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MEDIDASDEPOSICIÓNLas medidas de tendencia central son en realidad, un caso particular de un tipo demedidasmásamplias,llamadas“deposición“.Estasmedidasdeposición,tienentambiénla propiedad de ubicarse entre los dos extremos de variación de los datos, pero ya nonecesariamente hacia el centro del intervalo como las de tendencia central. Se utilizanprincipalmenteparaindicarlaposiciónrelativadeundatodentrodelconjunto.Asíporejemplo,sialguiennosinformaqueenlapruebadeadmisiónaunaUniversidad,un determinado alumno obtuvo 453 puntos; esta información es insuficiente, si noconocemoslaescalautilizada,ylascalificacionesobtenidasporlosdemásalumnos.En un caso como el anterior, una información mucho más precisa , sería que nosinformaranqueestealumnoocupóel tercer lugardentrodedosmilaspirantes,puesdeestamanera,tendríamoslaposiciónrelativaelalumnodentrodelgrupo,ysabríamosquelacalificaciónobtenidaporél,essignificativamentealtaencomparaciónconladelrestodelosaspirantes.Lasmedidas a estudiar, buscan justamente este objetivo, demedir o indicar la posiciónrelativadeundatodentrodelconjunto.CUARTILES.Sedefinencomolosintervalosdentrodeloscualesquedanproporcionalmenterepartidoslosdatossinagruparoagrupadosdeunadistribución,encuatropartesiguales.SetienentrescuartilesquesesimbolizanporQ1(primercuartil),Q2(segundocuartil)yQ3(tercercuartil), en donde cada uno contendrá elmismo número de datos, es decir, el 25%deltotal.Elprimercuartil(Q1)eselvalorqueindicaenelcualopordebajodelcualquedanel25%ouncuartodetodoslosdatos.Elsegundocuartil(Q2)eslamedidaigualalamediana,esdecir,eselvalorqueindicaenelcualopordebajodelcualquedael50%ólamitaddetodoslosdatos.Eltercercuartil(Q3)eselvalorqueindicaenelcualopordebajodelcualquedael75%olastrescuartaspartesdetodoslosdatos.Formasdecalcularloscuartiles:

𝑄! =𝑛 ∙ 𝑁4

Enelcálculodeloscuartilesdeunadistribucióndefrecuenciasparadatosagrupadossedeterminamatemáticamenteporlaecuacióngeneral:

𝑄! = 𝐿! +𝑛 ∙ 𝑁4 − 𝑓!𝑓!

∙ 𝐶

Donde:Li=Límiterealinferiordelaclasedeln-ésimocuartil,esdecir,ellimiteinferiordelaclasequecontieneelvalordelcuartilquedeseamoscalcularmenosmediaunidad(0.5).fa=Frecuenciaacumuladadelintervaloanteriordondeseencuentraelcuartil.fc=Frecuenciadeclasedondeseencuentraelcuartil.C=Amplituddeclase.DECILES.Se definen como todos los intervalos dentro de los cuales quedan proporcionalmenterepartidoslosdatossinagruparoagrupadosdeunadistribución,endiezpartesiguales.Se tienen nueve deciles que se simbolizan por D1(primer decil), D2(segundo decil), D3(tercer decil),…, D9(noveno decil), en donde cada uno contendrá elmismo número dedatos,esdecir,el10%deltotal.Formasdecalcularlosdeciles:

𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁10

Enelcálculodelosdecilesdeunadistribucióndefrecuenciasparadatosagrupadossedeterminamatemáticamenteporlaecuacióngeneral:

𝐷! = 𝐿! +𝑛 ∙ 𝑁10 − 𝑓!𝑓!

∙ 𝐶

Donde:Li=Límiterealinferiordelaclasedeln-ésimodecil,esdecir,ellimiteinferiordelaclasequecontieneelvalordeldecilquedeseamoscalcularmenosmediaunidad(0.5).fa=Frecuenciaacumuladadelintervaloanteriordondeseencuentraeldecil.fc=Frecuenciadeclasedondeseencuentraeldecil.C=Amplituddeclase.PERCENTILES.Se definen como todos los intervalos dentro de los cuales quedan proporcionalmenterepartidoslosdatossinagruparoagrupadosdeunadistribución,encienpartesiguales.Se tienen noventa y nueve percentiles que se simbolizan por P1 (primer percentil), P2(segundo percentil), P3(tercer percentil),…, P99(noventa y nueve percentil), en dondecadaunocontendráelmismonúmerodedatos,esdecir,el1%deltotal.Formasdecalcularlospercentiles:

𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁100

Enelcálculodelosdecilesdeunadistribucióndefrecuenciasparadatosagrupadossedeterminamatemáticamenteporlaecuacióngeneral:

𝑃! = 𝐿! +𝑛 ∙ 𝑁100 − 𝑓!

𝑓!∙ 𝐶

Donde:Li=Límiterealinferiordelaclasedeln-ésimopercentil,esdecir,ellimiteinferiordelaclasequecontieneelvalordelpercentilquedeseamoscalcularmenosmediaunidad(0.5).fa=Frecuenciaacumuladadelintervaloanteriordondeseencuentraelpercentil.fc=Frecuenciadeclasedondeseencuentraelpercentil.C=Amplituddeclase.EJEMPLO1Unaempresadetransportesreportaloskilómetrosrecorridosporsuscamionescuandotieneneltanquellenodecombustible:200,201,198,205,199,201,197,203,201,205,202,199,198,201,202,198,197,197.Determina:a) CuartilesQ1,Q2yQ3b) DecilesD4,D5yD7c) PercentilesP40,P50yP88

SoluciónOrdenamoslosdatos:197,197,197,198,198,198,199,199,200,201,201,201,201,202,202,203,205,205123456789101112131415161718NúmerodedatosN=18a)Cuartiles:Utilizamoslafórmula𝑄! =

!∙!!paraencontrarlaposición.

Cuartil1

𝑄! =1 ∙ 18

4=184= 4.5 ≈ 5

Elnúmero4.5esunnúmerodecimalquenos indicaráqueelvaloren laposición4.5 lodebemosderedondeara5.Porlotantoelvalorenlaposición5es:𝑄! = 198

Cuartil2

𝑄! =2 ∙ 18

4=364= 9

El número 9 es un número entero, lo que nos indicará que el valor en la posición 9 lodebemospromediarconelvalordelasiguienteposición.

𝑄! =200 + 201

2= 200.5

𝑄! = 200.5Cuartil3

𝑄! =3 ∙ 18

4=544= 13.5 ≈ 14

Elnúmero13.5esunnúmerodecimalquenosindicaráqueelvalorenlaposición13.5lodebemosderedondeara14.Porlotantoelvalorenlaposición14es:𝑄! = 202b)Deciles:Utilizamoslafórmula𝐷! =

!∙!!"paraencontrarlaposición.

Decil4

𝐷! =4 ∙ 1810

=7210

= 7.2 ≈ 7Elnúmero7.2esunnúmerodecimal,loquenosindicaráqueelvalorenlaposición7.2lodebemosderedondeara7.Porlotantoelvalorenlaposición7es:𝐷! = 199Decil5

𝐷! =5 ∙ 1810

=9010

= 9El número 9 es un número entero, lo que nos indicará que el valor en la posición 9 lodebemospromediarconelvalordelasiguienteposición.

𝐷! =200 + 201

2= 200.5

𝐷! = 200.5Decil7

𝐷! =7 ∙ 1810

=12610

= 12.6 ≈ 13Elnúmero12.6esunnúmerodecimal,loquenosindicaráqueelvalorenlaposición12.6lodebemosderedondeara13.Porlotantoelvalorenlaposición13es:𝐷! = 201c)Percentiles:Utilizamoslafórmula𝐷! =

!∙!!""paraencontrarlaposición.

Percentil40

𝑃!" =40 ∙ 18100

=720100

= 7.2 ≈ 7Elnúmero7.2esunnúmerodecimal,loquenosindicaráqueelvalorenlaposición7.2lodebemosderedondeara7.Porlotantoelvalorenlaposición7es:𝑃!" = 199

Percentil50

𝑃!" =50 ∙ 18100

=900100

= 9El número 9 es un número entero, lo que nos indicará que el valor en la posición 9 lodebemospromediarconelvalordelasiguienteposición.

𝑃!" =200 + 201

2= 200.5

𝑃!" = 200.5Percentil88

𝑃!! =88 ∙ 18100

=1584100

= 15.84 ≈ 16El número15.84 es unnúmerodecimal, lo quenos indicaráque el valor en la posición15.84lodebemosderedondeara16.Porlotantoelvalorenlaposición16es:𝑃!! = 203

EJEMPLO2Lasiguientetabladedistribucióndefrecuenciasregistralossalariossemanalesenmilesdepesosde75empleadosdelacompañía“FestoDidactic”;determinar:a) CuartilesQ1,Q2yQ3b) DecilesD2,D7yD9c) PercentilesP15,P50yP75

Intervalos(Salarios)

Frecuencia(Familias)

110–119120–129130–139140–149150–159160–169170–179180–189190–199

591915117432

N=75SoluciónAgregamoscolumnadefrecuenciaacumuladafa.

Intervalos(Salarios)

Frecuencia(Familias)

FrecuenciaAcumulada(fa)

110–119120–129130–139140–149150–159160–169170–179180–189190–199

591915117432

51433485966707375

N=75

a)CuartilesCuartil1(Q1)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordelcuartil1(Q1),utilizandolafórmula:

𝑄! =𝑛 ∙ 𝑁4

𝑄! =1 ∙ 754

= 18.75Entonceselcuartil1quedaubicadoeneltercerintervalodeclasedebidoaquelaposición18.75estáenlafrecuenciaacumuladadel15al33.Li=130–0.5=129.5fa=14fc=19C=10

Utilizamoslafórmula𝑄! = 𝐿! +!∙!! !!!!!

∙ 𝐶

𝑄! = 129.5 +18.75 − 14

19∙ 10 = 129.5 + 0.25 ∙ 10 = 129.5 + 2.5 = 132

𝑄! = 132

Cuartil2(Q2)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordelcuartil2(Q2),utilizandolafórmula:

𝑄! =𝑛 ∙ 𝑁4

𝑄! =2 ∙ 754

= 37.5Entonceselcuartil2quedaubicadoenelcuartointervalodeclasedebidoaquelaposición37.5estáenlafrecuenciaacumuladadel34al48.Li=140–0.5=139.5fa=33fc=15C=10

Utilizamoslafórmula𝑄! = 𝐿! +!∙!! !!!!!

∙ 𝐶

𝑄! = 139.5 +37.5 − 33

15∙ 10 = 139.5 + 0.3 ∙ 10 = 139.5 + 3 = 142.5

𝑄! = 142.5

Cuartil3(Q3)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordelcuartil3(Q3),utilizandolafórmula:

𝑄! =𝑛 ∙ 𝑁4

𝑄! =3 ∙ 754

= 56.25Entonces el cuartil 3 queda ubicado en el quinto intervalo de clase debido a que laposición56.25estáenlafrecuenciaacumuladadel49al59.Li=150–0.5=149.5fa=48fc=11C=10

Utilizamoslafórmula𝑄! = 𝐿! +!∙!! !!!!!

∙ 𝐶

𝑄! = 149.5 +56.25 − 48

11∙ 10 = 149.5 + 0.75 ∙ 10 = 149.5 + 7.5 = 157

𝑄! = 157b)DecilesDecil2(D2)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordeldecil2(D2),utilizandolafórmula:

𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁10

𝐷! =2 ∙ 7510

= 15Entonceseldecil2quedaubicadoeneltercerintervalodeclasedebidoaquelaposición15estáenlafrecuenciaacumuladadel15al33.Li=130–0.5=129.5fa=14fc=19C=10

Utilizamoslafórmula𝐷! = 𝐿! +!∙!!" !!!!!

∙ 𝐶

𝐷! = 129.5 +15 − 1419

∙ 10 = 129.5 + 0.0526 ∙ 10 = 129.5 + 0.526 = 130.026

𝐷! = 130.026Decil7(D7)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordeldecil7(D7),utilizandolafórmula:

𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁10

𝐷! =7 ∙ 7510

= 52.5Entonceseldecil7quedaubicadoenelquintointervalodeclasedebidoaquelaposición52.5estáenlafrecuenciaacumuladadel49al59.Li=150–0.5=149.5fa=48fc=11C=10

Utilizamoslafórmula𝐷! = 𝐿! +!∙!!" !!!!!

∙ 𝐶

𝐷! = 149.5 +52.5 − 48

11∙ 10 = 149.5 + 0.4090 ∙ 10 = 149.5 + 4.09 = 153.59

𝐷! = 153.59Decil9(D9)Primeramentedeterminamoslaposicióndelvalordeldecil9(D9),utilizandolafórmula:

𝐷! =𝑛 ∙ 𝑁10

𝐷! =9 ∙ 7510

= 67.5

Entonceseldecil9quedaubicadoenelséptimointervalodeclasedebidoaquelaposición67.5estáenlafrecuenciaacumuladadel67al70.Li=170–0.5=169.5fa=66fc=4C=10

Utilizamoslafórmula𝐷! = 𝐿! +!∙!!" !!!!!

∙ 𝐶

𝐷! = 169.5 +67.5 − 66

4∙ 10 = 169.5 + 0.375 ∙ 10 = 169.5 + 3.75 = 173.25

𝐷! = 173.25c)PercentilesPercentil15(P15)Primeramente determinamos la posición del valor del percentil 15 (P15), utilizando lafórmula:

𝑃! =𝑛 ∙ 𝑁100

𝑃!" =15 ∙ 75100

= 11.25Entonceselpercentil15quedaubicadoenelsegundointervalodeclasedebidoaque laposición11.25estáenlafrecuenciaacumuladadel6al14.Li=120–0.5=119.5fa=5fc=9C=10

Utilizamoslafórmula𝑃! = 𝐿! +!∙!!"!!!!!!

∙ 𝐶

𝑃!" = 119.5 +11.25 − 5

9∙ 10 = 119.5 + 0.6944 ∙ 10 = 119.5 + 6.944 = 126.44

𝑃!" = 126.44

Percentil50(P50)Primeramente determinamos la posición del valor del percentil 50 (P50), utilizando lafórmula:

𝑃! =𝑛 ∙ 𝑁100

𝑃!" =50 ∙ 75100

= 37.5Entonces el percentil 50 queda ubicado en el cuarto intervalo de clase debido a que laposición37.5estáenlafrecuenciaacumuladadel34al48.Li=140–0.5=139.5fa=33fc=15C=10

Utilizamoslafórmula𝑃! = 𝐿! +!∙!!""!!!!!

∙ 𝐶

𝑃!" = 139.5 +37.5 − 33

15∙ 10 = 139.5 + 0.3 ∙ 10 = 139.5 + 3 = 142.5

𝑃!" = 142.5Percentil75(P75)Primeramente determinamos la posición del valor del percentil 75 (P75), utilizando lafórmula:

𝑃! =𝑛 ∙ 𝑁100

𝑃!" =75 ∙ 75100

= 56.25Entonces el percentil 75 queda ubicado en el quinto intervalo de clase debido a que laposición56.25estáenlafrecuenciaacumuladadel49al59.Li=150–0.5=149.5fa=48fc=11C=10

Utilizamoslafórmula𝑃! = 𝐿! +!∙!!""!!!!!

∙ 𝐶

𝑃!" = 149.5 +56.25 − 48

11∙ 10 = 149.5 + 0.75 ∙ 10 = 149.5 + 7.5 = 157

𝑃!! = 157

ACTIVIDAD6

1.Treintafallasdeenergíaduraron23,130,49,100,36,31,85,54,123,67,44,38,93,17,97,75,42,81,62,128,19,39,96,26,80,53,85,77,29y86minutos,determinar:a) LoscuartilesQ1,Q2yQ3

b) LosdecilesD3,D7yD9

c) LospercentilesP45,P65yP85

2.Dieciséistraductoresdeinglés-español,enunahoralograrontraducir92,107,123,90,78,81,76,94,105,88,109,121,95,101,90y89páginasdeunmismolibrodecontroldecalidad;determina:a) LoscuartilesQ1,Q2yQ3

b) LosdecilesD4,D6yD8

c) LospercentilesP30,P70yP90

ACTIVIDAD71.LasiguientetabladedistribucióndefrecuenciasregistralossalariosanualesenmilesdedólaresdecincuentafamiliasquetrabajaneneldepartamentodeagriculturadeCalifornia.Determina:LoscuartilesQ1,Q2yQ3.LosdecilesD2,D6yD9.LospercentilesP35,P65yP80

Intervalos(Salarios)

Frecuencia(Familias)

9500–999910000–1049910500–1099911000–1149911500–1199912000–1249912500–1299913000–13499

3813107531

N=50

2.Lasiguientetabladedistribucióndefrecuenciasregistralostiemposensegundosque35atletasvaronestardanenrecorrerunaprueba.Determina:LoscuartilesQ1,Q2yQ3.LosdecilesD3,D6yD9.LospercentilesP35,P70yP90

Intervalos(Segundos)

Frecuencia(Atletas)

88–9293–9798–102103–107108–112

251396

N=35