high-order averaging schemes with error bounds for ... · unité de recherche inria rocquencourt...

Post on 19-May-2020

9 Views

Category:

Documents

0 Downloads

Preview:

Click to see full reader

TRANSCRIPT

High-order averaging schemes with error bounds for

thermodynamical properties calculations by MD

simulations

Eric Cances, Francois Castella, Philippe Chartier, Erwan Faou, Claude Le

Bris, Frederic Legoll, Gabriel Turinici

To cite this version:

Eric Cances, Francois Castella, Philippe Chartier, Erwan Faou, Claude Le Bris, et al.. High-order averaging schemes with error bounds for thermodynamical properties calculations by MDsimulations. [Research Report] RR-4875, INRIA. 2003. <inria-00071708>

HAL Id: inria-00071708

https://hal.inria.fr/inria-00071708

Submitted on 23 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.

ISS

N 0

249-

6399

ISR

N IN

RIA

/RR

--48

75--

FR

+E

NG

ap por t de r ech er ch e

THÈME 4

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

High-order averaging schemes with error bounds forthermodynamical properties calculations by MD

simulations

Eric Cancès — François Castella — Philippe Chartier — Erwan Faou — Claude Le Bris —

Frédéric Legoll — Gabriel Turinici

N° 4875

Juillet 2003

Unité de recherche INRIA RocquencourtDomaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France)

Téléphone : +33 1 39 63 55 11 — Télécopie : +33 1 39 63 53 30

������������ ������������������������������������ �!�#"$�%���$�$��'&(*)��� ��,+-��"������.��� 0/����*���1�2��354��$�46���7"$�1���!�2��31�2)�31��"��1����!&8/:9<;

�����=)�31�>"��1*���

?�@BADCFE8GIH$CKJKL∗ MON @PGQH�RKSTAULVE8GIL�WPXKYUYZG † MO[�\ ADYUAD]�]^X_E \ GQ@BWPAUXK@ ‡ M ?�@B`aGIH N GISTb ‡ M EaYZGIb$c�Xd�X(ef@gADL

∗ MON @BhKc�hi@gAUC_d�XijTSTYUY ∗§ M^k GIl�@gAUXKYnmob�@BADH�AUCKA ∗p�qsr�t8u>vawyx{z|t*}s~��-��z��i��u1��������z�t8z�������z|���

� u����{����rBt8uB���1�it8�s~�u���uB��O������u����������2�F����u������7�o�����

 ����s�I����� � u���ug�#qsu��#�#qsu¡�I¢$vK£K¤�¥�w§¦�}sz|~|~�u��o¨�©�©iª>w§¨s«>���¬iuB�

­0®$¯B°�±-²s³�°�´�µ uaz|�K����� � }�1u8qsz|¬�qs¶D�i� � uB�o�P·iu��#��¬�z|�s¬�¸¹�i��tf}s~���u�¸¹�i�>��qsu�����t8�s}��#�-��z|���(��¸n��������z�����z|�B��~�P·iu��#��¬iuB���i�_��quaºQ����z|�»��¸^��qsu8�{}st8u���z|�B��~���z|t*}~|����z|���F��¸^~|���s¬�¶U��z�t8uata�i~�ug�1}s~���� � �{���taz����o��������uB�¼¶������z�ug��½¿¾���z��s¬6��qsuB��u�¸¹����t*}s~���uiÀOÁnu�z|ta����-·iu0��qsu��1���{·iu���¬�u��Q�1uV�#�-��u���¸���qu���z�t8u_�P·iu��#��¬�u�Á�z���q��uB���IuB�¼�*������qsu0�1�it8�s}�������z|�����~^u�ÂI�i���g½ µ u0����-·{z � uV���it8u��K}tauB��z�����~Ou1�s��ta�~�ug����qQ�-�f��qs�-ÁÃ��qsuu�ÄV�1z|u��������¸O��}s�»���#qsuBt8u�½ µ qu�����������uB�¼������z�ug������u*���s�s���P�{z|t��-��u � }��z��s¬����{t8�s~|uB�1��z���z��K��u�¬��#�-��z��i����#qsuBtaug�VÅÆ��}�#q5����·�u�~|���1z����FÇ.uB��~|u1�¼È¼À�Ánu�¬iz�·iu�u������i��ºQ�i}s� � ����q���*�s���-·{z � u8¬i}sz � u�~|z��sug�����_�#qs�{�i��u��qsua����#��t8u1��u��#����¸O��qsu�����t8�s}��#�-��z|���Fz��(��� � u��o������ug���#q_��¬�z|·�uB� � uB��z|��u � ���B�1}s�#������z|�_��qsuata�K���u�ÄV�1z|u��K��t8���s�suB�B½É�ÊKËTÌ�Í*Î ±-Ï$¯�´ ����~|uB��}s~|��� � �{���t8z����BÀ7���#�-��z|����z�����~O�P·�u��#��¬iu*�1�it8�s}�������z|���ÐÀ�qsz|¬�q�¶Z��� � u��>�P·�uB����¬�z|�s¬���#qsuBtaug��À�uB�������2ºI��}s� � ��ÀsuB��¬i� � z|����qu�����u�t

∗ ÑÓÒIÔ7Õ>ÖÆÑ7×�ØgÒÙ�Ú¼ÛÝÜ.Þ$ß�àUáÝÚ¼â-ß#ÛÝÜ�ãPÜ�äÐå�Ú¼â1àDäÐÜæà7ÑTç-ß#èPäUäDé�Ü�ä�Ø-êOÜæà7ënß�ì1Ü�âBèPÜOíTÛîß#áÝäUÜ$åsß#äUÙ�ß#Û�Ø-ÑTá àDé$ï$Ü�äDÙ�ß#ðÆàUÜ�ä�Ø-ñ¼ñ�ò1ó¼óÕ�ß#ðUâPÜæôõÛîß�ô|öTß#ÛÝÛÝé�ÜOÑTÜ�ãPÜæ÷>øgØgù-ðDß#âgÙ�ܼØ�ß#âPã»Õ>ÖÆÑÓÕ>ú$Ñ$ØgÖ¹Þ$ÔÐÖõú6ÔÐÚBÙ�û�èPÜ�âPÙ�Ú¼èPð¹à

† Ö¹Ô�Õ>ú$ÔOØPü�âPá ì1Ü�ðÆäDá àUé^ãgÜOÔ7Ü�âPâPÜ�äOý¼Ø�ÑÓß#þ�ÿPèPäÐãPÜOíTÜ�ß#èPÛÝáÝÜ�èKØ��¼ó��#ò1ø�Ô7Ü�âPâPÜ�ä$ÑTÜ�ãgÜ�÷�Ø-ù-ðUß#âPÙ�܇ ú��{ú$ï$Ö¹Þ^ØgÖ¹Þ$ÔÐÖõú6ÔÐÜ�âPâPÜ�ä§ ÒIï$ùaÔ��(ïnØgú$â-ß#Û �BäDÜ$Ü�à7Õ>Ú�ã�ÛÝÜ�ä7Þ�èPþ�é�ðÆáÝûBèPÜ�ä�ØKý¼Øgß�ì1Ü�âBègÜ^ãgè��$é�âPé�ðUß#Û{ãPÜ ��ß#èPÛÝÛÝܼØ��¼øgý�ò���ÑÓÛîß#þ�ß#ð¹à�Øgù-ðUß#âPÙ�Ü

� �����������, �����$ ��$����31����� 46�)0� 31� �n�*31�n)�3 �� ���/����������!��� �/����*�����a)��=���3���2)�3����¼���

�� ¯ ��� � ´ ����}Q��z|�i����� � }z|������ � uB��¸¹�i��tf}s~|uB� ��� ��� � ��u���~|u�·����Q�i}s��~|u0����~|��}s~ � uVt8�-�iu��s�sug�������-¶��z|����z��K}suB�����������z�� � u���z|t*}s~��-��z��i����{}st��B��z��K}suB� � uV��������uB�¼����z|��ug� � u � �{���t8z��i}u0t8��~��B��}s~|��z���uVuB���u�t8��»~|���s¬Q½��nug��¸¹�i��tf}s~�ug���Iu���t8u1����u��K� ��� ��������~�����u��o~|���1���{·iu���¬�u��Q�1u � ug��t8�-��uB�s�sug����uBt8�Q�i��uB~�~|uB�·iu��#��~|uB��ta�-�iu��s�uB� ��� uB���uBt*ºs~|uB����qu���ta� � �{���t8z��K}sug��½»�nu�����uf����s�����#qsu*uB������ug������ua��}s�»�s~|}��z�uB}s���u���u�t8�s~|uB�n�K}t��B��z��K}suB���K}szTt8���K����u��K�����i�Vu1ÄV���i�1z����i½��7���#���K}suo~�ug�O��������uB�1����z|��uB�^�����K������~|��}s~��BuB�n����}�8��~�¬i����z ��qst8u����{t8�s~|uB�¼��z��K}su�ÅU�1�itat8u�·iu�~|���1z�����Ç.u���~�u��#È1À��s�i}� � �i�s�s���Q� � uB�OuB����z|t8����uB}s��� ��� uB����u�}s��K}sz�¬i}sz � u��K�»~|u��#qs��z�� � uB�»�������t8r1����uB� � u8~|����z�tf}s~|����z|���ÐÀÓ�! � ��� ��ºs��u��z�� � ug�o���B��}s~��������>�P·�ug��}s�su����g�1z���z|��� � ���s�"��u � u>~��ft����sz�rB��u>~��a�s~�}Q��u1ÄV���i�1u>�I�i����z|ºs~|u�½# Î °g¯ Ì ³%$ � ¯¿´ �o�{���t8z��i}u0t8��~��B��}s~|��z���u�ÀO�B��~��1}s~ � u�t8�-��uB�s�suB�a�����-��z|����z��K}suB�BÀO���#q&��t���� ��� ��� � ��u�B~�uB·%�>�I��}s��~|u�����~��1}~ � u>t8�-��u���suB�BÀ�uB����z|t��-��z|��� ��� u�����uB}s�gÀi��q&���i��rBt8u»uB��¬i� � z��K}su

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� ª

8 9 �f"7��� �)��^"��1��

p�qu»����i�QuB����z�ug�n��¸��a¬�z|·�uB�0�sq{����z�����~Ó��������u�t��-�2��qsuB��t8� � �{���t8z�����~Iu �K}sz�~|z|ºs��z|}st ÅÆ��� � z���~ � z�������z|ºs}�¶��z��i��¸¹}s��1��z|����BÀP¸¹��u�u^uB�su���¬�z|uB�BÀB���#������Q�i���$�1�{u1ÄV�1z|u��K�#��À�½B½�½�È������*ºQu2�1��t8�s}s��u � �����P·�u��#��¬iuB�T��¸Q���it8u�iº��u���·P��ºs~|uB�O�-·iu��^��qsu»�sq�i��u»����i�1uo��¸Ð���uo��u��s��uB��u��K�#�-��z|·�u�}� � u���~|�Kz|�s¬ftaz��1���i���1�i�sz�����������uBt;:�«�Às¨�<D½�æ�_t8�K���o���s�s~|z|�B�-��z��i�����¸�z|�K��uB��ug���gÀ��qsz|�ot8z|�����K�������sz������{����uBt�z�������t8�I�i��u � ��¸^�Vqsz�¬iq��{}st*ºIu��

��¸7�������z|��~�ug�»ÅU�1}s����u��K��~|�V����} � z|u � ºsz|��~|��¬�z�����~I��������u�t���z|�K·i��~|·�uota�i��u���q���(«g©�©À ©i©�©�������t��#ȼÀs���*��q�-���qsu � z�t8uB���z|������¸7��qsu>�sq�i��u»���Q���1u8ŹÁ�qz|�#q�z|�

6MÀ{Á�qsuB��u

Mz��^��qsu>�{}st*ºIu�����¸��������z��1~|uB�#ÈOz�����~����

·iu�����~|����¬iu�À{t���={z|�s¬a��qsu�����t8�s}��#�-��z|������¸$��qu��P·�u��#��¬iuB�n�a�#qQ��~|~�uB�s¬�z|�s¬f������=T½p�Án��¸Æ��t8z�~|z|uB�O��¸Ótau���qs� � �n����u��1}����u��K��~|�*}Q��u � z����i� � uB�.���f����ta�~�u���qsu��q����u����Q���1uo��������� � z|�s¬

���*��qsu��1�i�{·�u��z�uB�i�2�s����º��ºsz�~|z���� � u����z����FŹÁ�qsz��#q � u��Iu�� � ��z �#��uB~ ¸$��¸7��qsu»��qsuB��t8� � �{���taz��ou����u�tfºs~�uz|��Á�qsz��#q0��qsu�����~|��}s~|����z|����z|���Iu���¸¹����t8u �?> ��ÇA@�ÀI��Çop>ÀQ���^p>ÀнB½�½#È > ���i�i��u*�2����~��at8u1��q� � �$:�«iÀ¨-<�i�0��qsu����u»qQ��� � ÀQ��� � ���i~�ug�1}s~������o�K�Q��t8z|�B��ÅÆ�_�>È��i�0��qsu�����qsu���qQ��� � ½.�æ����qu�~|������uB�����i��uiÀ{��qsu��z�t8uau�·i��~|}���z|���(��¸O��qsuft8z��1���i���1�i�sz|�f��������uBt z|�>��z�tf}s~|����u � Ź�I�i����z�ºs~|�_�1�i}s�s~|u � Á�z ��q(��º�-��qÐÀÐ��}Q�#q�i�»z��5��Ç»p>À7���np>ÀO½�½B½�����~|��}s~��-��z|���Q��È�BÐ}s� � uB�>��qsu�uB��¬i� � z|��z ���_�i����}st8����z��i�ÐÀT��qsu8��������uB�1����������¸2��qsu��������u�t ����i�QuB��~|�_����t8�s~�ug�»��qsu��q����u�����i�1u8��� � ��qsua��z|tauV�P·iu��#��¬iu*��¸n��qsu��iº��u���·P��ºs~|uf�-·iu��»��qsu��������uB�1�������5�1�i�K·iu���¬�ug�>���-Á���� � ��qu�uB���u�t*º~�u��P·�uB����¬�u���¸���qu��iº��u���·P��ºs~|u0Á�qsuB� ��qsu���z|t*}s~��-��z��i���z�t8u�¬i�Kug�n����z|� �sz����(: ª-<Z½µ qsuB�0��z�t8u>�P·�uB����¬�uB�^����u�uB����z|t��-��u � º{�V�_�¡�B��~��1}s~��-��z��i���À{���{}st8uB��z�����~I���#qsu�t8uoz|�2�suBu � u � ���

����t8�s}���u���qsu»u�·��i~�}s��z|������¸7��qsu>��������uBt,z�����qsu>�sq�i��u»����i�1ui½$p�qsu»��uB��}s~ ��z��¬*�{}st8u���z|�B��~Q���#�-��ug�¼���i���� u�·{z|����ug� � �#��t��-��z|�B��~|~��*¸¹���it ��qsu�u1�s�i�¼�^�i�su�z|�8��qsuo~��i�s¬>��z|t8u�~|z�t8z��B½%Cs}s����qu���ta�i��uiÀ���qsu���z�tf}s~|����u ���������uB�1�������>z|�O��¸I����}s�#��un��¸ �z ��u�~�uB�s¬���qн��æ�8�s�#���1��z��1uiÀ�Ánu2��qK}Q�.����un¸Æ���$¸¹���it ��qu2z � ug��~s�iº���uB�1����¸I���u��s���¼����������uB�1�������0��¸.z�� Q�sz ��u*~|u��s¬���qн��Z�oz|��qs�-ÁnuB·�uB����¸^�1�it8ta�i��ºQuB~�z|u1¸^��� � �1�itat8�i�s~�����ºQ��uB��·iu ���q�-�gÀÐz|�(t����{�_��z ��}�-��z��i��BÀÐ������z���¸¹�{z|�s¬���uB��}s~����>����ua��º��#��z|�su � ¸¹���»��qsua��z�t8u��P·�uB����¬�uB�BÀ � uB���sz���ua��qsu�����·�uB���Vqz�¬iq0��������uB�¼�������V���B�1}s�#�����V��� � ��qsu����������u�t8uB� � ��}Q��~|��~��i�s¬���z|t*}~|����z|������z|taui½�æ�>��qsz|��������z��1~|u�ÀgÁnu Q�����Ð�s���-·Kz � uO���>���s�����uB�i��~����su�Á t8u1��qs� � ¸¹���7�B��~��1}s~��-��z��s¬���qsu.��z�t8u^�P·iu��#��¬�ui½

�Z�V��~�~|�-Á��*�i�su�u�z���qsuB�8��� ��z|¬��sz� Q�B���K��~|� ���Iu�u � }� ��qsu��1���{·iu���¬�u��Q�1u�¸¹�i�8�6¬iz�·iu�� �i���1}���i�1� ���a����i�#qsz|u�·�u�� ºIu1����u������B�1}s�#����� �-�0� ¬iz�·iu����1�it8�s}�������z|�����~��1�K���g½ �æ� � �s� z���z|���ÐÀ�Á2uF�1�i�K����z�ºs}s��u������qsuF��ºQ�-·iu�����t8t8��� ºQuB~�z|u1¸���qs����}s¬iq ���D�FE,�"�7��"��u������i�8uB����z|t8����z|��� Á�qsz��#q��s���-·Kz � ug����� }s�s�Iu��ºI��}� � ��¸T��qu�u������i�.ºQu���ÁnuBu��a��qu����1��}��~u��Q��uBt*ºs~|u��P·�uB����¬�u���� � ��qsu��{}st8u���z|�B��~|~��a�1�ita�}���u � ��z�t8u�P·iu��#��¬iu�À-¸¹}s�Q�¼��z|������¸Ó��qsuo�{}st8uB��z�����~�������tau���uB���^��¸Ó��qu»�B��~��1}s~��-��z��i�ÐÀizD½ u�½$��qsu8Å Q�sz ��ugÈ^z��K��u�¬��#�-��z��i���z�t8u8����u��F��� � ��qsu�Å �sz���uPÈ���������uB�¼��������~|u��¬���q7½»p�qsz��ouB����z|t8����z|���F��~|���Vz|�{·���~|·�ug����qsu*�i� � uB����¸O��qsu�{}st8uB��z�����~����#qsuBtau�}��u � ��� �1�it8�s}���u���qsu����#�-��ug�¼���i���5�i�8ÁnuB~�~��i�a����t8u�����#��t8u���u��#�a��uB~|����u � �����qsu8��z|t8uV�P·�uB����¬�z|�s¬Vt8u1��qs� � ½ µ uV��qs�-Á z�� �������z|��}s~|���>��q���>��qsu�uB������� � }su8������qsu� �z ��u��sug������¸��qsu���z|t*}s~��-��z��i� ��z|tau

T� uB�B�P�������

1/Tz�¸���qsu0��z|tau��P·�uB����¬�u8z|�a�1�it8�s}���u � º{� � z|���1��u1��zHGBz��s¬_��qsu

������� � ��� � ¸¹����t*}~|� 1

T

∫ T

0

A(t) dtÅA(t)� u��s����ug�.��qu�·-��~|}su���¸Ó��qsu��iº��u���·P��ºs~|u��-�^��z�t8u

tÈ�Á�qsu���uB�i�

��qsz��*�1�it8�Q�i�su��K����¸���qsu0uB������� � ug�1��uB����uB�*���1/T k Á�qsu���u k z��*���#qs�K��uB�6�I�i��z���z|·�u�z|�i��u�¬iu���z�¸���qsu

��z�t8u»�P·�u��#��¬iu�z|�^u�·-��~|}�-��u � Á�z���qV��qsu�¸¹����t*}s~�� ∫ T

0

A(t) fk,T (t) dtÁ�qsuB��u

fk,T (t)z��^����t8u ~���uB��z|�s¬

¸¹}��¼��z��i��Á�q�i��u»u����s��ug����z|���0z����s���-·{z � u � z|��x{uB��½Q¨�½

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

v ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

µ u*�i�s~�� � ug��~7qu���u�Á�z ��q���quf��Ç @���qu���ta� � �{���t8z|�B��~7uB���u�t*º~�ui½�p�qsu�u �K}����z|�������¸.t8����z��i�Á�qz|�#q8�1�i����uB���Q�i� � ���>��qsz��.uB���uBt*ºs~|u�����un��qsu���u�Á����i�8u �K}�-��z��i���Åõ��qsu����sq{����z�����~�� � �K�Q��t8z|�B����¸I��qsu��������u�tVȼÀÁ�qsz|�#q_�B����ºIu���ug���i���������! ���t8z|~ �����sz���� � �{���t8z|�B��~Ð���{����uBt�½� ��-Á2u�·iu��gÀs��z|t8z�~�������ug��}s~��������ua~|zH=iu�~|������qs��~ � Á�z ��qsz�� ����qsuB��u����u�tfºs~�ug��ÀÓ����-·{z � u � ��q������qsu8}s� � u���~��{z|�s¬ � �{���t8z�����~.��������u�tz��" o��t8z|~ �����sz���� BO��q���fz�����qu����i��u0Á�qsu�� ���i���1¶Z����z|��������a��qu���ta�K���#�-�#�1: v�<�����u0}��u � ���(�QuB��¸¹�i��t����t8�s}��#�-��z��i��*z|�5��qsu���Çop,uB���u�t*º~�ui½ µ u�����u��1}s����uB�K��~|�6Á2��� ={z��¬���� ��}�#q u��K��u����z|��� ��¸���}s����s�s���i�i�#qн¾�� � u�������t8u�·�uB���a�������i�s¬�q{�K�I����qsuB��uB�n�1�i~�~|uB�1��u � z|�V����QuB� � z��V¥sÀiz|���~�} � z��s¬*z��V�Q������z��1}s~����.��q�-�

��qsu# ���t8z�~����i�sz|������������u�t�z|��z|�K��uB¬��#��ºs~|u�À{Á2u�����u»��ºs~�u>������z|¬��i���i}��~��8uB������ºs~|z|��q0��qsu�u���������uB����z|t��-��ut8uB�i��z��i�su � ��ºQ�-·iu���� � ��u1�*z|�¿x{ug��½_¨�½�p�qsu0������qsuB��z��K����z�������uV��� � t8����qsuBt��-��z�����~�~|� � u�t���� � z��s¬����{��¸I��¸Q��qsz��.uB����z|t��-��u��B���aºQu���uB� � z|���>�1��t8����sz|���f������z|��~�u :Ý¥-<Z½ µ u��s���-·{z � u2z|��x�uB���B½�ªs½|«2��� � ªs½Ý¨�{}st8uB��z�����~Ðu1�s��t8�s~|uB������z��K��u�¬��#��º~�u���������u�t�����qQ�-�o��qs�-Á ��q������}s�ouB����z|t��-��u�z���z|� � uBu � ��q�����н�$�¸����}s�#��u�ÀP·�uB���o¸¹u�Á¿��¸s��qsu2��������u�t���}��u � z|�f�#qsuBt8z|�������>���$�sq{�{��z����$����u^z|�i��u�¬i����ºs~�ui½ C������}s�����uB~��iÀguB·�uB�z�¸TÁnu�����u2�s���O��º~�u2���>�s���-·�u2z��O��z|¬��i���i}��~|��ÀP�i}s��uB����z|t8����u���~����»��u�uBt8�$���>qs��~ � ����}su�z��at8����u2��uB��~�z�����z����z���}����z|����BÀÓ���»z ��z��>��qs�-Á��Fz�� x{uB��½*ªs½ ªsÀÓÁ�qsuB��ua�1�i�K·{z|��1z|�s¬���ug��}s~����»�i�(�0��������u�t ��¸�%�©0�������z��1~|uB�z|�¿ªi� z��K��u��#���¼��z��¬_��q���i}s¬�q �_����}s�Q���-��u � �Ðu������ � ¶æ¦��i�suB�*�Q����u��K��z|��~�����u��s���-·Kz � u � ½ �7�i����~��iÀOÁnuz|�{·�ug����z�¬K�-��uaz|� x{uB��½7ªs½ v���qsuVu��s��t8�s~|ua��¸��_¨��,�������z|��~�u�z|�5� � ��}sº~�u�Á2u�~|~O�I����uB�K��z|u�~DÀ7Á�qsz��#q z|������-�8ta� � uB~Ttaz|t8z|��={z|�s¬f�f~�����¬�u��2��������uBtÃÁ�q�i��u��I����uB�K��z���~Tu��suB��¬i����}s��¸Æ����u��s��uB��u��K�#�n��u�·iu��#��~ºQ����z�����������ug���I��� � z��¬0����t8u�����������ºs~|uV���#�-��ug��½Vp��#�����z ��z��i��»ºQu���ÁnuBu��6��quB��uV���#�-��ug������u8�Q�K����z�º~�u�ºs}s�*����u�#����u�u�·iu��K���.z|�V�1�it8�����z|�����aÁ�z���q���qsu�¸Æ������uB�^�#q�����i�¼��uB��z�����z��^��z�t8u�������~�u���¸T��qsu���������u�t�½��Z�^z��^��qs�-Á���i�*��qsz��.��z|t8�s~�u�u��s��t8�s~|un��q�-�.z�¸Q��qsu�u��u���¬�����¸Q��qsu��Q������z��1~|unz��I��}���^��ºI�-·�un��qsu���� �s� ~�u��I��z|�i�.uB�su���¬����¸^��qsuV�I����uB�K��z���~DÀÓ��qsu0������u8��¸��1���{·iu���¬�u��Q�1u*��¸n��qsu8��z|t8uV�P·�uB����¬�uB�»����~|��}s~��-��u � º{�F�F�!z�����~|�-Ánu �� �-Á������

1/√TÀ � }suo���f��qu �K}�i��z�¶Z�������#q�i����z|�����#�����z ��z��i�V�s�����1uB���nºQu���ÁnuBu�����qsu»��Án�fº����z��Q�^��¸Ð��qsu

� ��}sºs~|u�Á2u�~|~Ó�Q����u��K��z|��~U½O�Z��z�����~|������qs�-Á�����qQ�-�BÀz ¸���qu�u��suB��¬i�V��¸$��qsu��Q������z��1~|u»z�����t���~|~�uB������t*}Q�#q~�����¬�uB�Ð��q���*��qsu���� �s� ~|u^�I��z|�K�.u��suB��¬i��Àg��qsu2��z�t8u��P·�u��#��¬iuB�Ð�����{·�uB��¬iu�Àgºs}��.�s�������-Á2��� � ��qsu2u����u�tfºs~�u�P·iu��#��¬iu�½� ��-ÁnuB·�u��gÀ�z�¸7���u�}��uB�2��uB·�u��#��~z��sz���z���~T�1�i� � z���z|����2��� � �1��t8�s}s��uo����z|t8uo�P·�uB����¬�u2¸¹���2uB�i�#q��¸7��qsu�t�Àsz���z|����qs�-Á��0��q������qsu�t8ug����·P��~�}u»��¸���qsuB��u»��z|t8u��P·�u��#��¬iuB�^z|���a¬i�K� � ���s����P��z|t8����z|���V��¸��qsu�u��Q��uBt*ºs~|u��P·�u��#��¬iu�½

& 9<���1�%�7�2"Ð"������ ���� :�����7)�3#"

�7u1��}Q�o�������z � u��M�������z|��~�ug��z|�Fª��f½ @n���#q��������z|��~�u

iz|� � uB���1��z|ºQu � º{��z����o�Q�K��z���z|���('

i ∈ 3 ÀQz����

t8�itauB�K��}st*)i ∈

3 ��� � z�����t������ mi½��Ðu1�

H(',))ºQu2��qu� ���t8z|~ �����sz����f��¸Q��qsu���������u�t�À � u� �su �

�i� 3M × 3M ºK�

H(',)) =

M∑

i=1

) 2i

2mi+ V (

'1, . . . ,

'M ),

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� ¥

Á�qu���uVz|����qsuVz|�K��uB���i�¼��z|��� �I����u��K��z���~DÀ$��� � ' ��� � ) ����u��s���#�-��z|���Q�>¸¹���

('

1, . . . ,'

M )��� � ¸¹���

()

1, . . . ,)

M )��uB���Qug�¼��z�·iu�~|��½�p�qsu# ���taz|~������z|��� � �{���t8z|�B��~Ð���{����uBt'�������{��z|����u � ���

Hz���¬�z|·�uB��º{�

d'

dt=

∂H

∂) ('(t),

)(t)),

d)

dt= −∂H

∂' ('(t),

)(t)).

Å�«gÈ

µ u_��}�s�Q�K��u���qQ�-�8��qsu � �K�Q��t8z|�B��~����{����uBt�Å�«PÈaq���3Mz|�{·-����z|���i�a¸¹}s��1��z|����

Ij(',))Àj =

1, . . . , 3M½7�Ðu��Ð}�Ð��uB�B��~|~P��q���

Ij(',))z��7���>z|�{·P����z����K�T¸¹}s��1��z|����z�¸

Ij('(t),

)(t))ÀPÁ�qsu���u

('(t),

)(t))z��2���i~�}���z��i�V��¸2Å�«gÈ1À{z|�2�1�i����#���K�nÁ�z���q���ug���IuB�1�^������z|t8u�½�$�¸�����}s�#��u�À

H(',))z|�n���suo��¸Ð��qsuB��u�z|�{·-����z ¶

���K���BÀs��z|��1u»��qsu�u��suB��¬i��z|���s��ug��uB��·iu � ºK�V��qsu � �{���t8z|�B��½ µ u � u��s����u�º{�

S(',)) =

{

( � ,Ë) ∈ 3M × 3M ��}�#q0��q�-� ∀j ∈ [1, 3M ], Ij( � ,

Ë) = Ij(

',))} ÅU¨�È

��qsu�~|u�·�uB~Ð��u�����¸$��qsu�z|�{·P����z����K�2¸¹}s��1��z|���� {Ij}1≤j≤3M

�1�i�i�#��z|�sz|�s¬*��qsu��sq�i��u��������u>�Q�iz��K�(',))½

�7u1�('

0,)

0)ºQu6��� z|�sz ��z|��~o����� � z���z|���7À���� � ~|u1�

A(',))ºIuF��� �iº��uB��·-��ºs~�u�Á�q�i��u_�P·�u��#��¬iu

z���Á2u�~|~�¶ � u� �su � z|� ��qu���Ç @ u��Q��uBt*ºs~|u�½����*ÁnuV��}s�s�I�i��u���q�-����qsu � �{���t8z|�B��~n��������u�t�q���3Mz|�{·-����z|���i�#��À���qsu»���1��}��~s���#�-��ug�¼�������f����������z|�s¬�¸¹����tÃ��qsu�z|�sz���z���~I�Q�iz��K�

('

0,)

0)��u�t���z|��O¸¹���n��~�~Q��z|t8uB�

�i�0��qsu�~|u�·�uB~Ð��u��S('

0,)

0)½^p�q{}��À{��qsu���u�~|u�·-���K��u����u�tfºs~|u>�P·iu��#��¬iu���¸���qsu��iº��u���·P��ºs~|u

A��uB� � �

〈A〉 =

S('

0,)

0)

A(',)) dµ(

',))

S('

0,)

0)

dµ(',))

ÅƪiÈ

Á�qu���udµ(

',))z��2��qu�z��{·-����z|���K�2t8uB�i��}��u>���

S('

0,)

0)½

¾�� � u��O����t8unqK�{�I����qsuB��uB���1�i~�~|uB�1��u � z|�f����QuB� � z��a¥�À-�i�su2�B���f�s���-·iuA:Ý¥{À %-<���qsu2����¶æ����~�~|u � u���¬�� � z����qsu��i��uBt�À{��q����z|�

limT→∞

1

T

∫ T

0

A('(t),

)(t)) dt = 〈A〉, Źv{È

Á�qu���u('(t),

)(t))z|�n��qu���������uB�¼�������f��¸Ð��qu>��������u�t Å�«PÈ^����������z��¬�¸¹����t ��quoz|�sz���z���~T�Q�iz��K�

('

0,)

0)½

�o����������s���P��z|t��-��z|���V���8��qu��P·�u��#��¬iu*ÅƪKȼÀsz���z����8���#��� � ��� � ���s����K���#qV���8}��u>��qsu � z�������u���u���}st

〈A〉Rienum(δt, T ) =

1

N

N−1∑

j=0

A( '

j ,)

j

)

,ÅU¥�È

Á�qu���u('

j ,)

j)N−1j=0

z�����qsua�K}tauB��z�����~Ð��������uB�¼�������0¬iz�·iu��_º{�����_z|�K��u�¬i������z|���_���#qsu�t8u���¸.��z|t8ua����uB�δt����s~�z|u � �i�F@ �{��½�Å�«gȼÀT��� � Á�qsu���u

T = N δt½� ��-Á2u�·iu��gÀ������qsuf�����{·�uB��¬iu����uoz|� ÅÆvKÈ�������}s�#�$: %�<

�i�s~|�0�-�����QuBu �1/TÀKÁ2u������s�s����u��{�IuB�1���f¸Æ������u��������{·�uB��¬iu����u��#�-��u»��¸�ÅD¥�È^���-Á���� � 〈A〉 ½

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

% ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

�æ���i� � uB�T����z|t8�s���-·�u$��qsz��Ð�i���{t8��������z��.�1�i�K·iu���¬�uB��1u$������uiÀBÁ2uO��}¬�¬�ug���Ó������uB�s~����1u���qsuO}s�z ¸¹�i��t8~|�i¶Á2u�z|¬�qK��u � ��z|tau��P·iu��#��¬iu 1

T

∫ T

0

A('(t),

)(t)) dt

º{��� ~���uB��u � ��z�t8u��P·�uB����¬�uo��¸7��qsu>¸¹����t

∫ T

0

A('(t),

)(t)) fT (t) dt,

Å %iÈ

Á�qu���ufT�i�¼�#�7����� ~���uB��z|�s¬�¸¹}��¼��z��i����¸���qsun��z�¬i���~

t 7→ A('(t),

)(t))½%Cs�i�7z|����#�����u�À � uB�s����z��s¬�ºK�

I1(t1) =2

T

∫ t1+T/2

t1

A('(t),

)(t)) dt

��qsu���z�t8u��P·�uB����¬�u�z|�V��qsu>z��K��uB��·-��~[t1, t1 + T/2]

ÅÆÁ�z ��qt1 ∈

[0, T/2]ȼÀs�i�su*�����F�1�i���z � uB����qsua�P·�uB����¬�u»��¸

I1(t1)�-·iu��

t1ÀQzD½ u�½ 〈A〉(2)(T ) =

2

T

∫ T/2

0

I1(t1)dt1½

�7u1��}� � u �su>��qsu>¸¹}s��1��z|���α[0,T ]

ºK�

α[0,T ] : t ∈ 7→ 1/T z�¸ t ∈ [0, T ], 0����qsuB��Á�z���u

.

p�qu�� 〈A〉(2)(T )����� ºQu���uB���i���az��K���¿Å %KȼÀnÁ�z ��q

fT ≡ f2,TÀOÁ�qsuB��u

f2,Tz��*��qsu��1�i�K·i��~|}���z|���5��¸

α[0,T/2]Á�z���q z�����u�~�¸�½V������u8¬�u��u��#��~|~��iÀ � u��s����z|�s¬�º{�

fk,T��qsu

k¶D��q5�1�i�K·i��~|}���z|���(��¸n��qsu8¸¹}s�Q�¼��z|���

α[0,T/k]Á�z���qFz �#��uB~ ¸�ÀÓÁ2u � u� �su*��qsuf��z|t8uf�P·�uB����¬�u 〈A〉(k)(T ) =

∫ T

0

A('(t),

)(t)) fk,T (t) dt

½ µ u�B�����s���-·�u�: ¥�<ZÀs}s� � u�����qsu�����t8u»�i����}st8����z��i���������ºQ�-·iu�ÀK��q���

〈A〉(k)(T ) = 〈A〉 +O

(

1

T k

)

.ÅD¤�È

p�q{}�BÀ.¸¹�i�8���{� ²�±P®��Æ°�±-²�± Ë¡�Q�K��z���z|·�u�z|�i��u�¬iu��kÀ^z��az��a�Q�K����z|ºs~�u���� � ug��z|¬�� ���¿�P·iu��#��¬�z|�s¬_���#qsu�t8u

Á�qz|�#q��1�i�K·iu���¬�ug�O���8��qsu�uB���uBt*ºs~|u��P·�uB����¬�u��������Iu�u �1/T k ½p�qsu � z|���1��u1��u»·iu��#��z|������¸ 〈A〉(k)(T )

z|�

〈A〉(k)num(δt, T ) =

1

Nk

k(N−1)∑

j=0

C(k,N − 1, j)A( '

j ,)

j

)

,ÅÆ£iÈ

Á�qu���u('

j ,)

j)kNj=0

z��.��qu��{}st8u���z|�B��~���������uB�¼��������¬�z|·�uB�fº{�8���8z|�i��u�¬i������z|���8���#qsuBt8u���¸T��z|t8u�����u��δtÀ

T = kN δt��� � Á�qsu���u

C(k,N − 1, j)z��n��qsu>�{}st*ºIu�����¸

k¶D��}s�~�ug����¸7�I�i��z ��z�·iuoz|�K��uB¬�u��#�

j1, . . . , jkÁ�q�i��u_��}st�z��� s��u � ��� ºIuj��� � Á�qz|�#q ��~�~oºQuB~��i�s¬5���

[0, N − 1]½¡p�qsuB��u_�{}stfºQuB����������ºIu

����t8�s}���u � º{����ug�1}s�#��z��i�ÐÀsz|�F��}Q�#q_��Á2�P�0��q������qsu�z|�o����t8�s}��#�-��z|���Fz|�o��~|ta�K����¸¹��uBu�z��(�1��t8�����z���������a��qsu�����t8�s}��#�-��z|������¸$��qu>���#�-��uB�1���i���

('

j ,)

j)kNj=0

½p�qsu�¸¹����t*}s~���ÅÆ£iÈ�z|���8¬iu��suB����~�z5GB����z|������¸�ÅU¥iÈ���z|��1u 〈A〉(k=1)

num (δt, T ) = 〈A〉Rienum(δt, T )

½np��8��qsuºIuB���8��¸���}�3={�s�-Á�~|u � ¬iu�À$��qu����#qsu�t8u6ÅÆ£iÈ � �{uB�f�s���a��u�u�t ���(ºIu�}Q��u � z�� ����~|uB��}s~����f�o�{���t8z������z|t*}s~��-��z��i���ÀÓ�i���-�>~�ug�����»����ºIu8��uB�Q�i����u � ���6z��(��qsu8~|z ��u��#�-��}s��ui½ $�¸n����}s�#��u�ÀÐ���{��z|��¸¹����t��-��z��i�F�����}s¬i¬�uB����z|���8¸¹����t ��qsu»��ug� � uB�BÀK�������z��1}~|����~|�f�i�V��qsz|�2�I��z|�K�2�i�n�i�0t8����u�¬iu��suB����~z�����}suB�BÀ{Á�z�~|~T��ug�1uBz�·iu�i}s��ºIuB�����-����u��K��z|���7½

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� ¤

�æ�_� �s� z���z|���ÐÀsz�¸.�����{t8�s~|uB�¼��z|�����#qsuBtau���¸$�i� � u��r0z|��}Q��u � ���V�1�ita�}���u>��qsu>���#�-��ug�¼���i���(Ź��uB����~�~

��q�-�gÀ�¸¹���fz����������1uiÀ$��qsu�·�uB~����1z����FÇ.uB��~|u1�8���#qu�t8u0z��*���{ta�~�ug�¼��z��0��� � ��¸��i� � u��r0 = 2

È1À.Ánu����������-·iu3:Ý¥�<Ð��qsu>¸¹��~|~��-Á�z|�s¬au������i��uB����z|t8����u >

| 〈A〉(k)num(δt, T ) − 〈A〉 | ≤ C

(

1

T k+ δtr0

) Å��iÈ

¸¹�i�����it8u>������������K�CÁ�qsz��#q � �Kug���s��� � u��Iu�� � ���

T���δt½

µ uV}s� � u���~�z|�sua��q������qu��Q�i~��{�s�itaz���~ � uB���P�F��¸2��qsu�uB�������>Á�z���q ��ug���IuB�1��������qsu8��������~O��z|tau���¸��z|t*}s~��-��z��i�

Tz���t�� � u��I�i����z|ºs~|u>ºK�0��qsu�¸Æ���¼����q�-����qsu�·-��~|}sug�

A( '

j ,)

j

) ����u��1�i����u�~��-��u � z|����z|t8u�Àz|�6��qsuV��u��Q��ua��qQ�-����qu��(����u8�iº�����z��su � º{�F��qsuV��z�tf}s~��-��z|���6��¸����u8��z|�s¬�~|ua���#�-��uB�1���i���i½ µ qu�� ���su}Q��ug�.�������K��u��2����~|�ot8u���qs� � Ài��qsu�·-��~�}sug�

A( '

j ,)

j

) ����u2�s���^��������uB~|����u � ���{��t8����u�Ài��� � ��qu�u������i��i�s~|� � ug���P���O�-�^��qsuo}s�sz|·�u��#����~��#�-��u

1/√TÅÆ��u�u���~|���>��qu�u1�s��ta�~�u���¸I��qsu � ��}sºs~|u�Á2u�~|~sz|��x{uB��½$ª½ v{ȼ½

p�qsuo�s���K��¸I��¸^Å��KȼÀi����¬iu1��qsu��OÁ�z���q � u1�#��z|~|�^���8��qu ~���uB�^}��u � z|�8¸¹����t*}~|�VÅU£iÈ1Àit��P�aºQu���uB� � z��V�����t8����sz��i�a������z|��~�u$:Ý¥-<Z½O�n}s����u��K�Ou�ÂI�i���#�.��¸Ó��uB��uB���#�#qf����u � z���uB�1��u � ���-Á2��� � � � uB��z�¬i�sz��¬»����qsuB� ~���uB�����q�-��t8z|¬�qK��¸¹}s����qsuB��z�t8�s���-·�uo��qu�u1ÄV�1z|u�����V��¸$��}s�����s�s���i�i�#qн

� � )��������1�n�*3 ���V�*� 4�3����

µ u��s�-Á ��}s���0�����{}st8u���z|�B��~Tu1�s��t8�s~|uB�2��q�-����qs�-Á >� ��qsu_��q�����s�uB���*��¸���qu�uB����z|t8����u5Å��KÈ*¸¹���8z��K��u�¬��#��º~�u ���taz|~������z|��� ��������u�t��8������z���¸¹�{z|�s¬�ÅÆ�-�~�ug���������itau>��¸�È2��qu�������}st8����z��i��2}s� � uB��Á�qsz��#q0��qsu�uB����z|t��-��u�������ºIu���z|¬��i}s���i}��~��8�s���-·�u � ½

� ��q������qsu�ug����z�t�����uVÅ��KÈ2��~����8qs�i~ � �2¸¹�i���s���s¶Dz|�K��u�¬i����ºs~|u»��������u�t�����¸$�s���i�¼��z|�B��~Óz|�i��u���uB���B½µ u� Q�����o�s��uB��u��K����uB��}s~����oz��_��qsu8���i��u���¸^�0����~|~�ug�¼��z|������¸Oz�� � u��Iu�� � u��K�»qQ����ta�i�sz����i���1z|~�~��-�����#��ÅÆ��u�ux�uB��½�ªs½|«gÈ1À���qu���������qsu��>u��~�uB���s����ºs~|u�t ÅÆ��u�ufx{ug��½�ªs½Ý¨�È1½2����q���������u�t�������u�z|�K��u�¬i����ºs~|u�À��� � ����u~|z5=�u�~|�����f¸Æ��~�~ÓÁ�z���qz�����qu�qK�{�I����qsuB��uB����¸���}����qsuB����u1��z�����~T��ug��}s~��B½.�æ��x{ug��½Oªs½ ªsÀ�Á2u�����} � �0�8��������u�t��¸�%�©(�������z|��~�ug�a��}sº���ug�¼��u � ���(��qsu��ÐuB�s���� � ¶æ¦i���sug�*�I����u��K��z���~D½ C$z|���~|~��iÀOz|� x{ug��½ ªs½ vÀ^Á2u�����} � ����������z|��~�u���}sºst8z�����u � ���_� � �i}sºs~|u�ÁnuB~�~.�I����u��K��z���~Oz|� ¨��f½7p�qsz��>���-�K¶Zt8� � u�~.z��>��uB�s��ug��uB�K���-��z�·iuf��¸t����K����������uBt8������} � z|u � z|�_�#qsu�t8z������������ � �sq{����z|�B��Àsz|����qu*��uB���u>��q������qsu*�Q����u��K��z|��~7q�i����uB·�uB����~ºQ����z���>z|� Á�qsz��#q(��qsuV���{����uBt��B���5���#�P��¸¹������~|���¬���z�t8ui½0p�qsu�u1���s~|���#�-��z��i�(��¸n��qsu�Á�qs�i~�u��sqQ����u����i�1u��suBu � u � ���*�i���1}������u�~|�f����t8�s}���u���qu���ta� � �{���t8z|������i�QuB����z�ug�.z|�^z��8��qsuB��u��B����uB�.�������z|��}s~�����~��� z ÄV�1}~ �g½

C���O��qsuo����=iu���¸7����t8�s~|u1��uB�suB���BÀi��� � ���f��qs�-Á¿��q���n�i}s�n���s�s���i���#qaz��^z|���u����z ��z�·iu�������qsuo�K}tauB��¶z�����~.���{t8�s~|uB�¼��z|�az|�K��u�¬i������z|���6���#qsuBt8u�ÀÓÁ2uaqQ�P·�u*}Q��u � ��qs��uBu � z ÂTu���u��K����~|¬��i��z���qt8�3:î¤�<O��¸ � z�ÂIuB��uB�i��i� � u��#�^���8z��K��uB¬��#�-��uo��qsu � �{���t8z�����~Ð��������u�t Å�«PÈ >

� ��qsuf���#��� � ��� � ·iu�~|�{��z ���0Ç.u���~�u��o��~|¬��i��z���qst�À�Á�qsz��#q�z���À�i����uB����~�~|u � ��ºQ�-·iu�Às���Kt8�s~|uB�1��z������ � ��¸��� � u��*¨�B�Á2u � u������u�º{�

φV Vδt

������uB�6��¸n��qsuV��~|¬��i��z���qt ��¸2��z|tau�����u��δt

>('

n+1,)

n+1) =φV V

δt ('

n,)

n)B

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

£ ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

� �1�ita�I�i��z���z|����2��¸���qsu�·iu�~|���1z�����Ç.u���~�u�����~�¬i����z ��qst Á�z ��q�z �#��uB~ ¸����f��q������qsu>�i� � uB�n��¸7��qsu���~|¬���¶��z���qt'z|��1��uB�i��ug�^����v B����t8u�~|��À

('

n+1,)

n+1) = φ(4)δt (

'n,)

n) = φV Vb1δt ◦ φV V

b0δt ◦ φV Vb1δt(

'n,)

n)

Á�z ��qb1 = 1/(2− 21/3)

��� �b0 = 1 − 2b1

½� �1�ita�I�i��z���z|����2��¸���qsu�·iu�~|���1z�����Ç.u���~�u�����~�¬i����z ��qst Á�z ��q�z �#��uB~ ¸����f��q������qsu>�i� � uB�n��¸7��qsu���~|¬���¶��z���qt'z|��1��uB�i��ug�^��� %�B����t8u�~|��À

('

n+1,)

n+1) = φ(6)δt (

'n,)

n) = φV Vc3δt ◦ φV V

c2δt ◦ φV Vc1δt ◦ φV V

c0δt ◦ φV Vc1δtφ

V Vc2δt ◦ φV V

c3δt('

n,)

n)

Á�z ��qc1 = −1.17767998417887

Àc2 = 0.235573213359357

Àc3 = 0.784513610477560

��� �c0 = 1 − 2(c1 + c2 + c3)

½�æ�6��~|~���qsu� ¬�}��ug��ºIu�~|�-Á�ÀÓÁnua�s~|���>u�z���qsuB����qsu8�K}tauB��z�����~7��z�t8u8�P·�uB����¬�u 〈A〉(k)

num(δt, T )��¸n���

�iº��u���·P��ºs~|uA���f��qsu�u������i� | 〈A〉(k)

num(δt, T ) − 〈A〉 | �i�f�F¸¹}s��1��z|��� ��¸ T ½ �n�����u �K}suB�K��~|��À.��qsu����t8�s}��#�-��z��i���~Ð���i����z��2��qu�����tau»¸¹�i����~|~Ó�Q�iz��K����·�u�����z�����~�~|�V��~|z|¬��su � ½

����� ���������� �������������������������! "�#�$�����% &�'�(

�æ����qz|����uB�1��z|���ÐÀ�Á2u��1���Q��z � u����8���{����uBt,��¸ ·�u>�������z|��~�ug�nz|� «B� Á�qs�K��u � �{���taz�����z�� � uB���1��z|ºQu � º{���qsu# ���t8z�~����i�sz|���

H =

5∑

i=1

p2i

2+ ω2

i

q2i2,

Á�z���q���qsu>¸¹��~|~��-Á�z|�s¬a�s}s~�������z|���� >

ω1 = 1.0, ω2 = 8.01256, ω3 = 12.25245, ω4 = 17.234, ω5 = 20.98765.

�7u1�»}�o¸¹���»z����������1ua����} � ����qsua�P·iu��#��¬iu���¸A = p2

4

½�p�qsuau1�s�i�¼�o·-��~�}suf��¸O��qsuau����u�tfºs~�ua�P·�uB����¬�u�B����ºQu��iº�����z��u � ºK�������~��K��z�����~Ð����~|��}s~|����z|��� > 〈A〉 = 0.5

½�7u1��}��ºs��z|u*)�0�#quB��=�Á�qsu���qsuB����qsu�q{�{�Q����qsug��ug�2�su�u � u � ���8�s���-·�u»��}s��ug����z�t��-��uB������u>������z�� Qu � ½

p�qufz|�K��u�¬i������z|���_��~�¬i����z ��qst z|�»���{t8�s~|uB�1��z���½�p�qsu8�����~��K��z|��z ������� � z|�i��u�¬i����ºsz�~|z������i����}st8����z|���Q���i���qsu ���t8z|~ �����sz����V¸¹}s��¼��z��i�6ÅU��uBuo���s�QuB� � z���¥�½|«gÈ^����uo���-��z|� u � ½ µ u»����u»��ºs~|u��u�z���qsuB�n���f����-·iu��s������ � z|���s���-·�uo��qsu � z��i�sq���K��z��su��i����}st8����z|��� ÅÆ��u�u*x�uB��½O¥s½ ¨iȼ½µ u�}��u���qsu�¸¹����t*}s~���ÅÆ£KÈ$Á�z ��q � z ÂTu���u��K�^·-��~�}sug�.��¸

kÅk = 1

����vKÈ1À�¸¹���n�>¬�z|·�u��δtÅδt = 0.025

ȼÀ��� � Á�z���qf��qu2�i� � u���¶ %���~�¬i����z ��qst�½$�n~|uB����~|�VÅÆ��u�u C�z|¬½2«gÈ1À-z��Q�1��uB����z|�s¬

k¬iz�·iuB���oºQu�����uB�.�1���{·iu���¬�u��Q�1u�½

���,+ -���/.021���2�31����'45����

µ u��su��K����}s�������8��qsu���z�tf}s~��-��z|������¸$��qsu �>uB�s~|u����s����ºs~|u�t�½ µ u��1���Q��z � u��2��qsu# ���taz|~������z|���

H =

) 2

2− 1

| ' | ,

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� �

k � vk � ¨k � «

| 〈p24〉(k)

num − 〈p24〉 |

T

¨i¥¨�©«g¥«B©¥

©s½|«©½ ©«©s½ ©�©«©s½ ©�©i©s««�u�¶Z©K¥«�u�¶Z© %«�u�¶Z©{¤«�u�¶Z©i£«�u�¶Z© �

C$z|¬�}s��u*« >����������� ����������〈p2

4〉(k)num(δt, T ) � � 〈p2

4〉����������������� � �����! ��"#��� k $ �!� ��% &�'�(")*���+�,�����!�!�� � �!������.- % �(��/0���1�!�2��")���!�!�3� � ����"�4657�1� � �8�(�1�����9��� � �3����"6�(�� q1 = 4 $ p1 = −1.2 $ qi = 0

�����pi = 1

�����i = 2, . . . , 5

4

� uB���1��z�ºsz|�s¬8��ª�� �������z|��~�u>z|�������-�������i�¼��z�·iu��n�i}s~|��t*º��Q����uB�i��z|��~U½�7u1�8}��¸¹�i�fz|���������1u�����} � �6��qu��P·iu��#��¬�u���¸

A = | ' | ½5���fz|� ��qu��s��u�·{z|��}�fu1�s��ta�~�uiÀ���qsuuB���u�t*º~�u��P·�uB����¬�ua����� ºIuV�1�ita�}���u � �����~|�K��z�����~�~|� > 〈| ' |〉 =(

3 + 2E0L20

)

/(4 | E0 |) À�Á�qu���uE0z��n��qsu»z��z ��z|��~�ÅÆ�su�¬K�-��z�·iugÈ.uB�su���¬������ �

L0z��^��qsu»�s����t ��¸Ð��qsuoz|�sz���z���~ ={z��u1��z��ota�it8u��K��}st�½Op�qsu

��z|t*}s~��-��z��i�_��z|t8u�����u��6z|�δt = 0.01

ÀÐ��� � Á2u8}��uf��qua�i� � u���¶ %V��~�¬i����z ��qst�½*���»¸¹�i�»��qsu8q����t8���z|��K����z�~|~��-���i���BÀ{��qu" ���taz|~������z|����¸¹}��¼��z��i��z|�������~|�K��z�����~7��� � z|�K��u�¬i����ºs~|u�À���qsu�z|�i��u�¬i������z|�������#qsuBt8u�z|����{t8�s~�ug�¼��z|��À.ºs}��fÁ2u�����uV��ºs~|u0�suBz ��qsu��f���(�s���-·iu��s���*��� � z|���s���-·�u8��qsu � z|���q���K��z|�su�������}st8����z��i�ÅU��uBu�x{uB��½^¥�½Ý¨�ȼ½µ ua����t8�s}���u*��qsu8�P·�u��#��¬iuB��Á�z���q

k�#���s¬iz��s¬V¸¹���it «*����¥�½ µ u8��u�u���q�-�gÀT�i�

kz��Q�1��uB����uB�BÀQ��qsu

��t8�s~�z���} � u���¸���qsu��K����z�~|~|����z|��������2��qsu�ºIu�¬�z|�s�sz|�s¬8��¸$��qu���z|t*}s~��-��z��i�0z|��1��uB�i��ug�>ÅÆ��u�u�C$z�¬Q½O¨�ȼ½Op�qz|�¸Æ�i�¼��z|�n¬�uB�su���z���À{��� � �s������ug������z��¼��u � ������qsu �>uB�s~|u��2�s���iºs~|u�t�½ ��-Á2u�·�uB�BÀi��}s������s���K���#q8¸¹���1}Q��ug�^�i�~|���¬���z|t*}s~��-��z��i�(��z�t8ug��½ µ u0��u�u�qu���uf��q�-�gÀ7¸¹�i�

T ≥ 40ÅÆ���s�s���P��z�t��-��u�~|�_ºIu����i� � v���uB·���~|}���z��i�

�Iu���z|� � ��È1À{��qsu�~�����¬�uB�kÀ{��qsu>¸Æ�i����u�����qu��1���{·iu���¬�u��Q�1ufÅU��uBu�C$z�¬Q½�ªKȼ½

$o����qsz��»�B����u�ÀIÁnua����u*��º~�u*�����#quB��=���q������qufug����z�t��-��u�Å �iÈ�z��»��q�����7½ Cs�i����qsz����s}���I�i��u�ÀIÁnu����} � ����qu � u��Iu�� � uB��1u>��¸7��qu»uB�������nÁ�z ��q���ug���IuB�1�n���

T��� �

δtz|���i� � uB�^�����#qsuB��=�Á�qsu���qsuB�2��qsuB��u

u���z|�����1���Q���#���K���C1(k)

��� �C2(r0)

��}�#q���q���

| 〈A〉(k)num(δt, T ) − 〈A〉 | ≈ C1(k)

T k+ C2(r0)δt

r0 .

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

«g© ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

k � ¥k � ªk � «

〈| ' |〉(k)num

T

vK©ªi¥ª�©¨�¥¨�©«P¥«B©¥

«�½ %

«�½Ý¥

«�½ v

«�½ ª

«�½Ý¨

C$z|¬�}s��u»¨ >��&")���3�!�3� � �!����"���� 〈| � |〉(k)num(δt, T )

� �2��% �� � ��3�1���!�� ��� ��% &")�!/ ��3� � �!������� ��!���1�����1�!�/� $ ���(��1��������� � �����! ��"2�(� k4 5 ��� � �3��� �������1� � �!����"�� �� � = (0.9, 0, 0)

�(�9���= (0, 1.1, 0.5)

4

µ u� Q��������������� � u1��uB��t8z|�suC1(k)

½�p7� � ����qsz|�BÀTÁnu*Án�i��=�Á�z ��qF·�uB������t���~�~$·-��~|}suB����¸δt��� � �s���

���{�f~�����¬�uo·P��~�}uB�2��¸TÀ���}�#q0��q������qsu»~�ug� � z|�s¬f��uB��t!��¸Ð��qu»uB�������2z��

C1(k)/Tk ½ µ u��1��t8�s}s��u»��qsu

��uB������~�u � u������i�T k | 〈A〉(k)

num(δt, T ) − 〈A〉 | ½��Z¸^��}��uB����z|t��-��u�z|�»��q�����ÐÀQ��qsz�� �K}���K��z�������qs��}~ � ºIuºI��}� � u � z|� � uB�QuB� � uB�i��~�����¸T½ µ u Q� � z|� � u�u � ��qQ�-��¸¹�i�

k = 1ÀQ��qu���ug���B��~|u � u���������z���ºI��}s� � u �

º{�0©½ %À ���$Ï Ê )^Ê �$Ï Ê �T° $ Ë Î��r0²��$Ï

δt½

�O�����1uBu � z|�s¬8z�����qsu�����t8u»Á��P�8¸¹������qsu�����qsu���·-��~�}sug����¸kÀ�Á2u���º��#��z|�

C1(k = 1) ≈ 0.6, C1(k = 2) ≈ 14.4, C1(k = 3) ≈ 212,C1(k = 4) ≈ 8270, C1(k = 5) ≈ 250, 000.

�����>��}s���s��z|��z|�s¬�~|��À��qsua·-��~|}suB�o��¸C1(k)

�K}sz���={��z|�����ug����u�Á�z ��qkŹ��qsz��»z|�oz|�F��¬i��uBu�t8u��K��Á�z���qF��qsu

¸Æ�i�¼�O��q�-�n��qsuo�i���1z|~�~��-��z��i��O���O��qsuoºQuB¬�z|�s�sz|�s¬���¸I��qsuo��z|t*}s~��-��z��i�V����u�~|����¬iu��.¸¹�i�^~�����¬�u��.·-��~�}sug�O��¸kȼ½

�æ�_�i� � u������ � u���u���t8z��u���qsuf·-��~|}suB����¸C2(r0)

ÀTÁnu*�s������u�u � �����{·�uB����u�~|�0��� � �1�ita�}���ua��~��i�s¬�¶��z�t8u���������uB�1��������Á�z���qV������.���{�*��t���~|~s·-��~|}su���¸

δt½%Cs�i�

k > 1ÀK���

Tz��O~�����¬�uiÀ-��qsu���u���t

C1(k)/Tkz���·iu����(��t���~|~^Á�z���q5��uB���Qug�¼��������qsu0��uB��t

C2(r0)δtr0À.������quVu������i��z��*����s���P��z|t��-��uB~��F¬�z|·�u�� º{�

C2(r0)δtr0½ µ u � � ·-��~|}sug�^¸¹�i�

C2(r0)Á�qsz��#q � u��Iu�� ��� Ê �Æ°�� Ê ± Î �

k� Î ± Î �

T��� � ����u»¬�z|·�uB�

º{�C2(r0 = 6) = 0.163, C2(r0 = 4) = 1.09, C2(r0 = 2) = 0.622.p�qsug��u��{}st8u���z|�B��~^u����QuB��z|t8u��K���*��qsuB��u�¸¹����u0�1�i� ��t ��qsu���q������suB������¸���qsu �1E,�"�7��"�nuB����z|t��-��u

Å �iÈ1½

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� «i«

k � ¥k � ªk � «

| 〈| ' |〉(k)num − 〈| ' |〉 |

T

¨i¥�©¨�©�©«g¥�©«B©i©¥�©

©s½|«©½ ©«©s½ ©�©«©s½ ©�©i©s««�u�¶Z©K¥«�u�¶Z© %«�u�¶Z©{¤«�u�¶Z©i£«�u�¶Z© �

C$z|¬�}s��uVª > ���������� ������0�(�〈| � |〉

(k)num(δt, T ) � � 〈| � |〉

� ��� �1��������� � �����! ��" �(� k $ �3� ��% �'�(") ��� ��% � ��!�����������!�/ 4 5 ��� � �3��� �������1� � �!���1"�� �� � = (0.9, 0, 0)���9���

= (0, 1.1, 0.5)4

���,� ��� 1�� �� &�$�#��� �$� � &��� ��� � ���� �� � �������!�� � 1 � &��! ���� �

�æ����qsz���������gÀÁ2u�����} � ���V��������uBt'��¸M = 60

�������z|��~�ug��z|�_ª�� z|�K��uB���i�¼��z|�s¬8��qs���i}s¬�q��a����}s�Q���-��u ��7u��s�Q��� � ¶Z¦i���uB�n�Q����u��K��z|��~U½Op�qsu o��t8z�~����i�sz�������¸���qsu���������u�t!��uB� � �

H =

M∑

i=1

) 2i

2+

M∑

i=1

j>i

V (| ' j −'

i |)

Á�z���qVLJ(z) =

4

z12− 4

z6

��� �V (z) = VLJ (z)−VLJ(zc)−V ′

LJ(zc)(z−zc)z ¸z ≤ zc

À0����qsu���Á�z|��u�½

p�q{}�BÀTºQ����qF��qsua�Q����uB�i��z|��~$��� � ��qsuf¸¹���#�1uB�o����uf�����K��z|�{}s��}�»�-�o��qsu8�1}s����Â5�#� � z|}�zc = 3.08

½ µ u���s�s~|�>�QuB��z|� � z|�nºI��}s� � �����>����� � z ��z��i��nŹ��qsu���z�tf}s~��-��z|���*ºQ�P��z��

[−3.2; 3.2]3È$��� � }Q��un��qsu2t8z��z�tf}st

z|t���¬iuo�1�i�{·�u��K��z��i� :�«�<D½.�æ�sz���z���~Ó����� � z���z|���Q�2����u»��}Q�#qV��qQ�-�2��qsu � u��Q��z�������¸Ð��qsu���������uBt,z|�0.229

��� ���qsu8�P·�u��#��¬iu���¸^��qsu ={z��u1��z��*��u�t8�Iu��#�-��}s��uaz��

2.50½ µ z���q ��}�#q6���(z��sz���z���~O����� � z ��z��i�ÐÀT��qsu8���{����uBt

��u�t���z���Ðz��*��~�z��K}sz � �sq����u�½ ��{�I����quB��uB�7����~|~�ug�¼��u � z|�*���s�Iu�� � z �f¥�����u.�s����������z�� u � Źz|���������z|��}s~|���BÀ��qsu���u8����u*�s���»uB�s��}s¬iq_z|�K·-����z����K��¸¹}��¼��z��i���È1½*p�qsua��º��u���·-��ºs~|u*}� � u��>u�����t8z������z|���_z��o��qsuat8uB���� z|��������1u>ºIu1��Á2u�u����������z|��~�ug��À

A('

1, . . . ,'

M ) =2

M(M − 1)

M∑

i=1

j>i

| ' j −'

i | .

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

«P¨ ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

µ u�Á2��� =�Á�z ��q���qsu�·�uB~�����z ����Ç.uB��~|u1����~�¬i����z ��qst�À�}��z|�s¬��f��z|t8u�����u�����¸δt = 5.10−3 ½

$o���u���¬K��z|�ÐÀ�Á2u���u�u���q�-�gÀK¸¹���O~�����¬�u�uB�s��}s¬iqV��z|t*}~|����z|���8��z|t8uB�TÀ���qsu�~�����¬�uB�

kÀ���qsu�¸Æ�i����u��^��qsu

�����{·�uB��¬iu����ufÅU��uBu C$z|¬½.v{ȼ½

k � ¥k � ªk � «

| 〈A(')〉(k)

num − 〈A(')〉estim |

T

%i¥�©�©�©i©¥�©i©�©i©�©ªi¥�©i©�©i©¨�©i©�©i©�©¥�©�©i©�©

©s½ ©�©i©s«

«�u�¶Z©K¥

C$z|¬�}s��u�v > ���������� ������,���〈A( � )〉(k)

num(δt, T ) � � 〈A( � )〉estim

� ��� ���!�� ���� � �����! ��"&��� k $ �!� ��% �'��") �����% �� ������(� �����������"�"���" � �/ � ��% *���1")����������! �!" ��% */0'�(� ���3" � �(���� � �� ��� ��(� � �!���!�" 4

���� �3� 1����& ����#��0��� � � � ��45��� ���$� 1 �' %� ������

�æ����qsz|���Q�����BÀsÁ2u � uB��~ÓÁ�z ��q���qsu# ���t8z�~����i�sz|���

H =p2

x

2+p2

y

2+ V (qx, qy),

Á�qu���uV (qx, qy) = (q2x − 1)2 + (qy + q2x − 1)2,

� uB���1��z�ºsz|�s¬8��¨�� �������z|��~�u»z���� � �i}sºs~|u»Á2u�~|~Ó�I����uB�K��z���~D½�p�qu»�I����u��K��z���~V¬i�{uB�n���

+∞ �-��z|� �sz������� � q���2��qs��u�u��1��z���z�����~Ó�I��z|�K��� > ��Án�8¬i~��iº��~Ót8z|�sz�t��8~|�����-��u � �-�(±1, 0)

Às�-��Á�qz|�#qV (±1, 0) = 0

À��� � ���su���� �s� ~|u>�Q�iz��K��~|�����-��u � �-�

(0, 1)Às�-��Á�qsz��#q

V (0, 1) = 1½

p�qsu8ºIu�q�P·{z|��}s�»��¸n��z|t8u8�P·iu��#��¬iuB�����������s¬i~�� � uB�QuB� � �>�i�_��qua·-��~�}sua��¸n��qsu8uB�su���¬��E0��¸n��qsu

�Q������z��1~|u*Á�z���qF��uB���IuB�¼�o���0��qsu8��� �s� ~|u*�I��z|�K�»uB�su���¬�� ŹqsuB��ufu �K}��~7���1È1½�p�qs��uBu � z�ÂTu���u��K�o��u�¬iz�t8uB�

�B����ºQu�z � uB�i��z Qu �?>

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� «gª

«�½2¸¹���E0��t���~|~�uB����q���

1À��qsu*���#�-��ug�¼���i���0���s~|��u����s~��i��ug���V��z��¬�~|u�º����z��7½�p�qsu���z|t8uf�P·iu��#��¬�ug�

�1�i�K·iu���¬�u����*��~|z�t8z������ � }��z��¬���qu ~���uB��z|�s¬�¸¹}s�Q�¼��z|���fk,Tz�t8�s���-·�ug����qsu»�1�i�K·iu���¬�uB��1u��#�-��u

¸¹���it1/T���

1/T k Åõ¸¹�i����������ºsz����#����� k È�����z|����qsu��s��u�·{z|��}�2u1�s��ta�~�ug� B¨�½2¸¹���

E0t*}Q�#q_~|����¬iu�����q���

1ÅÆ���P�

E0 ≥ 5ȼÀT��qsu8�������z��1~|u*z��>����u��suB��¬iu1��z�����q�-��z�� � �Kug�»�s���

��ug��~|~����渹uBu�~ �o��qu»ºQ������z|u������ � ��qsu��1�i�K·iu���¬�uB��1uo��¸7��qsu>��z|t8u��P·�uB����¬�uB�^z|����z|t8z�~����2���8��qsu>���su��º��u���·�u � z|����qsu �#�����B����u B

ªs½2¸¹���E0�»~|z ����~|u�~|����¬iu�����q���

1À-��qsu���������u�t ��ug��~|~�� ��¸¹u�uB~|� �n��qsu��s��uB��u����un��¸��Á2� � z|����z|��¼�OºQ����z���

��� � ���u � �Kug�»�s������ºQ��uB��·iua���K�_�����{·�uB��¬iu����u���¸n��qsu8��z�t8u��P·�uB����¬�ug��¸¹������z�tf}s~��-��z|���(��z|t8uB���¸O��qsuf����t8uf��� � u��o��¸Ot���¬i�sz ��} � u�Ź�i��u�·iu�� «g©sÀ ©�©i©a��z|taug�»~��i�s¬�uB�#È��i����qs�i��u*Á�qz|�#q_~|uB� � ����1�i�K·iu���¬�uB��1uoz�����qu��s��uB·{z��i}�2��Án�8���i��ug��ÅÆ��u�u$C$z�¬Q½^¥�È1½

k � ¥k � ªk � «

〈qx〉(k)num

T

«�u��»©K¤£�u��»© %%�u��»© %viu��»© %¨-u��»© %©

©s½ ©�©iª©s½ ©�©K¨©s½ ©�©«©

¶æ©s½ ©�©«¶æ©s½ ©�©K¨¶æ©s½ ©�©iª¶æ©s½ ©�©�v¶æ©s½ ©�©K¥¶æ©s½ ©�© %¶æ©s½ ©�©{¤

C$z|¬�}s��u�¥ >�� ����! � �3���0���〈qx〉

(k)num(δt, T )

��"6�&�� 1��� � �!���0�(�T� ���� �1�!

���!� � � �� � �8�(� $ ��� �� � �(����4 ��- ���!��")

� � ��% ���(�)���!�����1��� � $ ������� � �!/0*" � δt = 0.05�(�9�

2.108 � �!/0*" � �"�4

���1��}��~�~|��À^�i�*�i�su��B��� ��u�u0¸¹���it C$z�¬Q½ %À���qsu��������z|��~�u����Iu�� � � ���_~|���¬���z|t8u ��z|� �i�su0º�i��z|�ÐÀ��qsu����K}sz���=K~|��}s� � uB��¬i�{uB�»�V���������z���z|���(z��K���0��qsuf����qsuB�>º����z��7ÀÓz��(Á�qsz|�#q6z��>���QuB� � �����s����qsu�����~|���¬��z�t8u �#À���� � ���*���7½$�æ�V��qsz�����z|t8�s~�u»u1�s��ta�~�uiÀi��qsu»~���������z|����n��¸Ó��qsuo��Án�fº����z��Q�n����u =K��-Á��0��� � ��qsut8ug���Fu���z �>��z|t8u������6ºIuaug����z�~|��uB����z|t��-��u � ¸¹����t��_�,��z|t*}~|����z|����B½*p�qsug��u � �����������(ºQu8}��u � ����Q���#��t8u1����z5G�u��8��Á2��¶æ�����-��u��_��� =��-·��#q��z|��t8� � u�~ : £�<$t8z�t8z���=Kz|�s¬���qsu����������z ��z��i��ºQu���ÁnuBu�����qu���Á2�ºQ����z���B½o�Ã�1�it8�����z|������ºIu1��Á2u�uB����qua�����{·�uB��¬iu����u»�#�-��u*��¸.��qsuf��z|t8ua�P·iu��#��¬�ug��ÅÆ£KÈ�����t8�s}���u � º{��F� �i�f��qsu��i�su�q��� � ��� � ºK�f��qu�����¶D�iº�����z��u � �_��� =��-·f�#q��z|��t8� � u�~�i�8��qsu�����qu��^qQ��� � Ài¸¹���^��qsu

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

«Bv ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

�iº��u���·P��ºs~|uqxŹ��qsu��P·iu��#��¬�u.��¸QÁ�qsz��#qaz|� GBu���� � }su�������qsu����{t8t8u1��������¸��qsu��Q����u��K��z|��~�È1À�z|����u��I������u �

�i� C$z|¬½�¤�½0p�qsu�¬i�K� � �K}���K��z�������z|·�u���¬i��uBu�t8u��K�>ºQu���ÁnuBu��6��qu8��Án�_�����{·�uB��¬iu����u*�#�-��ug���1�i� ��t8���q�-�*��qsu�ºQ������~|u��uB��=6z�� ��qsu�����t8�s}��#�-��z|��� ��¸��P·iu��#��¬iuB�»º{�(ºs��}���u�¸¹���#�1u0�F�'��z�tf}s~|����z|����*z|����qsu���ug��uB��1u���¸n��u�·�uB����~7Á2u�~|~ ¶æ��u����������u � º�i��z|���BÓz��F��qsz��»������u�ÀI��qsua�����{·�uB��¬iu����u�������ufz|�o�s�0~|���¬�u��»z|�1/T�i��ºIu1����u��gÀºs}s��¸Æ��~|~|� � �-Á������

1/√TÀ����~�ug������z�����qsu��#���s¬iu>��¸$��� � �P���i����uB����z|ºs~|u���z|t*}s~��-��z��i�

��z�t8ug��À � }su»���8��qu��i}Q����z ¶æ�������#q������z������������z���z|���Q��ºQu���ÁnuBu�����qsu�º�i��z|��B½

qx(t)

p��#�-��uB�1���i���qx(t)

��z|t*}s~��-��z��i�0��z�t8ut

«g©�©£�©%�©vi©¨�©©

«�½Ý¥

«

©s½Ý¥

©

¶æ©s½Ý¥

¶#«

¶#«�½Ý¥

C$z|¬�}s��u�% > � ����3 � �!��� �(�qx(t)

�("��,�� 1��� � �!��� �(� ��% � �3/0t� ���� ���!

���!� � � �� � �3��� $ ������ � ������4 ��- ���!��")

� � ��% ���(�)���!�����1��� � $�� �!/0*" � δt = 0.01 4

�7u1��}�»u�� � ��qz|����uB�1��z|���Fº{�_� � z�����}����z|���_�i�_��quauB��¬i� � z|��z ������¸^��qu8¨�� � ��}sº~�uaÁnuB~�~.��������u�t}� � u��»����} � �i½��Z�oz���ug�����V�����#qsug��=0��q�-�o��qsufz|���{u��suB��¬iu1��z�����}s��¸Æ�i�1u

H(qx, qy, px, py) = E0�����_ºQu

�Q���#��t8u1����z5G�u � º{����q��uBu>���s¬�~|uB� >

qx = ±√

1 +√

E0 cos(θ), qy =√

E0 (sin(θ) cos(φ) − cos(θ)),

px =√

2E0 sin(θ) sin(φ) cos(ψ), py =√

2E0 sin(θ) sin(φ) sin(ψ), Å�«B©iÈÁ�z���q

(θ, φ, ψ) ∈ [0, θM ]× [0, π]× [0, 2π]À�Á�qsuB��u

θM = πz ¸E0 ≤ 1

��� �θM = arccos(−1/

√E0)z�¸

E0 > 1½��Z��z|�n��qu���u1¸¹����u��I�i����z|ºs~|u����a����t8�s}���uo�{}st8u���z�����~|~|�*��qsu»��ÇA@ u����u�tfºs~|uo�P·�uB����¬�u���¸����{�

ÅÆ��uB¬�}s~����¼È^��º��u���·-��ºs~|uoÁ�z���q��aqsz|¬�q����B�1}s�#������½$�Z����ug� � �

〈A〉(E0) =

[0,θM ]×[0,π]×[0,2π]

A (θ, φ, ψ) w(θ, φ) dθ dφ dψ,Å�«�«gÈ

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� «P¥

1.96√

755/N

755/N

| 〈∑Nj=1 q

jx〉ic | /N

NÅδt � ©s½ ©s«gÈ

«�u��»© �«�u��»©�£«Bu��»©K¤

©s½ ©s«

©s½ ©�©s«

C$z|¬�}s��u*¤ > � " � �!/ � � �3��� ��� ��% *����������� ���1�� ��� 1

N

N∑

j=1

qjx � � � �

� ��% ���" �� ��� � N �� ��% ��� �(���� � � % ���!�

/0���1�� � �1�� ���!���3� � � �� � �3��� $ ��� �� � �(� ��4 ��- ���!��") � � ��% �9� �)���!�� ��1��� � $ δt = 0.01 � 〈·〉ic

�1��1� � �"� ���� �� � �(���� ��� �!��� � �3���.�������1� � �!���1" 4

Á�qu���uw(θ, φ) = C

sin(φ) sin(θ)2√

1 +√

E0 cos(θ)

z�����qsu8z��{·-����z����K���s����º��ºsz|~�z���� � u����z�������¸O��qsu � �{���t8z�����~

��������u�t ���(θ, φ, ψ)

ÅCz|����qsuf�s����t���~|zHGBz��s¬V������������K�#ȼ½��æ�Fp���ºs~|uV«�ÀIÁnuf�1��t8�����u>��qsz���uB���uBt*ºs~|u

�P·iu��#��¬iu�Á�z���q*��u�·iu��#��~P��z�t8u^�P·iu��#��¬�ug�T�1��t8�s}s��u � ¸¹���it ���#�-��ug�¼������z�ug�ÓÁ�z ��q�·-����z��i}�Óz|�sz ��z|��~i����� � z���z|���Q��½�æ��¬�uB�su��#��~DÀi��qsug��u»��z|t8u��P·�u��#��¬iuB�O����u � z�ÂIuB��uB�K�n¸¹����t,��qsu>u����u�tfºs~|u»�P·iu��#��¬�ui½7p�qsz�� � z�ÂIuB��uB��1u>�����ºIu>u1���s~���z|�su � u�z���qsuB��ºK�8��qsuo¸Æ���¼����q�-����quoz����{uB�su���¬�u���z�����}s��¸Æ�i�1u»q���2z|�{·P����z����K����}sºQ��u����>Åõ��qsz|��t��P�ºIu � }suo���f��qsu>u1��z�����u����u���¸��f��uB����� � z��{·-����z|���K�^��qQ�-��Ánu � z � �s���2t����Q��¬�u����az � u��K��z�¸¹�sȼÀ����2º{�8��qsu¸Æ�i�¼����qQ�-�.��qu���������u�t z��.uB��¬i� � z|�nºs}��O�i�f·iu�����~��i�s¬���z�t8u�������~�ug��À-tf}�#q8~��i�s¬�uB����q���f��qu���z|t*}s~��-��z��i���z�t8ug��Ánu��B�����-ÂT��� � ½

C���it �o�s�#���1��z�����~i�Q�iz��K����¸s·{z|u�Á�À-���u^Á��P�����»����~|·�u.��qsz���z�����}sunz|�7���>�1�it8�s}���u^��qsu2t8uB���*·-��~|}su^��¸��qsu2��z|t8u��P·iu��#��¬iuB�Ó�-·iu�����uB·�u��#��~ � z�ÂIuB��uB�K��z|�sz���z���~s����� � z���z|���Q��½ C�z|�#���gÀ����$z|�a�»�����K��u��2����~|��t8u1��qs� � ÀÁ2u��#qs�{�i��u�t����{�0z|�sz���z���~$�1��� � z ��z��i��

('

i,)

i)i�i����qsuf��}s��¸Æ����u���¸O�1�i��������K��uB�su���¬��

E0ÀI��������� � z|�s¬

���a��qsu>�s����º��ºsz|~�z���� � u����z����w(θ, φ)

Åõ��� � �8���À{Á2uo}Q��u � ��qsu������1uB��������1u�¶Z �u���uB�1��z|����t8u1��q� � : �-<õÈ1½C������~�~7��qsug��u*z��sz���z���~��1�i� � z���z|����BÀÁ2u��1�it8�s}���ua���_� ���#�-��uB�1���i���0��� � �8��z�t8uf�P·iu��#��¬iu�Às��� � ��qsu����qsu�t8uB����·-��~|}su

µ(E0)��� � ��qsu�������� � ��� ��� u�·{z��-��z|���

σMC+MD(E0)��¸���qsuB��u � �-�#�s½O �ug��}s~���������u

��u��I������u � z|� C�z|¬½O£ > ��qsz���t8u1��qs� � �{z|u�~ � ���a¬��{� � ���s�s���P��z�t�����z|���V��¸���qsu�u����u�tfºs~|u>�P·iu��#��¬iu�½

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

« % ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

$oº��u���·P��ºs~|uA 〈A〉(E0 = 0.5) 〈A〉(k=5)

num ('

1,)

1) 〈A〉(k=5)num (

'2,)

2) 〈A〉(k=5)num (

'3,)

3)

qx¶æ©s½ ��vivK¥ � ¶æ©s½ ��ª«�«B£ ¶Z©½ �K¥�¥�£i¥ ¶æ©s½ �i¨�ª�£ %

q2x©s½ �i¨�£�viª ©s½ ��©i©K¤i¤ ©s½ �i¥�«-¤-© ©½ £i£i¥ %K¥

q4x©s½ ��£ � %�v ©s½ �i¨�£i¥i¥ «�½ ©�vi©{¤Pv ©½ £ �i¥ %K¥

qy©½ ©{¤{«P¥ %i¨ ©s½ © � �i¨�¨s« ©½ ©�vi£K¨ �i¨ ©s½|«�«Bviª�v %

q2y©s½Ý¨�¥�¥s«P¤ ©s½|«�v{¨ �i£ ©s½ ª�v{¤�¨�¥ ©s½ ©�£K¥�« �i¨

p2x

©s½Ý¨-v�vK£i¨ ©s½ ª�ª ��v � ©s½|« %K¤ ��v ©½ ªi£K¤{«-¤p2

x

©s½Ý¨-v�vK£i¨ ©s½|«�v %s«P¥ ©s½ ªi¨�¥K¤Pv ©s½ © �K¥�¨K¤-£V (qx, qy)

©s½Ý¨�¥�¥s«P¤ ©s½Ý¨�¥K¤{«-¤ ©s½Ý¨�¥�ª«g¥ ©½ ¨i¥�£K¤�£

p$��º~�u5« > ����/ 1 � '� ���(�! ��"0���(� ��% ��1")�/ �1�3 � ���� �� � �(�9� ��% � �!/0 �'��� �( � ���,���!�� ���� � ����") ��� ������!�" � ���� ���!

���!� � � �� � �3��� 4�� % ��1")�/ �1�3 �'��� �( ��" �(�� ����/ 1 � '� �8����/ � � � 4������ ��% � �!/0

� ���� �� ��" $ ����/ � � '� �8����/ ��� $ �!��� � �3��� �����9��� � �!����" �(��( � 1,

�1) = (−1, 0.5; 0.5,−0.5) $ ( � 2,

�2) =

(−0.9, 0.772 . . . ; 0,−0.5)�(�9�

( � 3,�

3) = (−1.05, 0.549; 0.3606 . . . , 0) $ ���(�)���" �����1�!�� � � ��% ��1��� �� 4 - $���% � �!/0�" � �!"

δt = 0.0054�� �� % �� ��� ��% � � �,")�!/ ��3� � �!��� ���.�!��� ��% T = 5000 �

�("#�!���� ����� � % 4�#�3/0*� ���� �� �,�����! 1�"��1� �1� � �� ��9� ���k4

p�z�t8u��P·�uB����¬�uaŹ�s�i��t���~|z5G�u � È@^���uBt*ºs~|u��P·�uB����¬�uaŹ�s�i��t���~|z5G�u � È

E0

©s½î¤©s½ %©½ ¥©s½ v©s½ ª©½ ¨©½�«©

«�½|««�½ ©�£«�½ © %«�½ ©�v«�½ ©i¨«

©s½ ��£©s½ � %©s½ ��v

C$z|¬�}s��u�£ > ����/ ��(���!")��� � �� ��� ��% ���")�/ ���! �'��� �� � �(�A = q2

y $ ����/ � � �� � ����/ � � � $ ����� ��% � �� � '� � �!/0 �'��� �( ��� ��)����� ���(��" ���(�)���" ����� � � �95%

������ �1����� �3� � �������� $ ��� ��% �1�� ���!���!�

� � �� � �3��� $ ���(� �1��������� � ��1��� � �!����!"E0

4 ���!��� 9�(� � � � �!�" % �'� � ��� ������/ �(�!����'� � � ��% ���")�/ ���!� ���� �� �

〈q2y〉(E0)

4

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� «-¤

p�qsunt8uB���*·P��~�}uµ(E0)

�����{·�uB��¬iuB�I������qu^u��Q��uBt*ºs~|u^�P·�uB����¬�u 〈A〉 �-�$������u σMC+MD(E0)/√MÀ

Á�qu���uMz�����qsuV�{}st*ºIu��*��¸�z��z ��z|��~n�1�i� � z���z|����B½��Z¸���������� � ��� � ���i�i��u��2����~���t8u1��qs� � z|�*}��u � À

��qsu��#�-��u���¸������{·�uB��¬iu����u*z��σMC(E0)/

√MÀ�Á�qsu���u

σMC(E0)z|����qsu0������� � ��� �6� u�·{z��-��z��i�(��¸

AÁ�z���q6��uB���Qug�¼�>������qu��s���iº��ºz�~|z ��� � u����z ���w(θ, φ)

½Vp�qsuV�1�i�{·�u���¬�uB��1uf�1���Q���#���K���σMC+MD(E0)��� �

σMC(E0)����u��1��t8�����u � z�� C$z|¬½� > ¸¹�i���8¬�z|·�uB���{}stfºQuB����¸��I��z|�i�#����¸���qsu*�1�i��������K��uB�su���¬��

��}s��¸Æ����u�Às��qsu*uB���u�t*º~�ua�P·�u��#��¬iu 〈A〉 z|�»�1�ita�}���u � Á�z ��q(��¬i��ug�-��uB�����B�1}s�#�����0z�¸.��qsua�����K��ua�2����~���I��z|�K��������u>}��u � ����¬iu��suB������u>�_� ���#�-��ug�¼������z�ug�2��� � ��z|tau��P·iu��#��¬iuB�B½

�(� t8u1��qs� ��6� �»�_�¡t8u1��qs� �

x{����� � ��� �0� uB·{z|����z|���

E0

«©½ £©s½ %©½ v©s½Ý¨©

©s½Ý¥©s½ vK¥©s½ v©s½ ªi¥©s½ ª©s½Ý¨�¥©s½Ý¨©s½|«g¥©s½|«©s½ ©i¥©

C$z|¬�}s��u � > ����/ � � � � �!��� �(� ��% ���")�/ ���! �'��� �� � 〈q2y〉(E0)

��� ��% ���� ���!���!� � � �� � �3�����*" � �(�9��� � ��1����3� � �!��� σMC+MD(E0) ��% �� �'��� �� ��!�� ��� � �!/0��'��� �� ��" �(���� �3�1� � �8�(�9�����9�1� � �!���1" � ")���!�8� �!�!��

� ���� �

/0����!�'���!� � � % �� �'� ��% � �6��% �!"��� ���� � � � � �1� �"6��� � �� ��9� ��� ��% ��� �/ � �� ��� �!��� � �3���9�����9��� � �3����" $ " � �(�9��� � ��1����3� � �!��� σMC(E0) ��% �� �")�!�� 0� " � ���9�1�(� � � � /0 ��% ��� ��� � � 4�� � � � ���(" % '� �3�!�1 4

p�q{}�BÀK���8�1��t8�s}s��u>���0uB���u�t*º~�u»�P·�u��#��¬iu�ÀiÁnu»��������}¬�¬�ug���^���8�#qs�{�i��uo��u�·�uB����~ � z�ÂTu���u��K�2z|�sz���z���~����� � z ��z��i��2���V��qsu>�1���Q���#���K�2uB�su���¬�����}s��¸Æ���1uiÀ���� � ���a}��u»uB�i�#q0��¸Ð��qsuBt,���8�1�it8�s}���u��*���#�-��ug�¼���i������ � ����z|tau��P·�u��#��¬iu�½8�,¬��{� � ���s�s���P��z�t�����z|���F��¸n��qsuVuB���uBt*ºs~|uV�P·�uB����¬�ufz|�>��qsu�t8uB���6·-��~�}su���¸��qsuB��u»��z|t8u��P·�u��#��¬iuB�B½

� � ����n31)��7������

�æ���i� � u��.���f�1�it8�s}���u�u����u�tfºs~�uo�P·�u��#��¬iuB�$��¸Ó�iº��uB��·-��ºs~�ug��Ài���suo������}Q��u��_��~|uB�1}~|���^���{���t8z|�B�^��� �����t8�s}���u»�*��z|t8u»�P·iu��#��¬iu���¸Ð��qsuB��uo�iº��u���·P��ºs~|uB�n�-·�u��n���su8Ź�i�2��u�·iu��#��~õÈ���������uB�¼�������f��¸�� � �{���t8z�����~

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

«g£ ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

��������u�t�½�¾�� � uB�.��qu�u���¬�� � z���������}st8����z��i�ÐÀ-��qsz|�O��z|t8u��P·�uB����¬�un�����{·�uB��¬iuB�BÀ-������qsu����#�-��ug�¼���i���*~�uB�s¬���q¬i�{uB������z�� Q�sz ���iÀT���-Á���� � ����qsu8u����u�tfºs~|ua�P·iu��#��¬�ui½ µ ufqQ�P·�u*���ug��uB�i��u � �V�{}st8u���z|�B��~�t8u1��qs� � ������Iu�u � ¶D}s� ��qsz|�0�1���{·iu���¬�u��Q�1u����6��qQ�-�0�6���#�-��ug�¼�������5��¸>��u � }�1u � ~�uB�s¬���q ÅU��� � ��qK}Q���su�u � z|�s¬ ~�ug�������t8�s}��#�-��z��i���~�u�ÂI�i���¼Èaz|���u�u � u � ��� �i�#qsz�uB·�u��6¬�z|·�uB�¿�s��uB��z|��z|���н ��~��i�s¬ Á�z ��q ��qsz����{}st8u���z�����~t8u���qs� � ÀKÁnuoq�P·�u����ug��uB�i��u � ��q�����8u������i�OºI��}s� � �O��q�-�^t��P�aºQuo}��u � ����������z�t8z5G�u���qsu»��z|t*}s~��-��z��i��Q���#��t8u1��u��#��½� ���{�sz�����~.�s����ºs~|u�t�z��5���i~�ug�1}s~������o�{���t8z����>z��>��qsu0u1���s~|���#�-��z|���(��¸2��qsu0Á�qs��~|u8�sq����uV�������u

Á�qu��»��qsu^�Q����u��K��z|��~�u��suB��¬i����¸{��qsuO��������uBt q�i�Ð��uB·�uB����~-º����z��Q�Ð�1�i����uB���Q�i� � z|�s¬n��� � z�����z��Q�¼�7t8u1�#��������ºs~�u��������ug��½�p�qsu8t8u1��qs� � Á2ufqQ�P·�ua�s��ug��uB�K��u � z��(��qsz��»����Iu�� � �{ug�o��������i~�·iu���qz|�>z�����}su�Źz�� � �{uB�»�s���z|t8�s���-·�u>��qu*�sq�i��uf����i�1u�u����s~��i������z|���ÐÀºs}�����qsuf����t8�s}��#�-��z��i����¸.��qu���z|t8uf�P·iu��#��¬�uPȼÀs��� � ����qsu��t8u���qs� � ��qQ�P·�uo���8ºQu�}Q��u � À�¸¹����z|���������1u»��q�i��u>��}s¬i¬�uB����u � z|�� �u1¸Æ�B½ : £�ÀЫB©sÀЫ�«"<Z½

­�� É�������� ��� #� �����

µ u8Án�i}s~ � ~|zH=iu*������q��� =��»z�~|~�ug��� ���#��qF¸¹���>qsz��>·�uB����qsuB~���¸¹}~^��}¬�¬�ug����z��i��BÀÐ�nq��z�����z|���(�7}sºsz��#q¸¹�i�.��qu��1��z ��z|�B��~s��uB� � z��¬»��¸T��qsu�t����K}Q������z|���O��� � �nqs��z��������sqsuo�nqz��I���O¸¹�i�^����z|t*}s~��-��z��s¬ � z|���1}����z��i���½µ uf��~|����¬���uB����¸¹}s~|~|���i��=K��-Á�~�u � ¬�u»��qu� �����1z���~$��}�s�Q�i���o��¸.���� ���� ��qs����}¬�q���quf�1�i�K���#���¼��¬i�����K������¼��z��i� � u� �uB�#qsuB���#qu��n�i��1uB������u»�^  @nx�p���xx{��� $��¼½

� � 4�46���� �� �

�æ�*��qsz���������BÀ-Á2u � u�����z�~K��qunq{�{�Q����qsug��ug�7�u�u � u � ���o�s���-·�uO��qsunuB����z|t8����ug�2ÅÆvKÈ7��� � ÅD¤�È1½�p��o����-·iu.��qsuug����z�t�����uVÅ��KȼÀI���_� �� z ��z��i�s���~7������}ta�s��z|����z|���su�u � u �?> ��qsu*�K}tauB��z�����~7���#qsu�t8u�}��u � ����z��K��uB¬��#�-��u��qsu_u �i}Q�-��z|���Q����¸>t8����z|��� ��qs�i}s~ � ºIuF���Kt8�s~|uB�1��z���½ ���0Ánu�q�P·iu�t8u��K��z|���su � z �0z|� x{ug��½¡¨�À�Ánu�������z � u��2�*���{����uBt ��¸

M�������z|��~�ug�Oz|��ªi�*À � uB���1��z|ºQu � º{�f��qsu ���t8z|~ �����sz����

H(',))½O�7u1�

('

0,)

0)ºIu>��qu�z��sz���z���~Ð����� � z ��z��i�н

����� �� � ��1 &���� �!� &� ��0� � ��� &������ � � ��� �� �����H �

µ u_��}s�s�I�i��u���q�-�8��qsu( ���taz|~������z|���Hz|�0��� �����~��K��z�����~2¸¹}s��¼��z��i�ÐÀ���� � ��qQ�-��z �Vz��(����AE,45��& ��4��

��� & � � ��� ) 4H��À���qQ�-��z��2���V���P�8��q���*ÅÆ��u�u� �u�¸�½ : %-<ZÀs�s�_¨s«�v8��� � ¨i¤�¨�È >� ��qsuB��u*u1��z|����� 3M

z��{·-����z����K��¸¹}s��1��z|����Ij(',))Àj = 1, . . . , 3M

ÀQ��¸���qsu � �{���t8z�����~���������u�tÅ�«PÈoŹ��qsu � u� �sz���z|������¸����0z|�{·P����z����K�n¸¹}s��¼��z��i��z�����uB����~�~|u � z���x{uB��½O¨�È"B�Á2u � u��s����u»º{�

S(',))��qsu�~|u�·iu�~Ð��u1����¸7��qu�z��{·-����z|���K�2¸¹}��¼��z��i�� {Ij}1≤j≤3M

ÅU�¼¸�½�ÅD¨�È�È�B� ��qsug��u�z|�{·-����z|���i�#� Ij ����u>z|��z��{·��i~�}s��z|���ÐÀ{zD½ ui½O������z���¸¹����qsu��1�i� � z���z|���

∀(',)) ∈ 3M × 3M , ∀j1, j2, ∇ ' Ij1(

',))·∇ ) Ij2 (

',)) = ∇ ) Ij1(

',))·∇ ' Ij2 (

',)),

Á�qsu���u ∇ ' z|����qsu�¬i��� � z�uB�K��Á�z���q���uB���IuB�¼�.������qu��Q�K��z���z|����·-����z���ºs~|uB�.��� � ∇ ) z|����qsu�¬i��� � z�uB�K�Á�z ��q���ug���IuB�1�����a��qsu�t8�itauB�K��}st�·P����z���º~�ug� B

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� « �

� ��qsuB��ufu1��z����#�o�0�su�z|¬�q{ºI��}s��qs�{� � ��¸.��qufz|�sz���z���~��1��� � z ��z��i� ('

0,)

0)��}�#q���qQ�-�BÀI¸¹�i�»��~�~

(',))z��0��qsz��n�su�z|¬�q{ºI��}s��qs�{� � ÀIÅÆz�ÈO��quo~|u�·iu�~T��u��

S(',))z��n����t8����1�2��� � �1�i�s�sug�¼��u � :|«g¨�<ZÀ���� � ÅÆz�zõÈ

��qsu�¬i��� � z|u��K��� ∇Ij ��¸���qsu�z|�{·P����z����K��¸¹}s��1��z|���������u>~|z��uB����~|�Vz�� � u��Iu�� � u��K��B

���,+ � ���'15��� �! &�$�� � " ��� 1 ������

�7u1� � ºIu���qsu�������}� /2π �

½ ¾�� � u�����qsuF��ºI�-·�u�q{�{�Q����qsug��ug��À2z ��z|���I�i����z�ºs~|u : %À2¤�<����� � � �ºI��}� � u � �i�QuB� ��u1�

B ⊂ 3M �����K����z��z��s¬ (I1('

0,)

0), . . . , I3M ('

0,)

0))À$��ºI��}� � u � �i�QuB� ��u1�

B′ ⊂ 3M × 3M �����K����z��z��s¬0��qsuaz|�sz ��z|��~.�1��� � z ��z��i� ('

0,)

0)��� � ��~�������~$�#qQ���s¬iu*��¸O·-����z���ºs~|uB�

ψÀ

ψ : (², θ) ∈ B × � 3M 7→ (

',)) ∈ B′ ⊂ 3M × 3M ,

��}�#q���q������qsu��u�Á ·-����z���ºs~|uB�(²(t), θ(t)) = ψ−1(

'(t),

)(t))�iºQuB�V��qu���z|t8�s~�u � �{���t8z|�B�

d²dt

= 0,dθ

dt= ω(²(t)).

Å�«P¨�È

��}s�s�~�z|u � Á�z���q�z��z ��z|��~T����� � z ��z��i�(²(0), θ(0)) = (

²0, θ0) = ψ−1(

'0,)

0)½��æ�(Å�«g¨iȼÀ

ωz|�2��¸¹}s�Q�¼��z|���

¸¹����t 3M ���� 3M ½Op�qsu»���#�-��ug�¼���i����z|����qsu��u�Á ·P����z���º~�ug�nz�� ² (t) =²0Àθ(t) = θ0 + ω(

²0)t½

µ u8��qsuB� t8� =�uf��qsu8¸¹�i~�~|�-Á�z|�s¬�� �s� z���z|�����~O������}ta�s��z|���¿Å¹��qsuV����¶æ����~�~|u �(� z|���sq���K��z|�su�������}st8��¶��z��i�QÈ��i�5��qu0·�ug�¼�����

ω(²0)

> ��qsuB��u0u1��z|�����a�_������������i�C0 > 0

��� � ��� u����Q�i�su��K�γ0 ≥ 0

��}�#q��q�-�

∀α ∈ � 3M \ {0}, | α · ω(²0) | ≥

C0

| α |γ0

,

Á�qu���u�Ánu>�s����u | α | = α1 + . . .+ α3M��� �

α · ω(²0) = α1ω1(

²0) + . . .+ α3Mω3M (

²0)½np�qz|�

q{�{�I����quB��z|�$t8uB����$��q������qsu �K}���K��z ���α ·ω(²0)�����a¬�u��O�1~|�i��u^��� GBu����o�i�s~|��z ¸ | α | ¬i�{uB�����»z��& �sz�����½

¾�� � u�����qsua������}ta�s��z|������q������qu ���t8z�~����i�sz|����¸¹}s��1��z|���Hz������Q��~|�i��z|����� � z|�i��u�¬i����ºs~�uiÀ��� �

��qsu � z|���sqQ���K��z|�su�������}ta�s��z|���ÐÀ����su������ �s���-·iu*��qsuV����¶æ����~|~|u � uB��¬i� � z|�f��qsu��i��uBt ÅÆ��u�uVx{ug��½�¨���� � �u1¸Æ�B½ : ¥{À %�<¹È¼½

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

¨�© ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

� ��+-���������2���

:�« <�� ½ ��½Ð��~|~|u��F��� � �f½ ¦Q½Óp�z�~ � uB��~|u���À�� ��AE,+�& � ���"���3+�45��&6�7�� .34 ��� +��7 -�fÅ $��{¸¹��� � x��1z|u����u*�O}ºs~�z�¶�B�-��z��i���ÀÓ« ��£{¤�ȼ½

: ¨�<��f½�Cs��u���=iu�~Q��� � »½Kx{t8z��BÀ�� � � ���"& ���, �������� �4H����+�45��� �"����+�4H��&6�7�� ��.�� �� ��4 ����"��&����*� & �� E�E,4 �������& �7����¼ÀI¨�� � u � ½7ÅU����� � u�t8z|�»�O��uB���BÀ¨�©�©K¨�È1½

: ª�<�� ½ @�½Qp7}��=iu���t����0��� � �a½ ¦½s�F�������K�Q�sÀ�� �, ������"& ��� ���� �1� � � �"� �!�4H��� +�4H���* ���,���3�7�����A& ��� ���� ����+ ���*��� �� E�E,4 �7����& �7����¼ÀI¦Q½s�Oq{���B½Q�nqsu�t�½ �� �7ÀT«P¥ �sÀ¨�©�©i©s½

: v <�xÓ½ �f½ 2��� � À »½ ¦Q½7�7u�z|t�={}sq~�uB����� � »½ »½Ð����z|� � À �,� ���*-��� � ���� ��������� � &'��� �.��� � ����"& ��� && � � E ��� ��&6+����$�!�4H��� +�4H���� ���,���3�7���¼ÀQ¦Q½Q�n��t8�s}��g½s�Oq{����½������QÀT«i«�vÀÓ« � � �s½

: ¥�< @�½Q�2�����rB�BÀ�C2½�2������uB~�~��sÀ{�Oq7½Q�nq������z|u��gÀ�@�½�C���i}ÐÀ�o½��Ðu n��z���À�C2½s�Ðu�¬i��~|~I��� � �a½�p�}s��z��sz��1zDÀ�z|����uB����#�-��z��i�н

: %�<>Çf½ �¼½Q�����s��~ � À?/(��&'��� �!��&6�7� ��4 �!��&'��� -�3.���45�-���"�7� ��4 �!��� � ��� �7�"�>ÅUx{�s��z|�s¬�uB��¶ZÇ.u���~|��¬ÀT« �i£ �Kȼ½:ݤ-< @�½ o��z|��uB�BÀ5�nqн��7}sºsz��#qÐÀ �a½ µ ���s�suB�BÀ � ���� � & �"�7� � +��!� �"�7� ��4F��� & � ������& �7������,& �"+ � & +�� ���

E ������� �"����� � ��4 � ��"��&'���3� .����� � ����,��� �*0�� � ����� � &6�7��4 ����+ ��& �7�����ÅUx{���z|�s¬�uB��¶ZÇ.u���~���¬À�¨�©i©i¨iȼ½: £�<*�nq7½�x��#q�������uF��� � µ ½� �}sz���z|�s¬i�À�z�� > �3���, �)���� .F� +��!� �"�7� ��4 ���,��4��-��� ��� � �4 ��! �"��E � � �7��4

���4�+�� ��� �%�� E +�& ��& �7��,��4 ����� �3� �"&6� �aÅU���i����q�¶ ���~|~|��� � À¨�©�©�ªKȼ½: ��<� �½ #a½Q �}sºz������uBz��7À$� ����+�4H��&6�7�� ��� !&'����/ �� & � � ���"4H1�!� &�� � 8Å µ z�~|u��iÀ7« �i£s«Pȼ½

:|«B©�<>�*½Ð�7��z��QÀÐ�5½T��������z|�su�~|~��QÀ�� � � ��E,�����*.������ ���� ���6� � �3��� ��� ��À7�O������½Ó������~D½Ð����� � ½Ðx��1zD½Ó¾ox��&%'%ÐÀ«P¨�¥ %i¨�Às¨�©�©i¨s½

:|«�« <>� ½  �½Ðx{�i��uB���u��ÐÀI��½ Cn½TÇ.����u��gÀ�� � � E � ����&6+���� �� ������4H� ����& �� ��� �����7�"� .���*������+�4H��& �7�� .3����.���� �� + � � & � ����� &7�¼À¦Q½Q�nqsu�t�½s�^qK���B½$� �)(ÐÀ �i¥ � �sÀs¨�©i©�©½

:|«g¨�< �a½ C2½Qx{z|t8ta�i��BÀ�� �E��4H � � ���, 1� � � �"� ���,��4 �-�"� �>ÅU�_� �»�#�PÁ�¶ �z�~|~DÀÓ« � %iªiÈ1½

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� ¨s«

� *�*"$���*"$�

��� �T°B± Î Ï �$³�° � Î � �

( # ² ����¯ Ê °B° � ���6²��$Ï�± Ê ¯ ��$¹° �

� � ��� Ê ± �Ƴ�²"$ Ê�²&� ) $ Ê ¯ �

ª½�« �n�i~�~|uB�1��z|������¸�q����t8���sz��o�i���1z|~�~��-�����#�(½�½>½�½>½�½�½>½�½>½�½»½�½>½�½�½>½�½>½�½>½�½�½»½�½ £ª½ ¨<p�qu �>u��s~|u����s����ºs~|u�t ½�½>½�½>½�½�½»½�½>½�½>½�½�½>½�½>½�½»½�½>½�½�½>½�½>½�½>½�½�½»½�½ £ª½ ª %i©a�������z��1~|uB��z|���a����}�������u � �ÐuB�s���� � ¶æ¦i���sug�^�I����u��K��z���~o½»½�½>½�½�½>½�½>½�½>½�½�½»½�½ «i«ª½ v $o�u»�Q������z��1~|u»z|��� � ��}sº~�u�Á2u�~|~Ó�Q����uB�i��z|��~F½>½�½�½>½�½>½�½»½�½>½�½�½>½�½>½�½>½�½�½»½�½ «P¨

� � Î ��³�$ �$¯ � Î �$¯ � �

� ­ ) )^Ê �$Ï ��

���¥s½�« �o����}st8����z��i���������qu# ���t8z|~ �����sz�����¸¹}s��1��z|���

H> ½�½>½�½»½�½>½�½�½>½�½>½�½>½�½�½»½�½ «g£

¥s½ ¨<�oz|���sq���K��z|�su�������}ta�s��z|��� > ½�½>½�½�½»½�½>½�½>½�½�½>½�½>½�½»½�½>½�½�½>½�½>½�½>½�½�½»½�½ « �

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

Unité de recherche INRIA RocquencourtDomaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Futurs : Parc Club Orsay Université - ZAC des Vignes4, rue Jacques Monod - 91893 ORSAY Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334 Montbonnot Saint-Ismier (France)

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis : 2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399

top related