kompresija signala primjenom optimalnog stabla wavelet paketa

Kompresija signala Kompresija signala primjenom optimalnog stabla primjenom optimalnog stabla

wavelet paketawavelet paketa

Ante AlićAnte AlićMirna BartulovićMirna Bartulović

Zagreb, siječanj 2005.Zagreb, siječanj 2005.

WAVELET PAKETIWAVELET PAKETI

poopćenje wavelet transformacijepoopćenje wavelet transformacije signal je moguće razložiti na više načinasignal je moguće razložiti na više načina baze wavelet paketabaze wavelet paketa

Kod waveleta smo prostor funkcija L2 rastavili na direktnu sumu potprostora {Wj} i uzeli kombinaciju ortonormalnih baza od Wj kao bazu za L2. Kod podataka s konačnom količinom informacije rastavili smo prostor Vj:

11 1 1 2 2 0 0... J

j j j j j j jV W V W W V Wj V

Funkcije {Φ(t-k)} i {Ψ(t-k)} razapinju prostore V0 i W0

( ) 2 (2 ),

( ) 2 (2 )

k nk

k nk

t h t k

t g t k

Kako smo podijelili prostor V na dva potprostora s bazama:

podijelimo analogno i prostor W, pa dobijemo baze :

2

3

( ) 2 (2 ),

( ) 2 (2 )

k nk

k nk

w t h t k

w t g t k

Općenito definirajmo indukcijom sljedeći niz Općenito definirajmo indukcijom sljedeći niz funkcija Wn(x), n = 0, 1, 2,...funkcija Wn(x), n = 0, 1, 2,...

1

20

1

2 10

( ) 2 ( ) (2 ),

( ) 2 ( ) (2 )

N

n nk

N

n nk

W x h k W x k

W x g k W x k

gdje su W0(x)=Φ(x) funkcija skale i W1(x)=Ψ (x) wavelet funkcija.

Dosad smo koristili za Dosad smo koristili za razapinjanje Vj, a sada imamo na razapinjanje Vj, a sada imamo na raspolaganju cijeli niz baza generiranih s raspolaganju cijeli niz baza generiranih s {wn(t)}. {wn(t)}.

Taj niz zovemo Taj niz zovemo ‘’library of wavelet packet ‘’library of wavelet packet bases’’,bases’’, a funkcije oblika a funkcije oblika

wavelet paketimawavelet paketima

2 2j jt k i t k

/ 2, , 2 (2 )j jn j k nw w t k

U slučaju Haarovog waveleta imamo:U slučaju Haarovog waveleta imamo:

11, (0) (1)

21

(0) (1)2

N h h

g g

pa slijedi

2

2 1

( ) (2 ) (2 1)

( ) (2 ) (2 1)n n n

n n n

W x W x W x

W x W x W x

gdje su W0(x)=Φ(x) Haarova funkcija skale i W1(x)=Ψ (x) Haarova wavelet funkcija na intervalu [0,1].

W0-W7 kod Haarovih wavelet paketa

Iz funkcija dobivamo familiju Iz funkcija dobivamo familiju

analizirajućih funkcija s tri indeksaanalizirajućih funkcija s tri indeksa . .

k možemo interpretirati kao parametar k možemo interpretirati kao parametar lokalizacije u vremenu, a j kao parametar skale.lokalizacije u vremenu, a j kao parametar skale.

Za fiksnu vrijednost j i k, Wj,n,k analizira Za fiksnu vrijednost j i k, Wj,n,k analizira fluktuacije signala otprilike oko pozicije 2jk, skale fluktuacije signala otprilike oko pozicije 2jk, skale 2j i različitih frekvencija za različite dozvoljene 2j i različitih frekvencija za različite dozvoljene vrijednosti parametra n. vrijednosti parametra n.

( ),nW x n N

/ 2 2, , ( ) 2 (2 ) , , ( , )j jj n k nW x W x k gdje su n N j k Z

Za pozitivne vrijednosti cijelih brojeva j i n wavelet paketi su organizirani u stablo. Stablo na sljedećoj slici ima najveću razinu dekompozicije jednaku 3. Za svaki skalu j, moguce vrijednosti parametra n su 0,1, ..., 2j-1.

Wavelet paketi organizirani u stablo

Optimalno stablo wavelet paketaOptimalno stablo wavelet paketa

Signal duljine N=2L može biti razložen na α Signal duljine N=2L može biti razložen na α različitih načina, gdje je α broj binarnih različitih načina, gdje je α broj binarnih podstabala potpunog binarnog stabla dubine Lpodstabala potpunog binarnog stabla dubine L

Kako ovaj broj može biti jako velik, zanimljivo je Kako ovaj broj može biti jako velik, zanimljivo je naći optimalno razlaganje po nekom kriteriju naći optimalno razlaganje po nekom kriteriju kojeg je moguće izračunati efikasnim kojeg je moguće izračunati efikasnim algoritmom. algoritmom.

Klasični kriterij temeljen na entropiji, čest u Klasični kriterij temeljen na entropiji, čest u obradi signala, zadovoljava te uvjete.obradi signala, zadovoljava te uvjete.

primjer MATLABprimjer MATLAB

Primjer kompresije signala Primjer kompresije signala upotrebom wavelet paketaupotrebom wavelet paketa

naredbom naredbom wavemenu wavemenu otvara se izbornik:otvara se izbornik:

Primjer kompresije signala Primjer kompresije signala upotrebom wavelet paketaupotrebom wavelet paketa

učitamo signal,podesimo parametre (crveno označeno na učitamo signal,podesimo parametre (crveno označeno na desnoj slici) i pritisnemo desnoj slici) i pritisnemo AnalyzeAnalyze

Primjer kompresije signala Primjer kompresije signala upotrebom wavelet paketaupotrebom wavelet paketa

klikni na klikni na Compress Compress tipkutipku

Pojavljuje se Pojavljuje se Wavelet Wavelet Packet 1-D Packet 1-D CompressionCompression prozor prozor s ,automatski s ,automatski izabranom, približno izabranom, približno određenom vrijednosti određenom vrijednosti praga (praga (engl. thresholdengl. threshold ). ).

Automatski izračunati Automatski izračunati prag od 1.415 rezultira prag od 1.415 rezultira time da energija time da energija komprimiranog signala komprimiranog signala sadrži samo 80.85% sadrži samo 80.85% orginalnogorginalnog

Primjer kompresije signala Primjer kompresije signala upotrebom upotrebom wavelet paketa wavelet paketa

Prilagođavamo prag tako što upisujemo Prilagođavamo prag tako što upisujemo vrijednost 0.8939, zatim pritisnemo tipku vrijednost 0.8939, zatim pritisnemo tipku EnterEnter..

Primjer kompresije signala Primjer kompresije signala upotrebom wavelet paketaupotrebom wavelet paketa

Vrijednost 0.8939 daje Vrijednost 0.8939 daje bolje rezultatebolje rezultate

Wavelet Packet 1-D Wavelet Packet 1-D CompressionCompression prozor prozor prikazuje slijedeće:prikazuje slijedeće:

energija komprimiraog energija komprimiraog signala sadrži 90.81% signala sadrži 90.81% orginalnog signalaorginalnog signala

broj nula (ekvivalentno broj nula (ekvivalentno količini kompresije) se količini kompresije) se smanjio sa 80.93% na smanjio sa 80.93% na 74.07 %.74.07 %.

Primjer kompresije signala Primjer kompresije signala upotrebom wavelet paketaupotrebom wavelet paketa

Klikni na Klikni na Compress Compress tipkutipku

Primjer kompresije signala Primjer kompresije signala upotrebom wavelet paketaupotrebom wavelet paketa

Pokušamo li komprimirati signal pomoću Pokušamo li komprimirati signal pomoću wavelet-a, koristeći iste parametre, wavelet-a, koristeći iste parametre, dobiveni signal će sadržavtai samo 89% dobiveni signal će sadržavtai samo 89% orginalnog signala, i samo će 59% wavelet orginalnog signala, i samo će 59% wavelet koeficijanata biti zamijenjeno nulom.To koeficijanata biti zamijenjeno nulom.To nam govori o superiornosti korištenja nam govori o superiornosti korištenja wavelet paketa (umjesto waveleta) kod wavelet paketa (umjesto waveleta) kod kompresije signala.kompresije signala.