Matrice

1

Osnovni pojmovi: matrice i determinante

Operacije sa matricama

Primena matričnog računa

2

Svaku tabelu možemo prikazati u obliku pravougaone šeme podataka poznate pod nazivom matrica, u oznaci:

Turističke

agencije

Turističke ponude

S1 S2 S3 S4 S5

D1 20 30 40 50 60

D2 22 28 40 45 61

D3 19 32 40 50 60

D4 18 26 42 52 61

20 30 40 50 60

22 28 40 45 61

19 32 40 50 60

18 26 42 52 61

3

Osnovni pojmovi

Matricu zapisujemo u opštem obliku

ili kraće

gde je opšti član (i=1,2,...,m j=1,2,...,n)

m broj vrsta

n broj kolona

ija

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

4

ij m x nA a

Kraći prikaz matrice

Red (tip) matrice označava broj vrsta i kolona matrice.

Na primer, matrica A je tipa 3x2:

Matrica B je tipa 2x3:2 3

2 -1 6

1 1 -1x

B

3x2

1 2

A= 5 -9

3 -2

5

◦ Kvadratne

◦ Jedinične

◦ Matrica vrsta

◦ Matrica kolona

◦ Nulta matrica

◦ Transponovana matrica

6

Matrica koja ima isti broj elemenata u vrsti i koloni naziva se kvadratna matrica i to je matrica tipa nxn.

U okviru kvadratne matrice mogu se uočiti glavna i sporedna dijagonala matrice. Elementi , čine glavnu dijagonalu matrice, a elementi sporednu dijagonalu matrice.

7

11 22, ,..., nna a a

1 2 -1 1, ,..., n n na a a

Kvadratna matrica kod koje su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki 0 , a elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1 naziva se jedinična matrica i obeležava se simbolom gde je broj vrsta i kolona.

Jedinična matrica tipa :

8

( , 0)ijza i j a

( , 1)ijza i j a

n x nI nn n

1...00

............

0...10

0...01

Matrica koja ima samo jednu vrstu naziva se matrica vrsta (1xn)

9

1 4 0 2 1 4xA

Na primer:

Matrica koja ima samo jednu kolonu naziva se matrica kolona (mx1)

Na primer:

10

3 1

1

2

2

xA

Kvadratna matrica koja ima sve elemente jednake 0 naziva se nula matrica i obeležava se simbolom 0.

11

Transponovana matrica AT ili A’ matrice A se dobija tako što se kolone matrice A prelaze u vrste matrice AT.

Ako je matrica A tipa mxn, onda je transponovana matrica AT tipa nxm.

12

13

1 2 1 3

3 4 2 4

T

Jednakost matrica Sabiranje (oduzimanje) matrica Množenje matrica realnim brojem Množenje matrica Inverzna matrica

A B

A B

14

r AA B

1A

Dve matrice su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi međusobno jednaki.

15

1, 1,ij ij ij ijmxn mxnA a B b a b i m j n

Da li su jednake matrice?

16

1 0

2 1

3 2

A i 1 2 3

0 1 2B

Nisu, jer nisu istog tipa.

Zbir dve matrice istog tipa je matrica, takođe istog tipa čiji je svaki element jednak zbiru elemenata obe matrice sa iste pozicije.

17

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

n n

n n

m m mn m m mnmxn mxn

a a a b b b

a a a b b b

a a a b b b

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

...

...

... ... ... ...

...

n n

n n

m m m m mn mn mxn

b a b a b a

b a b a b a

b a b a b a

=

.

18

2 1 2 0

0 1 5 0

3 2 0 1

2 2 1 0 0 1

0 5 1 0 5 1

3 0 2 1 3 1

Matrica se množi realnim brojem tako što se svaki element matrice pomnoži datim realnim brojem.

19

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

n n

n n

m m mn m m mn

a a a ra ra ra

a a a ra ra rar

a a a ra ra ra.

20

2 3 2 6 9 6

3 0 1 0 0 3 0

1 5 1 3 15 3

Proizvod dve matrice, gde je broj kolona jedne matrice jednak broju vrsta druge matrice, je matrica čiji je broj vrsta jednak broju vrsta prve matrice, broj kolona je jednak broju kolona druge matrice, a elemeni nove matrice se izračunavaju

21

ijc

n

k

kjikij bac1

22

11 12 111 12 1

21 22 221 22 2

1 21 2

......

......

... ... ... ...... ... ... ...

......

qn

qn

n n nqm m mn mxn nxq

b b ba a a

b b ba a a

b b ba a a

11 12 1

21 22 2

1 2

11 11 11 12 21 1 1

1 1 2 2

...

...

... ... ... ...

...

...

...

q

q

m m mq mxq

n n

ij i j i j in nj

c c c

c c c

c c c

c a b a b a b

c a b a b a b

.

23

1 02 0 3

2 51 1 0

0 3

A i B

1 0 1 2 0 1 1 0 0 1 1 3 0 02 0 3

2 5 2 2 5 1 2 0 5 1 2 3 5 01 1 0

0 3 0 2 3 1 0 0 3 1 0 3 3 0

A B

2 0 3

9 5 6

3 3 0

A B

Izračunati proizvod matrica

Proizvod matrica je definisan jer je matrica A tipa 3x2 a matrica B tipa 2x3

Množenje matrica nije komutativno

A B B A

24

Neka je data kvadratna matrica . Kvadratna matrica koja ima svojstvo

gde je E jedinična matrica, zove se inverzna matrica matrice .

Regularna matrica ima jednoznačno određenu inverznu matricu

gde je transponovana matrica matrice kofaktora matrice .

Kofaktor se definiše isto kao kod determinante, tj.

gde je minor elementa .

.

Rešiti matričnu jednačinu , gde

su .

Množimo obe strane jednačine s leva sa

pa dobijamo sledeće:

.