ik,j. - sta va,p.: mechanika tekutinjanalik,j. - sta va,p.: mechanika tekutin 3 2. zakladnı pojmy...
Post on 12-Jan-2020
23 Views
Preview:
TRANSCRIPT
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 1
VYSOKA SKOLA BA NSKA í TECHNICKA UNIVERZITA OSTRAVA
Fakulta strojnıkatedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı
MECHANIKA TEKUTIN
Jaroslav Janalık í Pavel Sá ava
Ostrava
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı2
1. UvodMechanika kapalin a plynu je castı obecne mechaniky, stejnš jako mechanika tuhych tšles.
Zabyva se rovnovahou sil za klidu a pohybu tekutin. Pr i vys etrovanı tohoto pohybu se pouzıva mnoha
poznatku a zakonitostı z mechaniky tuhych tšles. Neprihlızı se pr i tom k “mikrostruktureú pohybu
skutecne tekutiny, tj. k pohybu jejıch molekul, ktery je predmštem kineticke teorie kapalin a plynu.
Vlastnı mechanika kapalin a plynu vyuzıva nškterych experimentalnıch a statistickych hodnot vysledku
kineticke teorie.
Obdobnš jako je v obecne mechanice zaveden pojem hmotneho bodu, vystupuje v ňlohach
hydromechaniky pojem “elementarnı objemú nebo plynu rozumıme objem velmi maly proti rozmšrum
proudu kapaliny, ale dostatecnš velky vzhledem k delce volne drahy molekuly, ze pro pocet molekul
obsazenych v tomto objemu platı statisticke strednı hodnoty kineticke teorie. Pro tento objem se
odvozujı tzv. bilancnı rovnice umoznujıcı definovat zakladnı zakony tj. zakon zachovanı hmoty resp.
energie. Jestlize objem je tak maly, ze nenı splnšn poslednı predpoklad, je nutno pr i res enı jevu
probıhajıcıch v tšchto “tenkych vrstvachú vychazet z kineticke teorie kapalin a plynu.
Zakladnım rozdılem mezi tekutinou a tuhym tšlesem je pohyblivost molekul kapalin a plynu.
Kapaliny a plyny tecou v proudu omezenem pevnymi stšnami nebo tvorı rozhranı tekutin. Tuhe tšleso
naproti tomu se pohybuje jako tuhy celek hmotnych bodu, neprihlızıme-li k nepatrnym deformacım.
Kapalina podleha znacnš všts ım volnym deformacım.
K urcenı zakladnıch rovnic rovnovahy za klidu a pohybu tekutin jsou postacujıcı dvš vlastnosti,
a to spojitost a stejnorodost (izotropie).
Hydromechanika res ı všts inu svych ňkolu na elementarnıch objemech tekutiny, pro nšz
sestavuje rovnice rovnovahy. Tyto zakladnı diferencialnı rovnice integruje a pouzitım okrajovych,
prıpadnš pocatecnıch, podmınek zıskava res enı. K urcenı rovnovahy pouzıva vs eobecnš platnych všt
z mechaniky.
Zıskany matematicky model se pak res ı buť exaktnš ci hlavnš v poslednıch letech numericky.
Pokud exaktnı res enı bylo z hlediska slozitosti rovnic nedostupne a tez z potreby verifikace
numerickeho res enı se pristupuje k experimentu ze ktereho vyplyva empiricke ci poloempiricke
res enı.
Recenzent: Prof.Ing. Jaroslav Kopacek, CSc.
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 3
2. Zakladnı pojmy
2.1. Tekutina
Pri res enı ňloh v hydromechanice se vychazı z predstavy tekutiny jako spojiteho, stejnorodeho
prostredı. Stejnorodostı neboli izotropiı rozumıme stejne vlastnosti vs ech castecek kapaliny nezavisle
na jejich poloze a smšru pusobenı sil. Tento predpoklad umoznuje vyhodnš res it ňlohy mechaniky
kapalin na zvolenem ,velmi malem objemu kapaliny, a odvozene zakonitosti rozs ır it na cely objem.
Pri pohybu kapaliny vnımame jen jejı strednı pohyby. Ve skutecnosti jejı pohyb je slozitšjs ı a
porus uje tım izotropii tekutiny, ktera se vs ak neustalymi zmšnami molekularnı struktury znovu
obnovuje.
V hydromechanice je zaveden pojem idealnı neboli dokonale tekutiny, ktera nema vnitrnı trenı
(bez vazkosti) a je nestlacitelna. Tento pojem, ac nevystihuje skutecnost, si vytvoril clovšk, nebo–
dovoluje odvodit jednodus eji nšktere zakonitosti. Dokonala tekutina muze by t namahana jen tlakem,
zatım co vazka (skutecna) tekutina muze by t vedle toho namahana jistou smykovou silou (za pohybu).
Tekutina je latka, ktera se na rozdıl od tuhych tšles vzdy nevratnš deformuje. Nema vlastnı
tvar a za pusobenı nepatrnych tecnych sil se castice tekutiny snadno uvedou do pohybu (vy jimkou
jsou nšktere anomalnı Ú nenewtonske kapaliny).
Tekutiny se dšlı na
1. nestlacitelne, ktere pusobenım tlaku, normalnych sil, jen nepatrnš mšnı svuj objem Ú sem patrı
kapaliny. Male objemy kapalin tvorı kapky. Kapaliny zaujımajı tvar nadoby, vyplnujı jejı spodnı cast
a vytvarejı volnou hladinu
2. stlacitelne tedy i rozpınave, ktere vyplnujı vzdy cely objem nadoby. Podle toho zda jejich stav je
blızko ci daleko bodu zkapalnšnı jsou to buť pary nebo plyny. Spolecny nazev je vzdus iny.
Stav tekutiny nachazejıcı se v rovnovaze muze by t urcen tlakem, hustotou a teplotou.
a) Mšrny tlak p (v praxi zpravidla oznacovan jen tlak) je roven pomšru elementarnı tlakove sıly Fd
pusobıcı kolmo na elementarnı plos ku Sd (viz obr.2.1):
][Paddp
SF
=
y
z
x
dS
dFdS
p=dF
Obr.2.1 Urcenı lokalnı hodnoty tlaku
Mens ı hodnoty tlaku lze mšrit pomocı sloupce kapaliny piezometrickou trubicı (obr.2.2)
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı4
pa
ρ
pb
ap
hh
pnp
pb
pb
podtlak
ppretlak
pa
pa
barometricky tlak
Obr.2.2 Mšrenı tlaku
Obr. 2a Mšrenı tlaku piezometrickou trubicı, je-li v nadobš tlak všts ı nez je tlak barometricky
Obr. 2b Schema mšrenı barometrickeho tlaku pb rtu–ovym barometrem, pnp je tlak nasycenych par
Obr. 2c Absolutnı tlak par pa, pretlak a podtlak se odecıtajı od barometrickeho tlaku.
Je-li nad hladinou kapaliny v uzavrene nadobš tlak pa všts ı nez barometricky tlak pb, ktery
pusobı na hladinu kapaliny v otevrenem konci piezometricke trubice, pak hladina v trubici se ustalı ve
vys ce h. Pusobı-li na kapalinu jen gravitacnı zrychlenı, vytvorı se vodorovna hladina, coz je soucasnš
geometricke mısto bodu se stejnym tlakem rovnym barometrickemu tlaku. Vs echny vodorovne roviny
budou take izobaricke plochy, ale protoze na castice nıze polozene bude pusobit svou tıhou castice
kapaliny nadchazejıcı se nad nimi, bude tlak s hloubkou narustat. Na vodorovne rovinš prochazejıcı
hladinou v nadobš, obr.2.2a, je vs ude tlak roven pa soucasnš je tento tlak i v piezometricke trubici
v hloubce h pod hladinou, tj. v mıstech, kde zmınšna vodorovna rovina protına. Zde je mozno
definovat podmınky rovnovahy. Uvolnšme si nynı tento sloupec kapaliny. Z rovnovahy sil pusobıcıch
na sloupec kapaliny o vys ce h a o prurezu S nachazejıcı se v trubici:
SphSgSp ab =+ ρ
plyne, ze absolutnı tlak
hgpp ba ρ+= ( 2.1 )
resp. pretlak
hgppp ba ρ=−= ( 2.2 )
Absolutnı tlak se odecıta od nulove hodnoty tlaku, pretlak a podtlak se odecıtajı od
barometrickeho tlaku (obr.2.2c). Na obr.2.2b je naznaceno mšrenı barometrickeho tlaku rtu–ovym
barometrem: vzduch pusobı na hladinu rtuti v nadobce manometru tlakem a vytlacı do vakuovane
trubice rtu–ovy sloupec do vys e h. Nad hladinou rtuti v trubici je tlak roven jejımu tlaku nasycenych par.
b) Hustota ρ (mšrna hmotnost) je rovna pomšru hmotnosti elementarnı castice tekutiny dm k jejımu
elementarnımu objemu dV, obklopujıcımu bod, v nšmz hustotu urcujeme
dVdm
=ρ [kg.m-3]( 2.3 )
Prevratna hodnota hustoty je mšrny objem v
dmdVv ==
ρ1
[m3.kg-1]
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 5
Hustota kapalin se mšnı s tlakem a teplotou jen nepatrnš a budeme ji povazovat za konstantnı:
ρ = konst.
Hustota plynu je funkcı stavovych velicin tj. tlaku p a teploty T ( K). Pro jejı vypocet se bude pouzıvat
jednoducha stavova rovnice idealnıho plynu
Trppv ⋅==ρ ( 2.4 )
kde r (J.kg-1.K-1) je mšrna plynova konstanta, jejız velikost zavisı na druhu plynu.
c) Teplota T (°C, K). V nas em prıpadš se proudšnı bude povazovat vzdy za izotermnı T=konst. Udaj
teploty bude slouzit jen pro presne urcenı parametru tekutiny jako je hustota a viskozita.
2.2. Fyzikalnı vlastnosti tekutin
Kvantitativnı vztahy v hydromechanice se vyjadrujı rovnicemi, grafy, diagramy apod. Veliciny a
jejich mšrove jednotky jsou urceny Mezinarodnı mšrovou soustavou SI (Systeme International
dČUnites), kterou uvadı C SN 01 1300, C SN 01 1301 a dals ı. Zakladnımi velicinami jsou delka,
hmotnost, cas, elektricky proud, termodynamicka teplota, latkove mnozstvı, svıtivost a doplnkove
veliciny rovinny ňhel a prostorovy ňhel. Zakladnımi jednotkami jsou (C SN 01 1300) metr, kilogram,
sekunda, amper, kelvin, mol, kandela a doplnkove jednotky radian a steradian. V mechanice, a tım i
hydromechanice, se vystacı pri formulaci poznatku s tšmito zakladnımi velicinami: delka L [m],
hmotnost m [kg], cas t [s]. Ostatnı veliciny jsou odvozene veliciny na zakladš definicnıch rovnic (C SN
01 1310). Zakladnı a odvozene veliciny zalozene na soustavš definicnıch rovnic tvorı soustavu velicin.
Veliciny, ktere urcujı fyzikalnı vlastnosti kapalin a s nimiz se v hydromechanice nejcastšji
pocıta jsou tyto:
Objemova stlacitelnost je vlastnost tekutin a tšles zmens ovat svuj objem pri zvys ovanı
tlaku. Stlacitelnost se vyjadruje soucinitelem stlacitelnosti , kdy ňbytek objemu vyvolany stlacenım
splnuje rovnici
pV
V∆
∆=
1δ
kde ∆V je ňbytek objemu V zpusobeny tlakem ∆p.
Prevracena hodnota objemove stlacitelnosti κ je modul objemove pruznosti kapaliny
dVdpVK −==
δ1
( 2.5 )
Z predchazejıcıch rovnic vyplyva vztah pro objem kapaliny po stlacenı
∆
−=KpVV 10
( 2.6 )
Pri stlacovanı kapaliny se jejı hmotnost nemšnı, proto lze psat m = ρ V = konst.
Diferencovanım se dostane ρ.dV + V.dρ = 0, z cehoz pro mšrnou objemovou zmšnu vyplyva vztah
ρρd
VdV
−= . Modul objemove pruznosti kapaliny lze tedy vyjadrit takto
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı6
ρρ
ddpK =
Rozmšr modulu objemove pruznosti kapalin pripomına modul pruznosti v tahu tuhych latek, tj.
tlak, ktery za predpokladu, ze stlacitelnost je konstantnı, nezavisı na tlaku a platı neomezenš, zmens ı
puvodnı objem kapaliny na polovinu (analogie Hookeova zakona). Pro vodu je modul objemove
pruznosti K ≅ 2,1⋅109 Pa
Stlacitelnost lze rovnšz charakterizovat rychlostı zvuku a, to je z rychlostı, kterou se ve
stlacitelnem prostredı s ırı male zmšny tlaku. Za predpokladu izoentropicke (adiabaticke) stavove
zmšny pro rychlost zvuku platı
rTpddpKa κ
ρκ
ρρ====
( 2.7 )
κ je izotermicky exponent 1,4
Teplotnı roztaznost tekutin charakterizuje zmšnu objemu a hustoty tekutin. Soucinitel
objemove roztaznosti je
konstptV
V =
∆∆
=1
β , kde ∆V je Vo-V( 2.8 )
Z teto rovnice vyplyva vztah pro objem po zahratı
( )tVV ∆+= β10( 2.9 )
Viskozita tekutin se projevuje za pohybu skutecnych kapalin. Pohybujı-li se sousednı vrstvy
kapaliny ruznymi rychlostmi, vznika na jejich rozhranı smykove trenı, ktere branı pohybu. Pomalejs ı
vrstva je zrychlovana a naopak zase rychlejs ı zbrzťovana. Zmens enı rychlosti je zpusobeno tecnou
silou, ktera je vyvolana vnitrnım trenım nebo viskozitou ci vazkostı kapaliny.
Poznamka: vazkost lze vysvštlit pomocı kineticke teorie kapalin. Molekuly, kterou se pohybujı
postupnou rychlostı, konajı vedle hlavnıho pohybu vlastnı pohyby velmi rychle a v ruznych smšrech.
Drahy, ktere probšhnou molekuly sekundarnım pohybem jsou velmi male, ale postacujı k tomu, aby
pronikly mys lenou dšlıcı rovinou mezi vrstvami kapaliny. Dals ı sıly, ktere se pri tšchto pohybech
uplatnujı jsou mezimolekularnı. Tyto sıly brzdı popsany pohyb.
U plynu, jejichz tepelny pohyb molekul prevlada nad silami mezimolekularnımi, vzrusta
zvys enım teploty rychlost tepelneho pohybu molekul a tım vzroste i viskozita plynu. Tento poznatek je
ve shodš se skutecnostı.
U kapalin je tomu obracenš. U nich jsou jes tš dosti vyrazne mezimolekularnı sıly proti
tepelnemu pohybu molekul. Zvys enım teploty dochazı k intenzivnšjs ı vymšnš hybnostı castic
v pohybujıcıch se vrstvach kapalin a tecne napštı se zmens uje. U kapalin klesa vazkost s rostoucı
teplotou.
Smykove napštı (tecne) od vazkosti nebo zkracenš vazke napštı je urceno klasickou formulı
podle Newtona
dydv
ητ =( 2.10 )
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 7
kde η je dynamicka vazkost
dydv
je gradient rychlosti ve smšru kolmem na smšr pohybu
V soustavš SI je rozmšr koeficientu dynamicke vazkosti
[ ] sPasm
kgm
sN⋅=
⋅=
⋅= 2η
( 2.11 )
Ve vy poctech se velmi casto vyskytuje vy raz ρη
, ktery je oznacovan
jako kinematicka vazkost.
ρη
=v( 2.12 )
Rozmšr kinematicke viskozity vyplyva z definice
[ ] 123
−⋅=⋅
= smkgm
smkg
υ ( 2.13 )
Rozmšr kinematicke viskozity neobsahuje jednotky hmotnosti ani sıly.
Rozmšr dynamicke vazkosti obsahuje jednotku sıly, proto byla tato vazkost oznacena jako
dynamicka, nebo– v dynamice se vys etrujı prıciny pohybu, tj. sıly.
Dynamicka a kinematicka vazkost zavisı na druhu tekutiny. Jejich hodnoty jsou pro všts inu
tekutin tabelovany. Vazkost kazde tekutiny zavisı na teplotš a tlaku, tedy na stavovych velicinach. Tyto
zavislosti jsou dany poloempirickymi rovnicemi, tyto jsou uvadšny v odborne literature.
Vazkost kapalin se mšrı viskozimetry, z nichz nejbšznšjs ı jsou kapilarnı, vy tokove,prutokove, rotacnı,
tšlıskove a jine.
Jako vy tokovy viskozimetr se v Evropš nejcastšji pouzıva viskozimetr Engleruv. Mšrıtkem
vazkosti jsou Englerovy stupnš E se urcı jako pomšr vytoku τ zkoumane kapaliny o objemu 200 cm3
pri urcite teplotš t k vy tokove dobš τv vody pri 20 °C z tehoz viskozimetru Ú neboli v
Eττ
= . Vy tokova
doba musı byt v rozmezı (50 az 52)s, velikost a tvar Englerova viskozimetru jsou dany normou. Pro
prepocet Englerovych stupnu slouzı empiricke vzorce, napr.
61031.631.7 −⋅
−=
EEν ; [ ]
sm2
=ν( 2.14 )
dy
v+dv
vτ−τ
Obr.2.3 Smykove napštı od
gradientu rychlosti
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı8
Povrchove napů tı. Kapalina na rozhranı se vyznacuje odlis nymi
vlastnostmi, prıznacnymi pro ostatnı objem kapaliny. Rozhranı kapaliny
se jevı jako potazene velmi tenkou a napjatou vrstvou. Prıcinou
povrchoveho napštı jsou sıly pusobıcı mezi molekulami kapaliny. Uvnitr
kapaliny je kazda molekula obklopena ostatnımi ze vs ech stran, takze
se jejich pritazlive sıly vyrovnavajı. U rozhranı jsou molekuly obklopeny
jen z jedne strany, jejich sıly se nevyrovnavajı z druhe strany, a proto
na molekulu pusobı sıla R smšrujıcı dovnitr kapaliny. Ponšvadz
pusobenı jednotlivych molekul je omezeno na velmi malou oblast, projevuje se tato nerovnovaha
mezimolekularnıch sil jen v nepatrne vrstvš kapaliny na hladinš. Pri premıstšnı castecky kapaliny na
rozhranı, se vykona silou R prace. Molekuly na rozhranı majı vys s ı potencialnı energie proti
molekulam uvnitr kapaliny. Povrchove napštı je pomšr povrchove energie k plos e rozhranı SEa=σ .
Povrchove napštı se definuje tez jako sıla, ktera pusobı na jednotku delky rozhranı , a to kolmo k teto
delce, a v rovinš povrchu.
Sıla, kterou je napr. mydlinkova blana roztahovana v ramecku s posuvnymi tyckami AB a CD
(kazda delky l), je dana vy razem lF ⋅= σ , neboé de lka namahaneho povrchu je l a povrchove napštı
je σ. Zvšts ı-li se povrch blany roztazenım o delku dx, vykona se prace dA = F dx = σ l dx. Touto
pracı se zvšts ı povrchova energie kapaliny. Na jednotku delky rozhranı pripada tedy sıla
σσ
===dxlldx
dxldA
lF
[N.m-1] ( 2.15 )
Povrchove napštı urcite kapaliny zavisı na druhu latek,
ktere tvorı rozhranı. Kapalina se muze stykat s pevnou latkou,
kapalinou nebo plynem. Vznik povrchoveho napštı byl vysvštlen
nerovnovahou molekularnıch sil za predpokladu, ze kapalina
s nicım nesousedı. Ve skutecnosti je vzdy obklopena jinou
latkou, a– pevnou, kapalnou, ci plynnou, a proto
mezimolekularnı sıly od vlastnı kapaliny se budou vyrovnavat s
kvalitativnš stejnymi silami sousednıho prostredı. Vysledne
povrchove napštı bude dano vektorovym souctem obou slozek.
Kapilarita se vyskytuje u trubicek velmi maleho prumšru Ú
kapilar, nebo v poreznım prostredı. Kdyz adheznı sıly jsou všts ı
nez koheznı, vystupuje kapalina v kapilare do vys ky h. V opacnem prıpadš, kdy koheznı sıly jsou všts ı
nez adheznı, zustava kapalina v kapilare o vys ku h nıze nez je hladina okolnı kapaliny. Prıslus ne
vys ky h se dajı spocıtat z podmınky rovnovahy mezi gravitacnımi silami a povrchovymi silami:
ghdd ρπ
σπ 24
= z cehoz gdh
ρσ4=
( 2.16 )
R=0 R≠0
Obr. 2.4 Sıly uvnitr kapaliny
a poblız rozhranı
B`
B
dx
DC
A`
A
l
F
F
obr. 2.5 K definici povrchoveho
napštı
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 9
Poslednı vztah se da pouzıt tez k urcenı povrchoveho napštı σ .
Povrchove napštı vody je σ = 0,072 Nm-1 = 0,072 kg s-2.
Tlak nasycenych par je hodnota tlaku par nad hladinou
kapaliny, pr icemz nastava rovnovaha mezi poctem molekul
opous tšjıcıch kapalinu a vracejıcıch se zpšt. U jednoslozkovych
kapalin zavisı pouze na teplotš a roste s teplotou. C ım je tlak
nasycenych par kapaliny pri dane teplotš vys s ı, tım je kapalina
tškavšjs ı. Tlak nad hladinou kapaliny musı by t vys s ı, nez je tlak
nasycenych par, jinak by mohlo dojıt k prudkemu odparenı
(varu). Klesne-li tlak uvnitr kapaliny pod hodnotu tlaku nasycenych par, dochazı ke vzniku kavitace.
Tlak nasycenych par pro vodu se da odecıst z parnych tabulek.
2H O
dF Fka >
h
aF F
H g
h
< kd
Obr. 2.6 Kapilarnı elevace a
deprese
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı10
3. Tlakove pomů ry v kapalinů za klidu
3.1. Tlak a jeho pu sobenı
Hydrostatika se zabyva rovnovahou sil pusobıcıch na kapalinu za klidu. Rovnovaha kapaliny
za klidu nastane tehdy, kdyz jejı castice se vuci sobš nepohybujı, to znamena, ze tvar objemu
kapaliny se nemšnı. V tom prıpadš je u skutecne kapaliny smykove napštı od vazkosti nulove a
vs echny rovnice platı i pro skutecnou kapalinu. Do hydrostatiky patrı i prıpady relativnıho klidu, kdy
kapalina vuci stšnam je v klidu, ale cela soustava (nadrz + kapalina) konajı pohyb. Sıly, ktere mohou
pusobit na kapalinu lze rozdšlit obecnš do dvou skupin, a to sıly plos ne a hmotnostnı (neboli
objemove).
Plos ne sıly (tez povrchove) pusobı na povrch uvazovaneho objemu kapaliny, proto jejich
velikost zavisı na velikosti plochy Fp =p. S. Plos ne sıly jsou napr. tlak kapaliny, trenı od vazkosti
pohybujıcı se kapaliny, apod. Hmotnostnı sıly jsou ňmšrny hmotnosti, (ktera je ňmšrna objemu
kapaliny), Fm =a. m=aρ V. Jsou to napr. tıha kapaliny, setrvacna sıla, odstrediva sıla apod.
Tlak kapaliny je tlakova sıla, pusobıcı na jednotku plochy. Je-li tlak rovnomšrnš rozlozen, je
dan pomšrem
SFp =
Pri nerovnomšrnem rozlozenı tlaku je dan obecnš
dSdFp = .
Tlak pusobı vzdy kolmo na plochu a v urcitem mıstš je ve vs ech smšrech stejny , nezavisı tedy
na sklonu plos ky, na kterou pusobı. Toto tvrzenı si nynı dokazeme. Kdyby pusobila na plos ku sıla dFnikoliv ve smšru normaly, dala by se rozlozit na slozku normalnou a tecnou. Tecna slozka tlaku by si
vynutila pohyb castecek kapaliny, ktere nekladou vzajemnemu posunutı odpor. Protoze tekutina je
v klidu, musı tlak pusobit kolmo na plochu.
Z toho plyne, ze na tekutinu nachazejıcı se ve stavu
rovnovaznem mohou pusobit jen sıly normalne, resp. napštı.
V technicke praxi se bude jednat vzdy o tlak, nebo– jen dokonale ciste a
odvzdus nšne kapaliny mohou odolavat tahu. Pevnost v tahu specialnš
neupravenych kapalin je pr ibliznš rovna nule a ve vypoctech
predpokladame, ze k porus enı kontinuity kapaliny dojde v mıstech, kde
tlak klesne pod hodnotu tlaku nasycenych par a dojde zde k varu Ú
zmšnš faze.
Velikost tlaku v urcitem mıstš uvnitr kapaliny, tj. hydrostaticky
tlak ph, nezavisı na smšru a je tedy skalarnı velicinou.
Pri odvozovanı tohoto tvrzenı se predpoklada, ze tlak na stšnach ctyrstšnu ( obr. 3.2) je ruzny
(px , py , pz). Na s ikmou stšnu pusobı tlak p a tudız tlakova sıla dF = p dS. Tento tlak pusobı ve smšru
dF
dFn
dFtdS
Obr.3.1 Pusobenı tlakovych
sil na stšnu nadoby
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 11
normaly plochy dS , jez svıra s osami x, y, z ňhly α, β, γ . Ponšvadz tekutina je v klidu, musı by t
splnšny staticke podmınky rovnovahy sil:
∑ ∑ ∑ === ;0;0;0 zyx FFF ∑ ∑ ∑ === 0;0;0 zyx MMM
Ponšvadz tlaky na plochu ctyrstšnu jsou konstantnı, pusobı vysledne tlakove sıly v tšzis tıch
trojňhelnıku. Plochy trojňhelnıku dSx , dSy a dSz jsou prumšty plochy dS , coz platı i o jejıch tšzis tıch.
Take vysledne tlakove sıly se protınajı v jednom bodš a momentove podmınky rovnovahy jsou
splnšny. Stacı tedy uvazovat jen zbyvajıcı podmınky rovnovahy sil. Ve smšru osy x pusobı tlakova sıla
dFx a slozka tlakove sıly dF do smšru osy x, tj. dF cosα . Ostatnı sıly jsou kolme na osu x , a proto
jejich slozky jsou nulove.
Prvnı podmınka staticke rovnovahy sil je dana v nas em prıpadš rovnicı
0cos =− αdFdFx( 3.1)
Po dosazenı drıve uvedenych vyrazu dostaneme
0cos =− αdSpdSp xx
O plochach dS a dSx bylo uvedeno, ze dSx je
prumštem plochy dS , pro ktery platı dSx = dS cosα .
Podmınka rovnovahy sil se upravı pomocı poslednı rovnice
a dostane se pro smšr osy
xpp = ( 3.2 )
Podobnš druhe dvš podmınky rovnovahy sil jsou dany
rovnicemi
βββ cos;cos;0cos dSdSdSpdSpdFdF yyyy =−=−
cili ypp =
γγγ cos;cos;0cos dSdSdSpdSpdFdF zzzz =−=− cili zpp =
Vyplyva tedy z podmınek staticke rovnovahy sil rovnost tlaku na plochach ctyrstšnu
zyx pppp === ( 3.3 )
S ikma plocha dS byla zvolena libovolnš. Vysledek lze zevs eobecnit: Tlak pusobı v danem
mıstš kapaliny vs emi smšry stejnš a nezavisı na sklonu plochy, tzn., ze tlak je skalarnı velicina. Tento
zakon platı obecnš. Je treba poznamenati, ze v jinem mıstš kapaliny bude hodnota tlaku obecnš jina,
matematicky vyjadreno
p = p(x, y, z)
x
y
z
dFx
dSx px
dSy py
dS p
dF α, β, γ
dFy
dSz pz
dFz
Obr.3.2 K odvozenı zakona o s ırenı
tlaku
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı12
3.2. Eulerova rovnice hydrostatiky
Obecnym ňkolem hydrostatiky je
urcenı tlaku v libovolnem mıstš tekutiny, ktera
je v rovnovaze, tj. stanovenı skalarnıho pole
p = p(x, y, z). Ukol rozlozıme do etap.
Pomocı Eulerovy rovnice hydrostatiky urcıme
prırustek tlaku v nekonecnš blızkem bodš a
integracı tšchto rovnic podel krivkoveho
integralu stanovıme pak konecny rozdıl tlaku
mezi pocatecnım a konecnym bodem krivky.
Eulerova rovnice hydrostatiky je obecna
podmınka rovnovahy sil pusobıcıch na
kapalinu v klidu. Na kapalinu nech– pusobı
obecnš hmotnostnı sıla Fo a vyslednice tlakovych sil Fp. Rovnovaha sil je vyjadrena rovnicı
0=+ pFF . Na jednotku hmotnosti kapaliny pusobı z vnšjs ku sıla aF=
mo , coz je zrychlenı, ktere se
da rozepsat pomocı slozek zyx kajaia ++=a . Zvolı se elementarnı objem kapaliny ve tvaru
hranolku o stranach dx, dy a dz rovnobšznych se zvolenymi osami x, y, z. Tlakove sıly zpusobene Fo
pusobı na povrchu hranolku, a to ve trech kolmych smšrech. Protoze plos ky jsou nekonecnš male, je
mozne povazovat tlak za konstantnı. Na plos ku dydz pusobı tlakova sıla ve smšru osy x, a proto je
oznacena dFx. Podobnš v ostatnıch smšrech pusobı tlakove sılu dFy na plos ku dxdy a tlakova sıla dFz
na plos ku dxdz. Podmınka rovnovahy vyplyva opšt z obecnych podmınek staticke rovnovahy sil.
Protoze vs echny sıly pusobıcı na hranolek prochazejı jednım bodem (tšzis tšm hranolku), jsou splnšny
momentove podmınky. Ve smšru osy x pusobı na zvoleny hranolek plos ne sıly dFx1 a dFx2 na dvš
plos ky dydz, jejıchz normaly jsou rovnobšzne s osou x. Tlakova sıla na levou plos ku dSx1 je urcena
velikostı plos ky dSx1 a tlakem p, cili platı vztah dFx1 = p dy dz. Na pravou plos ku dydz, ktera je
vzdalena od leve plos ky o delku dx, pusobı tlak p + dpx, nebo– obecnš je tlak kapaliny funkcı polohy p
= p(x, y, z), a tlakova sıla je urcena vztahem dFx2 = (p + dpx) dy dz. Tlak dFx2 pusobı opacnym
smyslem nez je kladny smysl osy x, proto vyslednice uvedenych tlaku je dFpx = dFx1 ř dFx2. Ostatnı
plos ne sıly majı smšr kolmy na osu x, proto jejich slozky jsou nulove a vypocıtana sıla dFpx je
vyslednicı vs ech vodorovnych slozek tlakovych sil. Kromš plos nych sil (tlakovych) pusobı na zvoleny
hranolek kapaliny hmotnostnı sıla. Jejı slozka ve smšru osy x bude dana vztahem dFox = dm ax, kde
dm je hmotnost hranolku kapaliny a ax je slozka zrychlenı (hmotnostnı sıla na jednotku hmoty) ve
smšru osy x. Hmotnost dm se da vyjadrit pomocı objemu hranolku dm = ρ dV = ρ dx dy dz, takze
objemova sıla dFox = ρ ax dx dy dz. Pro rovnovahu sil ve smšru osy x musı tedy platit
0=+ oxpx dFdF , 021 =+− oxxx dFdFdF
( ) 0=++− dzdydxadzdydppdzdyp xx ρ
( 3.4 )
a po ňpravš
p p+dpxdx
dy
axdFx1 dFx2
x
z
y
dxdy
dz
dFx1 dFx2
dFy1
dFy2
x, y, z
dFz1
dFz2
σxσy σz
0
Obr.3.3 K odvozenı Eulerovy rovnice hydrostatiky
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 13
0=− xx dpdxaρ ( 3.5 )
Protoze tlak kapaliny je obecnš funkcı polohy, platı p = p(x, y, z) a prırustek tlaku je
dzzpdy
ypdx
xpdp
∂∂
+∂∂
+∂∂
=( 3.6 )
Kazdy clen prave strany poslednı rovnice udava zmšnu tlaku pri diferencialnı zmšnš prıslus nych
souradnic. Jejich fyzikalnı vyznam je tedy prırustek tlaku pri posunutı ve smšru naprıklad osy x, takze
dxxpdpx ∂
∂= . Podobnš v ostatnıch smšrech platı dy
ypdp y ∂
∂= a dz
zpdp z ∂
∂= . Pomocı poslednıch
vztahu se upravı odvozena rovnice rovnovahy sil dosazenım za dpx takto:
0=∂∂
− dxxpdxaxρ
01=
∂∂
−xpax ρ
( 3.7 )
coz je hledana obecna podmınka rovnovahy sil ve smšru osy x.
Pro slozky ve smšru os y a z lze psat zcela analogicky rovnice
01=
∂∂
−ypa y ρ
( 3.8 )
01=
∂∂
−zpa z ρ
( 3.9 )
Poslednı tri rovnice vyjadrujıcı podmınky rovnovahy kapalin za klidu jsou Eulerovy rovnice
hydrostatiky.
Jestlize poslednı rovnice napıs eme vektorovš a secteme, dostaneme jednu rovnici
01=− gradp
ρa
( 3.10 )
kde a je vysledne zrychlenı vnšjs ıho siloveho pole
zyx aaa kjia ++= ( 3.11 )
a gradient tlaku urceny vztahem
zp
yp
xpgradp
∂∂
+∂∂
+∂∂
= kji( 3.12 )
Eulerova rovnice hydrostatiky je zakladnı rovnicı k urcenı tlaku v poli tlakovych sil. Z Eulerovy
rovnice vyplyva, ze tlak v kapalinš zavisı na hmotnostnıch silach. Obecnš lze psati pro zmšnu tlaku
drıve uvedenou rovnici
dzzpdy
ypdx
xpdp
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
Ponšvadz gradienty tlaku ve vs ech smšrech se dajı vyjadrit hmotnostnımi silami z Eulerovych rovnic
xaxp
ρ=∂∂
, yayp
ρ=∂∂
, zazp
ρ=∂∂
, je hledana obecna diferencialnı rovnice pro tlak dana vztahem
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı14
( )dzadyadxadp zyx ++= ρ ( 3.13 )
Toto je obecna diferencialnı rovnice tlakove funkce p(x, y, z).C leny v zavorce jsou souciny hmotnostnıch sil a prıslus nych posunutı ve stejnem smšru, takze
jejich fyzikalnı vyznam je prace pripadajıcı na jednotku hmotnosti. Integracı poslednı diferencialnı
rovnice se urcı tlakove funkce
( ) ( )zyxpdzadyadxap zyx ,,=++= ∫ ρ( 3.14 )
3.3. Hladinove plochy
Hladinove plochy jsou mısta s konstantnı hodnotou skalarnı veliciny, poprıpadš s tlakem
p = konst.. Prırustek tlaku mezi dvšma body lezıcımi na stejne hladinš musı by t roven nule, coz platı i
pro soumezne body, dp = 0. Dosazenım do (rov.3.13) dostaneme obecnou rovnici hladinovych ploch
v diferencialnım tvaru
0=++ dzadyadxa zyx( 3.15 )
Hladinove plochy jsou vzdy kolme k vektoru intenzity hmotnostnıch sil a . Platı zde dp=0
Dosazenım do (3.13) dp = 0 = ρ a cosψ dr plyne, ze cosψ = 0, a tedy ψ =2π
,S a dr jsou od nuly
rozdılne. Tım je dokazano, ze tlakove plochy jsou kolme na vysledne zrychlenı, tedy na vyslednou
hmotnostnı sılu.
Ve smšru vektoru a , ktery je shodny se smšrem normaly k hladinove roste tlak nejrychleji, nebo–
s
a
ds
a
p = konstλ λ
λ = 90 o
as
Obr.3.4 Rez soumeznymi hladinovymi plochami
bdrdp
dndp
⟩ .( 3.16 )
Hladinove plochy majı v ňlohach hydrostatiky velky vyznam, predevs ım vs ak hladinova
plocha rozhranı mezi okolnım ovzdus ım a kapalinou.
3.4. Rozlozenı tlaku v kapalinů
Na kapalinu v nadobš pusobı z hmotnostnıch sil jen tıze zemska. V libovolnem mıstš kapaliny
bude tlak p(x, y, z) urcen diferencialnı rovnicı (3.13) odvozenou v predchozıch odstavcıch
( )dzadyadxadp zyx ++= ρ .
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 15
Za pusobenı jen tıze zemske je ay = -g , ax = az = 0. Zrychlenı tıze zemske je nutno dosadit se
zapornym znamenkem, ponšvadz tıze pusobı opacnym smyslem nez je zvoleny smysl osy y.
Diferencialnı rovnice se tedy zjednodus ı
gdydp ρ−=
a integral je
.konstgyp +−= ρ ( 3.17 )
Integracnı konstanta se urcı z okrajove podmınky. Na rozhranı kapaliny je tlak ovzdus ı.
Pro tuto hladinu platı y = h0 , p = p0. Dosazenım do poslednı rovnice se vypocte integracnı konstanta:
konstghp +−= 00 ρ
z cehoz
00 ghpkonst ρ+=
a hledana zavislost tlaku je
( )yhgpghpgyp −+=++−= 0000 ρρρ
a dosazenım h = y0 ř y se dostane
ghpp ρ+= 0( 3.18 )
kde h je svisla vzdalenost uvazovaneho mısta v kapalinš od hladiny tlaku ovzdus ı. Jestlize uvazovany
bod lezı pod hladinou, je h > 0 (kladne); kdyz je bod vys e nez hladina tlaku ovzdus ı je h < 0(zaporne). Uvedeny vztah platı pro kapaliny, na nšz pusobı tıze zemska, a to nestlacitelne, nebo– pr i
integraci byla mšrna hmotnost povazovana za konstantu.
Tlakove hladiny v kapalinš za
pusobenı tıze zemske jsou vodorovne
roviny. Pri odvozenı rovnic tlakovych hladin
se predpoklada, ze nadoba s tekutinou nenı
rozlehla tak, aby bylo nutne prihlızet
k zakrivenı povrchu zemskeho. Pro nadoby
s malymi plochami vzhledem k zemskemu
povrchu se tedy predpoklada, ze gravitace
pusobı svisle dolu, a to ve vs ech mıstech
nadoby. Za tohoto predpokladu je rovnice tlakovych hladin
Odyg =− , ( 3.19 )
coz vyplyva z obecne diferencialnı rovnice pro tlakove hladiny po dosazenı hmotnostnıch sil
uvazovaneho prıpadu ay = -g , ax = az = 0. Integracı se dostane rovnice tlakovych hladin gy = konst,
coz jsou rovnice vodorovnych ploch: y = konst.Tlak se da vyjadrit absolutnı nebo relativnı hodnotou. Absolutnı tlak je vztazen k absolutnı
nule, tj. k vakuu, zatımco relativnı tlak je vztazen od smluvene hodnoty tlaku, kterym je tlak ovzdus ı.
Platı tedy
y
p0
h
yg
h
0 p
ghρ
x h0
p0
p0
h0
Obr.3.5 Kapalina pri pusobenı sıly tıze zemske
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı16
ra ppp += 0 ,
kde pa je absolutnı tlak, pr je relativnı tlak, p0 je tlak ovzdus ı.
Porovnanım s odvozenym vy razem p = p0 + ρgh, vyplyva, ze je to absolutnı tlak. Relativnı tlak
vyvolany ňcinkem sloupce kapaliny je dan vyrazem p = ρgh. K oznacenı absolutnı a relativnı hodnoty
tlaku se nepouzıva indexu a a r, avs ak je treba ňdaj doplnit, o ktery tlak jde. Napr. p = 8. 105 Pa abs.;
p = 7,1. 104 Pa pr. Ponšvadz tlak kapaliny zavisı na vys ce sloupce kapaliny a jejı mšrne hmotnosti:
p = ρgh, lze tlak vyjadrit vys kou kapalinoveho sloupce, tj. stanovit tlakovou vys ku.gph
ρ=
3.5. Pascalu v zakon
Beztızny stav je charakterizovan hodnotou 0=a . Z rovnice ( 3.13 ) dp = 0 a po integraci p =
konst. tj. tlak uvnitr kapaliny je vs ude stejny . U kapalin Ú kapicek Ú to neplatı presnš, nebo– se uplatnı
povrchove napštı.
Obr.3.6 Princip hydraulickeho lisu.
Zvys ımeÚli v urcitem mıstš tlak, treba na
rozhranı kapaliny s jinou fazı zvys ı se i v celem
objemu kapaliny, coz je obsahem Pascalova
zakona: tlak v kapalinš se s ırı rovnomšrnš vs emi
smšry. Toho se vyuzıva napr. u hydraulickych
zvedaku a lisu. Pusobıme-li na maly pıst silou F1,
vyvolame na velkem pıstu sılu F2 > F1. Tlak
v celem objevu kapalin je konstantnı. obecnš vs ak ( )zyxpp ,,=
2
2
1
2
1
2
2
1
121
1
1 .
======
dd
FF
SF
SFFSpp
SF
v
d2
d 1
F2
F1
p = konsthρg << p
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 17
4. Tlakove sıly
4.1. Vodorovne rovinne plochy
Tlak v kazdem bodš vodorovneho dna nadoby je stejny p = ρ g h. Je tedy rovnomšrnš rozlozen po
cele plos e a vysledna tlakova sıla je rovna F = p S = ρ g h S. Tlakova sıla pusobı kolmo na plochu.
Soucin h S v poslednı rovnici predstavuje objem kapaliny vyznaceny
v obrazku s rafovanš, protoze Sh⊥ . Lze tedy psat tez rovnici F = ρ g V = Fg.
Vyraz ρ g V predstavuje tıhu objemu V naplnšneho
kapalinou o mšrne hmotnosti ρ. Zatšzuje tedy tıhova sıla Fg = ρ g V plochu S.
TΔleso o objemu V predstavuje tedy zatšzovacı obrazec, ktery je omezen
tšmito plochami:
1) plochou S, na nız pocıtame tlakovou sılu F
2) tlakovou hladinou tlaku ovzdus ı p0= konst3) plas tšm (valce nebo hranolu) vzniklym opsanım prımky rovnobšzne s vyslednicı tlaku F okolo
obrysu plochy S.
Jestlize nadoba ma bocnı stšny jine nez svisle, je vysledna tlakova sıla na dno dana stejnym vyrazem,
nebo– svisla vzdalenost h plochy od hladiny je konstantnı, a tudız tlak na dnš je
p = ρgh =& konst. Podobnš objem zatšzovacıho obrazce uvedene definice bude ve vs ech prıpadech
stejny , takze vysledna tlakova sıla je rovnšz stejna. Nezavisı na tvaru bocnıch stšn nadoby, coz je
hydrostaticke paradoxon.
4.2. S ikme rovinne plochy
Na rozdıl od vodorovnych ploch je na s ikme rovinne stšnš nadoby tlak promšny . Vyslednice
tlakovych sil se urcı integracı elementarnı tlakove sıly na plos ce dS . Na zvolenou plos ku dS pusobı
tlakova sıla dF = ρ g h dS . Vyslednice je pak dana integralem
dShgFS∫= ρ ( 4.1 )
p0
vF
S
h
Obr.4.1 Sıla na dno
vodorovne nadoby
hV V V V
S S S S
p0 p0 p0 p0
Obr.4.2 Hydrostaticke paradoxon a zatšzovacı obrazec
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı18
x tpx ( y )
y
yp
xx
y
ST
P
S
h t
p0
F T
dS
α
Obr.4.3 Sıla na s ikmou rovinnou plochu
Pro ňsecky h a x platı na cele plos e S vztah αsin=xh
a po dosazenı do rovnice pro tlakovou
sılu je
yS
MgdSxgF αραρ sinsin == ∫ , nebo– ∫=S
y dSxM je staticky moment plochy S k ose
y. Osa y je urcena prusecnicı hladiny
p0 = konst a bocnı stšny nadoby. Staticky moment plochy S k ose y je tedy urcen vztahem My = S xt
takze vyraz pro tlakovou sılu se upravı
F = ρ g sinα S xt ; nebo– xt sinα = ht , vysledna tlakova sıla na s ikmou rovinnou plochu dana vztahem
SpSghF tt == ρ ( 4.2 )
V poslednı rovnici je ht svisla
vzdalenost tšzis tš plochy S od tlakove
hladiny tlaku ovzdus ı ; podobnš pt je tlak
v tšzis ti plochy. Tlak pt predstavuje strednı
hodnotu tlaku na plos e S. Smšr vyslednice
tlakove sıly F je kolmy na plochu S, to
znamena, ze je totozny se smšrem
normaly k plos e S. Pusobis tš tlakove sıly
na s ikmou plochu je vys etrovano pozdšji.
Drıve se odvodı vyraz pro tlakovou sılu na
rovinnou s ikmou plochu pomocı objemu
zatšzovacıho obrazce. Tlakova sıla na element s ikme roviny je dF = ρ g h dS, jak bylo uvedeno drıve.
Aby soucin h dS predstavoval elementarnı objem dV, musı by t h kolme na dS. Sklopenım vys ky h do
smšru normaly plochy S se dostane hranolek o zakladnš dS a vys ce h, jehoz objem je dV. Soucet
vs ech objemovych elementu nad celou plochou S urcuje objem V, nebo–
gVdVgdShgF ρρρ =∫=∫= Sklopene vys ky h urcujı sklopenou hladinu (p0), ktera je rovinna. K
jejımu urcenı stacı sklopit vy s ku h v libovolnem bodš pod hladinou do smšru normaly k plos e. Spojnice
0
S
h
V
90o
h
PF dS
p0
( p 0 )
Obr.4.4 Definice zatšzovacıho obrazce
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 19
tohoto bodu s prusecıkem hladiny a s ikme roviny urcuje sklopenou hladinu x. Plas – zatšzovacıho
objemu tšlesa. V je vytvoren prımkami rovnobšznymi s normalou k plos e S, jenz opıs ı obrys plochy S.
Pro tlakovou sılu na s ikmou rovinnou plochu je tedy mozno psat F = ρgV .
Objem zatšzovacıho obrazce V se vypocte jako objem skoseneho valce nebo hranolu a je urcen
tšmito plochami:
1) plochou S
2) hladinovou plochou (p0 = konst) sklopenou (sestrojı se sklopenım vys ky h libovolneho bodu plochy
S po hladinou do smšru normaly, tj. do smšru vyslednice tlaku, a spojenım jejıho konce
s prusecıkem 0)
3) plas tšm vytvorenym prımkami rovnobšznymi s tlakovou sılou F nad obrysem plochy S
Objem V skoseneho hranolu se urcı jako soucin zakladny S a vys ky ht v tšzis ti plochy S, neboli
V = S ht.
Pusobis tš P tlakove sıly se da urcit pocetnš. Moment elementarnıch tlakovych sil k ose y je dan
rovnicı dMy = x dF. Vysledny moment tšchto elementarnıch tlakovych sil musı byt stejny jako moment
vyslednice tlakove sıly. Platı tedy
∫ ∫∫ =====S S
yS
ypy JgdSxgxdFdMFxM αραρ sinsin 2 ,
z cehoz
y
y
y
yyp M
JgSgJ
FgJ
x ===αρ
αραρ
sinsinsin ( 4.3 )
Jy moment setrvacnosti plochy S k ose y
My staticky moment plochy S k ose y
Podle Steinerovy všty je Jy = Jyt + Sxt2, takze
y
ytt
t
tyt
y
tytp M
Jx
SxSx
SyJ
MSxJ
x +=+=+
=22
Vzdalenost pusobis tš P tlakove sıly od tšzis tš plochy je
y
yttp M
Jxxx =−=∆
( 4.4 )
Protoze prava strana rovnice je vzdy kladna, je 0⟩px . To znamena, ze pusobis tš P tlakove sıly na
s ikmou rovinnou plochu je vzdy pod tšzis tšm T.
Podobnš se urcı druha souradnice pusobis tš tlakovych sil z momentu k ose x:
∫ ∫∫ =====S S
xyS
xpx JgxydSgydFdMFyM αραρ sinsin
y
xy
y
xyxyp S
JgSgJ
FgJ
y ===αρ
αραρ
sinsinsin ( 4.5 )
Jxy je deviacnı moment plochy S k osam x, y,
My staticky moment plochy S k ose y.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı20
Nškdy je treba urcit slozky tlakove sıly na s ikmou rovinnou plochu, a to ve vodorovnem a
svislem smšru. Tyto slozky se mohou urcit rozkladem vyslednice Fx = Fsinα a podobnš Fy = Fcosα
nebo se urcı prımo, aniz se pocıta vyslednice.
Pro elementarnı svislou slozku dFy platı
yyy gdVghdSghdS ρραρ === cosdF ( 4.6 )
Integracı se dostane Fy = ρgVy, kde objem Vy zatšzovacıho obrazce je podle obrazku urcen:
1) plochou S
2) hladinovou plochou p0 = konst
3) plas tšm vytvorenym svislymi prımkami (= rovnobšznymi se slozkou tlakove sıly Fy) nad obrysem
plochy
Zatšzovacı obrazec Vy je zkosene tšleso. Pusobis tš svisle slozky tlakove sıly Fy je dano tšzis tšm
objemu Vy zatšzovacıho obrazce. Podobnš pro elementarnı vodorovnou slozku tlakove sıly dFx platı
xx gdVghdSghdS ρραρ === sindFx( 4.7 )
Aby soucin hdSx predstavoval elementarnı objem dVx, musı byt vys ka h a plos ka dSx na sobš kolme.
Proto se vys ky sklapšjı do vodorovneho smšru (tj. do smšru uvazovane slozky Fx).
Vx
dVx
Sx
(p )0V
xS
dVx
(p )0
p 0p 0p 0
dVyV
y
S
αα
dSy
dSx
dS αβ
Obr.4.5 Zatšzovacı obrazec pro slozky tlakove sıly
4.3. Tlakova sıla na krive plochy
Na krive plos e je tlak kapaliny v libovolnem mıstš urcen vyrazem p = ρgh. Na zvoleny plos ny
prvek pusobı tlakova sıla dF = ρghdS ve smšru kolmem na dS. Vektorovym souctem tšchto
elementarnıch tlakovych sil po cele krive plos e se dostane vyslednice tlakove sıly na krivou plochu.
K integraci je zapotrebı analytickeho vyjadrenı ploch a rovnšz zavislost pro vys ku, coz vede zpravidla
ke zdlouhavym vypoctum.
Vx
dVx
Sx
(p )0V
xS
dVx
(p )0
p 0p 0p 0
dVyV
y
S
Obr. 4.6 Slozkova metoda urcenı zatšzovacıho obrazce
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 21
Pri vypoctu tlakovych sil na krive plochy se pouzıvajı dvš metody, a to slozkova a metoda nahradnıch
ploch.
Slozkova metoda spocıva v tom, ze se urcı nejdrıve slozky ve zvolenych smšrech, zpravidla svisla a
vodorovna. Na zvoleny plos ny prvek dS pusobı elementarnı svisla slozka tlakove sıly dFy = dFcosβ =
ρghdScosβ = ρghdSy = ρgdVy. Vysledna svisla slozka tlakove sıly Fy se dostane integracı
yS
yS
yy gVdVghdSgF ρρρ === ∫∫ ( 4.8 )
Svisla slozka Fy je urcena tıhou zatšzovacıho obrazce Vy.
Jak je patrne z obrazku, objem Vy je urcen stejnym zpusobem jako u s ikme roviny s tım rozdılem, ze
mısto nı je kriva plocha.
Objem Vy je tedy omezen tšmito plochami:
1) krivou plochou S
2) tlakovou hladinou tlaku ovzdus ı p0 = konst
3) plas tšm vytvorenym svislymi prımkami (= rovnobšznymi se slozkou tlakove sıly Fy) nad obrysem
plochy
Pusobis tš svisle slozky tlakove sıly na krivou plochu je v tšzis ti objemu Vy zatšzovacıho obrazce.
Podobnš lze urcit vodorovnou slozku tlakove sıly Fx
xS
xS
xSS
xx gVdVghdSghdSgdFF ρρραρ ===== ∫∫∫∫ cos ( 4.9 )
Soucin hdSx predstavuje objem dVx, jestlize vys ka h je kolma na prumšt plochy dSx. Proto se v kazdem
bodš krive plochy sklopı svisla vys ky h (= svisla vzdalenost od tlakove hladiny tlaku ovzdus ı) do
vodorovneho smšru, cımz je xdSh⊥ . Aby vypocet objemu Vx byl snadnšjs ı, posunou se elementarnı
objemy dVx do libovolnš zvolene svisle roviny. Ponšvadz posunutım se objemy nemšnily co do
velikosti, je takto upraveny objem Vx stejnš velky jako puvodnı. Zatšzovacı obrazec tvorı skoseny
valec nebo hranol. Jejich zakladnou je prumšt krive plochy do svisle roviny. Tım se dospšlo k velmi
dulezitemu poznatku o tlakove sıle na krive plochy:
Vysledna vodorovna slozka tlakove sıly na s ikmou rovinnou plochu je dana integracı, cili
Fx = ρg ∫s
xhdS = ρgVx , kde objem Vx zatšzovacıho obrazce je dan tšlesem skosenym dvšma
nerovnobšznymi rovinami. Posunutım elementarnıch objemu do libovolnš zvolene svisle roviny
premšnı se tvar tšlesa, aniz by se zmšnila jeho velikost. Je to skosene tšleso, jehoz zakladnou je
prumšt Sx s ikme roviny do roviny kolme na smšr vyslednice. Objem skoseneho tšlesa se urcı jako
soucin zakladny a vys ky v jejım tšzis ti. Vodorovna slozka tlakove sıly na s ikmou rovinu se rovna
tlakove sıle na jejı prumšt do roviny kolme na uvazovanou slozku.
Pusobis tš vodorovne slozky tlaku je v tšzis ti zatšzovacıho obrazce o objemu Vx.
Vyslednice tlakove sıly na krivou plochu se dostane vektorovym souctem vodorovne a svisle slozky.
Ponšvadz jsou slozky na sobš kolme, platı v prostoru
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı22
222zyx FFFF ++= prıpadnš pro rovinnou ňlohu 22
yx FFF += . ( 4.10 )
Smšr vyslednice tlakovych sil je dan vztahem x
y
FF
tg =α . Vyslednice tlakove sıly F prochazı
prusecıkem jejıch slozek Fx, Fy.
Sn
F
S
G
Fn
p0
n2S
Sn1
Gá
F
Fn
Fn1
Fn2
-G
-G'
G
Fn
F
p0
S
Sn
G
Fn
F
Obr. 4.7 Metoda nahradnıch ploch
Metoda nahradnıch ploch spocıva v tom, ze se kriva plocha nahradı jednou nebo vıce rovinnymi
plochami, a to tak, aby s krivou plochou uzavıraly objem V. Vypocıta se tlakova sıla na nahradnı
plochu Fn. Nahrazenım krive plochy rovinnymi plochami se pridal objem kapaliny V, takze tıhovy
ňcinek tohoto objemu kapaliny je zahrnut v tlakove sıle na nahradnı plochu.
Ve skutecnosti tıha kapaliny G = ρgV nepusobı na krivou plochu, a proto je treba ji odecıst od
vysledne tlakove sıly na nahradnı plochu Fh. V opacnem prıpadš, kdy se nahradnı plochou ubral od
zatšzujıcıho obrazce objem kapaliny V, jehoz tıha pusobı na krivou plochu, je nutno k vyslednici
tlakove sıly na nahradnı plochu Fh pr icıst tıhovy ňcinek kapaliny G.
Vyslednice tlakove sıly je dana vektorovym souctem tlakove sıly na nahradnı plochu Fn a tıhy G:
GFF += n .
Aby objem V (pridany nebo ubrany) a tım tıha kapaliny G byla jednoznacnš urcena, je treba
spravnš volit nahradnı plochu, aby s krivou plochou uzavıraly obrazec o objemu V.
Nahradnı plochy je mozno volit libovolne, jednu nebo vıce. Volı se tak, aby vypocet slozek nahradnıch
tlakovych sil byl co nejjednodus s ı.
4.4. Sıly na tů lesa ponorena do kapaliny
Na tšleso ponorene do kapaliny pusobı obecnš sıly ve trech na sobš kolmych smšrech, tj.
napr. ve svislem smšru a ve dvou smšrech vodorovnych na sebe kolmych. Ponšvadz vodorovne
slozky tlakove sıly na tšleso se vypoctou stejnš jako vodorovne slozky tlakove sıly na krivou plochu,
urcı se nejdrıve prumšty povrchu ponoreneho tšlesa. Protoze se dostane dvojnasobny prumšt z obou
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 23
stran tšlesa, bude vyslednice vodorovnych tlakovych sil na tšleso z obou stran stejnš velka, stejneho
smšru, ale opacneho smyslu, takze se tuhostı tšlesa rus ı. To platı o obou vodorovnych slozkach
tlakovych sil. Ve svislem smšru bude pusobit na zvoleny objem dV tšlesa, jez je valecek, svisla slozka
tlakove sıly, jejız velikost je dana souctem tlakovych sil na plos ky dSy (zakladny valecku dV). Na hornı
cast valecku pusobı tlakova sıla dF1 = ρgh1dSy, podobnš na spodnı cast dF2 = ρgh2dSy, takze
vyslednice svisle tlakove sıly je dFy = dF2 ř dF1 = ρg(h2 ř h1)dSy = ρghdSy = ρgdV = dGk, z cehoz je
patrno, ze tlakova sıla kapaliny ve svislem smšru na prvek tšlesa o objemu dV se rovna tıze kapaliny,
ktera je tımto elementem vytlacena. Vysledna tlakova sıla na cele tšleso se dostane integracı, coz je
soucet elementarnıch tlakovych sil, neboli Fv = ρgV = Gk.
Vysledek je znamy Archimeduv zakon: Na tšleso ponorene do kapaliny pusobı vztlakova sıla
rovna tıze kapaliny tšlesem vytlacene.
Na tšleso ponorene do kapaliny pusobı dvš sıly, a to
vztlakova sıla Fv v tšzis ti objemu vytlacene kapaliny, a vlastnı
tıha tšlesa G, pusobıcı v tšzis ti tšlesa.
Podle vyslednice F = Fv ř G, ktera pusobı na tšleso
ponorene v kapalinš, mohou nastat obecnš tri prıpady:
G > Fv Ú tıha tšlesa je všts ı nez vztlakova sıla, takze
vyslednice pusobı ve smšru svislem dolu a tšleso klesa ke
dnu.
G = Fv Ú tıha tšlesa je v rovnovaze se vztlakovou silou,
vyslednice je nulova a tšleso setrvava v libovolne poloze Ú vznas ı se v kapalinš.
G < Fv Ú vlastnı tıha tšlesa je mens ı nez vztlakova sıla, takze vyslednice pusobı svisle nahoru a
tšleso vznas ı k hladinš. Vynorenım tšlesa se zmens ı vztlakova sıla az nastane
rovnovaha s vlastnı tıhou tšlesa, ktere plave.
dVV
dF2
dF1
h
p0
hh
2
1
Obr. 4.8 Vztlak tšlesa
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı24
5. Relativnı pohyb kapalinyPri pohybu nadoby s kapalinou mohou nastat prıpady, kdy kapalina je vuci stšnam nadoby
v klidu. Na kapalinu pusobı dals ı hmotnostnı sıly, a to setrvacna od vlastnıho pohybu nadoby s
kapalinou, ktere je nutno zahrnovat do podmınek hydrostaticke rovnovahy. V dals ım jsou probrany
dva jednoduche prıklady relativnıho klidu kapaliny.
a
x
p0
p0
V
0
g
-a
y
-x 0,5 ll
α'
αh
λ
λ = 90 o V = konst
h'
h''
y
h0
Obr.5.1 Kapalina v relativnım klidu, prımocary, rovnomšrnš
zrychleny pohyb
5.1. Pohyb prımocary, rovnomů rnů zrychleny
Nadoba se s kapalinou pohybuje prımocare rovnomšrnš zrychlenš ve vodorovne rovinš. Na
kazdou castecku kapaliny v nadobš pusobı ve svislem smšru tıze zemska ay = - g a ve vodorovnem
smšru setrvacne zrychlenı ax = - a. Diferencialnı rovnice hladinovych ploch je v tomto prıpadš
0=−− gdyadx ( 5.1 )
a jejı integral
konstgyax =+ ⇒ αxtgkonstxgakonsty −=−= .
( 5.2 )
Hladinove plochy jsou roviny sklonšne, svırajıcı s vodorovnou rovinou (kladna poloosa) ňhel
α. Z rovnice hladinovych ploch je
( ) ααα tgtggatg −=−°−=−= '180' neboli ( )°=+= 180', ααα
gatg
( 5.3 )
Z poslednıho vyrazu vyplyva rovnšz, ze hladinove plochy jsou kolme na vyslednici
hmotnostnıch sil pusobıcıch na kapalinu. Pro stanovenı tlaku v kapalinš je treba znat aspon v jednom
mıstš (tj. alespon na jedne hladinove plos e) velikost tlaku. Zpravidla jım byva rozhranı kapaliny
s ovzdus ım (p0 = konst), jehoz poloha je zavisla na objemu kapaliny v nadobš. Nenı-li nadoba zcela
naplnšna a nevytece-li kapalina bšhem pohybu ani castecnš, musı byt jejı objem Vk v nadobš za
pohybu stejny jako pred pohybem(Vk = konst). Sklonšnım hladiny v jedne casti (prave) nadoby ubude
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 25
kapalina, ve druhe (leve) zase pr ibude. Celkova zmšna objemu kapaliny musı by t nulova, proto ňbytek
a prırustek objemu musı byt stejnš velky. V prıpadech, kdy nadoba je valcova nebo ma tvar hranolu
se zakladnou symetrickou k ose kolme na smšr pohybu, protına se rozhranı kapaliny s ovzdus ım
v polovinš delky nadoby. Poloha hladinove plochy tlaku ovzdus ı se tedy urcı z podmınky Vk = konst.
V prıpadš, kdy zrychlenı je velke, vystoupı
rozhranı kapaliny s ovzdus ım (p0 = konst) nad okraj
nadoby a cast kapaliny vytece z nadoby. To vyvola
klesanı hladiny. Pokles hladiny ustane az hladina bude
prochazet hranou, pres nız kapalina zacala vytekat.
Hladinova plocha tlaku ovzdus ı prochazı tedy v tomto
prıpadš mıstem, pres ktere kapalina zacala vytekat
(Vk ≠ konst).Tlak kapaliny v libovolnem mıstš se vypocte
z diferencialnı rovnice tlakova funkce, do nız se dosadı
drıve uvedene podmınky ax = -a ; ay = -g
( ) ( ) konstgyaxpgdyadxdp +−−=−−= ρρ ; ( 5.4 )
Pro zvoleny pocatek souradnic (uprostred dna nadoby) je integracnı konstanta dana touto
okrajovou podmınkou: v mıstš y = h0 ; x ≠ 0, je relativnı tlak p = 0; je tedy konst = ρgh0 a tlak
v libovolnem mıstš nadoby je urcen tlakovou funkcı
−−= x
gayhgp 0ρ
( 5.5 )
Protoze
yhhxgaxtgh −=′′−=−=′ 0;α
je
( ) ghhhgp ρρ =′+′′= ( 5.6 )
Tento vyraz je formalnš shodny s tlakem v kapalinš, na niz pusobı jen tıze zemska. Avs ak
velicina h je svisla vzdalenost uvazovaneho bodu od hladiny tlaku ovzdus ı, coz je sklonšna rovina.
Tento poznatek se da zobecnit. Vys etrenım hladiny tlaku ovzdus ı (rozhranı kapaliny a ovzdus ı) stava
se relativnı klid kapaliny prıpadem hydrostatickym, a lze proto pouzıt vs echny drıve odvozene
poznatky o vypoctu tlaku, tlakove sıle na plochy apod.
5.2. Pohyb rovnomů rny, otacivy
Valcova nadoba naplnšna zcasti kapalinou se otacı rovnomšrnš kolem svisle osy.
Predpoklada se, ze vs echny castecky kapaliny se pohybujı unas ivou rychlostı odpovıdajıcı polomšru,
na kterem se nachazı. Pri otacivem pohybu pusobı na kazdou castecku kromš tıze zemske odstredive
zrychlenı(u = rω). I kdyz jde o prostorovy pohyb, lze res it tento relativnı klid kapaliny v rovinš, protoze
V = konst
p0
aα α
Obr. 5.2 Hladinova plocha a jejı poloha
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı26
je stejny ve vs ech rovinach, ktere prochazejı osou rotace. Odstredive zrychlenı pusobıcı na castecku
kapaliny na polomšru r je ac = r ω2. Jeho velikost se mšnı s polomšrem, a proto vyslednice zrychlenı
bude na ruznych valcovych plochach ruzna jak co do velikosti, tak i smšru. Je snadne odhadnout, ze
v tomto prıpadš hladinove plochy nebudou rovinami.
Protoze zrychlenı jsou2ωrar = , ay = -g ( 5.7 )
je diferencialnı rovnice hladinovych ploch
rω2dr ř gdy = 0. Jejı integral je
konstgyr=−
2
22ω;
( 5.8 )
K urcenı integracnı konstanty je okrajova
podmınka
r = 0 , y = h0 , cili konst = - gh0 a rovnice
hladinovych ploch pro zvoleny pocatek
souradnic je
( ) 02 0
22
=−− hygr ω ( 5.9 )
coz je rovnice paraboly. Hladinove plochy jsou rotacnı paraboloidy. Vys ka paraboloidu H mšrena na
plas ti valcove nadoby, tj. na polomšru r = R se urcı z poslednı rovnice
gu
gRhyH R
R 22
222
0 ==−=ω (5.10)
Z teze rovnice se dostane vys ka paraboloidu hr na libovolnem polomšru r
Vk
Vp
Vk
Vp
HH
H
22
-
Obr. 5.4 K urcenı polohy hladinove plochy
gu
grhyh r
r 22
222
0 ==−=ω ( 5.11)
Vys ka rotacnıho paraboloidu na urcitem polomšru je rovna rychlostnı vys ce na tomtez
polomšru. Hladinova plocha tlaku ovzdus ı se urcı stejnš jako v predchazejıcım prıpadš. Jestlize
z nadoby nemuze kapalina vytekat, musı by t objem kapaliny pred pohybem a za pohybu stejny . Pred
pohybem je v nadobš objem kapaliny Vk = SH0 . Za pohybu je objem Vk = S(h0+H) ř Vp , kde Vp znacı
y
p0
r
H0
ho
H
H2
H2
y
h'
g
r 2
h
rD = 2R
hr
ar
ω
Obr. 5.3 Relativnı klid, rovnomšrne otacenı kol
osy nadoby
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 27
objem rotacnıho paraboloidu, ktery se rovna polovicnımu objemu opsaneho valce, cili Vp = 21
SH .
Z poslednıch rovnic vyplyva pri rovnosti objemu
( ) SHHhSSH21
00 −+=
HhH21
00 =−( 5.12 )
To znamena, ze puvodnı hladina tlaku ovzdus ı za klidu pulı vys ku paraboloidu H,
predstavujıcıho novou hladinu tlaku ovzdus ı.
Tlak v kapalinš se urcı z diferencialnı rovnice tlakove funkce
dp = ρ (rω2dr ř gdy)
Po integraci je tlakova funkce
+−= konsty
grgp2
22ωρ
( 5.13 )
Okrajova podmınka, ktera se stanovı po urcenı nove hladinove plochy tlaku ovzdus ı, pro r =
0, y = h0 je p = 0, cili integracnı konstanta je konst = h0. Tlakova funkce je tedy
+−=
gryhgp2
22
0ω
ρ( 5.14 )
Protoze vys ka paraboloidu na polomšru r je hr = g
r2
22ω a hč = h0 ř y , upravı se tlak rovnice pro tlak
kapaliny
( ) ghhhgp r ρρ =′+= ( 5.15 )
kde h je opšt svisla vzdalenost daneho mısta od hladinove plochy tlaku ovzdus ı za rotace. Tento
vysledek je shodny jako v predchazejıcım prıpadš pohybu.
Rovnici p = ρgh je mozno povazovat za obecny integral diferencialnı rovnice pro tlak funkci.
Pro velicinu h platı drıve uvedena definice. K jejımu spravnemu urcenı je nutno vys etr it hladinove
plochy (odpovıdajıcı relativnımu klidu) hlavnš hladinovou plochu tvorıcı rozhranı kapaliny s ovzdus ım
(p0 = konst). Z toho vyplyva prakticky vyznam hladinovych ploch. Je treba pripomenout, ze pri vypoctu
tlakovych sil omezuje tataz hladinova plocha zatšzovacı obrazec.
Muze-li kapalina bšhem pohybu zcasti vyteci z nadoby, nalezne se poloha hladinove plochy
tlaku ovzdus ı stejnš jak bylo urceno drıve: musı prochazet mıstem, kde kapalina zacala pretekat, tj.
hornım okrajem nadoby.
5.3. Potencial intenzity objemovych sil
Chceme-li stanovit tlak v bodš B, pri znamem tlaku v bodš A, pak integrujeme Eulerovu rovnici
hydrostatiky podle krivky spojujıcı body A a B:
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı28
( )∫∫ ++=−=B
AzyxAB
B
A
dzadyadxappdp ρ
Z teorie vıme, ze vysledek integrace nezavisı na draze, je-li vyraz v zavorce ňplnym
diferencialem skalarnı funkce U(x,y,z)
ρdpdzadyadxadU zyx =++= dz
zUdy
yUdx
xUdU
∂∂
+∂∂
+∂∂
=( 5.16 )
Tuto funkci nazyvame potencialem intenzity objemovych sil (resp. potencialem relativnıho zrychlenı).
a) Je-li dana potencialnı funkce U = U(x,y,z), pak lze prırustek stanovit snadno jako prırustek
potencialu nasobeny hustotou, aniz bychom museli res it krivkovy integral, nebo–
( )AB
U
UAB
pB
pA
UUdUppdpB
A
−==−= ∫∫ ρρ( 5.17 )
Pricemz se predpoklada, ze objemove sıly se nahradı potencial fci U, pro niz platı
zUa
yUa
xUa zyx ∂
∂=
∂∂
=∂∂
= ;; neboli a = gradU( 5.18 )
nebo– platı
dU = ρdp
= axdx + aydy + azdz
Rovnice ( 5.18 ) dostaneme porovnanım obou poslednıch rovnic.
b) Jsou-li dany slozky vektoru intenzity hmotovych sil
ax = ax(x,y,z), ay = ay(x,y,z), az = az(x,y,z)ptame se, zda v tomto prıpadš existuje potencial U(x,y,z). Je-li dU ňplnym diferencialem, pak pro
smıs ene derivace platı rovnice
zxU
xzU
yzU
zyU
xyU
yxU
∂∂∂
=∂∂
∂∂∂
∂=
∂∂∂
∂∂∂
=∂∂
∂ 222222
;;( 5.19 )
Vezmeme-li v ňvahu rov. ( 5.18 ) dostavame pro existenci potencialu i relativnı rovnovahy tyto
tri podmınky:
za
xa
ya
za
xa
ya xzzyyx
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂
∂
∂
∂=
∂∂
;;( 5.20 )
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 29
HydrodynamikaHydrodynamika se zabyva pohybem kapalin neboli proudšnım. Hydrodynamika v uzs ım
smyslu slova res ı teoreticky proudšnı kapalin matematickymi metodami. Aplikovana hydrodynamika
prihlızı vıce na skutecne pomšry, opıra se o vysledky experimentalnıch pracı a vyuzıva teoreticke
poznatky a je nazyvana tez hydraulikou.
6. Klasifikace proudů nı a zakladnı pojmy
6.1. Zakladnı pojmy
Proudšnı se vys etruje v prostoru, rovinš nebo po krivce buť sledovanım pohybu urcite castice
kapaliny jako hmotneho bodu, nebo se sleduje cely proud v urcitem casovem okamziku.
Draha neboli trajektorie je obecnš carou, kterou probıha castice tekutiny. Za ustaleneho
proudšnı se drahy castic nemšnı s casem, zatım co u neustaleneho proudšnı mohou by t v kazdem
casovem okamziku odlis ne Ú obr.6.1.
S1
S2
S3
p
v
t
v = 0n
x0
y dydx = v x
v y
dx dy
v y
v x
p
Obr.6.1 Draha castice pri
neustalenem proudšnı
Obr.6.2 Proudnice Obr. 6.3 Proudnice a slozky
rychlosti
Proudnice p obr. 6.2 jsou obalkou vektoru rychlostı a jejich tecny udavajı smšr vektoru
rychlosti. U neustaleneho prudšnı vytvarejı proudnice ruzne castice a nejsou totozne s drahami castic.
U ustaleneho proudšnı se nemšnı rychlosti s casem, a proto majı proudnice stale stejny tvar a jsou
totozne s drahami castic. Matematicke vys etrenı proudnice je mozne res enım diferencialnı rovnice,
zyx vyvdzdydx :::: = ( 6.1)
ktera vyplyva z podobnosti trojňhelnıku slozek rychlosti a elementarnıch drah ve smšru prıslus nych os
obr.6.3.
Proudova trubice je tvorena svazkem proudnic, ktere prochazejı zvolenou uzavrenou krivkou
k. Plas – proudove trubice ma stejne vlastnosti jako proudnice Úobr. 6.4. Protoze smšr rychlosti je dan
tecnami k proudnicım, je v kazdem bodš plas tš proudove trubice normalova slozka rychlosti nulova
vn=0. Nemuze tedy zadna castice projıt proudovou trubici. Proudova trubice rozdšluje prostorove
proudove pole na dvš casti.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı30
Jednu tvorı vnitrek proudove
trubice. C astice tekutiny nemohou
pretekat z jedne casti proudoveho pole do
druheho, a proto platı, ze vs echny castice
protekajıcı prurezem S proudove trubice,
musı protekat libovolnymi prurezy S1, S2,
teze proudove trubice. Jestlize prurez
proudove trubice S→0, dostane se
proudove vlakno. Proudova trubice
predstavuje pomyslne potrubı.
6.2. Rozdů lenı proudů nı
Proudšnı kapalin je mozno rozdšlit podle nškolika hledisek:
A) Podle fyzikalnıch vlastnostı kapalin
1. proudšnı idealnı (dokonale) kapaliny:
a) potencialnı proudšnı (nevırive) Ú obr. 6.5 Ú castice se pohybujı prımocare nebo krivocare
po drahach tak, ze vuci pozorovateli se neotacejı kolem vlastnı osy. Natocenı castice na
krive draze je kompenzovano stejnš velkym natocenem castice kolem vlastnı osy, ale
v opacnem smyslu. Mezi potencialnı proudšnı patrı rovnšz potencialnı vır, u nšhoz
castice krouzı kolem vıroveho vlakna potencialnš s vy jimkou castice, ktera tvorı vlakno.-
obr- 6.6.
b) vırive proudšnı Ú castice se vuci pozorovateli natacejı kolem vlastnıch os Ú obr 6.7
s s
Obr.6.5 Potencialnı proudšnı Obr. 6.6 Potencialnı vır Obr.6.7 Vırive proudšnı
2. proudšnı skutecnych (vazkych) kapalin:
a) laminarnı proudšnı Ú castice se pohybujı ve vrstvach (deskach), aniz se premıs–ujı po
prurezu Ú obr. 6.8
b) turbulentnı proudšnı, kde castice majı kromš postupne rychlosti turbulentnı (fluktuacnı)
rychlost, jız se premıs–ujı po prurezu.- obr. 6.9
p
pk
k1
k2
S
S1
S2
Qv0
Qv
Qv0
Qv0
Qv
Qv0
Obr.6.4 Proudova trubice
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 31
S2
S1
v1'v1
v2 v2'
Obr.6.8 Laminarnı proudšnı Obr.6.9 Turbulentnı proudšnı
B) Podle kinematickych hledisek:
1. podle usporadanı proudšnı v prostoru:
a) proudšnı trırozmšrne neboli prostorove Ú 3D- veliciny, napr. rychlost, jsou urceny polohou
v prostoru v=v(x,y,z)
b) proudšnı dvourozmšrne neboli rovinne Ú 2 D - v=v(x,y)
c) proudšnı jednorozmšrne Ú 1D - v=v(s) Ú proudšnı po krivce s
2. podle zavislosti na case:
a) proudšnı ustalene (stacionarnı) , ktere je nezavisle na case v ≠ v (t); 0=∂∂t
b) neustalene proudšnı (nestacionarnı ), u nšhoz veliciny jsou zavisle na case Ú v= (x,y,z,t);
v = v(s,t); v = v(t).
6.3. Druhy proudů nı skutecnych tekutin
Jak jiz bylo uvedeno drıve, skutecna tekutina muze proudit buť laminarnš nebo turbulentnš.
Existenci obou proudšnı nazornš ukazuje Reynoldsuv pokus Ú obr. 6.10. Do proudıcı tekutiny
v kruhovem potrubı se privadı tenkou trubickou obarvena tekutina. Pri malych rychlostech proudu
zustane barevne vlakno neporus eno, z cehoz vyplyva, ze pohyb se dšje ve vrstvach a castice
tekutiny se nepromıchavajı.
Zvšts ı-li se rychlost nad jejı kritickou hodnotu, dochazı k intenzivnımu mıs enı castic
nasledkem jejich podruznych (turbulentnıch) pohybu ve vs ech smšrech. C astice tekutiny neustale
prechazejı z jedne vrstvy do druhe, pricemz dochazı k vymšnš kineticke energie a jejich rychlosti po
prurezu se znacnš vyrovnavajı. Takove proudšnı je turbulentnı. Protoze pri premıstšnı castic
laminarnı turbulentnı
Re < Rek = 2320 Re > Rek = 2320Barvivo Barvivo
Obr. 6.10. Reynoldsuv pokus
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı32
dochazı tez ke zmšnš hybnosti, coz se projevuje brzdıcım ňcinkem, bude vysledny odpor proti
pohybu všts ı nez odpovıda smykovemu napštı od vazkosti pr i laminarnım proudšnı.
Oba druhy proudšnı se lis ı jak rychlostnım profilem tak i velikostı hydraulickych ztrat. U
laminarnıho proudšnı v potrubı je rychlostnı profil rotacnı paraboloid. U turbulentnıho proudšnı se
rychlosti castic vyrovnavajı intenzivnım premıs–ovanım spojenym s vymšnou kineticke energie.
Rychlostnı profil turbulentnıho proudu v potrubı se proto vıce podoba obdelnıku, a to tım vıce, cım
všts ı je turbulence, tj. cım všts ı je Re cıslo Ú obr. 6.11.
laminarnı turbulentnı
v v
0 v
pz
l
t
~ v
~ v 2
Obr. 6.11 Rychlostnı profil v potrubı Obr. 6.12 Zavislost pz = f (v)
U laminarnıho proudšnı je hydraulicky odpor proti pohybu linearnš zavisly na rychlosti, u
turbulentnıho prudšnı je zavisly na druhe mocninš rychlosti Ú obr. 6.12.
Pomšry, pri nız dochazı ke kvalitativnım zmšnam rychlostnıho profilu a zavislosti odporu, tj. pri
prechodu laminarnıho proudšnı v turbulentnı, jsou pro urcite potrubı a tekutiny dany kritickou
rychlostı. Z pokusu i teorie podobnosti vyplyva, ze prechod laminarnıho proudšnı v turbulentnı je
urceno Reynoldsovym kritickym cıslem. Reynoldsovo cıslo jak bude odvozeno v kap. 18 je
definovano vztahem υvd
=Re , kde v je strednı rychlost tekutiny, d je charakteristicky rozmšr (napr.
pri proudšnı v potrubı jeho prumšr) υ je kinematicka vazkost proudıcı tekutiny. Pro proudšnı
v kruhovem potrubı kriticka hodnota Reynoldsova cısla je Re = 2320.
Pri proudšnı skutecne tekutiny mezi dvšma rovinnymi deskami (obr. 6.13) z nichz jedna se
pohybuje rychlostı u a druha stojı, majı castice lpıcı na povrchu desek jejich rychlosti. To znamena,
ze na pohybujıcı se desce ma castice kapaliny rychlost u, zatımco na stojıcı je rychlost castice
nulova. Pro ostatnı castice kapaliny, ktere proudı v mezere mezi deskami, jsou rychlosti rozlozeny
linearnš. Pohybujıcı se castice strhava sousednı castice do pohybu v dusledku vazkeho trenı.
Rychlost castice ve vzdalenosti y od stojıcı desky bude hyuv = . Smykove napštı od vazkosti je
podle Newtona vyjadreno vztahem
hu
dydv
ηητ == ( 6.2)
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 33
v
u
ydyh
dv
u
0
y
vτs
ϕtg ϕ = ( )dv
dy y=0
v
Obr. 6.13 Rozlozenı rychlosti pr i laminarnım
proudšnı mezi dvšmi deskamiObr. 6.14 Rychlostnı profil a tecne napštı
Trecı sıla Ft, kterou pusobı vazka kapalina desku o plos e St, a kterou je nutno pr i pohybu
desky prekonat, je urcena vztahem Ft=Stτ . V obecnem prıpadš je rychlost tekutiny urcena funkcı v =
v(y), a smykove napštı v libovolne vzdalenosti od stšny Newtonovym vyrazem. Graficke znazornšnı
prubšhu rychlosti v = v(y) je rychlostnım profilem - obr. 6.13.
Ucinek vazke kapaliny na obtekane plochy je zavisly na smykovem napštı od vazkosti
tekutiny 0=
=
ys dy
dvητ . Derivace
0=
ydydv
je smšrnicı tecny k rychlostnımu profilu na obtekanem
povrchu. Pr i tomto proudšnı se predpoklada, ze nekonecnš tenke vrstvy kapaliny klouzajı jedna po
druhe, takze se pohybujı ve vrstvach Ú laminarnš (lamina-vrstva).
Zavislost smykoveho napštı od vazkosti τ v zavislosti na
gradientu rychlosti v kolmem smšru na pohyb je vyjadrena
v grafu
=
dydvfτ -obr.6.15. Sklon udava dynamickou
vazkost kapaliny. Vs echny kapaliny, ktere vyhovujı
Newtonovu zakonu viskozity, se nazyvajı newtonske.
V technicke praxi se dosti casto vyskytujı latky, jejichz
zavislost smykoveho napštı na gradientu rychlosti se neda
vyjadrit Newtonovym vztahem. Rıka se jim nenewtonske
kapaliny ci anomalnı a jejich reologicke vlastnosti jsou
vyjadreny krivkami v diagramu a popsany matematickymi
modely. Pro idealnš plastickou latku je znam Binghamuv vztah
dydv
Bp µττ += ( 6.3)
Pro prubšhy nelinearnı se pouzıvajı mocninove vztahyn
p dydvK
+= ττ ;
n
dydvK
=τ
( 6.4)
kde K - soucinitel konzistence
n Ú index toku
dv
τ
dy0
τp
τp
idealnıtekutina
newtonska n = 1idealni plasticka-Binghamska
skutecna plasticka n < 1
dilatantnı n >1
pseudoplasticka n < 1pru z
na
latk
a n = 1
Obr.6.15. Reologicke vlastnosti kapalin
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı34
7. Proudů nı idealnı tekutiny
7.1. Rovnice kontinuity í spojitosti
Rovnice kontinuity, casto nazyvana take
rovnice spojitosti, vyjadruje obecny fyzikalnı
zakon o zachovanı hmotnosti. Pro kontrolnı
objem, kterym proudı kapalina, musı by t hmotnost
tekutiny konstantnı, a tedy jejı celkova zmšna
nulova. U kontrolnıho objemu mohou vzniknout
dvš zmšny hmotnosti, a to lokalnı v kontrolnım
objemu samem (tekutina se stlacuje nebo
rozpına) a konvektivnı zmšna hmotnosti,
zpusobena rozdılem v pritekle a vytekle hmotnosti
z kontrolnıho objemu. Obš zmšny musı davat
nulovou zmšnu hmotnosti, coz je mozne jen tehdy, kdyz jsou obš dılcı zmšny stejnš velke, ale
opacneho znamenka, tj. jedna znamena zvšts enı a druha zmens enı hmotnosti. Rovnici kontinuity je
mozne definovat take tak, ze rozdıl vstupujıcı hmotnosti do kontrolnıho objemu a vystupujıcı hmotnosti
z kontrolnıho objemu je roven hmotnosti, ktera se v tomto kontrolnım objemu akumuluje. V technicke
praxi se nejcastšji vyskytujı prıpady jednorozmšrneho proudšnı, menš caste je pak proudšnı rovinne
ci prostorove.
Rovnice kontinuity pro jednorozme rnč proude nı
Uvazuje se jednorozmšrne neustalene proudšnı stlacitelne tekutiny proudovou trubicı
s promšnnym prurezem - obr.7.1. Z nı se vytkne elementarnı cast ohranicena vstupnım prurezem S a
elementarnı delkou ds. Elementarnı kontrolnı objem tvorı valecek, jehoz zakladnami proteka tekutina.
Plas – kontrolnıho objemu je tvoren proudnicemi, a proto tok touto castı kontrolnı plochy je nulovy ,
nebo– platı vn = 0 na celem plas ti. Rozlozenı rychlosti po prurezu proudove trubice uvazujeme
rovnomšrne. Pri nerovnomšrnem rozlozenı rychlosti po prurezu uvazujeme jejı strednı rychlost.
Na draze ds se puvodnı rychlost v zmšnila na velikost )( dssvv
∂∂
+ , podobnš se zmšnila i
hustota )( dss∂
∂+
ρρ a prurez proudove trubice )( ds
sSS
∂∂
+ .
Hmotnost kapaliny, ktera pritece do kontrolnıho objemu za cas dt, je urcena vztahem
dms1 = ρSvdt
Hmotnost kapaliny, ktera vytece z kontrolnıho objemu za cas dt druhou zakladnou valecku, tj. ve
vzdalenosti ds, je
dsSvdts
Svdtdtdssvvds
sSSds
sdms )())()((2 ρρ
ρρ
∂∂
+=∂∂
+∂∂
+∂∂
+=
ρ
ρ2S
S1
S2v2
v1
1ρ
ds
v
Obr. 7.1 Prutocny prurez a rychlost
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 35
Rozdıl pritekle a odtekle hmotnosti z elementarnıho objemu je konvektivnı zmšna hmotnosti v case
dt, ktera je urcena vztahem
dsSvdts
dmdmdm sss )()( 12 ρ∂∂
=−=∆
Na pocatku sledovanych zmšn hmotnosti je v kontrolnım valecku hmotnost tekutiny
Sdsdmt ρ=1 .
Tato hmotnost tekutiny v kontrolnım objemu za cas dt se zmšnı. Protoze se jedna o lokalnı zmšnu,
pro jejı velikost platı vztah
( ) ( )dtSvt
dmt ρ∂∂
=∆
Pro splnšnı zakona o zachovanı hmotnosti (m = konst) musı byt celkova zmšna hmotnosti dmnulova, proto platı
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0=∂∂
+∂∂
=+= dtSdst
dsSvdts
dmdmdm ts ρρ∆∆∆
V obecnem prıpadš jednorozmšrneho proudšnı tekutiny se predpoklada stlacitelna tekutina
ρ = ρ(s, t), promšnny prurez proudove trubice S = S(s, t) (napr. pruzna trubice, proudšnı v kanalech
apod.) a neustalene proudšnı v = v(s, t).
Protoze casova zmšna dt a posunutı ds nejsou na sobš zavisle (s, t jsou nezavisle promšnne),
upravı se poslednı rovnice takto
( ) ( ) 0=∂∂
+∂∂ S
tSv
sρρ . ( 7.1 )
Toto je obecna rovnice kontinuity pro jednorozmšrne proudšnı. Pro tuhe potrubı platı S = S(s) a
rovnice (7.1) se dale upravı
( ) 0=∂∂
+∂∂
tSSv
sρ
ρ( 7.2 )
Dals ı zjednodus enı rovnice je pro ustalene proudšnı, kdy platı 0=∂∂t
. V tomto prıpadš je
hustota, prurez a rychlost jen funkcı souradnice s: ρ = ρ(s); S = S(s); v = v(s) a rovnice kontinuity se
zjednodus ı
( ) ( ) 0==∂∂ Sv
dsdSv
sρρ
Po integraci platı pro jednu a tutez proudovou trubici
konstSvQm == ρ . ( 7.3 )
Velicina Qm je hmotnostnı prutok. Udava hmotnost tekutiny protekle za jednotku casu Ú kgs-1.
Protoze rovnice ( 7.3 ) musı platit pro vs echny body proudove trubice, pro rovnici kontinuity proto platı
ρ1S1v1 = ρ2S2v2 = ρSv = konst ( 7.4 )
Pro nestlacitelne kapaliny je hustota konstantnı (ρ = konst), takze rovnice se zjednodus ı na
znamy tvar
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı36
Qv = Sv = konst.Velicina Qv je objemovy prutok a udava objem kapaliny protekly za jednotku casu Ú m3/s.
Pri nerovnomšrnem rozlozenı rychlosti po prurezu se dosazujı do rovnice kontinuity strednı rychlosti
podle prutoku, urcene vztahem
∫=S
s vdSS
v 1
Rovnice kontinuity pro prostorovč proude nı
Pri odvozenı rovnice kontinuity pro prostorove
proudšnı se vytkne v proudovem poli tekutiny kontrolnı
oblast ve tvaru hranolku o stranach dx, dy, dz, jehoz
objem je dV = dx dy dz obr.7.2. Tımto hranolem
proteka tekutina rychlostı, jez ma slozky ve smšru trı
souradnych os x, y, z, ktere jsou kolme na elementarnı
plos ky zvoleneho hranolu. Kontrolnı objem se zvolil
velmi maly - diferencialnıch rozmšru, aby se rychlosti
prutoku elementarnımi plos kami mohly uvazovat
konstantnı.
Zmšny hmotnosti pri pruchodu elementarnım
kontrolnım objemem se vys etrı postupnš ve smšrech os x, y, z. Plochy hranolku jimiz proteka kapalina
ve smšru osy x, jsou stejne, a to dSx = dy dz. Tekutina o hustotš ρ vteka do hranolku z leve strany
rychlostı vx a vyteka z nšho na prave stranš o hustotš
∂∂
+ dxxp
ρ rychlostı )( dxxvv x
x ∂∂
+ . Pritece
tedy do hranolku za cas dt ve smšru osy x hmotnost tekutiny
dtdSvdm xxsx ρ=1
a vytece
( )dxdtdSvx
dtdSvdtdSdxxvvdx
xpdm xxxxx
xxx ρρρ
∂∂
+=
∂∂
+
∂∂
=2
Rozdıl pritekle a vytekle hmotnosti kapaliny z hranolu ve smšru osy x je
( ) ( ) dVdtxvdxdtdSv
xdmdmdm x
xxsxsxsx ∂∂
=∂∂
=−=ρ
ρ )(12∆ ,
coz platı za predpokladu, ze prurez dSx nezavisı na souradnici x.
Obdobne vyrazy se dostanou pro prutok tekutiny ve smšru os y, z:
( ) ( ) ( ) ( ) dVdtzvdmdVdt
yv
dm zsz
ysy ∂
∂=
∂
∂=
ρρ∆∆ ; ,
takze rozdıl pritekle a vytekle hmotnosti tekutiny plochami kontrolnıho hranolku je dan souctem
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dVdtzvdVdt
yv
dVdtxvdmdmdmdm zyx
szsysxs ∂∂
+∂
∂+
∂∂
=++=ρρρ
∆∆∆∆
0z
y
x
dS
dx dzx, y, z
v +dvy y
v +dvx x
v +dvz z
dSz
y
dydSx
vy
vx
vz
x+dx, y, z
Obr.7.2 Elementarnı kontrolnı objem
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 37
Je-li hmotnost tekutiny v elementarnım objemu (hranolu) dmt1 = ρdV , potom za cas dt se tato
hmotnost zmšnı a tato zmšna je
( ) ( ) ( ) dVdtt
dtt
dmdmt ∂∂
=∂
∂=
ρ∆
Jak jiz bylo receno, musı by t celkova zmšna hmotnosti v kontrolnım objemu rovna nule
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=+= dVdtt
dVdtzvdVdt
yv
dVdtxvdmdmdm zyx
tsρρρρ
∆∆∆
Po kracenı vyrazem dVdt se dostane rovnice
( ) ( ) ( ) ( ) 0=∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
tzv
yv
xv zyx ρρρρ ( 7.5 )
To je obecna rovnice kontinuity pro neustalene prostorove proudšnı stlacitelne tekutiny. Protoze platı
( ) ( ) ( ) ( )i
izyx
xv
zv
yv
xvdiv
∂∂
=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=ρρρρ
ρ )( v ,
da se prepsat rovnice kontinuity na tvar
0)( =+∂∂ vρρ divt
( 7.6 )
Stejna rovnice v tenzorovem zapisu ma tvar
( )0=
∂∂
+∂∂
i
i
xv
tρρ ( 7.7 )
Takto vyjadrena rovnice kontinuity platı v pevnem kontrolnım objemu, ktery se vzhledem ke
zvolenemu pravoňhlemu souradnemu systemu x, y, z nepohybuje.
Rovnice kontinuity se upravuje i do jineho tvaru. Za tım ňcelem rozepıs eme derivace ve
vyrazu pro divergenci a dostaneme
zvv
zyv
vyx
vvx
div zz
yy
xx ∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
= ρρ
ρρ
ρρ
ρ )( v
Dale napıs eme substancialnı derivaci hustoty podle casu
zyx vz
vy
vxtDt
D∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=ρρρρρ
pomocı nız se rovnice kontinuity upravit takto:
0=+=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+ vdivDtD
zv
yv
xv
DtD zyx ρ
ρρρρ
ρ ( 7.8 )
Toto je druhy tvar rovnice pro neustalene prostorove proudšnı stlacitelne tekutiny, tedy prıpad,
kdy se kontrolnı objem vzhledem ke zvolenemu souradnemu systemu x, y, z pohybuje.
Pro ustalene proudšnı se uvedene rovnice zjednodus ı. Pri ustalenem proudšnı se nemšnı
veliciny v case, proto musı by t 0=∂∂
tρ
a rovnice kontinuity ( 7.6 ) ma tvar
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı38
.0)( =vρdiv ( 7.9 )
Tato rovnice platı pro proudšnı stlacitelne i nestlacitelne tekutiny v prostoru.
Dals ı zjednodus enı se dostane u nestlacitelnych kapalin (ρ = konst). Rovnice kontinuity je pak
vyjadrena vztahem
0=∂∂
+∂
∂+
∂∂
=zv
yv
xvdiv zyxv
( 7.10 )
Stejna rovnice zapsana v tenzorovem zapisu ma tvar
0=∂∂
i
i
xv ( 7.11 )
7.2. Eulerova rovnice hydrodynamiky
Eulerova rovnice hydrodynamiky vyjadruje rovnovahu sil hmotnostnıch (objemovych), ktere
pusobı na tekutinu z vnšjs ku, tlakovych (pusobıcıch v tekutinš) a setrvacnych od vlastnıho pohybu
castic dokonale tekutiny. V proudıcı skutecne tekutinš
vznikajı vedle normalovych napštı, tj. tlaku, i tecna napštı,
a to vs ude tam, kde se tekutina nepohybuje jako tuhe
tšleso a dochazı tedy k deformaci castic tekutiny, tj.
castice se vuci sobš posouvajı. Zanedbame-li tato tecna
napštı vzhledem k tlakum, hovorıme pak o proudšnı
dokonale (idealnı) tekutiny (tj. model tekutiny s nulovou
viskozitou).
V proudu dokonale tekutiny zvolıme elementarnı
objem dV ve tvaru hranolku Ú obr.7.3 o stranach dx, dy,
dz. Na tento objem tekutiny pusobı stejnš jako v hydrostatice tlakova dıla dFp a vnšjs ı tlakova sıla dFm.
Podle Newtonova zakona vyslednice tšchto sil se rovna setrvacne sıle
Spm FFF =+ ( 7.12 )
V kapitole 3 pro sılu tlakovou a hmotnostnı pro 1 kg hmotnosti byly odvozeny tyto vyrazy:
0
1
aF
F
=
−=
m
p pgradρ
Setrvacna sıla pohybujıcı se castice tekutiny je
DtDms
vF =
Pri proudšnı 1 kg tekutiny se tato rovnice zjednodus ı
DtD
svF =
Dosadıme-li vyrazy pro sıly do rovnice ( 7.12 ), bude rovnovaha sil
y
x
dx
dy p+dpxp
0
a xv x
Obr. 7.3 Elementarnı hranolek
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 39
pgradDtD
ρ1
−= 0av ( 7.13 )
Substancialnı derivaci Dv/Dt je mozne upravit takto:
Rychlost v je obecnš funkcı polohy castice a casu, tedy t)z, y, (x, vv = . Jejı diferencial je
dttvdz
zvdy
yvdx
xvdv
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
a zrychlenı castice tekutiny se vyjadrı rovnicı
tvv
zvv
yvv
xv
dtdt
tv
dtdz
zv
dtdy
yv
dtdx
xv
DtDv
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
Prvnı tri cleny predstavujı konvektivnı zrychlenı a je mozno je vyjadrit pomocı gradientu jako
skalarnı soucin rychlosti v a jejıho gradientu, nebo–
( ) zyxzyx vzvv
yvv
xv
zv
yv
xvvvvgrad
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
++= kjikjivv .
C len tv
∂∂
predstavuje lokalnı (mıstnı) zrychlenı.
Eulerova rovnice hydrodynamiky ma pak tvar
pgradgradtDt
Dρ1
0 −=+∂∂
= avvvv ( 7.14 )
Stejna rovnice uvedena v tenzorovem zapisu ma tvar
ii
j
ij
i
xpa
xv
vtv
∂∂
−=∂∂
+∂∂
ρ1 ( 7.15 )
Tuto pohybovou rovnici dokonalych tekutin odvodil poprve Leonard Euler v r. 1755.
Rozepsanım poslednı rovnice pro slozky ve smšru os x, y a z se dostanou tyto rovnice
zpav
zvv
yvv
xv
tv
ypav
zv
vyv
vxv
tv
xpav
zv
vyv
vxv
tv
zzz
yz
xzz
yzy
yy
xyy
xzx
yx
xxx
∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂
∂∂∂
−=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂
∂
ρ
ρ
ρ
1
1
1
V rozepsanych Eulerovych rovnicıch hydrodynamiky je celkem pšt neznamych, a to slozky
rychlosti vx, vy, vz, hustota ρ a tlak p. K urcenı pšti neznamych je treba pšti rovnic, z nichz tri jsou
Eulerovy rovnice (pro tri smšry os) a dals ımi rovnicemi jsou rovnice kontinuity a stavova rovnice ρ =
f(p) u stlacitelne tekutiny, poprıpadš u nestlacitelne tekutiny je ρ = konst. Vs ech pšt uvedenych velicin
zavisı na poloze proudıcı castecky tekutiny a na case. Pro urcenı soustavy rovnic je treba zadat
okrajove a pocatecnı podmınky.
Eulerova rovnice hydrodynamiky je nelinearnı parcialnı diferencialnı rovnice, jejı integrace je
obtızna i casovš narocna, v soucasne dobš se res ı numericky. Eulerova rovnice hydrodynamiky slouzı
k odvozenı Bernoulliho rovnice.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı40
7.3. Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu
Pri proudšnı dokonale tekutiny pusobı na jejı castecky sıly,
ktere pri posunutı po elementarnı draze ds konajı elementarnı praci
(obr.7.4). Sectenım tšchto elementarnıch pracı na konecne delce po
proudnici, tj. integracı, zıska se vztah pracı neboli energiı proudıcı
tekutiny. Aby bylo mozno provest integraci, predpoklada se, ze vnšjs ı
hmotnostnı sıla na jednotku hmotnosti (neboli vnšjs ı zrychlenı), ktere
pusobı na proudıcı tekutinu, je potencialnı. Pak se da vyjadr it
potencialem U a platı gradU=0a
zU
yU
xUUgrad
∂∂
+∂∂
+∂∂
== kjia0
( 7.16 )
Protoze a0 = (iax + jay + kaz), potom z predchazejıcı rovnice jsou slozky zrychlenı urceny vztahy
zUa
yUa
xUa zyx ∂
∂=
∂∂
=∂∂
= ,,
kde potencial vnšjs ıch sil (na jednotku hmotnosti) neboli zrychlenı je funkcı polohy.
Dosadı-li se tento vyraz do Eulerovy rovnice hydrodynamiky a urcı se elementarnı prace skalarnım
soucinem sil a posunutı ds, dostane se
sssvvsv dpgraddUgraddgraddt ρ
1−=+
∂∂ ( 7.17 )
Pro dals ı ňpravu teto rovnice odvoťme velikost skalarnıho soucinu gradientu a diferencialu drahy
ds =idx +jdy +kdz.
( )
dUdzzUdy
yUdx
xU
dzdydxzU
yU
xUdUgrad
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=
=++
∂∂
+∂∂
+∂∂
= kjikjis .( 7.18 )
Podobnš pro ostatnı veliciny platı
dvvdgraddpdgradp == svvs ;1ρρ
Integral upravene rovnice ( 7.17 )
∫∫∫∫ −=+∂∂ 2
1
2
1
2
1
2
1 ρdpdUdvd
tvsv ( 7.19 )
pro libovolny prurez proudove trubice je
konstdt
UPv
=∂∂
+−+ ∫ sv2
1
2
2
( 7.20 )
Tato rovnice platı pro neustalene proudšnı, a to pro urcity casovy okamzik. Konstanta ma obecnš
v kazdem case jinou hodnotu.
y
x0U = 0
1
2a
p
p+dps
s
ds
v
Obr. 7.4 Elementarnı prace pri
proudšnı dokonale tekutiny
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 41
Pro ustalene proudšnı se poslednı rovnice zjednodus ı, protoze 0=∂∂
tv
. Integral Eulerovy
rovnice hydrodynamiky po draze ma v tomto prıpadš tvar
konstUPv
=−+2
2 ( 7.21 )
coz je zakladnı Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu.
Velicina P je tlakova funkce, jiz urcıme integracı vyrazu ∫ ρdp
, kdyz zname stavovou zmšnu a
jejı rovnici ρ = f(p). Pro nestlacitelnou kapalinu je ρ =konst a tlakova funkce konstpP +=ρ
. Pusobı-li
na tekutinu jen tıhove zrychlenı, je vnšjs ı zrychlenı ay = -g. Znamenko zaporne je uvedeno proto, ze
kladny smysl zvolene osy je opacny nez smysl pusobenı tıhoveho zrychlenı. Prıslus ny potencial
siloveho pole (pro tıhove zrychlenı) je tedy gyUa y −=
∂∂
= . Potencial tıhove sıly je funkcı jen jedne
promšnne U = U(y), pak platı dydU
yU
=∂∂
, neboli dU = -g dy. Integracı se urcı potencialnı funkce U =
- gy + konst = - gh + konst.Pro nestlacitelnou kapalinu za pusobenı tıhoveho zrychlenı a pro ustalene proudšnı je
Bernoulliho rovnice vyjadrena vztahem
konstghpv=++
ρ2
2 ( 7.22 )
Tato rovnice predstavuje zakon zachovanı energie. Prvnı clen 2
2v je kineticka energie , druhy clen
ρp
odpovıda tlakove energii, tretı clen gh je roven polohove energii hmotnostnı jednotky kapaliny.
Soucet kineticke, tlakove, a polohove energie prestavuje celkovou mechanickou energii kapaliny.
Energie vztazene na jednotku hmotnosti se nazyvajı mšrne energie mEe = .
Jestlize se rovnice dšlı tıhovym zrychlenım g, dostane se
konsthgp
gv
=++ρ2
2 ( 7.23 )
Tuto rovnici uvedl poprve v roce 1738 Daniel Bernoulli. Kazdy clen rovnice ( 7.23 ) predstavuje
energii vztazenou na tıhovou jednotku kapaliny a formalnš ma rozmšr vys ky. Prvnı clen je znam jako
rychlostnı vys ka, druhy clen je tlakova vys ka a tretı urcuje polohovou (potencialnı) vys ku.
Vynasobı-li se rovnice ( 7.23 ) soucinem ρg, dostane se
konstghpv=++ ρρ
2
2 ( 7.24 )
Kazdy clen rovnice prestavuje tlak (kineticky , staticky, polohovy).
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı42
Soucet vs ech energiı, tj. kineticke, tlakove a polohove je celkova mechanicka energie
kapaliny, ktera podle Bernoulliho rovnice je v kazdem prurezu jedne a teze trubice konstantnı.
Bernoulliho rovnice vyjadruje zakon o zachovanı energie pr i proudšnı dokonale tekutiny za pusobenı
tıhoveho zrychlenı.-obr 7.5
Jednotlive cleny rovnice je mozno znazornit jako ňsecky. Soucet vys ek od libovolnš zvolene
vodorovne roviny urcuje v diagramu caru mechanicke energie a je roven konstantš v Bernoulliho
rovnici ( 7.17 ).
1
23
gH
v 2
v 2
v 2 2
322
21
cara energie
p1ρ
gh1
gh2 gh3
ρp2
ρp3
U 0
Obr. 7.5 Graficke znazornšnı Bernoulliho rovnice
konstYgHghpvghpvghpv
===++==++=++ρρρ 2
...22
2
22
22
11
21
( 7.25 )
Bernoulliho rovnice platı pro proudovou trubici, v jejıchz prurezech je rychlost rovnomšrnš
rozlozena. Pr i nerovnomšrnem rozlozenı rychlosti je nutno volit proudovou trubici velmi malych
prurezu, aby rozdıl rychlostı po prurezu proudove trubice byl zanedbatelny . Jinak je nutno prihlızet k
nerovnomšrnemu prubšhu rychlosti, coz vyjadruje strednı rychlost podle kineticke energie.
Do Bernoulliho rovnic je mozno dosadit absolutnı tlaky nebo relativnı tlaky, avs ak na obš
strany rovnice shodnš. Budiz znovu zduraznšno, ze rovnice ( 7.23 ) az ( 7.25 ) platı pro dokonalou
kapalinu, tedy bez vnitrnıho trenı a nestlacitelnou. Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu psana
pro dva prurezy jedne a teze proudove trubice obsahuje s est velicin: p1, v1, h1, p2, v2, h2. Hustota
kapaliny ρ se povazuje za znamou. Aby se pomocı Bernoulliho rovnice urcily parametry proudšnı,
musı by t pocet neznamych a pocet rovnic stejny . Pri res enı nejjednodus s ıho prıpadu lze tedy z
Bernoulliho rovnice vypocıst jednu neznamou. Ostatnı veliciny musı by t zname. To je dulezite pro
prakticke pouzitı Bernoulliho rovnice, nebo– v proudove trubici se musı nalezt jeden prurez, v nšmz
jsou vs echny veliciny (p1, v1, h1) zname. Druhy prurez je nutno volit v teze proudove trubici tam, kde je
hledana velicina (napr. rychlost v2) a ostatnı veliciny (p2, h2) jsou zname. Pri teto volbš prurezu
proudove trubice lze vypocıst neznamou velicinu. Bude-li vıce neznamych velicin, je nutno pouzıt
rovnici kontinuity, poprıpadš dals ı Bernoulliho rovnici pro jiny ňsek proudove trubice.
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 43
Polohova (potencialnı) energie proudu kapaliny se urcuje k libovolnš zvolene vodorovne
rovinš. Zpravidla se volı ekvipotencialnı plocha nuloveho potencialu (U = 0) tak, aby prochazela nıze
polozenym prurezem. Jeho vys ka je pak nulova. Pro body nad rovinou U = 0 je polohova vys ka kladna
(pro body pod rovinou U = 0 je zaporna).
Pro prakticke pouzitı Bernoulliho rovnice pro dokonalou kapalinu je mozno shrnout postup do
tšchto pravidel:
1. V proudove trubici se zvolı dva prurezy. V jednom prurezu je nutno znat vs echny veliciny (p1, v1,
h1). Druhy prurez se volı v proudove trubici v mıstš, kde je hledana velicina, pricemz ostatnı dvš
veliciny jsou zname.
2. Rozhodne se o zpusobu dosazovanı tlaku, a to jejich absolutnı nebo relativnı hodnoty, avs ak do
jedne a teze rovnice se dosazujı oba tlaky shodnš.
3. Zvolı se libovolna vodorovna rovina, ktera se povazuje za ekvipotencialnı plochu nuloveho
potencialu. Zpravidla se volı tak, aby prochazela jednım z vybranych prurezu, a to nejcastšji nıze
polozenym. Polohove vys ky se urcı ke zvolene vodorovne rovinš.
Nynı se napıs e Bernoulliho rovnice a vypocte neznama velicina.
Pro plyny, ktere majı v porovnanı s kapalinami malou hustotu, prevlada tlakova a kineticka
energie, polohova energie se da vuci nim zanedbat. U plynu je nutno urcit tlakovou energii
s prihlednutım ke stlacitelnosti tekutiny. Pro rychle dšje je nejblizs ı adiabaticka zmšna, pri nız
nedochazı k vymšnš tepla tekutiny s okolım.
Stavova rovnice adiabaticke zmšny
κρp
= konst = C; κρCp =( 7.26)
se diferencuje
ρρκ κ dCdp 1. −=
a dosadı do tlakove funkce2
1
2
1
112
1 11
2
1ρκ
κρ
κκ
ρρκρ
κρ
ρ
κ pCdCdpP−
=−
=== −−∫∫
Bernoulliho rovnice pro adiabaticke proudšnı dokonaleho plynu pak je
.1212 2
222
1
121 konstpvpv
=−
+=−
+ρκ
κρκ
κ ( 7.27)
Pomocı stavove rovnice rTp=
ρse Bernoulliho rovnice na tvar
.1212 2
22
1
21 konstrTvrTv
=−
+=−
+κ
κκ
κ ( 7.28)
Zavede-li se dale rychlost zvuku
rTa κ=2
potom Bernoulliho rovnice nabyva dals ı tvar
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı44
.1212
22
22
221 konstavav
=−
+=−
+κκ
( 7.29)
7.4. Mů renı mıstnı rychlosti
Uvazujeme proudšnı kapaliny ve vodorovnem potrubı podle
obr.7.6. Je-li v potrubı staticky tlak sp , pak kapalina vystoupı
v piezometricke trubici pripojene k otvoru, navrtanemu kolmo ke stšnš
a bez otrepu, do vys ky g
ps
ρ. Hladina v Pitotovš trubici (trubice
zahnuta proti smšru proudšnı potrubı) bude vys e a jejı poloha bude
zavisla jak na pretlaku v potrubı sp , tak i na rychlosti proudıcı
kapaliny v . V ňstı Pitotovy trubice je mıstnı rychlost 01 =v , a tedy
tlak 1p bude roven tlaku celkovemu cp . Rozdıl tšchto tlaku
dsc ppp =− .Je roven tlaku dynamickemu pd, popr. u kapalin
qpd = tlaku kinetickemu 2
21 vq ρ= ,
Z Bernoulliho rovnice psanı pro mısta 0 a 1
( )0;22 1
1211
2
===+=+ vppvpvp cs
ρρρρ
Pro rychlost kapaliny v mıstš 0 odvodıme rovnici
hgpppv dsc ∆==−
= 222ρρ
( 7.30)
0.3 dd
3d (8-10)d
0.1dpcps
0 x
ps
pd
pc
ρ
v pc
ps
1p
1Lp
1P
ρ ρm
∆h1
h0
Obr. 7.7 Prandtlova trubice Obr. 7.8 Mšrenı tlakove diference
Pitotova trubice mšrı celkovy tlak a je nutno staticky tlak mšrit piezometrickou trubicı. Prandtl
navrhl trubici, jez mšrı celkovy i staticky tlak (obr.7.7). Prandtlova trubice je tvorena valcovym tšlesem
pc
v1= 01
PitotovapiezometrickaTrubice
psρg
∆h
ps
pcρg
v
Obr. 7.6 Princip mšrenı mıstnı
rychlosti Pitotovou trubici
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 45
s pulkulovym ukoncenım. V ose trubice je otvor pro odbšr celkoveho tlaku cp , ktery je vyveden vnitrnı
trubicı. Staticky tlak sp se snıma v drazce nebo otvoru na plas ti vnšjs ı trubice a je vyveden druhou
trubicı. Aby tlak sp byl roven tlaku nerozrus eneho proudu, je odbšr statickeho tlaku umıstšn ve
vzdalenosti rovnajıcı se trem prumšrum trubice od jejıho ňstı. Pro Prandtlovu trubici pro rychlost platı
stejna rovnice jako pro Pitotovu trubici. Ú (7.31).
Pri mšrenı rychlosti v potrubı s všts ım pretlakem se pouzije diferencnı tlakomšr, napr. U-
trubice, ktera je naplnšna mšricı kapalinou o hustotš ρρ ⟩m . Dynamicky tlak scd ppp −= se urcı
z mšrenı na U-trubici, tj. tlakovou vys kou h∆ (obr. 7.8). Pro rovinu 1-1 platı, ze tlaky v levem i pravem
ramenu U-trubice jsou stejne PL pp 11 = , takze platı
( )hhgphgghp ocmos ∆++=∆++ ρρρ
z cehoz pro rozdıl tlaku platı
( )ρρ −∆=− msc hgpp
Rychlost tekutiny je pak urcena vztahem
ρρρ
ρ−
∆=−
= msc hgppv 22( 7.30)
Jestlize ,1⟩⟩ρ
ρm (napr. pr i proudšnı plynu) pak se rychlost tekutiny vypocte ze zjednodus eneho vztahu
ρρmhgv ∆= 2 ( 7.31)
Odklon Pitotovy trubice od smšru proudšnı do + 6o nema na vysledek mšrenı v podstatš vliv.
Prandtlova trubice umoznuje odklon od spravneho smšru do + 15o. Pr i spravnem natocenı osy trubice
do smšru vektoru mšrene rychlosti je z rovnice vypoctena rychlost s presnostı všts ı nez 1%.
d
1 32
v
4
2 13
5
Obr.7.9 Schema valcove sondy
Obr. 7.10 Schema kulove sondy
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı46
Pri mšrenı rychlosti u dvourozmšrneho proudšnı se pouzıva valcova sonda Ú obr. 7.9, ktera
ma tri otvory umıstšne symetricky v jedne rovinš. Rovina otvoru musı by t totozna s rovinou proudšne.
Otacenım sondy se nalezne poloha, pri nız je v otvorech 2 a 3 stejny tlak ( )32 pp = . Na stupnici ňhlu
se odecte otocenı sondy z vychozı polohy a urcı smšr rychlosti vzhledem ke zvolene souradne
soustavš. Z tlaku 1p , ktery je roven celkovemu tlaku cp , se urcı rychlost tekutiny. Sonda musı by t
cejchovana, nebo– otvory 2 a 3 nemšrı presnš staticky tlak. Jsou zpravidla odklonšny o 45o od osy
hlavnıho otvoru1.
Kulova sonda obr. 7.10 slouzı k mšrenı rychlosti proudu. Ma pšt otvoru symetricky umıstšnych
v kulovitem tšlese. Vzdy dva pary otvoru jsou umıstšny soumšrnš vzhledem ke strednımu otvoru, a to
ve dvou kolmych rovinach. Natacenım sondy kolem jejı osy (1-4-5) se nalezne poloha, pr i nız je ve
dvou symetricky umıstšnych otvorech 2 a 3 stejny tlak. Z hodnoty tlaku ve strednım otvoru a rozdılu
tlaku v otvorech 4 a 5 se z cejchovnı krivky odecte velikost rychlosti a jejı ňhel s rovinou 2-1-3. Pro
mšrenı mıstnı rychlosti slouzı rada dals ıch sond. Pro mšrenı okamzitych hodnot rychlosti je treba
pouzıt metod s malou setrvacnosti, nejrozs ırenšjs ı je metoda zhaveho dratku, nebo opticky
anemometr take nazyvany Laser Doplerovsky anemometr (LDA).
Pri jednorozmšrnem proudšnı napr. v uzavrenych kanalech nebo potrubıch, pri obtekanı tšles
skutecna tekutina na stšnš lpı a nasledkem viskozity je rychlost na stšnš nulova. V ostatnım prurezu
je rychlost nerovnomšrnš rozlozena po prutocnem prurezu. Pitotovou, popr. Prandtlovou trubicı se
urcuje rychlost v mıstš, v nšmz je celo trubice. Posouvanım trubice se zmšrı rychlosti, ktere jsou
zavisle na souradnici. Graficke znazornšnı prubšhu rychlostı po prutocnem prurezu se nazyva
rychlostnı profil.
1 2 3 41
1 2 3 4dc
ab
v1av1b
v1d1cv
vs1
v svv s3s2vs1v s4
d
d
21 v1v21 2
p2
p1
∆h
ρ ρm
ρv1
ρ
Obr. 7.11 Urcenı strednı rychlosti z rychlostnıho
profilu
Obr. 7.12 Princip Venturiho trubice
Ma-li se z namšreneho rychlostnıho profilu vypocıtat strednı rychlost, zvolı se v prutocnem
prurezu vhodny pocet bodu Ú obr. 7.11, ve kterych se zmšrı rychlost. Strednı rychlost se pak stanovı
integracı pres cely prutocny prurez
∫=Ss vdS
Sv 1 ( 7.32)
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 47
Volba poctu bodu nebo rovin je zavisla na konkretnıch podmınkach a nenı mozno proto dat
univerzalnı navod. Je-li rychlostnı profil nesymetricky, prıpadnš vznika zpštne proudšnı, volı se pocet
bodu obvykle všts ı.
7.5. Mů renı strednı rychlosti a pru toku (pru rezova mů ridla)
Velmi casto se mšrenı prutoku nebo strednı rychlosti prevadı na mšrenı tlakoveho rozdılu
mezi dvšma prurezy, z nichz jeden je zňzen. Klasickym predstavitelem tšchto mšridel je Venturiho
trubice -obr. 7.12 skladajıcı se ze vstupnıho konfuzoru, kratke valcove casti se zňzenym prurezem a
z dels ıho difuzoru. Zňzenı prutocneho prurezu zpusobuje zvšts enı rychlosti a tım se vyvola pokles
statickeho tlaku. Tlakovy rozdıl je zavisly na prutokove rychlosti (nebo prutoku) a da se jednodus e
mšrit.
Napis me Bernoulliho rovnici mezi prurezy 1 a 2 Venturiho trubice s vodorovnou osou pri
prutoku dokonale kapaliny.
22
222
211 vpvp
+=+ρρ
Dale napıs eme rovnici spojitosti222
2112211 ; dvdvSvSv ==
Pro diferencialnı manometr platı, ze rozdıl dvou tlaku ∆p=p1-p2 je urcen vztahem
( )ρρ −∆=−=∆ mhgppp 21
Res enım tšchto trı rovnic pro strednı rychlost 1v dostaneme vyraz
hK
dd
hgv vm ∆=
−
−
∆=
ρρρ
1
24
2
1
1
( 7.33 )
Pro prutok platı rovnice
hK
dd
hgddvSvQ Qm ∆=
−
−
∆===
ρρρππ
1
244 4
2
1
21
21
111
( 7.34 )
v2d d1 2v1
p2p1
1vd 1
p1
v2
p2
d 2
Obr. 7.13 Schema clony Obr. 7.14 Schema dyzy
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı48
Pri prutoku skutecne tekutiny bude nasledkem hydraulickych odporu skutecna rychlost mens ı.
Tento vliv se zahrne v soucinitelıch Qv KK , . Prakticke provedenı Venturiho trubice se provadı podle
C SN ISO 5167-1, kde jsou uvedeny hodnoty soucinitelu Qv KK , v zavislosti na zňzenı 21 / SSm = a
velikosti Reynoldsova cısla Re.
Vedle Venturiho trubice se castšji pro mšrenı strednı rychlosti nebo prutoku pouzıva clona Ú
obr.7.13 nebo dyza Ú obr- 7.14, jejichz podrobny vypocet uvadı C SN ISO 5167-1
7.6. Stacionarnı proudů nı idealnı tekutiny potrubım
Pri vy toku kapaliny z uzavrene nadrze potrubım
konstantnıho prurezu je treba vypocıtat vy tokovou
rychlost. Tato se urcı z Bernoulliho rovnice. Kineticka
energie na hladinš v tlakove nadobš je nulova, coz muze
by ti splnšno za dvou predpokladu. Buť do nadoby priteka
stejne mnozstvı jako odteka, nebo je nadoba tak rozlehla,
ze vytekle mnozstvı kapaliny zpusobı prakticky
zanedbatelny pokles hladiny. Potencialnı energie se
vztahuje vuci vodorovne rovinš, prochazejıcı tšzis tšm
vy tokoveho otvoru. To ma vyhodu, ze pro tento prurez je potencialnı vys ka nulova. (jinak je mozno
volit libovolnou vodorovnou rovinu za hladinu nuloveho potencialu).
Na hladinš v nadrzi je tlak p1 rychlost v1=0. Ve vy tokovem prurezu je rychlost 2v , tlak ovzdus ı
2p a polohova vys ka 02 =h . Pro prurez 1 a 2 napıs eme Bernoulliho rovnici
2
222
11 vpghp
+=+ρρ
Z poslednı rovnice je mozno vypocıst vy tokovou rychlost
−+==
gpphgvv
ρ21
2 2( 7.35)
Za tlak p1 a p2 se dosadı pretlak nebo absolutnı tlak.
Kdyz tlakovy rozdıl 21 pp − bude roven nule, je vy tokova rychlost dana vyrazem
ghv 2= ( 7.36)
coz je Torricelliho vzorec, ktery je zvlas tnım prıpadem Bernoulliho rovnice a byl odvozen drıve nez
obecnšjs ı rovnice Bernoulliho.
Z rovnice kontinuity se ucı objemovy nebo hmotnostnı prutok kapaliny potrubım
vmv QvSQvSQ ρρ === ; ( 7.37)
Poznamka: v uvedenem prıpadš je uvazovana dokonala kapalina (bez vnitrnıho trenı Ú vazkost). U
skutecne kapaliny se v dusledku vazkosti spotrebuje cast energie kapaliny na trecı praci. Skutecna
vy tokova rychlost bude proto mens ı. Blıze je o tom pojednano v dals ı stati o vy toku skutecnych kapalin
z nadob.
p
hv U = 0
p 1
1
1
1
2 2
v 1 0
Obr.7.15 Vy tok tekutiny u uzavrene
nadrze
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 49
8. Proudů nı vazke tekutiny
8.1. Navierova-Stokesova rovnice
Rovnovaha sil pri proudšnı skutecne tekutiny je vyjadrena Navierovymi-Stokesovymi rovnicemi.
Kromš sil vnšjs ıch, tlakovych a setrvacnych spojenych s vlastnım pohybem castic tekutiny, pristupujı u
skutecne tekutiny trecı sıly, ktere jsou zpusobeny viskozitou tekutiny. Pro matematicke vyjadrenı
trecıch sil se pouzije Newtonuv vztah dydv
ητ = .
Rovnovaha sil pri proudšnı skutecne tekutiny lze zapsat ve tvaru
tps FFFF ++= 0
Pri vzajemnem pohybu castic vznikajı ve skutecne tekutinš tecna napštı, ktera zpusobujı ňhlovou
deformaci castic. Na elementarnı objem skutecne tekutiny v podobnš hranolku o stranach dx, dy, dz
pusobı na jeho plochach smykova i normalova napštı Ú obr. 8.1
x
y
z
dz
dx
dy
σx
τxz
τxy τyz
τyx
σy
σz
τzy
τzx
σz
σz dzz+
zyτ + zy
zτ dz
dyτ +yzτyyz
+σyσyy dy
τyx+τ dyyyx
dzτzxz+τ
zx
+xyxyτ
x dxτ
τxz+
xzτx dx
x xdx
σx+σ
Obr. 8.1 Napštı na elementarnım objemu tekutiny
Stanovı-li se rovnovaha vs ech sil pusobıcıch na elementarnı objem, dostane se Navierova-
Stokesova rovnice, ktera ve vektorovem zapise pro nestlacitelnou tekutinu v pravoňhlem souradnem
systemu ma tvar
vavvv0 ∆+−=+
∂∂
υρ
gradpgradt
1.( 8.1)
Tato rovnice se od Eulerovy rovnice hydrodynamiky lis ı poslednım clenem na prave stranš.
Tento clen predstavuje sılu potrebnou k prekonanı viskoznıho trenı tekutiny.
Pri res enı proudoveho pole se zpravidla urcuje rozlozenı rychlostı a tlaku. Vedle pohybove
rovnice (8.1) se uplatnı i rovnice spojitosti.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı50
V systemu diferencialnıch Navierovych-Stokesovych rovnic a rovnice spojitosti jsou ctyri
nezname veliciny, tj. slozky rychlosti vx,vy,,vz a tlak p. Pro res enı tšchto rovnic musı by t zname vnšjs ı
zrychlenı ao, hustota tekutiny ρ a okrajove podmınky.
Navierovy-Stokesovy rovnice patrı mezi parcialnı diferencialnı rovnice nelinearnı a nejsou
obecnš res itelne. Analyticke res enı je dostupne pro jednodus s ı prıpady laminarnıho proudšnı.
V soucasne dobš i slozite prıpady laminarnıho proudšnı jsou res itelne numerickymi metodami napr.
metodou konecnych objemu (metoda sıtı).
8.2. Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu
1
23
H
v
v v 2g
23
22
21
energeticky horizont
p1
h1
h2 h3
p2
ρgp3
U 0
ρg
ρg
2g
2g0
v1
v2 v3
cara energie
h z13
h z12
Obr. 8.2 Bernoulliho rovnice pro skutecnou tekutinu
Rovnovaha sil pri proudšnı skutecnych kapalin je vyjadrena Navierovou-Stokesovou rovnicı
vavvv0 ∆+−=+
∂∂
υρ
pgradgradt
1 ( 8.2)
Vynasobıme-li tuto rovnici skalarnš vektorem drahy dzdydxd kjis ++= a za predpokladu ze
gradUao = , rovnice energie ma tvar
svssasvvsv0 ddpgradddgradd
t..1.. ∆+−=+
∂∂
υρ
Jejı integracı obdrzıme pro ustalene proudšnı, kdy 0=∂∂
tv
Bernoulliho rovnici pro skutecnou tekutinu
..2
2
1
2
konstdsUpv=∆+++ ∫ vν
ρ
Vyraz
zed =∫ sv..2
1
∆ν( 8.3)
predstavuje praci trecıch sil na jednotku hmotnosti proudıcı tekutiny, coz je rozpty lena (disipovana
mšrna energie, nebo tez mšrna ztratova energie spotrebovana na prekonanı hydraulickych odporu na
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 51
ňseku 1 Ú 2 proudove trubice. Tato mšrna ztratova energie zmens uje mechanickou energii
(tlakovou+kinetickou+polohovou) kapaliny a mšnı se v teplo.
Bernoulliho rovnice pro proudšnı skutecne kapaliny, na kterou pusobı pouze tıhove zrychlenı -
U=-g.h ma tedy tvar
zeghvpghvp+++=++ 2
222
1
211
22 ρρ
Mšrna ztratova energie ze se muze vyjadrit jako nasobek kineticke energie 2
2vez ζ= nebo tlakove
energii ρ
zz
pe = , poprıpadš ztratovou vys kou zz ghe = . Srovnanım uvedenych vztahu se dostane
ρζρ2
2vghp zz == ( 8.4)
Poslednı rovnice vyjadruje hydraulicky odpor tlakovym rozdılem pz, kteremu se tradicnš rıka
tlakova ztrata. Podobnš velicina zh , je oznacena jako ztratova vys ka i kdyz nejde o ztratu, ale
nezadanou premšnu mechanicke energie v tepelnou. Obš veliciny zh a zp jsou mırou rozpty lene
(ztratove) energie. Soucinitel ζ je ztratovy soucinitel a zavisı na druhu hydraulickeho odporu ci ztraty.
Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu psana pro prurezy 1,2 proudove trubice (obr. 9.1)
pomocı mšrne ztratove energie zz ghe = je
zghghvpghvp+++=++ 2
222
1
211
22 ρρ
( 8.5)
Kapalina proudı od prurezu 1 k prurezu 2. Ztratova vys ka zh zahrnuje vs echny hydraulicke
ztraty na ňseku mezi prurezy 1-2.
Podobnš jako pri proudšnı dokonale tekutiny (obr. 6.5) je mozne znazornit graficky take
Bernoulliho rovnici pro skutecnou tekutinu. Odectenım ztratove energie pro jednotlive prurezy od
konstanty Bernoulliho rovnice ( )0gHYo = se urcı mechanicka energie kapaliny, tj.soucet tlakove,
kineticke a polohove energie v uvazovanych prurezech, ktera je znazornšna v diagramu (obr.8.2)
prıslus nou carou. Rozdıl mezi carou celkove energie a carou mechanicke energie predstavuje
rozpty lenou (ztratovou) energii. V tepelnš izolovane proudove trubici se ves kera rozpty lena energie
jako tepelna predava tekutinš, cımz vzrusta jejı vnitrnı energie a stoupa teplota tekutiny.
C len se ztratovou vys kou v rovnici ( 8.5) narus uje symetrii rovnice. Pro spravne napsanı
Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu je treba se rıdit rovnšz tremi pravidly (odst. 6.3), k nimz
pribyva dals ı:
4. mšrna ztratova energie zz ghe = zahrnuje soucet vs ech hydraulickych ztrat na ňseku mezi
prurezy 1-2, pro nšz se pıs e Bernoulliho rovnice, a pricte se na te stranš rovnice, ktera platı pro
prurez proudove trubice ve smšru proudšnı vzdalenšjs ı.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı52
9. Laminarnı proudů nı
Laminarnı proudšnı je podstatnš jednodus s ı nez turbulentnı, v technicke praxi se vyskytuje tam,
kde jsou male prutocne kanaly, všts ı viskozita kapaliny a mens ı prutokove rychlosti. Laminarnı
proudšnı lze res it integracı Navierovych-Stokesovych rovnic, slozitšjs ı prıpady proudšnı se res ı
numerickymi metodami. Jednodus s ı prıpady proudšnı se dajı res it exaktnš a jsou probrany v dals ıch
kapitolach. Pri res enı laminarnıho proudšnı se uplatnuje Newtonuv vztah dydv
ητ = , ktery odpovıda
skutecnosti, a proto se dosahuje dobra shoda s experimentalnımi vysledky.
9.1. Laminarnı prudů nı v kruhovem potrubı
Ve vodorovnem
kruhovem potrubı zvolıme
elementarnı objem ve tvaru
souoseho valecku, viz obr. 9.1.
Na takto zvoleny objem kapaliny
pusobı sıly plos ne a to trecı a
tlakove. Objemove sıly se
neuplatnı, protoze potrubı je
vodorovne a proudšnı je
ustalene. Na celnı plochu
zvoleneho valecku pusobı tlak p ,
ktery na draze dx se zmšnı na (p+dp). Tšmto tlakum odpovıda tlakova sıla2
1 .. rpFp π= a ( ) 22 .rdppFp π+= .
Na plas ti valecku pusobı trecı sıla dxrFt ..2. πτ= . Vs echny uvedene sıly musı by t za ustaleneho
proudšnı v rovnovaze, nebo– setrvacna sıla je nulova. Pro rovnovahu sil platı
021 =−− tpp FFF
Dosazenım vyrazu za jednotlive sıly dostaneme
( ) 0.2.. 22 =−+− rdxrdpprp πτππ
Z cehoz
rLpr
dxdp z
21
21
−=−=τ ( 9.1 )
Predpoklada se ,ze platı Lp
dxdp z=
Z poslednı rovnice je zrejme, ze smykove napštı je u laminarnıho proudšnı rozlozeno linearnš viz obr.
9.1.
τ = f (r)r v = f (r)max
maxτ vs
vRr
v
p (p+dp)
dx
dx
0
2 1
Obr.9.1 Laminarnı proudšnı v potrubı
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 53
Dosazenım Newtonova vztahu pro smykove napštı drdv
ητ = do predchazejıcı rovnice odvodıme
diferencialnı rovnici rychlostnıho profilu
η2.drr
Lpdv z=
a po integracı obdrzıme rovnici pro rychlost
KrLpv z +−= 2
41η
Integracnı konstanta se urcı z okrajovych podmınek na stšnš trubice, kde rychlost castic kapaliny je
nulova. Pro 2dr = je v=0, z cehoz integracnı konstanta 2
161 d
LpK z
η=
Po dosazenı do obecneho res enı je rychlostnı profil laminarnıho proudšnı v kruhove trubici
vyjadren vztahem
−
= 2
2
241 rd
Lpv z
η
( 9.2 )
Maximalnı rychlost je v ose potrubı (r = 0), a to
2max 16
1 dLpv z
η=
( 9.3 )
Graficke znazornšnı rovnice rychlostnıho profilu v rovinš rezu prochazejıcıho osou trubice je
kvadraticka parabola. V prostotu predstavuje rychlostnı profil rotacnı paraboloid. Ú obr. 9.1
Prutok trubicı se urcı integracı elementarnıho prutoku kapaliny rvdrdQv π2= , ktery proteka
elementarnım mezikruzım na polomšru r o s ırce dr tlakovym rozdılem pz na delce trubice L
∫∫ ∫ =
−
===
22
0
42
22
0 128.
22..2.
dd
Ldpdrrrd
LpdrvrdSvQ z
Sv η
πη
ππ
( 9.4 )
Tuto rovnici odvodil v roce 1840-1841 Poiseuille, francouzsky lekar, ktery studoval proudšnı krve
v zılach. Uvedeny vyraz platı presnš pro laminarnı proudšnı. Experimentalnš ovšril tento zakon
proudšnım vody ve sklenšnych kaplilarach. Nezavisle na nšm odvodil uvedeny vyraz tez Nšmec
Hagen v roce 1839. Proto se oznacuje tato rovnice dosti casto jako Hagen-Poiseuilleova.
Strednı rychlost podle prutoku se vypocıta ze vztahu
,128
.4
.42
LdpvdQ z
sV ηπ
π ==
z cehoz
Ldpv z
s η32
2
=( 9.5 )
Porovnanım strednı rychlosti (9.5) a maximalnı (9.3) vyplyva vztah
21
max
=vvs
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı54
Je treba pripomenout, ze
laminarnı proudšnı v potrubı nastane pr i
2320ReRe =⟨ k , coz je soucasnš
podmınkou platnosti Hagen-Poiseuillova
zakona.
Zakon Poiseuilleuv platı jen pro
ustalenı laminarnı proudšnı, kdy
rychlostnı profil v jednotlivych prurezech je stejny , coz nastava po urcite draze od pocatku trubice-
obr.9.2.Tekutina po vstupu do trubice ma rychlostnı profil odpovıdajıcı dokonale tekutinš. V prvem
okamziku majı castecky kapaliny u stšny rychlost stejnou jako v ostatnım proudu kapaliny. Teprve
stykem kapaliny se stšnou jsou castecky zbrzdšny, cımz vznikajı rozdıly v rychlostech castic a
vznikajı tecna napštı od vazkosti mezi jednotlivymi vrstvami proudu. Tak jsou postupnš zbrzťovany
dals ı castice, v jadru proudu jsou castice naopak urychlovany. Draha na nız se vyvıjı rychlostnı profil,
se nazyva rozbšhovou drahou laminarnıho proudu. Pro rozbšhovou drahu uvadı Boussinesq vyraz
Re065,0≥dxr , Schiller 025,0≥
dxr Re.
Je zrejme, ze k ustalenı rychlostnıho profilu dojde dosti daleko od vstupnıho prurezu, takze
v kratkych trubkach se laminarnı rychlostnı profil nevyvine, a proto u nich zakon Hagen-Poiseuilleuv
neplatı.
9.2. Laminarnı proudů nı mezi rovnobů znymi deskami
Mezi rovnobšznymi stšnami je tlakovym
spadem 21 ppp −=∆ vyvolano laminarnı
proudšnı ve vodorovnem smšru (obr. 9.3).
Predpoklada se izotermicke proudšnı (t= konst),
a tedy i izoviskoznı (η = konst.). Vertikalnı
vzdalenost desek je h. Rovnovaha sil je
vyjadrena obdobnš jako v predchazejıcım
prıpadš tlakovymi a trecımi silami. Na hranolek
o jednotkove s ırce b=1 a rozmšrech dx, dy
pusobı elementarnı tlakova sıla.
( )bdydppdypbdFp +−= .
a elementarnı trecı sıly
( )bdxdbdxdFt τττ +−= .
Rovnovaha sil je vyjadrena rovnicı 0=+ tp dFdF , takze po dosazenı za sıly se dostane
0=+− dxdbdydpb τ
a po ňpravš je
v v vv
x r
d
Obr.9.2 Rozbšhova draha laminarnıho profilu
τ = f (y)
y
v = f (y)max
maxτ vs
v
R
v
p (p+dp)
x
v
dxy
dyτ
τ+dτh
0
L
2 1
Obr.9.3 Laminarnı proudšnı mezi deskami
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 55
idxdp
dyd
==τ
Z Newtonova vztahu dydv
ητ = se urcı derivovanım ( ).konst=η
idy
vddyd
== 2
2
ητ
Porovnanım poslednıch dvou vyrazu obdrzıme diferencialnı rovnici pro rychlostnı profil
dxdp
dyvd
=2
2
η( 9.6 )
Tlakovy ňbytek bude prımo ňmšrny delce L, proto platı
iLp
Lpp
Lpp
dxdp z ==
−−=
−= 2112
Po dvojı integraci rovnice( 9.6) se dostane
212
2KyKy
Lpv z ++−=η
( 9.7 )
Integracnı konstanty se urcı z okrajovych podmınek. Na stšnach desek castice kapaliny lpı, a proto
majı nulovou rychlost. Pro y=0 a y=h je v=0, z toho K2 = 0
Po dosazenı za K2 =0 do rovnice (9.7) dostaneme
02 1 =+− hK
Lhp z
z
η
odkud pro K1 platı
LhpK z
η21 =
Po dosazenı do obecneho res enı se pro rychlost dostane
( )yyhL
pv z −=η2
( 9.8 )
Rychlostnı profil je kvadraticka parabola. Maximalnı rychlost se urcı z podmınky pro maximum, tj.
.0=dydv
Maximalnı rychlost je uprostred vzdalenosti desek h, cili 2hy =
Lphv z
η8
2
max =( 9.9 )
Prutok se urcı integracı elementarnıho prutoku dybvdQv = , ktery proteka elementarnı
plos kou b.dy
( ) 3
0
2
0 122h
Lpbdyyhy
LpbdyvbQ z
hz
h
v ∫∫ =−==ηη
Strednı rychlost podle prutoku je
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı56
Lph
bhQ
SQv zvv
s η12
2
===( 9.10)
Pomšr strednı a maximalnı rychlostı je
32
max
=vvs
Proudšnı v mezere muze by t ovlivnšno kromš tlakoveho spadu tez pohybem jedne ze stšn
rychlostı ±u (obr. 9.4). Pro tento prıpad se odvodı rychlostnı profil z rovnice (9.7) pro okrajove
podmınky uvhyvy ±==== ,,0,0 . Pak integracnı konstanty jsou
2221 82
, hL
puKhuK
η+±=±= a po dosazenı do rovnice (9.7) je rychlostnı profil urcen vztahem
+±
−=
21
41
2
22
hyu
hyh
Lpv z
η
( 9.11 )
Rychlostnı profily jsou znazornšny pro oba smysly unas ive rychlosti u na obr. 9.4.
Jestlize je proudšnı vyvolano jen
unas enım, pak 0=Lp z a rychlostnı
profil je linearnı
+±=
21
hyuv
( 9.12 )
Rychlostnı profil slozeneho proudšnı (vyvolaneho tlakovym spadem a unas enım stšny) urceny
rovnicı (9.11) je sectenım rychlostnıch profilu pro dılcı proudšnı.- rov (9.8) a (9.12)
Prutok pri slozenem proudšnı, jehoz rychlostnı profil je urcen rovnicı (9.9), se urcı integracı
bhuhL
pbuhhL
pdyvbQ zzh
hv
±=
±== ∫
− 21
1221
1223
2/
2/ ηη
( 9.13 )
Strednı rychlost slozeneho proudšnı v mezere je
uhL
pbhQ
v zvs 2
112
2 ±==η
( 9.14 )
9.3. Laminarnı proudů nı ve valcove mezere-mezikruzı
V hydraulickych strojıch a zarızenıch se casto setkavame s prıpady, kdy kapalina proudı
valcovou mezerou (prutocny prurez je mezikruzı)-obr.9.5. Tak je tomu u cerpadel, turbin, s oupatek,
ventilu, kluznych lozisek apod. Proudšnı ve valcove rovinš lze res it pro male hodnoty 1/ ds jako
rozvinutou valcovou mezeru do roviny, cımz se prıpad pr ivede na proudšnı mezi dvšma
rovnobšznymi.- viz kap. 9.2. Valcove mezery slouzı k tšsnšnı nejruznšjs ıch castı hydraulickych stroju
y (+) u
v
x
y(-) u
v
x
Obr.9.4 Rychlostnı profily slozeneho proudšnı
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 57
a zarızenı, z nichz jedna kona vuci druhe relativnı pohyb. Nejjednodus s ı prıpad nastane, kdyz obš
casti jsou v relativnım klidu. Vzajemna poloha obou castı muze by t buť souosa nebo vystrednı. Prutok
valcovou mezerou lze urcit jako prutok mezi dvšma deskami. Sırka mezery v tomto prıpadš se rovna
obvodu kruznice, tedy db π= a vzdalenost desek h odpovıda tlous –ka valcove mezery, cili sh = . Po
dosazenı se dostane prutok:
3.12
hdLpQ z
v ηπ
=( 9.15 )
a strednı rychlost
Lph
SQv zv
s η12
2
== ,( 9.16 )
kde prutocna plocha valcove mezery je dsS π= .
Protekle mnozstvı valcovou mezerou
zavisı na tretı mocninš jejı tlous –ky, proto je
snahou konstrukteru docılit co nejmens ı vule, aby objemove ztraty byly minimalnı.
Podobny vliv ma vystrednost. Na prutok ma tez vliv vystrednost mezery, ktera nastane, jestlize osy
obou valcovych ploch o prumšrech d a 1d nebudou totozne. Maximalnı vystrednost je
21
maxdde −
= . Prutok mezerou s maximalnı vystrednostı je 2,5x všts ı nez u souose valcove mezery.
9.4. Stekanı po svisle stů nů
Viskoznı kapalina, ktera ulpıva na svisle stšnš, steka po nı vlivem tıhoveho zrychlenı (obr.
9.6). Predpoklada se izotermicke proudšnı (t = konst), ktere je take izoviskoznı (η = konst). Na
elementarnı casticı kapaliny o s ırce b a rozmšrech dx, dy pusobı tıhove a trecı sıly ve smšru osy y.
Predpoklada se ustalene rovnomšrne proudšnı. Vyslednice sil ve smšrech os x , z jsou nulove. Na
rozhranı stekajıcı vrstvy kapaliny o tlous –ce h s ovzdus ım je tlak ovzdus ı op . Tlak ve stekajıcı vrstvš
je konstantnı. Rovnovaha sil na zvoleny elementarnı hranolek je vyjadrena rovnicı
( ) 0=+−+− dybddybdydxgb τττρ
a po ňpravš se dostane diferencialnı rovnice
gdxd
ρτ
−=
jejız res enı je
oKgx +−= ρτ
p1
p2
L
d1
dv
h
1d d
Obr.9.5 Valcova mezera
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı58
Tecne napštı na rozhranı kapaliny s ovzdus ım je temšr nulove, tedy pro
hx = je 0=τ , cili ghK o ρ= . Prubšh smykoveho napštı ve stekajıcı
vrstvš je dan rovnicı
( )xhg −= ρτ ( 9.17 )
Tecne napštı se vyjadrı Newtonovym vztahem dxdv
ητ = a integracı se urcı
rychlostnı profil
12Kxxh
vgv +
−=
Na stšnš je rychlost nulova, pak pro 0=x je 0=v a integracnı konstanta
01 =K .
Rychlostnı profil stekajıcı vrstvy kapaliny po stšnš je urcen rovnicı
xxhvgv
−=
2
( 9.18 )
Prubšh rychlosti ve vrstvš je parabolicky (9.6). Maximalnı rychlost je na rozhranı vrstvy s ovzdus ım a
vypocte se z podmınky pro hx = je maxvv = , cili
ν2
2
maxghv =
( 9.19 )
Prutok vrstvou kapaliny o s ırce b se urcı integracı elementarnıho prutoku plos kou bdxdS = rychlostı
v dle rovnice (9.16)
∫∫ =
−==
hh
v vgbhxdxxh
vgbvdxbQ
0
3
0 32
( 9.20 )
Pro dany prutok Qv se urcı tlous –ka vrstvy
33
gbvQh v=
( 9.21 )
Strednı rychlost ve vrstvš je
vgh
bhQv v
s 3
2
==( 9.22 )
Porovnanım strednı rychlosti s maximalnı rychlostı vyplyva vztah
max32 vvs =
( 9.23 )
v = f(y)y
τ
τ+dτ
0 x
dyy
dx
h
Obr. 9.6 Stekanı po
svisle stšnš
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 59
10. Turbulentnı proudů nı
10.1. Vznik turbulence
Jiz v polovinš minuleho stoletı Reynolds zjistil a formuloval, ze se tekutina muze pohybovat
dvšma kvalitativnš zcela odlis nymi typy proudšnı, ktere pak byly nazvany laminarnı a turbulentnı.
Rozhranı mezi obšma druhy proudšnı nam udava Reynoldsovo kriticke cıslo. Jeho hodnota je zavisla
na radš parametru napr. na geometrii proudu, tlakovem spadu, atd. Pro potrubı kruhoveho prurezu je
spodnı mez asi 2 000. Pro ustalene laminarnı proudšnı je charakteristicke, ze se castice tekutiny
pohybujı po paralelnıch drahach, jednotlive vrstvy se navzajem nemısı (neuvazujeme molekularnı
difuzi). Laminarnı proud vytekajıcı z vodovodu ma hladky povrch jako sklenšna tyc. Pro turbulentnı
proudšnı jsou typicke pulsace vs ech velicin napr. rychlostı. Trajektorie castic tekutiny jsou
nepravidelne, dochazı k intenzivnımu promıchavanı celeho objemu proudıcı tekutiny. Povrch
turbulentnıho proudu vody vytekajıcıho z vodovodu je proto nepravidelny , "drsny" a proud je
nepruhledny . Okamzite hodnoty vs ech velicin neustale kolısajı kolem strednı hodnoty. Pro technicke
vypocty v praxi jsou všts inou dulezite strednı hodnoty zjis tšne za dostatecnš dlouhy casovy interval
jako napr. rychlostnı profil - tj. zavislost strednı rychlosti na vzdalenosti od stšny potrubı - pro vypocet
prutoku. Odchylky okamzitych hodnot od strednıch muzeme rozdšlit na periodicke a nahodile, ktere
nazyvame fluktuace. Napr. fluktuace rychlosti pri vyvinutem turbulentnım proudšnı v potrubı dosahuje
asi 10 % strednı rychlosti.
Prechod laminarniho proudšnı do turbulentnıho je jes tš stale studovany , neuzavreny problem.
Za prıcinu vzniku turbulentnıho proudšnı se povazuje nestabilita laminarnıho proudšnı pr i vys s ıch
Reynoldsovych cıslech. Je-li Reynoldsovo cıslo proudu Re všts ı nez Re, kriticke neznamena to vs ak
jes tš, ze by laminarnı proudšnı nemohlo existovat, ale je nestabilnı a i male poruchy proudšnı,
vznikajıcı napr. ve vstupnım prurezu temšr neustale, mohou by t prıcinou zhroucenı laminarnıho
proudu (analogicky jev je s tıhla tyc namahana na vzpšr), nebo– tyto odchylky od strednı hodnoty
exponencialnš narustajı. Je-li Reynoldsovo cıslo mens ı nez Re kriticke, jsou tyto poruchy viskozitou
tekutiny utlumeny.
Pri postupnem zvys ovanı Reynoldsova cısla, napr. zvys ovanım rychlosti proudšnı v potrubı,
nedochazı zpravidla ke zmšnš proudšnı nahle Ú skokem, nybrz v urcitem, i kdyz relativnš malem
intervalu Reynoldsovych cısel - v potrubı kruhoveho prurezu asi od 2 000 do 4 000. Pri urcitych
hodnotach Reynoldsova cısla se v potrubı objevujı zprvu kratke ňseky turbulentnıho proudu vystrıdane
dels ımi ňseky laminarnıho proudšnı (turbulentnı zatky).Tento typ proudšnı se nazyva intermitentnı
proudšnı. S rostoucım Re jsou ňseky turbulentnıho proudu stale dels ı a laminarnıho krats ı az
postupnš laminarnı ňseky zcela zmizı. Pri prutoku potrubım se celo turbulentnı zatky pohybuje rychleji
nez jejı ty l a zatka se s rostoucı vzdalenostı od vstupnıho prurezu stale vıce prodluzuje, az se v
dostatecne vzdalenosti od vstupu do potrubı objevuje jen turbulentnı proudšnı, i kdyz se Reynoldsovo
cıslo proudšnı nemšnı.
Pri turbulentnım proudšnı je pak propustnost potrubı mens ı nez by mohla teoreticky by t pri
laminarnım rezimu. Avs ak turbulentnı proudšnı je stabilnšjs ı.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı60
S laminarnım a turbulentnım proudšnım se setkame nejen pri prutoku tekutin potrubım, tj. pri vnitrnıch
ňlohach mechaniky tekutin, nybrz i pr i obtekanı tšles, tj. pr i vnšjs ıch ňlohach mechaniky tekutin.
10.2. Charakteristiky turbulentnıho proudů nı
Slovo turbulence znamena zmatek, nepokoj, neukaznšnost, nepravidelnost, nahodilost, divokost,
bourlivost. Zatım nenı jednotna definice turbulentnıho proudšnı, v jednotlivych definicıch se zduraznujı
zpravidla jen nšktere znaky. Turbulentnı proudšnı je trojrozmšrny , casovš promšnny pohyb tekutiny,
pn nšmz kazda velicina napr. rychlost, tlak, hustota, teplota ap. (pokud nenı z nškterych duvodu
konstantnı) se mšnı vıce menš nahodile. Nahodne (chaoticke, stochasticke) rysy turbulentnıho
proudšnı jsou dominantnı. Nelze vs ak asi definovat turbulentnı proudšnı za "zcela nahodile", jednak i
turbulentnı proudšnı je popisovano zakladnımi rovnicemi pro prostorove proudšnı, viz kap. 19, jednak
turbulentnı proudšnı obsahuje usporadane skupiny vıru zvane "koherentnı struktury". K tšmto
poznatkum se dospšlo bšhem poslednıch nškolika desıtek let, dıky stale se zdokonalujıcım
experimentalnım metodam. Vyvstava nynı otazka, zda je nahodilost fluktuacı postacujıcı k tomu, aby
turbulentnı proudšnı bylo popisovano statistickymi metodami, nebo zda Ize najıt, jine vhodnšjs ı
metody. V praxi se mohou vyskytnout proudšnı, u kterych budeme na rozpacıch, zda je zaradit do
kategorie turbulentnıho nebo neturbulentnıho proudšnı. Periodicka proudšnı (napr. vlny na vodnı
hladinš) se nepovazujı za turbulentnı proudšnı.
Pro turbulentnı proudšnı jsou, strucnš shrnuto, charakteristicke:
1) Fluktuace rychlosti, tlaku a prıpadnš dals ıch velicin.
2) Vıry o ruznych velikostech, od nejvšts ıch s rozmšry srovnatelnymi s velikostı proudu tekutiny jako
napr. polomšrem potrubı, jez se deformujı, promıchavajı a rozpadajı az po nejmens ı o prumšru
setin mm, jez jsou silnš tlumeny viskozitou tekutiny a jejichz kineticka energie se premšnuje ve
vnitrnı tepelnou energiı.
3) Nahodilost (stochasticnost, chaoticnost) zmšn je dominantnı, i kdyz i ve vyvinutem turbulentnım
proudšnı bylo prokazano, ze existujı usporadane skupiny vırovych struktur, vyznacujıcı se
nahodnymi fluktuacemi fazoveho posunu.
4) Samobuzenı. Jednou vznikle turbulentnı proudšnı se dale udrzuje samo tım, ze vytvarı nove vıry,
ktere nahrazujı vıry, jez jsou vlivem viskozity disipovany.
5) Promıchavanı (difuzivita) je mnohem intensivnšjs ı nez pr i laminarnım proudšnı (smšs ovanı
zpusobene pohybem molekul), nebot' turbulentnı smšs ovanı je zpusobeno velkymi vıry,
pohybujıcımi se ve vs ech trech smšrech na mnohem všts ı vzdalenosti, nez je strednı volna draha
molekul.
Pro mšrenı casovš promšnnych velicin bylo treba vyvinout specialnı prıstroje s malou
setrvacnostı, nebo– spektrum fluktuacı se pohybuje od 1 Hz do 100 kHz. Napr. pro mšrenı okamzitych
rychlostı, resp. slozek, nelze pouzıt Prandtlovu trubici (mšrı strednı hodnotu), nybrz termoanemometr
se zhavenym dratkem, nebo laserovy anemometr. Tyto prıstroje prevadšjı rychlost na elektricky
mšritelne veliciny. Na oscilografu pak zıskame napr. zaznam okamzitych hodnot slozek rychlostı ve
smšru x a y v urcitem mıstš jako funkci casu. Prubšh vx a vy povazujeme za nahodny Ú obr. 10.1 a
muzeme ho charakterizovat tšmito velicinami:
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 61
Strednı hodnotou vx resp. vy za cas T napr.
∫=T
xx dtvT
v0
1 (10.1)
Okamzitou hodnotu vx lze pak vyjadr it jako soucet hodnoty
strednı xv a fluktuacnı xv′ (nynı povazujeme periodickou
slozku rovnu nule)
xxx vvv ′+= . ( 10.2 )
Z rovnice (10.1) plyne, ze strednı hodnota strednı hodnoty je
rovna strednı hodnotš xx vv = a pak strednı hodnota fluktuacı je rovna nule
∫ =′=′T
xx dtvT
v0
01 ( 10.3 )
Intenzita turbulence charakterizuje relativnı velikost amplitud fluktuacı rychlosti vzhledem ke
strednı hodnotš rychlosti napr. pro smšr x
x
xx v
v 2′=ε .
( 10.4 )
Intenzita turbulence pri vyvinutem proudšnı v potrubı kruhoveho prurezu je zavisla na smšru - podelne
fluktuace jsou všts ı nez prıcne, v ose majı minimum, maximum je v tšsne blızkosti stšny a na stšnš
jsou rovny nule. Intenzita turbulence je definovana stejnš jako variacnı koeficienty v matematicke
statistice Ú obr. 10.2.
U stochastickych jevu nenı jednoznacna zavislost mezi
dvšma nebo vıce velicinami, jako je tomu u
deterministickych zavislostı, coz se projevuje jako v
detailech odlis ne vysledky opakovanych experimentu.
Existuje vs ak urcita pravdšpodobnost, ze hodnotš jedne
veliciny odpovıda urcita hodnota druhe veliciny. Tato
zavislost muze by t tšsna nebo volna, prıpadnš zadna.
Stupen zavislosti udava korelacnı soucinitel. Z prubšhu
korelacnıch soucinitelu lze pak urcit ruzna mšrıtka
turbulence. Napr. delkove makromšrıtko charakterizuje
efektivnı rozmšr vıru, atd.
10.3. Matematicky popis turbulentnıho proudů nı
Prıme modelovanı s vyuzitım Navier-Stokesovych rovnic, viz kap. 19, bude jes tš dlouho kabinetnı
zalezitost. Pro prakticke pouzitı se vyuzıvajı
1) Statisticke teorie. Prenosove jevy v turbulentnım proudu majı dominantnı nahodny charakter a
bylo pr irozene pouzıt k jejich popisu nastroje matematicke statistiky. Jiz v minulem stoletı
t
v
x
T
v
váx
vy
vx
Obr.10.1 C asovy prubšh rychlosti
osa
potr
ubı
sten
a
2468
1012
ε [%]
r
xε
εy
Obr.10.2 Rozlozenı turbulence v potrubı,
x-ova slozka je podelna Ú axialnı, y-ova
je radialnı
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı62
Reynolds upravil Navierovy - Stokesovy rovnice pro turbulentnı proudšnı tak, ze nahradil okamzite
hodnoty velicin jejich strednımi hodnotami a fluktuacemi. Dostal tak tri nove rovnice, nazyvane po
nšm Reynoldsovy rovnice, se s esti novymi neznamymi typu
jiij vv ′′= ρτ ( 10.5 )
kde indexy i a j postupnš nahradıme symboly pro souradne osy x, y, zŽ Vyraz ( )jivv ′′ je strednı
hodnota soucinu fluktuacnıch slozek rychlostı. Prave strany rovnice ( 10.5 ) majı rozmšr napštı a
nazyvajı se Reynoldsova (zdanliva) turbulentnı napštı. Protoze nynı pocet neznamych prevys uje pocet
rovnic, nenı soustava rovnic uzavrena, a hledajı se stale nove moznosti uzavrenı soustavy. Tımto
smšrem se zde nebudeme vıce zabyvat.
2) Semiempiricke modelovanı strednıch turbulentnıch velicin. Tento smšr se soustreťuje na
stanovenı velicin jez majı vyznam pro inzenyrskou praxi, jako napr. pole strednıch rychlostı, tecna
napštı, ap. Prvnı pokus res enı turbulentnıho proudšnı predlozil Boussinesq (1877), ktery zavedl
zdanlivou (vırovou) viskozitu A , jez je analogiı dynamicke viskozity tekutiny. Na rozdıl od nı nenı
zdanliva viskozita latkovou vlastnostı, nybrz je funkcı souradnic a je zavisla na geometrii a dals ıch
charakteristikach proudoveho pole. Pro rovinne turbulentnı proudšnı lze pak zdanlive tecne napštı
vyjadrit rovnicı
dyvd
A xt =τ
( 10.6 )
a vysledne tecne napšti v turbulentnım proudu bude rovno souctu
( )dyvd
A x+= ητ .
Ve sve dobš mšl velky vyznam model prenosu hybnosti (Prandtl, 1925), vychazejıcı z analogie s
kinetickou teoriı plynu. Analogiı strednı volne drahy molekul byla tzv. smšs ovacı delka, kterou bylo
nutno urcit experimentalnš. I tato velicina byla funkcı souradnic, resp. geometrie proudoveho pole.
Fluktuace rychlostı, resp. zdanlive tecne napštı, bylo ňmšrne soucinu smšs ovacı delky a mıstnıho
gradientu strednı rychlosti. I pres velmi hrube predpoklady byl zıskan vyznamny a dodnes uznavany
vysledek - logaritmicky rychlostnı profil, obr. 10.3.
1* ln Kyvvz +=
κ ,
( 10.7 )
kde ρτ 0* =v = konst pro dany prıpad proudšnı. τ0 je tecne napštı na stšnš, ρ je hustota tekutiny.
Druha odmocnina z podılu tšchto dvou velicin ma rozmšr rychlosti a nazyva se trecı rychlost v* , y je
odlehlost od stšny potrubı, κ je tzv. Karmanova konstanta, jejız hodnota se pohybuje kolem 0,4 a K1 je
integracnı konstanta. Tento tzv. logaritmicky zakon neplatı v blızkosti stšny, nebo– na stšnš, pro
y = 0, dava nekonecnš velikou rychlost. Ani integracnı konstantu nemuzeme jako obvykle stanovit
z podmınky, ze na stšnš tekutina lpı a rychlost je nulova. Prandtl a Karman proto pozdšji rozdšlili
turbulentnı proud v blızkosti stšny na tri oblasti, t.j.- obr. 3.10.
a) vazkou podvrstvu, v tšsne blızkosti hladke stšny, kde prevazuje viskoznı tecne napštı nad
zdanlivym turbulentnım napštım, nebot' prıcne slozky fluktuacnıch rychlostı jsou stšnou tlumeny.
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 63
Tato vrstva byla puvodnš nazyvana laminarnı podvrstvou, ale experimenty bylo prokazano, ze se
v nı vyskytujı fluktuace. Tato vrstva je velmi tenka, zlomky milimetru, ale ma velky vyznam pri
prestupu tepla. Rychlostnı profil je prımkovy .
b) turbulentnı jadro proudu, v urcite vzdalenosti od stšny uz tecne napštı zpusobene viskozitou
tekutiny je zanedbatelnš male ve srovnanı se zdanlivym turbulentnım napštım. V teto oblasti platı
logaritmicky zakon, v teto formš zvany zakon stšny.
c) prechodova vrstva je ta cast proudu, kde obš tecna napštı zpusobena viskozitou nebo
turbulentnım smšs ovacım pohybem jsou radovš stejnš velika a rychlost plynule prechazı z
prımkoveho na logaritmicky zakon.
Na zakladš experimentu provedenych v hladkych trubicıch byly stanoveny i nezname
konstanty v logaritmickem zakonš:
5,5log75,5 *
*
+=ν
yvvvx .
( 10.8 )
V literature zabyvajıcı se turbulencı se zavadı bezrozmšrna rychlost
*vv
v x=+( 10.9 )
a bezrozmšrna odlehlost od stšny
vyvy *=+ .
( 10.10 )
Logaritmicky zakon ma pak tvar
5,5log75,5 += ++ yv
a je znazornšn v semilogaritmickych
souradnicıch na obr.10.3.
Jestlize integracnı konstantu K1 v rovnici (
10.7 ) urcıme z podmınky pro osu trubice, pro
nız je odlehlost od stšny rovna polomšru
trubice y = r0 a rychlost je zde rovna
maximalnı rychlosti maxvvx = , dostaneme po
ňpravš rovnici pro tzv. deficit rychlosti (take
defekt rychlosti) xvv −max coz je ňbytek
rychlosti vzhledem k rychlosti v ose:
yr
vvv x 0
*
max log75,5=−
.( 10.11 )
Z rovnice vidıme, ze deficit rychlosti nezavisı na drsnosti, coz bylo potvrzeno i experimentalnš.
Zname-li rovnice rychlostnıho profilu strednıch rychlostı ( )rv a dokazeme-li integracı po
prurezu stanovit objemovy prutok Qv, strednı objemovou rychlost po prurezu SQv v= a pomšr
maximalnı rychlosti na ose prurezu ku strednı objemove rychlosti v, tj. rychlost, kterou jsme dosazovali
do rovnice kontinuity a do Bernoulliovy rovnice a stejnš jako drıve ji budeme oznacovat prostym
log y +
v+
v = 5.75 log y + 5.5+
v =+ f(y ) +
+
20
15
10
50
1 5 10 30 100
turbulentnı jadroprechodova vrstva
laminarnı podvrstva*v =+
v v x
νv y
y =+*
τρ v = 0*
Obr.10.3 Turbulentnı rychlostnı profil
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı64
pısmenem v, pak muzeme teoreticky odvodit i soucinitele trecıch ztrat pri turbulentnım proudšnı. Z
podmınky rovnovahy psane pro elementarnı castici tekutiny ve tvaru valecku o prumšru rovnem
prumšru potrubı d a delce dx.
4
4
0ddpddx π
πτ =( 10.12 )
(odkud muzeme vypocıtat i trecı rychlost jako funkci tlakoveho spadu dp/dx) a z upraveneho
Weisbachova vzorce
dv
dxdp
2
2
λρ= ,( 10.13 )
kde v je strednı objemova rychlost po prurezu, obdrzıme vyraz udavajıcı zavislost soucinitele trecıch
ztrat na velicinach jez zavisı na tvaru rychlostnıho profilu
2*
2
0
88
==
vv
vρτ
λ
( 10.14 )
Poznamka: Mısto logaritmickeho zakona se v turbulentnım proudšnı pouzıva take stars ıho
empirickeho mocninoveho zakona, obr.10.4n
x
ry
vv
1
0max
= ,
( 10.15 )
kde maxv je maximalnı rychlost tj. rychlost v ose potrubı, jehoz polomšr je ro. Exponent n nenı
konstanta, ale mšnı se s Reynoldsovym cıslem od 7 do 10 a s drsnostı potrubı.
Vys e uvedene dva modely turbulence mohou
poskytnout pouze strednı hodnoty slozek rychlostı, prıpadnš
soucinitel turbulentnıch trecıch ztrat. Nedokazı stanovit dals ı
dulezite veliciny, jez charakterizujı turbulenci jako jsou napr.
Reynoldsova napštı, kineticka energie turbulentnıch fluktuacı
( )2222/1 zyx vvvk ′+′+′= atd. Tyto veliciny vs ak spıs e spadajı
do problematiky statistickych modelu a bude o nich pojednano
v kap. 19.
y [m]
osa
0
vx
vmax
r 0
vmaxvstr= 0.8 v [m/s]stena
Obr.10.4 Turbulentnı rychlostnı profil
v obycejnych souradnicıch.
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 65
11. Hydraulicky vypocet potrubıHydraulicky vypocet potrubı je zalozen na aplikaci rovnice kontinuity, Bernoulliho rovnice pro
skutecnou kapalinu na urcenı hydraulickych odporu, neboli hydraulickych ztrat.
11.1. Hydraulicke odpory (ztraty)
Pri proudšnı skutecnych tekutin vznikajı nasledkem viskozity hydraulicke odpory, tj. sıly, ktere
pusobı proti pohybu castic tekutiny. Mechanismus hydraulickych odporu je slozity jev, ktery se dosud
nepodarilo exaktnš vyres it az na jednodus s ı prıpady laminarnıho proudšnı. Proto se v hydraulickych
vypoctech uplatnuje rada poloempirickych metod.
Prace trecıch sil (tecnych napštı
od viskozity) pri proudšnı skutecnych
tekutin zpusobuje rozptyl (disipaci)
energie, coz snizuje mechanickou energii
proudıcı tekutiny. Rozpty lena energie se
mšnı v teplo (zvšts ı se vnitrnı energie
tekutiny, poprıpadš okolı), coz je
nezvratna zmšna. Tradicnš se proto
rozpty lena energie nazyva ztratova, i kdyz
nazev neodpovıda zakonu o zachovanı
energie. Rozpty lenou (ztratovou) energii
vztahujeme obvykle na jednotku hmotnosti, tıhy nebo objemu a platı vztah
2
2vghpYe zz
zz ζρ
==== (11.1 )
Pod pojem hydraulicke odpory zahrnujeme pri proudšnı skutecne tekutiny vs echny ňcinky,
ktere zpusobujı rozptyl energie. Rozpty lena (ztratova) energie na hydraulickych odporech se projevı
buť jako tlakovy ňbytek (vynucene proudšnı v potrubı apod.), nebo ňbytkem kineticke energie (vy tok
z nadob otvory apod., anebo snızenım polohove energie (proudšnı v korytech, gravitacnı potrubı
apod.) Ú obr. 11.1.
Hydraulicke odpory se dšlı na odpory trecı a mıstnı. Trecı odpory jsou charakteristicke tım, ze
zavisı na delce potrubı, kanalu, apod. Ztratovy soucinitel trecıho odporu je prımo ňmšrny delce potrubı
L. Mıstnı odpory vznikajı v mıstech, kde se mšnı velikost rychlosti (zmšna prutocneho prurezu), smšr
rychlosti (zakrivene potrubı), poprıpadš velikost i smšr rychlosti (armatury) a dochazı pritom k odtrzenı
proudu a vzniku vır ive oblasti.
Ztratovy soucinitel ζ mıstnıho odporu zavisı na geometrii uvazovaneho mısta (zmšny
prurezu, zakrivenı apod.) a na proudšnı (druh kapaliny, rychlost). Tlakova ztrata zp je rozdıl tlaku na
delce potrubı l (u trecıho odporu) nebo rozdıl pred mıstnım odporem a za nım. Fyzikalnš predstavuje
rozpty lenou energii objemove jednotky proudıcı tekutiny. Ztratova vys ka zh predstavuje rozpty lenou
energii vztazenou na tıhovou jednotku proudıcı tekutiny.
hz
p1 p2
1 2
p1
p 2
x
p dpdx = k
τ0τ0τ021 d
lp1 p2
z 1p -p2p =
Obr.11.1 Tlakovy spad a tecne napštı
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı66
11.2. Trecı ztraty v potrubı
Laminarnı proudů nı. U laminarnıho proudšnı pro Re<2320 se velikost tlakove ztraty ci ztratove vys ky
da odvodit analyticky. Pri res enı vyjdeme z rovnice (9.2) pro strednı rychlost
Ldpv z
s η.32
2
=
Z rovnice vypocıtame tlakovou ztratu a provedeme ňpravu
ρρ
ν
η2Re
642
6432 22
2
vdLv
dL
vddLvp z ===
kde νvd
=Re ; ρνη =
Potom tlakovy spad je urcen rovnicı
ρλ2
2vdLp z =
( 11.2 )
kde trecı soucinitel je urcen vztahem
Re64
=λ( 11.3 )
Pro ztratovou vys ku platı
gv
dL
gph z
z 2
2
λρ
==( 11.4 )
Vys e uvedene rovnice platı pro newtonske tekutiny a s dostatecnou presnostı i pro potrubı
s pomšrnou drsnostı do 05,0≤ε . Jak dokazaly experimenty je odchylka od vypoctenych hodnot
mens ı nez 1%. To ovs em predpoklada vyvinuty rovnomšrny rychlostnı profil. Pri nerovnomšrnem
rychlostnım profilu, ktery je zpusoben napr. mıstnım odporem, jsou trecı ztraty všts ı, a to o 10 az 30%,
pro trecı soucinitel platı modifikovana rovnice
ReA
=λ( 11.5 )
kde A = 70 az 85. V tšchto prıpadech je Rek = 1600.
Turbulentnı proudů nı. U turbulentnıho proudšnı je tecne napštı všts ı a proto jsou ztraty trenım všts ı
nez u laminarnıho proudšnı. Vyjadruji se stejnym zpusobem, tj. ztratovou vys kou hz nebo tlakovou
ztratou pz jako u laminarnıho proudšnı ( tzv. Darcy-Weisbachova rovnice)
ρλ2
2vdLp z =
( 11.6 )
gv
dL
gph z
z 2
2
λρ
==( 11.7 )
Soucinitel trenı λ je zavisly na velikosti Reynoldsova cısla Re a relativnı drsnosti dk
=ε
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 67
( )ελ Re,f= ( 11.8 )
kde v
vd=Re - Reynoldsovo cıslo
dk
=ε - relativnı drsnost stšny
k Ú je absolutnı drsnost stšny potrubı
Rovnice pro trecı soucinitel se neda res it analyticky, proto musela by t stanovena experimentalnš. Pro
hladke potrubı 0=k , v roce 1913 odvodil Blasius empiricky vztah
4 Re3164,0
=λ ( 410.8ReRe ≤≤k )( 11.9 )
Nikuradse pro hladke potrubı udava podle vysledku pokusu vzorec
( )[ ]28,0Relog2
1
−=
λλ ( )410.6Re⟩
( 11.10 )
Vliv drsnosti potrubı vys etroval
Nikuradse v letech 1930 az 1933.
V experimentech pouzil bronzove potrubı
kruhoveho prurezu o ruznych prumšrech.
Nejprve provedl mšrenı v hladkem potrubı.
Potom mšnil drsnost potrubı nalepenım
trıdšnych pıskovych zrn. Vysledky mšrenı jsou
uvedeny v diagramu na obr. 11.2. Krivky pro
ruzne pomšrne drsnosti kr se odpoutavajı od
prımky Blasiovy, ktera predstavuje prubšh
soucinitele trenı pro hladke potrubı.
S rostoucım Reynoldsovym cıslem prechazejı
v soustavu car rovnobšznych s vodorovnou osou. Z obr. je patrne, ze od urciteho Reynoldsova cısla,
ktere zavisı na pomšrne drsnosti, ma soucinitel trenı hodnotu stalou a nezalezı na Re.
V teto oblasti Ú zvane vyvinute turbulentnı proudšnı Ú vyjadril Nikuradse soucinitel trenı
vztahem
2
138,1log2
1
+
=
kd
λ
⟩ 2,191Re λ
dk ( 11.11 )
Mezi oblastı hydraulickych hladkych potrubı a oblasti vyvinuteho turbulentnıho proudšnı je
oblast prechodova, v nız soucinitel trenı λ zavisı jak na Reynoldsovš cısle, tak na pomšrne drsnosti.
Pro tuto oblast bylo ruznymi autory odvozeno nškolik desıtek rovnic, nejcastšji se vs ak pouzıva
vzorec, ktery odvodil Colebrook
Obr.11.2 Nikuradseho diagram λ =(Re,ε)
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı68
2
2 27,0Re
51,2log21;
27,0Re
51,2log2
1
+
=
+
=
dk
dk λλ
λ
λ( 11.12 )
Tato rovnice je implicitnı a λ se musı res it iteracı. Proto byly v poslednıch letech mnoha autory
odvozeny pro λ explicitnı vzorce. Jako prıklad je uvedena rovnice odvozena Churchillem
( )121
5,1
12 1Re88
++
=
baλ
16169,0
Re3753027,0
Re7ln457,2
=
+
−= ba ε
( 11.13 )
Absolutnı drsnost potrubı k zavisı na druhu materialu, zpracovanı a provoznıch podmınkach
(koroze, eroze). Podle zkus enostı ruznych autoru jsou v tab 1.11 uvedeny drsnosti vybranych
materialu.
Tabulka 1.11 Absolutnı drsnost materialu potrubı
Absolutnı drsnost potrubı kMaterial potrubı Puvodnı stav (mm) Korodovany stav (mm)
Tazene trubky mosazne, mšdšne, hlinıkove 0,0015 az 0,003 0,003 az 0,1
Bezes ve trubky ocelove 0,04 az 0,1 0,1 az 0,9
Tazene trubky ocelove 0,03 az 0,12 0,12 az 0,9
Svarovane trubky ocelove 0,05 az 0,1 0,1 az 0,9
Pozinkovane trubky ocelove 0,15 az 0,5 0,5 az 3,5
Vodovodnı potrubı po 20-ti a vıce letech v provozu 0,6 az 3,0
Sklenšne trubky, trubky z plastu 0,001 5 az 0,01
Pryzove hadice 0,01 az 0,03
Betonove potrubı 0,3 az 6,0
Zdrsnšnı vnitrnıch stšn potrubı vytvarel Nikuradse umšle trıdšnym pıskem. Tato umšla
drsnost, ktera je temšr rovnomšrna, se vs ak lis ı od skutecne drsnosti, ktera je nerovnomšrna. Proto
prubšh soucinitele trenı v prechodove oblasti se u prirozene drsnosti odlis uje od prubšhu pro umšlou
drsnost, jak to potvrdily Colebrookovy experimenty. Ú obr. 11.3.
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 69
log Re
log λ
hladkč potrubıumela
prirozena drsnost
ε =dk = konst
ostra drsnost vlnita drsnost
v v
Obr. 11.3 Trecı odpor v potrubı s prirozenou a
umšlou drsnostı
Obr. 11.4 Druhy drsnostı
Kromš absolutnı velikosti vystupku nerovnosti k ma velikost soucinitele trenı podstatny vliv
tez tvar tšchto vystupku. Rozlis ujı se dvš drsnosti, a to drsnost, ktera je zpusobena ostrymi a kratkymi
vystupky a druha vlnita drsnost, ktera je zpusobena zaoblenymi nerovnostmi tvaru dlouhych vln Ú obr.
11.4. U drsnosti prvnıho druhu zavisı soucinitel trenı vıce na pomšrne drsnosti a menš na Re-cısle. U
vlnite drsnosti zavisı soucinitel vıce na Re-cısle a menš na pomšrne drsnosti.
Vysledky mšrenı trecıho soucinitele λ ruznymi autory, predevs ım Colebrooka, jsou na obr
11.5.
Obr.11.5 Moody-Colebrook diagram λ= f(Re, kr)
Z diagramu ( )rkf Re,=λ je patrne, ze pro turbulentnı proudšnı se krivky pro ruzne drsnosti
primykajı pri nizs ıch cıslech Re k Blasiovš prımce.
Od urcite hodnoty Re se odpoutavajı a priblizujı se vodorovne prımce. V turbulentnım
proudšnı se u stšny potrubı vytvorı vazka podvrstva , ktera prikryva nerovnosti povrchu Ú obr. 11.6.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı70
Z hlediska vlivu drsnosti na soucinitel trenı λ se
rozdšluje turbulentnı proudšnı na tri oblasti
3. Hydrodynamicky hladka stšna Ú v tomto prıpadš
vazka podvrstva zakryje nerovnosti povrchu, tyto nemajı
vliv na ztratu trenım a v potrubı jsou hydraulicke odpory
trenı jako v hladkem potrubı. Takovy obtekany povrch se
nazyva hydrodynamicky hladky (obr. 11.6) - pk δ⟨ .
2. Oblast prechodova Ú v nı nerovnosti povrchu zacınajı
vycnıvat z vazke podvrstvy. Tato oblast je
charakterizovana tım, ze soucinitel trenı je zavisly na Re a pomšrne drsnosti - ( )( )ελ Re,f= .Tato
oblast podle obr. 11.5 lezı mezi Blasiovou prımkou a vodorovnymi prımkami pro ruzne drsnosti.
3. Oblast vyvinuteho turbulentnıho prudšnı Ú v tomto prıpadš je tlous –ka laminarnı podvrstvy mala,
takze nezakryje nerovnosti obtekaneho povrchu. Trecı soucinitel λ je zavisly na pomšrne drsnosti ε.
V obr. 11.5 je tato oblast charakterizovana vodorovnymi prımkami pro ruznou pomšrnou drsnost.
Nekruhove pru tocne pru rezy. Laminarnı proudšnı (vzhledem k platnosti Newtonova zakona pro
tecne napštı od viskozity) v nekruhovych potrubıch se da res it matematicky. U laminarnıho proudšnı
se trenım o stšny potrubı zbrzdı castice v celem prutocnem prurezu. “Meznı vrstvaú vyplnuje cely
prutocny prurez a jeho tvar ma vliv na rozlozenı rychlosti neboli rychlostnı profil. Proto je nutno pro
kazdy prurez odvodit vztah pro trecı ztraty a nelze je prepocıtat z jednoho prurezu na druhy .
U turbulentnıho proudšnı v potrubı se vliv trecıch sil na obtekanych stšnach omezı na
podstatnš mens ı vrstvu, ktera ve srovnanı s charakteristickymi rozmšry prutocneho prurezu je velmi
mala. Tlous –ka meznı vrstvy u turbulentnıho proudu zavisı predevs ım na Re cısle. Jestlize tvar
prutokoveho prurezu potrubı nema v podstatš vliv na soucinitel trenı, jsou ztraty trenım turbulentnıho
proudšnı v potrubı nekruhoveho prurezu urceny stejnymi vzorci jako pro kruhove potrubı. Mısto
prumšru d kruhoveho potrubı je vs ak treba dosadit ekvivalent pro nekruhove prurezy, pomocı nšhoz
se vypocte Re-cıslo, soucinitel trenı a ztratova vys ka. Tento ekvivalent se nazyva hydraulicky prumšr
Ú dh a je urcen vztahem
OSkonstd h =
Konstantu ňmšrnosti je mozno zvolit. Vyhodnš se stanovı z podmınky, aby hydraulicky prumšr
kruhoveho potrubı dh byl roven jeho prumšru d cili dh=d. Protoze OSkd h = a u kruhoveho potrubı je
prutocny prurez 2
4dS π
= a omoceny obvod dO π= je
44
2
dkd
dkd h ==
π
π
Z rovnosti dd h =0 vyplyva konstanta 4=k . Je tedy hydraulicky prumšr definovan vztahem
y v = f (y)
k
δ >k p
0
Obr. 11.6 Hydrodynamicky hladky
povrch
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 71
OSd h 4=
( 11.14 )
Ve vyrazu je S prutocna plocha a O je omoceny obvod prurezu. Hydraulicky prumšr hd je
tedy ekvivalent nekruhoveho prurezu a predstavuje kruhove potrubı o svštlosti hdd = , v nšmz jsou
stejne hydraulicke ztraty jako v nekruhovem prurezu. Hydraulicky prumšr se muze dosadit do vyrazu
pro pomšrnou drsnost, do Reynoldsova cısla a do vyrazu pro ztratovou vys ku
( )h
rh
rh
z dkk
vvdkf
gv
dh ==== ;Re;Re,;
21 2
λλ( 11.15 )
Z toho je patrne, ze vypocet ztraty trenım v nekruhovem potrubı (turbulentnı proudšnı) je shodny
s vypoctem teze ztraty v kruhovem potrubı. Pro prechod laminarnıho proudšnı v turbulentnı
v nekruhovych prurezech se uvazuje kRe stejne jako u kruhoveho potrubı.
11.3. Mıstnı odpory (ztraty)
V kazdem potrubı byvajı vedle rovnych ňseku i ruzna kolena, odbocky, armatury, mšrıcı
zarızenı, cistice, chladice apod., kromš toho se muze mšnit prurez potrubı. V tšchto castech potrubı
dochazı ke zmšnš velikosti i smšru rychlosti proudšnı, coz vyvola vırenı, poprıpadš odtrzenı proudu
kapaliny spojene s rozptylem energie. Energie proudıcı kapaliny se rozptyluje v mıstš potrubı, kde
dochazı ke zmšnš vektoru rychlosti, proto je rozptyl nazvan mıstnımi ztratami.
Velikost mıstnıch ztrat se vyjadruje obdobnš jako ztrata trenım rychlostnı vys kou a ztratovym
soucinitelem
gvh mzm 2
2
ζ=( 11.16 )
nebo jako mšrnou ztratovou energiı
2
2vghe mzz ζ==( 11.17 )
Ztratovy soucinitel mζ zavisı na druhu mıstnı ztraty, konstrukcnıch parametrech, drsnosti
stšn, tvaru rychlostnıho profilu a na rezimu proudšnı. Vliv Re-cısla se projevuje Ú obdobnš jako u
trecıch odporu Ú predevs ım pri malych hodnotach Re-cısla.
Pri velkych Re-cıslech je ztratovy soucinitel odporu konstantnı. Slozitost jevu spojenych
s vırenım v mıstnıch odporech zpusobuje to, ze teoreticke stanovenı ztratoveho soucinitele mıstnıch
odporu je nedostupne (kromš jednoduchych prıpadu). Proto se ztratovy soucinitel ζ urcuje
experimentalnš. Takto urcena zavislost ztratoveho soucinitele platı jen ve stejnych podmınkach, za
nichz byl mšren, nebo ve fyzikalnš podobnych prıpadech.
Mıstnı odpory v potrubı se mohou vyjadrit ekvivalentnı delkou el potrubı, v nšmz je ztrata
trenım stejna jako mıstnı ztrata. Z rovnosti ztratovych vys ek
gv
dl
gv e
22
22
λζ =
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı72
se urcı ekvivalentnı delka potrubı
dle λζ
=( 11.18 )
Za soucinitel trenı a prumšr se dosadı hodnoty platne pro rovny ňsek potrubı. Pri zmšnach
prurezu se mšnı prutocna rychlost a mıstnı ztraty se mohou vyjadr it v zavislosti na prıtokove 1v nebo
odtokove rychlosti 2v - obr. 11.7.
gv
gvhz 22
22
2
21
1 ζζ ==( 11.19 )
Z teto rovnice vyplyva vztah pro prepocet ztratovych soucinitelu2
2
12
2
1
221
=
=
SS
vv
ζζζ( 11.20 )
Upraveny pomocı rovnice kontinuity 2211 vSvS = . Pro kruhove prurezy platı
1
4
1
222
4
2
11 ; ζζζζ
=
=
dd
dd ( 11.21 )
Ztrata nahlym rozsırenım pru rezu.Pri nahlem rozs ırenı prurezu se odtrhne
proud kapaliny od stšn a vytvorı se vıry obr. 11.7.
Na delce rozs ıreneho potrubı se proud kapaliny
rozs ırı znovu po celem prurezu. Se zmšnou
rychlostı je pojena zmšna tlaku. Pri rozs ırenı
prurezu klesa strednı rychlost, a proto musı
stoupnout tlak. Pro dokonalou tekutinu, ktera by
nemšla ztraty trenım ani vırenım, je dan tlakovy
rozdıl Bernoulliho rovnicı
( )22
2112 2
vvpp t −=−ρ
Teoreticky tlak v prurezu 2 je oznacen tp2 a je mens ı o tlakovou ztratu spojenou s rozs ırenım
prurezu. Pr i proudšnı skutecne tekutiny v potrubı a kanalech nenı rozlozenı po prurezu rovnomšrne, a
proto kineticka energie takoveho proudu je všts ı, nez odpovıda hodnotš vypocıtane ze strednı
rychlosti podle prutoku, jak bylo odvozeno drıve.
Pri nerovnomšrnem rozdšlenı rychlostı jsou ztraty pri nahlem rozs ırenı prurezu všts ı nez pri
rovnomšrnem. Nasledujıcı vypocet se provede pro rovnomšrny rychlostnı profil. K vypoctu hybnosti je
treba spravnš volit kontrolnı objem, ktery musı zahrnovat celou oblast, v nız se mšnı rychlost proudu.
V uvazovanem prıpadš tvorı kontrolnı objem valec omezeny prurezy 1 a 2. Brzdicı sıla ve smšru
proudu je dana rozdılem tlakovych sil v prurezech 1 a 2. Protoze tlak v prurezu je konstantnı, je brzdicı
sıla, ktera vyvola zmšnu hybnosti, dana vyrazem
( ) 22 1SppF −=
1
1
2
2
S 1 p1v1
p2
2
v2
S
Obr.11.7 Nahle rozs ırenı prurezu
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 73
Tlak v prurezu 1 tšsnš za rozs ırenım je stejny jako tšsnš pred rozs ırenım, protoze proud
kapaliny se nerozs ır il, a tım i tlak se tedy nezmšnil. Brzdicı sıla F se rovna zmšnš hybnosti kapaliny
protekle v jednotce casu. Hybnost v prurezu 1 je dana vyrazem 1211 SvH ρ= , podobnš v prurezu 2 je
2222 SvH ρ= . Prutok kapaliny prurezy 1 a 2 je stejny . Hybnostnı všta vQF m∆= ma tvar
( ) ( )2122212 vvvSSpp −=− ρ
Tlakovy rozdıl je urcen Bernoulliho rovnicı pro skutecnou kapalinu,
( ) zghvvpp ρρ
−−=− 22
2112 2
Odectenım poslednıch dvou rovnic se dostane po ňpravš vyraz pro ztratou vys ku nahlym rozs ırenım
prurezu pri uzitı rovnice spojitosti 2211 SvSv =
gv
vvv
SShz 2
2122
22
22
21
2
1
2
−−−
=
Dals ı pravou dostaneme
( )gvv
gv
SS
gv
SShz 22
12
12
2121
2
2
122
2
1
2 −=
−=
−=
( 11.22 )
Tento vzorec byva nazyvan Borduv (1766) nebo Carnotuv. Ztratovy soucinitel pro nahle rozs ırenı je
urcen pro prutokovou rychlost 1v (oznacen 1ξ ) a odtokovou rychlost 2v (oznacen 2ξ ) tšmito vyrazy:
22
2
1
2
2
11 11
−=
−=
dd
SS
ζ
22
1
2
2
1
22 11
−
=
−=
dd
SS
ζ ( 11.23 )
Ztrata nahlym rozs ırenım prurezu je zpusobena vıry v oblasti mezi odtrzenou proudnicı a
stšnami. Pri velkem pomšru prurezu 1
2
SS
je ztrata všts ı nez vypoctena hodnota, nebo– se muze
rozpty lit cela rychlostnı vys ka. Vteka-li kapalina rychlostı 1v z potrubı do velke nadrze, v nız je rychlost
2v zanedbatelna, rozpty lı se cela kineticka energie kapaliny.
Ztrata nahlym zňzenım pru rezu.K teto ztratš dochazı v mıstš nahleho zňzenı prurezu, kde se zňzenım vyvola zrychlenı
kapaliny. Proud kapaliny nemuze nasledkem setrvacnosti sledovat tvar stšn potrubı. Matematicke
res enı ztraty zňzenım vychazı ze zmšny hybnosti kapaliny. Postup odvozenı je obdobny jako pro
nahle rozs ırenı. Pro ztratovou vys ku se odvodı rovnice
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı74
gv
gv
gv
SS
gv
SS
SS
gvv
gpphz 222
12
12
22
2
21
1
22
1
221
2
1
2
122
2121 ζζ
ρ==
−=
−=
−+
−= ( 11.24 )
Ztratovy soucinitel ζ vztazeny na prıtokovou rychlost 1v nebo odtokovou rychlost v2 je
2
1
2
11 1
SS
SS
−=ζ
−=
1
22 1
SS
ζ
Ztraty v difuzorech. Pr i ztratš nahlym rozs ırenım bylo dokazano, ze dochazı ke znacnym ztratam
zpusobenym odtrzenım proudu a vırenım. Ztraty mohou by t podstatnš zmens eny, jestlize prechod
z mens ıho prurezu na všts ı bude pozvolny , jak je tomu u difuzoru. Difuzor se pouzıva hlavnš tam, kde
je treba premšnit kinetickou energii proudu na tlakovou (u podzvukovych rychlostı) s nejmens ımi
ztratami. Je znamo, ze velmi malym rozs ırenım prurezu se mšnı znatelnš proudšnı, a to zejmena
rychlostnı profil, ktery je tım vıce protazen ve smšru proudšnı, cım je ňhel rozs ırenı všts ı (obr. 11.9).
Do ňhlu rozs ırenı o6=α az 8o zustava protazeny rychlostnı profil symetricky k ose difuzoru. Pri
dals ım zvšts enı ňhlu se proud ňcinkem tlakoveho gradientu odtrhne od stšny a symetrie proudu se
porus ı.
Pri ňhlech rozs ırenı α = 10o az 50o
nastava odtrzenı proudu zpravidla od jedne
stšny, na nız je rychlost mens ı. Proto
nemuze dojıt k odtrzenı proudu na protšjs ı
stšnš. Rychlostnı profil se stane
nesymetrickym. Nesoumšrnost proudu je
casto doprovazena nestabilnım odtrhavanım,
coz vyvola kmitanı proudu (pulsace) a
tvorenı vıru.
V difuzorech s všts ımi ňhly rozs ırenı nez 50o az 60o nemuze proud sledovat stšny difuzoru a
odtrhava se po celem prurezu. Odtrhavanı od stšny je doprovazeno mens ımi pulsacemi proudu.
V rozs irujıcı se troubš nebo kanale vzrusta smykove napštı nasledkem zvys enı turbulence, coz
zpusobuje zvys enı ztrat. Rovnšz pulsace prispıvajı ke zvys enı ztrat. Nastava-li odtrzenı proudu
v difuzoru, jsou ztraty zpusobeny prevaznš vzniklymi vıry. Vs echny ztraty mohou doprovazet ztratu
trenım v difuzoru. Celkove ztraty v difuzoru je mozno rozepsat na ztratu trenım a ztratu spojenou se
zmšnou prurezu, takze zrztzd hhh += .
Skutecny tlakovy rozdıl na difuzoru je dan rozdılem tlaku v rozs ırenem a pocatecnım prurezu a
musı splnovat Bernoulliho rovnici pro skutecnou tekutinu cili
A
A
C
C
B
B
S 2mv1 v2
p2p1
S 1
S 2
p'
Obr.11.8 Nahle zňzenı prurezu
α
lk ld
S1 v1
v2
S 2
Obr.11.9 Kuzelove potrubı (difuzor)
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 75
zghpvpv++=+
ρρ2
221
21
22 zdghvvpp ρρ −
−=−
2
22
21
12
Protoze ztratova vys ka se da vyjadrit rychlostnı vys kou v prurezu 1, je ztratovy soucinitel difuzoru dan
vyrazem
21
12
2
2
121
12
2
1
2
2
1
221
1 21
2
11
2v
ppSS
vpp
vv
vv
gvhzd
d ρρ
ζ−
−
−=
−−
−=
−==
Podobnš se urcı ztratovy soucinitel difuzoru vztazeny na odtokovou rychlost 2v :
22
12
2
1
222
12
2
2
122
2 2121
2v
ppSS
vpp
vv
gvhzd
d ρρζ
−−−
=
−−=
==
Pro dokonalou tekutinu (bez ztrat) je tlakovy rozdıl mezi prurezy 1 a 2 všts ı,
2
22
21
12vvpp −
=−′ ρ
Ucinnost difuzoru, s nız se mšnı kineticka energie na tlakovou, je dana pomšrem skutecneho rozdılu
tlaku k teoretickemu, to je
22
122
1
2
21
122
2
1
22
21
12
12
12
1
2
1
2
2v
pp
SSv
pp
SSvv
pppppp
d ρρρ
η−
−
=
−
−
=−
−=
−′−
= ( 11.25 )
Hydraulicke ztraty v difuzoru jsou spojeny se zmšnou prurezu, a proto je lze vyjadrit v pomšru ke
ztratš nahlym rozs ırenım Ú rov. 11.22.
( )gvv
hhh zd
zn
zdr
2
221 −
==ζ
Soucinitel rζ se nazyva stupen razu. Pr i rostoucım ňhlu rozevrenı difuzoru, kdy zmšna prurezu
prechazı v nahlou zmšnu, se stupen razu blızı hodnotš jedna.
Hydraulicke ztraty v difuzorech se dajı vyjadrit tremi zpusoby:
( )gvv
gv
gvh rddzd 222
221
22
2
21
1−
=== ζζζ( 11.26 )
Ztratove soucinitele 21 , dd ζζ a stupen razu rζ se urcı mšrenım. Pro vzajemny prepocet soucinitelu
21, dd ζζ , rζ slouzı rovnice
rdd SS
SS
SS
ζζζ2
2
12
2
1
2
2
2
11 12
−=+
−
−=
( 11.27 )
nebo
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı76
rd SS
SS
SS
ζζζ2
1
21
2
1
2
2
2
12 2
=+−
+
=
( 11.28 )
Kuzelove potrubı. Pri zuzovanı prurezu je hydraulicka ztrata zpusobena rovnšz trenım a lze ji urcit
integracı na elementarnı delce kuzeloveho potrubı. Ú obr. 11.10. Ztrata trenım na elementarnım ňseku
dx urcena vztahem
gv
ddxdhz 2
2
λ=
Celkova ztrata se urcı integracı diferencialnı rovnice, pricemz je nutno uvazovat zmšnu
prumšru a rychlosti po delce kuzeloveho potrubı. Rovnšz soucinitel trenı λ se mšnı s Re-cıslem,
avs ak v malem rozmezı, takze se uvazuje strednı hodnota sλ jako konstanta. Prumšr d se mšnı se
souradnicı x podle vztahu
xldx
ldd
1
1
2
2 == ; 21
22
1
2
1
2 ;dd
dll
dd
ll
−==
ktery vyplyva z podobnosti trojňhelnıku (obr. 11.10). Z rovnice kontinuity vyplyva pro rychlost2
22
22
2
=
=
xlv
ddvv
Dosazenım do vyrazu pro zdh se dostane
∫=1
2
5
22
2
52
2
l
lsz x
dxg
vdldh λ
a po integraci je ztratova vys ka v kuzelovem potrubı
−= 4
1
42
22
2
2 124
1ll
gv
dlh sz λ =
gv
gv
dd
ddl
s 221
41 2
22
22
41
42
21
ζλ =
−
−
( 11.29 )
Z poslednı rovnice vyplyva vyraz pro ztratovy soucinitel ztraty v kuzelovem potrubı
−=
−
−=
4
1
24
1
42
212 1
28
141
dd
tgdd
ddl s
αλ
λζ( 11.30 )
Zmů na smů ru proudů nı. V kazdem potrubnım systemu se zpravidla vyskytuje prvek, v nšmz se mšnı
smšr rychlosti tekutiny. Tento prvek tvorı zakrivene potrubı, oblouky, kolena a take kombinace
oblouku. V tšchto prvcıch dochazı k rozptylu energie, ktera se vyjadruje mıstnı ztratou zmšnou smšru
proudšnı.
α
12
vv1v2
d 2
dx xl l 2
l 1
d 1
Obr.11.10 Kuzelove potrubı (konfuzor)
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 77
R
1
dϕdFp
r
dr
vds
dFc
p + dp
v
pds
dϕ
rdr
1v
1
Obr.11.11 Sıly na elementarnı casti proudu v zakrivenem potrubı
K vytvorenı predstavy proudšnı v zakrivenem potrubı je uzitecne si povs imnout proudšnı
dokonale kapaliny v kruhovem oblouku. Predpoklada se, ze kapalina priteka ke kolenu konstantnı
rychlostı rozlozenou po celem prurezu 1 Ú1 rovnomšrnš (obr. 11.11).
Nasledkem zakrivenı drah pusobı na castice kapaliny odstrediva sıla, ktera musı byt
v rovnovaze s tlakovou silou. Aby vznikla tlakova sıla pusobıcı do stredu krivosti, musı na všts ım
polomšru r pusobit všts ı tlak. Toto lze dosahnout v souladu s Bernoulliho rovnicı tım, ze se rychlost
castice snızı. Pro elementarnı casticı kapaliny o rozmšrech drds, , ktera se pohybuje ve vodorovne
rovinš na polomšru r a ma jednotkovou s ırku, je rovnovaha tlakove a odstredive sıly cp dFdF =
vyjadrena rovnicı
dmr
vdpds2
=
Hmotnost elementarnı castice je drdsdm ρ= . Pro vs echna vlakna na ruznych polomšrech
r , ktera vychazejı z prurezu 1-1, kde rychlosti a tlaky jsou rovnomšrnš rozlozeny, platı Bernoulliho
rovnice
konstvp=+
2
2
ρ 0=+ dvvdp
ρ
z cehoz dvvdp ρ−= .
Dosazenım vyrazu pro diferencialy dp a dm do rovnice vyjadrujıcı rovnovahu sil se po ňpravš
dostane
0=+rdr
vdv
Integracı se dostane krv lnlnln =+ neboli .konstvr =To je zakon potencialnıho vıru. Zavislost rychlosti v a polomšru r je graficky znazornšna
rovnoosou hyperbolou. Ú obr. 11.12. V provedene ňvaze a vypoctech nejsou zahrnuty trecı sıly od
viskozity, ktere se budou uplatnovat pri prutoku skutecne kapaliny. Z hyperbolickeho rozlozenı
rychlostı je patrne, ze mezi casticemi kapaliny jsou relativnı rychlosti, ktere u skutecnych kapalin
vyvolavajı tecne napštı ňmšrne rozdılum rychlostı. Skutecna tekutina nemuze tedy protekat kolenem
jako dokonala kapalina, pro niz byly odvozeny uvedene vyrazy. C astice pomalejs ı budou brzdit castice
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı78
rychlejs ı, pr icemz u skutecne kapaliny se castice
premis–ujı na všts ı nebo mens ı polomšr. Vznika slozity
(spiralovy) prostorovy pohyb. Soucastı tohoto proudšnı je
vırive proudšnı v prıcnem rezu, charakteristicke dvšma
vıry opacneho smyslu. Proud na vnitrnı hranš kanalu se
muze odtrhnout, takze vznikajı vıry i u stšn (obr. 11.13).
Prubšh tlaku na vnitrnı a vnšjs ı stšnš kolena je vyznacen
na obr. 11.13. C arkovana prımka znazornuje prubšh
tlaku v prımem potrubı. V diagramu je vyznacena tlakova
ztrata zp a jejı slozky odpovıdajıcı trecım ztratam ( ztp ) a
vırenı ( zvp ).
Obecnš je tedy zavislost ztratoveho soucinitele vyjadrena funkcı
= var.Re,,, tgeom
dRfo εζ
d
z
z
d
δ
d
δd
δd
SOUPA TKO VENTIL KOHOUT KLAPKY
Obr.11.14 Schema armatur
C etne vysledky mšrenı ztratoveho soucinitele jsou uvedeny v literature. Jejich vysledky se
dosti rozchazejı, protoze v zakrivenem potrubı ma vliv mnoho parametru, ktere nejsou stejnš dodrzeny
ve vs ech experimentech.
Odpory v armaturach. Armatury (ventily, s oupatka, kohouty a klapky) slouzı k uzavrenı potrubı nebo
k regulaci prutoku ci tlaku (obr. 11.14). Pri zcela otevrenych uzavšrkach majı byt ztraty co nejmens ı.
Pri plnem otevrenı majı nejmens ı odpor s oupatka a kohouty. U ventilu jsou ztraty všts ı (az 25 krat) a
zavisı na zakrivenı proudnic ve ventilovem tšlese. Hydraulicky odpor je zpusoben jednak trenım, ale
vr
Obr. 11.12 Rychlostnı profil v oblouku
A-A2
2R ϕ
1 1v
d
A
1 2
vnitrnı stena
dč lka kolena
vnejsı stena
l
pz
pzt
pzv
p
Obr.11.13 Proudšnı v zakrivenem potrubı
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 79
hlavnš vırenım. Deskou s oupatka, ventilu, klapky nebo tšlesem kohoutu se zuzuje prutocny prurez.
Proud kapaliny nesleduje okrajovymi proudnicemi presnš zmšny prurezu a dochazı k odtrzenı
proudnic a vniku vırivych oblastı. Tyto jevy vyvolavajı hydraulicky odpor spojeny s rozptylem energie.
Ztratovy soucinitel se zjis –uje mšrenım. Obecnš zavisı na konstrukcnım provedenı armatury, na jejım
pomšrnem otevrenı a na Re-cısle. Charakteristicky prubšh ztratoveho soucinitele je znazornšn
v diagramu na obr. 11.15. pro s oupatko.
Protoze armatury predstavujı promšnny odpor Ú obr. 11.15,
pouzıvajı se velmi casto v technicke praxi pro regulaci prutoku
tekutin.
11.4. Gravitacnı potrubı
Gravitacnı potrubı obr. 11.16 spojuje dvš nadrze A,B
se spadem h. Potrubı se predpoklada dlouhe, a proto
prevladajı hydraulicke ztraty trenım, ztraty mıstnı se
zanedbajı. Uvazuje se potrubı jednoduche s konstantnım
prumšrem d a delky l. Nadrze jsou rozlehle, rychlosti na
hladinach jsou velmi male, spad h je tedy konstantnı. Obš
nadrze a gravitacnı potrubı tvorı proudovou trubici, pro kterou
muzeme napsat Bernoulliho rovnici, ktera napsana pro
prurezy 1 a 2 ma tvar
zo gh
pgh
p+=+
ρρ0
neboli zhh =
Toto je rovnice pro gravitacnı potrubı, u ktereho se
potencialnı energie spotrebuje na prekonanı hydraulickych
ztrat. Protoze prevladajı hydraulicke ztraty trenım, s vyuzitım
Darcy-Weisbachovy rovnice se predchazejıcı rovnice upravı
hg
vdlhz ==
2
2
λ
Pomšrny spad je urcen pomšrem
5
2
2
22 822 d
QgS
Qgdg
vdl
hi v
πλλλ
=
===
( 11.31)
Protoze pomšrny spad je maly , proto platı lh
Lhi == & , nebo– pro male ňhly α je ααα == && sintg .
Pokud nenı vliv mıstnıch ztrat zanedbatelny , potom Bernoulliho rovnice mezi prurezy 1 a 2 se
zapıs e ve tvaru
( )g
vd
llg
vdlhh e
z 22
22 ∑+=
+== ∑ λζλ
Zde le je ekvivalentnı delka potrubı nahrazujıcı mıstnı ztraty (viz kap. 11.3)
obdč lnıkovy
kruhovy prurez
v
d Sz
1.21.00.60.40.2 0.800
4
8
12
16
20
24
zd
ξ
Obr.11.15 Ztratovy soucinitel
s oupatka
1
hd
l
p0
p
2 p0
B
A
L
α
v
Obr.11.16 Gravitacnı potrubı
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı80
11.5. Jednoduche potrubı s nadrzı
Pro jednoduche potrubı Ú (obr. 11. 17) delky l,
prumšru d, pro prurez 1 a 2 za predpokladu , ze nadrz
je rozmšrna Ú v1→0 platı Bernoulliho rovnice
( )czv
dlvghvgh ζζλ +=
++=+= ∑ 1
21
22
222 ( 11.32)
V rovnici jsou uvazovany ztraty trenım i ztraty mıstnı -∑ζ . Celkovy ztratovy soucinitel
dll
dl e
c∑∑
+=+= λζλζ
zahrnuje ztraty trenım a vs echny ztraty mıstnı (vtok do potrubı, oblouky, armatury apod). Mıstnı ztraty
je mozne vyjadrit take pomocı ekvivalentnı delky Ú lek.
Jednoduche potrubı je urceno pro hydraulicky vypocet ctyrmi velicinami: delkou potrubı l,
prumšrem potrubı d , spadem h a rychlostı v nebo prutokem Q . Soucasnš jsou zname fyzikalnı
vlastnosti tekutiny, absolutnı drsnost stšny potrubı, trecı soucinitel λ a ztratovy soucinitel vs ech
mıstnıch ztrat. Jedna ze ctyr velicin vhdl −−− nebo Q muze by t urcena res enım rovnice (11.33)
pri cemz pro trecı soucinitel je vhodne volit explicitnı rovnici, aby nebylo nutne λ pocıtat iteracı.
Pri navrhu potrubı je nutne vzhledem ke spolehlive cinnosti potrubı dodrzet dulezitou
podmınku a sice, ze osa potrubı vzdy lezı pod carou tlaku. Pro definovanı cary tlaku predpokladejme
vodorovne potrubı s nadrzı Ú obr. 11.18.
Odecteme-li od hladiny v nadrzi
rychlostnı vys ku g
v2
2
a spojıme-li takto
vznikly bod s koncem potrubı dostaneme
caru tlaku. Protoze u potrubı obvykle
hg
v⟨⟨
2
2
pak caru tlaku dostaneme, jako
spojnici hladiny v nadrzi s koncem potrubı Ú obr. 11.19.
Obr. 11.18 uvadı caru tlaku u potrubı s mıstnı ztratou napr. armaturou situovanou v obecnem mıstš
potrubı.
p 0
p 0
1
2v
hd
l
Obr. 11.17Jednoduche potrubı
p0
h 2gv 2
v 2
2gcara tlaku
cara energie
cara tlaku
Obr. 11.18 C ara tlaku pro jednoduche potrubı
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 81
11.6. Slozene potrubı
V technickych aplikacıch se uzıva velmi
casto i potrubnı slozenı Ú tzv. potrubnı sı– - obr.
11.20. Slozenı potrubı mohou by t vštvena nebo
okruznı. Okruznı potrubı vznikne tak, ze ve
vštvene sıti se dva uzly spojı tzv. diagonalou. U
potrubnı sıtš se predpoklada, ze odbšry budou
pouze v uzlech sıtš.
Pro kazdy uzel slozeneho potrubı musı
platit rovnice spojitosti -∑ = 0iQ . pro kazdy
ňsek (vštev) je mozne napsat rovnici pro
tlakovy spad (pro jednoduchost se uvazujı
vs echny ňseky vodorovnš)
gv
dL
gvp ii
c 22 1
21
∑+==∆ ζλζ
Pro kazdy okruh platı 0=∆∑ p . Ma-li potrubnı sı– i ňseku, j uzlu a k okruhu, potom celkovy
pocet rovnic popisujıcıch potrubı je
kjin ++= ( 11.33 )
Jedna se o soustavu linearnıch a kvadratickych rovnic. Jejich res enı je nutne provest numericky
s vyuzitım pocıtace. Je vhodne pripomenout, ze pro numericke res enı se hledajı vhodne algoritmy,
ktere zarucujı rychlou konvergenci res enı.
11.7. Charakteristika potrubı
U jednoduchych prıpadu vypoctu potrubı je vyhodne pouzıt graficke res enı pomocı charakteristik,-
( )vQfH = , ktere pro rozvinute turbulentnı proudšnı jsou vyjadreny kvadratickou parabolou. U
slozitych potrubnıch sıtı bude naopak vyhodne uzitı numerickych metod pomocı pocıtace.
Uvazujeme vodorovne potrubı staleho prurezu obr. 11.21. Pro
pocatecnı prurez 1 a konecny prurez 2 napıs eme Bernoulliho rovnici
2
222
211
22ghvpvp
++=+ρρ
protoze predpokladame potrubı konstantnıho prurezu, potom z rovnice
spojitosti platı 21 vv = a rovnice se zjednodus ı. Po ňpravš dostaneme.
vvQvQvc
c QQkQkQdgg
vg
ppH ==
==
−= 22
2
2
221 4
22 πζ
ζρ
( 11.34 )
h
0
cara tlaku2g
2
v
p
v
ζ
Obr. 11.19 C ara tlaku potrubı s armaturou
p0
1A
B
2
37
6
5
4
F
G
H
C
D
8 Diagonala
Obr. 11.20 Schema potrubnı sıtš
p1 p21 2L
v1 v2d
Obr. 11.21 Schema
vodorovneho potrubnıho
ňseku
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı82
kde ∑+= ζλζdL
c
Tlakova vys ka H udava rozdıl tlakovych vys ek na pocatku a na konci potrubı, ktery je potrebny pro
prutok Q. Zavislost ( )vQfH = je kvadraticka parabola a jejı graficke znazornšnı je charakteristika
potrubı Ú obr. 11.22
Je-li na zacatku potrubı zpštna klapka,
ktera branı prutoku v opacnem smyslu, potom
charakteristika potrubı ve tretım kvadrantu splyne
se zapornou osou H. Pro potrubı se stoupanım (se
spadem)- obr. 11.23 obdobnym zpusobem
odvodıme rovnici pro tlakovou vys ku.
vvQvQ QQkhQkhg
ppH +±=+±=−
= 221
ρ
( 11.35)
hv2
1
1
2
v h
Schema potrubnıho ňseku se stoupanım Schema potrubnıho ňseku se spadem
Obr. 11.23
Charakteristika potrubı se stoupanım (klesanım) je rovnšz kvadraticka parabola, ktera ma
vrchol paraboly posunut nahoru (dolu) o vys ku h.-obr. 11.24.
H
-H
-Qv Qv0
H
-H
0 Qv
h
zpetna klapka
h
H
-H
v Qv0
H
-H
0 Qv-h
zpetna klapka
-h
Charakteristiky potrubı se stoupanım Charakteristiky potrubı se spadem
Obr. 11.24
Useky potrubı mohou by t razeny seriovš (za sebou) nebo paralelnš (vedle sebe). Pri seriovem
razenı potrubnıch ňseku je prutok kazdeho ňseku stejny , tlakove vys ky vs ech ňseku se scıtajı. Pri
paralelnım razenı potrubnıch ňseku jsou tlakove vys ky pro vs echny ňseky stejne a prutoky ve vs ech
ňsecıch se scıtajı.
-H
H
Qv-Qv0 Qv
H
-H
zpetna klapka
H Q2
vH Qv
2
Qv1
H1
Obr. 11.22 Charakteristiky vodorovneho
potrubı
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 83
12. Vytok kapaliny z nadob, prepady
12.1. Vytok malym otvorem
Uvazujeme vy tok kapaliny otvorem ve dnš podle obr.12.1
Protoze polohova vys ka je pro cely otvor konstantnı, potom rychlost
v otvoru je rovnomšrnš rozlozena. Vy tokova rychlost v tomto prıpadš se
vypocıta z Bernoulliho rovnice. V obecnem prıpadš se uvazuje v nadrzi
tlak p , ktery je odlis ny od tlaku ovzdus ı 0p , do nšhoz vyteka kapalina
otvorem o prurezu 0S . Nadoba ma konstantnı prurez nS (valec, hranol)
a je naplnšna do vys ky h (obr. 12.1). Pro skutecnou kapalinu platı
Bernoulliho rovnice psana pro hladinu v nadrzi a pro vy tokovy prurez
ρρ0
220
22pghvghvp
z ++=++( 12.1)
Predpokladame, ze prurez vy tokoveho otvoru 0S je ve srovnanı a
prurezem nadrze nS velmi maly potom rychlost poklesu hladiny 0→ov
Pro ztratovou vys ku platı znama rovnice
gvhz 2
.2
ζ=
Potom z rovnice (12.1) pro vy tokovou rychlost platı
−+=
−+
+=
ρϕ
ρζ00 22
11 ppghppghv
( 12.2)
Pro teoretickou vy tokovou rychlost ( )0=ζ dostaneme
−+=
ρ02
ppghvt
Pomšr skutecne a teoreticke rychlosti je rychlostnı soucinitel
111
⟨+
==ζ
ϕtv
v ( 12.3)
Pri stejnem tlaku v nadrzi a ve vy tokovem otvoru je vy tokova rychlost urcena rovnicı
ghv 2ϕ= ( 12.4)
Pro 1=ϕ je teoreticka rychlost
ghvt 2= ( 12.5)
coz je znamy Torricelliho vyraz.
p
S0
Sn
h
p0 S
v
v0
Obr.12.1 Vy tok z nadoby
otvorem ve dnš
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı84
Pri vy toku z nadoby nevyplnuje proud kapaliny zpravidla cely vy tokovy otvor, nebo– proudnice
se nemohou nahle zakrivit podle hran otvoru. Setrvacnosti castic kapaliny je zpusobeno zňzenı nebo
kontrakce paprsku. Vyjadruje se soucinitelem kontrakce
10
⟨=SS
ε( 12.6)
Soucinitel zňzenı zavisı obecnš na tvaru vy tokoveho otvoru, jeho umıstšnı vuci bocnım stšnam a na
Re-cısle.
Skutecny vy tok kapaliny otvorem po dosazenı rovnice (12.4) a (12.6) je
ghSghSSvQ ov 22... 0 µϕε === ( 12.7)
kde
1. ⟨== ϕεµtv
v
je vy tokovy soucinitel, ktery rovnšz zavisı na tvaru otvoru ci natrubku a Re-cısle.
Zavislost ( )Re,, f=µεϕ pro ostrohranny otvor podle vysledku mšrenı je uveden na obr. 12.2.
12.2. Vytok velkym otvorem v bocnı stů nů
SdS
b
dhh2
1h
p0
h
Obr.12.2 Rychlostnı, kontrakcnı a vy tokovy soucinitel
maleho otvoru
Obr.12.3 Vy tok velkym otvorem obecneho
tvaru
Pri relativnš velkem otvoru ve svisle stšnš je nutno respektovat zavislost vy tokove rychlosti
kapaliny na hloubce uvazovaneho mısta pod hladinou tlaku ovzdus ı. Skutecna vy tokova rychlost
kapaliny je urcena vztahem (12.2) nebo (12.4). Vy tok kapaliny z nadoby se urcı integracı. Elementem
vy tokoveho otvoru bdhdS = (obr. 12.3) vyteka elementarnı skutecny prutok kapaliny
dhghbdSvdQv .2... µµ ==
Vy tok rozmšrnym otvorem je urcen obecnš integralem
∫ ∫==S
h
hv dhghbdQQ
2
1
2µ( 12.8)
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 85
Ma-li otvor obdelnıkovy prurez Ú .konstb = , potom vy tok urcıme integracı rovnice (12.8)
( )23
23
122.32 hhgbQv −= µ
( 12.9)
12.3. Vytok ponorenym otvorem
Kapalina vyteka otvorem do prostredı vyplnšneho rovnšz
kapalinou (obr.12.4). Jde v podstatš o prutok otvorem mezi dvšma
nadobami. Otvor je pod obšma hladinami v nadrzıch, proto je
oznacovan jako ponoreny . Vy tokova rychlost otvorem zavisı na
rozdılu hladin v nadobach.
K odvozenı vztahu pro vy tokovou rychlost se pomyslnš
otvor zakryje deskou. Tlak kapaliny pusobıcı na desku z obou stran
je prımo ňmšrny hloubce uvazovaneho mısta do hladiny tlaku
ovzdus ı. Jejich prubšh je vyznacen v obrazku prımkami. Tlaky
pusobı proti sobš, proto vysledny tlak je dan jejich rozdılem, ktery je po cele stšnš smocene z obou
stran konstantnı ghp ρ=∆ .
Po odkrytı otvoru zacne kapalina pretekat teoretickou vy tokovou rychlostı
ghvt 2=
Tento vyraz je formalnš totozny s Torricelliho vyrazem. Protoze tlakovy rozdıl je po celem prurezu
ponoreneho otvoru stejny , je vy tokova rychlost ve vs ech mıstech stejna a nezavisla na tvaru otvoru
S .
Pro objemovy prutok proto platı rovnice
ghSQv 2.µ= ( 12.10)
12.4. Vytok pri soucasnem prıtoku
Z otevrene nadoby vyteka kapalina ( )vQ otvorem 0S (obr. 12.5) a soucasnš pr iteka vpQ ,
pricemz vvp QQ ≠ . Vy tok pri libovolne vys ce h hladiny je urcen vztahem
ghSQv 20µ=
Kdyz vvp QQ ≠ ., pak se poloha hladiny v nadobš bude mšnit. Pri vvp QQ ⟩ hladina stoupa, pri
vvp QQ ⟨ hladina klesa.
Stoupanı, poprıpadš klesanı hladiny trva tak dlouho, az se dosahne rovnovahy vvp QQ = .
Tomuto ustalenemu stavu odpovıda vys ka hk, pro nız platı
p0h
S v
p0
h
Obr.12.4 Vy tok ponorenym
otvorem
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı86
kvvp ghSQQ 20µ==
Vys etrıme zmšnu polohy hladiny v zavislosti na
case t . Predpoklada se, ze v rovnovaznem stavu v case
0=t je hladina ve vys ce 0h . Skokem se zmšnı prıtok
kapaliny na hodnotu .konstQvp = , napr. se vpQ zvšts ı.
V libovolnem casovem okamziku t zpusobı rozdıl pr itekle a
vytekle kapaliny za elementarnı cas dt zvys enı dh hladiny
0p v nadobš o prurezu nS .
( )hhgSdhS
QQdhS
dtk
n
vvp
n
−=
−=
20µ
( 12.11)
Integracı teto rovnice se stanovı cas za ktery hladina stoupne nebo klesne z puvodnı hodnoty 0h na
hodnotu h . V obecnem prıpadš je treba take uvazit, ze
( )hfSn = a ( )tfQvp =
12.5. Vyprazdnovanı nadob
Jestlize do nadoby nepriteka kapalina a tedy 0=vpQ , hladina klesa, az se nadoba vyprazdnı
( )0=h . C as potrebny k vyprazdnšnı nadoby se vypocte z diferencialnı rovnice (12.11) do nız se
dosadı 0=vpQ neboli 0=kh . Pak platı
ghSdhS
dto
n
2µ−=
( 12.12)
Z otevrene nadoby s konstantnım prurezem nS se dostane integracı doba t potrebna ke snızenı
hladiny 0p z vys ky 0h na h
( )hhgS
SdhhgS
St nh
h
n −=−= ∫ −0
00 22
20
21
µµ
Pri ňplnem vyprazdnšnı nadoby je konecna vys ka hladiny rovna 0=h a potrebna doba
vyprazdnšnı nadoby se vypocte ze vzorce
vovov Q
VQSh
ghSSh
t 00
00
0 222
2===
µ
( 12.13)
kde 0V Ú objem nadrze
000 2ghSQv µ= je vy tok na zacatku vyprazdnovanı
Vypocıtana doba ňplneho vyprazdnšnı nadoby pri mens ıch vys kach hladiny h0 se muze lis it od
skutecne doby vyprazdnšnı. To je zpusobeno kvalitativnımi zmšnami ve vy toku kapaliny otvorem,
nebo– pri urcite vys ce hladiny nad otvorem vznikne nalevkovity vır.
S0
Sn
p0
Qv
Qvp
h h 0
kh
v
Obr.12.5 Vy tok pri soucasnem prıtoku
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 87
12.6. Prepady
Prepad je vy tok nezaplnšnym otvorem nebo otvorem s neuzavrenym obrysem. (obr. 12.6)
Nejnizs ı mısto vy tokoveho otvoru je korunou prepadu. Vys ka hornı hladiny 0p (pred prepadem) nad
korunou prepadu je prepadova vys ka h .
S prepadem se setkavame na prehradach, kde zajis –ujı propus tšnı pri maximalnıch prutocıch
a udrzenı hladiny v nadrzi pod maximalnı ňrovnı. Prepady majı vyznam rovnšz pro mšrenı velkych
prutoku, napr. v laboratorıch.
Podle polohy spodnı hladiny se rozlis ujı prepady dokonale a nedokonale. Dokonaly prepad je
takovy , pri nšmz spodnı hladina neovlivnuje prutok prepadem. U dokonaleho prepadu je spodnı
hladina pod korunou prepadu (obr. 12.6.) Nedokonaly prepad ma ovlivnšn prutok spodnı hladinou,
ktera je vys e nez koruna prepadu (obr. 12.6). Prepadova stšna muze by t pomšrnš tenka nebo tlusta,
poprıpadš se zaoblenım.
Prutok dokonalym prepadem s volnym proudem se stanovı jako vy tok velkym otvorem ve
stšnš nadoby Úrov. (12.8).
∫=S
v dhhbgQ 2µ
Tato rovnice je rovnice Dubuatova pro obecny tvar
prepadu. Soucinitel prepadu µ je obdobny vy tokovemu
souciniteli. Je zavisly na prepadove vys ce h a
vlastnostech prepadu - var).(Re, tgeom=µ
Pro obdelnıkovy prepad (obr. 12.6) se s ırkou
koruny prepadu b je prutok urcen vzorcem pro rozmšrny otvor ve svisle stšnš (obr. 12.9). Jestlize se
dosadı 01 =h a hh =2 , pak
ghbhQv 232
µ=( 12.14)
Pro prepad s ostrou hranou a pro volny proud, ktery je dobre zavzdus nšn (vzduch ma prıstup pod
prepadajıcı proud), je strednı hodnota soucinitele prepadu 65,0=µ , pokud s ırka prepadu b je rovna
s ırce celeho kanalu 0b . Pro prepady jinych prurezu vztahy pro prutok je mozne najıt v odborne
literature. Pro mšrenı prutoku se velmi casto pouzıva prepad trojňhelnıkovy .
Dokonaly prepad
p0
p0
h
(3-10)h
Nedokonaly prepad
hp
0p
0
Obr.12.6 Dokonaly a nedokonaly prepad
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı88
13. Proudů nı v rotujıcım kanale
13.1. Bernoulliho rovnice pro rotujıcı kanal
Pri prutoku kapaliny kanalem, ktery se
pohybuje, se zmšnı energie kapaliny, nebo– na
ni pusobı sıly od pohybu kanalu. (obr. 13.1)
Napr. pr i rovnomšrne rotaci ( ).konst=ω pusobı
na kapalinu odstrediva sıla. Prace, kterou tato
sıla vykona pr i proudšnı kapaliny, ma vliv na jejı
energii. Bernoulliho rovnice jak byla drıve
odvozena v obecnem tvaru
konstUvp=−+
2
2
ρ
zahrnuje v potencialu U praci vs ech
objemovych sil, ktere pusobı na proudıcı
kapalinu, tedy i odstredive sıly pr i rotaci kanalu.
Na castici kapaliny v rotujıcı proudove trubici
pusobı slozky zrychlenı
0;;2 =−== zyr agara ω
Uvazıme-li, ze platı drıve odvozena rovnice, lze zapsat
zUa
yUa
xUagradUa zyx ∂
∂=
∂∂
=∂∂
=⇒= ;;0
pri cemz platı
( )dyadyadxadU zyx ++=
Potom pro svislou osu rotace s vyuzitım vys e uvedenych rovnic se urcı potencial integracı
( )∫ ∫∫∫ ++−=+−=+== konstrghrdrdygdyadxadUU yx 2
222 ω
ω
Dosazenım do obecne Bernoulliho rovnice dostane se pro rotujıcı kanal tato rovnice
konstughvp=−++
22
22
ρ
( 13.1)
Rychlost v je relativnı rychlost kapaliny, jız proudı v rotujıcım kanale, rychlost u je obvodova neboli
unas iva rychlost v uvazovanem mıstš rotujıcıho kanalu. Ostatnı veliciny jsou stejne jako v zakladnı
Bernoulliho rovnici.
1
h 1 r1
U 0
p0
ω g
rω2h
r
v1
av2
r2
h 2
2
c
v
u
Obr.13.1 Rotujıcı kanal
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 89
Pri odstredivem prutoku rotujıcım kanalem se unas iva rychlost u zvšts uje a energie kapaliny
se zvys uje. Tak je tomu napr. v odstredivych cerpadlech. Obdobnš pri dostredivem prutoku unas iva
rychlost se zmens uje a energie kapaliny se snizuje. To je prıpad vodnıch turbin (napr. Francisovych).
Prihlızı-li se k hydraulickym odporum pri ustalenem proudšnı skutecnı kapaliny rotujıcım
kanalem, platı pro dva prurezy jedne a tez proudove trubice Bernoulliho rovnice
zghughvpughvp+−++=−++
2222
22
2
222
21
1
211
ρρ
13.2. Odstredive cerpadlo
C erpadlo dodava kapalinš energii, ktera je obecnš vyuzıvana na:
a) zvedanı kapaliny (zvys ovanı polohove energie),
b) zvys ovanı tlakove energie (premıstšnı kapaliny do prostoru s vys s ım tlakem)
c) dopravu kapaliny (premıstšnı kapaliny z jednoho mısta do druheho).
VP
VN
SN
SPC
β1
β2
α2
ω
β2α2
c2v2
u2c2u
αc
β1u1 1
v1c 1
u1
1
32
pv
c3
c1
p00
h sh v
gh
Obr.13.2 Schema cerpacıho zarızenı Obr.13.3 Odstredive cerpadlo
Na cerpadlo C ř obr.13.2. je napojeno sacı SP a vy tlacne potrubı VP, ktera propojujı sacı SN
a vy tlacnou nadrz VN. Podle obr. 13.3 celou drahu kapaliny je mozno rozdšlit na ctyr i casti :
1. sacı nadrz a potrubı Ú kapalina proudı ve stojıcım potrubı z nadrze k cerpadlu, zpravidla vys e
polozenemu,
2. obšzne kolo Ú kapalina proudı v rotujıcım kanale
3. difuzor nebo spirala Ú kapalina proudı ve stojıcım kanale,
4. vy tlacne potrubı a nadrz Ú kapalina proudı z cerpadla do nadrze vy tlacnym potrubım, pro ktere
platı Bernoulliho rovnice pro stojıcı kanal.
Bernoulliho rovnice pro sacı potrubı Ú ňsek 0,1, psana pro hladinu ve spodnı nadrzi a vstup do
obšzneho kola je
zss ghcghpp+++=
2
2110
ρρ
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı90
V rovnici jsou tyto veliciny: sh je geodeticka sacı vys ka, zsh jsou hydraulicke odpory v sacım potrubı
cerpadla, 0p je tlak na hladinu v sacı nadrzi. Veliciny oznacene indexem l se vztahujı na vstup do
obšzneho kola cerpadla.
Pro obšzne kolo platı Bernoulliho rovnice pro rotujıcı kanal Ú ňsek 1,2, ktera je pro vstupnı a
vystupnı prurez
zoghuvpuvp+−+=−+
2222
22
222
21
211
ρρ
Rychlosti 21 ,vv jsou relativnı. Rychlosti 21 ,uu jsou unas ive, index 1 znacı vstup do obšzneho kola,
index 2 vystup z obšzneho kola. Ztratova vys ka 0zh zahrnuje ztraty spojene s prutokem kapaliny
obšznym kolem (hydraulicke). Mezi rychlostmi absolutnı, relativnı a unas ivou platı pro vstup i vystup z
obšzneho kola vztah uvc += . Absolutnı rychlostı 2c vystupuje kapalina z obšzneho kola a vstupuje
do difuzoru, kde se kineticka energie mšnı v tlakovou.
Pro difuzor (nebo spiralu) jako stojıcı kanal platı Bernoulliho rovnice psana pro vstupnı a
vystupnı prurez Ú ňsek 2,3.
zdghcpcp++=+
22
233
222
ρρ
Ztraty trenım v difuzoru vcetnš vstupnıch a vystupnıch mıstnıch ztrat jsou zahrnuty ztratovou vys kou
v difuzoru zdh . Rychlost 3c a tlak 3p jsou shodne s tlakem a rychlostnı ve vy tlacnem hrdle cerpadla,
na ktere je pripojeno vy tlacne potrubı nadrze
Bernoulliho rovnice pro vy tlacne potrubı Ú ňsek 3-VN
zvvv ghghpcp
++=+ρρ 2
233
Celkove ztraty ve vy tlacnem potrubı jsou vyjadreny ztratovou vys kou zvh . Veliciny oznacene indexem
v se vztahujı na vy tlacnou nadrz.
Sectenım vs ech ctyr rovnic se dostane
( ) ( ) ( )21
22
21
22
21
222
1 ccvvuuhhhhgpp
hhgY zdzozvzsov
vst −++−−=++++−
++=ρ
( 13.2)
Toto je vyraz pro teoretickou mšrnou energii cerpadla tY , prıpadnš teoretickou dopravnı vys ku
cerpadla tH . Mšrna energie tY predstavuje energii, ktera je predana v cerpadle kazdemu kg
hmotnosti kapaliny. C ast teto energie se spotrebuje v cerpadle, a to ( ) zczdzo ghhhg =+ , coz
predstavuje hydraulicke odpory v obšznem kole a difuzoru cerpadla.
Skutecna mšrna energie cerpadla dY je
( ) ( ) zctddzvzsv
vszctd hHHgHhhgpp
hhgghYY −==++−
++=−= ;0
ρ
( 13.3)
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 91
V rovnici pro skutecnou mšrnou energii cerpadla dY je zahrnuta energie potrebna na zvedanı kapaliny
( )vs hhg + , zvys enı tlakove energie ρ
0ppv − a dopravu kapalin, ktera je spojena s prekonanım
hydraulickych odporu v sacım a vy tlacnem potrubı ( )zvzs hhg + .
Pomšr skutecne a teoreticke mšrne energie cerpadla je hydraulicka ňcinnost cerpadla, ve
ktere jsou zahrnuty hydraulicke ztraty spojene s prutokem kapaliny pracovnımi prostory cerpadla.
Dals ı ztraty v cerpadle jsou zpusobeny zpštnym prutokem kapaliny z vy tlaku do sanı, netšsnostmi
mezi rotujıcımi a stojıcımi castmi cerpadla (objemova ňcinnost cerpadla 0η ) a ztratami v loziskach a
ucpavkach (mechanicka ňcinnost cerpadla mη ). Celkova ňcinnost cerpadla je
mhc ηηηη .. 0= ( 13.4)
Uzitecny vykon cerpadla je
dvdm HgQYQP .. ρ== ( 13.5)
Prıkon cerpadla se urcı pomocı celkove ňcinnosti cη ze vztahu
c
vd
c
vd
c
dv
cp
QYQpHgQPPη
ρηη
ρη
..====
( 13.6)
Q v
vQ
char. cerpadla
char. potrubı
provoznı bod
H ,Yd
h + hs v
0
0P, η, ∆h
η ∆hP
d
Obr.13.4 Charakteristika odstrediveho cerpadla
Skutecne pomšry na cerpadle se zjis –ujı experimentalnš na zkus ebnš a z vysledku se
sestavuje charakteristika cerpadla, tj. zavislost mšrne energie dY na prutoku vQ . Charakteristika
cerpadla byva doplnšna tez krivkami prıkonu, celkove ňcinnosti, prıpadnš kavitacnı deprese h∆ - obr.
13.4.
Teoreticka mšrna energie tY , jak vyplyva z odvozenych rovnic, je dana rychlostnımi pomšry
na vstupu a vystupu z obšzneho kola, tj. rychlostmi 2,12121 ,,,, uuccvv 1v v1. ktere urcujı rychlostnı
trojňhelnıky na vstupu a vystupu z obšzneho kola Ú obr. 13.3. Kapalina se pohybuje v obšznem kole
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı92
relativnı rychlostı v , ktera svıra s unas ivou rychlostı u ňhel β . Aby nedochazelo k razu, musı lopatky
obšzneho kola mıt smšr relativnı rychlosti. Urcuje tedy ňhel 1β a 2β sklon lopatek na vstupu a
vystupu cerpadla. Podobnš ňhly lopatek v difuzoru jsou dany smšrem absolutnıch rychlostı 2c a 3c ,
jimiz proudı kapalina stojıcım difuzorem. Podle kosinove všty platı pro vstupnı rychlostnı trojňhelnık Ú
obr. 13.3.
11121
21
21 cos2 αcucuv −+=
a podobnš pro vystupnı rychlostnı trojňhelnık Ú obr. 13.3.
22222
22
22 cos2 αcucuv −+=
Dosazenım do vyrazu pro teoretickou mšrnou energii cerpadla tY , se dostane po ňpravš
( ) uutt cucucucuYgH 1122111222 coscos −=−== αα ( 13.7)
kde uc1 a uc2 jsou slozky absolutnı rychlosti do smšru unas ive rychlosti u . Pro skutecnou mšrnou
energii dY platı vyrazy
( )uuhthdd cucugHgHY 1122 −=== ηη ( 13.8)
Je-li ňhel o901 =α tzv. kolmy vstup, potom predchazejıcı rovnice se zjednodus ı uhd cuY 22 ..η=
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 93
14. Neustalene proudů nı
14.1. Bernoulliho rovnice pro neustalene proudů nı
Integracı Eulerovy rovnice hydrodynamiky byla zıskana pro dokonalou kapalinu (nestlacitelnou
a bez vnitrnıho trenı) rovnice Bernoulliho
konstt
ghpv
l
=∂∂
+++ ∫ dsvρ2
2
,
ρ = konst
p0
v0
1
20
a, vE 8s l
h
Obr.14.1 Neustaleny proud v potrubı
ktera platı obecnš pro neustalene proudšnı. Pro nejjednodus s ı prıpad neustaleneho proudšnı, kdy
kapalina je nestlacitelna (ρ = konst, K ∞→ ) a potrubı je tuhe (E ∞→ ) a staleho prurezu, je rychlost
proudšnı jen funkcı casu v = v(t) a integral v poslednı rovnici se da vycıslit
aldsadsdtdvds
tv
lll
===∂∂
∫∫∫
Bernoulliho rovnice pro neustalene proudšnı nestlacitelne kapaliny v tuhem potrubı je
konstalghvp=+++
2
2
ρ,
( 14.1 )
kde a je zrychlenı sloupce kapaliny v potrubı o delce l. Ostatnı veliciny majı stejny vyznam jako drıve.
Pro prurezy 1 v nadrzi a 2 na konci potrubı, jımz proteka skutecna kapalina nestacionarnš, platı
Bernoulliho rovnice
zghalvpghvp+++=++
22
22
200
ρρ.
Kdyz se prurez potrubı mšnı, je v kazdem ňseku potrubı jina rychlost a zrychlenı proudu kapaliny. Pro
kazdy casovy okamzik platı rovnice kontinuity pro libovolne prurezy S1v1 = S2v2 = Sv = konst. Po
uplynutı doby dt se zmšnı rychlosti na v1 + dv1, v2 + dv2, v + dv, pro ktere platı obdobnš rovnice
kontinuity S1(v1 + dv1) = S2(v2 + dv2) = S1(v + dv). Z obou rovnic spojitosti se dostane odectenım
S1dv1 = S2dv2 = Sdv a po dšlenı dt je );;( 22
11 a
dtdva
dtdva
dtdv
===
konstSaaSaS === 2211 , ( 14.2 )
coz je druha rovnice kontinuity pro neustalene proudšnı nestlacitelne kapaliny v tuhem potrubı.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı94
14.2. Hydraulicky raz
Odvozenı se provede opšt na nejjednodus s ım prıpadš, kdy potrubı je napojeno na velkou
nadrz, v nız je hladina kapaliny v konstantnı vys i a na konci potrubı je uzavıracı ci regulacnı armatura.
Predpokladejme nahle uzavrenı armatury, cımz se okamzitš zastavı vy tok kapaliny. C astice kapaliny
tšsnš u armatury se zastavı. Jejich kineticka energie se spotrebuje na stlacenı. Tım se vytvorı prostor,
do ktereho dals ı castice vtekajı. Pri narazu na zastavenou kapalinu dochazı k premšnš kineticke
energie na deformacnı praci spojenou se stlacenım zastaveneho sloupce kapaliny. Rozhranı mezi
zastavenou (a stlacenou) kapalinou a pohybujıcı se kapalinou se s ırı od mısta vzniku razu, tj.
armatury, rychlostı zvuku a (= rychlost s ırenı tlakovych vln). Zastavena kapalina ma všts ı tlak o
hodnotu ∆p. Tlakova (razova) vlna, ktere se rıka prıma, se pohybuje rovnomšrnš, takze za cas alt =
probšhne cely ňsek potrubı az k nadrzi a sloupec kapaliny v potrubı je stlacen Ú ma vys s ı tlak o ∆p.
Razova vlna se nemuze s ırit dale do nadrze, kde je volna hladina. Na pocatku potrubı je
v tomto okamziku rozhranı stlacene a nestlacene kapaliny, coz je nerovnovazny stav. Proto stlacena
kapalina zacne expandovat do nadrze, deformacnı energie se premšnı opšt v kinetickou (kapalina
“odpruzıú) a rozbšhne se v opacnem smyslu (od uzavšru do nadrze). Stoupnutı tlaku ∆p se tım zrus ı a
celo teto vlny, zvane odrazena vlna, se s ırı rychlostı zvuku zpšt ke konci potrubı (k armature). Pri
expanzi poslednıch castic na konci potrubı vznikne snızenı tlaku o hodnotu ∆p (castice kapaliny majı
snahu se odtrhnou od zavreneho uzavšru). Tato tlakova vlna (snızenı tlaku o ∆p) se opšt s ırı od
uzavšru k nadrzi, kde se odrazı. Pritom se snızenı tlaku ∆p zrus ı a kapalina se rozbšhne od uzavšru
k nadrzi. Tato odrazena vlna dobšhne k uzavšru, na ktery kapalina narazı, takze dojde opšt
k zastavenı a zvys enı tlaku. Ale to se jiz cely proces s ırenı tlakove vlny opakuje. U kapaliny bez
vnitrnıho trenı nedochazı k ňtlumu a razove vlny by se neustale opakovaly. Ve skutecnych kapalinach
se vnitrnım trenım razove vlny utlumı az prakticky zaniknou. Doba, ve ktere razova vlna se vratı do
mısta vzniku, tj. k uzavšru, se nazyva doba bšhu vlny T a vypocıta se ze vztahu
alT 2
=( 14.3 )
kde l je delka potrubı
a je rychlost zvuku.
V kapalinach je rychlost s ırenı tlakovych vln (zvuku) urcena vyrazem
ρKat =
(14.4 )
Je to teoreticka rychlost zvuku, ktera by se dosahla v dokonale tuhem potrubı. Vzhledem
k pruznosti potrubı je skutecna rychlost mens ı
taa κ= , (14.5 )
kde pro tenkostšnne potrubı je
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 95
p0
0
∆x
v
t = 0 va
v = 0
v = 0
0 < t < = T2
la
t = = T2
la
av
vt = T
< t < T = T2
2la
v
v = 0
v = 0a
v
v = 0a
v
t = 2T(t = 0)
T < t < 2T32
32 Tt =
32 TT < t <
∆h
h
lx
v = 0h0
∆h∆h
∆h
h0
h0
∆h
h0
0h
h0
0h
∆h∆
h
Obr.14.7 Pohyb prıme a odrazene vlny a jemu odpovıdajıcı tlakove pomšry v potrubı
EsKd
+=
1
1κ
(14.6 )
kde K je modul stlacitelnosti kapaliny d je prumšr potrubı
E je modul pruznosti materialu potrubı s je tlous –ka stšn potrubı
Pro tlustostšnne potrubı je
22
22
21
1
dDdD
EK
−+
+
=κ ,
kde d je vnitrnı polomšr potrubı
D je vnšjs ı polomšr potrubı.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı96
Stoupnutı tlaku pri hydraulickem razu se dostane z rovnosti kineticke energie a deformacnı prace
pri stlacenı kapaliny v potrubı. Za urcity cas po uzavrenı armatury se dostane razova vlna do
vzdalenosti x od uzavšru.- obr. 14.8 Sloupec kapaliny o delce x se zastavı a jeho kineticka energie
222
21
21
21 VvSxvmvEk ρρ ===
( 14.7 )
se premšnı na deformacnı praci potrebnou ke stlacenı sloupce x o x∆
VpSxFEd ∆∆=∆=21
21 ( 14.8 )
Z rovnosti dk EE = se dostane
VpVv ∆∆=21
21 2ρ neboli
pv
VV
∆=
∆ 2ρ
Pomšrne objemove stlacenı je dano modulem stlacitelnosti kapaliny
pVV
K ∆∆
=11
neboli Kp
VV ∆
=∆
Z porovnanı obou pomšrnych objemovych zmšn dostane
pv
Kp
∆=
∆ 2ρ ( 14.9 )
a stoupnutı tlaku pri hydraulickem razu je
vavKKvp tρρ
ρρ ===∆ 2( 14.10 )
Tento vyraz odvodil poprve N.E. Zukovskij (1897 Ú 1898).
Skutecne zvys enı tlaku pri hydraulickem razu se vypocte se skutecnou rychlostı zvuku a , takze platı
vaavp tκρρ ==∆ ( 14.11 )
V tomto prıpadš se ves kera kineticka energie premšnila v deformacnı praci. Takovemu hydraulickemu
razu se rıka ňplny nebo totalnı. Nastane v tšch prıpadech, kdy doba uzavıranı xt je krats ı nebo rovna
dobš bšhu vlny T , cili
Tt z ≤ ( 14.12 )
Hydraulicky raz predstavuje znacne zvys enı tlaku. Napr. pri zmšnš rychlosti vody smv 1=∆ je pri
totalnım hydraulicke razu stoupnutı tlaku
MPavKvap 4,1104,1110210 693 =⋅=⋅⋅⋅=∆=∆=∆ &ρρ
Pruznostı potrubı je hydraulicky raz snızen.
Bude-li cas uzavıranı Tt ⟨2 jedna se o castecny hydraulicky raz, jehoz res enı vede na
parcialnı diferencialnı rovnice druheho radu, tzv. vlnove rovnice.
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 97
15. Vů ta o zmů nů hybnostiVedle bilance hmotnosti, to je rovnice kontinuity a bilance energie pro 1 kg proudıcı kapaliny Ú
Bernouliho rovnice, lze urcit jes tš impulzovou vštu Ú vštu o zmšnš hybnosti. V inzenyrske praxi se
s vyhodou pouzıva vs ude tam, kde se sleduje jen vysledny silovy ňcinek tekutiny na stšnu pevneho
tšlesa. Jejı aplikace na celou radu prıpadu bude uvedena dale.
Odvozenı impulzove všty je nasledujıcı.
Zmšna hybnosti ∫1
2
v
v
mdv je rovna impulsu sıly ∫1
2
t
t
dtF , coz je znamo z mechaniky
∫∫ =2
10
v
v
t
mddt vF( 15.1 )
Pro konstantnı sılu (F = konst) a hmotnost (m = konst) se dostane po integraci
( ) vvvF ∆=−= mmt 12( 15.2 )
Upravou teto rovnice (dšlenım t ) se zıska rovnice
( ) � HHHvvv� vF 1212 =−=−=== mm QQtm �
( 15.3 )
ktera slouzı k vypoctu sil (reakce), kterymi pusobı obtekane plochy na proud kapaliny. Soucin
vQH .m= je prutokova hybnost. Sıla F vyvolana proudıcı kapalinou (akce) je rovna zmšnš
prutokove hybnosti 12 HH − .
Kapalina, ktera vteka do kontrolnıho objemu V rychlostı 1v a vyteka z nšho rychlostı 2v
vyvola pri prutoku vQ sılu F (obr.15.1).
FQv
v2
v1
Qv
∆v
v1
v2 V
V
Qv
v1 v2
v1Fs
s
Qv
v1s
v2
v2s
Obr.15.1 Všta o zmšnš hybnosti pri interakci
proudu kapaliny s tšlesem
Obr.15.2 Urcenı sıly ve smšru s
Pro vypocet slozky sıly ve smšru s platı hybnostnı všta
( ) s2s1ss HvvvF ∆=−=∆= mm QQ ( 15.4 )
kde 21 ,vv jsou slozky rychlostı 21 ,vv do smšru s .
Hybnostnı všta v hydromechanice slouzı k vypoctu sil, ktere by bylo nutno urcit integracı
z Eulerovych rovnic hydrodynamiky.
Prıkladem aplikace hybnostı v hydrodynamice je vypocet silovych ňcinku paprsku kapalin na desky a
tšlesa.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı98
Paprsek kapaliny dopadajıcı kolmo na rovinnou desku zmšnı smšr proudšnı (obr.15.3).
Zmšnou hybnosti se vyvola sıla F . Kontrolnı objem V se volı tak, aby ve vstupnım prurezu proudu
kapaliny byla nenarus ena rychlost 1v , podobnš ve vystupnım prurezu musı proud mıt smšr odtokove
rychlosti shodny s povrchem desky. Protoze paprsek kapaliny proudı v ovzdus ı, je tlakova energie
konstantnı. Rovnšz polohova energie vodorovneho paprsku se nemšnı. Neuvazujı-li se hydraulicke
odpory (po dopadu na desku), musı byt odtokova rychlost 2v stejna jako prıtokova 1v
( vvv == 21 vyplyva z Bernoulliho rovnice).
FQ v
v2
v2
Vv
1S
αv = ϕ v
v2
F
α
v2
v1S
2 1
Obr.15.3 Ucinek paprsku na kolmou desku Obr.15.4 Ucinek paprsku na obecnou rotacnı
plochu
Zmšna rychlosti ve smšru sıly F je 01 −=∆ vvF , nebo– slozka ( )Fv 2 −= 02Fv . Hmotnostnı prutok
mQ je mm QQ ρ= , takze
2SvQv ρρ == vF ( 15.5 )
Aby odtokova rychlost byla rovnobšzna s povrchem desky, musı by t deska rozmšrna. Pr i male desce
se proud kapaliny castecnš odklonı.
Paprsek kapaliny dopadajıcı na rotacnı plochu ve smšru jejı osy vyvolava sılu (obr.15.4)
vF ∆= mQ ,
kde ( )αϕαϕα cos1coscos 11121 −=−=−=∆ vvvvvv
1SvQm ρ=
( )αϕρ cos121 −= SvF ( 15.6 )
Soucinitel ϕ (rychlostnı) vyjadruje vliv hydraulickych odporu (trenı) pri obtekanı rotacnı plochy na
rychlost, ktera se snizuje.
Na unas enou desku pri kolmem dopadu paprsku kapaliny pusobı sıla (obr.15.5)
vF ∆= mQ ( 15.7)
kde zmšna rychlosti je urcena relativnı rychlostı dopadu ( )uv − . Odtokova rychlost ma ve smšru sıly
F nulovou slozku. Je tedy
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin 99
( ) uvuvv −=−−=∆ 0 ( 15.8)
Hmotnostnı prutok kapaliny, ktera dopadne na desku je
( ).uvSQm −= ρ Silovy ňcinek je tedy
( )2uvSF −= ρ ( )vu⟨ ( 15.9)
Poznamka: Rozdıl mezi hmotnostnım prutokem SvQm ρ=1 ,
ktery vyteka z trysky a hmotnostnım
prutokem ( )avSQm −= ρ , ktery dopada na desku je
roven SuQQQ mmm ρ=−= 12 a spotrebuje se na prodlouzenı
paprsku.
Pohybujıcı se deska muze konat silovym ňcinkem praci. Jejı vykon je urcen vyrazem
( ) uuvSFuP 2−== ρ ( )vu⟨ ( 15.10)
Z rovnice vyplyva, ze pro 0=u a vu = je vykon P nulovy . Musı tedy existovat aspon jeden extrem
pro rychlost v intervalu .0 uv⟨⟨ Z derivace ( ) ( )[ ] ( )( ) 032 2 =−−=−+−−= uvuvSuvuuvSdudP
ρρ
vyplyva 31
=vu
. Protoze ( )vuSdu
Pd 2322
2
−= ρ , je pro 32
⟨vu
zaporne, jde o maximum. Maximalnı
vykon desky je
32
max 274
33SvvvvSP ρρ =
−=
(15.11)
Podobnym zpusobem lze urcit silovy ňcinek na Peltonovo kolo (obr.15.6), ktere sestava z korecku, na
nšz dopada paprsek vody. Na korecku mšnı proud kapaliny smšr proudšnı a tım vyvolava silovy
ňcinek. Voda dopada na korecek (pohybujıcı se unas ivou rychlostı u ) relativnı rychlostı ( )uv − .
V idealnım prıpadš se zmšnı smšr proudšnı o 180o takze z korecku odteka relativnı rychlostı
( )uv −− . Neuvazujı se hydraulicke ztraty. Zmšna rychlosti v∆ po prutoku koreckem je ve smšru sıly
F (totozny s unas ivou rychlostı u ) urcena vztahem
( ) ( )[ ] ( )uvuvuvv −=−−−−=∆ 2 ( 15.12)
Na vs echny korecky Peltonova kola dopadne ves kera voda vytekajıcı z trysky, jejız
hmotnostnı prutok je SvQm ρ= . Silovy ňcinek na Peltonovo kolo je
( )uvSvvQF m −=∆= ρ2 ( 15.13)
a vykon
( )uuvSvFuP −== ρ2 ( 15.14)
I tato funkce ma extrem
Sv
Q Vv
F
v
v
v > uu
2
Obr.15.5 Ucinek paprsku na
pohybujıcı se desku
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı100
3max 2
122
2 SvvvvSvP ρρ =
−=
(15.15)
Silove ňcinky proudu kapaliny na potrubı (obr.15.7) se
skladajı z nškolika sil. Na ňsek potrubı (mezi prurezy 1 a
2) pusobı sıla vyvolana zmšnou prutokove hybnosti
kapaliny, a to jak smšrem, tak i velikostı rychlosti
( ) h2h2121h FFvvHHF1
−=−=−= mQ ( 15.16)
kde
2h2
1h1
vFvF
m
m
==
( 15.17)
Dale pusobı na zvoleny ňsek potrubı tlakove sıly.
Ucinek kapaliny v pomyslnš odstranšnem potrubı v prurezu 1 vyjadruje tlakova sıla
11Sp=p1F ( 15.18)
Podobnš v prurezu 2 pusobı sıla 2pF .
K urcenı vyslednice sil na zvoleny ňsek
potrubı se pricte tıha kapaliny kF , ktera
zaplnuje ňsek potrubı a vlastnı tıha potrubı
gF . Vektorovy soucet sil
gkph FFFF ,,, dava vyslednici sil, ktere
pusobı na ňsek potrubı 1-2:
gkph FFFFF +++= (15.19)
Vyslednici sil F musı prenest uchycenı
nebo zakotvenı potrubı.
Poznamka: Vliv hydraulickych odporu pri proudšnı skutecne kapaliny je zahrnout v tlakove sıle pF ,
neboŠt jejı slozka 2pF zavisı na tlaku 2p v prurezu 2, ktery je ovlivnšn hydraulickymi odpory, jak
vyplyva z Bernoulliho rovnice:
zghghvpghvp+++=++ 2
222
111
22 ρρ
vu
ω
-(v-u)(v-u)
-(v-u)Fuv
Obr. 15.6 Pomšry u Peltonovy turbıny
h 2
h
1
2
S1
p1
S2 p2
1
U = 0
v1
v2
F
FFFk
ghp
FgFk
Fp1
-Fp2
Fp
Fh
Fhp
Fh1
-Fh2
F
Obr. 15.7 Ucinek proudu kapaliny na potrubı
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
101
16. Obtekanı tů lesPri obtekanı tšles ci pohybu tšlesa v tekutinš vznikajı sıly a momenty. Vyslednou sılu a
moment lze rozlozit obecnš na tri slozky: odpor xF , vztlak yF a bocnı sılu zF a moment klopivy Mz,
klonivy xM a zatacivy yM , obr.16.1
zx
y
My
Mx
Mz
F y
FxFz v
Obr.16.1 Sıly a momenty pusobıcı na obtekane tšleso
Pri symetrickem obtekanı tšles pak budou nšktere z tšchto slozek rovny nule (bocnı sıla a
klonivy a zatacivy moment).
Nachazı-li se tšleso v rozlehlem proudu tekutiny, nelze jiz tak snadno urcit rychlostnı a tlakove pole
kolem tšlesa a teoreticke stanovenı napr. odporu a vztlaku je velmi obtızna ňloha. Jestlize provadıme
vypocet s modelem nevazke tekutiny, dostavame nulovy odpor, coz je v rozporu s nas ı zkus enostı
(D'Alembertuv paradox), nebo– i pri obtekanı tšles vzduchem, ktery ma velmi malou viskozitu, vznika
vzdy odpor, tj. slozka paralelnı s vektorem rychlosti. Experimentalnš bylo zjis tšno, ze pr i velkych
Reynoldsovych cıslech saha vliv viskozity jen do male vzdalenosti od povrchu tšlesa a tato cast
proudu se nazyva meznı vrstva; ňplav je odplavovana meznı vrstva, obr.16.2.
16.1. Meznı vrstva
Uvazujme nejjednodus s ı prıpad - meznı vrstvu na tenke desce paralelnı s proudem tekutiny.
Tlak je v celem objemu tekutiny konstantnı. Tekutina na stšnš lpı 00 =v . Vlivem viskozity se zabrzdı
nejblizs ı vrstvy tekutiny u povrchu desky. Rychlost s odlehlostı od stšny narusta az na hodnotu
rychlosti nenarus eneho proudu ∞v . Tato tlous –ka "zabrzdšne" tekutiny xδ je u nabšzne hrany nulova
a na odtokove hranš je maximalnı. V meznı vrstvš a oblasti kolem desky nejsou proudnice paralelnı
prımky, ale tvorı mırnš se rozbıhajıcı svazek. Slozka rychlosti kolma k desce vy ± ∞v a lze ji zanedbat.
Hranice meznı vrstvy nenı shodna s proudnicemi. Mimo meznı vrstvu je vs ude rychlost temšr
konstantnı, tedy δv / δy = 0 a proto i tecne napštı je zde rovno nule, bez ohledu na viskozitu tekutiny.
Mimo meznı vrstvu muzeme tedy pocıtat s Bernoulliovou rovnicı pro idealnı tekutiny. V meznı vrstvš
vs ak musıme viskozitu uvazovat a proudšnı zde muze by t buť laminarnı nebo turbulentnı.
Odvoťme pomocı všty o zmšnš hybnosti vztah udavajıcı rust tlous –ky meznı vrstvy xδ se
vzdalenostı od nabšzne hrany x ,
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı102
Zvolme kontrolnı oblast OAB, ohranicenou deskou, hranicı meznı vrstvy a ňseckou AB.
Uvazujme jednotkovou s ırku desky b. Pro zjednodus enı se volı rychlostnı profil jako prımka, jez da pro
laminarnı meznı vrstvu vcelku vyhovujıcı vysledek:
x
y
0
v 8
v 8
A
LdxB
δx
b = 1
v 8p = konst.8
x
v 8
y
x u plavm.v.
v 8
dvdy = 0 τ = 0
Obr.16.2 Meznı vrstva Ú m.v. na tenke desce. Obr.16.3 Idealizovana meznı vrstva na desce.
Uplav je odplavena meznı vrstva.
x
yvvδ∞= .
( 16.1 )
Ve smšru proudšni pusobı na tekutinu v uvazovane oblasti pouze trenı o stšnu:
∫=x
x dxF0
0τ ,( 16.2 )
kde 0τ je tecne napštı na stšnš
xy
vdydv
δηητ ∞
=
=
=
00 .
( 16.3 )
Z kontrolnı oblasti vyteka prurezem AB
20
xM
vvdyQ
x δρρ
δ∞== ∫ .
( 16.4 )
Toto mnozstvı tekutiny priteka do kontrolnı oblasti plochou OA konstantnı rychlostı ∞v , takze hybnost
pritekajıcı tekutiny je
xM vvQH δρ 21 2
1∞∞ == .
( 16.5 )
Hybnost tekutiny vytekajıcı prurezem AB z kontrolnı oblasti
xM vdyvvdQHxx
δρρδδ
2
0
2
02 3
1∞=== ∫∫ .
( 16.6 )
Dosadıme-li rov. ( 16.2 ), ( 16.3 ), ( 16.5 ), ( 16.6 ) do všty o zmšnš hybnosti napsane pro
elementarnı cast meznı vrstvy o delce dx :
( ) ( )dxHHHHddFx
2121 −=−=δδ
,
dxx
vdxvdx x
x ∂∂
== ∞∞ δ
ρδ
ητ 20 6
1.
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
103
Protoze xx ddx
xδ
δ=
∂∂
,upravı se diferencialnı rovnice separacı promšnnych na tvar ∞
=v
d xx ρη
δδ6
a po integraci
Kxvx +=
∞
νδ 122 ,
( 16.7 )
coz je parabola druheho stupnš, kde 0=K nebo– pro 0=x je 0=xδ . Zavedeme-li do rovnice
( 16.7 ) Reynoldsovo cıslo, v nšmz charakteristickou delkou bude vzdalenost od nabšzne hrany x :
νxv
x∞=Re ,
( 16.8 )
bude
xx
xRe46,3
=δ .( 16.9 )
Pomocı presnšjs ıch vypoctu potvrzenych experimenty dostaneme stejny vyraz, jen konstanta je
vys s ı: 5,8.
Chceme-li vypocıtat odpor, dosadıme z rov. ( 16.3 ) za pouzitı rov. ( 16.7 )
2Re15,1 2
00
∞== ∫vbLdxbF
L
L
x ρτ ,( 16.10 )
tj. odpor jedne strany desky, jejız plocha LbS .= . Prvy zlomek se zpravidla oznacuje soucinitel
odporu xc a presnšjs ım vypoctem dostaneme opšt stejny vztah s vys s ı konstantou
Lxc
Re33,1
= .( 16.11 )
Odpor desky se pak pocıta z rovnice
2
2∞=
vScF xx ρ ,( 16.12 )
kde dpv =∞ 2/2ρ ,tj. dynamicky (resp. kineticky) tlak.
Jestlize nabıhajıcı proud tekutiny je turbulentnı, nebo jestlize je proud laminarnı, ale pred
desku umıstıme turbulizator, napr. sıto, drat, pak tlous –ka meznı vrstvy bude narustat rychleji a odpor
bude vys s ı:
5 Re074,0
Lxc =
( 16.13 )
5 Re37,0
Lx
x=δ
( 16.14 )
(tj. strednı hodnota tlous –ky, nebo– xδ kolısa s casem), viz obr. 16.4
Ale i kdyz je proud laminarnı a nepouzijeme turbulizator, pak laminarnı meznı vrstva po dosazenı
urcite tlous –ky se stane nestabilnı a v urcite vzdalenosti od nabšzne hrany se zmšnı v turbulentnı a
dostane se tzv. smıs ena meznı vrstva, obr.16.4.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı104
turb.lam.
v 8
10 5 10 6 107 10 8 10 9
103
RekRe
1
246
10
cxL T
S
drsnost
Obr.16.4 Smıs ena meznı vrstva na desce. Obr.16.5 Zavislost soucinitele odporu tenke desky na
Reynoldsovš cısle: L - laminarnı meznı vrstva, S -
smıs ena meznı vrstva, T - turbulentnı meznı vrstva.
V prednı casti je meznı vrstva laminarnı, v zadnı turbulentnı, mezi nimi prechodova oblast.
Okamzita hranice turbulentnı meznı vrstva Ú plna nepravidelna krivka - se s casem mšnı. Strednı
tlous –ka turbulentnı meznı vrstvy je zakreslena carkovanš.
Kriterium pro stanovenı tohoto prechodu je opšt kriticke Reynoldsovo cıslo, jehoz hodnota se
mšnı se stupnšm turbulence proudu. Zpravidla se udava
5105Re ⋅== ∞
υk
kxv
,
ale muze by t všts ı (az 2.106) i mens ı. Soucinitel odporu pro smıs enou meznı vrstvu lze vyjadrit
LLx
AcReRe
074,05
−= ,( 16.15 )
kde pro 510.5Re =L je 1700=A .
Zavislost soucinitele odporu xc tenke desky na Reynoldsovš cısle je na obr.16.5. Protoze je
diagram vynesen v logaritmickych souradnicıch, je zavislost soucinitele odporu laminarnı meznı
vrstvy,rov. ( 16.11 ) , znazornšna prımkou L stejnš jako soucinitele odporu turbulentnı meznı vrstvy
pro hladkou desku, rov. (14.13) carkovanou prımkou T s mens ım sklonem. Skutecne hodnoty
soucinitele odporu v turbulentnı meznı vrstvš budou pr i vys s ıch hodnotach Re (nad 107) vys s ı a jsou v
znazornšny plnou krivkou. V turbulentnı oblasti je odpor zavisly i na drsnosti desky a s rostoucı
drsnostı roste i soucinitel odporu. Krivky pro smıs enou vrstvu S (je jich vıce podle velikosti Rek) se
asymptoticky blızı krivkam soucinitele odporu turbulentnı meznı vrstvy, nebo– pri rostoucıch
Reynoldsovych cıslech je cast plochy desky s laminarnı meznı vrstvou stale mens ı.
16.2. Odpor tů les Fx
Pri obtekanı realnych tšles konecne tlous –ky, symetrickych k vektoru rychlosti ∞v , jsou
vs echny slozky sil kromš odporu nulove:
2
2∞=
vScF xx ρ .( 16.16 )
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
105
Pri obtekanı tšles mens ımi rychlostmi (aby se neuplatnil vliv stlacitelnosti), si celkovy odpor
rozkladame na odpor trecı (vliv viskozity) dany integralem tecnych sil po povrchu a tlakovy , zpusobeny
nesymetrickym rozlozenım tlaku po povrchu tšlesa. Podle toho, ktera slozka odporu prevlada, coz
zavisı na tvaru, muzeme tšlesa rozdšlit do trı skupin: deskovita a paralelnı s proudem, deskovita a
kolma k proudu a spojitš zakrivena s relativnš velikou tlous –kou nebo dobre a s patnš obtekana:
a) ocasnı plochy letadel a.p. jsou typickymi prıklady profilovanych desek, u nichz prevlada trecı odpor.
Do rov. ( 16.16 ) se vs ak obycejnš nedosazuje smocena plocha, jako u tenke desky, nybrz plocha
pudorysu, nebo– se urcı snadnšji.
Soucinitel odporu zavisı na tvaru profilu desky, Reynoldsovš cısle, drsnosti povrchu a
turbulenci proudu. Prubšh soucinitele odporu v zavislosti na Reynoldsovš cısle je podobny jako pro
tenkou desku, jen o nšco všts ı vlivem maleho tlakoveho odporu. Uplav je maly. Protoze prechod
laminarnıho proudšnı v turbulentnı je silnš zavisly na tlakovem spadu, lze vhodnym tvarovanım snızit
odpor v urcite oblasti Re. Jedna se o tzv. laminarnı profily, u nichz je maximalnı tlous –ka posunuta do
vzdalenosti 40 az 60% od nabšzne hrany, zatımco u klasickych profilu byla asi 30%, obr.16.7
v 8
10
101
10 3 c4
2x
6
5 10 6 10 7 Re
pminb
pmin
p = konst.a
c
Obr. 16.6 Obtekanı desky kolme k proudu Obr.16.7 Srovnanı hodnot soucinitele odporu pri
ruznych Re pro: a) tenkou desku (soucinitel
odporu vztazen na plochu pudorysu desky), b)
klasicky profil c) laminarnı profil.
b) U deskovitych tšles postavenych kolmo k proudu, obr.16.7, nebo u tšles s ostrymi hranami na zadnı
casti, dochazı k odtrzenı proudu na hranach. Proto bod odtrzenı nemšnı svou polohu.
Pred tšlesem je pretlak, za tšlesem podtlak (nevhodne rozlozenı tlaku). Uplav je veliky Soucinitel
odporu zavisı hlavnš na tvaru tšlesa, jen pro mala Reynoldsova cısla Re < 103 je zavisly i na Re,
nebot' roste vliv viskozity, obr.16.8.
Hodnoty soucinitelu pri Re > 103 jsou
Obr.16.8 Zavislost soucinitele odporu ruznych
tšles na Reynoldsovš cısle:
koule, valec,
elipsoid, deska.10
10.1
c
1
x
10 10 2 10 3 10 4 Re10 5 10 6
kouledeska valec
elipsoid
ld
8
1ab
8
5
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı106
zavisle hlavnš na tvaru, napr. kruhova a ctvercova deska majı cx = 1,1 ; obdelnıkova deska (s
teoreticky nekonecnym rozpštım) cx= 2. Jako charakteristickou plochu A dosazujeme v tomto prıpadš
do rov. ( 16.12 ) plochu prumštu do roviny kolme k rychlosti ∞v - celnı prumšt.
c) pro tšlesa spojitš zakrivena (koule, elipsoidy, valce a p.) je charakteristicke, ze pri urcitych
hodnotach Reynoldsovych cısel dochazı k pronikavym zmšnam soucinitele odporu cx napr. na
obr.16.8, pr i Re ≈ 105. Prıcinou je posunutı bodu odtrzenı meznı vrstvy smšrem dozadu pr i prechodu
proudšnı v meznı vrstvš z laminarnıho na turbulentnı. To ma za nasledek zmens enı ňplavu i odporu.
K odtrzenı meznı vrstvy dochazı zpravidla tehdy, kdyz tekutina proudı do mıst s vys s ım tlakem napr.
na zadnı casti koule, valce, ale i v difuzoru a podobnš. Tlakove a trecı sıly pusobıcı proti pohybu
castice jsou prekonavany setrvacnostı castice tekutiny, jejı rychlost proto klesa, az v urcitem mıstš na
povrchu tšlesa ma rychlost nulovou, obr.16.9.
Rychlostnı profil v tomto mıstš ma inflexnı bod. Za tımto mıstem majı rychlosti u stšny opacny smysl,
nez je tomu u hlavnıho proudu. U stšny vznika zpštnš proudšnı .
inflexnı bod
Obr.16.9 Proudšnı v okolı bodu odtrzenı
V turbulentnı meznı vrstvš majı castice u stšny všts ı kinetickou energii, protoze rychlostnı
profil je plnšjs ı nez pri laminarnım proudšnı. To je prıcina posunu bodu odtrzenı dozadu a zmens enı
ňplavu pri prechodu laminarnıho proudšnı v meznı vrstvš v proudšnı turbulentnı. Proto pri
Reynoldsovš kritickem cısle dojde k poklesu soucinitele odporu, jak jsme drıve uvedli. (obr.16.8).
Pri velmi malych Reynoldsovych cıslech, mens ıch nez 1, prevlada vliv vazkych sil nad
tlakovymi. U koule a valce je bod odtrzenı posunut daleko dozadu - nedochazı temšr k odtrzenı.
Soucinitel odporu je silnš zavisly na Re. Pro kouli odvodil Stokes vztah dvFx ∞= πν3 . Srovnanım s
rov. ( 16.12 ) pri dosazenı 42dS π= dostaneme Re24=xc . Pr i tšchto obtekanıch (tzv. plızive
proudšnı) nelze hovorit o meznı vrstvš, nebo– vliv viskozity saha velmi daleko od tšlesa.
U valcu dochazı v oblasti 40 < Re < 500 k pravidelnemu, strıdavemu odtrhavanı vıru a za
valcem vznika tzv. Karmanova vırova stezka. Tento jev je nutno respektovat u ruznych stavebnıch
konstrukcı, a dbat na to, aby nedos lo k rezonanci frekvence odtrhavanı vıru a vlastnı frekvence
konstrukce. Tento jev je take prıcinou "zpıvanı" telefonnıch dratu - tzv. Strouhalovych trecıch tonu. Do
Reynoldsova kritickeho cısla, jez pro kouli nabyva hodnot
( ) 51045,1Re ⋅== ∞ azdvk ν
je proudšnı v meznı vrstvš laminarnı - podkriticke, bod odtrzenı meznı vrstvy je jes tš pred maximalnım
prurezem, obr.16.10a. Pri nadkritickem obtekanı je bod odtrzenı za maximalnım prurezem,
obr.16.10b.
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
107
82�
120�
Lam.
Turb.
a,
b,
Obr.16.10 Odtrzenı proudu pr i obtekanı koule
podkriticke obtekanı - laminarnı meznı vrstva,
nadkriticke obtekanı - turbulentnı meznı vrstva.
17. Proudů nı v korytech
17.1. Rovnomů rny pru tok
Pri prutoku koryty je kapalina vedena stšnami, ktere neohranicujı cely prutocny prurez, jen
cast, takze vznika volna hladina. Na teto hladinš se styka proud kapaliny s ovzdus ım. Muze jıt o
prutok neplnym potrubım, stokami, umšlymi otevrenymi kanaly nebo prirozenymi koryty potoku a rek.
Zpravidla jde v tšchto prıpadech o turbulentnı proudšnı.
Pri ustalenem prutoku mohou nastat dva prıpady, a to pohyb rovnomšrny, pr i nšmz se rychlost
proudu nemšnı po delce koryta a pohyb nerovnomšrny pri nšmz se rychlost proudu a tım i prutocny
prurez (hloubka proudu) po delce koryta, tj. v zavislosti na vzdalenosti mšnı, avs ak nemšnı se
s casem t .
Rovnomšrny prutok nastane v korytš staleho prurezu, jestlize spad dna z na delce l je
v rovnovaze se ztratovou vys kou zhz = , coz vyplyva z Bernoulliho rovnice
( ) zghghvpzhgvp+++=+++
22
20
20
ρρ
Hladina vody je v tomto prıpadš
rovnobšzna se dnem koryta.
Pro ztraty trenım platı vzorec
zg
vdlhz ==
2
2
λ
Pomšrny spad koryta je
gv
dlzi
2
2λ==
Prurez korytem je zpravidla nekruhovy , proto se zavadı mısto prumšru d hydraulicky polomšr
oSrh = . (je treba upozornit na rozdıl s drıve uvedenym hydraulickym prumšrem hd , ktery je
l
zhH
S ov
v = v2
y
2 gv2
sϕ
Hh
2gh
=h
z2
z
2v1
Obr.17.1 Rovnomšrny proud v korytš
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı108
definovan jako 4-nasobek hydraulickeho polomšru hr a nikoliv 2- nasobek). Dosazenım
hh rdd 4== se upravı rovnice pro rovnomšrny prutok korytem takto:
hrv
gi
2
8λ
=( 17.1 )
Rychlost rovnomšrneho prutoku v korytš je
hh irCirgv ==λ
8 ( 17.2 )
coz je Chezyho rovnice. Rychlostnı soucinitel C pro strednı rychlost rovnomšrneho proudu v korytech
je vazan se soucinitelem trenı vztahem
λgC 8
=( 17.3 )
z cehoz plyne, ze ( )εRe,fC =
Odborna literatura uvadı celou radu empirickych vztahu pro stanovenı rychlostnıho soucinitele
C , ktere byly stanoveny na zakladš mšrenı. U prirozenych toku byva pomšrny spad i velmi maly. U
horskych rek je napr. 0,002, u velkych rek v nızinach jen 0,0002.
Pri navrhu koryt, stok pod. byva obvykle zadan prutok vQ a volı se rychlost, z cehoz se
vypocıta prurez S a pomšrny spad i . Aby pomšrny spad i , ktery je ňmšrny ztratam, byl co nejmens ı,
je treba volit profil nejmens ıho odporu, tj. s co nejvšts ım hydraulickym polomšrem.
17.2. Nerovnomů rny pru tok
V mıstech, kde se spad koryta mšnı, takze zhz ≠ , vznika pohyb nerovnomšrny . Pri
promšnnem spadu se prutocna rychlost v a tım i hloubka h mšnı po delce koryta, nikoliv vs ak
v zavislosti na case Ú obr. 17.2.
l
v2
v1
12
1
2z
1
2
hh
hz
-z1
z z1 2
2 gv2
2g22
v
hSo
b
dh
Obr.17.2 Nerovnomšrny proud v korytš Obr.17.3 Prutocny prurez koryta
Pro zmšnu vys ky hladiny je mozne odvodit diferencialnı rovnici ve tvaru, oznacenı velicin je
patrne z obr. 17.3.
dx
gSbQ
rCSQ
idh
v
h
v
3
2
22
2
1−
−=
(17.4 )
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
109
K integraci poslednı rovnice je treba znat tvar koryta a stanovit funkce:
( ),hSS = ( );hfoSrh == ( );hCC = ( )hbb = . Res enı se da provest jen
v jednoduchych prıpadech exaktnš, u slozitšjs ıch profilu koryt se s vyhodou pouzije numericke
metody.
v1v2
v1 v2
ϕ2
ϕ1
>ϕ1 2ϕ>
Obr.17.4 Vodnı skok
Pri zvšts enı pomšrneho spadu koryta se proud zrychluje a jeho hloubka klesa. V opacnem
prıpadš pri zmens enı pomšrneho spadu se proud zpomaluje a jeho hloubka stoupa. V druhem
prıpadš muze dojıt k nahle zmšnš rychlosti a tım hloubky, cemuz se rıka vodnı skok.-obr. 17.4.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı110
18. Fyzikalnı podobnost a teorie modelovanı
18.1. Hydrodynamicka podobnost pri proudů nı tekutin
Experimentalnı prace v hydraulicke laboratori je velmi vyznamnou slozkou vyzkumne prace.
Zkoumajı se modely nejruznšjs ıch stroju a zarızenı, aby se poznaly jejich zakladnı vlastnosti nebo
zjistily a opravily vady, ovšrujı se teoreticke predpoklady navrhu ci projektu a velmi casto se pokusnš
zjis –ujı vzajemne zavislosti zňcastnšnych velicin.
Vysledky zıskane na modelu se pak prepocıtavajı na skutecne zarızenı, tzv. dılo. Prozkoumanı
jevu na modelu umoznuje take zavest opravne soucinitele do teoreticky odvozenych rovnic, jejichz
res enı bylo zalozene na zjednodus ujıcıch predpokladech (aby se matematicke res enı usnadnilo nebo
zjednodus ilo), ktere se vs ak od skutecnych pomšru castecnš odchylujı. V nškterych slozitych
prıpadech, ktere nejsou dosud teoreticky res itelne, se experimentem zıskavajı pro praxi potrebne
vztahy velicin.
Model se zhotovuje temšr vzdy mens ı nez dılo, proto je levnšjs ı, lehcı, manipulace s nimi je
snadnšjs ı, vyroba modelu krats ı a lze s nım experimentovat v laboratorıch. Mens ı naklady umoznujı
vys etrovat na modelu nškolik alternativ a provadšt ňpravy bšhem experimentovanı.
Vysledky mšrenı na modelu, majı-li splnit svuj ňkol, je nutno prepocıtat na skutecne provedenı
Ú dılo, coz se provadı na zakladš poznatku teorie fyzikalnı podobnosti. Fyzikalnı podobnost stanovı
podmınky, za kterych je zkoumany jev na modelu fyzikalnš podobny jevu ve skutecnem provedenı Ú
dıle. Uplna fyzikalnı podobnost je splnšna tehdy, kdyz jsou soucasnš splnšny nasledujıcı tri podmınky:
1. geometricka podobnost. Tato vyzaduje, aby pomšr odpovıdajıcıch delek na modelu a na dıle byl
konstantnı a ňhly stejne
konstLL
LL
DıleModel
=
=
2
1
2
1( 18.1)
2. kinematicka podobnost. Tato podobnost vyzaduje, aby pomšr odpovıdajıcıch rychlostı a zrychlenı
na modelu a dıle byl konstantnı
konstvv
vv
DM
=
=
2
1
2
1( 18.2)
3. dynamicka podobnost. Proudšnı tekutin je pohyb hmotnych castic. Podle klasicke Newtonovy
mechaniky jsou prıcinou pohybu sıly. Proto dynamicka podobnost vyzaduje, aby pomšr odpovıdajıcıch
sil na modelu a na dıle byl konstantnı
konstFF
FF
DM
=
=
2
1
2
1( 18.3)
Splnšnı podmınek geometricke a kinematicke podobnosti je obvykle snadne, slozitšjs ı byva splnšnı
dynamicke podobnosti.
V mechanice tekutin se vyskytuje mnoho sil, vyberme ze vs ech pouze ty, ktere se nejcastšji
vyskytujı a tyto nech– jsou:
Sıla tlakova 2. plSpFp ≈=
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
111
Sıla trecı lvSFt ητ ≈= .
Sıla setrvacna 22. vlamFS ρ≈=
Tıhova sıla 3glmgFS ρ≈=
Pro n sil je mozno sestavit
2n
kriteriı fyzikalnı podobnosti (pomšr dvou sil), z cehoz polovina je na
sobš nezavisla.
Kriterium fyzikalnı podobnosti proudšnı, ve kterem budou hlavnı (dominantnı) sıly setrvacne Ú
sF a trecı Ú tF je podle rovnice (16.3) pomšr konstFF
FF
tD
tM
SD
SM == , odkud
Dt
S
Mt
S
FF
FF
=
Po dosazenı za jednotlive sıly je-li νρη
= dostaneme
DM lvvl
lvvl
=
η
ρη
ρ 2222
DM
vlvl
=
νν DM ReRe = ( 18.4 )
Vyraz na leve stranš je Reynoldsovo cıslo na modelu a na prave stranš pak Reynoldsovo cıslo na
dıle. Podobnost je v tomto prıpadš splnšna tehdy, jsou-li stejna Reynoldsova cısla na modelu a na
dıle. DM ReRe =
Podobnš lze odvodit i dals ı kriteria podobnosti:
Pro hlavnı sıly Ú tlakova pF a setrvacna sF se dostane
DS
p
MS
p
FF
FF
=
Po dosazenı za jednotlive sıly a po ňpravš
DM vllp
vlpl
=
22
2
22
2 .ρρ
DM v
pvp
=
22 ρρ
DM EuEu = (18.5)
Zlomek 2vpEu
ρ= je Eulerovo cıslo
Podobnost v tomto prıpadš je splnšna, jsou-li stejna Eulerova cısla na modelu a na dıle DM EuEu = .
Jsou-li hlavnı sıly sF sıla setrvacna a gF sıla tıhova se dostane
Dg
S
Mg
S
FF
FF
=
Po dosazenı za jednotlive sıly a ňpravš
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı112
DM glvl
glvl
=
3
22
3
22
ρρ
ρρ
DM gl
vglv
=
22
DM FrFr = ( 18.6 )
Zlomek glvFr
2
= je Froudovo cıslo
Podobnost v tomto prıpadš je splnšna, jsou-li stejna Froudova cısla na modelu a na dıle DM FrFr = .
18.2. Dimenzionalnı analyza (π-teorem)
Aplikace π-teoremu bude nazornšjs ı vysvštlena na nasledujıcım prıkladš.
Pro soucinitel trenı λ v potrubı muzeme na zakladš zkus enostı psat, ze je funkcı ctyr fyzikalnıch
velicin
( )kDvf ,,, νλ = .Tzn. ze pocet promšnnych velicin n=4. Tyto ctyr i veliciny se dajı vyjadrit pomocı
dvou zakladnıch rozmšru a sice delka M a cas t.
Pocet zakladnıch rozmšru tedy je r = 2.
Pocet bezrozmšrnych velicin je
224 =−=−= rnπ
Mohou to by t tato bezrozmšrna podobnostnı cısla:
νπ
vD== Re1 - cıslo Reynoldsovo
Dk
== επ 2 - relativnı drsnost
Zavislost trecıho soucinitele se zapıs e ve tvaru
( )ελ Re,f=
Pomocı π-teovemu, se tedy snızil pocet nezavisle promšnnych z puvodnıch 4 pouze na 2, coz
predstavuje vyznamne zjednodus enı problemu.
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
113
19. Rovinne potencialnı proudů nı
19.1. U vodnı poznamky
Od 18. stoletı je snaha najıt matematicke modely pro predevs ım rovinne ňlohy elektrickeho
pole, z nichz se vyvinula teorie elektrickeho potencialu, ktera s vyuzitım teorie funkce komplexnı
promšnne umoznila res it pole pro elektricky proud a napštı v dosti slozitych rovinnych ňtvarech.
Vysledky byly prevzaty pro analogickou ňlohu, tj. pro stacionarnı rovinne prıpady proudšnı nevazke
kapaliny. S vyuzitım konformnıho zobrazenı byly res eny slozite ňlohy obtekanı rovinnych ňtvaru jako
leteckych profilu, lopatkovych mrızı ci prıpadu proudšnı u slozitš tvarovanych kanalu v hydraulickych
strojıch. Analyzou matematickych modelu a vysledku se ukazalo, ze model nevazke tekutiny
neodpovıda vzdy skutecnosti. Jeden ze zavaznych dopadu je v tom, ze obtekane objekty nevykazujı
odpor. To je dusledek toho, ze zakladnı velicina proudoveho pole, tj. rychlostnı potencial Φ a s nım
spojene proudove funkce jsou rızeny Laplaceovou rovnicı a platı tudız, ze rotace rychlosti je u takto
definovaneho pole nulova
0=∇ vv rr xrot ( 19.1 )
Znamena to take, ze matematicky model, z nšhoz byl v pohybove rovnici vypus tšn vazky clen,
nemuze vytvorit v proudovem poli vır, takze v tom se odchyluje od fyzikalnı reality. Nicmenš u s tıhlych,
dobre obtekanych tšles se vysledky zıskane z potencialnıho proudšnı prılis neodchylujı skutecnosti a
byly dobre pouzitelne pro prakticke ňvahy.
19.2. Zakladnı rovnice
Pro ustalene proudšnı nestlacitelne kapaliny platı rovnice kontinuity
0=∂∂
=i
i
xv
vdivr ( 19.2 )
Pro rovinne proudšnı platı
0=+dydv
dxdv yx
( 19.3 )
K ňplnemu modelu proudšnı je treba pridat jes tš dals ı rovnici. Je to pohybova rovnice,
Eulerova rovnice hydrodynamiky, ktera se zıska vypus tšnım clenu s vazkostı z rovnice Navier
Stokesovy, tedy
ii
j
ij
i
xpa
xv
vtv
∂∂
−=∂∂
+∂∂
ρ1 ( 19.4 )
Jak plyne z dals ıho, v teorii potencialoveho proudšnı se k urcenı rychlostnıho pole pracuje
pouze s rovnicı kontinuity a rovnice Eulerova slouzı k urcenı tlaku.
Dals ı dulezitou velicinou je cirkulace rychlosti. Vyjde se z kinematickych vztahu dle obr.19.1
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı114
dy
dx
v +x
vx
y 2dy
v +x
vx
x dx
v +y
y
xv
2dx
dyyvyv +
y
v -y
y
xv
2dx
2yv -x
vx dy v y
v x
c
ds v
α
= v cos α ds
Obr.19.1 Kinematika elementu proudıcı kapaliny Obr. 19.2 Definice cirkulace
a definuje se cirkulace rychlosti Γ jako krivkovy integral na uzavrene krivce viz obr.19.2
Rychlost otacenı elementarnıho objemu dle obr.19.1 lze charakterizovat cirkulacı Γ definovanou
∫=Γ sv dαcosr ( 19.5 )
Kladny smysl obıhanı je takovy , aby plocha uzavrena krivkou c byla po leve ruce.
Cirkulace pro elementarnı objem dle obr.19.2 je
dSdxdyyv
xv
dydxxv
v
dxdyyv
vdydxxv
vdxdyyv
vd
xyyy
xx
yy
xx
ω22
222
=
∂∂
−∂
∂=
∂
∂−−
−
∂∂
+−
∂
∂++
∂∂
−=Γ(19.6 )
Poslednı vyraz v rovnici ( 19.5 ) je dan Stokesovou vštou Sω2=Γ
V literature se odvozuje, ze cirkulace podel uzavrene krivky v proudovem poli je nulova 0=Γ∫ svd .
Proto je nulovy i vyraz
02 ==
∂∂
−∂
∂ϖ
yv
xv xy
( 19.7 )
Tento vyraz charakterizuje otacenı castice kol sve osy, cili jejı vırivost.
Potencialovč funkce
V analogii k teorii elektrickeho pole zavadı se funkce rychlostnıho potencialu, ktery splnuje tyto
podmınky
yv
xv yx ∂
Φ∂=
∂Φ∂
=( 19.8 )
Dosadı-li se tyto vztahy do rovnice kontinuity ( 19.2 ) dostane se Laplaceova rovnice pro funkci Φ
02
2
2
2
=∂
Φ∂+
∂Φ∂
yx
( 19.9 )
Pozn.: Pokud se vyuzije cylindrickych souradnic (r,ϑ), definuje se
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
115
ϑϑ ∂Φ∂
=∂Φ∂
= vr
vr
( 19.10 )
C ary Φ = konst. se nazyvajı ekvipotencialami.
Proudovč funkce
Definuje-li se analogicky k predchozımu odstavci proudova funkce Ψ jako
xv
yv yx ∂
Ψ∂−=
∂Ψ∂
= ,( 19.11 )
pak rovnšz i proudova funkce splnuje Laplaceovu rovnici
02
2
2
2
=∂
Ψ∂+
∂Ψ∂
yx
( 19.12 )
Diferencial proudove funkce
dyvdxvdyy
dxx
d xy +−=∂Ψ∂
+∂Ψ∂
=Ψ( 19.13 )
umoznı definovat caru Ψ = konst. z podmınky dΨ = 0.
Tım se definuje proudnice, neboli obalka vektoru rychlosti
Φ=≠− dyvdxv xy( 19.14 )
z podmınky tecny k proudnici
x
y
vv
dxdy
= .( 19.15 )
Je mozno analogicky definovat pro caru konstantnıho potencialu
y
x
vv
dxdy
−= .( 19.16 )
Z toho plyne, ze cary stejneho potencialu a proudnice jsou vzajemnš kolme. Dosazenım vztahu pro Φ
a Ψ do rovnice ( 19.15 ) a ( 19.16 ) dostanou se Cauchy-Riemannovy podmınky pro Φ a Ψ.
xyv
yxv yx ∂
Ψ∂−=
∂Φ∂
=∂Ψ∂
=∂Φ∂
= ;( 19.17 )
Jsou tedy Φ a Ψ vzajemnš zavisle a z jedne funkce lze zıskat druhou.
Pro technickou praxi je dulezitšjs ı funkce proudova Ψ, ktere se vyuzıva i u skutecnych kapalin.
19.3. Vyuzitı teorie potencialoveho proudů nı, skladanı proudu .
Uvedenou teorii je mozno rozvıjet dvojım zpusobem. Je to predevs ım res enı proudoveho pole
v zadane oblasti res enım Laplaceovy rovnice buť pro proudovou nebo nškdy tez pro potencialovou
funkci. 0bš tyto funkce umoznujı definovat slozky rychlosti a naslednš tlakove pole v oblasti, pomocı
Eulerovy rovnice hydrodynamiky. V dnes nı dobš se res ı tyto ňlohy numericky. Integracnı oblast je
obvykle zadavana tak, ze je omezena 2-mi pevnymi hranicemi a dvšmi protekanymi. Pro tyto hranice
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı116
je nutno zadat okrajove podmınky Ú na stšnš v = 0, na protekane hranici se zadava buť rychlostnı
profil nebo podmınka pro tlak.
V soucasnosti se tyto ňlohy res ı numericky
vhodnymi softwarovymi programy. V minulosti byly tyto
ňlohy predevs ım vzhledem k tvaru hranice res eny
analogovymi metodami pomocı analogie s odporovymi
papıry respektive v elektrolyticke vanš. Druha metoda je
metoda skladanı proudšnı.
Spocıva v tom, ze se definujı matematicky
jednoduche proudove ňtvary. Vychazı se pak z teze, ze pro
ustaleny stav platı
∑=
Ψ=Ψn
ii
1
resp.( 19.18 )
∑=
Φ=Φn
ii
1
Scıtanım proudovych funkcı v dane oblasti je mozne urcit caru Ψ = 0, ktera vytvarı za jistych
podmınek obrys potencialovš obtekaneho objektu a z okolnıch vnšjs ı proudovych car je mozne ucinit
ňsudek o proudovem poli takovehoto tšlesa.
Zakladnı prıpady potencialnıho proudšnı jsou:
a) paralelnı proud
b) zdroj a propad
c) potencialnı vır
a) Paralelnı proud, obr.20.4, je charakterizovan rychlostı a stejnou co do velikosti a smšru ve vs ech
bodech proudoveho pole.
x
y
2
10-1-2210-1-2
ψa
o
Proudova funkce
ay=Ψ1 , a potencial rychlosti ax=Φ1 . (19.19 )
Rychlost je tedy rovnobšzna s osu x, protoze platı
vstup v y stup
pevna stenaObr.19.3 Oblast pro res enı
potencialoveho proudšnı.
ProudniceEkvipotencialnı cary
Obr.19.4 Paralelnı proud rovnobšzny s osou x. (a= 1)
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
117
.konstayx
vx ==∂Ψ∂
=∂Φ∂
= , 0=yv .
Tedy xv=vr
Pote i proudnice Ψ= konst. jsou prımky paralelnı s osou x , ekvipotencialnı cary Φ = konst.
jsou prımky paralelnı s osou y .
Kterakoli proudnice muze predstavovat tuhou stšnu (normalna slozka rychlosti je rovna nule).
b) Rovinny pramen (zdroj, zrıdlo), obr. 19.5, predstavuje radialnı proudšnı tekutiny z bodu do roviny.
Pramen je charakterizovan vydatnostı (mohutnostı) Q, coz je objem
tekutiny vytekly za jednotku casu
Q = 2πvrr = konst., ( 19.20 )
odkud plyne pro rozlozeni rychlosti
.2
konstQrvr ==π
,( 19.21 )
Rychlostnı potencial Φ a proudova funkce Ψ pramenu:
rQ ln2π
=Φ , ϕπ2Q
=Ψ .( 19.22 )
Proudnice jsou radialnı prımky ϕ = konst., ekvipotencialnı cary jsou soustredne kruznice.
Tangencialnı slozka vt = 0 a radialnı slozka rychlosti
,2
1r
Qrr
vr πϕ=
∂Ψ∂
=∂Φ∂
=( 19.23 )
Poznamka: Centralnı bod pramene je singularnı bod, rychlost je tu nekonecnš velika.
Rovinny propad (nor) se od pramene lis ı opacnym smšrem proudšnı tekutiny.
c) Potencialnı vır, obr.19.6 (vırove vlakno).
C astice tekutiny se posouvajı po kruhovych drahach (soustrednych kruznicıch), aniz by se otacely
kolem sve osy. C astice konajı translacnı pohyb, pri kterem se deformujı.
C astice tekutiny se po kruhovych drahach posouvajı (translace a deformace),
aniz by se otacely kolem sve osy (s vy jimkou jadra).
Rychlost otacenı je charakterizovana cirkulacı Γ, definovanou rovnicı
(198.5), ktera je u potencialnıho vıru rovna
.2 konstrvt ==Γ π ( 19.24 )
odtud dostaneme vztah
.2
konstrvt =Γ
=π
( 19.25 )
V ose vıru vychazı opšt rychlost nekonecnš velika (singularnı bod).
Zavadıme proto jadro vıru o polomšru r0, v nšmz se tekutina otacı jako tuhe
y
x
ψ
r vr
ϕ
o
Obr.19.5 Rovinny pramen.
y
x
ψ
r
vt
ϕ
o
vr
rro
Obr.19.6 Potencialnı
vır
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı118
tšleso, obr.19.6. Rychlostnı potencial Φ a proudova funkce potencialnıho viru Ψ:
ϕπ2Γ−
=Φ , rln2πΓ
−=Ψ .( 19.26 )
Proudnice, jak jsme jiz rekli, jsou soustredne kruznice, ekvipotencialnı cary jsou radialnı
prımky. Tangencialnı slozka rychlosti, v oblasti mimo jadro vıru, ubyva s polomšrem
rrrvt πϕ 2
1 Γ=
∂Ψ∂
−=∂Φ∂
=( 19.27 )
a radialnı slozka rychlosti vr = 0.
Rychlostnı potencial Φ a proudovou funkci Ψ lze u rovinneho
potencialnıho proudšnı navzajem zamšnit (jak o tom svšdcı
poslednı dva prıpady), nebo– obš musı vyhovovat Laplaceovš
rovnici.
Skladanı proude nı
Rovinne potencialnı proudšnı je popsano diferencialnı
Laplaceovou rovnicı. Zname-li dvš res enı teto diferencialnı
rovnice 1Φ a 2Φ , bude i jejich soucet 21 Φ+Φ novym
res enım. Tımto zpusobem lze nalezt res enı slozitšjs ıch
prıpadu proudšnı.
a) Rovinne polotšleso (deska.). Slozenım paralelnıho
proudu a pramene dostaneme obtekanı desky rozprostırajıcı
se az do nekonecna, obr.19.7.
Proudova funkce je v zakladnım tvaru dana jako
ϕπ
⋅+=+=221QayΨΨΨ .
(19.28 )
Prechodem do kartezskeho systemu dostaneme vztahy pro vx a vy. Proudova cara Ψ= 0
udava obrys obtekaneho polotšlesa.
b) Rovinny , dipol, obr.19.8, dostaneme tak, ze slozıme pramen a propad stejne mohutnosti Q,
jestlize se vzdalenost mezi nimi 2l blızı nule a mohutnost k nekonecnu tak, aby moment dipolu mšl
konecnou hodnotu QlM 2= .
Proudnice jsou kruznice se stredy na ose y a dotykajı se pocatku.
Proudova funkce dipolu
rM
yxyM ϕ
ππsin
22 22 −=+
−=Ψ .( 19.29 )
xy
AQ
U (max) = 1.26as
a
Ψ = 0
Obr.19.7 Rovinne polotšleso,
rozprostırajıcı se do nekonecna. Na
obrazku je nakresleno obtekanı male
casti tšlesa
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
119
y
-Q+Qx
-l +l
Obr.19.8 Zmens ovanım vzdalenosti 2l mezi pramenem a propadem jez jsou symetricky umıstšny
vzhledem k pocatku dostaneme dipol jehoz proudnice jsou na obrazku zakresleny.
c) Valec kruhoveho prurezu. Slozenım paralelnıho proudu a rovinneho dipolu dostavame prakticky
velmi dulezity prıpad obtekanı valce kruhoveho prurezu.
Proudova funkce je rovna aMR π2/2 =
ϕsin2
−=Ψ
rRra .
( 19.30 )
Polozıme-li Ψ= 0 dostavame ϕ = 0 tj. osa x a rovnici kruznice r = R obr.19.9.
.Slozky rychlosti
−= 2
2
1cosrRavr ϕ ,
( 19.31 )
+−= 2
2
1cosrRavr ϕ .
( 19.32 )
Na povrchu valce Rr = je radialnı slozka nulova a tangencialnı
ϕsin2avt −= ( 19.33 )
pro ϕ = 0 a π je vt = 0 (stagnacnı body A a C) maximalnı rychlosti
vt = 2± jsou v bodech ϕ = Γ π/2 tj. body B a D.
Stanovme rozlozenı tlaku na povrchu valce (v nevazke tekutinš jsou trecı sıly rovny nule).
Napis me Bernoulliovu rovnici mezi bodem v nekonecnu a bodem na povrchu valce
22
22tvpap ρρ +=+∞ .
( 19.34 )
Rozlozenı tlakoveho soucinitele pc (bezrozmšrneho tlaku) dostaneme dosazenım za tv z rov (19.33)
ϕρ
22
2 sin411
2
−=
−=
−= ∞
av
appc t
p
( 19.35 )
CPa
8
B
RA
D
θx
y
vt
vr
vr
Obr.19.9 Potencialnı obtekanı
valce kruhoveho prurezu
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı120
Ve stagnacnıch bodech A a C je tlak nejvšts ı 1=pc . V bodech B a D je nejmens ı
tlak 3−=pc . Rozlozenı tlaku je symetricke vzhledem k osam x a y . Integracı tlakovych sil po
povrchu valce dostaneme 0== yx FF a vysledna sıla je rovna nule (D'Alembertuv paradox).
Obtekanı valce realnou tekutinou souhlası s potencialnım obtekanım pouze na prednı stranš valce.
d) Rotujıcı valec. Slozenım paralelnıho proudu, dipolu a potencialnıho vıru dostavame rovnšz
prakticky dulezity prıpad obtekanı rotujıcıho valce, obr.19.10
Potencialnı vır ma zde opacny smysl otacenı nez na obr.19.6 a proto se u proudove funkce vıru mšnı
znamenko Ú na +.
Proudova funkce
rr
Rra ln2
sin2
πϕ
ΓΨ +
−=
( 19.36 )
Analogicky jako v predchazejıcım prıpadš urcıme slozky rychlostı
−= 2
2
1cosrRavr ϕ ,
( 19.37 )
rrRavr π
ϕ2
1cos 2
2 Γ−
+−= .
( 19.38 )
Na povrchu valce Rr = je radialnı slozka vr = 0 a tangencialnı slozka
Ravvt π
ϕ2
sin2 Γ−−== .
( 19.39 )
Body nulove rychlosti (stagnacnı body A, C) lezı nynı pod osou x , viz obr.19.10 (pro Raπ4⟨Γ ).
Cirkulace Γ narus uje symetrii proudšnı vzhledem k ose x nad osou x , kde jsou vysledne rychlosti
dane vektorovym souctem rychlosti paralelnıho proudu a potencialnıho vıru všts ı nez v symetricky
lezıcıch bodech pod osou x , budou vzhledem k Bernoulliovš rovnici tlaky mens ı. Tım vznika tlakova
sıla, jez pusobı na rotujıcı valec ve smšru kolmem k rychlosti a tj. vztlak yF . Abychom mohli vypocıtat
jeho velikost stanovme nejprve pomocı Bernoulliovy rovnice rozlozenı tlaku na povrchu valce:22
2sin2
22
Γ
−−−+= ∞ Raapp
πϕ
ρρ .
( 19.40 )
B
AD
x
Fy
C
Obr.19.10 Obtekanı rotujıcıho
valce.Vznik vztlaku.
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
121
Na povrchu valce o jednotkove delce vytkneme elementarnı plos ku,
obr.19.11 ϕRddA =
a vyslednou tlakovou sılu na ni pusobıcı pdAdF −= rozlozıme na slozky
ϕϕϕ dpRdFdFx coscos −== (19.41)
ϕϕϕ dpRdFdFy sinsin −==
Integracı po povrchu valce dostaneme po dosazenı za p z rov. (19.41)
0cos2
0
=−== ∫∫∫π
ϕϕdpRFF xx ,( 19.42 )
tj. nulovy odpor, nebo– proudšnı je symetricke vzhledem k ose y a vztlak
0sin2
0
=−== ∫∫∫π
ϕϕdpRFF yy .( 19.43 )
Po dosazenı za p z rov. ( 19.401 )
∫∫
Γ
−−+
+−= ∞
ππ
ϕϕπ
ϕρ
ϕϕρ2
0
22
0
2
sin2
sin22
sin2
dR
aRdapRFy ,
protoze
πϕϕϕϕϕϕπππ
=== ∫∫∫2
0
22
0
32
0
sin;0sin;0sin ddd
dostavame pro vztlak tzv. Kutta-Zukovskeho vzorec
Γ= aFy ρ , ( 19.44 )
ktery tvorı zaklad teoreticke aerodynamiky.
R x
y
ϕ
dF
dF
dF
x
y
ϕ
dϕ
Obr.19.11 Elementarnı
tlakova sıla pusobıcı na
povrch valce.
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı122
20. Prehled pouzitych oznacenıOznacenı Mšrıcı jednotka Vyznam
A J praceA Pa.s vırova, zdanliva viskozitaC m1/2. s Ú1 Chezyho soucinitelE N . m Ú2 modul objemove pruznosti v tahuE J energieF N = kg . m . s Ú2 sılaF0 N objemova sıla ( = Fm )Fp N tlakova sıla Ú plos na sılaFs N setrvacna sılaFt N tecna sıla, trecı sılaG N tıha ( = Fg )H kg . m . s Ú1 hybnostH m tlakova vys kaJx m 4 moment setrvacnosti prurezu k ose xJxy m4 deviacnı moment prurezuJy m4 moment setrvacnosti prurezu k ose yK N . m Ú 2 modul objemove pruznosti tekutinyM m4 . s Ú1 moment dipoluMy m3 staticky moment plochy k ose yP W vykonQ J teploQm kg . s Ú1 hmotnostnı prutokQv m3 . s Ú1 objemovy prutokR m polomšrS m2 plochaT K absolutnı teplotaT s doba bšhu vlnyU J . kg Ú1 potencial vnšjs ıch silV m3 objemW J = N . m praceY J . kg Ú1 mšrna energieYd J . kg Ú1 skutecna mšrna energie cerpadlaYt J . kg Ú1 teoreticka mšrna energie cerpadlaa m . s Ú2 zrychlenıa m . s Ú1 rychlost zvukuc m . s Ú1 rychlostcx 1 soucinitel odporud m prumšrdh m hydraulicky prumšre J . kg Ú1 mšrna energieez J . kg Ú1 ztratova mšrna energie ( = er = Yz )g m . s Ú2 tıhove zrychlenıh m vys ka, svisla vzdalenost, hloubkahz m ztratova vys kai Pa.m-1 spad tlakui,j,k 1 jednotkove vektoryk m absolutnı drsnost stšnyl m smšs ovacı delkal m delka, vzdalenostle m ekvivalentnı delka potrubım kg hmotnostn 1 index tokup Pa = N . m Ú2 tlak, hydrostaticky tlakpc Pa celkovy tlakpd Pa dynamicky tlak
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
123
ps Pa staticky tlakpz Pa tlakova ztrataq J . kg Ú1 mšrne teplor J . kg Ú1 . K Ú1 mšrna plynova konstantar m polomšrrh m hydraulicky polomšrs m drahat oC teplotat s castz s doba uzavıranı armaturyu m . s Ú1 unas iva, obvodova rychlostv m . s Ú1 rychlost, relativnı rychlostv m 3 . kg Ú1 mšrny objemvmax m . s Ú1 maximalnı rychlostvs m . s Ú1 strednı rychlost z prutokuv* m. s-1 trecı rychlostw m . s Ú1 rychlostx m souradnicey m souradnicez m souradnice
Φ m 2 . s Ú1 cirkulace rychlostiΨ m 2 . s Ú1 rychlostnı potencialβ m 2 . s Ú1 proudova funkceα rad ňhel, smšrovy ňhelδ rad ňhel, smšrovy ňhelδ K Ú1 soucinitel teplotnı objemove roztaznostiγ rad ňhel, smšrovy ňhelγ N . m Ú3 mšrna tıhaε m tlous –ka meznı vrstvyε m 2 . N Ú1 soucinitel stlacitelnostiζ rad . s Ú1 ňhlova deformaceζ 1 soucinitel kontrakce proudε 1 relativnı drsnost stšny trubkyε 1 intenzita turbulenceη 1 ztratovy soucinitelλ Pa . s dynamicka viskozitaλ c 1 celkova ňcinnost cerpadlaλ h 1 hydraulicka ňcinnost cerpadlaλ m 1 mechanicka ňcinnost cerpadlaλ v 1 objemova ňcinnost cerpadlaκ 1 soucinitel ( vliv pruznosti potrubı )κ 1 izoentropicky exponentμ 1 soucinitel trenıµ 1 vy tokovy soucinitelv m 2 . s Ú1 kinematicka viskozitaπ 1 stupen razuρ 1 bezrozmšrovy parametrσ kg . m Ú3 hustota ( mšrna hmotnost )φ Pa normalove napštıφ N . m Ú1 povrchove napštıτ Pa, N . m Ú2 tecne ( smykove napštı )τp Pa, N . m Ú2 pocatecnı smykove napštıω rad ňhelω 1 rychlostnı soucinitelÝ s Ú1 ňhlova rychlost
Bezrozmšrna cısla:Eu - EulerovoFr - FroudovoGu - Gumbelovo
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı124
Ma - MachovoNe - NewtonovoRe - ReynoldsovoSh - StrouhalovoWe - Weberovo
Poznamka:- strednı hodnoty znaceny pruhem- fluktuacnı hodnoty znaceny carkou- vektory znaceny tucnš
21. LITERATURA
BIRD,B.R, STEWART,W.E, LIGHTFOOT,E.N.:Prenosove jevy. Academia 1968JEZEK,J.,VA RADIOVA ,B.: Mechanika tekutin pro pí tilete obory. C VUT Praha,1983, 1991JEZEK,J.: Hydromechanika v prıkladech. C VUT Praha, 1975, 1988KOZUBKOVA ,M.,DRA BKOVA , S.: Cvic enı s Mechaniky tekutin. Sb. prıkladu. VSB-TU Ostrava 2001MASTOVSKY ,O.: Hydromechanika. SNTL Praha 1956, 1963NOSKIEVIC ,J. A KOL.: Mechanika tekutin. SNTL/ALFA Praha 1990NOSKIEVIC ,J.: Hydromechanika. Skriptum. ES VSB Ostrava, 1980NOZIC KA,J.: Mechanika a termodynamika. C VUT, Praha 1991NOZISKA,J.: Analogove metody v proudí nı. Praha, Academia 1967SMETANA,J.: Hydraulika, 1. a 2. dıl. N C SAV Praha, 1957TESAR,V.: Meznı vrstvy a turbulence. C VUT, Praha 1984
v nšmcinšALBRING,W.: Angewandte Stro mungslehre, Steinkopf. Dresden 1961, 1966, 1970PRANDTL,L., OSWATITSCH,K, WIEGHARDT,K.: Fuhrer durch die Stro mungslehre Vieweg.Braunschweig, 1969SPURK,J.H.: Stro mungslehre, Springer, Berlin 1989
v anglictinšFOX,R.W.,MC DONALD,A.T.: Introduction to Fluid Mechanics, J. Wiley & sons, New York, 1994SCHLICHTING,H.: Grenzschittheorie. Krlsruhe, Verlag A. Braun 1965STREETER, V.L.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1971WHITE, F.M.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1986
v rus tinšHINZE,J.O.: Turbulentnosž (preklad z anglictiny). Moskva, 1963KOC IN,N.E., KIBEL,I.A, ROZE,N.V.: Teoretic eskaja gidromechanika. Izd. tech.-teor. lit. Moskva, 1948LOJCJANSKIJ, L.G.: Mechanika zidkosti i gaza. Moskva, Nauka 1987LOJCJANSKIJ,J.G.: Laminarnyj pogranic nyj sloj. Moskva, 1962
v pols tinšGRYBOS, R.: Postavy mechaniky plynow. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998
JANALIK,J. - STA VA,P.: Mechanika tekutin
125
22. OBSAH:1. Uvod.....................................................................................................................................................2
2. Zakladnı pojmy.....................................................................................................................................3
2.1. Tekutina.........................................................................................................................................3
2.2. Fyzikalnı vlastnosti tekutin.............................................................................................................5
3. Tlakove pomšry v kapalinš za klidu...................................................................................................10
3.1. Tlak a jeho pusobenı ...................................................................................................................10
3.2. Eulerova rovnice hydrostatiky .....................................................................................................12
3.3. Hladinove plochy.........................................................................................................................14
3.4. Rozlozenı tlaku v kapalinš...........................................................................................................14
3.5. Pascaluv zakon ...........................................................................................................................16
4. Tlakove sıly ........................................................................................................................................17
4.1. Vodorovne rovinne plochy...........................................................................................................17
4.2. S ikme rovinne plochy ..................................................................................................................17
4.3. Tlakova sıla na krive plochy ........................................................................................................20
4.4. Sıly na tšlesa ponorena do kapaliny ...........................................................................................22
5. Relativnı pohyb kapaliny....................................................................................................................24
5.1. Pohyb prımocary, rovnomšrnš zrychleny ....................................................................................24
5.2. Pohyb rovnomšrny , otacivy .........................................................................................................25
5.3. Potencial intenzity objemovych sil...............................................................................................27
Hydrodynamika ......................................................................................................................................29
6. Klasifikace proudšnı a zakladnı pojmy ..............................................................................................29
6.1. Zakladnı pojmy............................................................................................................................29
6.2. Rozdšlenı proudšnı .....................................................................................................................30
6.3. Druhy proudšnı skutecnych tekutin.............................................................................................31
7. Proudšnı idealnı tekutiny ...................................................................................................................34
7.1. Rovnice kontinuity Ú spojitosti .....................................................................................................34
7.2. Eulerova rovnice hydrodynamiky ................................................................................................38
7.3. Bernoulliho rovnice pro dokonalou tekutinu ................................................................................40
7.4. Mšrenı mıstnı rychlosti ................................................................................................................44
7.5. Mšrenı strednı rychlosti a prutoku (prurezova mšridla) ..............................................................47
7.6. Stacionarnı proudšnı idealnı tekutiny potrubım ..........................................................................48
8. Proudšnı vazke tekutiny.....................................................................................................................49
8.1. Navierova-Stokesova rovnice .....................................................................................................49
8.2. Bernoulliho rovnice pro skutecnou kapalinu................................................................................50
9. Laminarnı proudšnı ............................................................................................................................52
9.1. Laminarnı prudšnı v kruhovem potrubı .......................................................................................52
9.2. Laminarnı proudšnı mezi rovnobšznymi deskami ......................................................................54
9.3. Laminarnı proudšnı ve valcove mezere-mezikruzı .....................................................................56
9.4. Stekanı po svisle stšnš ...............................................................................................................57
10. Turbulentnı proudšnı........................................................................................................................59
VSB-TU Ostrava, katedra hydromechaniky a hydraulickych zarızenı126
10.1. Vznik turbulence ........................................................................................................................59
10.2. Charakteristiky turbulentnıho proudšnı .....................................................................................60
10.3. Matematicky popis turbulentnıho proudšnı ...............................................................................61
11. Hydraulicky vypocet potrubı .............................................................................................................65
11.1. Hydraulicke odpory (ztraty)........................................................................................................65
11.2. Trecı ztraty v potrubı..................................................................................................................66
11.3. Mıstnı odpory (ztraty).................................................................................................................71
11.4. Gravitacnı potrubı ......................................................................................................................79
11.5. Jednoduche potrubı s nadrzı .....................................................................................................80
11.6. Slozene potrubı..........................................................................................................................81
11.7. Charakteristika potrubı ..............................................................................................................81
12. Vy tok kapaliny z nadob, prepady .....................................................................................................83
12.1. Vy tok malym otvorem ................................................................................................................83
12.2. Vy tok velkym otvorem v bocnı stšnš .........................................................................................84
12.3. Vy tok ponorenym otvorem.........................................................................................................85
12.4. Vy tok pri soucasnem prıtoku .....................................................................................................85
12.5. Vyprazdnovanı nadob................................................................................................................86
12.6. Prepady .....................................................................................................................................87
13. Proudšnı v rotujıcım kanale .............................................................................................................88
13.1. Bernoulliho rovnice pro rotujıcı kanal ........................................................................................88
13.2. Odstredive cerpadlo ..................................................................................................................89
14. Neustalene proudšnı ........................................................................................................................93
14.1. Bernoulliho rovnice pro neustalene proudšnı............................................................................93
14.2. Hydraulicky raz ..........................................................................................................................94
15. Všta o zmšnš hybnosti................................................................................................................97
16. Obtekanı tšles ................................................................................................................................101
16.1. Meznı vrstva ............................................................................................................................101
16.2. Odpor tšles Fx..........................................................................................................................104
17. Proudšnı v korytech .......................................................................................................................107
17.1. Rovnomšrny prutok .................................................................................................................107
17.2. Nerovnomšrny prutok ..............................................................................................................108
18. Fyzikalnı podobnost a teorie modelovanı ......................................................................................110
18.1. Hydrodynamicka podobnost pri proudšnı tekutin ....................................................................110
18.2. Dimenzionalnı analyza (π-teorem) ..........................................................................................112
19. Rovinne potencialnı proudšnı ........................................................................................................113
19.1. Uvodnı poznamky....................................................................................................................113
19.2. Zakladnı rovnice ......................................................................................................................113
19.3. Vyuzitı teorie potencialoveho proudšnı, skladanı proudu. ......................................................115
20. Prehled pouzitych oznacenı ......................................................................................................122
21. LITERATURA ............................................................................................................................124
22. OBSAH: .....................................................................................................................................125
top related