im2 teorija 1 parcijala

(realnogodnosno kompleksnog) Euklidovog prostora Cauchyjeva nejednakost Pojmovi povezanog višestruko povezanog i konveksnog skupa u Euklidovom prostoru

9 Pojmovi i važni primjeri realne funkcije više realnih promjenljivihvarijabli i vektorske funkcije više realnih promjenljivih 10 a) Osnovna svojstva i predstavljanje funkcija više promjenljivih Problem određivanja njihovog domena i graf(ik) Pojmovi nivo ndash linija (nivoskih linija) i nivo ndash površi b) Odredit i grafički prikazati prirodni domen Dom (f ) i nivoske linije te skicirati

grafik funkcije f iz R2 u R zadane formulom f(x y) = 2 2

1

2 4x x yminus minus a zatim

ustanoviti osnovna svojstva skupa Dom( f ) (ograničenost povezanost konveksnost otvorenost zatvorenost) 11 a) Složene funkcije i elementarne funkcije više realnih varijabli Primjeri inženjerskih funkcija više varijabli Grafici nekih elementarnih funkcija dviju realnih varijabli

b) Odrediti definiciono područje i ispitati parnost simetričnost i homogenost funkcije f

zadane formulom 2 2 y

f x y z x yx

+ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

minus

12 a) Granična vrijednost (simultana i uzastopna sukcesivna) funkcije više realnih promjenljivih ndash pojam osnovna svojstva i računanje pomoću transformacije koordinata b) Izračunati 2 2 2 22 2

( ) ( 0 0)lim ( )x y z

x y zx y z

αrarr+ + za svaki α isin R

13 Neprekidnost i uniformnaravnomjerna neprekidnost funkcija dviju ili više promjenljivih Lokalna i globalna svojstva neprekidnih funkcija više promjenljivih 14 Parcijalni izvodi parcijalne derivacije i parcijalni diferencijali (prvog reda) Geometrijska interpretacija parcijalnih derivacija Računanje parcijalnih izvoda 15 Lagrangeova teorema srednje vrijednosti za funkcije više promjenljivih (Formulacija dokaz i njene važne posljedice i primjene) 16 a) Pojmovi diferencijabilnosti i (totalnog) diferencijala funkcija dviju ili više varijabla Potrebni uslovi diferencijabilnosti i dovoljan uslov diferencijabilnosti funkcija dviju ili više promjenljivih (Formulacija tih uslova i izvođenje bar jednog od njih) b) Ispitati diferencijabilnost funkcije f dvije realne promjenljive zadane formulom

f (x y) = 3 33 x y+ 17 Formula za linearnu aproksimaciju funkcije dviju varijabla Analogija s funkcijom jedne varijable Primjene totalnog diferencijala u približnim računima 18 a) Parcijalni izvodi i diferencijali složenih funkcija Invarijantnost forme totalnog diferencijala (prvog reda) b) Formulisati Eulerovu teoremu za homogene funkcije više promjenljivih a zatim tu teoremu primijeniti na određivanje parametara a b tako da jednačina ima dvostruki korijen 0nx a x bminus + = ( 2 3 4)n = 19 Geometrijska interpretacija totalnog diferencijala Jednačina tangentne ravni (tangencijalne ravnineplohe) Analogija s tangentom Jednačine normale na površ (Definirati pojmove tangentne ravni i normale na površ a zatim izvesti njihove jednačine) 20 Izvod funkcije u zadanom pravcu i gradijent funkcije Hamiltonov operator nabla (Definirati te pojmove a zatim ustanoviti njihova osnovna svojstva i međusobne veze) 21 Parcijalni izvodi i diferencijali drugog ili višeg reda realnih funkcija više realnih promjenljivih 22 a) Taylorova formula i MacLaurinova formula za funkcije dviju ili više promjenljivih (Formulacija i glavne ideje u njenom izvođenju definirati odgovarajuću funkciju jedne

2

promjenljive F (t) te iskoristiti izvod kompozicije F (t) 1( ( ) ( ))nf x t x t= funkcija F i f i pripadnu Taylorovu formulu za funkcije jedne promjenljive) b) Aproksimacija površi (plohe) tangentnom ravninom 23 a) Ekstremne vrijednosti funkcija dviju ili više promjenljivih ndash Optimizacija I Definicija lokalnog slobodnog ekstrema funkcija više promjenljivih potreban uslov (formulacija i dokaz) za postojanje lokalnih ekstrema (Fermatova teorema) funkcije više promjenljivih stacionarne tačke kvadratne forme (pojam klasifikacija i Silvesterov kriterijum) dovoljan uslov (uz dokaz za funkcije dviju promjenljivih) za lokalni ekstrem funkcija dviju ili više promjenljivih b) Objasniti postupak za određivanje lokalnih ekstrema funkcija dviju i funkcija triju ili više promjenljivih (sa i bez upotrebe drugog diferencijala) c) Napisati nužne i dovoljne uvjete lokalnog ekstrema funkcije dviju varijabla To primijeniti na primjeru funkcije 2 2( ) ( )f x y a x b y a b= + isinR 24 a) Preslikavanje (funkcije) iz Rn u Rm Jacobijan i regularno preslikavanje (regularne funkcije) ndash pojam i osnovna svojstva (uz izvođenje svojstva o znaku Jacobijana i o neprekidnosti regularnog preslikavanja) b) Preslikati oblast Sxy = (x y) 1 le x 2 + y 2 le 4 preslikavanjem x = r cosϕ y = r sin ϕ 25 a) Vezani (uslovni uvjetni) ekstremi funkcije više promjenljivih ndash Optimizacija II Zadavanje krive i površi u implicitnoj formi tačke u kojima postoje vezani ekstremi kritične tačke gradijent u kritičnoj tački potreban uslov za lokalni vezani ekstrem funkcije (za lokalni ekstrem funkcije definirane na krivoj na površi Lagrangeovi multiplikatori ndash Lagrangeov postupak za traženje uslovnih ekstrema) b) Dokazati da postoje diferencijabilne funkcije u i v koje zadovoljavaju sistem

jednačina u + v = x + y a zatim naći du(x y) dv (x y) d 2u(1 0) i d 2v 02π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

26 a) Apsolutni (globalni totalni) ekstremi realnih funkcija više promjenljivih b) Naći najmanju i najveću vrijednost funkcije 2 2( ) 2 3z x y x x y y y= + minus +

na oblasti 2 ( ) 0 1 0 1 0 1D x y x y x y= isin le le le le le + leR 27 Šta je operator a šta funkcional Navedite primjere operatora i funkcionala Definirajte pojmove linearnog operatora neprekidnog operatora i operatora kontrakcije a zatim navedite i dokažite bar po jedno svojstvo svakog od tih pojmova 28 Objasnite pojam fiksne (nepokretne) tačke operatora i opišite metod uzastopnih aproksimacija 29 Formulišite Banachov teorem o fiksnoj tački a zatim objasnite njegov značaj i primjenu u teoriji diferencijalnih jednačina 30 Obične diferencijalne jednačinejednadžbe prvog reda ndash Osnovni pojmovikoncepti i ideje opšti oblik diferencijalne jednačine prvog reda njeno partikularno i opšteopće rješenje geometrijsko razmatranje opšteg rješenja (Što je to integralna krivakrivulja) polje smjerova i izokline početni usloviuvjeti problem pronalaženja opštih rješenja jedinstvenost partikularnog rješenja rješenja Cauchyjevog problemazadatka 31 a) Osnovne diferencijalne jednačine prvog reda riješene po izvodu (sa separiranim razdvojenim promjenljivim homogene linearne Bernoullijeva Riccatijeva egzaktna totalnog diferencijala) Eulerov multiplikator b) Metode rješavanja diferencijalnih jednačina Direktna integracija Separacija varijabliVarijacija konstanti c) Obrazložiti kako se općenito rješava linearna diferencijalna jednadžba 1 reda Primijeniti to na primjer xy minus y = 2x

3

32 a) Osnovne diferencijalne jednačine prvog reda koje nisu riješene po izvodu (jednačine koje se rješavaju uvođenjem parametra Lagrangeova jednačina Clairautova jednačina) b) Riješiti diferencijalne jednačine 1) 2 3( ) 2( ) 0y y yminus minus =

2 22) ( )y y x a b yprime prime= + minus 2

II TEORIJSKE OSNOVE ZA DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ IM2 33 a) Objašnjenje na konkretnim primjerima (po vlastitom izboru) opštih metoda za rješavanje homogenih i nehomogenih linearnih diferencijalnih jednačina drugog i višeg reda (s konstantnim koeficijentima i s promjenljivim koeficijentima) b) Neka su 1 2( ) ( )y x y x dva linearno nezavisna rješenja homogenog dijela (za f (x) = 0) linearne diferencijalne jednačine yprimeprime + p (x) yprime + q(x) y = f (x) () Metodom varijacije konstanti izvesti univerzalnu formulu za jedno partikularno rješenje nehomogene linearne ( )y x

diferencijalne jednačine () koje ovisi o rješenjima 1 2( ) ( )y x y x i desnoj strani f (x)

2 11 2

1 2 1 2

( ) ( )( ) ( ) ( )d ( ) ( )d( ) ( ) ( ) ( )

y x y xy x y x f x x y x f x xW y y x W y y x

= minus +int int

gdje obilježava Wronskijan funkcija 1 2( ) ( )W y y x 1 2( ) ( )y x y x ) c) Primjenom prethodnog pravila pod b) (ili metodom pogađanja partikularnog rješenja

ili nekom drugom metodom) pronaći opšte rješenje jednačine 22xey y y

xprimeprime primeminus + =

34 a) Linearna nezavisnost rješenja problem pronalaženja opštih rješenja i problem rješavanja Cauchyjevog problema za diferencijalne jednačine drugog ili višeg reda b) Linearne diferencijalne jednačine s konstantnim koeficijentima ndash homogeni dio Metoda pogađanja partikularnog rješenja Metoda varijacije konstanti Superpozicija partikularnih rješenja c) Objasniti kako se rješava linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima d) Riješiti diferencijalnu jednadžbu y = minus98 y (0) = 103 y (0) = 8 Interpretirati fizikalno značenje diferencijalne jednadžbe i njenog rješenja 35 a) Objašnjenje na konkretnim primjerima (po sopstvenom izboru) osnovnih metoda za rješavanje sistema diferencijalnih jednačina (metoda eliminacije matrična metoda i metoda prvih integrala) posebno sistema linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima b) Primjenom matričnog računa (Eulerovom metodom ili metodom dijagonalizacije matrice sistema) riješiti nehomogeni sistem linearnih diferencijalnih jednačina 3 t xprime minus 2 x minus y + z = 1 2 t y prime minus x minus 3 y minus z = 2 6 t z prime + x minus 7 y minus 5 z = t gdje su x y z realne funkcije realne promjenljive t 36 a) Direktna i inverzna Laplaceova transformacija pojmovi i osnovna svojstva originala (Laplaceovih funkcija) slika (transformat) b) Nađite (direktnu) Laplaceovu transformaciju (sliku) funkcije f zadane formulom

( ) arc cos| sin |f t = t i inverznu Laplaceovu transformaciju L2

12ln 1

sωminus ⎛ ⎞⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

37 Osnovna svojstva Laplaceovih transformacija Laplaceova transformacija izvoda i integrala 38 Jedinična skok funkcijaDiracova impulsna funkcija Periodičke funkcije

4

39 Objasniti kako se rješava diferencijalna jednačina prvog ili višeg reda primjenom Laplaceove transformacije To primijeniti na primjeru rješavanja Cauchyjevog zadatka ( ) 2 ( ) ( ) (0) (0) (0) 0 (0) 1IVy t y t y t t y y y y+ + = = = = = 40 a) Primjene Laplaceove transformacije u rješavanju sistema diferencijalnih jednačina

b)Primjenom Laplaceove transformacije riješiti Cauchyjev problem (za sistem diferencijalnih

jednačina) 2 t tminusx x y y e x x y y e+ + minus = + minus + = (0) (0) (0) 0 (0) 1x y y x= = = =

41 Pojmovi trigonometrijskog reda Fourierovog reda i trigonometrijskog Fourierovog reda Eulerove formule Funkcije s proizvoljnim periodom 42 Razvoj funkcije (parne ili neparne na simetričnom intervalu) u nepotpuni Fourierov red 43 a) Teoreme o egzistenciji Fourierovog reda (Dirichletov teorem i dr) odnosno osnovni rezultati o konvergenciji Fourierovog reda funkcije f i o njegovoj povezanosti s funkcijom f te o vezi trigonometrijskih redova s Fourierovim redovima b) Razviti u Fourierov red funkciju f (x) = [ ]02cos x x πisin i ispitati da li dobijeni red konvergira ka njenom periodičkom produženju f na R a zatim koristeći dobijeni razvoj

naći sumu reda 1

21

1

1

( ) 4

n

n n

minus

ge

minusminussum

44 Kompleksna forma Fourierovog trigonometrijskog reda Fourierov integral kao granični slučaj Fourierovog reda Fourierov integral za parne i neparne funkcije Kompleksna forma Fourierovog integrala Objašnjenje postupka predstavljanja funkcije Fourierovim integralom 45 a) Direktna i inverzna Fourierova transformacija formule za direktnu i inverznu Fourierovu transformaciju veza između Laplaceove i Fourierove transformacije

b) Odrediti Fourierov integral funkcije f zadane formulom ⎩⎨⎧

ge

lt=

minus 000

)(te

ttf

t

46 a) Dvojni integral Dvostruki integral Fizikalna -mehanička i geometrijska interpretacija Svojstva Računanje

b) Izračunati i geometrijski interpretirati 2

2 2

2

d dx

x

x yminusint int

47 Trojni integral Trostruki integral Fizikalna interpretacija Svojstva Računanje 48 Primjene dvojnih i trojnih integrala (Površina ravninskih likova pomoću dvojnog integrala Volumen tijela pomoću trojnih integrala) 49 Objasniti kako se računa površina pomoću dvostrukog integrala To primijeniti na primjeru računanja površine kruga i površine paraboličkog odsječka Objasniti kako se računa obujam pomoću dvostrukog integrala To primijeniti na primjeru računanja obujma kugle i stošca 50 Pojmovi i osnovna svojstva integrala po figuri dvojnog integrala (po pravougaoniku i krivolinijskom trapezu) trojnog integrala (po kvadru i cilindru)(i općenito) n ndashintegrala i višestrukog Riemanovog integrala Teorema srednje vrijednosti za dvojnedvostruke i trojnetrostruke integrale 51 Svođenje n ndash integrala na uzastopne integrale i zamjena promjenljivih u n ndash integralu (višestrukom Riemannovom integralu) Promjena poretka integracije i prijelaz na polarni sistem u dvojnom integralu Prijelaz na cilindrični i sferni sistemsustav u trojnom integralu

52 Elementi vektorske analize (vektorska funkcija više realnih promjenljivih hodograf vektorske funkcije izvod derivacija neodređeni i određeni integral vektorske funkcije

5

jednog skalarnog argumenta Lagrangeova i Taylorova formula za vektorske funkcije jednog skalarnog argumenta vektorske funkcije dva skalarna argumenta i njeni parcijalni izvodi prvog ili višeg reda) 53 a) Elementi diferencijalne geometrije (kriva površ krive i površi klase regularnosti C(n) linije na površi dužina luka krive tangenta krive brzina i ubrzanje vektor krivine glavna normala krivinafleksija (zakrivljenost prva krivina) i poluprečnik krivine krive binormala krive prirodni trijedar (propratni trobrid prostorne krivulje) osnovne ravni (oskulatorna normalna i rektifikaciona) torzija (druga zakrivljenost druga krivina uvijenost) i poluprečnik torzije krive)

b) Naći ortove t n brr r

prirodnog trijedra krive C zadane kao presjek paraboloida čija je jednačina 2 2y x z= + i ravni kojoj je jednačina y z= a zatim naći sve tačke zadane krive

C u kojima je (prva) krivina jednaka broju κ 2 2 54 Izvođenje Frenet - Serretovih formula (tj formula koje opisuju promjenu prirodnog trijedra od tačke do tačke po dijelovima glatke krive čija je vektorska jednačina pri čemu ( )r r t=

r r

funkcija ima izvode do uključivo trećeg reda a koje u proizvoljnoj tački krive imaju ( )r tr

oblik d t nd s

κ=r

r d n d bt bd s d s

κ τ τ= minus + = minus nrr rr r gdje je τ torzija krive)

55 (Krivo)linijski integrali prve i druge vrste (orijentacija krive krivolinijski integral po lukukrivolinijski integral prve vrstekrivolinijski integral po koordinatamakrivolinijski integral druge vrste vektorski (krivo)linijski integral) ndash pojmovi osnovna svojstva i njihovo izračunavanje 56 Transformacija dvojnih integrala u krivolinijske integrale (formulacija dokaz i primjene Greenove teoremeformule u ravni) 57 a) Površinski integrali prve i druge vrste (orijentisana površ strana površi površina površi površinski integral po površini površi površinski integral prve vrste površinski integral po koordinatama površinski integral druge vrste vektorski površinski integral) ndash pojmovi osnovna svojstva i njihovo izračunavanje

b) Izračunati površinski integral 2( )

S

y z a x S+ + minusintint d

ako je S dio cilindra x2 + y2 = a između ravni z = 0 z = h

58 Skalarna i vektorska polja (pojam skalarnog polja izvod u pravcu i gradijent skalarnog polja pojam vektorskog polja (vektorske) linije vektorskog polja prostorni izvod divergencija i rotor vektorskog polja diferencijalni operator nabla (hamiltonijan) nabla Laplaceov operator (ili laplasijan) Δ fluks i cirkulacija vektorskog polja) 59 Klasifikacija vektorskih polja (potencijalno polje i skalarni potencijal vektorskog polja solenoidalno polje i vektorski potencijal vektorskog polja Laplaceovo i lamelarno polje) 60 a) Gaussova (Gauss ndash Ostrogradskog ili Green ndash Gauss ndash Ostrogradskog) teorema formula o divergenciji Stokesova teoremaformula (Izvođenje posljedice i primjene Gaussove formule i Stokesove formule)

b) Pomoću Stocesove formule izračunati cirkulaciju vektorskog polja 2 2 2A y i x j z k= minus +ur r r r

duž konture c koja se dobije presjekom paraboloida 2 2 1x z y+ = minus sa koordinatnim ravnima c) Izračunati površinski integral druge vrste

6