inf-110 struktur diskrit - informatika.unsyiah.ac.id fileinf-110 struktur diskrit teori himpunan...

Teori Himpunan

INF-110 Struktur DiskritTeori Himpunan

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id

Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah

March 3, 2019

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yangterdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baikdimaksudkan bahwa untuk sebarang objek x yangdiberikan dapat kita tentukan apakah objek x tersebutkepunyaan dari suatu himpunan atau bukan.

Objek yang merupakan kepunyaan dari suatu himpunandisebut elemen atau anggota.

Kita akan nyatakan himpunan dengan huruf besar, sepertiA atau X dan elemen dengan huruf kecil, seperti a atau x.

Jika a adalah elemen dari himpunan A, kita tulis a ∈ Adan jika a adalah bukan elemen dari himpunan A, kitatulis a /∈ A.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Himpunan dapat dinyatakan dengan mendaftarkan semuaelemennya di dalam sepasang tanda kurung atau denganmenyatakan sifat-sifat keanggotaannya sehingga dapatditentukan apakah suatu objek adalah elemen dari suatuhimpunan atau bukan. Kita dapat tuliskan

X = {x1, x2, · · · , xn}

untuk himpunan yang memuat elemen-elemen x1, x2, · · · , xnatau

X = {x|x memenuhi ℘}

jika setiap x di dalam X memenuhi suatu sifat tertentu dari ℘.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

jika E adalah himpunan bilangan bulat genap, kita dapatnyatakan E dengan menuliskan ke dalam salah satu notasi

E = {2, 4, 6, · · · }

atau

E = {x|x adalah bilangan bulat genap dan x > 0}.

Kita tuliskan 2 ∈ E bila kita ingin mengatakan bahwa 2 adalahelemen dari E, dan −3 6∈ E untuk mengatakan bahwa −3adalah bukan elemen dari E.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Berikut ini adalah beberapa himpunan penting yang akansering digunakan dalam pembahasan kita selanjutnya:N = {n|n adalah bilangan asli } = {1, 2, 3, · · · };Z = {n|n adalah bilangan bulat } = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · };Q = {r|r adalah bilangan rasional }

= {pq |p, q ∈ Z dimana q 6= 0};R = {x|x adalah bilangan real };C = {z|z adalah bilangan kompleks }.R+ = {x|x adalah bilangan real positif };R∗ = {x|x adalah bilangan real tak nol};

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Kita dapat menemukan berbagai relasi antarahimpunan-himpunan dan juga dapat melakukan operasi-operasipada himpunan. Himpunan A adalah subhimpunan (subset)dari B, ditulis A ⊆ B atau B ⊇ A, jika setiap elemen dari Ajuga elemen dari B. Sebagai contoh,

{4, 5, 8} ⊆ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

danN ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Jika A ⊆ B dan B memuat elemen yang bukan elemen dari Amaka A disebut subhimpunan sejati (proper subset) dari Bdan dinotasikan A ⊂ B.Kita juga akan menemukan suatu himpunan tanpa unsur-unsurdi dalamnya. Himpunan yang seperti ini disebut himpunankosong (empty set) dan dinotasikan dengan {} atau ∅. Sebagaicatatan bahwa himpunan kosong adalah sub-himpunan darisetiap himpunan.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Banyaknya elemen suatu himpunan A disebut sebagaikardinalitas (cardinality) atau ukuran (size) dandinotasikan dengan |A| atau n(A) atau card(A).

Suatu himpunan disebut berhingga (finite) jika memilikikardinalitas yang berhingga.

Suatu himpunan disebut takberhingga (infinite) jikamemiliki kardinalitas yang takberhingga (dinotasikan olehℵ0.Suatu himpunan disebut takterhitung (uncountable) jikahimpunan tersebut bukan himpunan terhitung.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Untuk memperoleh sebuah himpunan baru darihimpunan-himpunan yang telah ada, kita dapat melakukanoperasi-operasi tertentu:gabungan (union) A ∪B dari himpunan A dan B didefinisikansebagai

A ∪B = {x|x ∈ A atau x ∈ B; }

irisan (intersection) A ∩B dari himpunan A dan Bdidefinisikan sebagai

A ∩B = {x|x ∈ A dan x ∈ B.}

Jika A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 9}, maka

A ∪B = {1, 2, 3, 5, 9}

danA ∩B = {1, 3}.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Untuk kasus dimana gabungan dan irisan melibatkan lebih daridua himpunan yaitu A1, A2, · · · , An, maka untuk gabungan danirisan secara berurutan kita tuliskan sebagai

n⋃i=1

Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·An

dann⋂

i=1

Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·An

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Jika dua buah himpunan tidak memiliki elemen yang samamaka kedua himpunan tersebut dikatakan saling lepas(disjoint). Sebagai contoh, jika E himpunan bilangan bulatgenap dan O himpunan bilangan bulat ganjil, maka E dan Oadalah saling lepas. Dua buah himpunan A dan B adalah salinglepas jika A ∩B = ∅.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Kadang-kadang kita akan bekerja dalam suatu himpunantertentu U yang disebut dengan himpunan semesta(universal set). Untuk setiap himpunan A ⊆ U , kita definisikankomplemen (complement) dari A, dinotasikan dengan A atauA′, adalah himpunan

A = {x|x ∈ U dan x 6∈ A}.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Selanjutnya kita definisikan selisih (difference) dari duahimpuan A dan B sebagai

A−B = A ∩B′ = {x|x ∈ A dan x 6∈ B}

dan selisih simetrik (symmetric difference) dari dua himpuanA dan B sebagai

A4B = {x|(x ∈ A∨x ∈ B)∧x /∈ A∩B} = {x|(x ∈ A∪B)∧x /∈ A∩B}.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Contoh

Misalkan R adalah himpunan semesta dan anggap bahwa bahwa

A = {x ∈ R|0 < x ≤ 3}

danB = {x ∈ R|2 ≤ x < 4}

maka

A ∩B = {x ∈ R|2 ≤ x ≤ 3}A ∪B = {x ∈ R|0 < x < 4}A−B = {x ∈ R|0 < x < 2}

A′ = {x ∈ R|x ≤ 0 atau x > 3}

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Berikut ini adalah beberapa sifat penting operasi gabungan danirisan:

1 A ∪A = A, A ∩A = A, dan A−A = ∅;

2 A ∪∅ = A dan A ∩∅ = ∅;

3 A∪ (B ∪C) = (A∪B)∪C dan A∩ (B ∩C) = (A∩B)∩C;

4 A ∪B = B ∪A dan A ∩B = B ∩A;

5 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C);

6 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Disini akan dibuktikan hasil (1) dan (3), sisanya sebagai latihan.(1) Perhatikan bahwa

A ∪A = {x|x ∈ A atau x ∈ A}= {x|x ∈ A}= A

dan

A ∩A = {x|x ∈ A dan x ∈ A}= {x|x ∈ A}= A

Juga, A−A = A ∩A′ = ∅.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

(3) Untuk himpunan A,B dan C,

A ∪ (B ∪ C) = A ∪ {x|x ∈ B atau x ∈ C}= {x|x ∈ A atau x ∈ B, atau x ∈ C}= {x|x ∈ A atau x ∈ B} ∪ C

= (A ∪B) ∪ C.

Dengan langkah yang sama dapat ditunjukkan bahwa

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Teorema berikut ini dikenal sebagai Hukum De Morgan’s.

Teorema

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan maka

1 (A ∪B)′ = A′ ∩B′;

2 (A ∩B)′ = A′ ∪B′.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Kita harus tunjukkan bahwa (A ∪B)′ ⊆ A′ ∩B′ dan(A ∪B)′ ⊇ A′ ∩B′. Misalkan x ∈ (A ∪B)′ maka x 6∈ A ∪B.Dari definisi gabungan himpunan, maka x bukan elemen dari Adan juga bukan elemen dari B. Dari definisi komplemen x ∈ A′

dan x ∈ B′. Sehingga x ∈ A′ ∩B′ dan kita peroleh(A ∪B)′ ⊆ A′ ∩B′.Untuk menunjukkan dalam arah sebaliknya, andaikan bahwax ∈ A′ ∩B′. Maka x ∈ A′ dan x ∈ B′, sehingga x 6∈ A danx 6∈ B. Jadi x 6∈ A ∪B dan diperoleh x ∈ (A ∪B)′. Dengandemikian (A ∪B)′ ⊇ A′ ∩B′ sehingga (A ∪B)′ = A′ ∩B′.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Contoh

Buktikan bahwa

(A−B) ∩ (B −A) = ∅

Perhatikan bahwa

(A−B) ∩ (B −A) = (A ∩B′) ∩ (B ∩A′)

= A ∩A′ ∩B ∩B′

= ∅.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit

Teori HimpunanPengertianOperasi pada himpunan

Contoh

Tentukan himpunan A dan B dimana memenuhiA−B = {1, 3, 7, 11}, B −A = {2, 6, 8} dan A ∩B = {4, 9}.

Jawab:Karena A = (A−B) ∪ (A ∩B) maka kita peroleh bahwaA = {1, 3, 7, 11} ∪ {4, 9} = {1, 3, 4, 7, 9, 11}.Dengan cara yang samaB = (B −A) ∪ (A ∩B) = {2, 6, 8} ∪ {4, 9} = {2, 4, 6, 8, 9}.

zahnur@informatika.unsyiah.ac.id INF-110 Struktur Diskrit