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MATEMÁTICA I

Aula 01Revisão _ Produtos Notáveis

Professor Luciano Nóbrega

1º Bimestre

1

“Felizes aqueles que se divertem com problemas

Matemáticos que educam a alma e elevam o espírito.”(Fraçois Fenelon – Educador Francês)

2

PRODUTOS NOTÁVEIS

Do dicionário :Produto – É o resultado de uma multiplicação;

Notável – Adjetivo digno de ser notado, percebido.

01 – Cite uma frase que utilize a palavra “NOTÁVEL”.

Observe a figura abaixo:

x2

16

I

I I

02 – Quanto mede o lado do quadrado de área x2 ?

03 – Quanto mede o lado do quadrado de área 16 ?

04 – Qual a área da figura I ?

05 – Qual a área da figura I I ?

06 – Utilizando um polinômio na forma reduzida, represente a área total da figura.

07 – Utilizando um binômio, represente a medida do lado da figura.

08 – Qual, das seguintes expressões, está correta?

A) (x + 4)2 = x2 + 42 B) (x + 4)2 = x2 + 8.x + 42

3

PRODUTOS NOTÁVEIS09 – Complete a tabela:

a b (a + b)2 a2 + b2 a2 + 2ab + b2

1 2

2 3

5 7

3 4

9 6

10 – Resolva algebricamente: (a + b)2

11 – Escreva, por extenso, o resultado obtido na questão anterior.

Resolva os produtos notáveis abaixo:

12 – (5x + y4)2

13 – (x + y)2 . (x + y)

14 – (x . y)2 – (x + y)2 – 2.(x + y)

15 – (2x/3 + 4y)2

16 – (5 + 6)2

17 – (a + b + c)2

4

PRODUTOS NOTÁVEISObserve a figura abaixo:

18 – Utilizando um binômio, represente a medida do lado

da figura I .

x

y

I

I I x

y

19 – Utilizando um trinômio, represente a área da figura I .

I I I

20 – Qual a área da figura I I ?

21 – Qual a área da figura I I I ?

22 – Qual a diferença entre as áreas das figuras I I e I I I , ou seja, AII – AIII ?

23 – Então, adicionando y2 à figura I I I , o que obtemos?

24 – Do quadrado de lado “x”, retirando um retângulo de área “xy”,

adicionando um quadrado de lado “y” e subtraindo outro retângulo

de área “xy”, o que obtemos?

25 – Escreva, por extenso, o resultado obtido na questão 19.

y2

5

PRODUTOS NOTÁVEISObserve a figura abaixo:

x

x y

y

x – y

x – y

I

I I

26 – Utilizando um binômio, represente a área da

figura I (a figura com formato de “L”).

x

x – y

x – y

y

Decompondo o “L”, obtemos dois retângulos que

possuem o lado “x – y” em comum:

x

Que podem ser

reordenados:

27 – Utilizando um produto,

represente a área do “L”

depois de “reordenado”.

28 – Resolva o produto obtido na questão anterior.

29 – Escreva, por extenso, o resultado obtido na questão anterior.

6

PRODUTOS NOTÁVEIS

Resolva os produtos abaixo:

30 – (x + a).(x + b)

31 – (x – a).(x – b)

32 – (x + a).(x – b)

33 – (x + y)3

34 – (x – y)3

35 – (4x + 5y).(4x – 5y)

36 – (x + y).(x2 – xy + y2)

37 – (x – y).(x2 + xy + y2)

Calcule cada expressão:

39 – (– 3)4 – 34 + 23 – (– 2)3 – 50 + (–5)0

40 – (– 5)– 2 + 521/523 – (5/3)–2

41 – [(16)3/4]1/2 +√200 – √32

38 – (√a + √b).(√a – √b)

42 – (a2 + b2).(x2 + y2)

43 – (ax – by)2 + (ay + bx)2

44 – (a2 + b2)2

45 – (a + b)2 + (a – b)2

46 – (a + b)2 – (a – b)2

47 – [1/2(a + b)]2 – [1/2(a – b)]2

MATEMÁTICA I

Aula 02Revisão _ Fatoração

Professor Luciano Nóbrega

1º Bimestre

7

“Ao longo do tempo muitos homens conseguiram atingir o êxtase

da criação. A estes homens dá-se o nome de MATEMÁTICOS.”(Autor Desconhecido)

8FATORAÇÃO

Do dicionário :Fatoração – Ação de fatorar, ou seja, escrever com fatores.

“Fatores” são como são chamados os termos da multiplicação.

Observe a figura: 48 – Qual é a área da figura I I I ?

b

x

I I I

a

I I

I

c

49 – Qual é a área da figura I I e da figura I ?

50 – Qual é a área total da figura? Responda de duas

formas diferentes:

a) Utilizando um trinômio; b) Na forma fatorada.

Existem vários casos de fatoração. Vejamos os principais:

FATOR COMUM

51 – Fatore os seguintes termos:

a) 2x + 8y – 6z b) 2x2 – 6xy

c) 12x2y3 + 6xyz – 18y2z d) (a + b).x + (a +b).y

52 – Sabendo que x + y = 25 e y = 4, determine o valor numérico de

xy + y2 de duas maneiras:

a) Inicialmente, determinando o valor de x;

b) Inicialmente, fatorando .

9FATORAÇÃO

53 – Qual a área da figura I ?

FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO

Observe a figura:

I

I V

I I

I I I

a

b

x

56 – Considere a expressão 6x2y – 12x + xy2 – 2y:

a) Qual a fatoração entre os termos 6x2y – 12x ?

b) Qual o fatoração entre os termos xy2 – 2y ?

c) Existe um fator comum entre as respostas dos itens “a” e “b”.

Colocando esse termo em evidência, fatore a expressão dada.

y

54 – Quais as áreas das figuras I I, I I I e I V ?

55 – Qual é a área total da figura? Responda

de duas formas diferentes:

a) Utilizando um polinômio;

b) Na forma fatorada.

57 – Fatore os seguintes termos:

a) 3x + 3y + 12x + 12y b) x2 – 3x + ax – 3a

c) 2b2 + 2c3 + ab2 + ac3 d) 2ax + 4bx – 3ay – 6by

10FATORAÇÃO

“DIFERENÇA” ENTRE DOIS QUADRADOS

Observe a figura:

y

x

Concluímos na questão 26 que a área da figura pode

ser representada por x2 – y2.

x

x – y

x – y

yI

I I

58 – Utilizando um produto, qual a área da figura I ?

61 – Fatore os seguintes termos:

a) x2 – y2 b) x2 – 25 c) a2 – 16 d) 1 – 16b2

e) 3 – x f) x4 – 81 g) x4 – 1 h) 4/25 – a2

59 – Utilizando um produto, qual a área da figura I I ?

60 – Considere a soma das respostas obtidas nas

questões 58 e 59. Existe um fator comum entre as

respostas. Colocando esse termo em evidência,

fatore a expressão.

62 – Lembre-se que a medida da área de um círculo é dada por πR2. Qual

é a área da “coroa circular”? Responda de duas formas diferentes:

a) Utilizando um polinômio; b) Na forma fatorada.

11FATORAÇÃO

TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

63 – Fatore os seguintes termos:

a) x2 + 2xy + y2 b) x2 – 2xy + y2 c) 4a2 – 12ab2 + 9b4

d) 1 – 8b + 16b2 e) 3x2 + 6x + 3 f) 16a4 – 8a2b4 + b8

TRINÔMIO DO 2º GRAU

64 – Fatore os seguintes termos:

a) x2 + (a + b)x + ab b) x2 + 5x + 6 c) a2 + 13a + 42

d) x2 – (a + b)x + ab e) x2 – 5x + 6 f ) a2 – 16a + 60

g) x2 + (a – b)x – ab h) x2 + x – 6 i ) a2 – a – 6

SOMA (& DIFERENÇA) DE CUBOS

65 – Fatore os seguintes termos:

a) x3 + y3 b) x3 – y3 c) a3 – 27

d) 125 – 216x3 e) x3 – 1 f) 1 + x3

66 – Simplifique as expressões até que obtenha um número real.

a) _2x – 5y_ b) _6a – 3_ c) _3x2 + 27x + 60_

4x – 10y 1 – 2a 5(x + 4) + x2 +4x

d) _–9x2 + 36x – 36_ e) √3 – √3 f ) __6x2 – 9x__

(x – 2)2 3 – 3 – 45x + 30x2

12FATORAÇÃO

Fatore as expressões abaixo e, quando possível, substitua o

valor da variável dada:

67 – _x2 – 9_ ; x = 3

x – 3

68 – _4x2 – 1_ ; x = 1/22x – 1

69 – _x – 5__ ; x = 5

√x – √5

70 – _x4 – 81__ ; x = – 3

x + 3

71– _–x + 1__ ; x = 1

16x4 – 16

72– ; x = 1

73– _x2 – x – 6 ; x = – 2

x + 2

74– ; t = 0

75– ; h = 0

76– ; x = 2

77– ; t = – 3

78– ; x = 0

79– ; x = 2

80– ; x = – 2

81– ; x = 9

82– ; x = – 4

83– ; x = 9

84–

com x = 1

MATEMÁTICA I

Aula 03Teoria dos Conjuntos

Professor Luciano Nóbrega

1º Bimestre

13

“DEUS criou os números naturais.

O resto é obra dos homens.”

Leopold Kronecker (Matemático Alemão)

14TEORIA DOS CONJUNTOS

Observe a foto de um supermercado:

85 – O que aconteceria se os produtos vendidos

nos supermercados não fossem agrupados?

86 – Seria adequado colocar um mesmo produto

em duas seções diferentes? Por quê?

87 – Dê exemplos de seu cotidiano que utilize a

ideia de agrupar elementos.

CONCEITOS PRIMITIVOS

1º) CONJUNTO – é uma coleção não-ordenada de objetos.USAMOS LETRAS MAIÚSCULAS

PARA REPRESNTÁ-LOS.

2º) ELEMENTOS – objetos que constituem o conjunto. usamos letras minúsculas para representá-los.

3º) SUBCONJUNTOS – são agrupamentos formados dentro de um conjunto.

4º) CONJUNTO UNIVERSO – é o conjunto que reúne TODOS os itens anteriores.

88 – Dê exemplos dos conceitos primitivos da teoria dos conjuntos.

89 – Determine o conjunto solução dado pela condição:

a) x2 + 25 = 0 b) x2 – 3x – 10 = 0 e x > 0

15TEORIA DOS CONJUNTOS

RELAÇÕES

Relação de Pertinência – Notação: ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence)

Qualquer objeto que seja elemento de um conjunto é dito pertencer

aquele conjunto.Relação de Continência – Notação: ⊂ (contido) ou ⊄ (não está contido)

Quando um conjunto estiver inserido em outro conjunto, dizemos

que o primeiro conjunto está contido no segundo conjunto.OBSERVAÇÕES:A relação de pertinência, ∈ ou ∉ , é utilizada para relacionar elementos com conjuntos.

A relação de continência, ⊂ ou ⊄, é utilizada para relacionar conjunto com conjunto.

Se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B.

90 – Utilize, corretamente, um dos quatro símbolos de relações:a) 4/11 ___ N b) N ___ Ǭ c) N ___ R d) √5 ___ R e) – 4,7 ___ Z

f ) 0 ___ I g) 2,3333... ___ Ir h) R ___ Ǭ i) √5 ___ Q j) Z ___ Q

CONJUNTOS NUMÉRICOSN: conjunto dos números naturais: {0, 1, 2, 3, ...}

Criado para representar a contagem. Z: conjunto dos números inteiros: {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

Criado para responder questões, tais como 3 – 8 = ?

Q: conjunto dos números racionais: {x|x = a/b ; a, b ∈ Z , b ≠ 0}

Criado para responder questões, tais como 3 : 8 = ? I: conjunto dos números irracionais: {x|x ∉ Q}

Criado para responder questões, tais como √3 = ?R: conjunto dos números reais: { x | x ∈ ( Q + I ) }

Criado para unir os conjuntos “Q” e “R”

16TEORIA DOS CONJUNTOS

91 – Se “a” e “b” pertencem a Z*, então, certamente serão números

inteiros: A) a + b ; a – b ; a/b B) a + b ; a.b ; a/bC) a.b ; ab ; a + b D) a – b ; √a ; a.b E) a + b ; a – b ; a.b

92 – Determine as frações geratrizes das dízimas:

a) 0,7777... b) 0,232323... c) 0,789789789... d) 2,3333...

e) 3,454545... f) 0,005555... g) 1,31212121... h) 0,142857142857...

93 – Sendo a = 0,1222... e b = 2,1111... , calcule o valor de “a . b":

94 – O intervalo XY de extremos 20,14 e 26,74 indicados na reta

numerada abaixo está dividido em onze partes iguais. Nesse intervalo estão

indicados os números decimais “A”, “B” e “C”. Determine o valor de B – [(C – A)/2]

X A B C Y

95 – Considere os números racionais A = 11/15 , B = 7/12 e C = 13/18.

a) Escreva – os em ordem crescente;

b) A + B + C = ? c) 2A – 3(B – C) = ?

96 – (FEI) Que número real

representa a expressão:

13

01

3

1.

3

2.

3

8

8,01,0

17TEORIA DOS CONJUNTOS

CONJUNTOS DAS PARTES – P(A): É o conjunto de todos os

subconjuntos do conjunto A. OBS: O número de elementos de P(A) é dado

por 2n , onde “n” é o número de elementos de “A”.

97 – Considere os conjuntos X = {a, b}, Y = {c, d, e} e Z = {f, g, h, i}.

Determine: a) P(X) b) P(Y) c) P(Z)

d) Para cada um dos itens anteriores, verifique a conjectura de que

o número de elementos de P(A) = 2n.

98 – (Unifor – CE) Se A = {x, y, z}, então o número de elementos de

P(P(A)) possui: A) 8 elementos B) 16 elementos

C) 256 elementos D) 512 elementos

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

Considere os conjuntos : A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}.

99 – UNIÃO: A união de “A” e “B”, denotada por A ⋃ B, é o conjunto que

contém aqueles elementos que estão em “A”, ou em “B”, ou em ambos.

Sendo assim, determine A ⋃ B

100 – INTERSEÇÃO: A interseção de “A” e “B”, denotada por A ⋂ B,

é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em “A” e em

“B” ao mesmo tempo. Sendo assim, determine A ⋂ B

105 – (UFRN) As figuras ao lado representam diagramas de

Venn dos conjuntos X, Y e Z. Marque a opção em que a

região hachurada representa o conjunto Y Z – X.

18TEORIA DOS CONJUNTOS

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

Considere os conjuntos : A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}.101 – DIFERENÇA: A diferença de “A” e “B”, denotada por A – B, é o conjunto

que contém aqueles elementos que estão em “A” mas não estão em “B”.

Sendo assim, determine: a) A – B b) B – A

102 – COMPLEMENTAR: Se “U” é o conjunto Universo, U – A é chamado

de complemento de “A” e é denotado por “ Ā ” ou por ou ainda

Sendo assim, determine: a) U = A U B b) Ā c)

103 – Dados os conjuntos:

A = {x | x é um número natural primo menor do que 10}

B = {x | x ∈ Z e – 6 < x ≤ 4} C = {x | x ∈ N é divisor de 12} , determine:

a) A – B b) CBA c) A ⋂ B d) A ⋂ C e) B – A

f) A U B g) B ⋂ C h) (A ⋂ B) ⋂ C i) A ⋂ (B ⋂ C) j) A – CAB

k) Ā l) (C – B) U (C – A) m) (B – A) U (A – B)

104 – Dados os conjuntos: P = {Todos os polígonos}; L = {Todos os losangos};

G = {Todos os paralelogramos}; Q = {Todos os quadrados} e R = {Todos os

retângulos}. Fazendo um diagrama, determine:

a) L ⋂ R b) L U G c) Q ⋂ L d) G U P

19TEORIA DOS CONJUNTOS

NÚMERO DE ELEMENTOS DO CONJUNTO UNIÃO

106 – Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 3, 5, 7}.

Se n(A) representa a quantidade de elementos do conjunto “A”, então

determine: a) n(A) b) n(B) c) A U B

d) n(AUB) e) A ⋂ B f) n(A⋂B)

107 – Verifique (utilize “V” ou “F”), com base nas respostas da questão anterior, se:

a) n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) b) n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) – n(A ⋂ B)

108 – Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram

consultadas 630 pessoas e o resultado foi o seguinte: 350 delas lêem o jornal A,

210 lêem o jornal B e 90 lêem os jornais A e B. Pergunta-se:

a) quantas pessoas lêem apenas o jornal A?

b) quantas pessoas lêem apenas o jornal B?

c) quantas pessoas lêem jornais?

d) quantas pessoas não lêem jornais?

109 – Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças

ruivas, 13 meninos NÃO são ruivos e 9 meninas são ruivas.

a) Quantas crianças existem na escola?

b) Quantas crianças são meninas ou são ruivas?

c) Quantas crianças são meninos e são ruivas?

R CUR T

♀

♂T

20TEORIA DOS CONJUNTOS

110 – O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa sobre as

revistas que os estudantes do Ensino Médio costumam ler:

111 – (UFRN) Uma pesquisa de opinião, realizada num bairro de Natal,

apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados freqüentavam a praia

de Ponta Negra, 55% freqüentavam a praia do Meio e 15% não iam a praia. De

acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que freqüentavam

ambas as praias era de: A) 20% B) 35% C) 40% D) 25%

Revistas Leitores

A 150

B 200

C 250

A e B 70

A e C 90

B e C 80

A, B e C 60

Nenhuma 180

a) Quantos foram os estudantes

consultados?

b) Quantos estudantes lêem

apenas a revista A?

c) Quantos estudantes lêem a

revista B e não lêem a C?

d) Quantos estudantes não lêem

a revista A?

e) Quantos estudantes lêem a

revista A ou a revista C?

112 – Os conjuntos A, B e A ⋂ B têm, respectivamente, 10, 15 e 7

elementos. Qual o número de elementos de A U B ?

116 – (UFMG) Em uma pesquisa, foram obtidos os seguintes resultados:

7% dos entrevistados, acessam os três sites; 12% dos entrevistados acessam os

dois sites, A e B; 15% acessam os sites A e C; 19% acessam B e C; 40%, o site A;

55% o B; 35% o C;135 pessoas entrevistadas não acessam nenhum dos sites.

Quantas pessoas foram entrevistadas ? A) 1500 B) 1450 C) 91 D) 100

21TEORIA DOS CONJUNTOS

113 – Sabe – se que n(A U B) = 15, n(A) = 7 e n(A ⋂ B) = 3, então

n(B – A) é igual a: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

INTERVALOS

Dados dois números reais “a” e “b”, com a < b, tem – se:

]a. b[ = {x ∈ R | a < x < b} = (a, b)a b

[a. b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} = [a, b]a b

114 – Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos:

a) {x ∈ R | – 1 < x ≤ 3} b) {x ∈ R | 2 ≤ x < 3} c) [3, +∞[ d) x < – 4

e) ] –√5, √3] f) [ –π, e [ g) x ≥ – 2 h) {–1 < x < 1} ⋂ [0, 3[

115 – Considere os conjuntos e a) Represente, sob a forma de intervalo, os conjuntos A e B.

b) Represente, na reta real , os conjuntos A, B e A ⋂ B.

c) Indique a condição que representa A U B e A ⋂ B.

d) Indique o menor número inteiro que não pertence a A U B.

22GABARITO1) Pessoal. Ex: O Professor tem uma dedicação notável. 2) x 3) 4 4) 4x 5) 4x 6) x2 +8x+16

7) x+4 8) x2 +8x+42 10) a2+2ab+b2 12) 25x2 +10xy4 +y8 13)x3+3x2y+3xy2 +y3 14) x2y2–x2–2xy–y2–2x–2y

9) 9 5 9 11) O quadrado da soma de dois termos é igual

ao quadrado do primeiro termo, mais duas

vezes o primeiro termo vezes o segundo termo,

mais o quadrado do segundo termo.

15) (4x^2)/9+16xy/3+16y2 16) 121

25 13 2517) a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 18) x – y

144 74 144

225 117 225 19) (x – y)2 = x2 –2xy –y2 20) xy 21) xy – y2 22) y2 23) xy 24) A figura I.

25) O quadrado da diferença de

dois termos é igual ao quadrado

do primeiro termo, menos duas

vezes o primeiro termo vezes o

segundo termo, mais o quadrado

do segundo termo.

26) x2 – y2 27) (x + y).(x – y) 28) x2 – y2 29) O produto entre a soma e a

diferença de dois termos é igual ao

quadrado do primeiro menos o

quadrado do segundo.

30) x2 + (a + b)x + ab 31) x2 – (a + b)x + ab

32) x2 + (a – b)x – ab 33) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

34) x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 35) 16x2 – 25y2 36) x3 + y3 37) x3 – y3 38) a – b 39) 16 40) –7/25 41) 8√2

42) = 43) 44) a4 + 2a2b2 + b4 45) 2a2 + 2b2 46) 4ab 47) ab 48) cx

49) bx ; ax 50) ax + bx + cx 51) a) 2.(x + 4y – 3z) ;b) 2x.(x – 3y) ;c) 6y.(2x2y2 + 6xz – 3yz) 52) a) = b) 100

53) ax 54) ay; by; bx 55) a) ax + ay + bx + by ; b) (x + y).(a + b) 56) a) 6x(xy – 2) ; b) y(xy – 2) ; c) (xy – 2)(6x + y)

57) a) 15.(x + y) ; b) (x – 3).(x – a) ; c) (2 + a).(b2 + c3) ; d) (a + 2b) .(2x – 3y) 58) x(x – y) 59) y(x – y) 60) (x – y)(x + y)

61) a) (x – y)(x + y) ; b) (x + 5)(x – 5) ; c) (a + 4)(a – 4) ; d) (1 + 4b)(1 – 4b) ;

e)(√3 + √x)(√3 – √x);f)(x2 + 9)(x + 3)(x – 3);g)(x2 + 1)(x2 – 1);h)(2/5 + a)(2/5 – a)

62) a) π.R2 – π.r2 ; b) π.(R + r).(R – r)

63) a) (x + y)2 ; b) (x – y)2 ; c) (2a - 3b)2 ;

d) (1 – 4b)2 ; e) 3.(x + 1)2 ; f) [(2a + b2) (2a – b2)]264) a) (x + a)(x + b) ; b) (x + 3)(x + 2) ; c) (a + 6)(a + 7) ; d) (x – a)(x – b)

e) (x–3)(x–2) ; f) (a–6)(a–10) ; g) (x+a)(x–b) ; h) (x+3)(x–2) ; i) (a – 3)(a + 2)

23GABARITO65) a) (x + y)(x2 – xy + x2) ; b) (x – y)(x2 + xy + x2) ; c) (x – 3)(x2 + 3x + 9) ;

d) (5 – 6x)(25 + 30x + 36x2) ; e) (x – 1)(x2 + x + 1) ; f) (1 + y)(1 – x + x2)

66) a) 1/2 ; b) –3 ; c) 3 ; d) –9 ; e) 1/2√3 ; f)1/5

67) 6 68) 2 69) 2√5 70) – 108

71) –1/ 64 72) √2 73) – 5 74) 1/6 75) 6 76) 5 77) 6/5 78) 8 79) 9/8 80) 1/12 81) 6 82) –1/16

83) 108 84) – 32 85) Pessoal. Ex: Dificuldade em encontrar um produto. 87) Pessoal. Ex: Grupo de alunos desta sala.

86) Pessoal. Exs: “SIM”, pois um mesmo produto pode pertencer a

dois grupos diferentes. Ou “NÃO”, pois dificultaria a organização.

88) Pessoal. Exs: CONJUNTO de alunos desta

sala. Cada aluno é um ELEMENTO. O s meninos

formam um SUBCONJUNTO. Todos os alunos da

escola compõem o conjunto UNIVERSO.89) a) S = ϕ b) S = {–2, 5} 90) a) ∉ b) ⊄ c) ⊂ d) ∈ e) ∉ f)∉

g) ∉ h) ⊄ i) ∉ j) ⊂

91) E 92) a) 7/9 b) 23/99 c) 263/333 d) 7/3 e) 346/99 f) 1/180 g) 433/330 h) 142857/999999 93) 209/810 94) 20,74

95) a) B < A < C b) 367/180 c) 113/60 96) –1/3 97) a) P(X) = {ϕ ; X; {a}; {b}} b) P(Y) = {ϕ ; Y; {c}; {d}; {e}; {c,d}; {c,e}; {d,e}}

97) //cont.// c) {ϕ ; Z; {f}; {g}; {h}; {i};{f,g}; {f,h}; {f,i}; {g,h}; {g,i}; {h,i}; {f,g,h}; {f,g,i}; {g,h,i}; {f,h,i}} d) Use P(A) = 2n

98) C 99) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 100) (4, 5) 101) a) {1, 2, 3} b) {6, 7} 102) a) = (questão 99) b) {6, 7} c) 1, 2, 3}

103) a) {5, 6, 7, 8, 9} b) {–5, –4, –3, –2, –1} c) {0, 1, 2, 3, 4} d) {1, 2, 3, 4, 5, 6} e) = (b) f) {–5, –4, –3, ..., 5, 6, 7, 8, 9}

g) {1, 2, 3, 4} = (h) = (i) j) = (c)

104) a) Q b) L c) Q d) P 105) C 106) a) 5 b) 4 c) {1, 2, 3, 5, 7, 9} d) 6 e) {3, 5, 7} f) 3 107) a) F b) V

108) a) 260 b) 120 c) 470 d) 160 109) a) 70 b) 57 c) 15 110) a) 620 b) 50 c) 120 d) 470 e) 330 111) B

112) 18 113) 8 114) Graf. 115) a) A = ] – ∞, 0[ B = [ – 2, 3] b) Graf. c) A U B = ] – ∞, 3] A ⋂ B = [ – 2, 0 [ d) 4

116) A

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“A questão primordial não é o que sabemos, mas como sabemos.” (Aristóteles – Filósofo Grego)

Complete com números:

___ção

___buscar

___ no meu colo

___ me beijar.

pois ja rezei ___

para encontrar ___

de te levar para ___

MATEMÁTICA I

Aula 04Função – Uma Ideia Fundamental

Professor Luciano Nóbrega

1º Bimestre

25

“A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão

servir não só para satisfazer os curiosos como, também

para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.”(Renê Descartes – Filósofo, Físico e Matemático Françês)

26NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

x2 y2yy1x1x

elementos

IMAGENS

A função é como uma máquina onde entram

que são transformados e saem suas

Matematicamente...Entra o “x”...

... E sai o “y”.

O domínio é o

conjunto de todas as

entradas, enquanto a

imagem é o conjunto

de todas as saídas.

117 – JOGO DE ADIVINHAÇÃO – Consiste no seguinte: O Professor pede a um

aluno que diga um número natural em voz alta e imediatamente em seguida o

Professor responde dizendo outro número. Marca 1 ponto quem adivinhar

primeiro qual é o padrão utilizado pelo Professor para responder o número.

f(x)

118 – Os fenômenos não ocorrem de forma isolada e sim em “função”

da relação entre grandezas. Sendo assim, relacione as duas colunas:

(A) Lucro de uma empresa ( ) Quantidade de Km rodados.

(B) Quantidade de bactérias ( ) Medida do lado

(C) Pressão em um mergulho ( ) Medida do raio

(D) Medida de uma circunferência ( ) Quantidade de vendas

(E) Área de um quadrado ( ) Profundidade

(F) Valor pago em um táxi ( ) Tempo decorrido

27

INTERPRETANDO A FUNÇÃO POR MEIO DE UM CONJUNTO

Considere os seguintes conjuntos A e B

1

2

3

5

6

7

8

9

A Bf

Definição de Função:

Dados dois conjuntos A e B, se para cada valor de “x” (x Є A)existir, em correspondência, um único valor de “y” (y Є B),então dizemos que “y” está em função de “x”.

Conjunto IMAGEM

NOTAÇÃO: f (x) = y

“A” é o

Conjunto

DOMÍNIO

“B” é o Conjunto

CONTRADOMÍNIO

NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

119 – Considere os diagramas:

28

a

b

c

x

y

z

w

a

b

c

x

y

z

w

a

b

c

y

za y

(I) (II) (III) (IV)

Assinale a alternativa correta:

A) Somente a (IV) representa uma função. B) Somente a (I) e (IV) representam funções.

C) Todas representam funções. D) Somente a (II) e (III) representam funções.

120 – (UFRJ) Considere a relação de M em N, representada no diagrama

abaixo. Para que seja uma função de M em N, basta:

A) apagar a seta (1) e retirar o elemento s;

B) apagar a setas (1) e (4) e retirar o elemento k;

C) apagar a seta (4) e retirar o elemento k;

D) apagar a seta (2) e retirar o elemento k.

121 – Dada a função f (x) = ax + b, calcule o valor de “a”

e “b”, sabendo que f (1) = 10 e f (–1) = 4

122 – Dada a função f (x) = ax + b, sabendo que f (2) = 3

e f (1) = –2, calcule f (–1).

NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

123 – Seja a função f: R ⟶ R, definida por f(x) = x2 – 3x + 5, determine:

a) f(0), ou seja, o termo independente

b) f(1), ou seja, a soma dos coeficientes c) f(2) – f(–2)

d) A imagem de x = – 3 e) O valor de x, para y = 3

29

124 – Seja as funções de R ⟶ R, definidas por f(x) = 2x e g(x) = m – x,

determine o valor de m, para que se tenha f(–1) + g(3) = –1

125 – Seja a função f: R ⟶ R, definidas por

para todo x ∈ R. Determine “a”, de tal forma que f(a) = f(a – 4).

126 – Considere as funções f(x) = 2x + m e g(x) = x2 – x + 4. Sabendo que f(2) = 6,

determine a soma dos valores de x para que f(x) = g(x).

127 – (UFRN) Determine o valor da expressão para a = – 1.

A) 32/3 B) –32/3 C) 0,32 D) –0,32

a2

a319.

a2

a31 2

5

3

128 – Determine o domínio das funções: a) f (x) = (x – 7) –1

b) f(x) = (3x – 1)1/2 c) f(x) = (x + 1)1/2 + (x – 3)–1/2

d) f(x) = (2x2 + x – 1) –1 e) f(x) = (1 – x)1/2 . x –1/2

NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

129 – (UFPE) Observe a seguir a ilustração de uma

operação correta de adição, na qual as parcelas e a soma estão

expressas no sistema decimal de numeração hindu – arábico e “x”, “y” e “z”

são algarismos entre 0 e 9. Quanto vale x + y + z? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19

30NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

8 x 3

y 8 7

_ 5 7 z_

2 2 9 6

130 – (UFCE) Qual dos gráficos ao lado

não pode representar uma função?

131 – Dados os pontos A(–3,–2), C(2,–2),

E(4, 2), G(2, 5), I(0, 3), J(–1, 4) e L(–5, 3).a) Marque no plano cartesiano ao lado os pontos supra citados.b) Determine as coordenadas dos pontos B, D, F, H, K e M.c) Ligue os pontos na ordem alfabética. Feche a figura, ligando os pontos M e A.d) O gráfico formado representa uma função? Por quê?

Vamos formalizar o estudo

do Plano Cartesiano.

31NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

COORDENADAS CARTESIANAS

Todo ponto possui uma coordenada dada por um par ordenado (x, y);

1º Quadrante2º Quadrante

3º Quadrante 4º Quadrante

P(+x, +y)Q(-x, +y)

R(-x, -y)S(+x, -y)

x → Eixo das abscissas

y → Eixo das ordenadasPLANO CARTESIANO

132 – Esboçe, atribuindo valores, os gráficos das funções e, em seguida,

determine suas respectivas imagens.

a) f(x) = 2x b) f(x) = 2x – 1 c) f(x) = 2x + 1

d) f(x) = x2 e) f(x) = x2 – 3 f) f(x) = x2 + 3

g) f(x) = x2 – 3x h) f(x) = x2 + 3x i ) f(x) = – x2 + 5x – 6

32

FUNÇÃO COMPOSTA

Considere as funções f: A → B e g: B → C, então a função h: A → C é a função composta g(f(x)), com x ∈ A.

AB C

x f(x) g(f(x))

EXEMPLO: f(x) = x+2 e g(x) = x2, então g(f(x)) = ?

x = 5

133 – Sejam as funções f(x) = x2 – 1 e g(x) = 3x , calcule:a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) e) f(g(–1))

134 – Considere as funções f(x) = x2 – 5x + 6 e g(x) = x + 1, determine:

a) f(g(x)) b) Se f(g(x)) = 0, x = ? c) Se g(g(x)) = 1, x = ?

135 – (IFRN) Se f(g(x)) = 4x2 – 8x + 6 e g(x) = 2x – 1 , então f (2) é igual a:

A) –2 B) –1 C) 3 D) 5 E) 6

136 – (IFRN) Dadas as funções f(x) = 3x + 4 e f(g(x)) = x – 5, então g(–3) é igual a:

A) – 4 B) –3 C) 3 D) 4 E) 5

NOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

33

FUNÇÃO COMPOSTANOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

137 – Dadas f(x) = x2 – 4 e g(x) = 2x + 1, determine:

a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x)) e) f(g(–7))

138 – Sendo f(x) = 2x – 5 e g(x) = 3x + m. determine “m” de modo que f(g(x)) = g(f(x)).

139 – Se f(g(x)) = 6x – 13 e g(x) = 3x + 2, calcule o valor de f (7).

140 – Sendo f(x) = 2x – 10 e g(x) = x2 – 100, calcule x para g(f(x)) = 0.

141 – Sejam f(x) = x2 – 2x – 3 e g(x) = 4x + m. Sabendo que f(g(– 1)) = 12,

calcule o valor de “m”.

142 – Considere as funções f(x) = 2x + 1, g(x) = 5x + 9 e h(x) = 6x2, determine:

a) f(g(h(x))) b) h(g(f(x))) c) g(f(h(x))) d) g(h(f(x)))

143 – Dada a função f(x + 1) = x2, determine: a) f(4) b) f(a)

144 – (UFCE) Seja f: R ⟶ R tal que f(1) = 4 e f(x + 1) = 4.f(x) para todo

x real. Nestas condições, f(10) é igual a:

A) 2 – 10 B) 4 – 10 C) 210 D) 410

34

FUNÇÃO INVERSANOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

Inicialmente, vamos conhecer alguns conceitos importantes:

FUNÇÃO INJETORA É quando quaisquer dois elementos diferentes do

conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B. Ou seja, “x” diferente, tem

“y” diferente !!!

FUNÇÃO SOBREJETORA É quando o conjunto Imagem da função

for igual ao conjunto contradomínio. ( Im = CD ). Ou seja, NÃO pode sobrar “y”!!!

FUNÇÃO BIJETORA

É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora.

145 – Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda

nenhuma delas:

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

3

4

5

146 – (UFRN) Seja B o conjunto formado por todos os brasileiros e R o

conjunto dos números reais. Se f: B → R é a função que associa a cada

brasileiro sua altura, medida em centímetros, então f :

A) é injetora e não é sobrejetora. B) é injetora e é sobrejetora.

C) não é injetora e é sobrejetora. D) não é injetora e não é sobrejetora.

35

FUNÇÃO INVERSANOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

Uma função f(x) tem inversa se e somente ela for bijetora.

x y

D Rf(x)

f -1(x)

OBS: O símbolo “–1” em f –1(x) não é

um expoente. f –1(x) não significa 1/f(x).

147 – A função inversa f –1(x)

“desfaz” o que a função f(x) faz.

Sendo f(x) = 2x + 1, determine f –1(x).

Em seguida, calcule f(3) e f – 1(7).

149 – (UFSE) Considere a função bijetora y = ( 3x – 1) : (x + 3), a expressão que

define sua inversa é:

A) (x + 3) : ( 3x – 1) B) ( 3x + 1) : ( 3 – x)

C) ( 2x – 1) : (x + 1) D) ( 3x – 1) : (x + 3)

148 – Se f (1) = 5 e f (8) = – 10,

determine f –1(5) e f –1(– 10).

Para determiná-la, basta seguir o procedimento:

1º) Isola “x”;

2º) Troca “x” por “y” e vice versa.

OBS: Os gráficos de f(x) e f –1(x) são

simétricos em relação a função y = x.

36

FUNÇÃO INVERSANOÇÃO FUNDAMENTAL DE FUNÇÃO

150 – (UFRN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino

médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a

quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E → P é a

função que a cada escola de E associa seu número de professores, então:A) f é uma função sobrejetora. B) f não pode ser uma função bijetora.

C) f não pode ser uma função injetora. D) f é necessariamente uma função injetora.

151 – Dadas as funções ƒ(x) = 5x + 1 e g(x) = 6x + 6, resolva a equação

ƒ -1(g(x)) = 7, seguindo o procedimento em cada item:

a) Determine ƒ -1(x);

b) Na função ƒ -1(x) obtida no item (a), substitua “x” por “g(x)”, em seguida, iguale a 7 e resolva a equação;

152 – Dadas as funções ƒ(x) = 2x + 1 e g(x) = x2, resolva a equação ƒ -1(g(x)) = 12.

153 – Dada a função f(x) = 2x + 5. Determine:

a) f –1(x); b) f(f –1(x)) c) f –1(f(x)) d) f(f –1(7))

154 – Represente em um mesmo plano cartesiano, o gráfico da função

f(x) = x, g(x) = 2 – 3x e g –1(x). O que você pode observar?

MATEMÁTICA I

Aula 05Função Polinomial do 1º Grau

Professor Luciano Nóbrega

1º Bimestre

37

“Eu sou um Matemático!

E você?

Antes de responder, saibas o significado dessa bela palavra de

origem grega. „Mathematikós‟ = Disposto à aprender‟.”(Professor Luciano Nóbrega)

d) – (x – 4)2 + (x+4)(x – 4) + 25

38FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

Uma função polinomial do 1º grau (ou simplesmente, função do 1º grau) é uma

relação entre a variável dependente “y” e a variável independente “x” de grau 1.

EXEMPLOS: f(x) = 3x + 2; f(x) = (–½).x f(x) = 5 – 2x f(x) = (2 – x)/7

Podemos observar que a forma algébrica é do tipo f(x) = ax + b, onde “a” e

“b” são números reais, “x” é a variável independente e “y” é a variável

dependente de “x”. OBS: Lembre – se que f(x) = y y = f(x)

155 – Determine os valores de “a” e “b” nos exemplos acima.

CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES DO 1º GRAU (ou função afim)

Função Linear f(x) = ax, com a ∈ R*, ou seja, b = 0.

Função Identidade f(x) = x.

Função Constante f(x) = b, com b ∈ R*, ou seja a = 0

Função Nula f(x) = 0.

156 – Simplifique as funções e classifique-as quanto a serem:

Linear; Nula; Constante ou Identidade

a) f(x) = –3.(x+1) + 4(x–1) + 7

b) f(x) = (x+2)2 – (x+2)(x–2) – 4.(x +2)

c) f(x) = (x–3)2 – x(x–5) + x

157 – Determine a função

afim f(x) = ax + b, sendo:

a) f(1) = 5 e f(–3) = –7

b) f(–1) = 7 e f(2) = 1

c) f(5) = –1 e f(–2) = 3

OBS: Essas duas últimas não são do 1º grau.

39FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

158 – Num determinado dia registaram-se as temperaturas numa certa

cidade, de hora a hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas

em função da hora do dia.Indique:

a) o domínio;

b) a imagem;

c) Quais as horas do dia em que

se registou a temperatura 3ºC ?

d) Este gráfico representa uma

função? Justifique.

159 – Ainda em relação ao gráfico da questão anterior, represente os intervalos

que a respectiva função pode ser classificada como: a) constante; b) linear

160 – (UFRN) Na figura abaixo, tem-se o gráfico de uma reta que representa a

quantidade, medida em m, de um medicamento que uma

pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf,

para tratamento de determinada infecção. O medicamento

deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que

pesa 85kgf receberá em cada dose: A) 7 m B) 9 mC) 8 m D) 10 m

40FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

O coeficiente angular de uma reta representa a inclinação dessa reta.

Observe a figura:

COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR

x

y

x1 x2

y1

y2

161 – No triângulo retângulo destacado, calcule tg β.

LEMBRE –SE: tg β = __cateto oposto a β_

cateto adjacente a β

ß

162 – A partir do resultado da questãao anterior, fazendo

“tg β = m” e isolando “y2 – y1”, que expressão obtemos?

163 – Utilize as expressões obtidas nos exercícios

anteriores para determinar a equação da reta que

passa pelos pontos A (2, 3) e B (6, 6).

OBS1: Na função do 1º grau f(x) = ax + b, o

coeficiente “a” é denominado coeficiente

angular, tem-se que tg β = a, e portanto “a”

determina o grau de inclinação da reta.OBS2: O coeficiente “b” é denominado

coeficiente linear, ele determina o ponto

em que a reta corta o eixo “y”. 164 – Dados o coeficiente angular m = –1 e o ponto P(–2, –3),

determine a equação da reta

CRESCENTE A função é crescente se o coeficiente angular for positivo.

Ex: y = 2x +1 a = 2 ⇒ a > 0 ⇒ FUNÇÃO CRESCENTE

41FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

165 – Em um mesmo plano cartesiano, construa os gráficos das

funções f(x) = 2x + 1, g(x) = 2x – 1 e h(x) = 2x. Em seguida, responda:

a) Os gráficos tem algum ponto em comum?

b) As retas são paralelas entre si?

c) Quais os coeficientes angulares das funções?

d) Quais os coeficientes lineares?

166 – Em um mesmo plano cartesiano, construa os gráficos das funções

f(x) = 3x – 2, g(x) = x e h(x) = f –1(x). Em seguida, responda aos mesmos

itens da questão anterior.

RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU – É todo número x que possui imagem

nula. Isto é, f(x) = 0.

167 – Determine a raiz (ou zero) de cada uma das seguintes equações:

a) f(x) = 2x + 5 b) f(x) = ax + b c) f(x) = (1/3)x + 3 d) f(x) = –4x f(x) = –x + 2

FUNÇÃO CRESCENTE OU DECRESCENTE

DECRESCENTE

A função é decrescente se o coeficiente angular for negativo.

Ex: y = –x + 3 a = –1 ⇒ a < 0 ⇒ FUNÇÃO DECRESCENTE

168 – Classifique entre

crescente ou decrescente

as funções da questão

anterior:

42FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

Uma inequação do 1º grau pode ser definida como uma função do

1º grau que apresenta um sinal de desigualdade.

Assim: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0

169 – Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os

quais satisfaça a inequação 3x + 5 < 17

170 – Resolva as inequações:

< ≤

≤

≤ <

171 – Um comerciante teve uma despesa de R$ 230,00 na compra de certa

mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$ 5,00 o lucro final será dado

em função das x unidades vendidas. Responda.

a) Qual a lei dessa função? b) Para que valores de x temos f (x) < 0 ?

c) Como a resposta ao item (b) pode ser interpretada?

d) Para que valor de x haverá um lucro de R$ 315,00?

e) Para que valores de x o lucro será maior que R$ 280,00?

f) Para que valores de x o lucro estará entre R$ 100,00 e R$ 180,00?

43FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

172 – (UFRS) Certo dia de janeiro, a temperatura em São

Leopoldo, situada no interior do Rio Grande do Sul, subiu

uniformemente desde 23 °C, às 10 h, até 38 °C, às 15 h.

Fazendo-se um gráfico cartesiano que representa tal situação

térmica, no qual se marca os tempos (em horas) nas abscissas

e as temperaturas (em graus centígrados) nas ordenadas,

obtem-se o segmento de reta AB, como mostra a figura.

a) Encontre uma função que indique a temperatura em São

Leopoldo em função do tempo verificada no intervalo [10,15].

b) A partir de que horas a temperatura ultrapassa 32º?

173 – (UFRS) Uma locadora de

veículos apresenta, para aluguel de

certo tipo de carro a seguinte tabela:

Em uma diária, com percurso não superior a 100 km, para que a 2ª opção

seja menor em reais, é necessário que o número de quilômetros percorridos

pelo locatário pertença ao intervalo: A) [60, 100] B) ]60, 100]

C) [0, 60[ D) ]60, 100[ E) [0, 60]

44FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

174 – (FUVEST) A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do Oceano Atlântico

(ao nível do Equador) em função da profundidade:

Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada uma

das medições feitas para a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de

400m é de: A) 16ºC B) 14ºC C) 12ºC D) 10,5ºC e) 8ºC

175 – (UFRJ) Uma fábrica produz óleo de soja por encomenda, de modo que a produção

é comercializada. O custo de produção é composto de duas parcelas. Uma parcela fixa,

independente do volume produzido, corresponde a gastos com aluguel, manutenção de

equipamentos, salários, etc; a outra parcela é variável, dependente da quantidade de

óleo fabricado. No gráfico a seguir, a reta r1 representa o custo de produção e a reta r2

descreve o faturamento da empresa, ambos em função do número de litros

comercializados. A escala é tal que uma unidade representa

R$ 1.000,00 (mil reais) no eixo das ordenadas e 1000 (mil

litros) no eixo das abscissas. a) determine em reais, o custo

correspondente à parcela fixa; b) determine o volume

mínimo de óleo a ser produzido para que a empresa não

tenha prejuízo.

45FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

176 – (UFRN) Seja a função linear y = ax – 4 . Se y = 10 para x = – 2, então o

valor de y para x = – 1 é: A) 3 B) 4 C) – 7 D) – 11 E) NDA

177 – (UFRJ) O gráfico ao lado expressa a temperatura

em graus Fahrenheit em função da temperatura em

graus Celsius.

a) Encontre a equação que expressa os graus

Fahrenheit em função dos graus Celsius;

b) Determine o valor aproximado da temperatura na

escala Celsius correspondente a zero graus

Fahrenheit.

178 – (UFPB) Considere a função bijetora f: R ⟶ R definida por f(x) = 2x + b,

onde “b” é uma constante. Sendo f –1(x) a sua inversa, qual o valor de “b”

sabendo que f –1(x) passa pelo ponto A (1, –2) ?

179 – (UFCE) Se f: R ⟶ R é a função dada por f(x) = 100x – 5, então o

valor de é: A) 10 –1 B) 1 C) 10 D) 102

46GABARITO117) “Dinâmica em Grupo.” 118) F, E, D, A, C e B 119) B 120) C 121) a = 3 e b = 7 122) – 12

123) a) 5 b) 3 c) – 12 d) 23 e) x = 1 ou x = 2 124) m = 4 125) a = 2 126) x = 1 ou x = 2 127) A

128) a) R – {7} b) x ≥ 1/3 c) x > 3 d) x = ½ ou x = – 1 e) 0 < x ≤ 1 129) B 130) D

131) a) Gráfico b) B (0, – 4) ; D (4, 0) ; F (3, 4) ; H (1, 4) ; K (– 3, 5) c) Gráfico

d) Não, porque nesse gráfico existem “x” que se correspondem com mais de um “y”.

132) a) R b) R c) R d) y ≥ 0 e) y ≥ – 3 f) y ≥ 3 g) y ≥ – 2,25 h) y ≥ – 2,25 i) y g) y ≤ 0,25

133) a) 9x2 – 1 b) 3x2 – 3 c) x4 – 2x2 d) 9x e) 8 134) a) x2 – 3x + 2 b) x = 1 ou x = 2 c) x = – 1 135) C

136) A 137) a) 4x2 + 4x + 5 b) 2x2 – 7 c) x4 – 8x2 + 12 d) 4x + 3 e) 175 138) m = – 10 139) – 3

140) x = 0 ou x = 10 141) m = 1 ou m = 9 142) a) 60x2 +19 b) 600x2 +1680x +1176 c) 60x2 +14 d) 120x2 + 120x + 39

143) a) 9 b) a2 – 2a + 1 144) A) 145) Injetora; Sobrejetora; Bijetora e NDA 146) D

147) f – 1 (x) = (x – 1)/2 ; f(3) = 7 ; f – 1 (x) = 3 148) f – 1 (5) = 1 ; f – 1 (– 10) = 8 149) B 150) A 151) x = 6

152) x = ± 5 153) a) f – 1 (x) = (x – 5)/2 ; b) x c) x d) 7154) Os gráficos de g(x) e g – 1 (x) são simétricos a f(x) = x

155) a) a = 3 e b = 2 ; b) a = –1/2 e b = 0 ; c) a = – 2 e b = 5 ; d) a = –1/7 e b = 2/7 156) a) f(x) = x ⟶ Função Identidade

Cont. 156) b) f(x) = 0 ⟶ Função Nula ; c) f(x) = 9 ⟶ Função Constante ; d) f(x) = 8x ⟶ Função Linear

157) a) a = 3 e b = 2 ; b) a = – 2 e b = 5 ; c) a = – 4/7 e b = 13/7 158) a) Df = [0;24] b) Imf = [–3; 6] c) 8h e das 15 às 17 h d) Sim.

Pois, para cada hora corresponde uma, e só uma, temperatura.

159) a) [2; 4] , [15; 17] e [20; 22] b) [0; 2] 160) B 161) (y2 – y1)/(x2 – x1) 162) y2 – y1 = m.(x2 – x1) 163) y = 0,75x +1,5

164) y = –x – 5 165) a) Não b) Sim c) 2 em todas d) 1, –1 e 0 166) a) Sim b) Não c) 3, 1 e 1/3 d) – 2, 0 e 2/3

47GABARITO167) a) x = –5/2 b) x = –b/a c) x = – 9 d) x = 0 e) x = 2 168) a) b) c) Crescentes ; d) e) Decrescentes

169) S = {1, 2, 3} 170) a) –2 ≤ x ≤ –1/2 b) x< 1 ou x > 3/2 c) x ≥ – 14 d) 0 ≤ x < 4 e) 2 ≤ x < 4 f) 1/2 ≤ x < 3

171) a) f(x) = 5x – 230 b) x < 46 c) Terá prejuízo se vender menos que 46 unidades. d) x = 109 e) x > 102 f) 66 < x < 82

172) f(x) = 3x – 7 b) 13 hrs 173) B 174) D 175) a) 10 mil reais b) 10 mil litros 176) A

177) a) f(x) = 1,8x + 32 b) x = – 18 178) b = 5 179) D

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“A Matemática é como um jogo.

Aprenda a jogar e você vai se divertir com ela.”(Francisco das Chagas Gomes – Meu Pai)

Foi colocado uma planta num

lago que todos os dias aumenta

para o dobro do seu tamanho. Ao

fim de quinze dias já ocupava

metade do lago. Daí a quantos

dias cobrirá o lago inteiro?