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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
0
TEORIA DAS ESTRUTURAS 2
PVT- Princípio dos Trabalhos Virtuais
Método da Força Virtual Unitária: cálculo dos deslocamentos em
Estruturas isostáticas
E
Método das Forças: cálculo das reações de apoio em
Estruturas hiperestáticas
O conteúdo desta apostila foi elaborado utilizando os textos bases: - ANÁLISE DE ESTRUTURAS Método das Forças e Método dos deslocamentos; Autores: Humberto Lima Soriano Silvio de Souza Lima Ed. Ciência Moderna - ANÁLISE DE ESTRUTURAS Conceitos e Métodos Básicos Autor: Luiz Fernando Martha Ed. Elsevier
Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2
1
1 - Introdução
1.1 - Princípio da conservação da energia
Para estruturas deformáveis em equilíbrio estático, com o material da estrutura
trabalhando em um regime linear elástico e apresentando pequenos deslocamentos, o
princípio da conservação da energia estabelece:
𝑼𝒆= 𝑼𝒊 → 𝒐𝒖 𝒔𝒆𝒋𝒂 → 𝑾𝒆 = 𝑾𝒊 → ∑(𝑭𝒆 . 𝑫𝒆) = ∑(𝒇𝒊 . 𝒅𝒊) (1)
“trabalho das forças externas = trabalho das forças internas”
Para estruturas compostas por elementos (peças do tipo barra: reta ou curva);
Exemplo: VIGAS, PÓRTICOS OU QUADROS, GRELHAS.
Nas estruturas de barras, conforme mostra a figura 1 a seguir. As forças
externas geram forças internas (esforços internos solicitantes: N, Q, M, T) nas
estruturas que por sua provocam deslocamentos nas estruturas.
Fig. 1: Estrutura sujeita a deformações
Considerando um elemento infinitesimal da barra de comprimento dx, o mesmo
estará sujeito, a deslocamentos relativos gerados pelos esforços internos (N, Q,
M,T ) conforme ilustra a figura 2 a seguir.
Fig. 2: Esforços internos num elemento infinitesimal da barra
Estes deslocamentos relativos estão relacionados às deformações e as tensões
que surgem nas estruturas, tais relações são apresentadas a seguir nesta apostila.
q = força externa genérica Esforços internos: N = força normal; Q = esforço cortante; M = momento fletor; T = momento torçor;
Q Q
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2
2 - Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
2.1 - Considerações iniciais
Antes de desenvolver o princípio dos trabalhos virtuais, é necessário apresentar
alguns conceitos gerais relativos ao Trabalho Virtual;
Trabalho Virtual: O trabalho virtual pode ser gerado de duas formas:
- Quando aplica-se deslocamento virtual a estruturas sujeitas a forças reais;
- Quando aplica-se força virtual a estruturas sujeitas a deslocamentos reais;
Conforme já mencionado, o princípio da conservação da energia estabelece:
𝑼𝒆= 𝑼𝒊 → 𝒐𝒖 𝒔𝒆𝒋𝒂 → 𝑾𝒆 = 𝑾𝒊 → ∑(𝑭𝒆 . 𝑫𝒆) = ∑(𝒇𝒊 . 𝒅𝒊)
“trabalho das forças externas = trabalho das forças internas”
Do conceito de trabalho virtual e conservação de energia é obtido o Princípio dos
trabalhos Virtuais, que pode ser enunciado como:
“O trabalho virtual externo é igual ao trabalho virtual interno”.
�̅̅̅�𝒆 = �̅̅̅�𝒊 (𝟐)
O princípio dos trabalhos virtuais pode ser aplicado por meio de dois métodos:
I - Princípio dos deslocamentos virtuais: ∑(𝑭𝒆 . �̅�𝒆) = ∑(𝒇𝒊 . �̅�𝒊)
Aplicam-se deslocamentos virtuais externos em uma estrutura sujeita a forças reais;
II - Princípio das forças virtuais: ∑(�̅�𝒆 . 𝜹𝒆) = ∑(�̅�𝒊 . 𝒅𝒊)
Aplicam-se forças virtuais externas em uma estrutura sujeita a deslocamentos reais;
O Princípio das forças virtuais é uma das principais ferramentas para
determinação dos deslocamentos em estruturas isostáticas.
O Princípio das forças virtuais as vezes é referido como Método da força virtual
unitária.
Com base nos conceitos já mencionada, o princípio dos trabalhos virtuais será
desenvolvido a seguir, por meio do Princípio das forças virtuais ou Método da força
virtual unitária.
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2.2 - Princípio das Forças Virtuais = Método da Força Virtual Unitária (MFVU)
Considerando por exemplo uma viga bi-apoiada, sujeita a forças externas reais
que geram deslocamentos reais, conforme ilustra a figura 3a.
Fig. 3a: Estrutura com deslocamentos reais e forças reais externas;
Em que:
F1, F2, F3, Fi : forças reais externas;
𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 : deslocamentos reais provocados pelas forças reais externas;
Ao analisar a figura 3a percebe-se que o ponto A apresenta um deslocamento
vertical real devido as forças externas reais.
O deslocamento vertical real do ponto A determinado por meio deste
Princípio dos Trabalhos Virtuais, adota as seguintes considerações:
1ª consideração: Aplica-se inicialmente apenas uma única força virtual unitária externa
(imaginária) 𝑭 ̅ sobre o ponto A e na direção do deslocamento a ser determinado, no
caso, deslocamento vertical, por conta disto, aplica-se uma força virtual unitária externa
na vertical, conforme ilustrado na figura 3b.
Fig. 3b: A estrutura permanece na forma original (deslocamentos desprezíveis)
A aplicação da força virtual unitária externa �̅� gera reações de apoios virtuais 𝑹j̅
e forças virtuais internas ( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� ) atuantes nestas seções.
Entretanto, os deslocamentos que surgem podem ser considerados
desprezíveis, ou seja, nulo, a estrutura permanece na forma original.
F1 F2 F3 Fi
1 2 3
A
A’
1 2 3
𝑭 ̅ = 𝟏
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A consideração de deslocamentos desprezíveis (nulos), por conta da ação
exclusiva da força virtual unitária externa �̅�, pode ser entendida melhor, tomando como
base a mesma estrutura ilustrada na figura 3a.
A estrutura 3a é um exemplo típico de estrutura sob o efeito de forças reais
externas, que em geral assumem a magnitude em kilo-Newton, como por exemplo:
F1 = 10 kN = 10 000 N;
F2 = 5 kN = 5 000 N;
......
Fi = 12 kN = 12 000 N;
Estas forças reais externas produzem pequenos deslocamentos reais, ou seja,
os deslocamentos reais 1, 2, 3, incluído o do ponto A ( A ) são deslocamentos
milimétricos.
Assim, ao considerar a força virtual unitária externa �̅�, como uma força de
magnitude unitária (𝑭 ̅ = 𝟏 𝑵 = 𝟏 ), permite chegar ao entendimento de que, a ação
exclusiva desta força virtual unitária externa �̅�, sobre a estrutura produz deslocamentos
desprezíveis (nulos), ou seja, a estrutura permanece na forma original, conforme ilustra
a figura 3b.
Fig. 3b: A estrutura permanece na forma original (deslocamentos desprezíveis)
1 2 3
𝑭 ̅ = 𝟏
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2ª consideração - Imediatamente a aplicação força virtual unitária externa �̅�, as forças
reais externas são aplicadas, conforme ilustra a figura 3c;
Fig. 3c: Estrutura com deslocamentos reais provocados
exclusivamente pelas forças reais externas
Em que:
F1, F2, F3, Fi : forças reais externas;
�̅� : força externa virtual;
𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 1, 2, 3, incluído o do ponto A ( A ) deslocamentos reais provocados
pelas forças reais externas.
Feitas estas considerações Princípio das Forças Virtuais = Método da Força
Virtual Unitária (MFVU) estabelece:
�̅̅̅�𝒆 = �̅̅̅�𝒊
∑(�̅�𝒆 . 𝜹𝒆) = ∑(�̅�𝒊 . 𝒅𝒊) Aplicam-se forças virtuais externas em uma
estrutura sujeita a deslocamentos reais;
Conforme, já mencionado, a aplicação exclusiva da força virtual unitária externa
�̅� gera reações de apoios virtuais 𝑹j̅ e forças virtuais internas ( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� )
atuantes nestas seções.
As reações de apoios virtuais 𝑹j̅ geradas pela força virtual unitária externa �̅�
devem ser entendidas também como forças externas.
Desta forma, o trabalho das forças virtuais externas durante os deslocamentos
reais 𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏 é dado por:
�̅̅̅�𝒆 = ∑(�̅�𝒆 . 𝜹𝒆) = �̅� . 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝒑_ 𝒋) (4)
Onde: �̅�𝒆 forças virtuais externas: �̅� (força virtual unitária externa)
�̅�𝒋 (reações de apoio virtuais)
𝜹𝒑_ 𝒋 deslocamentos prescritos, ou seja, recalque de apoios
F1 F2 F3 Fi
1 2 3
�̅�
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6
Já, o trabalho das forças virtuais internas durante os deslocamentos reais 𝜹𝒊=𝟏,𝟐,𝒏
é dado por:
�̅̅̅�𝒊 = ∑(�̅�𝒊 . 𝒅𝒊) (5)
Antes de explicitar o trabalho das forças virtuais internas é necessário apresentar
as leis que traduzem as relações entre as forças reais internas de uma estrutura e os
respectivos deslocamentos reais provocadas por cada das forças reais internas;
( 𝒇𝒊 = 𝑵 ; 𝑴 ; 𝑸 ; 𝑻 ).
A resistência dos materiais fornece tais relações. Para um material trabalhando em
um regime linear elástico, a lei de Hooke ( = E . ) pode ser utilizada para obter a
relação entre as forças internas e os respectivos deslocamentos nas seções
transversais do elemento infinitesimal de comprimento dx.
Relação entre deslocamento axial x esforço Normal (N)
𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙𝑵 → 휀𝑥
𝑁 = 𝜎 .1
𝐸 → 휀𝑥
𝑁 =𝑁
𝐴.
1
𝐸 → 휀𝑥
𝑁 =𝑁
𝐴𝐸 →
𝑑𝛿
𝑑𝑥=
𝑁
𝐴𝐸 → 𝒅𝜹 =
𝑵
𝑨𝑬 . 𝒅𝒙 (6)
𝜺𝒙𝑵 =
𝒅𝜹
𝒅𝒙
𝜺𝒙𝑵 =
𝒅𝜹
𝒅𝒙
Fig. 4: deformação axial de um elemento infinitesimal de barra
Em que:
dx = comprimento original do elemento infinitesimal;
d = deslocamento axial relativo do elemento infinitesimal;
𝜺𝒙𝑵 = deformação axial ou normal na direção longitudinal devida a força interna Normal
ou esforço axial (N).
dx+d
d
N
d
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Relação entre rotação relativa por flexão x Momento fletor (M)
𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙𝑴 → 휀𝑥
𝑀 = 𝜎 .1
𝐸 → 휀𝑥
𝑀 =𝑀 .𝑦
𝐸.𝐼 →
𝑑𝜑
𝑑𝑥. 𝑦 =
𝑀 .𝑦
𝐸.𝐼 → 𝒅𝝋 =
𝑴
𝑬.𝑰 . 𝒅𝒙 (7)
𝝈 =𝑴 . 𝒚
𝑰→ 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑖𝑠: 𝐼 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜;
𝜺𝒙𝑴 =
𝒅𝝋
𝒅𝒙. 𝑦
Fig. 5: deformação axial de um elemento infinitesimal de barra
Em que: dx = comprimento original do elemento infinitesimal;
d = rotação relativa por flexão do elemento infinitesimal;
𝜺𝒙𝑴 = deformação axial ou normal na direção longitudinal devida ao efeito de flexão (M).
Relação entre distorção de cisalhamento x esforço cortante (Q)
𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙𝑴
𝝉 = 𝑮 . 𝜸𝑸 → 𝛾𝑄 = 𝜏 .1
𝐺 → 𝛾𝑄 =
𝑄
𝐴𝑄 .𝐺 →
𝑑𝜆
𝑑𝑥=
𝑄
𝐴𝑄 .𝐺 → 𝒅𝝀 =
𝑸
𝑨𝑸 .𝑮 . 𝒅𝒙 (8)
𝝉 =𝑸
𝑨𝑸 𝐺 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙
𝐴𝑄 = á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑎𝑙
𝜸𝑸 =𝒅𝝀
𝒅𝒙
Fig. 6: deformação de cisalhamento de um elemento infinitesimal de barra
Onde:
dx = comprimento original do elemento infinitesimal de barra;
d = deslocamento transversal relativo por cisalhamento do elemento infinitesimal;
𝜸𝑸 = distorção de cisalhamento por efeito de esforço cortante (Q).
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Relação entre distorção de cisalhamento x momento torçor (T)
𝝈 = 𝑬 . 𝜺𝒙𝑴
𝝉 = 𝑮 . 𝜸𝑻 → 𝛾𝑇 = 𝜏 .1
𝐺 → 𝛾𝑉 =
𝑇 .𝑟
𝐽 .𝐺 →
𝑑𝜃
𝑑𝑥 . 𝑟 =
𝑇 .𝑟
𝐽 .𝐺 → 𝒅𝜽 =
𝑻
𝑮 .𝑱 . 𝒅𝒙 (9)
𝝉 =𝑻 . 𝒓
𝑱 𝐺 = 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙
𝐽 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑎𝑙
𝜸𝑻 =𝒅𝜽
𝒅𝒙 . 𝒓
Fig. 7: deformação de torção de um elemento infinitesimal de barra
Em que:
dx = comprimento original de um elemento infinitesimal;
d = rotação relativa por torção de um elemento infinitesimal;
𝜸𝑻 = distorção de cisalhamento por efeito de torção (T).
Portanto, o trabalho das forças reais internas (fi = N, Q, M, T) em uma estrutura sujeita
a deslocamentos reais é dado pelo somatório do trabalho de cada elemento
infinitesimal de comprimento dx, ou seja, somando os valores obtidos pela integração
cada para uma das forças reais internas ao longo do comprimento de cada elemento
(peça do tipo barra: reta ou curva) da estrutura em análise.
Assim, o trabalho das forças reais internas (fi = N, Q, M, T) em uma estrutura
sujeita a deslocamentos reais é definido por:
𝑾𝒊 = ∑ [ ∫ 𝑵 . 𝒅𝜹 + 𝑴 . 𝒅𝝋 + 𝑸 . 𝒅𝝀
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂_𝒊
+ 𝑻 . 𝒅𝜽 ]
0
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎_𝑖=1,2,𝑛
(10)
Esta equação é válida para estruturas compostas por vários elementos ((peças do
tipo barra: reta ou curva; ex: vigas; pórticos e grelhas )) de comportamento linear
elástico.
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De forma semelhante, o trabalho das forças virtuais internas ( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� )
em uma estrutura sujeita a deslocamentos reais é definido por:
𝑾𝒊 = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂_𝒊
+ �̅� . 𝒅𝜽 ]
0
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎_𝑖=1,2,𝑛
(11)
Esta equação é válida para estruturas compostas por vários elementos (peças do
tipo barra: reta ou curva) de comportamento linear elástico.
Conforme apresentado anteriormente, o Princípio das Forças Virtuais =
Método da Força Virtual Unitária (MFVU) estabelece:
�̅̅̅�𝒆 = �̅̅̅�𝒊
�̅� . 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� . 𝒅𝜹 + �̅� . 𝒅𝝋 + �̅� . 𝒅𝝀
𝟎
𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
+ �̅� . 𝒅𝜽 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
(12)
Inserido na equação (12) as relações entre deslocamentos e forças internas
obtidas da resistência dos materiais:
𝒅𝜹 =𝑵
𝑨𝑬 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝝋 =
𝑴
𝑬. 𝑰 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝝀 =
𝑸
𝑨𝑸 . 𝑮 . 𝒅𝒙 ; 𝒅𝜽 =
𝑻
𝑮 . 𝑱 . 𝒅𝒙
�̅� . 𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫ �̅� .𝑵
𝑨𝑬 . 𝒅𝒙 + �̅� .
𝑴
𝑬. 𝑰 . 𝒅𝒙 + �̅� .
𝑸
𝑨𝑸 . 𝑮 . 𝒅𝒙
𝟎
𝑳_𝒊
+ �̅� .𝑻
𝑮 . 𝑱 . 𝒅𝒙 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
Onde: L_i = comprimento da barra_i
Visto que a força virtual unitária externa: 𝐹 ̅ = 1
𝜹 + ∑(�̅�𝒋 . 𝜹𝑹_ 𝒋) = ∑ [ ∫�̅� 𝑵
𝑨𝑬𝒅𝒙 +
𝑴𝑴
𝑬. 𝑰 𝒅𝒙 +
�̅�𝑸
𝑨𝑸 . 𝑮𝒅𝒙
𝟎
𝑳_𝒊
+ �̅�𝑻
𝑮 . 𝑱𝒅𝒙 ] (13)
0
𝑖=1,2,𝑛
Onde: L_i = comprimento da barra_i
A equação (13) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por
vários elementos ((peças do tipo barra: reta ou curva ex: vigas; pórticos e grelhas))
de com comportamento linear elástico sujeita a um sistema qualquer solicitação
externas.
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3 - Método da Força Virtual Unitária (MFVU)
Antes de apresentar o MFVU, faz-se necessário esclarecer que as estruturas em
geral estão sob a ação de 3 tipos solicitações externas (Fe):
Fe1 - Peso próprio, cargas concentradas e ou distribuídas, momentos aplicados;
Fe2 - Efeito da temperatura;
Fe3 - Deslocamento prescrito (conhecido):
- Movimentos dos apoios da estrutura, ou seja, recalques dos apoios;
- modificação na posição original da estrutura que ocorre durante a
montagem da mesma (um alongamento, um encurtamento);
Forças externas: solicitações externas e reações de apoio
Forças internas: N, Q, M, T, geradas pelas forças externas;
Estas forças externas (solicitações externas e reações dos apoios) geram forças
internas (esforços solicitantes: N, Q, M, T) nas estruturas que por sua provocam
deslocamentos, ou seja, deformações nas estruturas.
No dia a dia as estruturas estão sob o efeito simultâneo destas solicitações
externas reais. Para determinar o deslocamento de uma determinada seção s
qualquer de uma estrutura é necessário calcular o deslocamento provocado por cada
agente separadamente e em seguida realizar o somatório dos deslocamentos
produzidos pelos agentes a fim de determinar o deslocamento final sofrido por esta
seção s da estrutura.
A seguir o Método da força virtual unitário é particularizado de modo a determinar
os deslocamentos devido a ação de cada tipo de solicitação externa já mencionado.
N
T Q
M
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3.1 - Método da Força Virtual Unitária (MFVU): Efeito de forças reais externas
Inicialmente será apresentada a formulação para determinar o deslocamento de
uma seção s qualquer de uma estrutura devido à ação solicitação externa: forças
externas (Peso próprio, cargas concentradas, etc), posteriormente, as formulações
para determinar os deslocamentos provocados pelos demais solicitações externas
(efeito de temperatura, deslocamentos prescritos = recalque de apoios), visto que suas
formulações são análogas ao das forças externas.
Para calcular um determinado deslocamento , por exemplo o deslocamento
vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita a um sistema de forças
externas qualquer.
Fig. 8: Estrutura deformada devido a ação de forças externas reais
1º Passo: considera-se a mesma estrutura submetida apenas à ação da força virtual
unitária externa �̅� = 𝟏 atuando sobre o ponto C da estrutura e na direção do
correspondente deslocamento a ser determinado, no caso deslocamento vertical .
Fig. 9: Estrutura sujeita à ação da força virtual unitária externa
Em seguida determina-se os diagramas das forças virtuais internas da estrutura
( �̅�𝒊 = �̅� ; �̅� ; �̅� ; �̅� ).
= deslocamento vertical
do ponto C (REAL)
�̅� = 𝟏 : força virtual unitária correspondente ao tipo de deslocamento
que deseja determinar
�̅� = 𝟏
Esboçar os diagramas das forças virtuais internas
( �̅�, �̅�, �̅�, �̅� ) devido EXCLUSIVAMENTE a força
virtual unitária
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2º Passo: considera-se a mesma estrutura submetida apenas à ação das forças reais
externas;
Fig. 10: Estrutura sujeita à ação de cargas reais externas
Em seguida determina-se os diagramas de forças reais internos da estrutura (fi =
N, Q, M, T).
3º Passo: Substituem-se os valores das forças obtidas PASSOS 1 e 2 na expressão
geral MFVU (equação 13), em seguida, soma-se os valores obtidos pela integração
cada para uma das forças internas ao longo do comprimento de cada elemento (peça
do tipo barra: reta ou curva) da estrutura em análise, de modo a obter o valor do
deslocamento procurado .
Considerando que a estrutura esteja apenas sob a ação de forças reais externas
e que os apoios da estrutura não apresentam deslocamentos prescritos, ou seja, os
apoios não apresentam recalque, a equação (13), pode ser escrita da seguinte forma:
𝜹𝒑_ 𝒋 = 𝟎 → 𝒐𝒔 𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐𝒔 𝒏ã𝒐 𝒂𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒎 𝒓𝒆𝒄𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒑𝒐𝒊𝒐;
𝜹 = ∑ [ ∫�̅� 𝑵
𝑨𝑬𝒅𝒙 +
𝑴𝑴
𝑬. 𝑰 𝒅𝒙 +
�̅�𝑸
𝑨𝑸 . 𝑮𝒅𝒙
𝟎
𝑳_𝒊
+ �̅�𝑻
𝑮 . 𝑱𝒅𝒙 ] (14)
0
𝑖=1,2,𝑛
Onde: L_i = comprimento da barra_i
A equação (14) é a expressão geral do MFVU para estruturas compostas por
vários elementos ((peça do tipo barra: reta ou curva ex: vigas; pórticos e grelhas)) de
com comportamento linear elástico sujeitas ao Efeito de forças reais externas;
Esboçar os diagramas das forças internas reais (N, M, Q, T) devido
ao sistema de forças reais externas;
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A tabela 1 apresenta as propriedades de seção A, Iy, Iz, fy, fz e J para as seções
transversais mais usuais. tabela 1: propriedades para as seções transversais mais usuais.
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14
Cada tipo de deslocamento a ser determinado exige a aplicação de uma força
virtual unitária externa compatível com o deslocamento a ser calculado, conforme
apresentado na tabela 2 a seguir.
Tabela 2: Escolha do Modelo de força virtual unitária
Deslocamento ( ) a calcular da seção s
Força virtual unitária
1 - translação vertical, ou seja, deslocamento linear vertical de uma seção s
2 - translação horizontal, ou seja, deslocamento linear horizontal de uma seção s
3 - rotação, ou seja, deslocamento angular de uma seção s
4 - rotação relativa entre duas barras i e j que concorrem para a mesma rótula
5 - rotação relativa entre duas seções s e s’ de uma mesma barra
6 - rotação absoluta de uma corda AB
7 - rotação relativa de 2 cordas AB e CD
8 - variação do comprimento de uma corda que une 2 pontos A e B
�̅�𝒖 = 𝟏
s s s s s s s s
s s
�̅�𝒖 = 𝟏
�̅� = 𝟏
s s
�̅�𝒖 = 𝟏
�̅� = 𝟏
i i j
j
�̅�𝒖 = 𝟏
�̅� = 𝟏
�̅�𝒖 = 𝟏
�̅� = 𝟏
s s
s’ s’
�̅�𝒖 = 𝟏
�̅� = 𝟏
�̅�𝒖 = 𝟏
�̅� = 𝟏
A B
�̅�𝒖 = 𝟏/𝑳 �̅�𝒖 = 𝟏/𝑳
�̅�𝒖 = 𝟏/𝑳
(AB = L)
A
B C
DC
(AB = L1) (CD = L2)
�̅�𝒖𝟏
A
B �̅�𝒖 = 𝟏
�̅�𝒖𝟏 = 𝟏/𝑳𝟏 �̅�𝒖𝟐 = 𝟏/𝑳𝟐
�̅�𝒖𝟐
�̅�𝒖 = 𝟏
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15
Para VIGAS E PÓRTICOS SEM ELEMENTOS DE CONTRAVENTAMENTO as
parcelas devido ao esforço Normal, ao esforço Cortante podem ser desprezadas e na
ausência de momento torçor, muito comum na análise destas estruturas planas, tais
considerações permitem simplificar a equação (14) da seguinte forma:
𝜹 = ∑ [ ∫ �̅�𝑴
𝑬. 𝑰
𝟎
𝑳_𝒊
. 𝒅𝒙 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
(estruturas usuais: vigas, pórticos) (15)
Onde: L_i = comprimento da barra_i
Caso existam momentos torçores, esta contribuição deve ser inserida na eq. (15)
Para o caso específico de grelhas, apenas as parcelas devido ao esforço Normal
e ao esforço Cortante podem ser desprezadas, já a contribuição do momento torçor
não pode ser desprezada. Estas considerações permitem simplificar a equação (14) da
seguinte forma:
𝜹 = ∑ [ ∫( �̅�𝑴
𝑬. 𝑰
𝟎
𝑳_𝒊
+ �̅�𝑻
𝑮 . 𝑱 ) . 𝒅𝒙]
0
𝑖=1,2,𝑛
(estruturas usuais: grelhas) (16)
Onde: L_i = comprimento da barra_i
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16
Exemplo1: Calcule o deslocamento horizontal do ponto B, com e sem a consideração da contribuição do esforço normal e do esforço cortante. Área da seção transversal das barras: A = 134 cm2 = 134x10-4 m2
Momento de inércia da seção transversal: I = 29213 cm4 = 29213x10-8 m4
Área efetiva de cisalhamento: AQ = 39 cm2 = 39x10-4m2 Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 GPa = 205x109 Pa = 205x109 N/m2
Coeficiente de Poisson: υ = 0,3
Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 GPa
Resolução: E I = (205x109 N/m2) . (29213x10-8 m4) = 5988665 N.m2 = 59,89 . 106 N.m2 EA = (205x109 N/m2) . (134x10-4 m2) = 2747000000 N = 27,47 . 108 N AQG = (39x10-4 m2) . (78,85x109 N/m2) = 307515000 N = 30,75 . 107 N 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto B.
B =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária horizontal em b Caso 2 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas de esforços devido à ação da Força virtual unitária.
Ma= 0 + Vd . 6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 Vd = 4/6 = 0,67
+ Fy = 0 Va + Vd = 0 Va = - 0,67 Va = 0,67
d
Ha = 1
50 kN
4,0 m
a
6,0 m
3,0 m
b c
Fu = 1
4,0 m
a
6,0 m
3,0 m
b c
d
va = 0,67
Vd = 0,67
1ª
2ª
3ª
1ª
2ª
3ª
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3 - Esboçar os diagramas de esforços devido à ação da solicitação real: carregamento exterior.
Ma= 0 + Vd . 6,0 - 50,0 . 4,0 = 0 Vd = 200/6 = 33,33 KN
+ Fy = 0 Va + Vd = 0 Va = - 33,33 Va = 33,33 KN
4 - Cálculo do deslocamento horizontal em b (b =?)
𝛿 = ∑ [∫ �̅�𝑁
𝐴. 𝐸 . 𝑑𝑥 +
�̅�𝑀
𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥 +
�̅�𝑄
𝐴𝑄 . 𝐺 . 𝑑𝑥
0
𝑥
+ �̅�𝑇
𝐽 . 𝐺 . 𝑑𝑥 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
Parcela do Momento fletor de todas as barras:
𝛿𝑀 = ∫ �̅�1𝑀1
𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥
0
𝑙1
+ ∫ �̅�2𝑀2
𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥
0
𝑙2
+ ∫ �̅�3𝑀3
𝐸. 𝐼 . 𝑑𝑥
0
𝑙3
Ha = 50 KN
50 KN
4,0 m
a
6,0 m
3,0 m
b c
d
va = 33,33 KN
Vd = 33,33 KN
OBS:barra 1: M = 50000(N) . x(m) barra2: M=33330(N) . x(m)
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𝛿𝑀 =1
𝐸 . 𝐼[ ∫ �̅�1𝑀1. 𝑑𝑥
0
𝑙1
+ ∫ �̅�2𝑀2. 𝑑𝑥
0
𝑙2
+ ∫ �̅�3𝑀3. 𝑑𝑥
0
𝑙3
]
𝛿𝑀 =1
𝐸 . 𝐼[∫(1 . 𝑥). (50000 . 𝑥 ). 𝑑𝑥
4
0
+ ∫(0,67 . 𝑥)(33330 . 𝑥). 𝑑𝑥
6
0
+ 0]
*** Se os momentos estiverem tracionando lados opostos negativo
𝛿𝑀 =1
𝐸 . 𝐼[∫ 50000 . 𝑥2 . 𝑑𝑥
4
0
+ ∫ 22331,1 . 𝑥2 . 𝑑𝑥
6
0
]
𝛿𝑀 =1
𝐸 . 𝐼[50000. ∫ 𝑥2. 𝑑𝑥
4
0
+ 22331,1 ∫ 𝑥2. 𝑑𝑥
6
0
] =1
𝐸 . 𝐼[50000 . [
𝑥3
3]
0
4
+ 22331,1 . [𝑥3
3]
0
6
]
𝛿𝑀 = 1
59,89.106𝑁. 𝑚2[50000 𝑁 . 21,33 𝑚3 + 22331,1 𝑁 . 72,0𝑚3 ]
𝛿𝑀 = 1
59,89.106𝑁. 𝑚2[2,67.106 𝑁. 𝑚3 ] = 0,04458 𝑚
Parcela do Normal de todas as barras:
𝛿𝑁 = ∫ �̅�1𝑁1
𝐸. 𝐴 . 𝑑𝑥
0
𝑙1
+ ∫ �̅�2𝑁2
𝐸. 𝐴 . 𝑑𝑥
0
𝑙2
+ ∫ �̅�3𝑁3
𝐸. 𝐴 . 𝑑𝑥
0
𝑙3
𝛿𝑁 =1
𝐸 . 𝐴[ ∫ �̅�1𝑁1. 𝑑𝑥
0
𝑙1
+ ∫ �̅�2𝑁2. 𝑑𝑥
0
𝑙2
+ ∫ �̅�3𝑁3. 𝑑𝑥
0
𝑙3
]
𝛿𝑁 =1
𝐸 . 𝐴[∫ 0,67 . 33330 . 𝑑𝑥
4
0
+ 0 + ∫ −0,67 . (−33330) . 𝑑𝑥
3
0
+ 0]
𝛿𝑁 =1
𝐸 . 𝐴[22331,1 ∫ 𝑑𝑥
4
0
+ 22331,1 ∫ 𝑑𝑥
3
0
] = 1
𝐸 . 𝐴[22331,1 . [𝑥]0
4 + 22331,1 . [𝑥]03 ]
𝛿𝑁 = 1
27,47 . 108𝑁[22331,1 𝑁 . 4𝑚 + 22331,1𝑁 . 3𝑚 ]
𝛿𝑁 = 1
27,47 . 108𝑁[156,32 . 103 𝑁. 𝑚 ] = 0,00005691 𝑚
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Parcela do Cortante de todas as barras:
𝛿𝑄 = ∫ �̅�1𝑄1
𝐴𝑄 . 𝐺 . 𝑑𝑥
0
𝑙1
+ ∫ �̅�2𝑄2
𝐴𝑄 . 𝐺 . 𝑑𝑥
0
𝑙2
+ ∫ �̅�3𝑄3
𝐴𝑄 . 𝐺 . 𝑑𝑥
0
𝑙3
𝛿𝑄 =1
𝐴𝑄 . 𝐺[ ∫ �̅�1𝑄1. 𝑑𝑥
0
𝑙1
+ ∫ �̅�2𝑄2. 𝑑𝑥
0
𝑙2
+ ∫ �̅�3𝑄3. 𝑑𝑥
0
𝑙3
]
𝛿𝑄 =1
𝐴𝑄 . 𝐺[∫ 1 . 50000 . 𝑑𝑥
4
0
+ ∫(−0,67). (−33330). 𝑑𝑥
6
0
+ 0 ]
𝛿𝑄 =1
𝐴𝑄 . 𝐺[50000 ∫ 𝑑𝑥
4
0
+ 22331,1 ∫ 𝑑𝑥
6
0
] =1
𝐸. 𝐴𝑄
[50000 . [𝑥]04 + 22331,1 . [𝑥]0
6 ]
𝛿𝑄 =1
30,75 . 107𝑁[50000 𝑁 . 4𝑚 + 22331,1𝑁 . 6 𝑚 ] = 0,0010861 𝑚
𝛿𝑄 =1
30,75 . 107𝑁[333,987 . 103 𝑁. 𝑚 ] = 0,0010861 𝑚
Assim, tem-se o valor do deslocamento horizontal do ponto b:
b = M + N + Q = 0,04458 + 0,00005690 + 0,0010861 = 0,045723 m
b = 0,045723 m O valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força virtual unitária está correto, ou seja, o ponto b desloca de fato vale 0,045723 m para a direita. Analisando a parcela de contribuição de cada esforço no deslocamento total do ponto b tem-se:
M = M / b = 0,04458 /0,045723 = 97,50 % do deslocamento total de b.
N = N / b = 0,00005690 /0,045723 = 0,124 %
Q = Q/ b = 0,0010861/0,045723 = 2,375 % Este resultado demonstra que a contribuição do esforço Normal e do esforço cortante pode ser desprezada para as estruturas reticuladas usuais: vigas, pórticos, grelhas; Assim, o deslocamento de b considerando apenas a contribuição do momento fletor vale:
b = 0,04458 0,0457 m
0,045 0,046 m
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Quando se trabalha com estruturas compostas por barras retas de seção
transversal constante e de propriedades constantes, pode-se evitar o desenvolvimento
analítico da integral que ocorre na equação (15) utilizada para vigas e pórticos bem
como na equação (16) adotada para as grelhas;
Para evitar o processo trabalho de integração o pesquisador A. N.
Vereshchagin desenvolveu uma tabela de integração, a qual fornece equações que
geram resultados numericamente iguais aos obtidos no processo de integração. Esta
tabela é apresentada nesta apostila como tabelas 3a e 3b.
A utilização das tabelas de integração permite escrever as equações (15) e (16)
da seguinte forma respectivamente:
𝜹 = ∑ [ 𝟏
𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] ]
0
𝑖=1,2,𝑛
(estruturas usuais: vigas, pórticos) (17)
No caso de grelhas usuais, quando as propriedades da seção e o momento
torçor são constantes ao longo do comprimento da barra, estes podem sair da integral, o que permite escrever:
𝜹 = ∑ [ 𝟏
𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
𝟏
𝑮 . 𝑱∫ �̅�𝑻
𝟎
𝒙
. 𝒅𝒙 ]
0
𝑖=1,2,𝑛
𝜹 = ∑ [ 𝟏
𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
𝟏
𝑮 . 𝑱. �̅�𝑻 . ∫ 𝒅𝒙
𝟎
𝒙=𝑳
]
0
𝑖=1,2,𝑛
𝜹 = ∑ [ 𝟏
𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
𝟏
𝑮 . 𝑱. �̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂]
0
𝑖=1,2,𝑛
𝜹 = ∑ [ 𝟏
𝑬. 𝑰 [∑ 𝑒𝑞𝑠. 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 3 ] +
�̅�𝑻 . 𝑳𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂
𝑮 . 𝑱]
0
𝑖=1,2,𝑛
(estruturas usuais: grelhas)(18)
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