la mecánica cuántica - aspectos matemáticos de las ondas esféricas - funciones de bessel
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5/28/2018 La Mecnica Cuntica - Aspectos matemticos de las ondas esfricas - Funciones de Bessel
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22/1/2014 La Mecnica Cuntica: Aspectos matemticos de las ondas esfr icas
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/aspectos-matematicos-de-las-ondas.html
M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O DE 2 0 0 9
Aspectos matemticos de las ondas esfricas
Cualquier nio que haya arrojado una piedra a un estanque de
agua est familiarizado y a intuitivamente c on el c oncepto de las
ondas esfricas al ver los rizos de anillos c oncntricos sobre la
superficie del agua que se v an ampliando y se van alejando del
punto en donde cay la piedra:
Extendiendo este c oncepto de las ondas esfricas hacia un espacio
verdaderamente tridime nsio nal, aunque resulta ms difc ilrepresentar este clase de o ndas en tres dimensiones podemos
hacer una esquematizacin co mo la siguiente en donde el c entro
generador de las ondas esfricas est representado co mo una
pequea cruz roja (se puede apreciar
en Wikipediaunademostracin dinmicaen tres dimensiones de
estas ondas esfricas co nformen se v an expandiendo hacia el
exterior):
A R C H I V O D E L B L O G
2009(136)
agosto(136)
Indice
Prlogo
El modelo at mico
planetario de Bohr I
El modelo at mico
planetario de Bohr I I
La espectroscopa de rayos-
X
La extraa ecuacin de Max
Born
Vec tores y matric es I
Vec tores y matric es II
El anlisis de Fourier
La regla de multiplicacin
La Mecnica Cuntica
Uso de lasfunciones de
Bessel
http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-regla-de-multiplicacion-de.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equationhttp://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equationhttp://void%280%29/http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/search?updated-min=2009-01-01T00:00:00-08:00&updated-max=2010-01-01T00:00:00-08:00&max-results=50http://void%280%29/http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009_08_01_archive.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/indice.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/prologo.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-modelo-planetario-planetario-de-bohr.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-modelo-planetario-planetario-de-bohr.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-modelo-atomico-planetario-de-bohr-ii.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-modelo-atomico-planetario-de-bohr-ii.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-espectroscopia-de-rayos-x.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-espectroscopia-de-rayos-x.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-extrana-ecuacion-de-max-born.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-extrana-ecuacion-de-max-born.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/vectores-y-matrices.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/vectores-y-matrices-ii.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-analisis-de-fourier.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-regla-de-multiplicacion-de.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-regla-de-multiplicacion-de.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-analisis-de-fourier.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/vectores-y-matrices-ii.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/vectores-y-matrices.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-extrana-ecuacion-de-max-born.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/la-espectroscopia-de-rayos-x.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-modelo-atomico-planetario-de-bohr-ii.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-modelo-planetario-planetario-de-bohr.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/prologo.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/indice.htmlhttp://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009_08_01_archive.htmlhttp://void%280%29/http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/search?updated-min=2009-01-01T00:00:00-08:00&updated-max=2010-01-01T00:00:00-08:00&max-results=50http://void%280%29/http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equationhttp://2.bp.blogspot.com/-8GIO7ypBa_8/UKvArRNr4wI/AAAAAAAAXx4/AZIMVYOO2Is/s1600/radiacion+de+una+onda+esferica.gif -
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Puesto que la esfera, simtricamente hablando, es el cuerpo ms
perfecto que existe en la Naturaleza, parecera a primera vista que
la representacin matemtica de las ondas esfricas debera ser
algo realmente sencillo. Sin embargo, a diferencia de las ondas
senoidales unidimensionales, no lo es, y los matemticos de
antao fueron los primeros en darse cuenta de ello. Esta es la
razn por la cual nos vemos c asi obligados a elevar el grado de
complejidad en cualquier anlisis que involucre este tipo defenmenos.
En la entrada prev ia abarcamos algunos tpico s de naturaleza
puramente matemtica sin entrar en mayor detalle sobre los
mismos. Aqu explo raremos un poc o ms a fondo tales detalles,
co n la finalidad de darle alguna justificac in a las bases que
estamos cimentando. Mantendremos, por lo pro nto y al igual que
como se hizo en la entrada previa, el anlisis clsico de este tipo de
fenmenos en la forma en que se lleva a c abo en el c ampo de la
electrodinmica clsica.
Empezaremos por repasar la ecuacin differencial de Bessel.
Decimos que cualquier ecuacin diferencial que pueda ser esc rita
en la forma:
de Heisenberg
Observables compatibles e
incompatibles
Oscilador armnico simple:
solucin matricial
Matrices y probabilidad
El principio de
incertidumbre I
El principio de
incertidumbre II
El experimento Stern-
Gerlach
El spin del electron
Momento angular:
tratamiento matricial I
Momento angular:
tratamiento matricial I I
Momento angular:
tratamiento matricial II I
La energa rotacional
Matrices y sub-matrices
Solucin matricial del
tomo de hidrgeno
Funciones matriciales
De la mecnic a clsica a lamecnica matricial
La matriz momentum co mo
generadora de traslacin
La matriz generadora de
rotacin
Rotaciones de las matrices
de Pauli
El aspecto estadstico de la
Mecnica Matricial
Evo lucin temporal de los
sistemas fsicos
Matrices continuas
Ondas de materia
La ecuacin de Schrdinger
Solucin matemtica de la
ecuacin de onda
Solucin numrica de la
ecuacion de Schrdinger
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es una ecuacin diferencial de Bessel. Observando que esta
ecuacin diferencial es singular en el punto u.=.0, en la bsqueda
de una solucin a dicha e cuacin diferencial el camino ms
expe dito consiste en buscar una solucin con una expansin en
una serie de trminos deR(u) con respecto a este punto,
escribiendo lo siguiente:
Tomando diferenciales de e sta expansin, se tiene entonc es:
Substituyendo estas expre siones en la ecuacin diferencial de
Bessel, vemo s que:
Puesto que las distintas potencias de uson linearmente
independientes, el coe ficiente de c ada potencia se debe
desvanecer separadamente. Por lo tanto, igualando a cero el
coeficiente de uk+b, encontramos que:
[(k + b )(k + b - 1) + (k + b ) - n2 ] ak+ ak-2 = 0
o lo que es lo mismo:
[(k + b )2 - n2 ]ak+ ak-2 = 0
Interpretacin pro babilista
de I
Interpretacin pro babilista
de II
Operadores y esperanzas
matemticas I
Operadores y esperanzas
matemticas I I
Oscilador armnico simple:
solucin o ndulatoria
La funcin delta de Dirac
Transmisin y reflexin de
partculas I
Transmisin y reflexin de
partculas II
Transmisin y reflexin de
partculas III
Transmisin y reflexin de
partculas IV
El potencial delta de Dirac
Ondas de simetra circ ular y
esfrica
La notacin bra-ket de
Dirac
El espacio de Hilbert I
El espacio de Hilbert II
Operadores Hermitianos
Los operadores escalera I
Los operadores escalera II
El principio de
incertidumbre,
revisitado
El acto de medicin
Momento angular orbital:anlisis ondulatorio I
Momento angular orbital:
anlisis ondulatorio II
Momento angular orbital:
funciones de onda I
Momento angular orbital:
funciones de o nda II
Polinomios de Legendre:
aspectos matemticos
Bitdefender Internet Security
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Para el caso en el quel k.=.0 (obsrvese que a-2 .=.0) obtenemos
la ecuacin indicial:
b2 - n2 = 0
la cual tiene dos races sencillas:
b1 = n(siendo n 0 )
b2 = - n
Para el caso en el cual k.=.1, se tiene:
[(b+ 1 )2 - n2 ]a1 = 0
De esto se deduce que a1 es igual a cero para ambas de las
races b1 y b2 .
Si usamos b1 = nen la expresin:
[(k + b )2 - n2 ]ak+ ak-2 = 0
entonces se produce la relacin:
Esta es precisamente la relacin recursiva para la ec uacin de
Bessel. Puesto que ya e ncontramos que a1 .=.0 , esta ltima
expre sin requiere que todos los akpara los cuales ksea impar
tambin se desvanezcan. Por lo tanto, kest restringido a tomarvalores pares. Si hacemos la subst itucin de 2 po r ken la
expre sin, entonces podemos permitir que tome los valores 0, 1 ,
2, etctera:
Por lo tanto, para = 1:
La funcin de onda radial
La funcin de onda del
momento angular del
spin
El principio de ex clusin de
Pauli
El proceso de co nstruccin
Aufbau
El acoplamiento LS
La suma de momentos
angulares
Las reglas de selecc in
Tcnicas de aproximacin I
Tcnicas de aprox imacin
II
Tcnicas de aprox imacin
II I
El mtodo de aprox imacin
WKB I
El mtodo de aprox imacin
WKB II
El mtodo de aprox imacin
WKB II I
El mtodo de aprox imacin
WKB IV
El enlace molecular I
El enlace molecular I I
La hibridacin de los
orbitales atmicos
La teora de los o rbitales
moleculares
Teora del campo cristalino
Operadores c lase T
El espacio-posicin y elespacio-momentum I
El espacio-posicin y el
espacio-momentum II
El espacio-posicin y el
espacio-momentum III
El espacio-posicin y el
espacio-momentum IV
La partcula libre I
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y para = 2, hac iendo uso de la recursiv idad para meter el
resultado obtenido arriba:
De este modo, llegamos a la siguiente relacin general:
De este modo , para el caso b1 = n, la solucin es:
Exc epto para algunos v alores especiales de n, esta no es una
funcin elemental. Se acostumbra definir a a0 como 1/(2nn!).
Cuando esto se hace, entoncesR1 (u) se conv ierte en una funcin
de Bessel de orden n:
Histricamente, aunque fue Friedrich Besselel primero que di en
1824 un tratamiento sistemtico a la ec uacin diferencial que lleva
su nombre y a este tipo de so luciones, estas funciones fueron
estudiadas por v ez primera por Leonhard Euleren 17 64 en sus
La partcula libre II
La ecuacin de mov imiento
de Heisenberg
Mecnicas Matricial y
Ondulatoria:
equivalencia
Evo lucin temporal de las
ondas de materia IEvo lucin temporal de las
ondas de materia II
El operador de traslacin
El operador de evo lucin
del tiempo
Las representaciones de
Heisenberg y
Schrdinger
Operadores de ro tacin IOperadores de rotaci n II
Los grupos de rotacin I
Los grupos de rotacin II
Los grupos de rotacin III
La simetra co mo piedra
angular
Representaciones
irreducibles I
Representaciones
irreducibles II
Los c oeficientes Clebsch-
Gordan I
Los c oeficientes Clebsch-
Gordan II
Los c oeficientes Clebsch-
Gordan II I
Operadores tensoriales
El momento de cuadripolo
El teorema Wigner-Eckart I
El teorema Wigner-Eckart
II
Mecnica Estadstica
Cuntica I
Mecnica Estadstica
Cuntica II
Mecnica Estadstica
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estudios sobre la v ibracin de las membranas circulares.
Si recurrimos a la definicin matemtica de lafunc in gamma,
podemos darle a lo anterior una forma un poco ms compacta:
En cualesquier caso, la ex pansin de la funcin de Bessel como una
serie infinita de trminos est dada por la siguiente relacin
general:
De acuerdo a esta relacin, las primeras dos funciones de Bessel
J0(u) y J1 (u) se pueden escribir de la siguiente manera:
A estas alturas, resulta instruct iv o grafic ar e stas func iones de
Bessel para los rdenes0 y 1 junto con las funciones de Bessel paraotros rdenes superiores:
Cuntica III
Mecnica Estadstica
Cuntica IV
Mecnica Estadstica
Cuntica V
Mecnica Estadstica
Cuntica VI
La matriz densidad I
La matriz densidad II
El lser
El teorema virial
Espectrosc opas de
resonancia magntica I
Espectrosc opas de
resonancia magntica I I
Espectrosc opas de
resonancia magntica II I
Espectrosc opas de
resonancia magntica I V
Esparcimiento clsico de
partculas
Esparcimiento de las ondas
de luz
Aspec tos matemticos de
las ondas esfricas
El mtodo de las ondas
parciales
La aproximacin de Born I
La aproximacin de Born II
El teorema ptic o
La ecuacin Lippmann-
Schwinger
El teorema adiabtico I
El teorema adiabtico I ILa Mecnica Cuntica
Relativista
Recursos de software
Constantes fundamentales y
factores de conversin
Bibliografa
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Si tomamos la funcin de Bessel de orden ce ro, y la hacemos girar
en torno al eje v ertical, la grfica tridimensional resultante rev ela
ntidamente la manera en la que estas funciones son precisamentela clave para la representacin de o ndas esfricas:
Los puntos en los cuales una funcin de Bessel cruza del eje
vertic al positiv o al eje vertic al negativ o (o v icev ersa) sonconocidos como los ceroso las racesde la funcin de Bessel. La
primera raz de la funcin de Bessel de orden c ero J0(u) es igual
2.4048, como podemos v erlo arriba. La siguiente tabla nos da los
valores de varias races para las primeras cuatro funciones de
Bessel:
D A T OS P E R S O N A L E S
A RMA NDO MA RT NEZ
TLLEZ
V E R TODO MI P E R FIL
http://www.blogger.com/profile/07308360350870542056http://www.blogger.com/profile/07308360350870542056http://4.bp.blogspot.com/-BLkuVpIO2xs/UMZE2bT1NUI/AAAAAAAAZJ4/bFWD2Jcx1ss/s1600/funcion+de+Bessel+en+dos+dimensiones.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-vqv1rx4DXrw/UKvBtQsPOdI/AAAAAAAAXyI/aKTNtFQFqRE/s1600/funciones+de+Bessel.png -
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Un resultado obtenido po r George Stokesen 1850 indica que
conforme el orden nde la funcin de Bessel se vuelv e muy grande,
el valor de la -raz est dado aprox imadamente por la relacin:
+ [n- ( )](/ 2)
Comparando (con la ay uda de una calculadora de bo lsillo) los
valores obtenidos mediante la frmula de Stokes c on los v alores
dados en la tabla de arriba rev ela que la aproximacin de Stokes es
precisa co n un margen de error inferior al 1 0% inclusive
para n.=.2.
Las funciones de Bessel, extendindose en ambas direcciones del
argumento ( tanto en la direcc in positiva hacia la derecha c omo
en la direcc in negativa hacia la izquierda), pueden ser simtricas
o antisimtricas, como puede aprec iarse en la siguiente grfica:
http://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokeshttp://3.bp.blogspot.com/-eRJOL3-QrOk/UMD0id6z6GI/AAAAAAAAYzU/Qat5xIBLYw8/s1600/raices+de+las+funciones+de+Bessel.PNG -
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Pero si las funciones de Bessel v an a ser utilizadas para
representar ondas de mate riaesfricas, cmo podemos adecuar
a un sentido fsico re al los v alores negativos de tales funciones de
onda? Esto no ofrece pro blema alguno, po rque al igual que como
ocurre en la Mecnica Cuntica en donde no es la funcin de o nda
sino el cuadrado de la funcin de onda, o sea 2 , lo que d una
medida de la densidad de probab ilidadpara encontrar una
partcula en cierta regin del espacio (el criterio pro babilista de
Born), en la electrodinmica clsica lo que proporc iona laintensidad de la magnitud (energtica) de una onda
electromagntica no es la magnitud de la onda electro magntica
sino el cuadrado de la amplitud de la onda electromagntica, lo
cual se deshace del signo negativo. La siguiente grfica no s
muestra los cuadrados de algunas funciones de Bessel:
Todas las funciones de Bessel son de c arcter o scilatorio co n una
amplitud decrec iente conforme v a aumentando el o rden de la
funcin. La siguiente grfica en donde abarcamos ms ciclos de
http://3.bp.blogspot.com/-eiqI0_J2Aik/UKvE8VyQosI/AAAAAAAAXyg/ZvnSYGcO4uo/s1600/intensidad+dada+por+el+cuadrado+de+la+amplitud+de+la+funcion+de+onda.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-dcKE-YFARHI/UKrRF2faYNI/AAAAAAAAXvI/3xr4eM_FnNc/s1600/funciones+de+Bessel+simetricas+y+antisimetricas.png -
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las funciones de Bessel resalta el carcter o scilatorio de las
mismas:
En la grfica anterior podemos o bserv ar que en el ex tremoizquierdo de la misma las funciones de Bessel parecen
compo rtarse como ondas senoidales puras. Este es prec isamente
el comportamiento asinttico de una funcin de Bessel, y no se
requieren valores e xtremadamente grandes de r(la
condicin r) para que pueda usarse dicha aproximacin, esto
llega despus de una cantidad moderada de ciclos, y es lo que
permite que a distancias relativamente grandes las ondas esfricas
representadas mediante funciones de Bessel puedan ser
consideradas (aproximadamente) como ondas planares. Esto lo
podemos destacar c on mayo r claridad mediante la grficaextendida de una sola de ellas (J0):
http://2.bp.blogspot.com/--LEa5_lnHHU/UKvOBEKo2QI/AAAAAAAAXzI/4j8jopSa-bY/s1600/comportamiento+asintotico+de+las+funciones+de+Bessel.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-lXdfBPYLBgc/UKvHBX-sNmI/AAAAAAAAXyo/0tIJvwnQRlw/s1600/comportamiento+oscilatorio+de+las+funciones+de+Bessel.JPG -
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La solucin para la raz b2 .=.- nviene siendo:
Hasta aqu hemos hablado de funciones de Bessel de ordenintegral. Pero como lo v imos en la entrada previa, no slo hay
funciones de Bessel de orden integral, tambin hay funciones de
Bessel de medio orden integral. Si nno es un entero,
entonces Jn(u) y J-n(u) son soluciones linearmente
independientes. Sin embargo, si nes un entero, las soluciones son
linearmente dependientes como lo demostraremos a
continuacin.
PROBLEMA:Demustrese que:
J-m(u) = (-1)mJm(u)
Para resolver este problema, podemos empe zar con la definicin
de una funcin de Bessel Jn(u) mediante la serie infinita:
Haciendo la substitucin n..-m, se tiene:
Ahora b ien, la funcin gamma es div ergente para:
- m+ 1 0
m- 1
Por lo tanto, el primer trmino de la sumacin que sobrev ive
es .=.m. Substituyendo (en la sumatoria) un nuevo sub-ndice:
= - m
http://2.bp.blogspot.com/-BHBHvpn4rGA/ULJlJq5Eh_I/AAAAAAAAYBM/PJGbLd3Xvus/s1600/problema+1-02.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-iXHp0trocFU/ULJlAmhjwNI/AAAAAAAAYBE/zBYJeQ-7dgk/s1600/problema+1-01.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-E_Fa9NNBymE/UKvMSsWWhCI/AAAAAAAAXzA/mAyP3LyMZ5M/s1600/solucion+negativa.png -
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la sumatoria se vuelve e ntonces:
Usando la serie para Jn(u) y el hecho de que (k+1 ).=.k! por laspropiedades de la funcin Gamma, todo lo anterior se reduce al
resultado deseado:
PROBLEMA:SiZn(u) simboliza ya sea una funcin de
Bessel Jn(u) o una funcin de NeumannNn(u), demustrese que:
La expresin propo rcionada expresa la deriv ada de una funcin de
Bessel o de Neumann en la forma de una relacin recursiva. Para
resolve r este pro blema en lo que toc a a las funciones de Bessel,
recurrimos a la siguiente expansin en series:
Diferenciando el producto unu2 se tiene entonces:
El primer trmino puede ser factorizado de la siguiente manera:
http://4.bp.blogspot.com/-Mi-1jHXo1YY/ULJmE0pm4KI/AAAAAAAAYB0/HKWbXDdiD78/s1600/problema+2-03.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-hf8q2Udf5pA/ULJl9bFwW9I/AAAAAAAAYBs/8p6nyv2b1DY/s1600/problema+2-02.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-iox3Mecy1Wg/ULJl0Ad7-kI/AAAAAAAAYBk/VyLQeDCkKPQ/s1600/problema+2-01.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-DfUVj7af2GI/ULJlZ-38HGI/AAAAAAAAYBc/lYXwCaOca1c/s1600/problema+1-04.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Mnsv9ReNjwI/ULJlSxDzWwI/AAAAAAAAYBU/Blk_0R5CFIA/s1600/problema+1-03.png -
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En lo que toca al segundo trmino, podemos re definir de la
siguiente manera el ndice de la sumatoria:
- 1
Con esto, el segundo trmino se c onvierte en lo siguiente:
El trmino = -1 en la primera sumatoria es cero en v irtud de que
0/0! = 0/1 = 0. Por lo tanto:
La metodologa para demostrar la validez de la relacin rec ursiva
general en el caso de las funciones de Neumann es ex actamente la
misma, y no es nece sario repetirla aqu.
Las funciones de Bessel que hemos v isto hasta este punto
son funciones de Bessel del primer gnero. Para el caso en el
cual nsea un entero (e inclusive para el c aso en el cual nno sea un
entero), la solucin general de la ec uacin diferencial de Bessel
usualmente se escribe en funcin de las funciones linearmente
independientes Jn(u) y Nn(u), en donde las Nn(u) son
las funciones de Neum ann. Las funciones de Neumann
tambin son llamadas frecuentemente funciones de Bessel del
segundo gnero, de modo tal que la solucin general de la
ecuacin diferencial de Bessel est dada por una c ombinacin
linear de funciones de Bessel del primer gnero y del segundo
gnero. (Adv ertencia: las funciones de Bessel del segundo gnero
http://2.bp.blogspot.com/-vgchuMgxOyE/ULJmijnHwDI/AAAAAAAAYCM/9py7jQkCe2o/s1600/problema+2-06.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-57k58rZ8Gsk/ULJmXVzBMOI/AAAAAAAAYCE/aGfJGnf35VI/s1600/problema+2-05.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-wdT2d_89sBI/ULJmNE4-S0I/AAAAAAAAYB8/9Iz2uPamb28/s1600/problema+2-04.png -
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frecuentemente se representan como Yn(u), pero nos
abstendremos aqu de hacer tal cosa po rque esto se presta a
confusiones c on la notacin que hemos estado utilizando para
simbolizar a las armnicas esfricas que aunque son un co ncepto
similar no se trata de la misma cosa). Las funciones de Neumann se
definen formalmente mediante la siguiente relacin:
De este modo, la solucin general Rn(u) = Rn(kr) de la ecuacin
diferencial de Bessel se puede expresar en forma sencilla de la
siguiente manera:
Las funciones de Bessel Jn(kr) son regulares en el origen, y para
valores pequeo s de kr (esto es, kr1), stas varan de acuerdo a la
relacin:
Por el o tro lado, las formas asintticas para v alores relativamente
grandes de kr(esto es, kr1) estn dadas por (la expresin
asinttica para J0 fue obtenida en 1817 por Poisson, mientras que
el resultado general para c ualquier nfue obtenido po r Jacobi):
Las funciones de Bessel, por lo tanto, e xhiben una v ariacin
asinttica senoidal a medida que aumenta kr, pero co n una
disminucin en la amplitud al ir creciendo kr. La regin de
transicin entre la aproximacin para v alores pequeos de kry la
aproximacin para v alores grandes de kres cerc ana al
punto kr..n.
A estas alturas, resulta instruct iv o e charle un v istazo a las grfic as
de v arias funciones de Neumann para varios r denes:
http://4.bp.blogspot.com/-YIDEELAyBYg/UKvdYO9i2tI/AAAAAAAAX0g/x4w6cov7xjg/s1600/aproximacion+asintotica+2.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jakob_Jacobihttp://es.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poissonhttp://2.bp.blogspot.com/-Hg3tB4U7cd0/UKvb_EUOogI/AAAAAAAAX0Y/Lk-bzx8HdvA/s1600/aproximacion+asintotica+1.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-aVt6YC5f69Y/UKvTIfQvlyI/AAAAAAAAXzo/vqjms_MHSks/s1600/solucion+general+de+ecuacion+de+Bessel.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-z-bf8diufjI/UKvRY4i_CLI/AAAAAAAAXzg/kV55e9swu28/s1600/definicion+formal+de+funcion+de+Neumann.png -
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Lo primero que resalta es que todas las funciones de Neumann son
irregulares en el o rigen, en donde su v alor se v a hacia el infinito(negativo). Es por ello que debe mos usar mucha precauc in en los
usos que le demos a estas funciones en problemas de la fsica, y es
por ello que en v irtud de esta irregularidad de las
funciones Nn(kr) escogemo s nicamente a las funciones Jn(kr) en
problemas en los que el origen est inv olucrado.
Para valores pequeos de kr(esto es, kr1) y para n.=.0, la funcin
de Neumann vara de la siguiente manera:
Para valores pequeos de kr(esto es, kr1) y para cualquier otro
valor de ndifefente de n.=.0, la funcin de Neumann vara de la
siguiente manera:
Las expresiones asintticas de las funciones de Neumann para
valores re lativ amente grandes de kr(esto es, kr1) son:
http://3.bp.blogspot.com/-5DrWJvGjKgY/UKviEe9n8EI/AAAAAAAAX1I/iKELI9evCHA/s1600/aproximacion+asintotica+Neumann+3.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-i5KwqpDvVDE/UKvhQnbbNII/AAAAAAAAX1A/2To5DbTxKdc/s1600/aproximacion+asintotica+Neumann+2.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-OHeei8OXvFg/UKvgW0jlQkI/AAAAAAAAX04/NvktNiYzFxY/s1600/aproximacion+asintotica+Neumann+1.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-QJREX3afCR4/UKvXnnPBARI/AAAAAAAAX0A/paL4pujx80k/s1600/funciones+de+Neumann.png -
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Conforme no s alejamos de la singularidad en el origen, to das las
funciones de Neumann son de c arcter osc ilatorio con una
amplitud decrec iente conforme v a aumentando el argumento de la
funcin. La siguiente grfica en donde abarcamos ms ciclos de
las funciones de Neumann resalta el carcter oscilatorio de las
mismas:
Comprese la forma asinttica algebraica de las funciones de
Neumann con la forma asinttic a de las funciones de Bessel del
primer gnero. Son casi la misma cosa, ambas con la misma
amplitud, exc epto que una forma es senoidal y la otra cosenoidal.
Se ha afirmado que es po sible llev ar a cabo la representacin de
una onda plana mediante una suma (infinita) de ondas e sfricas. De
la quintaesencia del anlisis de Fourier, sabemos y a que para que
esto se pueda llev ar a cabo las funciones que representan cada
onda esfrica necesariamente tienen que ser ortogonales entre s.
Afortunadamente, e sto est garantizado, po rque se puede
demostrar que las funciones de Bessel Jn(kr) son ortogonales. Si
km es la m-raz de Jn(kr), esto es, Jn(km ).=.0, entonces la
condicin de ortogo nalidad sobre las funciones de Bessel dentro
de cierto intervalo 0..r.. afirma que:
Es un hecho que las funciones de Bessel forman un conjunto
ortogonal co mpleto de funciones para la expansin de una
funcinf(r) en el intervalo 0..r..:
http://2.bp.blogspot.com/-ie9JMjE9b2s/UKmWXOmt4MI/AAAAAAAAXss/AGzRT2ULMsQ/s1600/condicion+de+ortogonalidad.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-yvsFC_Fl6Vo/UKvk1jWI0KI/AAAAAAAAX1g/BZ39Npcvfo8/s1600/comportamiento+oscilatorio+de+las+funciones+de+Neumann.JPG -
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PROBLEMA: Obtnganse los coe ficientes Fourier Dmnpara la
expansin de una funcin de r en trminos de una serie (infinita)
de funciones de Bessel.
Si multiplicamos ambos miembros de la ex pansin anterior po r:
y llev amo s a c abo la integracin en e l inte rv alo 0..r.., se tiene
entonces:
El lado derecho puede ser ev aluado usando la condicin deortogonalidad dada arriba:
Por lo tanto:
http://3.bp.blogspot.com/-JFzjb_emgf4/UKmjLI5TbxI/AAAAAAAAXtg/k1HP1xy0boI/s1600/coeficientes+Fourier+expansion+Bessel.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-yFa1-5Y7T_I/UKmhB0zGJkI/AAAAAAAAXtY/-0tZu-si77c/s1600/desarrollo+2.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-kI-HHe7M4sY/UKmbkmHfoeI/AAAAAAAAXtE/FWjmfeb4T08/s1600/desarrollo+1.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-k6VmwG1GcOM/UKmZunUWIBI/AAAAAAAAXs8/wa4J5mNxL7w/s1600/multiplicando.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-2dGh-6SMgB8/UKmX_XkkRQI/AAAAAAAAXs0/zOP-rIqa9ig/s1600/expansion+de+una+funcion+de+r.png -
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Obviamente, las series que son generadas de esta manera son
conocidas como series Fourier-Bessel.
Aunque la ev aluacin numrica de las funciones de Bessel usando
una expansin en series pueda parecer algo sencillo y direc to
recurriendo un programa de computacin para el clculo
numrico de dichas series, la lentitud en la conv ergencia hacia una
respuesta con un grado aceptable de precisin (digamos cuatro o
cinco cifras significativas) hace que tal procedimiento sea de valor
escaso para argumentos que sean muy superiore s a la unidad. No
entraremos a fondo en los detalles de las dificultades enfrentadas
en una situacin de este tipo ya que, afortunadamente, tales
detalles en la ev aluacin de cmputos numricos pueden ser
solventados recurriendo a lo que se cono ce co mo
las representaciones integrales de las funciones de Bessel:
PROBLEMA:Demustrese que:
es equivalente a la relacin recursiva:
Llevando a c abo la diferenciacin indicada y usando la relacinrecursiva, se tiene:
http://3.bp.blogspot.com/-QH9MoNv4rH4/UMEEB9JJ9RI/AAAAAAAAY0Y/pgynwT3eeFw/s1600/equivalencia.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-4C5mAZSf6yw/UMED6M82SBI/AAAAAAAAY0Q/6z-6nui7Acg/s1600/relacion+a+demostrar.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-iWuCpaBk5lQ/ULPVtEeI_VI/AAAAAAAAYGs/hS0Ew1-Txtg/s1600/representaciones+integrales+de+las+funciones+de+Bessel.png -
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PROBLEMA: Usando el resultado del problema previo junto co n
la representacin integral para la funcin de
BesselJ0(u), obtngase la representacin integral para la funcin
de Bessel J1 (u). Generalcese e l procedimiento para obte ner la
representacin integral de c ualquier funcin de Bessel
demostrando que, en general:
Usando el resultado prev io haciendo n.=.0, y r ecurriendo a la
representacin integral para la funcin de Bessel J0(u), se tiene
que:
Podemos diferenciar bajo el signo de la integral para obtener losiguiente (los co lores son para resaltar las partes con las cuales se
llevar a cabo una substitucin de variablesco n la finalidad de
facilitar el proceso de integracin por partes):
http://4.bp.blogspot.com/-6JXLV1O1BZc/ULJm5Q9Z1tI/AAAAAAAAYCc/ZR-3sSiZEQY/s1600/problema+3-02.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Vh2X3Q3Tpzo/UMJRE2e-enI/AAAAAAAAZCc/r0fpSuI1WX4/s1600/problema+3-07.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-P-JV4NAtx_I/ULJmu2en6bI/AAAAAAAAYCU/zeODXP4W1t4/s1600/problema+3-01.png -
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Es ev idente que las variables monigote son tales que lo siguiente
debe ser cierto:
Llevando a cabo la integracin por partes, se tiene entonces:
El trmino uv se desv anece en ambos lmites. Procediendo de
modo similar repitiendo la tcnica de integracin por partes,obtenemos:
http://4.bp.blogspot.com/-59WD3nf5Iy4/ULJnf6z9zoI/AAAAAAAAYC8/OZIvQ6dJ0QM/s1600/problema+3-06.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-1dwnrX7QOJM/ULJnU6edUDI/AAAAAAAAYC0/al6T76Fp0YQ/s1600/problema+3-05.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-o_8UbRDkQfA/ULJnMK00cZI/AAAAAAAAYCs/Q18fMHpTZ9s/s1600/problema+3-04.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-5ZOgIXj5Afs/ULJnB-7Fc9I/AAAAAAAAYCk/racuMK3nIVg/s1600/problema+3-03.png -
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Cada subsecuente integracin po r partes v a reco giendo los
factores adicionales sen2 (), u, y un coeficiente en la progresin
1/ 3, 1/5 , 1/7 , etc. Por lo tanto, la generalizacin deseada es:
La representacin integral de J0(u) se puede demostrar llevando a
cabo la ex pansin del integrando en una serie de potencias,
llevando a cabo la integracin trmino por trmino, y efectuando
la comparacin c on la expansin en series para J0(u).
PROBLEMA: Utilcense los resultados vistos previamente para
demostrar las siguientes relaciones:
De lo que se ha visto c on anterioridad, se tiene que:
Para n.=.1/ 2, se vuelv e necesario recurrir a las propiedades de
la funcin Gammaen la forma en la que se aplica para argumentos
de medio orden integral. En este caso, consultando la bibliografa
matemtica, se tiene que:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gammahttp://4.bp.blogspot.com/-tvzjA5qsvK8/ULJn3XIS00I/AAAAAAAAYDM/DmdnG61wJ6o/s1600/problema+4-01.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-vHiBz75t0a0/UMENWJmWMhI/AAAAAAAAY1c/nPqdrMRS0RM/s1600/expresion+2.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-ZCRvafAp1-I/UMENSL8REAI/AAAAAAAAY1U/l7ptcCIaGkM/s1600/expresion+1.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-_UHlR9YcRcE/ULJnrFiTJhI/AAAAAAAAYDE/2toxZCrNd3A/s1600/problema+3-07.png -
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De este modo, la serie to ma el siguiente aspecto :
De modo semejante, para n.=.-1/2:
Entonces para este c aso la serie toma el siguiente aspecto :
http://1.bp.blogspot.com/-k46g0IH87Zo/ULJodd-kbEI/AAAAAAAAYDk/GSeC8kK4-FA/s1600/problema+4-04.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-SX-xBikp9vw/ULJoRvMuCrI/AAAAAAAAYDc/Iii97ltS-D0/s1600/problema+4-03.pnghttp://3.bp.blogspot.com/--LwLZHUgB9s/ULJoFTGFcqI/AAAAAAAAYDU/Xki9SSbHvBI/s1600/problema+4-02.png -
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Un procedimiento alterno de solucin co nsiste en rec urrir a la
siguiente substitucin:
tomando n.=.1/ 2 en la ec uacin diferencial de Bessel, lo cual
reduce la ecuacin a la forma familiar:
PROBLEMA: Obtnganse expresiones para las siguientes
unciones de Bessel y de Neumann de medio orden integral:
Las funciones de Bessel J+1/2y J-1/2pueden ser ob tenidas
directamente de la ex pansin en series dada arriba:
Puesto que ya se obtuvieron J+1/2y J-1/2en el prob lema anterior,
http://3.bp.blogspot.com/-hf8q2Udf5pA/ULJl9bFwW9I/AAAAAAAAYBs/8p6nyv2b1DY/s1600/problema+2-02.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-X4-J8FGLFHA/UMFUDAcVpwI/AAAAAAAAY9M/4gIGMm67eOg/s1600/funciones+a+evaluar.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-ACWur7HPiLg/ULJo3evvDNI/AAAAAAAAYD0/pjHMDyPmHVY/s1600/problema+4-07.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-Dl4relxeeA0/ULJpV0-ryEI/AAAAAAAAYD8/ct8Jau_qdMI/s1600/problema+4-06.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-VeTH-7hqWP8/ULJoqGqpUOI/AAAAAAAAYDs/BJJzIDeUveU/s1600/problema+4-05.png -
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no ser necesario repe tir aqu la solucin de los mismos.
En lo que respecta a la funcin de Bessel J+3/2, esta puede ser
obtenida con la ayuda de la relacin recursiva:
Usando los resultados obtenidos arriba,
Por otra parte, para J-3/2, se tiene:
Para valores medios integrales de n, la relacin:
nos conduce a:
http://2.bp.blogspot.com/-Gu2jC-YmTyI/UMERFoVWLLI/AAAAAAAAY2o/vz2NQZ0MPsY/s1600/problema+10-03.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-A49icVotaSM/UMJXlthIDgI/AAAAAAAAZDk/a32caEZupfE/s1600/definicion+formal+de+funcion+de+Neumann.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-sIfuIgh4pAE/UMEQ713CBwI/AAAAAAAAY2g/_c6fdVZHncs/s1600/problema+10-02.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-xeg3ZGO8tlE/UMJV8Lhbl4I/AAAAAAAAZDc/qIEa2-SP-Mg/s1600/solucion+funcion+Bessel+de+orden+3+medios.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-HI_7nK1iSQM/UMEQ0u45vJI/AAAAAAAAY2Y/hf3MyYKR9pM/s1600/problema+10-01.png -
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Por lo tanto:
Del mismo modo:
Usando los factores de normalizacin e indexacin que
corre sponden propiamente a las funciones esfricasde Bessel,
tenemos primero que:
Del mismo modo:
En lo que to ca a las funciones esfric as de Neumann, se tiene
primero que:
Del mismo modo:
http://3.bp.blogspot.com/-apz1gDAcwHo/UMER9wsvc1I/AAAAAAAAY3Y/D-d7Jobij-Q/s1600/problema+10-09.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-1YPW8fSbHi8/UMER3Bua81I/AAAAAAAAY3Q/gxDM9CvV61o/s1600/problema+10-08.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-n4nFvg0IEpU/UMERrhzZffI/AAAAAAAAY3I/L5tWIBM20sI/s1600/problema+10-07.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-8IbvOrvIaMM/UMERduDTmbI/AAAAAAAAY3A/RFTl885se0g/s1600/problema+10-06.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-P225tGXAfSg/UMERX2KCDOI/AAAAAAAAY24/jGucxKZa_Ss/s1600/problema+10-05.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-O_DPDbx4dy0/UMEROyXIAoI/AAAAAAAAY2w/yN29vnPsLc0/s1600/problema+10-04.png -
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PROBLEMA: Usando la relacin:
demustrese lo siguiente:
Usando la expresin as obtenida, demustrese que:
Finalme nte , utilcese la expresi n anterior para demostrar que:
Obtnganse de esta ltima relacin las primeras tres funciones
esfricas de Bessel, y comprubese que se obtiene lo mismo que lo
que haba sido dado previamente.
Utilizaremos el muy co nocido proc edimiento deinducc in
matemticapara demostrar lo primero. Para m.=.0, la relacin a
ser demostrada se reduc e al siguiente resultado que es
trivialmente cierto:
Suponemos ahora que la relacin es vlida para cualquier valor
de m. Tenemos que demostrar que ello implica que ser v lida
tambin para m+1. Si el teorema a ser demo strado es v lido
para m, entonces para m+1 se tiene:
http://4.bp.blogspot.com/-oZu-W7DdN-M/UMESmljVNzI/AAAAAAAAY34/Jx8yvVbLw28/s1600/problema+11-04.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://2.bp.blogspot.com/-dj6fbcHivno/UMESfqCpWaI/AAAAAAAAY3w/KgduCmkBxU4/s1600/problema+11-03.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-yDKShM49EZw/UMESUNoRQRI/AAAAAAAAY3o/bG-UpXjoR2I/s1600/problema+11-02.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-oAGLcpkA_PU/UMESIU7EA3I/AAAAAAAAY3g/y2zmH0YAE_U/s1600/problema+11-01.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-HI_7nK1iSQM/UMEQ0u45vJI/AAAAAAAAY2Y/hf3MyYKR9pM/s1600/problema+10-01.png -
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Esto se reduce a la forma:
al llev ar a cabo el reemplazo nn+m. Puesto que hemos
demostrado la v alidez de la hiptesis para m.=.0 y para m+1, ser
vlida para c ualq uier v alor entero de m, con lo c ual se d por
conc luida la demostracin.
Ahora b ien, hgase n.=.1/2 y ml. La relacin demostrada se
vuelv e ento nces:
Pero:
y se t iene tambin q ue:
http://1.bp.blogspot.com/-WzcCkuopfXk/UMETBFIltDI/AAAAAAAAY4Q/FvjMI0TNe3c/s1600/problema+11-07.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-zz_47yM-NG0/UMES36gSEqI/AAAAAAAAY4I/qOYxg94dJBo/s1600/problema+11-06.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-HI_7nK1iSQM/UMEQ0u45vJI/AAAAAAAAY2Y/hf3MyYKR9pM/s1600/problema+10-01.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-X7-NEvJj0VM/UMESuN_RSDI/AAAAAAAAY4A/FPVIOYUN9oM/s1600/problema+11-05.png -
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Entonces, para la funcin de Bessel de medio orden integral:
Y en lo que respe cta a la funcin esfrica de Bessel
correspondiente:
Para l= 0, 1 y 2, esta ltima relacin que acabamos de obtener nos
produce las primeras tres funciones esfricas de Bessel que
resultan ser idnticas a lo dado prev iamente:
PROBLEMA: Ve rifquese por integracin directa que la
http://2.bp.blogspot.com/-nnc2Ru-WamE/UMETmFZ1vrI/AAAAAAAAY4w/u-Pd5GIuNSk/s1600/problema+11-11+funciones+de+Bessel+esfericas.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-6M8G9f8o1Gk/UMETb1eJ-aI/AAAAAAAAY4o/PniP4sL3FNM/s1600/problema+11-10+funcion+de+Bessel+esferica.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-HO6Ku1_b2ro/UMETUBMbkXI/AAAAAAAAY4g/N63OdsC44AQ/s1600/problema+11-09.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-XWUBUTEEDo0/UMETKeuYt9I/AAAAAAAAY4Y/6sPtCvOuoeY/s1600/problema+11-08.png -
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expresin:
roduce las primeras tres funciones esfricas de Bessel.
La ecuacin proporc ionada es una forma integral de las funciones
esfricas de Bessel, que co n un ligero cambio en la notacin toma
el siguiente aspecto :
Usando los polinomios de Legendre:
se tiene entonces por principio de cuentas:
Del mismo modo, y llevando a cabo una integracin por partes:
http://3.bp.blogspot.com/-huHsnIfsnaM/UMJhoajHGaI/AAAAAAAAZEs/eOo5U93Ra_c/s1600/problema+12-02.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-856LvJDWtoE/UMjRFFrnBNI/AAAAAAAAZgA/-w5Zh7m3A_A/s1600/polinomios+de+Legendre.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-A_PM2h3_8BM/UMJhgYXb3SI/AAAAAAAAZEk/2PpHUzxDe3Y/s1600/problema+12-01.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-0GhKxTK30-A/UMjOyZspXZI/AAAAAAAAZf4/Qx7Qd93bmyU/s1600/relacion.png -
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Finalmente:
PROBLEMA:Lasfunc iones ge neradora spara las funciones
esfricas de Bessel y Neumann son las siguientes:
en donde, por ejemplo, operacionalmente hablando:
y as sucesivamente para valores crecientes de l. Utilcense estas
unciones ge neradoras para obtener las primeras tres funciones
esfricas de Bessel y de Neumann.
Las funciones jlpara l.=.0, 1 , y 2 fueron obtenidas en uno de los
problemas resueltos arriba precisamente por este pro cedimiento.
Podemos escribir la funcin generadora de la siguiente manera:
http://4.bp.blogspot.com/-XW_G9V70jjw/UMJlv2Ru6BI/AAAAAAAAZFc/_IRu_M2V2E0/s1600/expresion+operacional.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-yJ12b9bypi4/UMJk2dknopI/AAAAAAAAZFU/MktS3AA2Umc/s1600/funciones+generadoras.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-fFbJwTbeTTI/UMJh5lPFrKI/AAAAAAAAZE8/5kUN9Mvudic/s1600/problema+12-04.pnghttp://2.bp.blogspot.com/-bx00_ReTIo0/UMJhxW0z-FI/AAAAAAAAZE0/ZOwnS455Kvo/s1600/problema+12-03.png -
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Por lo tanto:
Las funciones esfricas nlpueden ser obtenidas de las funciones
esfricas de Bessel jlmediante la substitucin (el signo negativov iene de l signo negativo e xtra en la func in generado ra):
sen(u)- cos(u)
y la substitucin (el signo e s inv ertido por el signo negativ o
adicional en la diferenciacin hacia el coseno):
cos(u)+ sen(u)
As, por eje mplo:
Sin entrar en tanto detalle en torno a las funciones esfricas de
Bessel y Neumann, resulta posible entender cmo siempre debe
ser posible repre sentar una ondaplana(escrita ya sea como unafuncin senoidal o cosenoidal multiplicada por un factor que
representa la amplitud de la onda) mediante una combinacin en
serie (infinita) de funciones de Bessel, en v irtud de las siguientes
relaciones matemticas cuy a demostracin puede ser enco ntrada
en Internet y e n muchos texto s de matemticas propias de la
fsica:
http://2.bp.blogspot.com/-pmltVRVTG5A/ULPYCGzKB3I/AAAAAAAAYG0/Sya8VCbLYtc/s1600/expansion+onda+senoidal+en+serie+de+funciones+de+Bessel.pnghttp://3.bp.blogspot.com/-uXwPOCp-xiM/UMjWSUPab-I/AAAAAAAAZhI/Gykf6qLupQ4/s1600/funcion+esferica+de+Neumann+de+orden+3.pnghttp://4.bp.blogspot.com/-6BiKfMcq30g/UMJigV2aPUI/AAAAAAAAZFM/-olhWw0tKb4/s1600/problema+13+-+02.pnghttp://1.bp.blogspot.com/-D3ah1-cjxg8/UMJiXxqEQlI/AAAAAAAAZFE/MI8wa1y-t6A/s1600/problema+13+-+01.png -
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Si es posible representar una onda plana en funcin de una
combinacin de un nmero infinito de ondas esfricas, puede
surgir entonces la pregunta: ser posible hacer lo opuesto, esto
es, representar una onda esfrica utilizando ondas planas? Larespuesta, como pudiera sospecharse, es afirmativa. En efecto, y
utilizando como referencia la definicin para una transformada de
Fourier en una dimensin:
pero ex tendida a tres dimensiones, se encuentra que una ondaesfrica definida como Ylm.j(kr) puede ser ex pandida en trminos
de ondas esfricas mediante el clculo de los c oeficientes A(k) de
la siguiente relacin:
Lo que se llev a a cabo, e n efecto, es una transformada de Fourier
en el sentido inverso. Aunque el lector po siblemente y a
sospechaba desde un principio que esta era la forma de llevarlo a
cabo.
P U BL I C AD O P OR A R MA N DO MA R T N E Z T LL E Z E N 1 2 :4 4
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