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Le trasformazioni geometriche

Veronica Gavagna

Trasformazioni del piano Definizione

Una trasformazione del piano è una corrispondenza biunivoca (o biiettiva) tra l’insieme dei punti del piano e se stesso. Questo significa che

1. a ogni punto P corrisponde uno e un solo punto P’

2. per ogni punto del piano esiste un punto che si trasforma in esso (ovvero ogni punto P’ «proviene» da un punto P)

3. Punti distinti vanno in punti distinti

Quello che ci interessa è studiare quali effetti hanno le trasformazioni sulle figure e soprattutto ci interessa vedere se le figure trasformate conservano qualche proprietà delle figure di partenza.

E’ proprio sulla base di queste proprietà invarianti che potremo classificare le trasformazioni.

In effetti la definizione di geometria come «studio delle proprietà delle figure che sono invarianti

rispetto a certe trasformazioni» è una

definizione relativamente recente: risale al matematico tedesco Felix Klein, autore del cosiddetto Programma di Erlangen, una prolusione pronunciata nel 1872.

Le isometrie

Le isometrie (o movimenti rigidi) sono le trasformazioni del piano che conservano le distanze. In altre parole se

𝐴𝐵 è la distanza tra i punti A e B, e 𝐴′𝐵′ la distanza tra i punti trasformati, allora

𝐴𝐵= 𝐴′𝐵′

Le trasformazioni isometriche trasformano una figura in una figura congruente: in altre parole (meno tecniche) le figure vengono «spostate» senza essere deformate. Tutte le proprietà geometriche della figura sono invarianti per isometria (cambia solo la «posizione»)

Le isometrie Le isometrie si classificano in

traslazioni

rotazioni

simmetrie centrali

simmetrie assiali

glissosimmetrie

(o antitraslazioni)

NB: Se un’isometria mantiene il senso di percorrenza di una figura si dice diretta, altrimenti si dice inversa. Le simmetrie assiali e le glissosimmetrie sono inverse.

Le isometrie Le traslazioni

In una traslazione ogni punto

del piano viene spostato nella

stessa direzione e nello stesso

verso e secondo una stessa distanza.

La traslazione gode delle seguenti proprietà

• Coppie di punti corrispondenti (trasformati) AA’ e BB’ giacciono su rette parallele

• La distanza tra i punti rimane invariata

• Non ci sono punti uniti (cioè «che rimangono fermi»)

• Ogni retta viene trasformata in una retta parallela

Le isometrie Le rotazioni

Le rotazioni sono trasformazioni caratterizzate da un punto fisso (che chiamiamo O e che la trasformazione lascia invariato) e dall’ampiezza di un angolo (che chiamiamo 𝛼) Le rotazioni dunque • Hanno un punto unito o fisso (il centro di rotazione) • Sono tali per cui i punti e i loro corrispondenti hanno

uguale distanza dal centro di rotazione • Spostano tutti i punti del piano di uno stesso angolo

𝛼 (all’infuori del centro di rotazione)

Le isometrie Le simmetrie centrali

Si fissi in un piano il punto O e si consideri un punto P distinto da O; si tracci poi la retta r passante per P e per O, che divide la retta in due semirette. Sulla semiretta che non contiene P si consideri il punto P’ tale che

𝑂𝑃 = 𝑂𝑃′

La simmetria centrale gode di queste proprietà

• Ha un punto unito

• esistono infinite rette che vengono trasformate in se stesse (ma non si tratta di punti uniti perché ogni retta viene trasformata nella sua opposta)

Le isometrie Le simmetrie centrali

Si noti che la simmetria centrale equivale a una rotazione di 180°. Questo spiega perché se applichiamo di seguito due volte una simmetria centrale a una figura, ritroviamo la figura di partenza. In altri termini la composizione di due simmetrie centrali dà origine alla trasformazione identica (o identità) che lascia Invariati i punti del piano.

Le isometrie Figure con centro di simmetria

Si definiscono figure con un centro di simmetria le figure che vengono trasformate in sé dalla simmetria centrale attorno a quel punto.

Un triangolo può avere centro di simmetria?

Non è possibile, perché la simmetria centrale scambia i vertici a coppie e

questo non è possibile in

una figura con un

numero dispari di vertici.

Le isometrie Figure con centro di simmetria

Esistono quadrilateri con centro di simmetria?

Sono i parallelogrammi!

E quindi anche parallelogrammi

particolari come rombo,

rettangolo e quadrato hanno

centro di simmetria.

Ma hanno centro di simmetria

anche

Pavimentazioni con quadrilateri qualsiasi

Se consideriamo un quadrilatero qualsiasi (in fig. quello grigio) e consideriamo il punto medio del lato maggiore come il punto unito di una simmetria centrale, possiamo costruire un secondo quadrilatero (in fig. quello bianco). I due quadrilateri, uniti per il lato maggiore, formano un esagono non regolare che tassella il piano. Perché non ci sono buchi?

Nuovi punti di vista per vecchie formule

Se M è il punto medio del lato BC, ruotando il triangolo MCD di 180° attorno a M si ottiene il triangolo MC’D’ disegnato in figura (MC’D’ è anche il simmetrico di MCD rispetto a M). Poiché M è il punto medio di BC, B coincide con C’; inoltre una rotazione di 180° (= simmetria centrale) trasforma rette in rette parallele, per cui MD’ è allineato con MD e BD’ è parallelo a CD e Dunque allineato con AB. ADD’ è quindi un triangolo e ha la stessa area del trapezio di partenza; la base è proprio la somma delle due basi del trapezio e l’altezza è la stessa.

Nuovi punti di vista per vecchie formule

E’ possibile giustificare con una

opportuna isometria (o più

di una?) anche la «formula

dell’area di un parallelogramma»?

E se il parallelogramma è questo?

Un suggerimento…

Le isometrie Simmetria assiale

Data una retta r, la simmetria assiale

di asse r è la trasformazione del piano in sé che lascia fissi tutti i punti di r e che ad ogni punto P del piano, esterno ad r, fa corrispondere

il punto P’ tale che la retta

r sia perpendicolare al

segmento PP’ e lo tagli nel

suo punto medio.

E’ un’isometria diretta o

Inversa?

Simmetrie assiali o

riflessioni

Le isometrie Quali sono i triangoli e quadrilateri con almeno un asse di simmetria?

I triangoli isoscele hanno un solo

Asse di simmetria (che coincide con

L’altezza=mediana rispetto al

lato diverso dagli altri due). I

Triangoli equilateri hanno 3 assi di

Simmetria.

Il trapezio isoscele ha un solo asse di simmetria,

Quanti ne ha il quadrato? E il rettangolo? E il rombo?

Le isometrie Figure con asse di simmetria

Una figura ha come asse di simmetria una retta r se, nella simmetria di asse r, la trasformata della figura è la figura stessa.

In alternativa, si può dire che una figura ammette r come asse di simmetria se, essendo P un punto della figura, anche il suo simmetrico P’ appartiene alla figura

Il «problema di Erone»

P e Q sono due località situate dalla stessa parte rispetto al fiume f. Un uomo a cavallo si trova nella località P e vuole raggiungere Q. Prima però deve abbeverare il cavallo al fiume. Qual è il minimo cammino che può percorrere? Se invece del punto P consideriamo il punto P’, simmetrico rispetto a f, ogni tratto da P al fiume sarà lungo come il simmetrico. Quindi il nostro problema si riduce a trovare il minimo cammino da P’ a Q, che è chiaramente il segmento P’Q. Il punto M in cui si interseca il fiume determina dunque il segmento PM.

Problemi risolubili con simmetrie centrali

1. In P e in P’ ci sono due fontane in mezzo ad una pianura percorribile in ogni parte. Da quali posizioni si è più vicini alla fontana P? Da quali alla P’? Ci sono punti da cui è indifferente andare in P o in P’ perché ugualmente distanti?

2. Tra i triangoli aventi una certa base AB e altezza assegnata, qual è quello con minore perimetro?

Soluzioni in S. Dentella, L’insegnamento della geometria. Trasformazioni geometriche, in L’insegnamento della geometria (http://www.liceovallisneri.it/istituto/pubblicazioni/19_1geom.PDF)

Composizione di trasformazioni

Se 𝑇1 è una trasformazione che manda il punto P nel punto P’,

𝑻𝟏 𝑷 = 𝑷′

e 𝑇2 è una trasformazione che manda P’ in P’’, 𝑻𝟐 𝑷′ = 𝑷′′

allora la trasformazione T che manda P in P’’ si dice trasformazione composta della 𝑇1 e 𝑇2 e si indica

𝑻 = 𝑻𝟐 ∘ 𝑻𝟏

𝑻(𝑷) = (𝑻𝟐∘ 𝑻𝟏)(𝑷) = 𝑻𝟐(𝑻𝟏(𝑷)) = 𝑻𝟐(𝑷′) = 𝑷′′

Composizione di trasformazioni

La composizione di isometrie è un’operazione interna, cioè è ancora un’isometria.

In generale non è commutativa, ma…

• La composizione di sole traslazioni o sole rotazioni con lo stesso centro è commutativa

Composizione di simmetrie assiali

ad assi paralleli

La composizioni di due simmetrie assiali con gli assi paralleli e distinti equivale ad una traslazione di un vettore di direzione perpendicolare agli assi, con il verso dal primo al secondo asse, e

lunghezza doppia

della loro distanza.

Composizione di simmetrie assiali

ad assi incidenti La composizione di due simmetrie assiali con assi incidenti equivale ad una rotazione avente centro nel punto di intersezione degli assi ed ampiezza doppia dell’angolo da essi formato. Quindi la composizione di due simmetrie assiali con gli assi perpendicolari equivale ad una rotazione di un angolo piatto, cioè ad una simmetria centrale.

Le isometrie Glissosimmetrie

Una glissosimmetria è una isometria che si ottiene componendo una simmetria assiale

con una traslazione parallela all’asse di simmetria (o anche componendo una traslazione con una simmetria assiale)

La similitudine Ingrandimenti e riduzioni

Una similitudine è una trasformazione geometrica affine in cui resta invariato il rapporto fra le distanze di coppie di punti corrispondenti (A,B) e (A',B') ovvero

𝐴𝐵 = 𝑘 𝐴′𝐵′

Se K=1, che tipo di similitudine abbiamo?

Proprietà della similitudine

Una similitudine trasforma segmenti in segmenti di rapporto k (k è detto rapporto di similitudine)

• Una similitudine trasforma rette in rette;

• Una similitudine trasforma angoli in angoli di uguale ampiezza, in particolare conserva il parallelismo e la perpendicolarità;

• Una similitudine trasforma aree in aree di rapporto k2

• Le similitudini mantengono la "forma", in particolare trasformano circonferenze in circonferenze, ... , cioè trasformano una figura geometrica in una figura simile a quella data

Il fattore di scala

Quando leggiamo su una carta geografica il fattore di scala, questo è dato nella forma 1:x

Se per esempio il rapporto è 1:50 significa che a un segmento della carta di lunghezza 1 (rispetto a qualsiasi unità di misura) corrisponde un segmento di lunghezza 50 nella realtà (rispetto alla stessa unità di misura)

Ciò significa che il rapporto della similitudine che fa passare dalla cartina alla realtà è 50, mentre il rapporto di similitudine inversa, che fa passare dalla realtà alla carta è 1/50

Osservazioni Ma due rettangoli, che conservano sempre la stessa forma, sono sempre simili? I rettangoli in figura sono simili? I lati di un quadrato e di un rombo stanno tutti nello stesso rapporto. Questo significa che sono simili? Quando diciamo che la similitudine non muta gli angoli, intendiamo dire che nessuno degli angoli viene mutato (nei due rettangoli, ad esempio, le diagonali si tagliano secondo angoli diversi). Analogamente, anche se le lunghezze dei lati di un quadrato e di un rombo sono nello stesso rapporto, certamente non lo sono le lunghezze delle rispettive diagonali.

Le trasformazioni affini

Le trasformazioni affini sono particolari trasformazioni di cui non daremo una definizione vera e propria.

Per avere un’idea di come

venga trasformata una figura

per affinità, si pensi alle ombre

prodotte dai raggi luminosi

(la cui sorgente è

così lontana da poter

supporre che i raggi

siano paralleli)

Le trasformazioni affini

• La Francia e la sua immagine dopo una trasformazione affine. Le rette della griglia rimangono dritte, ma cambiano gli angoli e le lunghezze

Alcuni programmi al pc permettono di prendere un’immagine e di “stiracchiarla” usando due numeri: uno precisa lo “stiracchiamento” in orizzontale e l’altro in verticale. Se i due numeri sono uguali, la forma della figura non cambia e anche nel linguaggio comune si dice che le due figure sono uguali per similitudine; in generale, se i due numeri possono anche essere differenti, le due figure sono uguali per affinità (http://www.matematita.it/personali/index.php?blog=6&cat=165)

Proprietà delle affinità

Si può dimostrare che un'affinità gode delle seguenti proprietà: • trasforma rette in rette; • se tre punti P, Q, R sono allineati, i loro corrispondenti in

un'affinità P', Q', R' sono anch'essi allineati; • a rette parallele corrispondono rette parallele e a rette

incidenti corrispondono rette incidenti; • conserva il rapporto fra segmenti paralleli (in particolare al

punto medio di un segmento corrisponde il punto medio del segmento trasformato);

In generale un'affinità: • non conserva la forma delle figure. Infatti l'immagine di un

rettangolo è in generale un parallelogramma, così come l'immagine di una circonferenza è un'ellisse.

• non conserva gli angoli, per esempio rette perpendicolari non necessariamente vengono trasformate in rette perpendicolari.

Le trasformazioni proiettive È davvero difficile dire che cosa è rimasto “uguale” fra due figure affini, ma ci sono modi ancora più generali di ritenere uguali due oggetti. Sono quelli legati alle proiettività, che regolano la geometria della visione: per essi, un cerchio e un’ellisse – ma anche un cerchio e una parabola – sono uguali in quanto possono essere due fotografie, da punti di vista diversi, dello stesso oggetto. (http://www.matematita.it/personali/index.php?blog=6&cat=165)

Proprietà delle trasformazioni

proiettive

Conservano solo la rettilinearità, cioè trasformano

linee rette in linee rette

Figure concave in

figure concave

E convesse in convesse

Le trasformazioni topologiche

Una trasformazione topologica tra due figure è una qualsiasi trasformazione che consente di trasformare una figura nell’altra effettuando (anche più volte) le seguenti operazioni: la figura può essere deformata, senza però

effettuare lacerazioni o congiungimenti di punti distinti

si può tagliare e deformare la figura, a patto però che dopo la deformazione si incolli negli stessi punti in cui si è effettuato il taglio

Le trasformazioni topologiche

Due figure sono topologicamente equivalenti se ciascuna figura è ottenibile dall’altra mediante una trasformazione topologica.

Proprietà delle trasformazioni

topologiche

• A curve chiuse corrispondono curve chiuse; curve aperte corrispondono curve aperte .

• A curve intrecciate corrispondono curve intrecciate con lo stesso numero di nodi(i punti in cui le curve intersecano se stesse)

• Se un punto è intersezione di due curve, il punto che gli corrisponde risulta intersezione delle curve corrispondenti. Inoltre, se un punto è interno/esterno a una curva, rimane interno/esterno alla sua trasformata.

Esempi

• le cartine che rappresentano due reti di percorsi su cui si muovono due mezzi di trasporto: il treno e la metropolitane, sono trasformazioni topologiche dei relativi percorsi. Sono conservate le informazioni necessarie a chi utilizza questi mezzi: gli incroci, le stazioni intermedie, l'ordine delle stazioni; sono tralasciate le distanze o i tratti curvi e rettilinei perché non sono invarianti topologici. • Se disegni una figura su un palloncino e poi lo gonfi, la

figura si deforma. Tuttavia le linee chiuse restano chiuse, quelle aperte restano aperte, quelle intrecciate restano intrecciate

Cosa conservano…

ISOMETRIE

- Ampiezza angoli - Lunghezza segmenti - Numero dei lati - Aperto/chiuso - dentro/fuori - Parallelismo - Ortogonalità - Ordine dei nodi - Numero dei buchi

SIMILITUDINI

Ampiezza angoli Numero dei lati Aperto/chiuso Dentro/fuori Parallelismo Ortogonalità Ordine dei nodi Numero dei buchi+

PROIEZIONI

Numero dei lati Aperto/chiuso Dentro/fuori Ordine dei nodi Numero dei buchi

TRASFORMAZIONI

TOPOLOGICHE

Aperto/chiuso Dentro/fuori Ordine dei nodi Numero dei buchi

A proposito di dentro/fuori… F. Ghione, Tau Topologo,

http://www.mat.uniroma2.it/mep/Tau/home.html

E’ così semplice stabilire se un punto è esterno o interno a una curva chiusa?

Provate con questo disegno….

Problemi topologici I sette ponti di Königsberg

E’ possibile con una passeggiata seguire un percorso che attraversi ogni ponte una e una volta soltanto e tornare al punto di partenza?

Nel 1736 Leonhard Euler affrontò e risolse tale problema.

Cosa c‘è di geometrico in questo problema che parla di ponti e passeggiate ? Certo non entra in gioco la geometria delle misure, degli angoli, delle forme rigide: ci si rende conto infatti che il problema non dipende da quanto sono grandi le isole, o da come sono fatti i ponti, o dall'estensione della parte nord o sud della citta. Il problema dipende da come sono disposti i ponti, da quali parti della citta ciascuno di loro mette in collegamento. Scoprire se la figura geometrica individuata, nella cartina, dalla citta (comprese le isole e i ponti, escluso il fiume) ha o non ha la caratteristica di permettere la passeggiata e scoprire una caratteristica topologica della figura, che non cambia se la deformiamo.

Problemi topologici Colorare una mappa

Supponiamo di avere di fronte un mappamondo in cui ogni regione (mare incluso) e colorata con un colore e, come si usa, due regioni confinanti (se hanno un tratto di confine in comune, non solo un punto) risultano sempre colorate con colori diversi. Qual’ è il numero minimo di colori che dobbiamo avere a disposizione per colorare così un mappamondo sferico? Questo problema è di natura topologica. Tanto per cominciare, si nota subito che per il problema non sono rilevanti la dimensione o la forma degli stati o la lunghezza dei loro contorni ma il modo in cui sono disposti, il gioco delle loro relazioni di... vicinato. Il numero minimo di colori necessario per colorare una superficie (in modo che 2 regioni confinanti non abbiano lo stesso colore) è una proprietà topologica della superficie: se la superficie è sottoposta a trasformazione topologica il numero minimo dei colori resta lo stesso (è un invariante!!!)

Problemi topologici Itinerari nei musei

Problemi topologici Senza staccare la penna…

I grafi Un grafo è un insieme di punti (detti vertici o

nodi) e di linee (dette spigoli o archi) tale che

ogni spigolo collega due vertici.

Un grafo piano è un grafo che può essere disegnato sul piano senza che si abbiano intersezioni tra gli spigoli.

Un grafo connesso è un grafo in cui qualsiasi coppia di vertici è collegata da un percorso.

Trasformiamo lo schema dei ponti di Konigsberg in un grafo → → Un grafo si dice euleriano (o percorribile) se è possibile percorrerlo completamente passando una sola volta attraverso i suoi spigoli (o archi). Se il grafo soprastante è euleriano si può rispondere positivamente alla questione dei ponti…. ma è euleriano???

Teorema di Eulero

Si chiama grado del vertice V il numero di spigoli che concorrono in V. Un vertice si dice pari se il suo grado è pari. Se in un grafo vi sono solo vertici di grado pari, allora il grafo è euleriano e il grafo può essere percorso partendo da un punto qualsiasi.

Se nel grafo vi sono due e solo due vertici dispari, il grafo è ancora percorribile, ma il punto di partenza dovrà essere uno dei vertici dispari e il punto di arrivo sarà il vertice dispari rimanente.

Nuovi ponti…

L'enunciato originale del problema concerne vertici non identificati, cioè caratterizzati solo dai loro collegamenti. Vi sono invece variazioni su questo tema che possono essere utili per introdurre il problema nell'insegnamento e che si preoccupano di identificare i vertici del grafo con personaggi e ruoli, in modo da verificare la comprensione dell'argomento mantenendo viva l'attenzione. Si precisa quindi che sulla riva settentrionale della città sorge lo Schloß, castello in tedesco, del principe Blu e che sulla riva meridionale sorge quello del principe Rosso, suo fratello e rivale. Sull'isola orientale vi è la Kirche, la chiesa, sede del Vescovo mentre nell'isola centrale si trova una Gasthaus, un'osteria, nella quale molti abitanti della città avevano l'abitudine la sera di trattenersi per tentare poi l'impresa chiamata passare i ponti, tornando più tardi a festerggiare la riuscita della stessa senza ulteriori dimostrazioni.

Nuovi ponti… Il principe blu, vuole costruire un altro ponte in modo che sia possibile partire dal suo castello, passare tutti gli otto ponti una e una sola volta, e terminare all'osteria vantandosi dell'impresa. Puo farcela? Dove deve costruire l'altro ponte? Il principe rosso, visto l'ottavo ponte costruito dal principe blu, vuole farlo indispettire. Vuole costruire un nono ponte, che gli consenta di partire dal suo castello, passare tutti i nove ponti una e una sola volta, e terminare all'osteria... vantandosi della sua impresa e del fatto che un'impresa simile non può adesso riuscire al principe blu. Dove deve costruire il nono ponte? Il Vescovo, preoccupato della contesa fra i due principi, pensa che sarebbe bello riappacificare la citta costruendo un decimo ponte che permetta finalmente a tutti i cittadini, partendo da un punto qualsiasi della citta, di ritornarvi dopo aver percorso tutti i ponti una e una sola volta. E possibile ? In tal caso, dove deve essere costruito il decimo ponte?

Ecco la situazione finale!

Applicazioni: problemi di trasporto

Il postino deve distribuire la posta nelle vie indicate: è possibile coprire il percorso senza ripassare dalle stesse strade?

Problemi topologici Senza staccare la penna…

Come si trasforma in grafo la pianta del museo?

Questo è il grafo

E’ percorribile?

E la colorazione delle mappe?

Nel 1977 è stato dimostrato il Teorema dei 4 colori: data una qualsiasi carta geografica politica è possibile colorare stati adiacenti con colori distinti utilizzando al più quattro colori.

Bisogna precisare che per stati adiacenti si intende due stati con almeno un segmento di confine in comune e non solo un punto o più punti isolati. Inoltre gli stati devono essere connessi, cioè ogni stato non può essere formato da due o più parti sconnesse.

Il teorema non esclude che vi siano carte colorabili con meno di 4 colori, né che una scelta poco razionale renda a un certo punto inevitabile l’uso del quinto colore.

Due vertici si dicono adiacenti se c’è lo spigolo che li congiunge. Ad esempio, nel grafo in Figura 1 il vertice 0 è adiacente a tutti gli altri vertici, mentre il vertice 2 è adiacente solo ai vertici 0 ed 1. Una colorazione del grafo è una funzione che associa ad ogni vertice un colore in modo che vertici adiacenti abbiano colori distinti. Con c-colorazione si intende una colorazione che utilizza c colori distinti. Il numero cromatico di un grafo è il minimo c per cui esiste una c-colorazione. Ad esempio si vede facilmente che il grafo in Figura 2 ha numero cromatico 3, a fianco abbiamo infatti una sua 3-colorazione ed è immediato osservare che una 2-colorazione non esiste.

Consideriamo ora una mappa geografica e rappresentiamo ogni suo stato con un punto in corrispondenza della propria capitale e uniamo due punti se e solo se le capitali che essi rappresentano corrispondono a stati adiacenti. In tal modo trasformiamo la carta geografica in un grafo i cui vertici sono le capitali mentre gli spigoli sono i segmenti congiungenti le capitali di stati adiacenti.

Vediamo un esempio concreto. Prendiamo la seguente mappa.

Si vede facilmente che

il grafo ad essa associato

è il seguente, dove per

una sua più facile lettura

abbiamo indicato ogni

vertice con la prime due lettere dello stato che rappresenta:

Si può dimostrare che il grafo che si ottiene in tal modo è sempre planare, cioè si può disegnare in

modo che i suoi spigoli si incontrino solo nei vertici. Allora il Teorema dei quattro colori può essere enunciato nel seguente modo: ogni grafo planare ammette una 4-colorazione. Le slide sul Teorema dei 4 colori sono tratte da

A.Pasotti, Il teorema dei 4 colori e la teoria dei grafi,

Matematicamente.it Magazine, Anno I, n.4

Materiali per la didattica B. D’Amore, Geometria, FrancoAngeli 1987 Matematita: http://www.matematita.it/materiale/?p=home Mostra Simmetria e giochi di specchi http://specchi.mat.unimi.it/ F. Ghione, Tau Topologo, http://www.mat.uniroma2.it/mep/Tau/home.html R.Petti, Il Regno di Regiomonte http://web.math.unifi.it/archimede/laboratori/materiali/regiomonte/Regiomonte1-41.pdf

Riferimenti bibliografici

R. Zan, Dispense geometria 28 maggio 2008 http://www.dm.unipi.it/~zan/SCIENZE%20DELLA%20FORMAZIONE%20POLO%20DI%20LIVORNO/MATEMATICA/Dispense_geometria_28maggio08.pdf Silvia Dentella. L’insegnamento della geometria. Trasformazioni geometriche, in L’insegnamento della geometria (http://www.liceovallisneri.it/istituto/pubblicazioni/19_1geom.PDF) Per chi volesse approfondire: M.Dedò, Galleria di metamorfosi, Mimesis 2010 Le slide sul problema dei ponti di Konigsberg sono tratte da due testi in rete: (1) http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/romagnoli/setteponti.pdf (2) http://www.maestran.ch/math/pdfs/publ/sm2008.pdf