integral numerik -...
TRANSCRIPT
INTEGRAL NUMERIK
Masalah Integral Numerik adalah masalah mengevaluasi secara numeric suatu bentuk Integral
b
a
dxxfR )(
dengan a dan b adalah nilai selang yang diberikan (merupakan batas) dan f(x) adalah fungsi yang menggambarkan suatu hasil data tertentu dengan R adalah luas dibawah kurva f(x) pada selang [a,b]
R
y = f(x)
y
xa b
h
x0
y
x0 a b
y = f(x)
xn
Untuk memudahkan dalam menurunkan formula kita bagiselang / interval yang ada menjadi n bagian yang samasehingga
h = ( b – a ) / n
Tentukan besarnya f yang diambil dari setiap interval tersebutyaitu f (x’j) dengan xj adalah titik tengah interval.Jadi luas persegi total menjadi f(x1’)h + f(x2’)h + f(x3’)h + ….+f(xn’)h atau
a
b
nxfxfxfxfhdxxfR )'(...)'()'()'()( 321
ATURAN PERSEGI
ATURAN TRAPESIUM
Pada aturan persegi terdapat tingkat kesalahan yang relatif besar, maka dikembangkan aturan trapesium
y
x
a bx1x2 xn
f(a) f(b)
y = f(x)
f(x1) f(x2)
Dengan cara yang sama untuk menghitung luas pias pada aturan persegi, maka luas total :
a
b
n bfxfxfxfafhdxxfR )(2
1)(...)()()(
2
1)( 121
)()(2
...)()(2
)()(2
1211 bna xfxfh
xfxfh
xfxfh
Dengan h = ( b – a )/n
Hitung
1
0
2
dxe x dengan n = 10
j xj xj2 f(xj)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Σ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0
0,01
0,04
0,09
0,16
0,25
0,36
0,49
0,64
0,81
1
1,0
0,990050
0,960789
0,913431
0,852144
0,778801
0,697676
0,612626
0,527792
0,444858
0,367879
1,367879 6,778167
746211,0
)778167,6)267879,1(2
11,0
)(2
1)(...)()()(
2
1121
R
bfxfxfxfafhR n
dengan
2
3
12
)(
n
abK
M1 = nilai terkecil dari f”(x)M2 = nilai terbesar dari f”(x)
Tingkat kesalahan cara ini: KM1 < E < KM2
Perkirakan kesalahan pada contoh kasus di depan
2
2
2
)12(2)("
2)('
)(
2 x
x
x
exxf
xexf
exf
Jika 0 < x < 1 maka :
M1 = f”(0) = -2M2 = f”(1) = 0,735759
745598,0747878,0
000613,0001667,0
1200
1
10.12
)01(2
3
R
Jadi
e
K
nilai eksak = 0,746824
ATURAN SIMPSON
Metode selain yang telah dijelaskan di depan tetapimempunyai tingkat ketelitian yang lebih baik adalahdengan menggunakan sistem luasan parabola yangdikembangkan oleh Thomas Simpson (1710 – 1761)
Untuk menurunkan formula kita bagi selang [a,b] dengan bilangan genap
h = (b – a)/ 2n
)4(3
edch
R
y
x
y = f(x)
a bx1 x2xn
c d e
h h
)4(3
edch
R
b
a
nnn fffffffh
dxxfR 212223210 42...424(3
)(
b
a
nnn fffffffh
dxxfR 212223210 42...424(3
)(
dengan : fj = f(xj)
Hitung
1
0
2
dxe x
0,36787911,010
1,367879 3,74266 3,037907Σ
0,4448580,810,99
0,5272920,640,88
0,6126260,490,77
0,6976760,360,66
0,7788010,250,55
0,8521440,160,44
0,9139310,090,33
0,9607890,040,22
0,9900100,010,11
1,000000
f(xj)=e-x^2xj2xjj
746825,0
)037901,32()740266,34()367879,1(3
1,0
R
xxR