iv. prÁcticas de modelizaciÓn diseÑadas y …

40

IV. PRÁCTICAS DE MODELIZACIÓN DISEÑADAS

Y EXPERIMENTADAS

“La modelización es el arte de aplicar las matemáticas a la vida real”

Morgen Niss

Las prácticas de modelización y el consiguiente análisis y evolución del proceso de

aprendizaje se han desarrollado desde el curso 1998-99 hasta la actualidad.

Mostraré algunas prácticas que se han experimentado estos últimos años en las aulas,

incluyendo como se desenvolvían los alumnos en su resolución. Posteriormente, y en

próximo capítulo, presento la validación y eficacia de la metodología avalada por los

comentarios de los estudiantes y por los instrumentos de evaluación utilizados.

4.1. Modelización de un sistema de resortes Este primer ejemplo corresponde a una unidad didáctica. Inicialmente, el objetivo

principal consiste en que, a partir de situaciones reguladas por la ley de Hooke, con un

único resorte y una masa, el estudiante descubre la mencionada ley como una relación

lineal entre la fuerza y el desplazamiento. En una segunda actividad se añaden más

resortes y más masas. El objetivo a medio plazo es conseguir que el alumno modelice la

ley de Hooke en varias variables como un modelo lineal análogo al anterior. De esta

manera descubre el concepto de matriz y sus operaciones y propiedades más relevantes

como modelos necesarios para estudiar movimientos del sistema de resortes.

En una tercera fase se presenta un problema usual del área de mecánica técnica con el

objetivo de ser estudiado y posteriormente interpretar el comportamiento físico de la

situación. A continuación muestro el esquema presentado:

41

El objetivo final es que reconozcan y que interpreten situaciones diferentes a las

estudiadas pero que compartan el mismo modelo. De entre ellas destacan las

aplicaciones en circuitos eléctricos. Detallo el esquema:

Existe un paralelismo entre la Ley de Hooke la Ley de Ohm. Ambas son expresiones del tipo: A B C= ⋅ en el caso que

A V C I Ley de OhmA F C x Ley de Hooke

= = ⇒= = ⇒

⎧⎨⎩

Veamos loes siguientes esquemas paralelos:

circuito:

Si planteamos las ecuaciones:

( )( )

V R R I R I

R I R R R I

= + ⋅ − ⋅

= − ⋅ + + + ⋅1 2 1 2 2

2 1 2 3 4 20

Matricialmente: V R R R

R R R RII0

1 2 2

2 2 3 4

1

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+ −− + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sistema de resortes:

Si planteamos las ecuaciones: ( )

( )f K x K x x

f K x x K x1 1 1 12 2 1

2 12 2 1 2 2

= − ⋅ + ⋅ −

= − ⋅ − − ⋅

Matricialmente: ( )

( )ff

K K KK K K

xx

1

2

1 12 12

12 12 2

1

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

− +− +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Observemos la semejanza entre los dos problemas en que situaciones distintas

comparten el mismo modelo.

La practica finaliza sugiriendo situaciones de economía, redes de circulación vial y

problemas geométricos.

Los estudiantes aprenden de una forma dirigida y entretenida la necesidad del cálculo

matricial como herramienta para resolver problemas de su entorno y, al mismo tiempo,

adquieren un cierto grado de motivación para sus aplicaciones.

Es necesario destacar que esta unidad (que fue la primera en ser diseñada) se ha

mejorado realizando diferentes versiones y se ha experimentado - con las

modificaciones adecuadas -hasta la actualidad. Como hecho relevante la unidad se está

desarrollando actualmente en soporte multimedia –todavía en construcción-, tal como

muestra la imagen, para que los estudiantes fijen ellos mismos las unidades de medida.

42

4.2. El mundo de las ecuaciones diferenciales El principal objetivo es que los estudiantes aprendan por descubrimiento (partiendo de

la idea de hacerles sentir la necesidad del aprendizaje), mostrando situaciones donde

aparezcan ecuaciones diferenciales lineales.

El objetivo final es, como en el caso anterior, que reconozcan diversas situaciones

diferentes extraídas de la realidad y que compartan el mismo modelo matemático. Se

pretende que de una forma dirigida y atractiva construyan las ecuaciones diferenciales

involucradas y, al mismo tiempo, las resuelvan. Por eso se incluye, también, en la

unidad, una interpretación geométrica de las situaciones mediante el campo de

pendientes.

En el diseño de la unidad didáctica se presenta la actividad a partir de un artículo,

extraido de la prensa, que hace referencia al proyecto “Columbia”. En dicho artículo se

comenta la experiencia del astronauta Miguel López Alegría en su estancia de 16 días

en el espacio. En una primera fase, en esta presentación, se pretende motivar al

estudiante en el estudio de las ecuaciones diferenciales.

43

Como presentación, veamos el detalle de la versión original de esta unidad didáctica:

ACTIVIDAD 0: INTRODUCCIÓN

Miguel López Alegría ha sido el primer astronauta

español que ha viajado espacio. Dentro del

trasbordador espacial “Columbia” estuvo 16 días

dando botas a nuestro planeta (una cada 90

minutos) en una órbita fuera de la atmósfera de la

tierra.

La NASA fue fundada en 1958 y sólo 11 años

después consiguió con éxito su primer objetivo: el

21 de julio de 1979, de acuerdo con la fecha

prevista por Kennedy, los astronautas Armstrong

y Aldrin , tripulantes del módulo lunar “Apolo 11”

consiguieron alunizar y volver sanos y salvos a la

tierra.

Pero los últimos objetivos de la NASA han sido

situar en el espacio numerosos satélites artificiales

(principalmente de comunicaciones) y realizar

ciertos experimentos utilizando el Columbia. El

trabajo que tiene que realizar Miguel López

Alegría, además del de piloto, consiste en el

estudio del movimiento de los cuerpos en

condiciones de gravedad y densidad atmosférica

diferentes a los existentes en la tierra.

Es indispensable, pero, prever los resultados de

estos experimentos para no correr riesgos

innecesarios. Las condiciones de diferente

gravedad y densidad atmosférica se pueden

modelizar matemáticamente, y así obtener una

resultados óptimos, previos a los experimentos que

posteriormente llevarán a cabo los astronautas.

Trasbordador espacial Columbia

44

A partir del artículo, los alumnos notan que las condiciones de gravedad en la tierra y en

el espacio son evidentemente diferentes. A continuación, y a raíz de las leyes físicas,

descubren la ecuación diferencial lineal asociada al movimiento. Es decir: a partir de

una situación real, descubren las herramientas matemáticas para resolverla y, por tanto,

ven la necesidad de aprender matemáticas y su utilidad. En la unidad se presentan los

métodos de resolución de diversos tipos de ecuaciones diferenciales (separación de

variables, homogéneas y lineales). La práctica acaba introduciendo la ecuación

diferencial de segundo orden con coeficientes constantes partiendo de dos situaciones

normales en el currículum del futuro ingeniero:

La ecuación que describe la carga que se almacena en las placas de un condensador de

capacidad C cuando lo colocamos en serie con una resistencia R y una bobina de

coeficiente de autoinducción L es:

C L

L d Qdt

R dQdt

QC

2

2 0+ + =

Los alumnos descubren la equivalencia entre el oscilador mecánico M x y el circuito mostrado LRC, esquematizado por el cuadro: Oscilador mecánico Circuito LCR

Posición X

Carga del condensador Q

Masa M

Autoindución bobina L

Factor de amortiguación B

Resistencia R

Cnt. Recuperadora K

Inverso de la capacidad 1/C

45

En general, resuelven una adecuación del tipo ′′ + ′ + =y y yα β 0 como

modelo compartido de las oscilaciones mecánicas y eléctricas.

4.3. Modelizando un Electrocardiograma

El objetivo del proyecto es construir un modelo matemático que nos facilite

información sobre la salud del corazón. Para ello se recogen muestras reales de

electrocardiogramas de diversas topologías (corazón sano, corazón enfermo, pruebas

realizadas en adultos, en niños,…). El trabajo lleva explicito la simulación y

aproximación por ordenador de las gráficas que nos muestra el aparato; de esta forma

aparecen necesariamente las series de Fourier. Mediante la simulación en MapleVII

se obtienen que los valores de los coeficientes de Fourier no son los mismos si se

trata de un corazón sano o enfermo, ni necesariamente los mismos si el rango de

edad del paciente es distinto.

La gráfica del electrocardiograma se presenta en papel milimetrado que mide

verticalmente el voltaje y horizontalmente el tiempo, determinado por el

desplazamiento del papel.

Así pues, mediante el análisis visual de un gran número de electrocardiogramas, es

posible generalizar que con algo tan simple como fijarnos en el valor de amplitud de

onda del electrocardiograma podemos conjeturar si este pertenece a un corazón sano

o enfermo. Con el trabajo se puede establecer la conclusión de que comprobando

únicamente que esos valores se encuentren entre 0’15mvolt y 0’08mvotls, el

electrocardiograma correspondiente pertenece a una persona sana y que en el

Los datos a tener en cuenta son: - Velocidad del electrocardiograma igual a 25mm/seg. - 1mm = 0’04 seg. - 5mm = 0’20 seg.

- 1mm vertical = 0’01 mvolt.

46

momento en que los valores de amplitud no se encuentren incluidos en el intervalo

indicado a estos sabremos que ese corazón posee algún tipo de anomalía.

Ilustraremos el estudio de un electrocardiograma normal correspondiente al corazón de

un varón de 40 años y nos fijaremos en la denominada derivación DII . Electrocardiograma real de una persona sana de 40 años Con la ayuda de Maple7 podemos simular analíticamente y visualizar la función como:

⎧

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

− .2 ( )sin + 5.714285714 π t .2702702703 π .1 and ≤ −t 0 < t .08− + 2.5 t .25 and ≤ − .08 t 0 < t .1

0 and ≤ − .1 t 0 < t .14− + 3 t .42 and ≤ − .14 t 0 < t .15

− 27.6 t 4.17 and ≤ − .15 t 0 < t .2− + 35 t 8.35 and ≤ − .2 t 0 < t .23

− + 27.5 t 6.625 and ≤ − .023 t 0 < t .24 − .55 t .108 and ≤ − .24 t 0 < t .33 − 2.91 t .8850 and ≤ − .33 t 0 < t .39

+ .2 ( )sin + 9.280742459 π t .6493506494 π .1 and ≤ − .39 t 0 < t .44 + 2 ( )sin + 1.428571429 π t .7369196758 π 2.075 and ≤ − .44 t 0 < t .53

− .35 t .114 and ≤ − .53 t 0 < t .6− + .25 t .25 and ≤ − .6 t 0 < t .8

47

Notemos que la gráfica simulada está definida en el intervalo (0,0.8) siendo la

aproximación al electrocardiograma esta función extendida periódicamente con un

período de 0.8 segundos. Por este motivo se usan las series de Fourier que nos

permitirán calcular los coeficientes y a su vez comparar diversos electrocardiogramas.

Realizando cálculos para la expresión:

( ) ( )( )0

1( ) cos sin

2 n nn

aSf t a nwt b nwt

∞

=

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠∑

con: 0.8T = 2 20.8T

π πω ⋅ ⋅= = y tomando 8 armónicos se obtiene:

Número de harmónicos na nb 1 -.5230250413e-1 .1059917121 2 -.8281549430e-1 .1245159130e-1 3 -.3890921965e-1 -.1318989813 4 .1500208739 .8406404878e-2 5 -.592152690e-3 .1104847957 6 -.9749486749e-1 .2571338526e-1 7 -.2349814604e-1 -.8634910127e-1 8 .7172464113e-1 -.1194905614e-1

Sobreponiendo dichos armónicos se obtiene: La suma de los mismos se aproxima a la función inicial pero utilizando Maple nos

permite obtener una información más precisa, para ello consideramos 50 armónicos y

mostraremos la visualización gráfica representada en tres intervalos consecutivos de

período 0.8 segundos: Observemos que hemos conseguido un mejor modelo del electrocardiograma:

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠plot , , +

.31958168192

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟∑

= n 1

50⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟ + ⎛

⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟cos

n 2 π t.8 an

⎛⎝⎜⎜

⎞⎠⎟⎟sin

n 2 π t.8 bn = t .. 0 2.4 = colour red

48

Actualmente se esta desarrollando el proyecto para establecer conjeturas sobre qué

valores de los armónicos nos permiten clasificar el estado de salud de un corazón. Destaco un comentario de un alumno: “A parte de adquirir conocimientos totalmente

ajenos sobre especialidades médicas, descubrimos que realmente para realizar el

análisis clínico de un ECG es necesario el conocimiento de las series de Fourier,

dándonos así cuenta que, para realizar cualquier actividad son necesarias las

matemáticas.” “También, y como aprendizaje complementario hemos aprendido a

buscar información de aquellas materias ajenas a nuestros conocimientos, como la

medicina.”

4.4. Estudio de la presa del pantano de Oliana El objetivo era encontrar el diseño óptimo de la presa.

Adjunto un detalle del proyecto realizado por los alumnos.

Datos del embalse:

Capacidad total: 101.1 Hm3

Datos de la presa:

Altura sobre cimientos: 102 metros

Longitud de coronación: 230 metros

Tipología: gravedad

Anchura de la base: 88 metros

Presa de Oliana (Lleida - Río Segre)

49

Para calcular el área y el volumen se escogió la sección de la presa y se buscó una

función f(x) que modelice la sección en cuestión.

El embalse de Oliana fue construido por las fuerzas hidroeléctricas del Segre

aprovechando el grado de Oliana, por encima del castillo, donde el Segre, después de

pasar por Coll de Nargó, aporta un caudal medio de 30 m3/s. El salto, con una potencia

instalada de 52.500 KW, tiene la finalidad de regular los caudales de río evitando las

inundaciones y asegurando los riegos en la comarca de Urgell. Por lo que se refiere a la

presa se acabó de construir en el año 1959 con una capacidad total de 101.10 Hm3. La

aportación media actual de agua es de 1013 Hm3 y ocupa una superficie inundada de

443 hectáreas.

Aparte de la sección de la presa se midió la altura sobre los cimientos, que es de 102

metros y su anchura, que es de 88 metros de base. La cota de coronación se encuentra a

519 metros y es una presa de tipo de gravedad (que por su propio peso puede aguantar

el agua). También tiene un desguace por la parte superior, por si el agua rebosara, de

2000 m3/s. y, en el fondo, un desguace de 125.000 m3/s.

A continuación se calculó cuál es la superficie de la sección de la presa: o sea, el área.

Sección de la presa de Oliana

Cuyo modelo aproximado es la función:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−≥≥+•

>>

≥≥+•+•

=

86.1010284.54

02.6102

2.614.8677.10425.2012.0

)(

2

xx

x

xxx

xf

Secció presa de Oliana

-1,86

0 6,2

6,2

39,97

86,140

34

68

102

-2 18 38 58 78

distancia de la base en metres

alça

da e

n m

etre

s

50

Mediante la función f(x) definida a trozos, y, para calcular el área, integramos la

función en cada intervalo y sumamos los resultados. Se obtiene: 3353.92 m2.

A raíz del proyecto surgieron preguntas:

¿Cuánto ocuparán los materiales que se utilizaron para construir la presa - por ejemplo

hormigón armado-? (Cálculo de un volumen!). Los alumnos comentaron:

“Para encontrar el volumen cogemos el área ya calculada y sólo tenemos que

multiplicarlo por la longitud de coronación. L = 268m. y tenemos V = 898850. 75 m3.”

Si se desea saber también la fuerza que ejerce el agua contra la pared de la presa, sólo es

necesario resolver un problema elemental de dinámica. Los mismos alumnos

concluyeron:

“ Sabemos que la fuerza depende de la presión del agua, y ésta no es la misma en la

parte de arriba que en el fondo, ya que la presión depende de la densidad del agua, la

gravedad y la altura. Y, por otro lado, de F= P*S, por tanto también tenemos que saber

cuánto vale S, que es la longitud de coronación por el diferencial de H (altura).

Como no podemos calcular la fuerza de manera directa, haciendo F=P*S, porque, tal y

como hemos dicho la presión no es la misma en todos los puntos, cogeremos láminas de

agua y calcularemos la fuerza de cada una de ellas. O sea, no es nada más que hacer

una integral definida en función de la altura. La F será integral de dF para h=0 hasta

h=74 metros. El resultado de la de los cálculos es de: 7191083200 N.”

Conclusión (obtenida por los alumnos): dado que la fuerza actúa sobre una capa

elemental de agua y la presa es proporcional a la profundidad del agua, se tiene que

diseñar de tal forma que sea más ancha en el fondo.

4.5. Modelización de un cruce regulado por semáforos Mostraré dos proyectos de esta tipologia, estos proyectos también se han realizado

en colaboración con la Universidad Politécnica de Valencia (UPV) y desarrollados

con alumnos del Dr. Lluís Miquel García Rafi de la UPV; por este motivo muestro

con más detalle los contenidos y he intentado respetar el contenido realizado por los

alumnos.

51

a) Estudio en Mollerusa (Lleida) El proyecto consistió en estudiar un cruce regulado por semáforos ubicado en la ciudad

de Mollerusa (Lleida) con el objetivo de evaluar de una manera óptima el flujo de

vehículos. Los principales objetivos del proyecto fueron:

1. Explicación del mecanismo de una intersección regulada por semáforos.

2. Recogida de datos experimentales.

3. Razonamiento del funcionamiento a partir de los datos experimentales.

4. Deducción de ecuaciones matemáticas que modelen el funcionamiento.

5. Explicación del funcionamiento de la intersección.

Los ítems del trabajo fueron:

a) Escoger una intersección real regulada por semáforos para estudiar la evolución

del tránsito. En este caso de la ciudad de Mollerusa (Lleida).

b) Analizar la densidad de tráfico realizando mediciones experimentales del flujo

de vehículos. Construcción de una maqueta física y simulación en Flash del

tránsito de vehículos.

c) Establecer la analogía entre los elementos clásicos de la teoría de circuitos y las

características del tráfico que circula por el cruce. Trabajar las leyes de Kirchoff.

d) Mostrar resultados como una primera aproximación a problemas de la gestión

del tráfico. Se ha trabajado con datos reales extraídos de las medidas realizadas

en el cruce.

La intersección está ubicada en la N-II a su paso por Mollerusa (Lleida). Las calles son

Ferrer i Busquets, Avinguda Catalunya, y por último la calle Abat Oliva. Foto

correspondiente a la intersección:

52

De la experimentación in situ se puede obtener una estimación de los coches que pasan

cada hora. Los alumnos realizaron las siguientes mediciones:

Media Coches N Coches C

Hora punta 326 163

Hora media 103 67

Hora baja 63 34

Media =..º__cotº

hrsfrnajesnhorariafranjaxesn∑

Representación gráfica del número de coches que pasan cada hora tanto por la calle

principal (N) como por la calle secundaria ( C ).

0

50

100

150

200

250

300

350

400

6h a7h

7h a8h

8h a9h

9h a10h

10ha

11h

11ha

12h

12ha

13h

13ha

14h

14ha

15h

15ha

16h

16ha

17h

17ha

18h

18ha

19h

19ha

20h

20ha

21h

21ha

22h

22ha

23h

23ha

24h

Cotxes hora N Cotxes hora C

53

Expondré un extracto del trabajo realizado por los alumnos:

Cálculo del tiempo que están en ámbar los semáforos de la calle N:

Suponiendo un vo = 50 km/h (ya que es la velocidad máxima dentro de la población),

un tiempo de reacción de 0,5 segundos, una desaceleración de – 0,5 G. y una amplitud

de la intersección de 14 metros tenemos que el tiempo en ámbar de N es de:

Y el tiempo en ámbar de los semáforos situados en la calle C, que tiene una amplitud de

11 metros:

Cálculo del número máximo de coches.

51.11

4

1max =

+⋅

−=

vl

avt

Nr

= 0.662coches/s = 2383’2coches/hr

Tengamos en cuenta que el resultado de estos cálculos es totalmente empírico, ya que,

en la realidad, es imposible que circulen tantos vehículos por estas vías; es un ejemplo

de interpretación que no se ajusta realmente a la realidad pero se consiguió que los

estudiantes adquirieran interés por la resolución de problemas reales. A continuación

detallo las explicaciones que los estudiantes hicieron el día de la presentación en video

transcritas literalmente:

“Con este proyecto hemos podido entender de una forma muy clara el funcionamiento

de una intersección regulada por semáforos sin tener que entender fórmulas muy

complicadas. Sólo con una parte de lógica se pueden llegar a deducir. Hemos

conseguido encontrar tiempos de semáforo y decir que son unos tiempos bastante

aproximados a la que es la realidad de los mismos. Por otra parte nos hemos

introducido en dos mundos que, sin formar parte de las matemáticas, hemos utilizado

sssm

msm

smsTambar 3925.2/89.13

14/)8.95.0(2

/89.135.0 2 ≈=+⋅−

−=

sssm

msm

smsTambar 3709.2/89.13

11/)8.95.0(2

/89.135.0 2 ≈=+⋅−

−=

54

para poder desarrollar nuestro proyecto. Uno de ellos es el mundo del Flash. Lo hemos

utilizado para entender y para hacer una explicación más aclaratoria del

funcionamiento de un cruce, ya que visualmente todo parece mucho más sencillo. El

otro forma parte de la electrónica programable, en definitiva, el mundo de los micro

controladores. Ahora todo se basa en los ordenadores y éste es un buen inicio para

entender su funcionamiento. Ha sido un proyecto muy útil para poder entender unos

conceptos que teníamos aprendidos a medias pero que nunca habíamos llevado a

término”.

b) Estudio en Barcelona ANÁLISIS DE UNA RED VIARIA UTILIZANDO REDES DE KIRCHHOFF

El proyecto que se presenta a continuación fue desarrollado individualmente por Julio

César López Virú en el segundo cuatrimestre de la titulación de ingeniería técnica

industrial del año 2002, especialidad en electrónica industrial, para la asignatura de

Análisis Vectorial y de Fourier.

El objetivo de este proyecto es averiguar que vía de circulación en Barcelona soporta un

mayor índice de congestión de tránsito para poder desarrollar, en un futuro, un plan de

actuación medioambiental contra la alta densidad de tráfico en dicha vía.

De esta manera de presenta un problema real que debe afrontar un futuro ingeniero

electrónico, una aplicación inmediata en el mundo real de los conocimientos adquiridos

hasta el momento en esta carrera, en particular la implicación de la enseñanza

matemática.

Existe cierta analogía entre el análisis que se realizará para una red viaria y el análisis

para el caso de un circuito eléctrico, por ello se hace uso de relaciones eléctricas

particulares en provecho del objetivo deseado.

De esta forma, se hace el análisis de algunas de las principales vías de circulación de

Barcelona debido a la incapacidad de analizarlas todas.

Análisis

En concreto se analizan las siguientes vías de circulación [figura 1]:

55

FIGURA 1.(Situación Real) Esta es la

red escogida para el análisis. Las vías de

circulación están enlazadas entre si

mediante nudos numerados (puntos en

verde), en particular a uno de ellos se le

llamó Referencia. Se ha de tener

presente que cada vía de circulación

puede tener varios tramos, o ramas,

definidos entre dos nudos.

FIGURA 2. (Se toma como modelo) Se

incluyen las resistencias en cada rama

del circuito de modo que todos los

nodos sean diferentes entre ellos. Cada

resistencia recibe su nombre de aquellos

nodos entre los que se define, pero si el

nodo es Referencia este no se pone.

Para la existencia del circuito eléctrico los nodos (o nudos) deben ser diferentes, de esta

manera asumimos que, “dos nodos son diferentes si entre ellos existe un elemento

simple de un circuito”.

Por tanto, se incluyen resistencias en cada rama del circuito [figura 2] y se procede a la

obtención de sus valores, mediante los siguientes pasos:

1. Obtención del coeficiente de resistividad, sabiendo que es una propiedad de los

materiales, mediante la siguiente relación:

avenida unaen carriles nº carril de anchura

longitud unidadpor semaf. nº rojoen semaforo tiempo×

×=ρ

Donde: tiempo de semáforo en rojo es equivalente a 39,97s. Este dato se obtuvo

haciendo la media, del tiempo estimado en rojo de tres semáforos distintos

pertenecientes a cualquiera de las vías de circulación que se analizan.

El número de semáforos por unidad de longitud es equivalente a m

semáforos104,94 -3⋅ y se

obtuvo de información proporcionada por la dirección General de Tráfico de Barcelona.

56

La anchura de carril para las avenidas es de 3 metros y la información fue facilitada por

la Guardia Urbana de Barcelona. El número de carriles que se uso para este análisis fue

de 6 para todas las vías de circulación que se analizan. Esta información se obtuvo

observando las imágenes de estas vías [imagen 1] en el Web del Servei Català de

Trànsit .

IMAGEN 1. Ronda De Dalt – Sant

Gervasi. Este es un tramo de una de las

vías de circulación donde se puede

observar que el número de carriles es de

seis y aunque este tramo es de doble

sentido de circulación, se considerará de

un solo sentido para el circuito definido.

De manera que se obtiene un coeficiente de resistividad igual a:

m1010,97 63

104,9439,97 3--3

⋅Ω⋅=⋅

⋅⋅=ρ

2. Mediante la relación: A

R lρ=

Siendo: l ≡ longitud de cada una de las ramas del circuito, se obtiene de un mapa de

volúmenes de tránsito que fue facilitado por el Centre de Control de trànsit urbà i de les

rondes (estudio de enero de 2002 perteneciente al Àrea de Mobilitat Transport i

Circulació del Ajuntament de Barcelona). A ≡ sección transversal del conductor. Para

este caso se asocia la sección que atraviesa una cantidad de carga con el número de

carriles que atraviesa una cantidad de vehículos, de forma que definido el número de

carriles como seis, se sabe que 6 vehículos los atraviesan, A ≡ 6.

De forma que se obtienen los valores de

las resistencias como se muestra a

continuación:

58

Ω=⋅⋅=

Ω=⋅⋅=

Ω=⋅⋅=

Ω=⋅⋅=

Ω=⋅⋅=

Ω=⋅⋅=

Ω=⋅⋅=

Ω=⋅⋅=

4,94 6

27001010,97 R

18,28 6

100001010,97 R

6,03 6

33001010,97 R

5,48 6

30001010,97 R

8,78 6

48001010,97 R

13 6

72001010,97 R

11,15 6

61001010,97 R

6,4 6

35001010,97 R

3-4

3-14

3-3

3-34

3-2

3-23

3-1

-312

FIGURA 3. Reorganizando el circuito de la figura

2, indicando los valores y los sentidos de las

corrientes conocidas, declarando el nombre de las

corrientes cuyos valores se desconocen e

incluyendo fuentes de tensión en cada rama,

queda de la siguiente manera el circuito.

Para la obtención de algunas corrientes del circuito se recurrió de nuevo al mapa de

volúmenes de tránsito, de manera que fuera la cantidad de vehículos por unidad de

tiempo, (vehículos / segundo), una de dichas corrientes [figura 3].

De forma que para obtener las

corrientes restantes se hizo un análisis

de nodos para poder aplicar la Ley de

Corrientes de Kirchhoff .

ANALISIS DE NODOS (3) [ver figura

3]

Nodo 1: 0,69 + I12 = 0,70 I12 = 0,01A

Nodo 2: 0,49 = I12 + I23 I23 = 0,48A

Nodo 4: I34 + 0,68 = 0,69 I34 = 0,01A

Nodo 3: I23 = I3 + I34 I3 = 0,47A

FIGURA 4. Reorganizando el circuito de análisis

de mallas, queda de la siguiente forma el circuito.

57

Finalmente se calcularon los valores de las fuentes de tensión que son, en este caso, los

valores de las fuerzas electromotrices necesarias en cada rama para la circulación de

corriente.

Se llego a la conclusión que la razón por la cual los vehículos circulan por cada uno de

los tramos de las vías de circulación es la misma razón por la cual la carga se mueve por

cada una de las ramas del circuito. Es una analogía a la fuerza electromotriz (4).

Las corrientes determinan las polaridades en los elementos de un circuito. Por

convenio:

- La corriente debe salir siempre de la parte, designada como, positiva de la fuente.

- La parte por donde entra la corriente en una resistencia, de designará como la parte

positiva de la tensión en la resistencia. De forma que se hace un análisis de

mallas en el circuito eléctrico [figura 4]

aplicando la Ley de Voltajes de

Kirchhoff (7).

ANALISIS DE MALLAS (Ver figura

4)

6,14- 0,684,94 - 0,015,48 47,06,03- Vg - Ve - Vb 4I4R - 34I34R 3I3R - Ve - Vb Vg - :IV Malla

13,45 0,476,03 0,4813,16 49,08,78 Vg Ve Vb 3I3R 23I23R 2I2R Vg Vb Ve :III Malla

12,17 0,498,78 0,016,4 7,011,15 Ve2 Vb 2I2R - 12I12R - 1I1R - Ve - Vb -Ve - :II Malla

18,92 0,4813,16 0,015,48 0,6918,28 01,06,4- Vb Va 23I23R - 34I34R - 14I14R - 12I12R Vb - Vb - Va - Vb:I Malla

=⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=+

=⋅+⋅+⋅=++

⋅+⋅+⋅=++

=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅=

=⋅+⋅+⋅+⋅=+

⋅⋅⋅⋅=

Donde se usó DERIVE 5 para obtener

definitivamente los resultados de las

fuerzas electromotrices del análisis de

mallas.

Se indica el resultado para cada una de

las fuerzas electromotrices con la letra

minúscula que les fue asignada.

57

Destaca, notablemente, el valor de Va = 15,265V para una corriente I14 = 0,69A, “es

necesaria una fuerza electromotriz de 15,265V para la circulación de una intensidad de

0,69A en el tramo que une el nodo 1 con el nodo 2”.

Si, se vuelve al análisis real, se puede ver que el tramo, que une el nudo 1 con el nudo 2,

es la vía de circulación correspondiente a la Ronda Litoral.

Por tanto, se propone, para el futuro, un plan de acción para evitar la degradación del

entorno de Barcelona, debida a esta vía, basándonos en los datos ofrecidos en este

análisis.

La conclusión a la que se llega es que gracias a los estudios que se realizan sobre el

comportamiento y la evolución del tránsito en las ciudades, se puede llegar a prever las

grandes aglomeraciones o “embotellamientos” en las vías de circulación. Por otra parte,

se muestran los conocimientos adquiridos por el autor durante la carrera y su aplicación

en un problema real.

Este proyecto muestra una visión diferente de la enseñanza las matemáticas que

considero bastante relevante: explicar no quiere decir enseñar. Los estudiantes han

aprendido las implicaciones de las matemáticas en el mundo cotidiano. La motivación y

el grado de animación que mostraron los estudiantes que han llevado a cabo este

proyecto son muy enriquecedores.

58

4.6.Método de la Solera

El denominado “método de la solera” consiste en la elaboración del vino de jerez. Es

una situación que nos remite a métodos matemáticos de resolución. El vino más viejo

está situado en la fila interior de barricas y el más nuevo en la fila superior. Cada año, la

mitad del contenido de los barriles de la parte inferior se pone en botellas como vino de

jerez y se rellenan las barricas con vino de la fila inmediatamente superior. El proceso

se completa añadiendo vino joven a los barriles de la fila superior. El problema es la

búsqueda de un modelo matemático que nos determine la cantidad de vino de N años

que se extrae de K filas de barriles (Larson,2003. Cálculo I). La solución es:

nkn

knf21·),( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= con nk ≤

Expondré literalmente la resolución del problema propuesta por el grupo de alumnos

que realizó el proyecto:

Desarrollo de los cálculos matemáticos, obtención del modelo y comprobación.

A continuación presentamos todos los cálculos realizados para encontrar un modelo matemático que nos relacione el número de filas que componen la solera “k”, la añada del vino (nº de años de solera) “n” y la cantidad de litros extraída.

Todos los cálculos se basan en la hipótesis de que año tras año, el trasiego de vino entre las filas de la solera es de la mitad de la barrica, es decir cada año se traspasa la mitad de la fila superior a la seguidamente inferior de la solera hasta llegar a la fila que se encuentra en el suelo que será de la que se extraiga el vino para embotellar.

Para finalizar nuestros cálculos y comprobar que la fórmula deducida es correcta, hemos realizado una tabla para comprobar los cálculos y verificar la validez de esta.

59

1w = 021·

00

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∃ No

∃ No

∃ No

∃ No

∃ No

INICIO SOLERA

Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5

21

w = 121·

01

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

21

w = 121·

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∃ No

∃ No

∃ No

∃ No

AÑO 1

AÑO 2

Año 3 Año 4 Año 5

41

w = 221·

02

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

41

+41

=21

w = 221·

12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

41

w = 221·

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∃ No

∃ No

∃ No

Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5

Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5

60

Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5

161

w = 421·

04

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

161

+163

=41

w = 421·

14

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

163

+163

=83

w = 421·

24

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

163

+161

=41

w = 421·

34

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

161

w = 421·

44

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∃ No

81

w = 321·

03

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

81

+41

=83

w 321·

13

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

41

+81

=83

w 321·

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

81

w = 321·

33

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∃ No

∃ No

Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5

Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5

321

w = 521·

05

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

321

+81

=325

w= 521·

15

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

81

+163

=165

w= 521·

25

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

163

+ 81

=165

w= 521·

35

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

81

+321

=325

w= 521·

45

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

321

w = 521·

55

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Año 6

641

w = 621·

06

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

641

+645

=646

w = 621·

16

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

645

+325

=6415

w = 621·

26

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

325

+325

=165

w = 621·

36

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

325

+645

=6415

w = 621·

46

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

641

+645

=323

w = 621·

56

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5

Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5

128

1w = 72

1·07

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

128

1+

643

=128

7w = 72

1·17

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

643

+12815

=12821

w = 721·

27

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

12815

+325

=12835

w = 721·

37

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

325

+12815

=12835

w = 721·

47

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

12815

+643

=12821

w = 721·

57

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Año 7

61

………………………………………………………………………………………………………………..

Para finalizar, presentamos la tabla a partir de la cual deduciremos nuestro modelo matemático.

n= Años k= Barriles 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 021·

00

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

121·

01

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

221·

02

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

321·

03

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛42

1·04

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

521·

05

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

621·

06

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛72

1·07

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

821·

08

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

921·

09

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1021·

010

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1121·

011

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

∃ No 12

1·11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22

1·12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

321·

13

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛42

1·14

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

521·

15

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

621·

16

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

721·

17

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

821·

18

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

921·

19

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1021·

110

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1121·

111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

∃ No

∃ No 22

1·22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

321·

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛42

1·24

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

521·

25

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

621·

26

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

721·

27

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

821·

28

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

921·

29

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1021·

210

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1121·

211

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3

∃ No

∃ No

∃ No 32

1·33

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛42

1·34

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

521·

35

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

621·

36

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

721·

37

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

821·

38

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

921·

39

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1021·

310

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1121·

311

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

4

∃ No

∃ No

∃ No

∃ No 42

1·44

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛52

1·45

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛62

1·46

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛72

1·47

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛82

1·48

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛92

1·49

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1021·

410

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1121·

411

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5

Criadera 0 Criadera 1 Criadera 2 Criadera 3 Criadera 4 Criadera 5

20481

w = 1121·

011

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

20481

+1024

5=

204811

w = 1121·

111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

10245

+204845

=204855

w = 1121·

211

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

204845

+25615

=2048165

w = 1121·

311

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

25615

+1024105

=1024165

w = 1121·

411

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1024105

+51263

=1024231

w = 1121·

511

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

10241

w = 1021·

010

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

10241

+1024

9=

5125

w = 1021·

110

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

10249

+2569

=1024

45w = 102

1·210

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2569

+25621

=12815

w = 1021·

310

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

25621

+51263

=512105

w = 1021·

410

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

51263

+51263

=25663

w = 1021·

510

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Año 10 Año 11

62

5

∃ No

∃ No

∃ No

∃ No

∃ No 52

1·55

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

621·

56

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

721·

57

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

821·

58

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

921·

59

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1021·

510

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1121·

511

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

El significado de ∃ No se deduce de que no existe la Binomial de un número negativo, es decir no es posible que en el año 2 tengamos vino en la tercera criadera, ya que este aun no se ha traspasado. De esta manera imponemos a nuestro modelo matemático que el valor de nk ≤ . Después de todos los cálculos hemos deducido un modelo matemático que nos relaciona el número de filas y la antigüedad del vino de la solera. En función de la añada y la fila en la que nos encontremos tenemos una u otra concentración de vino que

( ) nkknnknf

21·

!!·!),(

−= que corresponde con la Binomial siguiente:

nkn

knf21·),( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= para nk ≤

Tabla de comprobación:

n= Años k= Barriles 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0

1

21

41

81

161

321

641

1281

2561

5121

1024

12048

14096

1

8192

1

163841

327681

1

0

21

21

83

41

325

323

128

7321

5129

512

5

204811

10243

819213

8192

7

3276815

2

0

0

41

83

83

165

6415

12821

647

1289

1024

45204855

204833

409639

16384

9132768105

3

0

0

0

81

41

165

165

12835

327

12821

12815

2048165

102455

16384

1434096

91

32768455

4

0

0

0

0

161

325

6415

12835

12835

25663

512105

1024165

4096495

8192715

163841001

327681365

5

0

0

0

0

0

321

323

12821

327

25663

25663

1024231

51299

81921287

81921001

327683003

Criadera 0 (La más elevada en la solera): • n=0

63

( ) nkknnknf

21·

!!·!),(

−= ( ) n2

1·!0!·00

!0−

= = 1

* n=1

( ) nkknnknf

21·

!!·!),(

−= ( ) 12

1·!0!·01

!1−

= = 21

* n=2

( ) nkknnknf

21·

!!·!),(

−= = ( ) 22

1·!0!·02

!2−

= 41

* n=3

( ) nkknnknf

21·

!!·!),(

−= = ( ) 32

1·!0!·03

!3−

= 81

…………………………………………………………………..

( ) nkknnknf

21·

!!·!),(

−= = ( ) 142

1·!0!·014

!14−

= 16384

1

* n=15

( ) nkknnknf

21·

!!·!),(

−= = ( ) 152

1·!0!·015

!15−

= 32768

1

…………………………………………………………………………………………………………… Criadera 5: • n=0

( ) nkknnknf

21·

!!·!),(

−= ( ) 02

1·!5!·50

!0−

= = ∃ No el binomial de un número negativo.

* n=1

( ) nkknnknf

21·

!!·!),(

−= ( ) 12

1·!5!·51

!1−

= = ∃ No el binomial de un número negativo.

* n=2

( ) nkknnknf

21·

!!·!),(

−= = ( ) 12

1·!5!·52

!2−

= ∃ No el binomial de un número negativo.

……………………………………………………………………………………………………

* n=14

64

( ) nkknnknf

21·

!!·!),(

−= = ( ) 142

1·!5!·514

!14−

= ( ) 1421·

2·3·4·5·2·3·4·5·6·7·8·92·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14

= 81921001

* n=15

( ) nkknnknf

21·

!!·!),(

−= = ( ) 152

1·!5!·515

!15−

= ( ) 1521·

2·3·4·5·2·3·4·5·6·7·8·9·102·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15

=327683003

Cálculos realizados con Excel:

Fila barricas 0 Fila barricas 1 Fila barricas 2 Fila barricas 3 Fila barricas 4 Fila barricas 5 Año Inicial 1 0 0 0 0 0

Añada 1 1/2 1/2 0 0 0 0 Añada 2 1/4 1/2 1/4 0 0 0 Añada 3 1/8 3/8 3/8 1/8 0 0 Añada 4 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16 0 Añada 5 1/32 5/32 5/16 5/16 5/32 1/32 Añada 6 1/64 3/32 15/64 5/16 15/64 3/32 Añada 7 1/128 7/128 21/128 35/128 35/128 21/128 Añada 8 … … … … … Añada 9 … … … … … …

Añada 10 … … … … … … Añada 11 … … … … … …

Los alumnos dedujeron que la expresión que determina la cantidad de vino de N años

que se extrae de K filas de barriles es: nkn

knf21),( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= para k<n

Éste es otro ejemplo de modelización que nos permite presentar los temas de

matemáticas de manera diferente a la tradicional y que muestra el componente

epistemológico de las mismas.

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4.7. Otras breves ideas de propuestas 4.7.1. Fourier y los sonidos. Se puede proponer un trabajo donde se analiza porqué una misma palabra pronunciada

por dos alumnos diferentes tiene tonalidades diferentes. Los estudiantes descubren, de

esta manera, el papel de los armónicos de Fourier. En la experiencia, los alumnos

asistieron a clase con micrófonos, cintas de cassete, e incluso, uno de ellos, con un

ordenador.

El departamento de teoría de la señal nos proporcionó diversos aparatos para analizar

frecuencias, hecho que demuestra el carácter interdisciplinario de los temas tratados ya

que involucra diversas áreas de conocimiento.

Superposición de dos sonidos

4.7.2. Midamos el museo Desde la ventana del aula se ve el museo municipal Víctor Balaguer de Vilanova. Un

grupo de estudiantes consideró oportuno proponer el cálculo del volumen del museo.

Yo acepté y a continuación los alumnos fueron al Ayuntamiento a buscar las medidas.

Ellos mismos buscaron funciones (con el ordenador) que modelizaran la estructura para

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poder calcular, mediante integrales dobles, el volumen del museo. Este hecho

proporcionó a los alumnos la adquisición de conocimientos arquitectónicos y

matemáticos, y al mismo tiempo, el aprendizaje de programas de cálculo simbólico (en

este caso el Mathematica).

Detalle de la cúpula del museo

4.7.3. Estudio encefalográfico En el diseño del proyecto se partió de la recogida de diversos encefalogramas. Mediante

éste se muestra la necesidad de las matemáticas para entender y estudiar los

electroencefalogramas, no necesariamente aparecen funciones periódicas y por

consiguiente no siempre es posible realizar un análisis y interpretación mediante las

series de Fourier.

A pesar de ello, se propició un enriquecedor debate en las aulas que concluyó con el

aprendizaje de las series de Fourier. También aprendieron no sólo conceptos de

medicina, sino también de electrónica y de matemáticas. A partir del estudio y la

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interpretación de las gráficas se descubre el estado y la influencia de éstos a la hora de

determinar - conjuntamente con elementos de electrónica - el estado de salud de un

paciente y, a la vez, interpretar el tipo de gráficas que allí aparecen. De esta manera se

observa que la modelización es una forma de aprendizaje eficiente.

4.7.4. Michael Schumacher y el cálculo diferencial Este trabajo constituyó una unidad didáctica para aproximarnos al concepto de derivada,

se realizó en cursos introductorios. La idea surgió a partir de un artículo publicado en

“La Vanguardia” en el que se presentaba una carrera en el circuito de Montmeló.

A partir de aquí se establece como objetivo el estudiar el artículo e investigar

situaciones reales con la finalidad de descubrir qué tipo de matemáticas hay en la

técnica. La situación nace al preguntarse en qué momento el coche de Fórmula 1 tiene

que desacelerar para poder girar la curva a la máxima velocidad posible, con la finalidad

de hacer el recorrido del circuito en el mínimo tiempo posible.

El trabajo consistió inicialmente en construir una tabla de velocidades - extraída de unas

vueltas de reconocimiento-. Con esta tabla se observa que la velocidad no es constante.

También se observa que Michael comienza recorrido avanzado 10 metros respecto al

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punto de salida inicial. De esta manera se deducen relaciones entre espacio - tiempo,

que son anotadas en una segunda tabla. Comparando las dos tablas se construye una

tercera donde aparecen los resultados anteriores de manera que la relación la podemos

expresar mediante derivadas e integrales. Los alumnos que realizaron el proyecto

destacan:

“... hasta hoy desconocíamos las aplicaciones de las matemáticas en un contexto real;

hemos aprendido multitud de aplicaciones de la derivada y la integral...”

Este trabajo fue muy motivador y animador para introducir los temas de derivadas y, al

mismo tiempo, fue de mucha utilidad para los estudiantes, que tenían por primera vez

un contacto con estos conceptos.

4.7.5. La torre Eiffel y su perfil

Es otro ejemplo de unidad didáctica para el estudio de funciones, en este caso para

aproximar la exponencial. Los estudiantes descubren el perfil de la torre Eiffel

trabajando con un saco de arena y modelizando la ecuación diferencial del mismo perfil.

Este trabajo se dirige a alumnos de nuevo ingreso. Veamos un detalle de la práctica con

algunos fragmentos de la unidad:

Una torre como la del señor Eiffel no se puede construir deprisa y corriendo. Es

necesario, en primer lugar, experimentar mucho. ¡EXPERIMENTEMOS pues!

Para resolver esta actividad utiliza tanto como puedas la imaginación. Aquí tienes el

material que necesitas para hacer las pruebas:

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Al rellenar el tubo con arena se va construyendo el perfil y los alumnos descubren de

una forma muy intuitiva el perfil que va obteniendo el tubo.

4.7.6. Estudio de un crédito hipotecario La idea del trabajo nació de un pequeño paseo que efectué el primer día de clase por los

pasillos de la escuela. Observé que en los tablones de anuncios aparecía un pequeño

cartel que ofrecía créditos a las estudiantes para ayudar a pagar las matrículas.

La pregunta fue:

El tubo está hecho de goma elástica: esto

quiere decir que se puede ensanchar.

El experimento consiste en lo siguiente:

1. Llena el tubo de arena hasta arriba,

pero sin presionarla, dejándola caer

por su propio peso.

Dibuja el tubo resultante:

Abierto

Cerrado

Arena

Tubo

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¿Los estudiantes entienden los conceptos involucrados en el anuncio? ¿Saben

suficientes matemáticas como para interpretar y calcular las cuotas de la oferta?

A partir de este hecho entregué a todos los estudiantes de nuevo ingreso una copia del

anuncio, y otros anuncios de diversas entidades bancarias (extraídos de la prensa) que

también ofrecían préstamos. Es necesario destacar que para calcular las cuotas es

necesario el conocimiento de lo que se denomina progresiones geométricas. Mi sorpresa

fue que muy pocos alumnos sabían lo que significaba la palabra TAE ni cómo se

calculaban las cuotas en función de la temporalización. Quiero destacar que quedé

sorprendido. Todos los estudiantes habían recibido, en alguna etapa de secundaria,

enseñanzas sobre conceptos de progresiones geométricas. Noté que había alguna cosa

que fallaba: ¡¡¡ quizás los profesores sólo preparaban a los alumnos para que pudieran

aprobar exámenes y no los preparaban para ser ciudadanos!!!

Con todo este bagaje se realizó un trabajo, por cierto muy útil y enriquecedor, en el que

los estudiantes que lo llevaron a cabo aprendieron a calcular las cuotas, los conceptos

involucrados e incluso a utilizar el programa Excel para aplicarlo a los casos expuestos

y, de esta manera, poder decidir qué oferta bancaria era la más útil. Para finalizar, el

trabajo fue expuesto en clase para compartir los descubrimientos hechos con los otros

compañeros.

4.7.7. Un modelo de examen

Para terminar este capítulo, reproduzco literalmente el original de un modelo de examen

en el cual se comprueba la topología de pregunta relacionada directamente con los

temas tratados de modelización. En el mismo el alumno tiene que justificar el porqué las

ecuaciones del circuito eléctrico mostrado son las propuestas, conduciendo a un

problema de valores propios en el cual se les pide la intensidad del circuito en cualquier

instante. Veamos pues la muestra del examen:

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