kleiner ausflug in logik und verkehrssteuerung

Kleiner Ausflug in Logikund Verkehrssteuerung

Ein logisches Rätsel

Ausgangslage: Drei Frauen stehenhintereinander. Jede trägt einen Hut auf dem Kopf und sieht nur die Hüte der voran stehenden Personen. Die Hüte sind entweder weiss oder schwarz. Nicht alle Hüte haben dieselbe Farbe.

Frage: Kann eine Frau die Farbe des eigenen Hutes nennen? (Wir gehen davon aus, dass eine Frau dies auch tut, falls sie es kann.) Schwarz?

Weiss?Schwarz?Weiss?

Schwarz?Weiss?

Ja, es geht!

• Falls die hinterste Frau vorne zwei gleichfarbige Hüte sieht, entscheidet sie sich für die andere Farbe. Nicht alle Hüte haben ja die gleiche Farbe.

• Falls die hinterste Frau nichts sagt, weiss die mittlere Frau, dass ihr Hut die andere Farbe hat als der von der vordersten Frau. Denn sonst hätte ja die hinterste Frau zwei gleiche Hüte gesehen und dies gesagt.

…logisch?

Idee: logische Formel zur Sicherheitan einer Strassenkreuzung!

Anforderung: keine Kollisionen bei Kreuzungen!

Kollision möglich!...

AB

Was muss gelten, damit keine Kollisionen möglich sind? Wie kann man das spezifizieren?

Programm heute

• Interaktive Einführung „Logik“ (40‘)– Logik als Grundlage der Rationalität– Einführung Aussagenlogik

• Aussagen• Operatoren• Wahrheitstabellen

• Aufgaben zu LogicTraffic (45‘)– Selbstständig Aufgaben lösen, mit Compi– Lösungen besprechen

Logik als Grundlageder Rationalität

Das heisst: Wir alle müssen einige Grundregeln des logischen Denkens akzeptieren, sonst gibt es kein „vernünftiges“ Denken (und Handeln).

Logik ist letztendlich die Grundlage jeglicher Wissenschaft und jeglicher

rationaler Argumentation.

Der Satz vom Widerspruch

– z.B.: „Zürich ist ein Kontinent.“ und „Zürich ist kein Kontinent.“ kann nicht gleichzeitig wahr sein.

– weder beweis- noch widerlegbar.

Aristoteles, Begründer der Logik* 384 v. Chr. in Stageira† 322 v. Chr. in Chalkis

Eine Aussage kann nicht gleichzeitig mit ihrem Gegenteil wahr sein.

Logische Folgerung

z.B.: Aussage 1: „Wenn es regnet, wird die Straße nass.“Aussage 2: „Es regnet.“Folgerung: „Die Straße wird nass.“

Aus den zwei Aussagen “wenn A, dann B“ und „A“ kann die Aussage

„B“ hergeleitet werden.

Auf diese Weise können wir argumentieren und mittels gemeinsam anerkannten „Regeln“ und wahren Aussagen neue Aussagen als wahr herleiten.

Was sind Aussagen?

• 2+4=6 1• Zürich ist die Hauptstadt der Schweiz. 0• Peter (23) ist älter als Paul (17). 1

Aussagen sind Sätze, die entweder wahr (1) oder falsch (0) sind.

Keine Aussagen:• Wo ist der Bahnhof?• Ruhe jetzt!

• Bern ist eine schöne Stadt.• Dieses Wasser (20°) ist kalt.

unklar!

…sind ebenfalls Aussagen, alsoauch entweder wahr oder falsch.

• Peter (23) ist älter als Paul (17) und 4+4=9. 0• Peter (23) ist älter als Paul (17) und 2+4=6. 1• Zürich ist die Hauptstadt der Schweiz oder Bern ist

die Hauptstadt der Schweiz. 1

Zusammengesetzte Aussagen…

Aussagenlogik

Aussagen……werden durch Variablen repräsentiert…haben Wahrheitswert (wahr/falsch, resp. 0/1)

• A = „Zürich ist die Hauptstadt der Schweiz.“ 0• B = „2+4=6“ 1

Aussagenlogische Formeln sind zusammengesetzte Aussagen:– Wahrheitswert (wahr/falsch, resp. 0/1)

• A UND B 0• A ODER B 1• (NICHT A) UND B 1

George Boole

Begründer der Aussagenlogik– englischer Mathematiker

* 1815 in Lincoln† 1864 in Ballintemple (Irland)

Boolesche Variablen– Können immer nur einen von zwei Werten annehmen

• true/false, wahr/falsch, 1/0– In vielen Programmiersprachen als „Datentyp“ vorhanden

• Oft gebraucht für bedingte Anweisungen• z.B. in Java, C, PHP, Pascal oder VisualBasic

Logische Operatoren

• Logische Operatoren verbinden Aussagen zu neuen (zusammengesetzten) Aussagen

• Welche Operatoren gibt es?

NICHT, UND, ODER- Sind die gebräuchlichsten, es gibt noch mehr. (z.B.

wenn/dann)

NICHT (Negation)

Abgekürzte Schreibweise: ¬

• Wahrheitstabelle:

0110

¬AA

UND (Konjunktion)

• Abgekürzte Schreibweise: ∧

• Wahrheitstabelle:

111

001

010

000

A ∧ BBA

ODER (Disjunktion)

• Abgekürzte Schreibweise: ∨

• Wahrheitstabelle:

111

101

110

000

A ∨ BBA

Aussagenlogik (Kurzreferenz)

Aussagenlogischen Formeln, z.B.:- (¬A∧B)∨(A∨¬B)- A∨(¬B∨¬C)∧(D∨B)

0

0

1

1

¬A

Negation “NICHT“

Disjunktion“ODER“

Konjunktion“UND“Variablen

1111

1001

1010

0000

A∨BA∧BBA

Jetzt Aussagen praktisch:Verkehrssteuerung & Logik

Verkehrssituation:

Aussagen:• A = „Spur A hat grün.“• B = „Spur B hat grün.“

Aufgabe: Beschreibe obige Situation mit einer zusammen-gesetzten Aussage! (d.h. mit Hilfe von logischen Operatoren und der den Variablen A und B.)Bemerkung: Benutze dazu die erhaltene Tabelle.

AB

Jetzt Aussagen praktisch:Verkehrssteuerung & Logik

Verkehrssituation:

Aussagen:• A = „Spur A hat grün.“• B = „Spur B hat grün.“

Aufgabe: Beschreibe obige Situation mit einer zusammen-gesetzten Aussage! (d.h. mit Hilfe von logischen Operatoren und der den Variablen A und B.)Bemerkung: Benutze dazu die erhaltene Tabelle.

AB

Lösung: A ∧ (¬B)

Lösung: A ∧ (¬B)

AB

AB

AB

BA 101

A ∧ (¬B)BA

Lösung: A ∧ (¬B)

AB

AB

AB

BA

000

101

A ∧ (¬B)BA

Lösung: A ∧ (¬B)

AB

AB

AB

BA

000

010

101

A ∧ (¬B)BA

Lösung: A ∧ (¬B)

AB

AB

AB

BA

011

101

010

000

A ∧ (¬B)BA

Wahrheitstabelle

Gibt für alle Kombinationen der Variablenwerte die Wahrheitswerte einer aussagenlogischen Formel an.

011101010000

A ∧ (¬B)BA

AB

Aufgabe: Wie wird diese Zeile interpretiert?

Idee: Formel zur Sicherheitan einer Strassenkreuzung!

Anforderung: keine Kollisionen bei Kreuzungen!

Was muss gelten, damit keine Kollisionen möglich sind? Wie sieht die Wahrheitstabelle aus? Gibt es aussagenlogische Formeln dafür?

Kollision möglich!...

AB

Programm „LogicTraffic“

Grundidee: Finde eine aussagenlogische Formel, welche die gegebene Verkehrssituation sicher macht.

Verschiedene Strategien!

LogicTraffic

Verkehrs–situation

Wahr–heits–tabelle

Formel zurWahrheitstabelle

Formeleditor

Statusanzeige

unsicher(Kollisionen möglich)

sicher(keine Kollisionen, abermehr Grünphasen möglich)

optimal(keine Kollisionen und nicht

mehr Grünphasen möglich)

Maus - Interaktionspunkte

Visualisierung des Parse-Baums

LogicTraffic - Demo!

Jetzt Ihr…

• Anleitung durchlesen

• Aufgaben bearbeiten mit Hilfe von LogicTraffic