kodovi iz hadamardovih matrica reda 48vmikulic/seminar/5_12_2008simcic.pdf · 2011-12-06 · d....
Post on 25-Dec-2019
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48
Loredana Simcic(loredana.simcic@riteh.hr)
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 1 / 44
D. Crnkovic, V. Mikulic: Self-orthogonal doubly-even codes fromHadamard matrices of order 48, Advances and Applications inDiscrete Mathematics. 1 (2008), 2; 159-170
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 2 / 44
Uvod: Kodovi Definicija koda
Uvod: Kodovi
Definicija
Kod K duljine n nad alfabetom Fq velicine q je podskup K ⊂ F nq .
Kod je binaran za q = 2.Elementi koda zovu se rijeci koda.
Primjer
K = {00000, 01101, 10110, 11011} ⊂ F 52
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 3 / 44
Uvod: Kodovi Hammingova udaljenost
Hammingova udaljenost
Neka je x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ F nq .
Brojd(x , y) = |{i | 1 ≤ i ≤ n, xi 6= yi}|
se naziva Hammingova udaljenost.
Minimalna udaljenost
Minimalna udaljenost koda K je broj
d = {d(x , y) | x , y ∈ K , x 6= y}
Tezina rijeci koda
Za x ∈ F nq , tezina w(x) od x je definirana sa
w(x) = d(x , 0)
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 4 / 44
Uvod: Kodovi Hammingova udaljenost
Tezinski enumerator
Tezinski enumerator koda K je polinom
A(x) =n∑
i=0
Aixi
gdje je Ai broj rijeci koda tezine i .
Kod je paran ako su sve tezine parne i dvostruko paran ako su sve tezinedjeljive sa 4.
Primjer
K = {00000, 01101, 10110, 11011} ⊂ F 52
d(01101, 10110) = 4
A(x) = x4 + 2x3 + 1
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 5 / 44
Uvod: Kodovi Ekvivalentni kodovi
Ekvivalentni kodovi
K1 =
0 0 0 0 0
0 1 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 1
K2 =
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 6 / 44
Uvod: Kodovi Ekvivalentni kodovi
Ekvivalentni kodovi
Dva su koda ekvivalentna ako se jedan moze dobiti iz drugogapermutacijom koordinata u svim rijecima koda ili permutacijom simbolaunutar jedne koordinate.
Izomorfni kodovi
Dva su koda izomorfna ako se jedan moze dobiti iz drugoga permutacijomkoordinata u svim rijecima koda.
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 7 / 44
Uvod: Kodovi Linearni kodovi
Linearni kodovi
Definicija
Neka je q prim broj i neka je Fq konacno polje reda q.Linearan kod duljine n je linearni podprostor vektorskog prostora F n
q .k-dimenzionalni potprostor od F n
q se naziva linearni [n, k] kod nad Fq.
Za linearni kod K minimalna udaljenost je jednaka minimalnoj tezini,
d = min{w(x)|x ∈ K , x 6= 0}
Linearni [n, k , d ] kod je linearni [n, k] kod s minimalnom udaljenoscu (ilitezinom) d .
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 8 / 44
Uvod: Kodovi Linearni kodovi
Generirajuca matrica linearnog koda
Matrica dimenzije k × n ciji se retci sastoje od vektora baze koda [n, k, d ]zove se generirajuca matrica.
Primjer
K =
0 0 0 0 0
1 1 1 0 0
0 0 1 1 1
1 1 0 1 1
G =
[0 0 1 1 11 1 0 1 1
]
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 9 / 44
Uvod: Kodovi Linearni kodovi
Standardni oblik generirajuce matrice
Za generirajucu matricu G linearnog [n, k , d ] koda kaze se da je ustandardnom obliku ako je G = [Ik |A], gdje je Ik jedinicna matrica reda k iA neka k × (n − k) matrica.
Egzistencija standardnog oblika
Svaka generirajuca matrica G linearnog [n, k , d ] koda moze se operacijamazamjene redaka, zamjene stupaca i dodavanja jednog retka drugom retkusvesti na oblik G = [Ik |A].
Primjer
G ∗ =
[1 0 1 1 10 1 0 1 1
]
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 10 / 44
Uvod: Kodovi Kodiranje linearnim kodovima
Kodiranje linearnim kodovima
G =
r1
r2...rk
- generirajuca matrica koda K (ri - vektori baze)
m = [m1m2 . . .mk ] - poruka
x =k∑
i=1
mi · ri = m · G
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 11 / 44
Uvod: Kodovi Kodiranje linearnim kodovima
Primjer
G nije u standardnom obliku
G =
[0 0 1 1 11 1 0 1 1
]m = 0 1
x = 1 1 0 1 1
G je u standardnom obliku
G =
[1 0 1 1 10 1 0 1 1
]m = 0 1
x = 0 1︸︷︷︸poruka
0 1 1︸︷︷︸zalihost
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 12 / 44
Uvod: Kodovi Dekodiranje linearnog koda
Dekodiranje linearnog koda
Suskup
Neka je K ⊂ F nq [n, k] kod i neka je x ∈ F n
q . Podskup
x + K = {x + y |y ∈ K}
se naziva suskup od K .
Propozicija
Neka je K [n,k] kod.
Svaki suskup x + K ima 2k elemenata.
Ako je y ∈ x + K , tada je x + K = y + K .
Svaki x ∈ F nq pripada tocno jednom suskupu.
Razlicitih suskupa ima 2n−k .
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 13 / 44
Uvod: Kodovi Dekodiranje linearnog koda
Standardni niz
K = {00000, 11100, 00111, 11011}
K 00000 11100 00111 11011
00001 + K 00001 11101 00110 11011
00010 + K 00010 11110 00101 11001
00100 + K 00100 11000 00011 11111
01000 + K 01000 10100 01111 10011
10000 + K 10000 01100 10111 01011
10010 + K 10010 01110 10101 01001
10001 + K 10001 01101 10110 01010
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 14 / 44
Uvod: Kodovi Dualni kod
Dualni kod
Skalarni produkt
Skalarni produkt vektora x = (x1 . . . xn) i y = (y1 . . . yn), x , y ∈ F nq je
skalar 〈x , y〉 =∑n
i=1 xiyi ∈ Fq.Ako je 〈x , y〉 = 0, kazemo da su x i y ortogonalni.
Dualni kod
Za linearni kod K ⊂ F nq definiramo dualni kod K⊥ ⊂ F n
q sa
K⊥ = {x ∈ F nq | (∀y ∈ K ) 〈x , y〉 = 0}
Za [n, k] kod K se kaze da je samoortogonalan ako je K ⊂ K⊥, asamodualan ako je K = K⊥.Za binarni kod se kaze da je samokomplementaran ako sadrzi vektor11 . . . 1.
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 15 / 44
Uvod: Kodovi Dualni kod
Primjer dualnog koda
K =
00000
11100
10111
01011
K⊥ =
00000 01110
10100 01101
11010 00011
11001 10111
Primjer samodualnog koda
K =
0000
1100
0011
1111
K⊥ =
0000
1100
0011
1111
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 16 / 44
Uvod: Kodovi Dualni kod
Ako je K [n, k] kod, tada je K⊥ [n, n − k] kod.
Paritetna matrica
Neka je K ⊂ F nq kod. Paritetna matrica za kod K je generirajuca matrica
za dualni kod K⊥.
Lema
Neka je G generirajuca i H paritetna matrica koda K . Tada vrijedi
G · HT = 0
Propozicija
Neka je K [n, k] kod i neka je G = [Ik |A] njegova generirajuca matrica ustandardnom obliku. Tada je
H = [AT |In−k ]
paritetna matrica koda K .
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 17 / 44
Uvod: Kodovi Sindromsko dekodiranje
Sindromsko dekodiranje
Sindromsko preslikavanje
Neka je H paritetna matrica [n, k] koda K . Preslikavanje S : F nq → F n−k
q
definirano saS(y) = y · HT
naziva se sindromsko preslikavanje.Vektor S(y) naziva se sindrom rijeci y .
Propozicija
Neka je S : F nq → F n−k
q sindromsko preslikavanje [n, k] koda K . Tada je
Ker(S) = K
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 18 / 44
Uvod: Kodovi Sindromsko dekodiranje
Primjer
Sindrom
00000 11100 00111 11011 00000001 11101 00110 11011 00100010 11110 00101 11001 01000100 11000 00011 11111 10001000 10100 01111 10011 01110000 01100 10111 01011 11110010 01110 10101 01001 10110001 01101 10110 01010 110
Lema
Neka je S : F nq → F n−k
q sindromsko preslikavanje [n, k] koda K ix , y ∈ F n
q . Vrijedi S(x) = S(y) akko x i y pripadaju istom koskupu.
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 19 / 44
Uvod: Kodovi Sindromsko dekodiranje
Tablica preslikavanja
ei S(ei )
00000 00000001 00100010 01000100 10001000 01110000 11110010 10110001 110
Sindromsko dekodiranje
Izracunaj sindrom primljene rijeci y
Iz tablice preslikavanja odredi vektor ei
Poslana rijec je x = y − ei
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 20 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Dizajni
Dizajni. Hadamardove matrice
Incidencijska struktura
Incidencijska struktura D je uredena trojka (P,B, I), gdje su P i Bneprazni disjunktni skupovi i I ⊆ P × B.
Matrica incidencije
Neka je D = (P,B, I) konacna incidencijska struktura gdje jeP = {x1, . . . , xv} i B = {B1, . . . ,Bb}. Matrica incidencije incidencijskestrukture D je b × v matrica M = (mij)
mij =
{1, (xj ,Bi ) ∈ I0, (xj ,Bi ) /∈ I
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 21 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Dizajni
Dizajn
Konacna incidencijska struktura D = (P,B, I) je t − (v , k , λ) dizajn akovrijedi sljedece:
1 |P| = v
2 svaki element skupa B incidentan je s tocno k elemenata skupa P3 svakih t elemenata skupa P incidentno je s tocno λ elemenata skupaB
Elementi skupa P nazivaju se tocke, a elementi skupa B blokovi.
2− (v , k , λ) dizajn naziva se blok dizajn. U blok dizajnu svaka je tocka
incidentna s tocno r = λ(v−1)k−1 blokova.
Ako vrijedi |P| = |B| = v i 2 ≤ k ≤ v − 2, tada se 2− (v , k, λ) dizajnnaziva simetrican dizajn.
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 22 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Hadamardove matrice
Hadamardove matrice
Hadamardova matrica reda m je (m ×m) matrica H = (hij),hij ∈ {−1, 1}, takva da vrijedi HHT = HTH = mIm, gdje je Im (m ×m)jedinicna matrica.
Primjer
H =
1 1 1 1 −1 −1 −1 −11 1 1 1 1 1 1 11 1 −1 −1 1 1 −1 −11 1 −1 −1 −1 −1 1 11 −1 1 −1 1 −1 1 −11 −1 1 −1 −1 1 −1 11 −1 −1 1 1 −1 −1 11 −1 −1 1 −1 1 1 −1
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 23 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Hadamardove matrice
Teorem
Postoji Hadamardova matrica reda m ako i samo ako postoji (simetrican)(m − 1, 1
2m − 1, 14m − 1) dizajn.
Hadamardov dizajn
Simetricni dizajn s parametrima (m − 1, 12m − 1, 1
4m − 1) naziva seHadamardov dizajn.
Primjer: Matrica incidencije Hadamardovog (7,3,1) dizajna
M =
1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 1 0 01 0 0 0 0 1 10 1 0 1 0 1 00 1 0 0 1 0 10 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 1 0
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 24 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Hadamardove matrice
Hadamardov 3-dizajn
Dizajn D∗ = (P∗,B∗, I∗) dobiven iz Hadamardovog(m − 1, 1
2m − 1, 14m − 1) dizajna na sljedeci nacin:
P∗ = P ∪ {∞}B∗ = {B ∪ {∞}|B ∈ B} ∪ {P\B|B ∈ B}
je 3− (m, 12m, 1
4m − 1) i naziva se Hadamardov 3-dizajn.
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 25 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Hadamardove matrice
Neka je S = (P,B, I) incidencijska struktura. Kod od S nad poljem F jepodprostor KF (S) od FP razapet vektorima koji odgovarajukarakteristicnim funkcijama blokova od S.
Teorem
Za svaki prim broj p i svaku klasu ekvivalencije Hadamarovih matricapostoji, do na ekvivalentnost koda, tocno jedan p-narni kod povezan sa3-dizajnom dobivenim iz klase ekvivalencije.
Ako je H Hadamardova matrica, tada je p-narni kod od H (oznaka:Kp(H)) p-narni kod povezan sa bilo kojim 3-dizajnom dobivenim iz H.
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 26 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Hadamardove matrice
Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48
Iz Hadamardovih matrica reda 48 dobivamo (47, 23, 11) Hadamardovedizajne.Postoji 54 takva simetricna dizajna.
D. Crnkovic, S. Rukavina: Some Symmetric (47,23,11) Designs,Glas. Mat. Ser. III 38(58), No. 1 (2003), 1-9
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 27 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Hadamardove matrice
Teorem
Neka je D 2− (v , k, λ) dizajn sa kardinalnostima presjeka blokovas1, . . . , sm. Oznacimo sa K binarni kod razapet incidencijskom matricomdizajna D. Tada vrijedi:
1 Ako su k, s1, . . . , sm svi parni, tada je K samoortogonalan.
2 Ako su v , k, s1, . . . , sm svi parni, tada je K sadrzan u samodualnomkodu duljine v .
3 Ako je v ≡ 0(mod8), k ≡ 0(mod4) i s1, . . . , sm su svi parni, tada jeK sadrzan u dvostruko parnom samodualnom kodu duljine v .
4 Dualni kod K⊥ ima minimalnu udaljenost d⊥ ≥ r + λ
λ.
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 28 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Hadamardove matrice
Lema
Neka je K kod iz Hadamardove matrice reda 48. Tada je Ksamoortogonalan dvostruko parni kod. K je i samokomplementaran kod.Nadalje, K⊥ je paran samokomplementaran kod.
DokazDva bloka 3− (48, 24, 11) dizajna se sijeku u 12 ili 0 tocaka, pa mozemoprimjeniti teorem. Dakle, K je samoortogonalan dvostruko paran kod.Za svaki blok Hadamardovog 3-dizajna, njegov komplement je takoderblok dizajna, pa je binarni kod K samokomplementaran, iz cega slijedi i daje K⊥ paran kod.S obzirom da su sve tezine koda K parne, K⊥ sadrzi vektor 11 . . . 1.
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 29 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Hadamardove matrice
Ekvivalencija Hadamardovih matrica
Matrice A i B su izomorfne ako se B moze dobiti iz A permutacijamaredaka i stupaca.
Hadamardove matrice H1 i H2 su ekvivalentne ako i samo ako su matriceH∗1 i H∗2 izomorfne, pri cemu je
H∗ =
[H −H−H H
]
Iz 54 Hadamardova (47,23,11) dizajna dobije se 27 neekvivalentnihHadamardovih matrica.
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 30 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Rezultati
Rezultati
Iz 27 neekvivalentnih Hadamardovih matrica reda 48 dobije se 15neekvivalentnih binarnih linearnih kodova.
C1 - [48, 13, 8] kod dobiven iz dizajna D1,D2,D5 i D8
A(x) = x0 + 66x8 + 494x16 + 7068x24 + 495x32 + 66x40 + x48
C2 - [48, 23, 4] kod dobiven iz dizajna D3,D4,D6,D7,D12,D13,D15 i D16
A(x) = x0 + 132x4 + 5346x8 + 67188x12 + 367983x16 + 980232x20+
5546844x24+980232x28+367983x32+67188x36+5346x40+132x44+x48
C3 - [48, 13, 12] kod dobiven iz dizajna D9 i D18
A(x) = x0+66x12+275x16+1342x20+4824x24+1342x28+275x32+66x36+x48
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 31 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Rezultati
C4 - [48, 23, 4] kod dobiven iz dizajna D10,D11 i D17
A(x) = x0 + 66x4 + 90x8 + 29018x12 + 283679x16 + 1733732x20+
4293812x24 +1733732x28 +283679x32 +29018x36 +902x40 +66x44 +x48
C5 - [48, 13, 16] kod dobiven iz dizajna D14
A(x) = x0 + 759x16 + 6672x24 + 759x32 + x48
C6 - [48, 14, 12] kod dobiven iz dizajna D19 i D36
A(x) = x0+136x12+495x16+2904x20+9312x24+2904x28+495x32+136x36+x48
C7 - [48, 24, 4] kod dobiven iz dizajna D20,D21 i D35
A(x) = x0 + 66x4 + 1254x8 + 55642x12 + 546975x16 + 3581028x20+
8407284x24+3581028x28+546975x32+55642x36+1254x40+66x44+x48
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 32 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Rezultati
C8 - [48, 14, 8] kod dobiven iz dizajna D22,D23,D26 i D27
A(x) =x0 + 66x8 + 4x12 + 759x16 + 1980x20 + 10764x24 + 1980x28
+ 759x32 + 4x36 + 66x40 + x48
C9 - [48, 24, 4] kod dobiven iz dizajna D24,D25,D28,D29,D30,D31,D32 iD34
A(x) = x0 + 132x4 + 5346x8 + 71284x12 + 638319x16 + 3007752x20+
9331548x24+3007752x28+638319x32+71284x36+5346x40+132x44+x48
C10 - [48, 14, 12] kod dobiven iz dizajna D33
A(x) =x0 + 4x12 + 1023x16 + 1980x20 + 10368x24 + 1980x28
+ 1023x32 + 4x36 + x48
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 33 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Rezultati
C11 - [48, 14, 4] kod dobiven iz dizajna D37,D40,D51 i D54
A(x) = x0 + 12x4 + 66x8 + 220x12 + 495x16 + 792x20
+ 13212x24 + 792x28 + 495x32 + 220x36 + 66x40 + 12x44 + x48
C12 - [48, 24, 4] kod dobiven iz dizajna D38,D39,D42,D43,D46,D49,D52 iD53
A(x) = x0 + 276x4 + 10626x8 + 134596x12 + 735471x16 + 1961256x20+
11092764x24+1961256x28+735471x32+134596x36+10626x40+276x44+x48
C13 - [48, 14, 4] kod dobiven iz dizajna D41 i D44
A(x) =x0 + x4 + 11x8 + 121x12 + 451x16 + 3014x20 + 9186x24
+ 3014x28 + 451x32 + 121x36 + 11x40 + x44 + x48
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 34 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Rezultati
C14 - [48, 14, 4] kod dobiven iz dizajna D45
A(x) =x0 + x4 + 77x12 + 1111x16 + 946x20 + 12112x24
+ 946x28 + 1111x32 + 77x36 + x44 + x48
C15 - [48, 24, 4] kod dobiven iz dizajna D47,D48 i D50
A(x) =x0 + 78x4 + 2046x8 + 58102x12 + 564927x16 + 3474108x20
+ 8578692x24 + 3474108x28 + 564927x32 + 58102x36 + 2046x40
+ 78x44 + x48
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 35 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Jako regularni grafovi
Jako regularni grafovi
Regularan graf
Regularan graf je graf u kojem svaki vrh ima isti stupanj.Regularan graf sa vrhovima stupnja k naziva se k-regularan graf iliregularan graf stupnja k .
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 36 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Jako regularni grafovi
Jako regularan graf
Neka je G graf sa n vrhova. Graf G je jako regularan graf s parametrima(n, k , λ, µ) ako vrijedi:
1 G je jednostavan k-regularan graf
2 svaka dva susjedna vrha imaju tocno λ zajednickih susjednih vrhova
3 svaka dva nesusjedna vrha imaju tocno µ zajednickih susjednih vrhova
Slika: Payleyjev graf reda 13 (jako regularan graf s parametrima (13,6,2,3))Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 37 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Jako regularni grafovi
Linijski graf
Linijski graf grafa G je graf dobiven pridruzivanjem vrha svakom bridugrafa G i povezivanjem dva vrha bridom ako i samo ako odgovarajucibridovi grafa G imaju barem jednu krajnju tocku zajednicku.
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 38 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Jako regularni grafovi
Triangularan graf
Triangularan graf Tm je linijski graf potpunog grafa Km.Triangularan graf Tm je jako regularan graf s parametrima(m(m−1)
2 , 2(m − 2),m − 2, 4).
Vrhovi grafa Tm se mogu identificirati sa 2−podskupovima skupa{1, 2, . . . ,m}. Vrhovi su susjedni ako i samo ako 2−podskupovi imajuneprazan presjek.
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 39 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Jako regularni grafovi
Dizajn nositelj
Nositelj ne-nul vektora x = (x1, . . . , xn) ∈ F nq je skup indeksa njegovih
ne-nul koordinata,supp(x) = {i | xi 6= 0}
Dizajn nositelj koda duljine n za danu tezinu w 6= 0 je dizajn cije su tockeindeksi koordinata, a blokovi nositelji svih rijeci koda tezine w .
Primjer
K = {000000, 001110, 010101, 011011, 100011, 101101, 110110, 111000}w = 3
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}B = {345, 246, 156, 123}
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 40 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Jako regularni grafovi
Jako regularni grafovi dobiveni iz kodova
S1 - dizajn nositelj koda C1 za w = 8S1 ima 48 tocaka i 66 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0 ili 4 tockeG1 - graf ciji su vrhovi blokovi dizajna S1, pri cemu su dva vrha susjednaakko odgovarajuci blokovi u presjeku imaju 4 tockeG1 je jedinstven jako regularan graf s parametrima (66, 20, 10, 4), odnosnotriangularan graf
(122
)kojemu je grupa automorfizama simetricna grupa S12
S2 - dizajn nositelj koda C1 za w = 16S2 ima 495 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0, 4, 8 ili 12 tocakaG2 - graf ciji su vrhovi blokovi dizajna S2, pri cemu su dva vrha susjednaakko odgovarajuci blokovi u presjeku imaju 0 ili 8 tocakaG2 je jedinstven jako regularan graf s parametrima (495, 238, 109, 119)kojemu je grupa automorfizama ortogonalna grupa O−10(2).
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 41 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Jako regularni grafovi
S3 - dizajn nositelj koda C3 za w = 12S3 ima 66 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 2,4 ili 6 tocakaGraf ciji su vrhovi blokovi dizajna S3, pri cemu su dva vrha susjedna akkoodgovarajuci blokovi u presjeku imaju 6 tocaka, je izomorfan grafu G1
Iz dizajna nositelja kodova C4, C7 i C8 za minimalne tezine mogu sekonstruirati jako regularni grafovi izomorfni grafu G1.
S4 - dizajn nositelj koda C11 za w = 8S4 ima 66 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0 ili 4 tockeGraf ciji su vrhovi blokovi dizajna S4, pri cemu su dva vrha susjedna akkoodgovarajuci blokovi u presjeku imaju 4 tocke, je izomorfan grafu G1
S5 - dizajn nositelj koda C11 za w = 16S5 ima 495 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0, 4, 8 ili 12 tocakaGraf ciji su vrhovi blokovi dizajna S5, pri cemu su dva vrha susjedna akkoodgovarajuci blokovi u presjeku imaju 0 ili 8 tocaka, je izomorfan grafu G2
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 42 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Jako regularni grafovi
S6 - dizajn nositelj koda C12 za w = 4S6 ima 276 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0 ili 2 tockeG3 - graf ciji su vrhovi blokovi dizajna S6, pri cemu su dva vrha susjednaakko odgovarajuci blokovi u presjeku imaju 2 tockeG3 je jako regularan graf s parametrima (276, 44, 22, 4), odnosnotriangularan graf
(242
)kojemu je grupa automorfizama simetricna grupa S24
S7 - dizajn nositelj koda C14 za w = 12S7 ima 77 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0 ili 4 tockeG4 - graf ciji su vrhovi blokovi dizajna S7, pri cemu su dva vrha susjednaakko su odgovarajuci blokovi disjunktniG4 je jedinstven jako regularan graf s parametrima (77, 16, 0, 4), kojemu jegrupa automorfizama grupa Aut(M22) ∼= M22 : Z2
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 43 / 44
Kodovi iz Hadamarovih matrica reda 48 Jako regularni grafovi
S8 - dizajn nositelj koda C15 za w = 4S8 ima 78 blokova; bilo koja dva bloka se sijeku u 0 ili 2 tockeG5 - graf ciji su vrhovi blokovi dizajna S8, pri cemu su dva vrha susjednaakko odgovarajuci blokovi u presjeku imaju 2 tockeG5 je jako regularan graf s parametrima (78, 22, 11, 4), odnosnotriangularan graf
(132
)kojemu je grupa automorfizama simetricna grupa S13
Loredana Simcic (loredana.simcic@riteh.hr) ()Kodovi iz Hadamardovih matrica reda 48 6. prosinca 2008. 44 / 44
top related