : diminuer le flux

τ=1 : augmenter le coupleτ=-1 : diminuer le coupleτ=0 : maintenir le couple

-1C*-C

• Suivant le cadrant dans lequel se trouve le vecteur flux

• On applique les tensions suivantes

011111110001000100Q6

010000100011111101Q5

110111101010000001Q4

100000001110111011Q3

101111011100000010Q2

001000010101111110Q1

-101-10 1τ000111φ

Caractéristiques du DTC

• Dynamique très rapide du couple

• Simplicité de la commande

• Robustesse

• Contenu harmonique non maîtrisé

• Présence d’harmoniques basse fréquence

Compléments sur les transformées diphasées (1)

• Pour conserver les puissances, on utilise souvent une transformation normée

qui permet d’avoir22222cba xxxxx ++=+ βα

−−⋅=

Compléments sur les transformées diphasées (2)

• On appelle transformée de Park la matrice P(θ) telle que

c’est-à-dire que :

⋅θ=

( ) ( )θ⋅=θ pRTP 32

8. Moteur à réluctance variable ou moteur pas-à-

• Principe

• Alimentation

• Domaine d’utilisation

MRV : structure

• moteur triphasé (3 phases au stator)• moteur 6-4 (6 pôles au stator bobinés et 4 pôles passifs au

rotor)

coupe transversale du moteur

culasse du stator

bobinage stator

MRV : inductance et couple

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

tetar (rad)

MRV : Alimentation

• Chaque phase du moteur est alimentée indépendamment par un onduleur monophasé

• Le moteur est autopiloté : la position θ du rotor commande la ou les phases à alimenter

commande

consigne

MRV : Caractéristiques

• Moteur simple et robuste

• Alimentation plus coûteuse que MS et MAS

• Bruit phonique important

• Applications : moyenne puissance pour des applications peu coûteuses (électroménager, automobile), positionnement sans capteur de position (robotique)

9. Le Moteur Piézo-électrique

• Principe

• Caractéristiques

L’effet piézo-électrique

• Céramique qui se déforme sous application d’un champ électrique (effet direct, actionneur piézo)

• Apparition d’un champ électrique lorsqu’on applique une contrainte mécanique (effet inverse, capteur piézo)

électrodes

céramique piézo

L’effet piézo-électrique (2) : mise en flexion

électrode épaisse

électrode fine

Moteur Piézo : principe

• Principe : ondes de flexion

Moteur piézo à onde de flexion

• Le stator de déforme sous l’effet des éléments piézo-électriques

• Cette déformation en onde de flexion entraîne le rotor maintenu en contact avec le stator par une force de maintien

stator

éléments piézo-

électriques

Moteur piézo : gamme d’utilisation

• vitesse réglée avec l’amplitude de la tension (excitation à fréquence constante)

• gamme des petites et très petites puissances• fort couple sans réducteur• vitesse jusqu’à 1000 tr/min• couple d’arrêt important

10. Filtrage• Principe• Filtre passif

– Cellule LC– Relèvement du facteur de puissance– Circuit bouchon

• Filtre actif– Compensation des harmoniques de courant– Compensation des harmoniques de tension– Compensation des harmoniques de courant et de tension

10.1. Principe

• Le filtre fait l’interface entre un réseau qui peut être perturbé et une charge qui est susceptible de consommer des harmoniques de courant. Il permet– que la tension vc aux bornes de la charge soit

sinusoïdale et équilibrée

– que le courant ir absorbé au réseau soit sinusoïdal et équilibré

Chargepolluante

Réseauperturbé

Filtreir ic

10.1. Filtre LC• permet de lisser le courant amont et de lisser la

tension aval (amont: redresseur, aval: hacheur ou onduleur)

vviRdt

v1, i2 v2, i1modèle

d’état

L : inductance de la bobine; RL : résistance de la bobine ; C : capacité du condensateur polarisé

Filtre LC : formes d’onde

160 162 164 166 168 170 172 174 176 1780

Filtre LC

160 162 164 166 168 170 172 174 176 178

t (ms)

source : redresseur monophasé ; charge : hacheur 4QfH = 1 kHz ; L = 50 µH; C = 10 mF ; RL = 0,1 Ω

Relèvement du facteur de puissance

• Le condensateur fournit l’énergie réactive consommée par la charge.

• On peut utiliser une batterie de condensateurs en parallèles qui s’ajuste en fonction de la puissance réactive à fournir

• Autre système de relèvement du facteur de puissance : compensateur synchrone (alternateur)

Chargeinductive

Réseauir ic

vr vcC

Circuit bouchon

• Impédance nulle (court-circuit) pour

• Un circuit pour chaque harmonique à absorber

• Intéressant si la pulsation ne varie pas

Chargeinductive

Réseauir ic

vr vcC

ωω−=

ω+ω=

10.3. Filtre actif parallèle

• A l’aide d’une structure de l’électronique de puissance (onduleur en triphasé, hacheur en continu)

• Injecter un courant qui compense les harmoniques de la charge

• Système de stockage d’énergie : condensateur

Chargepolluante

RéseauEDF

Onduleur

Filtre actif parallèle : commande

• On fabrique une référence de courant sinusoïdale d’amplitude A en phase avec la tension du réseau

• Une première boucle de régulation asservi le courant du réseau à sa référence

• Une seconde boucle de régulation asservi la tension aux bornes du condensateur en commandant A.

Filtre actif parallèle : commande (2)

• Une boucle à verrouillage de phase (PLL, phase lock loop) permet de réaliser une sinusoïde en phase avec la tension vr même si ce signal est bruité

• Le signal de commutation de l’onduleur peut être réalisé soit par un comparateur à hystérésis (cf. schéma), soit par une MLI.

PLL 0 1Cir

Onduleurvr

Filtre actif parallèle : commande (3)

• Le filtre rejette les variations de tension sur une période ; il doit donc être passe-bas

• Le correcteur peut être un simple gain proportionnel

-Correcteur

Filtre

Filtre actif série

• Injecter des tensions via un transformateur qui compense les harmoniques du réseau

ChargeRéseaupollué

Onduleur

Filtre actif série-parallèle

• Injecter des tensions via un transformateur qui compense les harmoniques du réseau

Chargepolluante

Réseaupollué

OnduleurOnduleur

11. Stabilisation de la tension du bus continu

• Généralités

• Modèles

• Stabilisation

• Filtres

Tension bus : généralités

• Le filtre LC est un système résonnant mal amorti

• Il est nécessaire, principalement sur les systèmes de forte puissance, de stabiliser la tension du bus continu (aux bornes du condensateur)

• On réalise, pour ce faire, une boucle de contre-réaction qui fournit, à l’onduleur ou au hacheur, une commande additionnelle

Stabilité dans le cas d’une charge asservie en courant

• 2 pôles complexes stables mais mal amortis

C Hacheur

−−=

−±−= 224

1CRLCjRC

LCpk 224 CRLC

−=ξ

Stabilité dans le cas d’une charge asservie puissance

• Dans le cas où la machine est asservie en vitesse pour une charge donnée, on peut considérer que la puissance absorbée au filtre est constante égale à P= Cm.Ω malgré les variations de tensions du condensateur.

• Le hacheur se comporte alors vis-à-vis du filtre comme une charge non-linéaire délivrant un courant <i2> = P/u2

• La linéarisation de cette loi donne δ(<i2>) = −P/u2

2.δu2, ce qui correspond à une résistance négative − Re = −u2

Stabilité dans le cas d’une charge asservie puissance

• instable si ReRC < L ssi RCu22 < LP

−−=

−−−±−= RLCRLCRRLCRjCRRL

LCRp eeee

1 22222

Stabilisation

• On propose de stabiliser le système en ajoutant une rétroaction de la tension sur le couple de référence

• Une augmentation de la tension u2 entraîne alors une augmentation du couple et donc du courant sous-tiré au condensateur, entraînant la diminution de u2

• Le filtre ne doit laisser passer que la fréquence de résonance ; il doit notamment rejeter les composantes correspondant aux variations de u1

KFiltreu2 +

Filtre passe-bande

ω+ωξ+ωξ=ss

pulsation (rad/s)

réponse fréquentielle pour ω1 = 1 et ξ1 = 0.01, 0.1, 1

Filtres coupe-bande (1)

ω+ωξ+ω+ωξ+=

pulsation (rad/s)

réponse fréquentielle pour ω1 = 1 et ξ1 = 0.01, 0.032, 0.1, 0.32, 1 ; ξ2 = 1

Filtres coupe-bande (2)

ω+ωξ+ω+ωξ+=

réponse fréquentielle pour ω1 = 1 et ξ1 = 0.01, 0.032, 0.1, 0.32, 1 ; ξ2 = 10 ξ1

pulsation (rad/s)

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