makalah trigono

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 1

BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang

Pada bab ini, materi itu akan dikembangkan sampai ke rumus trigonometri

untuk jumlah dan selisih dua sudut. Lebih lanjut, pada bab ini akan dibahasmengenai

rumus trigonometri untuk sudut rangkap.Konsep-konsep trigonometri yang akan

dibahas di babini sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuandan teknologi,

misalnya dalam menjawab permasalahan berikut.Sebuah roket yang ditembakkan ke

atas membentuksudut terhadap arah horizontal. Berapakah besar sudut agar roket

mencapai jarak maksimum?Agar Anda dapat menjawab permasalahan tersebut,

pelajari bab ini dengan baik.

I.2 Rumusan Masalah

A. Bagaimanakah menentukan Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut?

B. Bagaimanakah jika rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda? C. Bagiamanakah cara mengoprasikan Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan

Sinus dan Kosinus?

I.3 Tujuan

A. menentukan Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

B. menjabarkan Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda C. menjabarkan Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan Sinus dan Kosinus

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 2

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih Dua Sudut, dan Sudut Ganda

2.1.1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Telah dipelajari sebelumnya bahwa dalam segitiga siku-siku ABC berlaku:

Kemudian dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 1 satuan misalnya,

Dengan mengingat kembali tentang koordinat Cartesius, maka:

a. koordinat titik A (1, 0)

b. koordinat titik B (cos A, sin A)

c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}

d. koordinat titik D {cos (-B), sin (-B)}atau (cos B, -sin B)

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 3

Jadi rumus cosinus jumlah dua sudut:

cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B

Dengan cara yang sama, maka:

cos (A - B) = cos (A + (-B))

cos (A - B) = cos A cos (-B) - sin A sin (-B)

cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

Rumus cosinus selisih dua sudut:

cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

Contoh :

1. Hitunglah nilai dari 75

Jawab :

cos 75 = cos(30 +45 ) = cos 30 cos 45 sin 30 sin 45

=

=

-

=

( - )

2. Nilai Cos 255 =

Jawab ;

Cos 255 = Cos (180 + 75) = - Cos 75 =

= - Cos (45 + 30)

= Cos 45 Cos 30 Sin 45 Sin 30

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 4

)62(4

1

)24

16

4

1(

)2

1.2

2

13

2

1.2

2

1(

2.1.2 Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Perhatikan rumus berikut ini!

Maka rumus sinus jumlah dua sudut:

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

Dengan cara yang sama, maka:

sin (A - B) = sin (A + (-B))

sin (A - B) = sin A cos (-B) + cos A sin (-B)

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

Rumus sinus selisih dua sudut:

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

Contoh soal

1. A dan B adalah dua buah sudut yang terletak di kuadran II. Jika Sin A = 5

3 dan

Cos B = 13

12 . Maka nilai Sin (A B)

Jawab :

Sin A = 5

3 Cos A=

5

4

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 5

Cos B =13

12 Sin B =

13

5

Sin (A B) = Sin A Cos B Cos A Sin B

Sin (A B) = )15

5)(

5

4()

13

12.(

5

3

Sin (A B) =65

20

65

36

Sin (A B) =65

16

2.

Jawab :

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 6

2.1.3 Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus tangen jumlah dua sudut:

Contoh soal

1. tan 15=

jawab :

tan 150

= tan ( 60 45)0

= 00

00

45tan.60tan1

45tan60tan

=

31

13

=

13

)13(

13

13

13

13 2

2

324

2

1323

=2+ 3

2.

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 7

Jawab:

2.2. Penggunaan Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Ganda

2.2.1 Menggunakan Rumus Sinus Sudut Ganda

Dengan menggunakan rumus sin (A + B), untuk A = B maka diperoleh:

sin 2A = sin (A + B)

sin 2A = sin A cos A + cos A sin A

sin 2A = 2 sin A cos A

Rumus sinus sudut ganda:

sin 2A = 2 sin A cos A

Conto soal :

1. Jika sin A = p dengan {p / -1 < p < 1} , maka sin 2A =

Jawab :

Sin A = p

Cos p = 21 p

Sin 2A = 2 Sin A Cos A

= 2 p 21 p

2.

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 8

jawab :

2.2.2 Rumus Cosinus Sudut Ganda

Dengan menggunakan rumus cos (A + B), untuk A = B maka diperoleh:

Dari persamaan (1), (2), dan (3) didapat rumus sebagai berikut.

Contoh soal :

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 9

Jawab :

2.2.3 Rumus Tangen Sudut Ganda

Dengan menggunakan rumus tan (A + B), untuk A = B diperoleh:

Rumus tangen sudut ganda:

Contoh soal :

Jawab :

2.2.4 Rumus Sudut Ganda untuk Sin 1/2 A, Cos 1/2 A, dan Tan 1/2 A

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 10

Dengan cara yang sama didapat:

Rumus:

contoh soal :

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 11

Jawab :

2.3 Penurunan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus 2.3.1 Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan Sinus dan Kosinus

A. Perkalian Cosinus dan Cosinus

Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai

berikut

cos (A + B) = cos A cos B sin A sin B cos (A B) = cos A cos B + sin A sin B

jumlahkan akan didapat;

cos (A + B) + cos (A B) = 2 cos A cos B

Rumus: 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A B)

Pelajarilah contoh soal berikut untuk lebih memahami rumus perkalian cosinus dan

cosinus.

Contoh soal

Nyatakan 2 cos 75 cos 15 ke dalam bentuk jumlah atau selisih, kemudian tentukan

hasilnya.

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 12

Penyelesaian :

2 cos 75 cos 15 = cos (75 + 15) + cos (75 15) = cos 90 + cos 60

= 0 +

=

B. Perkalian Sinus dan Sinus

Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai

berikut:

cos (A + B) = cos A cos B sin A sin B cos (A B) = cos A cos B + sin A sin B bila dikurangkan menjadi;

cos (A + B) cos (A B) = 2 sin A sin B atau 2 sin A sin B = cos (A B) cos (A + B)

Rumus: 2 sin A sin B = cos (A B) cos (A + B)

Contoh soal

Nyatakan 2 sin 67

sin 22

ke dalam bentuk jumlah atau selisih, kemudian

tentukan hasilnya.

Penyelesaian:

2 sin 67

sin 22

= cos (67

22

) - cos (67

+ 22

)

= cos 45 cos 90

=

+ 0

=

C.Perkalian Sinus dan Cosinus

Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai

berikut.

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A B) = sin A cos B cos A sin B + sin (A + B) + sin (A B) = 2 sin A cos B atau 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A B)

Dengan cara yang sama didapat rumus:

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A B) 2 cos A sin B = sin (A + B) sin (A B)

Untuk lebih memahami rumus perkalian sinus dan cosinus, palajarilah contoh

soal

berikut.

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 13

Contoh soal

Nyatakan soal ini ke dalam bentuk jumlah atau selisih sinus, kemudian

tentukan hasilnya, sin 105 cos 15

Penyelesaian

sin 105 cos 15 =

{sin (105 + 15) + sin (105 15) }

=

(sin 120 + sin 90)

=

(

+ 1)

=

D.Penjumlahan dan Pengurangan Sinus

Rumus perkalian sinus dan kosinus dalam trigonometri dapat ditulis dalam rumus

berikut.

Contoh soal

1. Sederhanakan: cos 100 + cos 20.

Penyelesaian :

cos 100 + cos 20 = 2 cos

(100 + 20) cos

(100 20)

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 14

= 2 cos 60 cos 40

= 2 .

cos 40

2. Sederhanakan cos 35 cos 25.

Penyelesaian :

cos 35 cos 25 = 2 sin.

(35 + 25) sin .

(35 25)

= 2 sin 30 sin 5

= 2 .

sin 5

= sin 5 3. Sederhanakan sin 315 sin 15.

Penyelesaian :

sin 315 sin 15 = 2 . cos

(315 + 15) . sin

(315 15)

= 2 . cos 165 . sin 150

= 2 . cos 165 .

= cos 165

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 15

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

telah dipelajari dikelas X bahwa untuk menentukan sudut dengan menggunakan

rumus segitiga. Sedangkan dalam makalah ini telah dijelaskan lebih rinci tentang penggunaan

rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut,dan sudut ganda,penggunaan

rumus sinus, cosinus, dan tangen sudut ganda, penurunan rumus jumlah dan selisih sinus dan

cosinus.diharapkan siswa mampu memahami semua apa yang telah dipaparkan dalam

makalah ini.

3.2 Saran

Apabila dalam pembuatan makalah ini ada kekurangan dalam hal apapun kami sangat

mengharap kritik dan saran, sehingga nantinya bisa dibuat acuan untuk mendekati

kesempurnaan.

Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page 16

DAFTAR PUSTAKA

Djumanta, Wahyudin. 2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan. Bandung : Pusat

Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Soedyarto, Nugroho.2008. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA. Jakarta :

Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Djumanta, Wahyudin.2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Sekolah

Menengah Atas/Madrasah Aliyah Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam. Jakarta: PT

Setia Purna Inves.