hilbert space methods for quantum mechanics
Post on 10-Apr-2018
225 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
1/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s
D e n e s P e t z
A l f r e d R e n y i I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c s , H u n g a r i a n A c a d e m y o f S c i e n c e s , P O B 1 2 7 ,
H - 1 3 6 4 B u d a p e s t , H u n g a r y p e t z @ r e n y i . h u
1 H i l b e r t s p a c e s
T h e s t a r t i n g p o i n t o f t h e q u a n t u m m e c h a n i c a l f o r m a l i s m i s t h e H i l b e r t
s p a c e . T h e H i l b e r t s p a c e i s a m a t h e m a t i c a l c o n c e p t , i t i s a s p a c e i n t h e s e n s e
t h a t i t i s a c o m p l e x v e c t o r s p a c e w h i c h i s e n d o w e d b y a n i n n e r o r s c a l a r
p r o d u c t h Y . T h e l i n e a r s p a c e C
n
o f a l l n - t u p l e s o f c o m p l e x n u m b e r s b e -
c o m e s a H i l b e r t s p a c e w i t h t h e i n n e r p r o d u c t
h x Y y =
n
i = 1
x
i
y
i
= [ x
1
Y x
2
Y X X X x
n
]
P
T
T
T
T
R
y
1
y
2
X
X
y
n
Q
U
U
U
U
S
Y
w h e r e z d e n o t e s t h e c o m p l e x c o n j u g a t e o f t h e c o m p l e x n u m b e r z P C . A n o t h e r
e x a m p l e i s t h e s p a c e o f s q u a r e i n t e g r a b l e c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n o n t h e r e a l
E u c l i d e a n s p a c e R
n
. I f a n d g a r e s u c h f u n c t i o n s t h e n
h Y g =
R
n
( x ) g ( x ) x
g i v e s t h e i n n e r p r o d u c t . T h e l a t t e r s p a c e i s d e n o t e d b y v
2
( R
n
) a n d i t i s i n n i t e
d i m e n s i o n a l c o n t r a r y t o t h e n - d i m e n s i o n a l s p a c e C
n
. B e l o w w e a r e m o s t l y
s a t i s e d w i t h n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s . T h e i n n e r p r o d u c t o f t h e v e c t o r s
jx
a n d
jy
w i l l b e o f t e n d e n o t e d a s
hx
jy
, t h i s n o t a t i o n , s o m e t i m e s c a l l e d b r a a n d
k e t , i s p o p u l a r i n p h y s i c s . O n t h e o t h e r h a n d , j x h y j i s a l i n e a r o p e r a t o r w h i c h
a c t s o n t h e v e c t o r j z a s
j x h y j
j z = j x h y j z h y j z j x X
T h e r e f o r e ,
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
2/26
2 D e n e s P e t z
j x h y j =
P
T
T
T
T
R
x
1
x
2
X
X
x
n
Q
U
U
U
U
S
[ y
1
Y y
2
Y X X X y
n
]
i s c o n j u g a t e l i n e a r i n
jy
, w h i l e
hx
jy
i s l i n e a r .
1 . 1 O r t h o g o n a l e x p a n s i o n s i n a H i l b e r t s p a c e
L e t r b e a c o m p l e x v e c t o r s p a c e . A f u n c t i o n a l h Y : r r 3 C o f t w o
v a r i a b l e s i s c a l l e d i n n e r p r o d u c t i f
( 1 ) h x + y Y z = h x Y z + h y Y z ( x Y y Y z P r ) ,
( 2 ) h ! x Y y = ! h x Y y , ( ! P C Y x Y y P r ) ,
( 3 ) h x Y y = h y Y x ( x Y y P r ) ,
( 4 ) h x Y x ! 0 f o r e v e r y x P r a n d h x Y x = 0 o n l y f o r x = 0 .
T h e s e c o n d i t i o n s i m p l y t h e S c h w a r z i n e q u a l i t y
h x Y y
2
h x Y x h y Y y X ( 1 )
T h e i n n e r p r o d u c t d e t e r m i n e s a n o r m
k x k : =
p
h x Y x ( 2 )
w h i c h h a s t h e p r o p e r t y
kx + y
k kx
k+
ky
kX
kx
ki s i n t e r p r e t e d a s t h e l e n g t h o f t h e v e c t o r x . A f u r t h e r r e q u i r e m e n t i n t h e
d e n i t i o n o f a H i l b e r t s p a c e t h a t e v e r y C a u c h y s e q u e n c e m u s t b e c o n v e r g e n t ,
t h a t i s , t h e s p a c e i s c o m p l e t e .
E x e r c i s e 1 . 1 S h o w t h a t
k x y k
2
+ k x + y k
2
= 2 k x k
2
+ 2 k y k
2
( 3 )
w h i c h i s c a l l e d p a r a l l e l o g r a m l a w .
I f h x Y y = 0 f o r t h e v e c t o r s x a n d y o f a H i l b e r t s p a c e , t h e n x a n d y a r e
c a l l e d o r t h o g o n a l , i n n o t a t i o n x c y . W h e n r & r , t h e n r
c
: = f x P r :
x c h f o r e v e r y h P r g . F o r a n y s u b s e t r & r t h e o r t h o g o n a l r
c
i s a c l o s e d
s u b s p a c e .
E x a m p l e 1 . 1 L e t v
2
[ Y ] b e t h e s e t o f s q u a r e i n t e g r a b l e ( c o m p l e x - v a l u e d )
f u n c t i o n s o n t h e i n t e r v a l [ Y ] . T h i s i s a H i l b e r t s p a c e w i t h t h e i n n e r p r o d u c t
h Y g : =
b
a
( x ) g ( x ) x
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
3/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 3
a n d w i t h t h e n o r m
k
k: =
s
b
a
k ( x )
k
2
x X
A f a m i l y
f
x
i
g
o f v e c t o r s i s c a l l e d o r t h o n o r m a l i f
h
x
i
Y x
i
= 1 a n d
h x
i
Y x
j
= 0 i f T= j . A m a x i m a l o r t h o n o r m a l s y s t e m i s c a l l e d b a s i s . T h e
c a r d i n a l i t y o f a b a s i s i s c a l l e d t h e d i m e n s i o n o f t h e H i l b e r t s p a c e . ( T h e c a r d i -
n a l i t y o f a n y t w o b a s e s i s t h e s a m e . )
E x a m p l e 1 . 2 T h e i n n i t e d i m e n s i o n a l a n a l o g u e o f C
n
i s t h e s p a c e
2
( N ) :
2
( N ) ; = f x = ( x
1
Y x
2
Y X X X ) : x
n
P C Y
n
j x
n
j
2
+ I g X
T h e i n n e r p r o d u c t i s
h x Y x
H
: =
n
x
n
x
H
n
X
T h e c a n o n i c a l b a s i s i n t h i s s p a c e s i s t h e s e q u e n c e
n
( n = 1 Y 2 Y X X X ) :
n
= ( 0 Y 0 Y X X X Y 1 Y 0 Y X X X ) ( 1 i s a t t h e n t h p l a c e ) .
T h e o r e m 1 . 1 L e t x
1
Y x
2
Y X X X b e a b a s i s i n a H i l b e r t s p a c e r . T h e n f o r a n y
v e c t o r x P r t h e e x p a n s i o n
x =
n
h x
n
Y x x
n
h o l d s .
E x a m p l e 1 . 3 I n t h e s p a c e v
2
[ 0 Y % ] t h e f u n c t i o n s
n
( x ) =
r
2
%
s i n n x ( 4 )
f o r m a b a s i s . A n y f u n c t i o n g P v
2
[ 0 Y % ] h a s a n e x p a n s i o n g =
n
n
n
. T h e
c o n v e r g e n c e i s i n t h e v
2
- n o r m . ( I t i s k n o w n f r o m t h e t h e o r y o f F o u r i e r s e r i e s
t h a t f o r a c o n t i n u o u s g t h e e x p a n s i o n i s c o n v e r g e n t p o i n t w i s e a s w e l l . )
T h e o r e m 1 . 2 ( P r o j e c t i o n t h e o r e m ) L e t w b e a c l o s e d s u b s p a c e o f a
H i l b e r t s p a c e r . A n y v e c t o r x P r c a n b e w r i t t e n i n a u n i q u e w a y i n t h e
f o r m x = x
0
+ y , w h e r e x
0
P w a n d y c w .
T h e m a p p i n g : x
U3x
0
d e n e d i n t h e c o n t e x t o f t h e p r e v i o u s t h e o r e m i s
c a l l e d o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o n t o t h e s u b s p a c e w . T h i s m a p p i n g i s l i n e a r :
( ! x + " y ) = ! x + " y
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
4/26
4 D e n e s P e t z
M o r e o v e r ,
2
= .
L e t e : r 3 r b e a l i n e a r m a p p i n g a n d
1
Y
2
Y X X X Y
n
b e a b a s i s i n t h e
H i l b e r t s p a c e r . T h e m a p p i n g e i s d e t e r m i n e d b y t h e v e c t o r s e
k
, k =
1 Y 2 Y X X X Y n . F u r t h e r m o r e , t h e v e c t o r e
k
i s d e t e r m i n e d b y i t s c o o r d i n a t e s :
e
k
=
1 k
1
+
2 k
2
+ X X X +
n k
n
X
T h e n u m b e r s
i j
f o r a n n n m a t r i x , i t i s c a l l e d t h e m a t r i x o f t h e l i n e a r
t r a n s f o r m a t i o n e i n t h e b a s i s
1
Y
2
Y X X X Y
n
. W h e n f : r 3 r i s a n o t h e r
l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n , t h e t h e m a t r i x o f t h e c o m p o s i t i o n e
f i s t h e u s u a l
m a t r i x p r o d u c t o f t h e m a t r i x o f e a n d t h a t o f f . I f a b a s i s i s x e d , t h e n
i t i n d u c e s a 1 - 1 c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e m l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s a n d n
n
m a t r i c e s .
T h e n o r m o f a l i n e a r o p e r a t o r e : r 3 u i s d e n e d a s
k e k : = s u p f k e x k : x P r Y k x k = 1 g Y
E x e r c i s e 1 . 2 S h o w t h a t k e f k k e k k f k .
E x e r c i s e 1 . 3 L e t b e a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n t h e i n t e r v a l [ Y ] . D e n e a
l i n e a r o p e r a t o r w
f
: v
2
[ Y ] 3 v
2
[ Y ] a s
w
f
g = g X
( T h i s i s t h e m u l t i p l i c a t i o n b y t h e f u n c t i o n . ) S h o w t h a t
k w
f
k = s u p f j ( x ) j : x P [ Y ] g X
1 . 2 T h e a d j o i n t o f a l i n e a r o p e r a t o r
L e t
ra n d
ub e H i l b e r t s p a c e s . I f :
r 3 ui s a b o u n d e d l i n e a r o p e r a t o r ,
t h e n i t s a d j o i n t
: u 3 r i s d e t e r m i n e d b y t h e f o r m u l a
h x Y y
u
= h
x Y y
r
( x P r Y y P u ) X ( 5 )
Pf (
r) i s c a l l e d s e l f - a d j o i n t i f
= . i s s e l f - a d j o i n t i f a n d o n l y i f
h x Y x i s r e a l f o r e v e r y v e c t o r x P r .
E x e r c i s e 1 . 4 S h o w t h a t a n y o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n i s s e l f a d j o i n t .
E x a m p l e 1 . 4 L e t :
2
( N ) 3
2
( N ) b e t h e r i g h t - s h i f t d e n e d a s
n
=
n + 1
i n t h e c a n o n i c a l b a s i s . T h e n
( x
1
Y x
2
Y x
3
Y X X X ) = ( x
2
Y x
3
Y x
4
Y X X X )
I n a n o t h e r w a y ,
1
= 0 Y
n + 1
=
n
X
i s c a l l e d l e f t - s h i f t .
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
5/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 5
T h e o r e m 1 . 3 T h e p r o p e r t i e s o f t h e a d j o i n t :
( 1 ) ( e + f )
= e
+ f
, ( ! e )
= ! e
( ! P C ) ,
( 2 ) ( e
)
= e , ( e f )
= f
e
,
( 3 ) ( e
1
)
= ( e
)
1
i f e i s i n v e r t i b l e .
( 4 )
ke
k=
ke
k
E x a m p l e 1 . 5 L e t e : r 3 r b e a l i n e a r m a p p i n g a n d
1
Y
2
Y X X X Y
n
b e a
b a s i s i n t h e H i l b e r t s p a c e r . T h e Y j e l e m e n t o f t h e m a t r i x o f e i s h
i
Y e
j
.
S i n c e
h
i
Y e
j
=
h
j
Y e
i
Y
t h i s i s t h e c o m p l e x c o n j u g a t e o f t h e j Y e l e m e n t o f t h e m a t r i x o f e
.
E x a m p l e 1 . 6 F o r a n y e P f ( r ) , t h e o p e r a t o r e
e i s s e l f - a d j o i n t .
A n i n v e r t i b l e o p e r a t o r P f ( r ) i s c a l l e d a u n i t a r y i f
1
=
.
E x a m p l e 1 . 7 F o r a n y e = e
P f ( r ) , t h e o p e r a t o r
A
: =
I
n = 0
e
n
n !
i s a u n i t a r y .
E x e r c i s e 1 . 5 S h o w t h a t t h e p r o d u c t o f a n y t w o u n i t a r y o p e r a t o r s i s a u n i t a r y .
1 . 3 T e n s o r p r o d u c t o f H i l b e r t s p a c e s a n d o p e r a t o r s
L e t
ra n d
ub e H i l b e r t s p a c e s . T h e i r a l g e b r a c t e n s o r p r o d u c t c o s i s t s o f
t h e f o r m a l n t e s u m s
i ; j
x
i
y
j
( x
i
P r Y y
i
P u ) X
C o m p u t i n g w i t h t h e s e s u m s , o n e s h o u l d u s e t h e f o l l o w i n g r u l e s :
( x
1
+ x
2
) y = x
1
y + x
2
y Y ( ! x ) y = ! ( x y ) Y
x ( y
1
+ y
2
) = x y
1
+ x y
2
Y x ( ! y ) = ! ( x y ) X ( 6 )
T h e i n n e r p r o d u c t i s d e n e d a s
h
i ; j
x
i
y
j
Y
k ; l
z
k
l
i
=
i ; j ; k ; l
h x
i
Y z
k
h y
j
Y
l
X
W h e n r a n d u a r e n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e s , t h e n w e a r r i v e d a t t h e t e n s o r
p r o d u c t H i l b e r t s p a c e r u , o t h e r w i s e t h e a l g e b r a i c t e n s o r p r o d u c t m u s t
b e c o m p l e t e d i n o r d e r t o g e t a B a n a c h s p a c e .
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
6/26
6 D e n e s P e t z
E x a m p l e 1 . 8 I f P r : = v
2
( Y " ) a n d g P u : = v
2
( Y # ) , t h e n g c a n
b e i n t e r p r e t e d a s a f u n c t i o n o f t w o v a r i a b l e s : ( x ) g ( y ) .
T h e t e n s o r p r o d u c t o f n t e l y m a n y H i l b e r t s p a c e s i s d e n e d s i m i l a r l y .
I f
1
Y
2
Y X X X a n d
1
Y
2
Y X X X a r e b a s e s i n
ra n d
u, r e s p e c t i v e l y , t h e n
f
i
j
:
Y j
gi s a b a s i s i n t h e t e n s o r p r o d u c t s p a c e . T h i s s h o w s t h a t
d i m ( r u ) = d i m ( r ) d i m ( r ) X
E x a m p l e 1 . 9 I n t h e H i l b e r t s p a c e v
2
( R
2
) w e c a n g e t a b a s i s i f t h e s p a c e i s
c o n s i d e r e d a s v
2
( R ) v
2
( R ) . I n t h e s p a c e v
2
( R ) t h e H e r m i t e f u n c t i o n s
9
n
( x ) = e x p ( x
2
a 2 ) r
n
( x )
f o r m a g o o d b a s i s , w h e r e r
n
( x ) i s t h e a p r o p r i a t e l y n o r m a l i z e d H e r m i t e p o l y -
n o m i a l . T h e r e f o r e , t h e t w o v a r i a b l e H e r m i t e f u n c t i o n s
9
n m
( x Y y ) : =
( x
2
+ y
2
) = 2
r
n
( x ) r
m
( y ) ( n Y m = 0 Y 1 Y X X X ) X ( 7 )
f o r a b a s i s i n v
2
( R
2
) .
E x e r c i s e 1 . 6 L e t e P f ( r ) a n d f P f ( r ) b e o p e r a t o r s o n t h e n i t e d i m e n -
s i o n a l s p a c e s r a n d u . S h o w t h a t
d e t ( e f ) = ( d e t e )
m
( d e t f )
n
Y
w h e r e n = d i m r a n d m = d i m u . ( H i n t : T h e d e t e r m i n a n t i s t h e p r o d u c t o f
t h e e i g e n v a l u e s . )
E x e r c i s e 1 . 7 S h o w t h a t
ke
f
k=
ke
k kf
k.
E x a m p l e 1 . 1 0 L e t f
1
Y
2
Y
3
g b e a b a s i s i n r a n d f
1
Y
2
g b e a b a s i s i n u .
I f [ e
i j
] i s t h e m a t r i x o f e P f ( r
1
) a n d [ f
k l
] i s t h e m a t r i x o f f P f ( r
2
) ,
t h e n
( e
f ) (
j
l
) =
i ; k
e
i j
f
k l
i
k
X
I t i s u s e f u l t o o r d e r t h e t e n s o r p r o d u c t b a s e s l e x i c o g r a p h i c a l l y :
1
1
Y
1
2
Y
2
1
Y
2
2
Y
3
1
Y
3
2
. F i x i n g t h i s o r d e r i n g , w e c a n w r i t e d o w n
t h e m a t r i x o f e
f a n d w e h a v e
P
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
R
e
1 1
f
1 1
e
1 1
f
1 2
e
1 2
f
1 1
e
1 2
f
1 2
e
1 3
f
1 1
e
1 3
f
1 2
e
1 1
f
2 1
e
1 1
f
2 2
e
1 2
f
2 1
e
1 2
f
2 2
e
1 3
f
2 1
e
1 3
f
2 2
e
2 1
f
1 1
e
2 1
f
1 2
e
2 2
f
1 1
e
2 2
f
1 2
e
2 3
f
1 1
e
2 3
f
1 2
e
2 1
f
2 1
e
2 1
f
2 2
e
2 2
f
2 1
e
2 2
f
2 2
e
2 3
f
2 1
e
2 3
f
2 2
e
3 1
f
1 1
e
3 1
f
1 2
e
3 2
f
1 1
e
3 2
f
1 2
e
3 3
f
1 1
e
3 3
f
1 2
e
3 1
f
2 1
e
3 1
f
2 2
e
3 2
f
2 1
e
3 2
f
2 2
e
3 3
f
2 1
e
3 3
f
2 2
Q
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
S
X
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
7/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 7
L e t r b e a H i l b e r t s p a c e . T h e k - f o l d t e n s o r p r o d u c t r X X X r i s c a l l e d
t h e k t h t e n s o r p o w e r o f r , i n n o t a t i o n r
k
. W h e n e P f ( r ) , t h e n e
( 1 )
e
( 2 )
X X X e
( k )
i s a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n o n r
k
a n d i t i s d e n i t e d b y e
k
.
r
k
h a s t w o i m p o r t a n t s u b s p a c e s , t h e s y m m e t r i c a n d t h e a n t i s y m m e t r i c
o n e s . I f
1
Y
2
Y X X X Y
k
P ra r e v e c t o r s t h e n t h e i r a n t i s y m m e t r i c t e n s o r p r o d -
u c t i s t h e l i n e a r c o m b i n a t i o n
1
2
X X X
k
: =
1
p
k !
( 1 )
( )
( 1 )
( 2 )
X X X
( k )
( 8 )
w h e r e t h e s u m m a t i o n i s o v e r a l l p e r m u t a t i o n s % o f t h e s e t
f1 Y 2 Y X X X Y k
ga n d
' ( % ) i s t h e n u m b e r o f i n v e r s i o n s i n % . T h e t e r m i n o l o g y \ a n t i s y m m e t r i c " c o m e s
f r o m t h e p r o p e r t y t h a t a n a n t i s y m m e t r i c t e n s o r c h a n g e s i t s s i g n i f t w o e l e -
m e n t s a r e e x c h a n g e d . I n p a r t i c u l a r l y ,
1
2
X X X
k
i f
i
=
j
f o r d i e r e n t
a n d j .
T h e c o m p u t a t i o n a l r u l e s f o r t h e a n t i s y m m e t r i c t e n s o r s a r e s i m i l a r t o ( 6 ) :
! (
1
2
X X X
k
) =
1
2
X X X
1
( !
)
+ 1
X X X
k
a n d
(
1
2
X X X
1
+ 1
X X X
k
) +
+ (
1
2
X X X
1
H
+ 1
X X X
k
) =
=
1
2
X X X
1
( +
H
)
+ 1
X X X
k
X
T h e s u b s p a c e s p a n n e d b y t h e v e c t o r s
1
2
X X X
k
i s c a l l e d t h e k t h
a n t i s y m m e t r i c t e n s o r p o w e r o f r , i n n o t a t i o n
k
r . S o
k
r &
k
r . I f e P
f ( r ) , t h e n t h e t r a n s f o r m a t i o n
k
e l e a v e s t h e s u b s p a c e
k
r i n v a r i a n t . I t s
r e s t r i c t i o n i s d e n t e d b y
k
e w h i c h i s e q u i v a l e n t l y d e n e d a s
k
e (
1
2
X X X
k
) = e
1
e
2
X X X e
k
X ( 9 )
I f
1
Y
2
Y X X X Y
n
i s a b a s i s i n r , t h e n
f
i ( 1 )
i ( 2 )
X X X
i ( k )
: 1 ( 1 ) ` ( 2 ) ` X X X ` ( k ) ) n g ( 1 0 )
i s a b a s i s i n
k
r. I t f o l l o w s t h a t t h e d i m e n s i o n o f
k
ri s
n
k
h a k n Y
o t h e r w i s e f o r k b n t h e p o w e r
k
r h a s d i m e n s i o n 0 . C o n s e q u e n t l y ,
n
r h a s
d i m e n s i o n 1 a n d f o r a n y o p e r a t o r e P f ( r ) , w e h a v e
n
e = ! i d e n t i t y ( 1 1 )
E x e r c i s e 1 . 8 S h o w t h a t ! = d e t e i n ( 1 1 ) . U s e t h i s t o p r o v e t h a t d e t ( e f ) =
d e t e d e t f . ( H i n t : S h o w t h a t
k
( e f ) = (
k
e ) (
k
f ) . )
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
8/26
8 D e n e s P e t z
T h e s y m m e t r i c t e n s o r p r o d u c t o f t h e v e c t o r s
1
Y
2
Y X X X Y
k
P r i s
1
2
X X X
k
: =
1
p
k !
( 1 )
( 2 )
X X X
( k )
Y
w h e r e t h e s u m m a t i o n i s o v e r a l l p e r m u t a t i o n s % o f t h e s e t
f1 Y 2 Y X X X Y k
ga g a i n .
T h e l i n e a r s p a n o f t h e s y m m e t r i c t e n s o r s i s t h e s y m m e t r i c t e n s o r p o w e r
k
r .
I t h a s t h e b a s i s
f
i ( 1 )
i ( 2 )
X X X
i ( k )
: 1 ( 1 ) ( 2 ) X X X ( k ) n g X ( 1 2 )
E x e r c i s e 1 . 9 G i v e t h e d i m e n s i o n o f
k
r i f d i m ( r ) = n .
1 . 4 P o s i t i v e o p e r a t o r s
P f ( r ) i s c a l l e d p o s i t i v e i f h x Y x ! 0 f o r e v e r y v e c t o r x P r , i n n o t a t i o n
!0 . A p o s i t i v e o p e r a t o r i s s e l f - a d j o i n t .
E x e r c i s e 1 . 1 0 S h o w t h a t a n o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n i s p o s i t i v e .
T h e o r e m 1 . 4 L e t P f ( r ) b e a s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r a n d
1
Y
2
Y X X X Y
n
b e
a b a s i s i n t h e H i l b e r t s p a c e r . i s p o s i t i v e i f a n d o n l y i f f o r a n y 1 k n
t h e d e t e r m i n a n t o f t h e k
k m a t r i x
( h
i
Y
j
)
k
i j = 1
i s p o s i t i v e .
T h e s p e c t r u m , i n p a r t i c u l a r t h e e i g e n v a l u e s o f a p o s i t i v e o p e r a t o r , l i e s i n
R
+
. C o n v e r s e l y , i f a l l t h e e i g e n v a l u e s a r e p o s i t i v e f o r a s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r
a c t i n g o n a n i t e d i m e n s i o n a l s p a c e , t h e n i t i s p o s i t i v e . P o s i t i v e m a t r i c e s a r e
a l s o c a l l e d p o s i t i v e s e m i d e n i t e .
L e t e Y f P f ( r ) b e s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s . e f i f f e i s p o s i t i v e .
E x a m p l e 1 . 1 1 L e t : R
+
3R b e a s m o o t h f u n c t i o n . i s c a l l e d m a t r i x
m o n o t o n e i f
0
e
f i m p l i e s t h a t ( e )
( f ) X
i s m a t r i x m o n o t o n e i f a n d o n l y f o r e v e r y p o s i t i v e o p e r a t o r e a n d a n d f o r
t h e r e a l p a r a m e t e r ! 0 ,
d
d
h x Y ( e + ) x ! 0
h o l d s f o r e v e r y v e c t o r x w h i c h m e a n s t h a t
d
d
( e + )
!0 X
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
9/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 9
W e w a n t t o s h o w t h a t t h e s q u a r e r o o t f u n c t i o n i s m a t r i x m o n o t o n e . L e t
p ( ) : =
p
e + X
I t i s e n o u g h t o s e e t h a t t h e e i g e n v a l u e s o f p
H
( ) a r e p o s i t i v e . D i e r e n t i a t i n g
t h e e q u a l i t y p ( ) p ( ) = e + , w e g e t
p
H
( ) p ( ) + p ( ) p
H
( ) = X
I f p
H
( ) =
i
!
i
i
i
i s t h e s p e c t r a l d e c o m p o s i t i o n , t h e n
i
!
i
( i
i
p ( ) + p ( ) i
i
) =
a n d a f t e r m u l t i p l i c a t i o n b y i
j
f r o m t h e l e f t a n d f r o m t h e r i g h t , w e h a v e f o r
t h e t r a c e
2 !
j
T r i
j
p ( ) i
j
= T r i
j
i
j
X
S i n c e b o t h t r a c e s a r e p o s i t i v e , !
j
m u s t b e p o s i t i v e a s w e l l .
E x e r c i s e 1 . 1 1 S h o w t h a t t h a t t h e s q u a r e f u n c t i o n i s n o t m a t r i x m o n o t o n e .
( H i n t : C h o o s e e t o b e d i a g o n a l a n d
=
1 1
1 1
!
X
U s e t h e a r g u m e n t o f t h e p r e v i o u s e x a m p l e f o r 2 2 m a t r i c e s . )
1 . 5 T h e s p e c t r a l t h e o r e m
T h e e i g e n v a l u e s o f a s e l f - a d j o i n t m a t r i x a r e r e a l a n d t h e e i g e n v e c t o r s c o r r e -
s p o n d i n g t o d i e r e n t e i g e n v a l u e s a r e o r t h o g o n a l . T h e r e f o r e , t h e m a t r i x ( o r
t h e c o r r e s p o n d i n g H i l b e r t s p a c e o p e r a t o r ) c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m
k
i = 1
!
i
i
i
Y
w h e r e !
1
Y !
2
Y X X X Y !
k
a r e t h e d i e r e n t e i g e n v a l u e s a n d i
i
i s t h e o r t h o g o n a l
p r o j e c t i o n o n t o t h e s u b s p a c e s p a n n e d b y t h e i g e n v e c t o r s c o r r e s p o n d g t o t h e
e i g e n v a l u e !
i
, 1 k . T h e s p e c t r a l t h e o r e m e x t e n d s t h i s t o a r b i t r a r y s e l f -
a d j o i n t o p e r a t o r e . T h e n t h e s p e c t r u m i s n o t n e c e s s a r y d i s c r e t e a n d t h e n i t e
s u m i s r e p l a c e d b y a n i n t e g r a l .
L e t b e a c o m p l e t e s e p a r a b l e m e t r i c s p a c e a n d r b e a H i l b e r t s p a c e .
A s s u m e t h a t f o r e a c h B o r e l s e t f & a p o s i t i v e o p e r a t o r i ( f ) P f ( r ) i s
g i v e n s u c h t h a t
( 1 ) 0 i ( f ) s , i ( Y ) = 0 , i ( C ) = s ,
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
10/26
1 0 D e n e s P e t z
( 2 ) I f ( f
i
) i s a s e q u e n c e o f p a i r w i s e d i s j o i n t B o r e l s u b s e t o f a n d f =
I
i = 1
f
i
,
t h e n
i ( f ) =
I
i = 1
i ( f
i
)
f o r e v e r y v e c t o r P r .
I n t h i s c a s e i i s c a l l e d a p o s i t i v e o p e r a t o r - v a l u e d m e a s u r e , s h o r t l y
P O V M . I n t h e m o s t i m p o r t a n t e x a m p l e s i s a n i t e s e t , t h e r e a l l i n e R
o r t h e u n i t c i r c l e T .
W e w a n t t o i n t e g r a t e a f u n c t i o n : 3 C w i t h r e s p e c t a n P O V M o n .
W h e n
i s a n i t e s e t , t h e n
( x ) i ( x ) =
x P
( x ) i ( f x g )
i s a n i t e s u m . I n t h e g e n e r a l c a s e , t h e d e n i t i o n o f t h e i n t e g r a l c a n b e r e d u c e d
t o m a n y i n t e g r a l s w i t h r e s p e c t t o c o m m o n m e a s u r e s . G i v e n a v e c t o r P r ,
"
e
( f ) = h Y i ( f )
g i v e s u s a p o s i t i v e m e a s u r e o n t h e B o r e l s e t s o f . W e s a y t h a t t h e i n t e g r a l
( x ) i ( x ) =
Pf (
r) , i f
h Y =
( x ) "
e
( x )
h o l d s f o r e v e r y
P .
A P O V M i i s c a l l e d p r o j e c t i o n - v a l u e d m e a s u r e i f i ( f ) i s a p r o j e c t i o n
o p e r a t o r f o r e v e r y B o r e l s e t f , t h a t i s i ( f ) = i ( f )
2
.
E x e r c i s e 1 . 1 2 L e t i b e a p r o j e c t i o n - v a l u e d m e a s u r e a n d l e t f
1
Y f
2
b e d i s -
j o i n t B o r e l s e t . S h o w t h a t i f a v e c t o r i s i n t h e r a n g e o f i ( f
1
) , t h e n
i ( f
2
) = 0 . ( T h e r e f o r e , i ( f
1
) a n d i ( f
2
) a r e o r t h o g o n a l . )
T h e n e x t t h e o r e m i s t h e s p e c t r a l t h e o r e m f o r a b o u n d e d s e l f - a d j o i n t
o p e r a t o r .
T h e o r e m 1 . 5 L e t e = e
P f ( r ) . T h e n t h e r e e x i s t s a u n i q u e p r o j e c t i o n -
v a l u e d m e a s u r e o n t h e r e a l l i n e s u c h t h a t
e =
! i ( ! ) X
M o r e o v e r , i f f
&R a n d t h e s p e c t r u n o f e a r e d i s j o i n t , t h e n i ( f ) = 0 a n d
( e ) =
( ! ) i ( ! )
f o r e v e r y c o n t i n u o s f u n c t i o n d e n e d o n t h e s p e c t r u m o f e .
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
11/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 1 1
T h e p r o j e c t i o n - v a l u e d m e a s u r e i n t h e t h e o r e m i s c a l l e d t h e s p e c t r a l m e a -
s u r e o f t h e o p e r a t o r e . S i m i l a r r e s u l t h o l d s f o r u n b o u n d e d s e l f - a d j o i n t o p -
e r a t o r e b u t i n t h i s c a s e e a n d ( e ) a r e n o t e v e r y w h e r e d e n e d o p e r a t o r s .
S i m i l a r t h e o r e m h o l d s f o r u n i t a r y o p e r a t o r s , t h e n t h e s p e c t r a l m e a s u r e i s o n
t h e u n i t c i r c l e .
2 P o s t u l a t e s o f q u a n t u m m e c h a n i c s
T h e r s t p o s t u l a t e o f q u a n t u m m e c h a n i c s t e l l s t h a t t o e a c h q u a n t u m m e c h a n -
i c a l s y s t e m a H i l b e r t s p a c e r i s a s s o c i a t e d . T h e ( p u r e ) p h y s i c a l s t a t e s o f t h e
s y s t e m c o r r e s p o n d t o u n i t v e c t o r s o f t h e H i l b e r t s p a c e . T h i s c o r r e s p o n d a n c e
i s n o t 1 - 1 . W h e n
1
a n d
2
a r e u n i t v e c t o r s , t h e n t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e s
i d e n t i c a l i f
1
= z
2
f o r a c o m p l e x n u m b e r z o f m o d u l u s 1 . S u c h z i s o f t e n
c a l l e d p h a s e .
2 . 1 n - l e v e l q u a n t u m s y s t e m s
T h e p u r e p h y s i c a l s t a t e o f t h e s y s t e m d e t e r m i n e s a c o r r e s p o n d i n g s t a t e
v e c t o r u p t o a p h a s e .
E x a m p l e 1 . 1 2 T h e 2 d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e C
2
i s u s e d t o d e s c r i b e a 2 -
l e v e l q u a n t u m s y s t e m c a l l e d q u b i t . T h e c a n o n i c a l b a s i s v e c t o r s ( 1 Y 0 ) a n d ( 0 Y 1 )
a r e u s u a l l y d e n o t e d b y j 4 a n d j 5 , r e s p e c t i v e l y . ( A n a l t e r n a t i v e n o t a t i o n i s
j 1 f o r ( 0 Y 1 ) a n d j 0 f o r ( 1 Y 0 ) . ) S i n c e t h e p o l a r i z a t i o n o f a p h o t o n i s a n i m -
p o r t a n t e x a m p l e o f a q u b i t , t h e s t a t e j 4 m a y h a v e t h e i n t e r p r e t a t i o n t h a t t h e
\ p o l a r i z a t i o n i s v e r t i c a l " ) a n d j 5 m e a n s t h a t t h e \ p o l a r i z a t i o n i s h o r i z o n t a l " .
T o s p e c i f y a s t a t e o f a q u b i t w e n e e d t o g i v e a r e a l n u m b e r x
1
a n d a c o m p l e x
n u m b e r z s u c h t h a t x
2
1
+ j z j
2
= 1 . T h e n t h e s t a t e v e c t o r i s
x
1
j 4 + z j 5 X
( I n d e e d , m u l t i p l y i n g a u n i t v e c t o r z
1
j 4 + z
2
j 5 b y a n a p p r o p r i a t e p h a s e , w e
c a n m a k e t h e c o e c i e n t o f j 4 r e a l a n d t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e r e m a i n s t h e
s a m e . )
S p l i t t i n g z i n t o r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s a s z = x
2
+ i x
3
, w e h a v e t h e
c o n s t r a i n t x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
= 1 f o r t h e p a r a m e t e r s ( x
1
Y x
2
Y x
3
) P R
3
.
T h e r e f o r e , t h e s p a c e o f a l l p u r e s t a t e s o f a q u b i t i s c o n v e n i e n t l y v i s u a l i z e d
a s t h e s p h e r e i n t h e t h r e e d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e , i t i s c a l l e d t h e B l o c h
s p h e r e .
T r a d i t i o n a l q u a n t u m m e c h a n i c s d i s t i n g u i s h e s b e t w e e n p u r e s t a t e s a n d
m i x e d s t a t e s . M i x e d s t a t e s a r e d e s c r i b e d b y d e n s i t y m a t r i c e s . A d e n s i t y
m a t r i x o r s t a t i s t i c a l o p e r a t o r i s a p o s i t i v e o p e r a t o r o f t r a c e 1 o n t h e H i l b e r t
s p a c e . T h i s m e a n s t h a t t h e s p a c e h a s a b a s i s c o n s i s t i n g o f e i g e n v e c t o r s o f t h e
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
12/26
1 2 D e n e s P e t z
s t a t i s t i c a l o p e r a t o r a n d t h e s u m o f e i g e n v a l u e s i s 1 . ( I n t h e n i t e d i m e n s i o n a l
c a s e t h e r s t c o n d i t i o n i s a u t o m a t i c a l l y f u l l l e d . ) T h e p u r e s t a t e s r e p r e s e n t e d
b y u n i t v e c t o r s o f t h e H i l b e r t s p a c e a r e a m o n g t h e d e n s i t y m a t r i c e s u n d e r a n
a p p r o p r i a t e i d e n t i c a t i o n . I f x = j x i s a u n i t v e c t o r , t h e n j x h x j i s a d e n s i t y
m a t r i x . G e o m e t r i c a l l y
jx
hx
ji s t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o n t o t h e l i n e a r s u b -
s p a c e g e n e r a t e d b y x . N o t e t h a t
jx
hx
j=
jy
hy
ji f t h e v e c t o r s x a n d y d i e r
i n a p h a s e .
( A 1 ) T h e p h y s i c a l s t a t e s o f a q u a n t u m m e c h a n i c a l s y s t e m a r e d e s c r i b e d
b y s t a t i s t i c a l o p e r a t o r s a c t i n g o n t h e H i l b e r t s p a c e .
E x a m p l e 1 . 1 3 A s t a t e o f t h e s p i n ( o f 1 a 2 ) c a n b e r e p r e s e n t e d b y t h e 2 2
m a t r i x
1
2
1 + x
3
x
1
i x
2
x
1
+ i x
2
1
x
3
!
X ( 1 3 )
T h i s i s a d e n s i t y m a t r i x i f a n d o n l y i f x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
1 .
T h e s e c o n d a x i o m i s a b o u t o b s e r v a b l e s .
( A 2 ) T h e o b s e r v a b l e s o f a q u a n t u m m e c h a n i c a l s y s t e m a r e d e s c r i b e d b y
s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s a c t i n g o n t h e H i l b e r t s p a c e .
A s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r e o n a H i l b e r t s p a c e r i s a l i n e a r o p e r a t o r
r 3 r w h i c h s a t i s e s
h e x Y y = h x Y e y
f o r x Y y P r . S e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s o n a n i t e d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e
C
n
a r e n n s e l f - a d j o i n t m a t r i c e s . A s e l f - a d j o i n t m a t r i x a d m i t s a s p e c t r a l
d e c o m p o s i t i o n e =
i
!
i
i
i
, w h e r e !
i
a r e t h e d i e r e n t e i g e n v a l u e s o f e a n d
i
i
i s t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o n t o t h e s u b s p a c e s p a n n e d b y t h e e i g e n v e c t o r s
c o r r e s p o n d i n g t o t h e e i g e n v a l u e !
i
. M u l t i p l i c i t y o f !
i
i s e x a c t l y t h e r a n k o f
i
i
.
E x a m p l e 1 . 1 4 I n c a s e o f a q u a n t u m s p i n ( o f 1 a 2 ) t h e m a t r i c e s
'
1
=
0 1
1 0
!
Y '
2
=
0 i
i 0
!
Y '
3
=
1 0
0 1
!
a r e u s e d t o d e s c r i b e t h e s p i n o f d i r e c t i o n x Y y Y z ( w i t h r e s p e c t t o a c o o r d i n a t e
s y s t e m . ) T h e y a r e c a l l e d P a u l i m a t r i c e s . A n y 2 2 s e l f - a d j o i n t m a t r i x i s o f
t h e f o r m
e
( x
0
; x )
: = x
0
'
0
+ x
1
'
1
+ x
2
'
2
+ x
3
'
3
i f '
0
s t a n d s f o r t h e u n i t m a t r i x s . W e a l s o u s e t h e s h o r t h a n d n o t a t i o n x
0
'
0
+
x ' .
T h e d e n s i t y m a t r i x ( 1 3 ) c a n b e w r i t t e n a s
1
2
( '
0
+ x ' ) Y ( 1 4 )
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
13/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 1 3
w h e r e k x k 1 . F o r m u l a ( 1 4 ) m a k e s a n a n e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n 2 2
d e n s i t y m a t r i c e s a n d t h e u n i t b a l l i n t h e E u c l i d e a n 3 - s p a c e . T h e e x t r e m e p o i n t s
o f t h e b a l l c o r r e s p o n d t o p u r e s t a t e a n d a n y m i x e d s t a t e i s t h e c o n v e x c o m b i -
n a t i o n o f p u r e s t a t e s i n i n n i t e l y m a n y d i e r e n t w a y s . I n h i g h e r d i m e n s i o n
t h e s i t u a t i o n i s m u c h m o r e c o m p l i c a t e d .
A n y d e n s i t y m a t r i x c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m
& =
i
!
i
j x
i
h x
i
j ( 1 5 )
b y m e a n s o f u n i t v e c t o r s j x
i
a n d c o e c i e n t s !
i
! 0 ,
i
!
i
= 1 . S i n c e & i s
s e l f - a d j o i n t s u c h a d e c o m p o s i t i o n i s d e d u c e d f r o m t h e s p e c t r a l t h e o r e m a n d
t h e v e c t o r s j x
i
m a y b e c h o s e n p a i r w i s e o r t h o g o n a l e i g e n v e c t o r s a n d !
i
a r e
t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v a l u e s . U n d e r t h i s c o n d i t i o n ( 1 5 ) i s c a l l e d S c h m i d t
d e c o m p o s i t i o n . I t i s u n i q u e i f t h e s p e c t r u m o f & i s n o n - d e g e n e r a t e , t h a t i s ,
t h e r e i s n o m u l t i p l e e i g e n v a l u e .
2 . 2 M e a s u r e m e n t s
Q u a n t u m m e c h a n i c s i s n o t d e t e r m i n i s t i c . I f w e p r e p a r e t w o i d e n t i c a l s y s t e m s
i n t h e s a m e s t a t e , a n d w e m e a s u r e t h e s a m e o b s e r v a b l e o n e a c h , t h e n t h e
r e s u l t o f t h e m e a s u r e m e n t m a y n o t b e t h e s a m e . T h i s i n d e t e r m i n i s m o r
s t o c h a s t i c f e a t u r e i s f u n d a m e n t a l .
( A 3 ) L e t b e a n i t e s e t a n d f o r x P a n o p e r a t o r
x
P f ( r ) b e g i v e n
s u c h t h a t
x
x
x
= s . S u c h a n i n d e x e d f a m i l y o f o p e r a t o r s i s a m o d e l
o f a m e a s u r e m e n t w i t h v a l u e s i n
. I f t h e m e a s u r e m e n t i s p e r f o r m e d i n a
s t a t e & , t h e n t h e o u t c o m e x
P a p p e a r s w i t h p r o b a b i l i t y T r
x
&
x
a n d
a f t e r t h e m e a s u r e m e n t t h e s t a t e o f t h e s y s t e m i s
x
&
x
T r
x
&
x
X
A p a r t i c u l a r c a s e i s t h e m e a s u r e m e n t o f a n o b s e r v a b l e d e s c r i b e d b y a s e l f -
a d j o i n t o p e r a t o r e w i t h s p e c t r a l d e c o m p o s i t i o n
i
!
i
i
i
. I n t h i s c a s e = f !
i
g
i s t h e s e t o f e i g e n v a l u e s a n d
i
= i
i
. O n e c o m p u t e e a s i l y t h a t t h e e x p e c t a t i o n
o f t h e r a n d o m o u t c o m e i s T r & e . T h e f u n c t i o n a l e U3 T r & e i s l i n e a r a n d h a s
t w o i m p o r t a n t p r o p e r t i e s : 1 . I f e ! 0 , t h e n T r & e ! 0 , 2 . T r & s = 1 . T h e s e
p r o p e r t i e s a l l o w t o s e e q u a n t u m s t a t e s i n a d i e r e n t w a y . I f 9 : f (
r)
3C i s
a l i n e a r f u n c t i o n a l s u c h t h a t
9 ( e ) ! 0 i f e ! 0 a n d 9 ( s ) = 1 Y ( 1 6 )
t h e n t h e r e e x i s t s a d e n s i t y m a t r i x &
'
s u c h t h a t
9 ( e ) = T r &
'
e X ( 1 7 )
T h e f u n c t i o n a l 9 a s s o c i a t e s t h e e x p e c t a t i o n v a l u e t o t h e o b s e r v a b l e s e .
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
14/26
1 4 D e n e s P e t z
2 . 3 C o m p o s i t e s y s t e m s
A c c o r d i n g t o a x i o m ( A 1 ) , a H i l b e r t s p a c e i s a s s o c i a t e d t o a n y q u a n t u m m e -
c h a n i c a l s y s t e m . A s s u m e t h a t a c o m p o s i t e s y s t e m c o n s i s t s o f t h e s u b s y s -
t e m s ( 1 ) a n d ( 2 ) , t h e y a r e d e s c r i b e d b y t h e H i l b e r t s p a c e s r
1
a n d r
2
. ( E a c h
s u b s y s t e m c o u l d b e a p a r t i c l e o r a s p i n , f o r e x a m p l e . ) T h e n w e h a v e
( A 4 ) T h e c o m p o s i t e s y s t e m i s d e s c r i b e d b y t h e t e n s o r p r o d u c t H i l b e r t
s p a c e r
1
r
2
.
W h e n f
j
: j P t g i s a b a s i s i n r
1
a n d f
i
: P s g i s a b a s i s i n r
2
, t h e n
f
j
j
: j P t Y P s g i s a b a s i s o f r
1
r
2
. T h e r e f o r e , t h e d i m e n s i o n o f
r
1
r
2
i s d i m
r
1
d i m
r
2
. I f e
i
Pf (
r
i
) ( = 1 Y 2 ) , t h e n t h e a c t i o n o f t h e
t e n s o r p r o d u c t o p e r a t o r e
1
e
2
i s d e t e r m i n e d b y
( e
1
e
2
) (
1
2
) = e
1
1
e
2
2
s i n c e t h e v e c t o r s
1
2
s p a n r
1
r
2
.
W h e n e = e
i s a n o b s e r v a b l e o f t h e r s t s y s t e m , t h e n i t s e x p e c t a t i o n
v a l u e i n t h e v e c t o r s t a t e 2
P r
1
r
2
, i s
h 2 Y ( e s
2
) 2 Y
w h e r e s
2
i s t h e i d e n t i t y o p e r a t o r o n r
2
.
E x a m p l e 1 . 1 5 T h e H i l b e r t s p a c e o f a c o m p o s i t e s y s t e m o f t w o s p i n s ( o f 1 a 2 )
i s C
2
C
2
. I n t h i s s p a c e , t h e v e c t o r s
1
: = j 4 j 4 Y
2
: = j 4 j 5 Y
3
: = j 5 j 4 Y
4
: = j 5 j 5
f o r m a b a s i s . T h e v e c t o r s t a t e
0 =
1
p
2
( j 4 j 5 j 5 j 4 ) ( 1 8 )
h a s a s u r p r i s i n g p r o p e r t y . C o n s i d e r t h e o b s e r v a b l e
e : =
4
i = 1
j
i
h
i
j Y
w h i c h h a s e i g e n v a l u e s 1 Y 2 Y 3 Y 4 a n d t h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s a r e j u s t t h e
b a s i s v e c t o r s . M e a s u r e m e n t o f t h i s o b s e r v a b l e y i e l d s t h e v a l u e s 1 Y 2 Y 3 Y 4 w i t h
p r o b a b i l i t i e s 0 Y 1 a 2 Y 1 a 2 a n d 0 , r e s p e c t i v e l y . T h e 0 p r o b a b i l i t y o c c u r s w h e n b o t h
s p i n s a r e u p o r b o t h a r e d o w n . T h e r e f o r e i n t h e v e c t o r s t a t e 0 t h e s p i n s a r e
a n t i - c o r r e l a t e d .
W e c o n s i d e r n o w t h e c o m p o s i t e s y s t e m r
1
r
2
i n a s t a t e 0 P r
1
r
2
.
L e t e P f ( r
1
) b e a n o b s e r v a b l e w h i c h i s l o c a l i z e d a t t h e r s t s u b s y s t e m . I f
w e w a n t t o c o n s i d e r e a s a n o b s e r v a b l e o f t h e t o t a l s y s t e m , w e h a v e t o d e n e
a n e x t e n s i o n t o t h e s p a c e r
1
r
2
. T h e t e n s o r p r o d u c t o p e r a t o r e s w i l l
d o , s i s t h e i d e n t i t y o p e r a t o r o f r
2
.
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
15/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 1 5
L e m m a 1 . 1 A s s u m e t h a t r
1
a n d r
2
a r e n i t e d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e s .
L e t f
j
: j P t g b e a b a s i s i n r
1
a n d f
i
: P s g b e a b a s i s i n r
2
. A s s u m e
t h a t
0 =
i ; j
i j
j
i
i s t h e e x p a n s i o n o f a u n i t v e c t o r 0
P r
1
r
2
. S e t f o r t h e m a t r i x w h i c h i s
d e t e r m i n e d b y t h e e n t r i e s
k l
. T h e n
i s a d e n s i t y m a t r i x a n d
h0 Y ( e
s ) 0
= T r e
X
P r o o f . L e t i
k l
b e a n o p e r a t o r o n r
1
w h i c h i s d e t e r m i n e d b y t h e r e l a t i o n s
i
k l
j
=
l j
k
( k Y l P s ) . A s a m a t r i x , i
k l
i s c a l l e d m a t r i x u n i t , i t i s a m a t r i x
s u c h t h a t ( k Y l ) e n t r y i s 1 , a l l o t h e r s a r e 0 . T h e n
h 0 Y ( i
k l
s ) 0 =
B
i ; j
i j
j
i
Y ( i
k l
s )
t ; u
t u
u
t
C
=
=
i ; j
t ; u
i j
t u
h
j
Y i
k l
u
h
i
Y
t
=
=
i ; j
t ; u
i j
t u
l u
j k
i t
=
i
i k
i l
X
T h e n w e a r r i v e d a t t h e ( k Y l ) e n t r y o f
. O u r c o m p u t a t i o n m a y b e s u m -
m a r i z e d a s
h 0 Y ( i
k l
s ) 0 = T r i
k l
(
) ( k Y l P s ) X
S i n c e a n y l i n e a r o p e r a t o r e P f ( r
1
) i s o f t h e f o r m e =
k l
i
k l
(
k l
P C ) ,
t a k i n g l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e p r e v i o u s e q u a t i o n s , w e h a v e
h 0 Y ( e s ) 0 = T r e (
) X
i s o b v i o u s l y p o s i t i v e a n d
T r
=
i ; j
j
i j
j
2
= k 0 k
2
= 1 X
T h e r e f o r e i t i s a d e n s i t y m a t r i x .
T h i s l e m m a s h o w s a n a t u r a l w a y f r o m s t a t e v e c t o r s t o d e n s i t y m a t r i c e s .
G i v e n a d e n s i t y m a t r i x & o n
r
1
r
2
t h e r e a r e d e n s i t y m a t r i c e s &
i
Pf (
r
i
)
s u c h t h a t
T r ( e s ) & = T r e &
1
( e P f ( r
1
) ) ( 1 9 )
a n d
T r ( s f ) & = T r f &
2
( f P f ( r
2
) ) X ( 2 0 )
&
1
a n d &
2
a r e c a l l e d r e d u c e d d e n s i t y m a t r i c e s . ( T h e y a r e t h e q u a n t u m
a n a l o g u e o f m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n s . )
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
16/26
1 6 D e n e s P e t z
T h e p r o o f o f L e m m a 1 . 1 c o n t a i n s t h e r e d u c e d d e n s i t y o f j 0 h 0 j o n t h e
r s t s y s t e m , i t i s
. O n e c o m p u t e s s i m i l a r l y t h a t t h e r e d u c e d d e n s i t y o n
t h e s e c o n d s u b s y s t e m , i t i s (
)
t
, w h e r e
t
d e n o t e s t h e t r a n s p o s e o f t h e
m a t r i x . S i n c e
a n d (
)
t
h a v e t h e s a m e n o n - z e r o e i g e n v a l u e s , t h e
t w o s u b s y s t e m s a r e v e r y s t r o n g l y c o n n e c t e d i f t h e t o t a l s y s t e m i s i n a p u r e
s t a t e .
L e t r
1
a n d r
2
b e H i l b e r t s p a c e s a n d l e t d i m r
1
= m a n d d i m r
2
= n . I t i s
w e l l - k n o w n t h a t t h e m a t r i x o f a l i n e a r o p e r a t o r o n r
1
r
2
h a s a b l o c k - m a t r i x
f o r m
= (
i j
)
m
i ; j = 1
=
m
i ; j = 1
i
i j
i j
Y
r e l a t i v e t o t h e l e x i c o g r a p h i c a l l y o r d e r e d p r o d u c t b a s i s , w h e r e
i j
a r e n n
m a t r i c e s . F o r e x a m p l e ,
e s = (
i j
)
m
i ; j = 1
Y w h e r e
i j
= e
i j
s
n
a n d
s f = (
i j
)
m
i ; j = 1
Y w h e r e
i j
=
i j
f X
A s s u m e t h a t
& = ( &
i j
)
m
i ; j = 1
i s a d e n s i t y m a t r i x o f t h e c o m p o s i t e s y s t e m , t h e n
T r ( e s ) & =
i ; j
e
i j
T r s
n
&
i j
=
i ; j
e
i j
T r &
i j
a n d t h i s g i v e s t h a t f o r t h e r s t r e d u c e d d e n s i t y m a t r i x w e h a v e
( &
1
)
i j
= T r &
i j
X ( 2 1 )
W e c a n c o m p u t e s i m i l a r l y t h e s e c o n d r e d u c e d d e n s i t y &
2
. S i n c e
T r ( s f ) & =
i
T r f &
i i
w e o b t a i n
&
2
=
m
i = 1
&
i i
X ( 2 2 )
T h e r e d u c e d d e n s i t y m a t r i c e s m i g h t b e e x p r e s s e d b y t h e p a r t i a l t a c e s .
T r
2
: f ( r
1
) f ( r
2
) 3 f ( r
1
) a n d T r
1
: f ( r
1
) f ( r
2
) 3 f ( r
2
) a r e
d e n e d a s
T r
2
( e f ) = e T r f Y T r
1
( e f ) = T r e f X ( 2 3 )
W e h a v e
&
1
= T r
2
& a n d &
2
= T r
1
& X ( 2 4 )
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
17/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 1 7
A x i o m ( A 4 ) t e l l s a b o u t a c o m p o s i t e q u a n t u m s y s t e m c o n s i s t i n g o f t w o
q u a n t u m c o m p o n e n t s . I n c a s e o f m o r e q u a n t u m c o m p o n e n t s , t h e f o r m a l i s m i s
s i m i l a r , m o r e t e n s o r f a c t o r s a p p e a r . I t m a y h a p p e n t h a t t h e q u a n t u m s y s t e m
u n d e r s t u d y h a s a c l a s s i c a l a n d a q u a n t u m c o m p o n e n t , a s s u m e t h a t t h e r s t
c o m p o n e n t i s c l a s s i c a l . T h e n t h e d e s c r i p t i o n b y t e n s o r p r o d u c t H i l b e r t s p a c e
i s s t i l l p o s s i b l e . A b a s i s (
j
i
)
i
o f
r
1
c a n b e x e d a n d t h e p o s s i b l e d e n s i t y
m a t r i c e s o f t h e j o i n t s y s t e m a r e o f t h e f o r m
i
i
j
i
h
i
j &
( 2 )
i
Y ( 2 5 )
w h e r e (
i
)
i
i s a p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n a n d &
( 2 )
i
a r e d e n s i t i e s o n r
2
. T h e n t h e
r e d u c e d s t a t e o n t h e r s t c o m p o n e n t i s t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y (
i
)
i
( w h i c h
m a y b e r e g a r d e d a s a d i a g o n a l d e n s i t y m a t r i x ) a n d
i
i
&
( 2 )
i
i s t h e s e c o n d
r e d u c e d d e n s i t y .
A n o t h e r p o s t u l a t e o f q u a n t u m m e c h a n i c s t e l l s a b o u t t h e t i m e d e v e l o p -
m e n t o f a c l o s e d q u a n t u m s y s t e m . I f t h e s y s t e m i s n o t s u b j e c t t o a n y m e a -
s u r e m e n t i n t h e t i m e i n t e r v a l s & R a n d &
t
d e n o t e s t h e s t a t i s t i c a l o p e r a t o r a t
t i m e , t h e n
( A 5 ) &
t
= ( Y ) &
s
( Y )
( Y P s ) ,
w h e r e t h e u n i t a r y p r o p a g a t o r ( Y ) i s a f a m i l y o f u n i t a r y o p e r a t o r s s u c h
t h a t
( i ) ( Y ) ( Y ) = ( Y ) ,
( i i ) ( Y ) U3 ( Y ) P f ( r ) i s s t r o n g l y c o n t i n u o u s .
T h e r s t o r d e r a p p r o x i m a t i o n o f t h e u n i t a r y ( Y ) i s t h e H a m i l t o n i a n :
( + Y ) = s
i
~
r ( ) Y
w h e r e r ( ) i s t h e H a m i l t o n i a n a t t i m e . I f t h e H a m i l t o n i a n i s t i m e i n d e p e n -
d e n t , t h e n
( Y ) = e x p
i
~
( ) r
X
I n t h e a p p r o a c h f o l l o w e d h e r e t h e d e n s i t y m a t r i c e s a r e t r a n s f o r m e d i n t i m e ,
t h i s i s t h e s o - c a l l e d S c h r o d i n g e r p i c t u r e o f q u a n t u m m e c h a n i c s . W h e n d i s -
c r e t e t i m e d e v e l o p m e n t i s c o n s i d e r e d , a s i n g l e u n i t a r y g i v e s t h e t r a n s f o r -
m a t i o n o f t h e v e c t o r s t a t e i n t h e f o r m 2
U3 2 , o r i n t h e d e n s i t y m a t r i x
f o r m a l i s m & U3 &
. W h e n t h e u n i t a r y t i m e d e v e l o p m e n t i s v i e w e d a s a
q u a n t u m a l g o r i t h m i n c o n n e c t i o n w i t h q u a n t u m c o m p u t a t i o n , t h e t e r m g a t e
i s u s e d i n s t e a d o f u n i t a r y . S o t h e g a t e s c o n s t i t u t e a n a l g o r i t h m a r e s i m p l y
u n i t a r y o p e r a t o r s .
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
18/26
1 8 D e n e s P e t z
2 . 4 S t a t e t r a n s f o r m a t i o n s
A s s u m e t h a t
ri s t h e H i l b e r t s p a c e o f o u r q u a n t u m s y s t e m w h i c h i n i t i a l l y
h a s a s t a t i s t i c a l o p e r a t o r & ( a c t i n g o n r ) . W h e n t h e q u a n t u m s y s t e m s i s n o t
c l o s e d , i t i s c o u p l e d t o a n o t h e r s y s t e m , c a l l e d e n v i r o n m e n t . T h e e n v i r o n m e n t
h a s a H i l b e r t s p a c e r
e
a n d s t a t i s t i c a l o p e r a t o r &
e
. B e f o r e i n t e r a c t i o n t h e t o t a l
s y s t e m h a s d e n s i t y &
e
& . T h e d y n a m i c a l c h a n g e c a u s e d b y t h e i n t e r a c t i o n i s
i m p l e m e n t e d b y a u n i t a r y a n d ( &
e
& )
i s t h e n e w s t a t i s t i c a l o p e r a t o r a n d
t h e r e d u c e d d e n s i t y ~ & i s t h e n e w s t a t i s t i c a l o p e r a t o r o f t h e q u a n t u m s y s t e m
w e a r e i n t e r e s t e d i n . T h e a n e c h a n g e & U3 ~& i s t y p i c a l f o r q u a n t u m m e c h a n i c s
a n d c a l l e d s t a t e t r a n s f o r m a t i o n . I n t h i s w a y t h e m a p & U3 ~& i s d e n e d o n
d e n s i t y m a t r i c e s b u t i t c a n b e e x t e n d e d b y l i n e a r i t y t o a l l m a t r i c e s . I n t h i s w a y
w e o b t a i n a t r a c e p r e s e r v i n g a n d p o s i t i v i t y p r e s e r v i n g l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n .
T h e a b o v e d e n e d s t a t e t r a n s f o r m a t i o n c a n b e d e s c r i b e d i n s e v e r a l o t h e r
f o r m s , r e f e r e n c e t o t h e e n v i r o n m e n t c o u l d b e o m i t t e d c o m p l e t e l y . A s s u m e t h a t
& i s a n n n m a t r i x a n d &
e
i s o f t h e f o r m ( z
k
z
l
)
k l
w h e r e ( z
1
Y z
2
Y X X X Y z
m
) i s a
u n i t v e c t o r i n t h e m d i m e n s i o n a l s p a c e r
e
. ( &
e
i s p u r e s t a t e . ) A l l o p e r a t o r s
a c t i n g o n r
e
r a r e w r i t t e n i n a b l o c k m a t r i x f o r m , t h e y a r e m m m a t r i c e s
w i t h n n m a t r i x e n t r i e s . I n p a r t i c u l a r , = (
i j
)
m
i ; j = 1
a n d
i j
P w
n
. I f i s
a u n i t a r y , t h e n
i s t h e i d e n t i t y a n d t h i s i m p l i e s t h a t
i
i k
i l
=
k l
s
n
( 2 6 )
F o r m u l a ( 2 2 ) f o r t h e r e d u c e d d e n s i t y m a t r i x g i v e s
~& =
i
( ( &
e
& )
)
i i
=
i ; k ; l
i k
( &
e
& )
k l
(
)
l i
=
i ; k ; l
i k
( z
k
z
l
& ) (
i l
)
=
i
k
z
k
i k
&
l
z
l
i l
=
i
e
i
& e
i
w h e r e t h e o p e r a t o r s e
i
: =
k
z
k
i k
s a t i s f y
p
e
p
e
p
= s ( 2 7 )
d u e t o ( 2 6 ) a n d
k
j
z
k
j
2
= 1 .
T h e o r e m 1 . 6 A n y s t a t e t r a n s f o r m a t i o n & U3 i ( & ) c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r m
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
19/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 1 9
i ( & ) =
p
e
p
& e
p
Y
w h e r e t h e o p e r a t o r c o e c i e n t s s a t i s f y ( 2 7 ) . C o n v e r s e l y , a l l l i n e a r m a p p i n g s o f
t h i s f o r m a r e s t a t e t r a n s f o r m a t i o n s .
T h e r s t p a r t o f t h e t h e o r e m w a s o b t a i n e d a b o v e . T o p r o v e t h e c o n v e r s e
p a r t , w e n e e d t o s o l v e t h e e q u a t i o n s
e
i
: =
k
z
k
i k
( = 1 Y 2 Y X X X Y m ) X
C h o o s e s i m p l y z
1
= 1 a n d z
2
= z
3
= X X X = z
m
= 0 a n d t h e e q u a t i o n s r e d u c e
t o
p 1
= e
p
. T h i s m e a n s t h a t t h e r s t c o l u m n i s g i v e n f r o m t h e b l o c k m a t r i x
a n d w e n e e d t o d e t e r m i n e t h e o t h e r c o l u m n s s u c h a w a y t h a t s h o u l d b e
a u n i t a r y . T h a n k s t o t h e c o n d i t i o n ( 2 7 ) t h i s i s p o s s i b l e . C o n d i t i o n ( 2 7 ) t e l l s
u s t h a t t h e r s t c o l u m n o f o u r b l o c k m a t r i x d e t e r m i n e s a n i s o m e t r y w h i c h
e x t e n d s t o a u n i t a r y .
T h e c o e c i e n t s e
p
i n t h e o p e r a t o r - s u m r e p r e s e n t a t i o n a r e c a l l e d t h e
o p e r a t i o n e l e m e n t s o f t h e s t a t e t r a n s f o r m a t i o n . T h e t e r m s q u a n t u m ( s t a t e )
o p e r a t i o n a n d c h a n n e l i n g t r a n s f o r m a t i o n a r e a l s o o f t e n u s e d i n s t e a d o f s t a t e
t r a n s f o r m a t i o n .
T h e s t a t e t r a n s f o r m a t i o n s f o r m a c o n v e x s u b s e t o f t h e s e t o f a l l p o s i t i v e
t r a c e p r e s e r v i n g l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s . ( I t i s n o t k n o w n w h a t t h e e x t r e m e
p o i n t s o f t h i s s e t a r e . )
i i s c a l l e d c o m p l e t e l y p o s i t i v e i f i
n
i s p o s i t i v i t y p r e s e r v i n g f o r t h e
i d e n t i c a l m a p p i n g
n
: w
n
( C ) 3 w
n
( C ) o n a n y m a t r i x a l g e b r a .
T h e o r e m 1 . 7 L e t i : w
n
( C ) 3 w
k
( C ) b e a l i n e a r m a p p i n g . T h e n i i s
c o m p l e t e l y p o s i t i v e i f a n d o n l y i f i t a d m i t s a r e p r e s e n t a t i o n
i ( e ) =
u
u
e
u
( 2 8 )
b y m e a n s o f s o m e l i n e a r o p e r a t o r s
u
: C
n
3C
k
.
T h i s r e s u l t w a s r s t p r o v e n b y K r a u s . I t f o l l o w s t h a t s t o c h a s t i c m a p p i n g s
a r e c o m p l e t e l y p o s i t i v e a n d t h e o p e r a t o r - s u m r e p r e s e n t a t i o n i s a l s o c a l l e d
K r a u s r e p r e s e n t a t i o n . N o t e t h a t t h i s r e p r e s e n t a t i o n i s n o t u n i q u e .
L e t i : w
n
( C ) 3 w
k
( C ) b e a l i n e a r m a p p i n g . i i s d e t e r m i n e d b y t h e
b l o c k - m a t r i x (
i j
)
1 i ; j k
, w h e r e
i j
= i ( i
i j
) ( 2 9 )
( H e r e i
i j
d e n o t e t h e m a t r i x u n i t s . ) T h i s i s t h e b l o c k - m a t r i x r e p r e s e n t a -
t i o n o f i .
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
20/26
2 0 D e n e s P e t z
T h e o r e m 1 . 8 L e t i : w
n
( C ) 3 w
k
( C ) b e a l i n e a r m a p p i n g . T h e n i i s
c o m p l e t e l y p o s i t i v e i f a n d o n l y i f t h e r e p r e s e n t i n g b l o c k - m a t r i x (
i j
)
1 i ; j k
P
w
k
( C ) w
n
( C ) i s p o s i t i v e .
E x a m p l e 1 . 1 6 C o n s i d e r t h e t r a n s p o s e m a p p i n g e U3 e
t
o n 2 2 m a t r i c e s :
x y
z
!
U3
x z
y
!
X
T h e r e p r e s e n t i n g b l o c k - m a t r i x i s
=
P
T
R
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
Q
U
S
X
T h i s i s n o t p o s i t i v e , s o t h e t r a n s p o s e m a p p i n g i s n o t c o m p l e t e l y p o s i t i v e .
E x a m p l e 1 . 1 7 C o n s i d e r a p o s i t i v e t r a c e - p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n
i: w
n
( C )
3
w
m
( C ) s u c h t h a t i t s r a n g e c o n s i s t s o f c o m m u t i n g o p e r a t o r s . W e s h o w t h a t
i
i s a u t o m a t i c a l l y a s t a t e t r a n s f o r m a t i o n .
S i n c e a c o m m u t a t i v e s u b a l g e b r a o f w
m
( C ) i s t h e l i n e a r s p a n o f s o m e p a i r -
w i s e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n s
k
, o n e c a n s e e t h a t i h a s t h e f o r m
i ( e ) =
k
k
T r p
k
e Y ( 3 0 )
w h e r e p
k
i s a p o s i t i v e o p e r a t o r i n w
n
( C ) , i t i n d u c e s t h e c o e c i e n t o f
k
a s
a l i n e a r f u n c t i o n a l o n w
n
( C ) .
W e w a n t t o s h o w t h e p o s i t i v i t y o f t h e r e p r e s e n t i n g b l o c k - m a t r i x :
i j
i
i j
k
k
T r ( p
k
i
i j
)
=
k
i j
i
i j
k
i j
i
i j
T r ( p
k
i
i j
) s
Y
w h e r e d e n o t e s t h e H a d a m a r d ( o r e n t r y - w i s e p r o d u c t ) o f n m n m m a t r i c e s .
R e c a l l t h a t a c c o r d i n g t o S c h u r ' s t h e o r e m t h e H a d a m a r d p r o d u c t o f p o s i t i v e
m a t r i c e s i s p o s i t i v e . T h e r s t f a c t o r i s
[
k
Y
k
Y X X X Y
k
]
[
k
Y
k
Y X X X Y
k
]
a n d t h e s e c o n d f a c t o r i s p
k
s , b o t h a r e p o s i t i v e .
C o n s i d e r t h e p a r t i c u l a r c a s e o f ( 3 0 ) w h e r e e a c h
k
i s o f r a n k o n e a n d
r
k = 1
p
k
= s . S u c h a f a m i l y o f p
k
' s d e s c r i b e a m e a s u r e m e n t w h i c h a s s o c i a t e s
t h e - t u p l e ( T r & p
1
Y T r & p
2
Y X X X Y T r & p
r
) t o t h e d e n s i t y m a t r i x & . T h e r e f o r e a
m e a s u r e m e n t c a n b e f o r m u l a t e d a s a s t a t e t r a n s f o r m a t i o n w i t h d i a g o n a l o u t -
p u t s .
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
21/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 2 1
T h e K r a u s r e p r e s e n t a t i o n a n d t h e b l o c k - m a t r i x r e p r e s e n t a t i o n a r e c o n -
v e n i e n t w a y s t o d e s c r i b e a s t a t e t r a n s f o r m a t i o n i n a n y n i t e d i m e n s i o n . I n
t h e 2 2 c a s e w e h a v e t h e p o s s i b i l i t y t o e x p a n d t h e m a p p i n g s i n t h e b a s i s
'
0
Y '
1
Y '
2
Y '
3
.
A n y t r a c e p r e s e r v i n g m a p p i n g
i: w
2
( C )
3w
2
( C ) h a s a m a t r i x
=
1 0
3
!
w i t h r e s p e c t t o t h i s b a s i s , w h e r e
3
P w
3
a n d
i (
0
'
0
+ ' ) =
0
'
0
+ ( +
3
) ' X ( 3 1 )
T h e f o l l o w i n g e x a m p l e s o f s t a t e t r a n s f o r m a t i o n s a r e g i v e n i n t e r m o f t h e
- r e p r e s e n t a t i o n :
E x a m p l e 1 . 1 8 ( P a u l i c h a n n e l s ) = 0 a n d
3
= D i a g ( Y Y ) . D e n s i t y
m a t r i c e s a r e s e n t t o d e n s i t y m a t r i c e s i f a n d o n l y i f
1
Y Y
1
f o r t h e r e a l p a r a m e t e r s Y Y .
I t i s n o t d i c u l t t o c o m p u t e t h e r e p r e s e n t i n g b l o c k - m a t r i x , w e h a v e
=
P
T
T
R
1 +
2
0 0
+
2
0
1
2
2
0
0
2
1
2
0
+
2
0 0
1 +
2
Q
U
U
S
X ( 3 2 )
i s u n i t a r i l y e q u i v a l e n t t o t h e m a t r i x
P
T
T
R
1 +
2
+
2
0 0
+
2
1 +
2
0 0
0 0
1
2
2
0 0
2
1
2
Q
U
U
S
X
T h i s m a t r i x i s o b v i o u s l y p o s i t i v e i f a n d o n l y i f
j 1 j ! j j X ( 3 3 )
T h i s p o s i t i v i t y c o n d i t i o n h o l d s w h e n = = = b 0 . H e n c e t h e n e x t
e x a m p l e g i v e s a c h a n n e l i n g t r a n s f o r m a t i o n .
3 S o m e a p p l i c a t i o n s
I n t h e t r a d i t i o n a l a p p r o a c h t o q u a n t u m m e c h a n i c s , a p h y s i c a l s y s t e m i s d e -
s c r i b e d i n a H i l b e r t s p a c e : O b s e r v a b l e s c o r r e s p o n d t o s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s
a n d s t a t i s t i c a l o p e r a t o r s a r e a s s o c i a t e d w i t h t h e s t a t e s . V o n N e u m a n n a s -
s o c i a t e d a n e n t r o p y q u a n t i t y t o a s t a t i s t i c a l o p e r a t o r i n 1 9 2 7 [ 1 5 ] a n d t h e
d i s c u s s i o n w a s e x t e n d e d i n h i s b o o k [ 1 6 ] .
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
22/26
2 2 D e n e s P e t z
3 . 1 V o n N e u m a n n e n t r o p y
V o n N e u m a n n ' s a r g u m e n t w a s a g e d a n k e n e x p e r i m e n t o n t h e g r o u n d o f p h e -
n o m e n o l o g i c a l t h e r m o d y n a m i c s w h i c h i s n o t r e p e a t e d h e r e , o n l y h i s c o n c l u -
s i o n . A s s u m e t h a t t h e d e n s i t y & i s t h e m i x t u r e o f o r t h o g o n a l d e n s i t i e s &
1
a n d
&
2
, & = &
1
+ ( 1
) &
2
. T h e n
( &
1
) + ( 1
) ( &
2
) = ( & ) + l o g + ( 1
) l o g ( 1
) Y ( 3 4 )
w h e r e i s a c e r t a i n t h e r m o d y n a m i c a l e n t r o p y q u a n t i t y , r e l a t i v e t o t h e x e d
t e m p e r a t u r e a n d m o l e c u l e d e n s i t y . ( R e m e m b e r t h a t t h e o r t o g o n a l i t y o f s t a t e s
h a s a p a r t i c u l a r m e a n i n g i n q u a n t u m m e c h a n i c s . ) F r o m t h e t w o - c o m p o n e n t
m i x t u r e , w e c a n e a s i l y m o v e t o a n a r b i t r a r y d e n s i t y m a t r i x & =
i
!
i
j 9
i
h 9
i
j
a n d w e h a v e
( & ) =
i
!
i
( j 9
i
h 9
i
j )
i
!
i
l o g !
i
X ( 3 5 )
T h i s f o r m u l a r e d u c e s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e ( t h e r m o d y n a m i c a l ) e n t r o p y o f a
m i x e d s t a t e t o t h a t o f p u r e s t a t e s . T h e s o - c a l l e d S c h a t t e n d e c o m p o s i t i o n
i
!
i
j 9
i
h 9
i
j o f a s t a t i s t i c a l o p e r a t o r i s n o t u n i q u e a l t h o u g h h 9
i
Y 9
j
= 0
i s a s s u m e d f o r T= j . W h e n !
i
i s a n e i g e n v a l u e w i t h m u l t i p l i c i t y , t h e n t h e
c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r s c a n b e c h o s e n i n m a n y w a y s . I f w e e x p e c t t h e
e n t r o p y ( & ) t o b e i n d e p e n d e n t o f t h e S c h a t t e n d e c o m p o s i t i o n , t h e n w e a r e
l e d t o t h e c o n c l u s i o n t h a t (
j9
h9
j) m u s t b e i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e v e c t o r
j 9 . T h i s a r g u m e n t a s s u m e s t h a t t h e r e a r e n o s u p e r - s e l e c t i o n s e c t o r s , t h a t
i s , a n y v e c t o r o f t h e H i l b e r t s p a c e c a n b e a s t a t e v e c t o r . ( V o n N e u m a n n ' s
a r g u m e n t w a s s o m e w h a t d i e r e n t , s e e t h e o r i g i n a l p a p e r [ 1 5 ] o r [ 2 3 ] . ) I f t h e
e n t r o p y o f p u r e s t a t e s i s d e n e d t o b e 0 a s a k i n d o f n o r m a l i z a t i o n , t h e n w e
h a v e t h e v o n N e u m a n n e n t r o p y f o r m u l a :
( & ) =
i
!
i
l o g !
i
= T r ( & ) ( 3 6 )
i f !
i
a r e t h e e i g e n v a l u e s o f & a n d ( ) = l o g . F o r t h e s a k e o f s i m p l i c i t y t h e
m u l t i p l i c a t i v e c o n s t a n t w i l l m o s t l y b e o m i t t e d .
I t i s w o r t h w h i l e t o n o t e t h a t i f ( & ) i s i n t e r p r e t e d a s t h e u n c e r t a i n t y c a r r i e d
b y t h e s t a t i s t i c a l o p e r a t o r & , t h e n ( 3 4 ) s e e m s t o b e n a t u r a l ,
( &
1
+ ( 1 ) &
2
) = ( &
1
) + ( 1 ) ( &
2
) + r ( Y 1 ) Y ( 3 7 )
h o l d s f o r a n o r t h o g o n a l m i x t u r e a n d S h a n n o n ' s c l a s s i c a l i n f o r m a t i o n m e a s u r e
i s i n v o l v e d . T h e m i x i n g p r o p e r t y ( 3 7 ) e s s e n t i a l l y d e t e r m i n e s t h e v o n N e u -
m a n n e n t r o p y a n d t e l l s u s t h a t t h e r e l a t i o n o f o r t h o g o n a l q u a n t u m s t a t e s i s
c l a s s i c a l . A d e t a i l e d a x i o m a t i c c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e v o n N e u m a n n e n t r o p y
i s T h e o r e m 2 . 1 i n [ 1 9 ] .
T h e o r e m 1 . 9 L e t &
1
a n d &
2
b e d e n s i t y m a t r i c e s a n d 0 ` 1 . T h e f o l l o w i n g
i n e q u a l i t i e s h o l d :
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
23/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 2 3
( &
1
) + ( 1 ) ( &
2
) ( &
1
+ ( 1 ) &
2
)
( &
1
) + ( 1 ) ( &
2
) + r ( Y 1 ) X
P r o o f . T h e r s t i n e q u a l i t y i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f t h e c o n c a v i t y o f t h e
f u n c t i o n ( ) = l o g . I n o r d e r t o o b t a i n t h e s e c o n d i n e q u a l i t y w e b e n e t
f r o m t h e f o r m u l a
T r e
l o g ( e + f )
l o g e
=
I
0
T r e ( e + )
1
f ( e + f + )
1
! 0 ( e Y f ! 0 )
a n d i n f e r
T r &
1
l o g ( &
1
+ ( 1 ) &
2
) ! T r &
1
l o g &
1
a n d
T r ( 1 ) &
2
l o g ( &
1
+ ( 1 ) &
2
) ! T r ( 1 ) &
2
l o g ( 1 ) &
2
X
A d d i n g t h e l a t t e r t w o i n e q u a l i t i e s w e o b t a i n t h e s e c o n d i n e q u a l i t y o f t h e
t h e o r e m .
T h e v o n N e u m a n n e n t r o p y i s t h e t r a c e o f a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f t h e
d e n s i t y m a t r i x , h e n c e i t i s a n o b v i o u s l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n a l o n t h e s t a t e s .
H o w e v e r , a m o r e p r e c i s e e s t i m a t e f o r t h e c o n t i n u i t y w i l l b e r e q u i r e d i n a p -
p r o x i m a t i o n s . S u c h a n e s t i m a t e i s d u e t o F a n n e s .
T h e o r e m 1 . 1 0 L e t &
1
a n d &
2
b e d e n s i t i e s o n a - d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e .
I f k &
1
&
2
k
1
1
3
, t h e n t h e i n e q u a l i t y
j ( &
1
) ( &
2
) j k &
1
&
2
k
1
l o g + ( k &
1
&
2
k
1
)
h o l d s . ( k k
1
: = T r (
)
1 = 2
) .
T h e p r o o f i s f o u n d i n [ 7 ] o r [ 1 9 ] . N o t e t h a t o n a n i n n i t e d i m e n s i o n a l
H i l b e r t s p a c e t h e v o n N e u m a n n e n t r o p y i s n o t c o n t i n u o u s ( b u t i t i s s u c h
r e s t r i c t e d t o a s e t f & : ( & ) g ) .
M o s t p r o p e r t i e s o f t h e v o n N e u m a n n e n t r o p y w i l l b e d e d u c e d f r o m t h e
b e h a v i o r o f t h e r e l a t i v e e n t r o p y , s e e [ 1 9 ] .
3 . 2 F i d e l i t y
H o w c l o s e a r e t w o q u a n t u m s t a t e s ? T h e r e a r e m a n y p o s s i b l e a n s w e r s t o t h i s
q u e s t i o n . R e s t r i c t i n g o u r s e l v e s t o p u r e s t a t e s , w e h a v e t o c o n s i d e r t w o u n i t
v e c t o r s . j 9 a n d j 2 . Q u a n t u m m e c h a n i c s h a s u s e d t h e c o n c e p t o f t r a n s i t i o n
p r o b a b i l i t y j h 9 j 9 j
2
f o r a l o n g t i m e . T h i s q u a n t i t y i s p h a s e i n v a r i a n t , i t l i e s
b e t w e e n 0 a n d 1 . I t e q u a l s t o 1 i f a n d o n l y i f t h e t w o s t a t e s c o i n c i d e t h a t i s ,
j 9 e q u a l s t o j 2 u p t o a p h a s e .
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
24/26
2 4 D e n e s P e t z
W e c a l l t h e s q u a r e r o o t o f t h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y d e l i t y : p ( j 9 Y j 2 ) : =
j h 9 j 2 j . S h a n n o n u s e d a n o n n e g a t i v e d i s t o r t i o n m e a s u r e , a n d w e m a y r e g a r d
1 p ( j 9 Y j 2 ) a s a d i s t o r t i o n f u n c t i o n o n q u a n t u m s t a t e s .
U n d e r a q u a n t u m o p e r a t i o n p u r e s t a t e s c o u l d b e t r a n s f o r m e d i n t o m i x e d
s t a t e s , h e n c e w e n e e d e x t e n s i o n o f t h e d e l i t y :
p (
j9
h9
jY & ) =
p
h9
j&
j9
Y ( 3 8 )
o r i n f u l l g e n e r a l i t y
p ( &
1
Y &
2
) = T r
q
&
1 = 2
1
&
2
&
1 = 2
1
( 3 9 )
f o r p o s i t i v e m a t r i c e s &
1
a n d &
2
. T h i s q u a n t i t y w a s s t u d i e d b y U h l m a n n i n a
d i e r e n t c o n t e x t [ 2 5 ] a n d h e p r o v e d a v a r i a t i o n a l f o r m u l a :
T h e o r e m 1 . 1 1
p ( &
1
Y &
2
) = i n f
n
p
T r ( &
1
q ) T r ( &
2
q
1
) : 0
q i s i n v e r t i b l e
o
F r o m T h e o r e m 1 . 1 1 t h e s y m m e t r y o f p ( &
1
Y &
2
) i s o b v i o u s a n d w e c a n e a s i l y
d e d u c e t h e m o n o t o n i c i t y o f t h e d e l i t y u n d e r s t a t e t r a n s f o r m a t i o n :
p ( i ( &
1
) Y i ( &
2
) )
2
! T r i ( &
1
) q T r i ( &
2
) q
1
4
! T r &
1
i
( q ) T r &
2
i
( q
1
) 4 Y
w h e r e i
i s t h e a d j o i n t o f i w i t h r e s p e c t t o t h e H i l b e r t - S c h m i d t i n n e r p r o d u c t ,
4 b 0 i s a r b i t r a r y a n d q i s c h o s e n t o b e a p p r o p r i a t e . I t i s w e l l - k n o w n t h a t i
i s u n i t a l a n d p o s i t i v e , h e n c e i
( q )
1
! i
( q
1
) .
T r &
1
i
( q ) T r &
2
i
( q
1
) ! T r &
1
i
( q ) T r &
2
i
( q )
1
! p ( &
1
Y &
2
)
2
X
I n t h i s w a y t h e m o n o t o n i c i t y i s c o n c l u d e d :
T h e o r e m 1 . 1 2 F o r a s t a t e t r a n s f o r m a t i o n i t h e i n e q u a l i t y
p ( i ( &
1
) Y i ( &
2
) ) ! p ( &
1
Y &
2
)
h o l d s .
A n o t h e r r e m a r k a b l e o p e r a t i o n a l f o r m u l a i s
p ( &
1
Y &
2
) = m a x f j h 2
1
j 2
2
j : i ( j 2
1
h 2
1
j ) = &
1
Y ( 4 0 )
i ( j 2
2
h 2
2
j ) = &
2
f o r s o m e s t a t e t r a n s f o r m a t i o n i g X
T h i s v a r i a t i o n a l e x p r e s s i o n r e d u c e s t h e u n d e r s t a n d i n g o f t h e d e l i t y o f a r b i -
t r a r y s t a t e s t o t h e c a s e o f p u r e s t a t e s . T h e m o n o t o n i c i t y p r o p e r t y i s i m p l i e d
b y t h i s f o r m u l a e a s i l y .
C o n v e r g e n c e i n d e l i t y i s e q u i v a l e n t w i t h c o n v e r g e n c e i n t r a c e n o r m :
p ( &
n
Y &
H
n
) 3 1 i f a n d o n l y i f T r j &
n
&
H
n
j 3 0 . T h i s p r o p e r t y o f t h e d e l i t y i s
a c o n s e q u e n c e o f t h e i n e q u a l i t i e s
1 p ( &
1
Y &
2
)
1
2
T r j &
1
&
2
j
p
1 p ( &
1
Y &
2
) X ( 4 1 )
-
8/8/2019 Hilbert Space Methods for Quantum Mechanics
25/26
H i l b e r t s p a c e m e t h o d s f o r q u a n t u m m e c h a n i c s 2 5
R e f e r e n c e s
1 . P . M . A l b e r t i a n d A . U h l m a n n , S t o c h a s t i c i t y a n d p a r t i a l o r d e r . D o u b l y
s t o c h a s t i c m a p s a n d u n i t a r y m i x i n g , V E B D e u t s c h e r V e r l a g W i s s . , B e r l i n , 1 9 8 1 .
2 . R . A l i c k i a n d M . F a n n e s , C o n t i n u i t y o f t h e q u a n t u m c o n d i t i o n a l i n f o r m a t i o n ,
J . P h y s A : M a t h . G e n .
3 4
( 2 0 0 4 ) , l 5 5 { L 5 7 .
3 . J . B l a n k , P . E x n e r a n d M . H a v l i
c e k , H i l b e r t s p a c e o p e r a t o r s i n q u a n t u m
p h y s i c s , A m e r i c a n I n s t i t u t e o f P h y s i c s , 1 9 9 4 .
4 . R . B h a t i a , M a t r i x A n a l y s i s , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 9 6 .
5 . O . B r a t t e l i a n d D . W . R o b i n s o n , O p e r a t o r A l g e b r a s a n d Q u a n t u m S t a t i s t i c a l
M e c h a n i c s I I , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k - H e i d e l b e r g - B e r l i n , 1 9 8 1
6 . J . L . D o d d a n d M . A . N i e l s e n , A s i m p l e o p e r a t i o n a l i n t e r p r e t a t i o n o f d e l i t y ,
a r X i v e - p r i n t q u a n t - p h / 0 1 1 1 0 5 3
7 . M . F a n n e s , A c o n t i n u i t y p r o p e r t y o f t h e e n t r o p y d e n s i t y f o r s p i n l a t t i c e s y s t e m s ,
C o m m u n . M a t h . P h y s .
3 1
( 1 9 7 3 ) , 2 9 1 { 2 9 4 .
8 . F . H a n s e n a n d G . K . P e d e r s e n , J e n s e n ' s i n e q u a l i t y f o r o p e r a t o r a n d L o w n e r ' s
t h e o r e m , M a t h . A n a l .
2 5 8
( 1 9 8 2 ) , 2 2 9 { 2 4 1
9 . C . W . H e l s t r o m Q u a n t u m d e t e c t i o n a n d e s t i m a t i o n t h e o r y . A c a d e m i c P r e s s ,
N e w Y o r k , 1 9 7 6 .
1 0 . F . H i a i a n d D . P e t z , T h e p r o p e r f o r m u l a f o r r e l a t i v e e n t r o p y a n d i t s a s y m p -
t o t i c s i n q u a n t u m p r o b a b i l i t y , C o m m u n . M a t h . P h y s .
1 4 3
( 1 9 9 1 ) , 9 9 { 1 1 4 .
1 1 . A . S . H o l e v o , P r o b a b i l i s t i c a n d s t a t i s t i c a l a s p e c t s o f q u a n t u m t h e o r y , N o r t h -
H o l l a n d , A m s t e r d a m , 1 9 8 2 .
1 2 . A . S . H o l e v o , S t a t i s t i c a l s t r u c t u r e o f q u a n t u m t h e o r y , S p r i n g e r , 2 0 0 1 .
1 3 . G . L i n d b l a d , C o m p l e t e l y p o s i t i v e m a p s a n d e n t r o p y i n e q u a l i t i e s , C o m m u n .
M a t h . P h y s .
4 0
( 1 9 7 5 ) , 1 4 7 { 1 5 1 .
1 4 . A . W . M a r s h a l l a n d I . O l k i n , I n e q u a l i t i e s : T h e o r y o f m a j o r i z a t i o n a n d i t s
a p p l i c a t i o n s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k , 1 9 7 9 .
1 5 . J . v o n N e u m a n n , T h e r m o d y n a m i k q u a n t u m m e c h a n i s c h e r G e s a m h e i t e n , G o t t .
N a c h .
1
( 1 9 2 7 ) , 2 7 3 - 2 9 1 .
1 6 . J . v o n N e u m a n n , M a t h e m a t i s c h e G r u n d l a g e n d e r Q u a n t e n m e c h a n i k , S p r i n g e r ,
B e r l i n , 1 9 3 2 .
1 7 . M . A . N i e l s e n a n d J . K e m p e , S e p a r a b l e s t a t e s a r e m o r e d i s o r d e r e d g l o b a l l y
t h a n l o c a l l y , P h y s . R e v . L e t t . ,
8 6
, 5 1 8 4 - 7 ( 2 0 0 1 ) .
1 8 . M . A . N i e l s e n a n d D . P e t z , A s i m p l e p r o o f o f t h e s t r o n g s u b a d d i t i v i t y , Q u a n -
t u m I n f . C o m p . ,
5
( 2 0 0 5 ) , 5 0 7 { 5 1 3 ,
top related