matrice - Учитељски факултет у Врању_pojam,_osobine... · množenje matrica...
Post on 06-Feb-2018
250 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Matrice
1
Osnovni pojmovi: matrice i determinante
Operacije sa matricama
Primena matričnog računa
2
Svaku tabelu možemo prikazati u obliku pravougaone šeme podataka poznate pod nazivom matrica, u oznaci:
Turističke
agencije
Turističke ponude
S1 S2 S3 S4 S5
D1 20 30 40 50 60
D2 22 28 40 45 61
D3 19 32 40 50 60
D4 18 26 42 52 61
20 30 40 50 60
22 28 40 45 61
19 32 40 50 60
18 26 42 52 61
3
Osnovni pojmovi
Matricu zapisujemo u opštem obliku
ili kraće
gde je opšti član (i=1,2,...,m j=1,2,...,n)
m broj vrsta
n broj kolona
ija
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
4
ij m x nA a
Kraći prikaz matrice
Red (tip) matrice označava broj vrsta i kolona matrice.
Na primer, matrica A je tipa 3x2:
Matrica B je tipa 2x3:2 3
2 -1 6
1 1 -1x
B
3x2
1 2
A= 5 -9
3 -2
5
◦ Kvadratne
◦ Jedinične
◦ Matrica vrsta
◦ Matrica kolona
◦ Nulta matrica
◦ Transponovana matrica
6
Matrica koja ima isti broj elemenata u vrsti i koloni naziva se kvadratna matrica i to je matrica tipa nxn.
U okviru kvadratne matrice mogu se uočiti glavna i sporedna dijagonala matrice. Elementi , čine glavnu dijagonalu matrice, a elementi sporednu dijagonalu matrice.
7
11 22, ,..., nna a a
1 2 -1 1, ,..., n n na a a
Kvadratna matrica kod koje su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki 0 , a elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1 naziva se jedinična matrica i obeležava se simbolom gde je broj vrsta i kolona.
Jedinična matrica tipa :
8
( , 0)ijza i j a
( , 1)ijza i j a
n x nI nn n
1...00
............
0...10
0...01
Matrica koja ima samo jednu vrstu naziva se matrica vrsta (1xn)
9
1 4 0 2 1 4xA
Na primer:
Matrica koja ima samo jednu kolonu naziva se matrica kolona (mx1)
Na primer:
10
3 1
1
2
2
xA
Kvadratna matrica koja ima sve elemente jednake 0 naziva se nula matrica i obeležava se simbolom 0.
11
Transponovana matrica AT ili A’ matrice A se dobija tako što se kolone matrice A prelaze u vrste matrice AT.
Ako je matrica A tipa mxn, onda je transponovana matrica AT tipa nxm.
12
13
1 2 1 3
3 4 2 4
T
Jednakost matrica Sabiranje (oduzimanje) matrica Množenje matrica realnim brojem Množenje matrica Inverzna matrica
A B
A B
14
r AA B
1A
Dve matrice su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi međusobno jednaki.
15
1, 1,ij ij ij ijmxn mxnA a B b a b i m j n
Da li su jednake matrice?
16
1 0
2 1
3 2
A i 1 2 3
0 1 2B
Nisu, jer nisu istog tipa.
Zbir dve matrice istog tipa je matrica, takođe istog tipa čiji je svaki element jednak zbiru elemenata obe matrice sa iste pozicije.
17
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
n n
n n
m m mn m m mnmxn mxn
a a a b b b
a a a b b b
a a a b b b
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
...
...
... ... ... ...
...
n n
n n
m m m m mn mn mxn
b a b a b a
b a b a b a
b a b a b a
=
.
18
2 1 2 0
0 1 5 0
3 2 0 1
2 2 1 0 0 1
0 5 1 0 5 1
3 0 2 1 3 1
Matrica se množi realnim brojem tako što se svaki element matrice pomnoži datim realnim brojem.
19
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
n n
n n
m m mn m m mn
a a a ra ra ra
a a a ra ra rar
a a a ra ra ra.
20
2 3 2 6 9 6
3 0 1 0 0 3 0
1 5 1 3 15 3
Proizvod dve matrice, gde je broj kolona jedne matrice jednak broju vrsta druge matrice, je matrica čiji je broj vrsta jednak broju vrsta prve matrice, broj kolona je jednak broju kolona druge matrice, a elemeni nove matrice se izračunavaju
21
ijc
n
k
kjikij bac1
22
11 12 111 12 1
21 22 221 22 2
1 21 2
......
......
... ... ... ...... ... ... ...
......
qn
qn
n n nqm m mn mxn nxq
b b ba a a
b b ba a a
b b ba a a
11 12 1
21 22 2
1 2
11 11 11 12 21 1 1
1 1 2 2
...
...
... ... ... ...
...
...
...
q
q
m m mq mxq
n n
ij i j i j in nj
c c c
c c c
c c c
c a b a b a b
c a b a b a b
.
23
1 02 0 3
2 51 1 0
0 3
A i B
1 0 1 2 0 1 1 0 0 1 1 3 0 02 0 3
2 5 2 2 5 1 2 0 5 1 2 3 5 01 1 0
0 3 0 2 3 1 0 0 3 1 0 3 3 0
A B
2 0 3
9 5 6
3 3 0
A B
Izračunati proizvod matrica
Proizvod matrica je definisan jer je matrica A tipa 3x2 a matrica B tipa 2x3
Množenje matrica nije komutativno
A B B A
24
Neka je data kvadratna matrica . Kvadratna matrica koja ima svojstvo
gde je E jedinična matrica, zove se inverzna matrica matrice .
Regularna matrica ima jednoznačno određenu inverznu matricu
gde je transponovana matrica matrice kofaktora matrice .
Kofaktor se definiše isto kao kod determinante, tj.
gde je minor elementa .
.
Rešiti matričnu jednačinu , gde
su .
Množimo obe strane jednačine s leva sa
pa dobijamo sledeće:
.
top related