integral numerik -...

INTEGRAL NUMERIK

Masalah Integral Numerik adalah masalah mengevaluasi secara numeric suatu bentuk Integral

b

a

dxxfR )(

dengan a dan b adalah nilai selang yang diberikan (merupakan batas) dan f(x) adalah fungsi yang menggambarkan suatu hasil data tertentu dengan R adalah luas dibawah kurva f(x) pada selang [a,b]

R

y = f(x)

y

xa b

h

x0

y

x0 a b

y = f(x)

xn

Untuk memudahkan dalam menurunkan formula kita bagiselang / interval yang ada menjadi n bagian yang samasehingga

h = ( b – a ) / n

Tentukan besarnya f yang diambil dari setiap interval tersebutyaitu f (x’j) dengan xj adalah titik tengah interval.Jadi luas persegi total menjadi f(x1’)h + f(x2’)h + f(x3’)h + ….+f(xn’)h atau

a

b

nxfxfxfxfhdxxfR )'(...)'()'()'()( 321

ATURAN PERSEGI

ATURAN TRAPESIUM

Pada aturan persegi terdapat tingkat kesalahan yang relatif besar, maka dikembangkan aturan trapesium

y

x

a bx1x2 xn

f(a) f(b)

y = f(x)

f(x1) f(x2)

Dengan cara yang sama untuk menghitung luas pias pada aturan persegi, maka luas total :

a

b

n bfxfxfxfafhdxxfR )(2

1)(...)()()(

2

1)( 121

)()(2

...)()(2

)()(2

1211 bna xfxfh

xfxfh

xfxfh

Dengan h = ( b – a )/n

Hitung

1

0

2

dxe x dengan n = 10

j xj xj2 f(xj)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Σ

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0

0,01

0,04

0,09

0,16

0,25

0,36

0,49

0,64

0,81

1

1,0

0,990050

0,960789

0,913431

0,852144

0,778801

0,697676

0,612626

0,527792

0,444858

0,367879

1,367879 6,778167

746211,0

)778167,6)267879,1(2

11,0

)(2

1)(...)()()(

2

1121

R

bfxfxfxfafhR n

dengan

2

3

12

)(

n

abK

M1 = nilai terkecil dari f”(x)M2 = nilai terbesar dari f”(x)

Tingkat kesalahan cara ini: KM1 < E < KM2

Perkirakan kesalahan pada contoh kasus di depan

2

2

2

)12(2)("

2)('

)(

2 x

x

x

exxf

xexf

exf

Jika 0 < x < 1 maka :

M1 = f”(0) = -2M2 = f”(1) = 0,735759

745598,0747878,0

000613,0001667,0

1200

1

10.12

)01(2

3

R

Jadi

e

K

nilai eksak = 0,746824

ATURAN SIMPSON

Metode selain yang telah dijelaskan di depan tetapimempunyai tingkat ketelitian yang lebih baik adalahdengan menggunakan sistem luasan parabola yangdikembangkan oleh Thomas Simpson (1710 – 1761)

Untuk menurunkan formula kita bagi selang [a,b] dengan bilangan genap

h = (b – a)/ 2n

)4(3

edch

R

y

x

y = f(x)

a bx1 x2xn

c d e

h h

)4(3

edch

R

b

a

nnn fffffffh

dxxfR 212223210 42...424(3

)(

b

a

nnn fffffffh

dxxfR 212223210 42...424(3

)(

dengan : fj = f(xj)

Hitung

1

0

2

dxe x

0,36787911,010

1,367879 3,74266 3,037907Σ

0,4448580,810,99

0,5272920,640,88

0,6126260,490,77

0,6976760,360,66

0,7788010,250,55

0,8521440,160,44

0,9139310,090,33

0,9607890,040,22

0,9900100,010,11

1,000000

f(xj)=e-x^2xj2xjj

746825,0

)037901,32()740266,34()367879,1(3

1,0

R

xxR