introducción a radicales - upra · simplificación de radicales esto lo podemos extender para la...
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Martin-Gay, Developmental Mathematics 2
Extracción de raíces
La operación inversa de elevar un número a
una potencia es extraer la raiz al número.
Para representar esta operación usamos el
símbolo llamado radical:
radical
radicando
índice
raíz
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Raiz Cuadrada
La operación inversa de cuadrar es tomar la
raiz cuadrada de un número.
Un número b es una raiz cuadrada de otro
número a, si b2 = a.
93porque39 2
648porque864 2
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La raiz cuadrada principal (positiva) se
denota a
La raiz cuadrada negativa se denota
a
Raiz Cuadrada Principal
9 de negativa cuadrada raiz la es39
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Raiz Cuadrada Principal
NOTA:
NO es un número real porque no existe ningún número tal que al cuadrarlo dé -9.
Por eso decimos en general que
9
aexiste en los reales si a 0.
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La raiz cuadrada de un radicando que es un
cuadrado perfecto simplifica a un número
racional.
Cuadrados perfectos
son raíces susy perfectos cuadrados 10 primeros Los
6, 36 5, 25 4, 16 3 9 2, 4 ,11 ,00
9 81 8, 64 7, 49
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Raíces cuadradas de radicandos que NO son
cuadrados perfectos ( ) son
números irracionales.
Podemos conseguir una aproximación decimal
a estos radicales con una calculadora, si el
ejercicio lo pide. Pero, su valor exacto solo se
puede representar en forma de radical.
Números irracionales
etc ,10 ,7 ,2
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La raiz cúbica de un número real a es
ab si soloy si ba 33
Nota: Para las raíces cúbicas, NO se
restringe el valor del radicando a valores
positivos.
Raíces cúbicas
3273
3 64
3 125
porque 33 = 27
porque (-4)3 = -64
porque (-5)3 = -125
4
5
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ab si soloy si ,ba nn
En general,podemos determinar otras raíces.
La raiz enésima se define como:
Raiz enésima
Si el índice, n, es par, la raiz NO es un
número real cuando a es negativa.
Si el índice, n, es impar, la raiz es
SIEMPRE un número real no importa el
signo de a.
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Raiz enésima - ejemplos
2325 porque (-2)5 = -32
4 256 porque (4)4 = 256
6 729 porque (3)6 = 729
5
243
32
porque (2
3)5 =
32
243
4
3
3
2
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Simplificación de raíces
Simplificar la raíz de un número compuesto
implica
• factorizar el radicando
• identificar algún factor que tenga una raíz exacta
• utilizar propiedades de radicales para extraer la
raíz a los factores con raíces exactas
• si el radicando no tiene factores con raíces
perfectas, entonces el radical no simplifica.
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Propiedad #2:
Si Ran entonces,
y aan
n aan n
99 ,33 :Ejemplo3
32
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Propiedad #3:
Si Ran y Rbn entonces,
nnn baba
6329494 :Ejemplo
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Simplificación de radicales
Si un número compuesto NO es un cuadrado
perfecto pero tiene un factor que es cuadrado
perfecto, entonces su raiz cuadrada se puede
simplificar usando la propiedad anterior.
Ejemplo: Simplificar 27
Solución:
Como 27 = 9 ∙ 3 podemos decir que
27 = 9 ∙ 3 y por la propiedad anterior
27 = 9 ∙ 3 = 9 3 = 3 3
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Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar 90
Solución:
Ejemplo: Simplificar 200
Solución:
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Simplificación de radicales
Esto lo podemos extender para la raíz enésima. Si
un número compuesto tiene un factor
exponencial, con potencia igual al índice del
radical entonces su raiz enésima se puede
simplificar usando la propiedad #1 anterior.
Ejemplo: Simplificar 2503
Solución:
Como 250 = 125 ∙ 2 = 53 ∙ 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
2503
= 125 ∙ 2 3
=
= 1253
23
= 5 23
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Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar 33 ∙ 53∙ 23
Solución:
Podemos aplicar la propiedad: 𝑎𝑛𝑛= 𝑎
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Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar 25 ∙ 53
Solución:
Notamos que las potencias de los factores son mayores que
el índice.
Podemos usar la siguiente propiedad de exponentes:
𝑎𝑛𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
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Simplificación de radicales
Ejemplo: Simplificar 323
Solución:
Ejemplo: Simplificar 3753
Solución:
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12 = 1 112 = 121 13 = 1
22 = 4 122 = 144 23 = 8
32 = 9 132 = 169 33 = 27
42 = 16 142 = 196 43 = 64
52 = 25 152 = 225 53 = 125
62 = 36 162 = 256 63 = 216
72 = 49 172 = 289 73 343
82 = 64 182 = 324 83 512
92 = 81 192 = 361 93 729
102 = 100 202 = 400 103 1000
Cuadrados perfectos Cubos perfectos
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