high-order averaging schemes with error bounds for ... · unité de recherche inria rocquencourt...

25
High-order averaging schemes with error bounds for thermodynamical properties calculations by MD simulations Eric Canc` es, Fran¸cois Castella, Philippe Chartier, Erwan Faou, Claude Le Bris, Fr´ ed´ eric Legoll, Gabriel Turinici To cite this version: Eric Canc` es, Fran¸cois Castella, Philippe Chartier, Erwan Faou, Claude Le Bris, et al.. High- order averaging schemes with error bounds for thermodynamical properties calculations by MD simulations. [Research Report] RR-4875, INRIA. 2003. <inria-00071708> HAL Id: inria-00071708 https://hal.inria.fr/inria-00071708 Submitted on 23 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destin´ ee au d´ epˆ ot et ` a la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publi´ es ou non, ´ emanant des ´ etablissements d’enseignement et de recherche fran¸cais ou ´ etrangers, des laboratoires publics ou priv´ es.

Upload: others

Post on 19-May-2020

9 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

High-order averaging schemes with error bounds for

thermodynamical properties calculations by MD

simulations

Eric Cances, Francois Castella, Philippe Chartier, Erwan Faou, Claude Le

Bris, Frederic Legoll, Gabriel Turinici

To cite this version:

Eric Cances, Francois Castella, Philippe Chartier, Erwan Faou, Claude Le Bris, et al.. High-order averaging schemes with error bounds for thermodynamical properties calculations by MDsimulations. [Research Report] RR-4875, INRIA. 2003. <inria-00071708>

HAL Id: inria-00071708

https://hal.inria.fr/inria-00071708

Submitted on 23 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.

Page 2: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

ISS

N 0

249-

6399

ISR

N IN

RIA

/RR

--48

75--

FR

+E

NG

ap por t de r ech er ch e

THÈME 4

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

High-order averaging schemes with error bounds forthermodynamical properties calculations by MD

simulations

Eric Cancès — François Castella — Philippe Chartier — Erwan Faou — Claude Le Bris —

Frédéric Legoll — Gabriel Turinici

N° 4875

Juillet 2003

Page 3: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone
Page 4: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

Unité de recherche INRIA RocquencourtDomaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France)

Téléphone : +33 1 39 63 55 11 — Télécopie : +33 1 39 63 53 30

������������ ������������������������������������ �!�#"$�%���$�$��'&(*)��� ��,+-��"������.��� 0/����*���1�2��354��$�46���7"$�1���!�2��31�2)�31��"��1����!&8/:9<;

�����=)�31�>"��1*���

?�@BADCFE8GIH$CKJKL∗ MON @PGQH�RKSTAULVE8GIL�WPXKYUYZG † MO[�\ ADYUAD]�]^X_E \ GQ@BWPAUXK@ ‡ M ?�@B`aGIH N GISTb ‡ M EaYZGIb$c�Xd�X(ef@gADL

∗ MON @BhKc�hi@gAUC_d�XijTSTYUY ∗§ M^k GIl�@gAUXKYnmob�@BADH�AUCKA ∗p�qsr�t8u>vawyx{z|t*}s~��-��z��i��u1��������z�t8z�������z|���

� u����{����rBt8uB���1�it8�s~�u���uB��O������u����������2�F����u������7�o�����

 ����s�I����� � u���ug�#qsu��#�#qsu¡�I¢$vK£K¤�¥�w§¦�}sz|~|~�u��o¨�©�©iª>w§¨s«>���¬iuB�

­0®$¯B°�±-²s³�°�´�µ uaz|�K����� � }�1u8qsz|¬�qs¶D�i� � uB�o�P·iu��#��¬�z|�s¬�¸¹�i��tf}s~���u�¸¹�i�>��qsu�����t8�s}��#�-��z|���(��¸n��������z�����z|�B��~�P·iu��#��¬iuB���i�_��quaºQ����z|�»��¸^��qsu8�{}st8u���z|�B��~���z|t*}~|����z|���F��¸^~|���s¬�¶U��z�t8uata�i~�ug�1}s~���� � �{���taz����o��������uB�¼¶������z�ug��½¿¾���z��s¬6��qsuB��u�¸¹����t*}s~���uiÀOÁnu�z|ta����-·iu0��qsu��1���{·iu���¬�u��Q�1uV�#�-��u���¸���qu���z�t8u_�P·iu��#��¬�u�Á�z���q��uB���IuB�¼�*������qsu0�1�it8�s}�������z|�����~^u�ÂI�i���g½ µ u0����-·{z � uV���it8u��K}tauB��z�����~Ou1�s��ta�~�ug����qQ�-�f��qs�-ÁÃ��qsuu�ÄV�1z|u��������¸O��}s�»���#qsuBt8u�½ µ qu�����������uB�¼������z�ug������u*���s�s���P�{z|t��-��u � }��z��s¬����{t8�s~|uB�1��z���z��K��u�¬��#�-��z��i����#qsuBtaug�VÅÆ��}�#q5����·�u�~|���1z����FÇ.uB��~|u1�¼È¼À�Ánu�¬iz�·iu�u������i��ºQ�i}s� � ����q���*�s���-·{z � u8¬i}sz � u�~|z��sug�����_�#qs�{�i��u��qsua����#��t8u1��u��#����¸O��qsu�����t8�s}��#�-��z|���Fz��(��� � u��o������ug���#q_��¬�z|·�uB� � uB��z|��u � ���B�1}s�#������z|�_��qsuata�K���u�ÄV�1z|u��K��t8���s�suB�B½É�ÊKËTÌ�Í*Î ±-Ï$¯�´ ����~|uB��}s~|��� � �{���t8z����BÀ7���#�-��z|����z�����~O�P·�u��#��¬iu*�1�it8�s}�������z|���ÐÀ�qsz|¬�q�¶Z��� � u��>�P·�uB����¬�z|�s¬���#qsuBtaug��À�uB�������2ºI��}s� � ��ÀsuB��¬i� � z|����qu�����u�t

∗ ÑÓÒIÔ7Õ>ÖÆÑ7×�ØgÒÙ�Ú¼ÛÝÜ.Þ$ß�àUáÝÚ¼â-ß#ÛÝÜ�ãPÜ�äÐå�Ú¼â1àDäÐÜæà7ÑTç-ß#èPäUäDé�Ü�ä�Ø-êOÜæà7ënß�ì1Ü�âBèPÜOíTÛîß#áÝäUÜ$åsß#äUÙ�ß#Û�Ø-ÑTá àDé$ï$Ü�äDÙ�ß#ðÆàUÜ�ä�Ø-ñ¼ñ�ò1ó¼óÕ�ß#ðUâPÜæôõÛîß�ô|öTß#ÛÝÛÝé�ÜOÑTÜ�ãPÜæ÷>øgØgù-ðDß#âgÙ�ܼØ�ß#âPã»Õ>ÖÆÑÓÕ>ú$Ñ$ØgÖ¹Þ$ÔÐÖõú6ÔÐÚBÙ�û�èPÜ�âPÙ�Ú¼èPð¹à

† Ö¹Ô�Õ>ú$ÔOØPü�âPá ì1Ü�ðÆäDá àUé^ãgÜOÔ7Ü�âPâPÜ�äOý¼Ø�ÑÓß#þ�ÿPèPäÐãPÜOíTÜ�ß#èPÛÝáÝÜ�èKØ��¼ó��#ò1ø�Ô7Ü�âPâPÜ�ä$ÑTÜ�ãgÜ�÷�Ø-ù-ðUß#âPÙ�܇ ú��{ú$ï$Ö¹Þ^ØgÖ¹Þ$ÔÐÖõú6ÔÐÜ�âPâPÜ�ä§ ÒIï$ùaÔ��(ïnØgú$â-ß#Û �BäDÜ$Ü�à7Õ>Ú�ã�ÛÝÜ�ä7Þ�èPþ�é�ðÆáÝûBèPÜ�ä�ØKý¼Øgß�ì1Ü�âBègÜ^ãgè��$é�âPé�ðUß#Û{ãPÜ ��ß#èPÛÝÛÝܼØ��¼øgý�ò���ÑÓÛîß#þ�ß#ð¹à�Øgù-ðUß#âPÙ�Ü

Page 5: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

� �����������, �����$ ��$����31����� 46�)0� 31� �n�*31�n)�3 �� ���/����������!��� �/����*�����a)��=���3���2)�3����¼���

�� ¯ ��� � ´ ����}Q��z|�i����� � }z|������ � uB��¸¹�i��tf}s~|uB� ��� ��� � ��u���~|u�·����Q�i}s��~|u0����~|��}s~ � uVt8�-�iu��s�sug�������-¶��z|����z��K}suB�����������z�� � u���z|t*}s~��-��z��i����{}st��B��z��K}suB� � uV��������uB�¼����z|��ug� � u � �{���t8z��i}u0t8��~��B��}s~|��z���uVuB���u�t8��»~|���s¬Q½��nug��¸¹�i��tf}s~�ug���Iu���t8u1����u��K� ��� ��������~�����u��o~|���1���{·iu���¬�u��Q�1u � ug��t8�-��uB�s�sug����uBt8�Q�i��uB~�~|uB�·iu��#��~|uB��ta�-�iu��s�uB� ��� uB���uBt*ºs~|uB����qu���ta� � �{���t8z��K}sug��½»�nu�����uf����s�����#qsu*uB������ug������ua��}s�»�s~|}��z�uB}s���u���u�t8�s~|uB�n�K}t��B��z��K}suB���K}szTt8���K����u��K�����i�Vu1ÄV���i�1z����i½��7���#���K}suo~�ug�O��������uB�1����z|��uB�^�����K������~|��}s~��BuB�n����}�8��~�¬i����z ��qst8u����{t8�s~|uB�¼��z��K}su�ÅU�1�itat8u�·iu�~|���1z�����Ç.u���~�u��#È1À��s�i}� � �i�s�s���Q� � uB�OuB����z|t8����uB}s��� ��� uB����u�}s��K}sz�¬i}sz � u��K�»~|u��#qs��z�� � uB�»�������t8r1����uB� � u8~|����z�tf}s~|����z|���ÐÀÓ�! � ��� ��ºs��u��z�� � ug�o���B��}s~��������>�P·�ug��}s�su����g�1z���z|��� � ���s�"��u � u>~��ft����sz�rB��u>~��a�s~�}Q��u1ÄV���i�1u>�I�i����z|ºs~|u�½# Î °g¯ Ì ³%$ � ¯¿´ �o�{���t8z��i}u0t8��~��B��}s~|��z���u�ÀO�B��~��1}s~ � u�t8�-��uB�s�suB�a�����-��z|����z��K}suB�BÀO���#q&��t���� ��� ��� � ��u�B~�uB·%�>�I��}s��~|u�����~��1}~ � u>t8�-��u���suB�BÀ�uB����z|t��-��z|��� ��� u�����uB}s�gÀi��q&���i��rBt8u»uB��¬i� � z��K}su

Page 6: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� ª

8 9 �f"7��� �)��^"��1��

p�qu»����i�QuB����z�ug�n��¸��a¬�z|·�uB�0�sq{����z�����~Ó��������u�t��-�2��qsuB��t8� � �{���t8z�����~Iu �K}sz�~|z|ºs��z|}st ÅÆ��� � z���~ � z�������z|ºs}�¶��z��i��¸¹}s��1��z|����BÀP¸¹��u�u^uB�su���¬�z|uB�BÀB���#������Q�i���$�1�{u1ÄV�1z|u��K�#��À�½B½�½�È������*ºQu2�1��t8�s}s��u � �����P·�u��#��¬iuB�T��¸Q���it8u�iº��u���·P��ºs~|uB�O�-·iu��^��qsu»�sq�i��u»����i�1uo��¸Ð���uo��u��s��uB��u��K�#�-��z|·�u�}� � u���~|�Kz|�s¬ftaz��1���i���1�i�sz�����������uBt;:�«�Às¨�<D½�æ�_t8�K���o���s�s~|z|�B�-��z��i�����¸�z|�K��uB��ug���gÀ��qsz|�ot8z|�����K�������sz������{����uBt�z�������t8�I�i��u � ��¸^�Vqsz�¬iq��{}st*ºIu��

��¸7�������z|��~�ug�»ÅU�1}s����u��K��~|�V����} � z|u � ºsz|��~|��¬�z�����~I��������u�t���z|�K·i��~|·�uota�i��u���q���(«g©�©À ©i©�©�������t��#ȼÀs���*��q�-���qsu � z�t8uB���z|������¸7��qsu>�sq�i��u»���Q���1u8ŹÁ�qz|�#q�z|�

6MÀ{Á�qsuB��u

Mz��^��qsu>�{}st*ºIu�����¸��������z��1~|uB�#ÈOz�����~����

·iu�����~|����¬iu�À{t���={z|�s¬a��qsu�����t8�s}��#�-��z|������¸$��qu��P·�u��#��¬iuB�n�a�#qQ��~|~�uB�s¬�z|�s¬f������=T½p�Án��¸Æ��t8z�~|z|uB�O��¸Ótau���qs� � �n����u��1}����u��K��~|�*}Q��u � z����i� � uB�.���f����ta�~�u���qsu��q����u����Q���1uo��������� � z|�s¬

���*��qsu��1�i�{·�u��z�uB�i�2�s����º��ºsz�~|z���� � u����z����FŹÁ�qsz��#q � u��Iu�� � ��z �#��uB~ ¸$��¸7��qsu»��qsuB��t8� � �{���taz��ou����u�tfºs~�uz|��Á�qsz��#q0��qsu�����~|��}s~|����z|����z|���Iu���¸¹����t8u �?> ��ÇA@�ÀI��Çop>ÀQ���^p>ÀнB½�½#È > ���i�i��u*�2����~��at8u1��q� � �$:�«iÀ¨-<�i�0��qsu����u»qQ��� � ÀQ��� � ���i~�ug�1}s~������o�K�Q��t8z|�B��ÅÆ�_�>È��i�0��qsu�����qsu���qQ��� � ½.�æ����qu�~|������uB�����i��uiÀ{��qsu��z�t8uau�·i��~|}���z|���(��¸O��qsuft8z��1���i���1�i�sz|�f��������uBt z|�>��z�tf}s~|����u � Ź�I�i����z�ºs~|�_�1�i}s�s~|u � Á�z ��q(��º�-��qÐÀÐ��}Q�#q�i�»z��5��Ç»p>À7���np>ÀO½�½B½�����~|��}s~��-��z|���Q��È�BÐ}s� � uB�>��qsu�uB��¬i� � z|��z ���_�i����}st8����z��i�ÐÀT��qsu8��������uB�1����������¸2��qsu��������u�t ����i�QuB��~|�_����t8�s~�ug�»��qsu��q����u�����i�1u8��� � ��qsua��z|tauV�P·iu��#��¬iu*��¸n��qsu��iº��u���·P��ºs~|uf�-·iu��»��qsu��������uB�1�������5�1�i�K·iu���¬�ug�>���-Á���� � ��qu�uB���u�t*º~�u��P·�uB����¬�u���¸���qu��iº��u���·P��ºs~|u0Á�qsuB� ��qsu���z|t*}s~��-��z��i���z�t8u�¬i�Kug�n����z|� �sz����(: ª-<Z½µ qsuB�0��z�t8u>�P·�uB����¬�uB�^����u�uB����z|t��-��u � º{�V�_�¡�B��~��1}s~��-��z��i���À{���{}st8uB��z�����~I���#qsu�t8uoz|�2�suBu � u � ���

����t8�s}���u���qsu»u�·��i~�}s��z|������¸7��qsu>��������uBt,z�����qsu>�sq�i��u»����i�1ui½$p�qsu»��uB��}s~ ��z��¬*�{}st8u���z|�B��~Q���#�-��ug�¼���i���� u�·{z|����ug� � �#��t��-��z|�B��~|~��*¸¹���it ��qsu�u1�s�i�¼�^�i�su�z|�8��qsuo~��i�s¬>��z|t8u�~|z�t8z��B½%Cs}s����qu���ta�i��uiÀ���qsu���z�tf}s~|����u ���������uB�1�������>z|�O��¸I����}s�#��un��¸ �z ��u�~�uB�s¬���qн��æ�8�s�#���1��z��1uiÀ�Ánu2��qK}Q�.����un¸Æ���$¸¹���it ��qu2z � ug��~s�iº���uB�1����¸I���u��s���¼����������uB�1�������0��¸.z�� Q�sz ��u*~|u��s¬���qн��Z�oz|��qs�-ÁnuB·�uB����¸^�1�it8ta�i��ºQuB~�z|u1¸^��� � �1�itat8�i�s~�����ºQ��uB��·iu ���q�-�gÀÐz|�(t����{�_��z ��}�-��z��i��BÀÐ������z���¸¹�{z|�s¬���uB��}s~����>����ua��º��#��z|�su � ¸¹���»��qsua��z�t8u��P·�uB����¬�uB�BÀ � uB���sz���ua��qsu�����·�uB���Vqz�¬iq0��������uB�¼�������V���B�1}s�#�����V��� � ��qsu����������u�t8uB� � ��}Q��~|��~��i�s¬���z|t*}~|����z|������z|taui½�æ�>��qsz|��������z��1~|u�ÀgÁnu Q�����Ð�s���-·Kz � uO���>���s�����uB�i��~����su�Á t8u1��qs� � ¸¹���7�B��~��1}s~��-��z��s¬���qsu.��z�t8u^�P·iu��#��¬�ui½

�Z�V��~�~|�-Á��*�i�su�u�z���qsuB�8��� ��z|¬��sz� Q�B���K��~|� ���Iu�u � }� ��qsu��1���{·iu���¬�u��Q�1u�¸¹�i�8�6¬iz�·iu�� �i���1}���i�1� ���a����i�#qsz|u�·�u�� ºIu1����u������B�1}s�#����� �-�0� ¬iz�·iu����1�it8�s}�������z|�����~��1�K���g½ �æ� � �s� z���z|���ÐÀ�Á2uF�1�i�K����z�ºs}s��u������qsuF��ºQ�-·iu�����t8t8��� ºQuB~�z|u1¸���qs����}s¬iq ���D�FE,�"�7��"��u������i�8uB����z|t8����z|��� Á�qsz��#q��s���-·Kz � ug����� }s�s�Iu��ºI��}� � ��¸T��qu�u������i�.ºQu���ÁnuBu��a��qu����1��}��~u��Q��uBt*ºs~|u��P·�uB����¬�u���� � ��qsu��{}st8u���z|�B��~|~��a�1�ita�}���u � ��z�t8u�P·iu��#��¬iu�À-¸¹}s�Q�¼��z|������¸Ó��qsuo�{}st8uB��z�����~�������tau���uB���^��¸Ó��qu»�B��~��1}s~��-��z��i�ÐÀizD½ u�½$��qsu8Å Q�sz ��ugÈ^z��K��u�¬��#�-��z��i���z�t8u8����u��F��� � ��qsu�Å �sz���uPÈ���������uB�¼��������~|u��¬���q7½»p�qsz��ouB����z|t8����z|���F��~|���Vz|�{·���~|·�ug����qsu*�i� � uB����¸O��qsu�{}st8uB��z�����~����#qsuBtau�}��u � ��� �1�it8�s}���u���qsu����#�-��ug�¼���i���5�i�8ÁnuB~�~��i�a����t8u�����#��t8u���u��#�a��uB~|����u � �����qsu8��z|t8uV�P·�uB����¬�z|�s¬Vt8u1��qs� � ½ µ uV��qs�-Á z�� �������z|��}s~|���>��q���>��qsu�uB������� � }su8������qsu� �z ��u��sug������¸��qsu���z|t*}s~��-��z��i� ��z|tau

T� uB�B�P�������

1/Tz�¸���qsu0��z|tau��P·�uB����¬�u8z|�a�1�it8�s}���u � º{� � z|���1��u1��zHGBz��s¬_��qsu

������� � ��� � ¸¹����t*}~|� 1

T

∫ T

0

A(t) dtÅA(t)� u��s����ug�.��qu�·-��~|}su���¸Ó��qsu��iº��u���·P��ºs~|u��-�^��z�t8u

tÈ�Á�qsu���uB�i�

��qsz��*�1�it8�Q�i�su��K����¸���qsu0uB������� � ug�1��uB����uB�*���1/T k Á�qsu���u k z��*���#qs�K��uB�6�I�i��z���z|·�u�z|�i��u�¬iu���z�¸���qsu

��z�t8u»�P·�u��#��¬iu�z|�^u�·-��~|}�-��u � Á�z���qV��qsu�¸¹����t*}s~�� ∫ T

0

A(t) fk,T (t) dtÁ�qsuB��u

fk,T (t)z��^����t8u ~���uB��z|�s¬

¸¹}��¼��z��i��Á�q�i��u»u����s��ug����z|���0z����s���-·{z � u � z|��x{uB��½Q¨�½

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

Page 7: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

v ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

µ u*�i�s~�� � ug��~7qu���u�Á�z ��q���quf��Ç @���qu���ta� � �{���t8z|�B��~7uB���u�t*º~�ui½�p�qsu�u �K}����z|�������¸.t8����z��i�Á�qz|�#q8�1�i����uB���Q�i� � ���>��qsz��.uB���uBt*ºs~|u�����un��qsu���u�Á����i�8u �K}�-��z��i���Åõ��qsu����sq{����z�����~�� � �K�Q��t8z|�B����¸I��qsu��������u�tVȼÀÁ�qsz|�#q_�B����ºIu���ug���i���������! ���t8z|~ �����sz���� � �{���t8z|�B��~Ð���{����uBt�½� ��-Á2u�·iu��gÀs��z|t8z�~�������ug��}s~��������ua~|zH=iu�~|������qs��~ � Á�z ��qsz�� ����qsuB��u����u�tfºs~�ug��ÀÓ����-·{z � u � ��q������qsu8}s� � u���~��{z|�s¬ � �{���t8z�����~.��������u�tz��" o��t8z|~ �����sz���� BO��q���fz�����qu����i��u0Á�qsu�� ���i���1¶Z����z|��������a��qu���ta�K���#�-�#�1: v�<�����u0}��u � ���(�QuB��¸¹�i��t����t8�s}��#�-��z��i��*z|�5��qsu���Çop,uB���u�t*º~�ui½ µ u�����u��1}s����uB�K��~|�6Á2��� ={z��¬���� ��}�#q u��K��u����z|��� ��¸���}s����s�s���i�i�#qн¾�� � u�������t8u�·�uB���a�������i�s¬�q{�K�I����qsuB��uB�n�1�i~�~|uB�1��u � z|�V����QuB� � z��V¥sÀiz|���~�} � z��s¬*z��V�Q������z��1}s~����.��q�-�

��qsu# ���t8z�~����i�sz|������������u�t�z|��z|�K��uB¬��#��ºs~|u�À{Á2u�����u»��ºs~�u>������z|¬��i���i}��~��8uB������ºs~|z|��q0��qsu�u���������uB����z|t��-��ut8uB�i��z��i�su � ��ºQ�-·iu���� � ��u1�*z|�¿x{ug��½_¨�½�p�qsu0������qsuB��z��K����z�������uV��� � t8����qsuBt��-��z�����~�~|� � u�t���� � z��s¬����{��¸I��¸Q��qsz��.uB����z|t��-��u��B���aºQu���uB� � z|���>�1��t8����sz|���f������z|��~�u :Ý¥-<Z½ µ u��s���-·{z � u2z|��x�uB���B½�ªs½|«2��� � ªs½Ý¨�{}st8uB��z�����~Ðu1�s��t8�s~|uB������z��K��u�¬��#��º~�u���������u�t�����qQ�-�o��qs�-Á ��q������}s�ouB����z|t��-��u�z���z|� � uBu � ��q�����н�$�¸����}s�#��u�ÀP·�uB���o¸¹u�Á¿��¸s��qsu2��������u�t���}��u � z|�f�#qsuBt8z|�������>���$�sq{�{��z����$����u^z|�i��u�¬i����ºs~�ui½ C������}s�����uB~��iÀguB·�uB�z�¸TÁnu�����u2�s���O��º~�u2���>�s���-·�u2z��O��z|¬��i���i}��~|��ÀP�i}s��uB����z|t8����u���~����»��u�uBt8�$���>qs��~ � ����}su�z��at8����u2��uB��~�z�����z����z���}����z|����BÀÓ���»z ��z��>��qs�-Á��Fz�� x{uB��½*ªs½ ªsÀÓÁ�qsuB��ua�1�i�K·{z|��1z|�s¬���ug��}s~����»�i�(�0��������u�t ��¸�%�©0�������z��1~|uB�z|�¿ªi� z��K��u��#���¼��z��¬_��q���i}s¬�q �_����}s�Q���-��u � �Ðu������ � ¶æ¦��i�suB�*�Q����u��K��z|��~�����u��s���-·Kz � u � ½ �7�i����~��iÀOÁnuz|�{·�ug����z�¬K�-��uaz|� x{uB��½7ªs½ v���qsuVu��s��t8�s~|ua��¸��_¨��,�������z|��~�u�z|�5� � ��}sº~�u�Á2u�~|~O�I����uB�K��z|u�~DÀ7Á�qsz��#q z|������-�8ta� � uB~Ttaz|t8z|��={z|�s¬f�f~�����¬�u��2��������uBtÃÁ�q�i��u��I����uB�K��z���~Tu��suB��¬i����}s��¸Æ����u��s��uB��u��K�#�n��u�·iu��#��~ºQ����z�����������ug���I��� � z��¬0����t8u�����������ºs~|uV���#�-��ug��½Vp��#�����z ��z��i��»ºQu���ÁnuBu��6��quB��uV���#�-��ug������u8�Q�K����z�º~�u�ºs}s�*����u�#����u�u�·iu��K���.z|�V�1�it8�����z|�����aÁ�z���q���qsu�¸Æ������uB�^�#q�����i�¼��uB��z�����z��^��z�t8u�������~�u���¸T��qsu���������u�t�½��Z�^z��^��qs�-Á���i�*��qsz��.��z|t8�s~�u�u��s��t8�s~|un��q�-�.z�¸Q��qsu�u��u���¬�����¸Q��qsu��Q������z��1~|unz��I��}���^��ºI�-·�un��qsu���� �s� ~�u��I��z|�i�.uB�su���¬����¸^��qsuV�I����uB�K��z���~DÀÓ��qsu0������u8��¸��1���{·iu���¬�u��Q�1u*��¸n��qsu8��z|t8uV�P·�uB����¬�uB�»����~|��}s~��-��u � º{�F�F�!z�����~|�-Ánu �� �-Á������

1/√TÀ � }suo���f��qu �K}�i��z�¶Z�������#q�i����z|�����#�����z ��z��i�V�s�����1uB���nºQu���ÁnuBu�����qsu»��Án�fº����z��Q�^��¸Ð��qsu

� ��}sºs~|u�Á2u�~|~Ó�Q����u��K��z|��~U½O�Z��z�����~|������qs�-Á�����qQ�-�BÀz ¸���qu�u��suB��¬i�V��¸$��qsu��Q������z��1~|u»z�����t���~|~�uB������t*}Q�#q~�����¬�uB�Ð��q���*��qsu���� �s� ~|u^�I��z|�K�.u��suB��¬i��Àg��qsu2��z�t8u��P·�u��#��¬iuB�Ð�����{·�uB��¬iu�Àgºs}��.�s�������-Á2��� � ��qsu2u����u�tfºs~�u�P·iu��#��¬iu�½� ��-ÁnuB·�u��gÀ�z�¸7���u�}��uB�2��uB·�u��#��~z��sz���z���~T�1�i� � z���z|����2��� � �1��t8�s}s��uo����z|t8uo�P·�uB����¬�u2¸¹���2uB�i�#q��¸7��qsu�t�Àsz���z|����qs�-Á��0��q������qsu�t8ug����·P��~�}u»��¸���qsuB��u»��z|t8u��P·�u��#��¬iuB�^z|���a¬i�K� � ���s����P��z|t8����z|���V��¸��qsu�u��Q��uBt*ºs~|u��P·�u��#��¬iu�½

& 9<���1�%�7�2"Ð"������ ���� :�����7)�3#"

�7u1��}Q�o�������z � u��M�������z|��~�ug��z|�Fª��f½ @n���#q��������z|��~�u

iz|� � uB���1��z|ºQu � º{��z����o�Q�K��z���z|���('

i ∈ 3 ÀQz����

t8�itauB�K��}st*)i ∈

3 ��� � z�����t������ mi½��Ðu1�

H(',))ºQu2��qu� ���t8z|~ �����sz����f��¸Q��qsu���������u�t�À � u� �su �

�i� 3M × 3M ºK�

H(',)) =

M∑

i=1

) 2i

2mi+ V (

'1, . . . ,

'M ),

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

Page 8: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� ¥

Á�qu���uVz|����qsuVz|�K��uB���i�¼��z|��� �I����u��K��z���~DÀ$��� � ' ��� � ) ����u��s���#�-��z|���Q�>¸¹���

('

1, . . . ,'

M )��� � ¸¹���

()

1, . . . ,)

M )��uB���Qug�¼��z�·iu�~|��½�p�qsu# ���taz|~������z|��� � �{���t8z|�B��~Ð���{����uBt'�������{��z|����u � ���

Hz���¬�z|·�uB��º{�

d'

dt=

∂H

∂) ('(t),

)(t)),

d)

dt= −∂H

∂' ('(t),

)(t)).

Å�«gÈ

µ u_��}�s�Q�K��u���qQ�-�8��qsu � �K�Q��t8z|�B��~����{����uBt�Å�«PÈaq���3Mz|�{·-����z|���i�a¸¹}s��1��z|����

Ij(',))Àj =

1, . . . , 3M½7�Ðu��Ð}�Ð��uB�B��~|~P��q���

Ij(',))z��7���>z|�{·P����z����K�T¸¹}s��1��z|����z�¸

Ij('(t),

)(t))ÀPÁ�qsu���u

('(t),

)(t))z��2���i~�}���z��i�V��¸2Å�«gÈ1À{z|�2�1�i����#���K�nÁ�z���q���ug���IuB�1�^������z|t8u�½�$�¸�����}s�#��u�À

H(',))z|�n���suo��¸Ð��qsuB��u�z|�{·-����z ¶

���K���BÀs��z|��1u»��qsu�u��suB��¬i��z|���s��ug��uB��·iu � ºK�V��qsu � �{���t8z|�B��½ µ u � u��s����u�º{�

S(',)) =

{

( � ,Ë) ∈ 3M × 3M ��}�#q0��q�-� ∀j ∈ [1, 3M ], Ij( � ,

Ë) = Ij(

',))} ÅU¨�È

��qsu�~|u�·�uB~Ð��u�����¸$��qsu�z|�{·P����z����K�2¸¹}s��1��z|���� {Ij}1≤j≤3M

�1�i�i�#��z|�sz|�s¬*��qsu��sq�i��u��������u>�Q�iz��K�(',))½

�7u1�('

0,)

0)ºQu6��� z|�sz ��z|��~o����� � z���z|���7À���� � ~|u1�

A(',))ºIuF��� �iº��uB��·-��ºs~�u�Á�q�i��u_�P·�u��#��¬iu

z���Á2u�~|~�¶ � u� �su � z|� ��qu���Ç @ u��Q��uBt*ºs~|u�½����*ÁnuV��}s�s�I�i��u���q�-����qsu � �{���t8z|�B��~n��������u�t�q���3Mz|�{·-����z|���i�#��À���qsu»���1��}��~s���#�-��ug�¼�������f����������z|�s¬�¸¹����tÃ��qsu�z|�sz���z���~I�Q�iz��K�

('

0,)

0)��u�t���z|��O¸¹���n��~�~Q��z|t8uB�

�i�0��qsu�~|u�·�uB~Ð��u��S('

0,)

0)½^p�q{}��À{��qsu���u�~|u�·-���K��u����u�tfºs~|u>�P·iu��#��¬iu���¸���qsu��iº��u���·P��ºs~|u

A��uB� � �

〈A〉 =

S('

0,)

0)

A(',)) dµ(

',))

S('

0,)

0)

dµ(',))

ÅƪiÈ

Á�qu���udµ(

',))z��2��qu�z��{·-����z|���K�2t8uB�i��}��u>���

S('

0,)

0)½

¾�� � u��O����t8unqK�{�I����qsuB��uB���1�i~�~|uB�1��u � z|�f����QuB� � z��a¥�À-�i�su2�B���f�s���-·iuA:Ý¥{À %-<���qsu2����¶æ����~�~|u � u���¬�� � z����qsu��i��uBt�À{��q����z|�

limT→∞

1

T

∫ T

0

A('(t),

)(t)) dt = 〈A〉, Źv{È

Á�qu���u('(t),

)(t))z|�n��qu���������uB�¼�������f��¸Ð��qu>��������u�t Å�«PÈ^����������z��¬�¸¹����t ��quoz|�sz���z���~T�Q�iz��K�

('

0,)

0)½

�o����������s���P��z|t��-��z|���V���8��qu��P·�u��#��¬iu*ÅƪKȼÀsz���z����8���#��� � ��� � ���s����K���#qV���8}��u>��qsu � z�������u���u���}st

〈A〉Rienum(δt, T ) =

1

N

N−1∑

j=0

A( '

j ,)

j

)

,ÅU¥�È

Á�qu���u('

j ,)

j)N−1j=0

z�����qsua�K}tauB��z�����~Ð��������uB�¼�������0¬iz�·iu��_º{�����_z|�K��u�¬i������z|���_���#qsu�t8u���¸.��z|t8ua����uB�δt����s~�z|u � �i�F@ �{��½�Å�«gȼÀT��� � Á�qsu���u

T = N δt½� ��-Á2u�·iu��gÀ������qsuf�����{·�uB��¬iu����uoz|� ÅÆvKÈ�������}s�#�$: %�<

�i�s~|�0�-�����QuBu �1/TÀKÁ2u������s�s����u��{�IuB�1���f¸Æ������u��������{·�uB��¬iu����u��#�-��u»��¸�ÅD¥�È^���-Á���� � 〈A〉 ½

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

Page 9: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

% ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

�æ���i� � uB�T����z|t8�s���-·�u$��qsz��Ð�i���{t8��������z��.�1�i�K·iu���¬�uB��1u$������uiÀBÁ2uO��}¬�¬�ug���Ó������uB�s~����1u���qsuO}s�z ¸¹�i��t8~|�i¶Á2u�z|¬�qK��u � ��z|tau��P·iu��#��¬iu 1

T

∫ T

0

A('(t),

)(t)) dt

º{��� ~���uB��u � ��z�t8u��P·�uB����¬�uo��¸7��qsu>¸¹����t

∫ T

0

A('(t),

)(t)) fT (t) dt,

Å %iÈ

Á�qu���ufT�i�¼�#�7����� ~���uB��z|�s¬�¸¹}��¼��z��i����¸���qsun��z�¬i���~

t 7→ A('(t),

)(t))½%Cs�i�7z|����#�����u�À � uB�s����z��s¬�ºK�

I1(t1) =2

T

∫ t1+T/2

t1

A('(t),

)(t)) dt

��qsu���z�t8u��P·�uB����¬�u�z|�V��qsu>z��K��uB��·-��~[t1, t1 + T/2]

ÅÆÁ�z ��qt1 ∈

[0, T/2]ȼÀs�i�su*�����F�1�i���z � uB����qsua�P·�uB����¬�u»��¸

I1(t1)�-·iu��

t1ÀQzD½ u�½ 〈A〉(2)(T ) =

2

T

∫ T/2

0

I1(t1)dt1½

�7u1��}� � u �su>��qsu>¸¹}s��1��z|���α[0,T ]

ºK�

α[0,T ] : t ∈ 7→ 1/T z�¸ t ∈ [0, T ], 0����qsuB��Á�z���u

.

p�qu�� 〈A〉(2)(T )����� ºQu���uB���i���az��K���¿Å %KȼÀnÁ�z ��q

fT ≡ f2,TÀOÁ�qsuB��u

f2,Tz��*��qsu��1�i�K·i��~|}���z|���5��¸

α[0,T/2]Á�z���q z�����u�~�¸�½V������u8¬�u��u��#��~|~��iÀ � u��s����z|�s¬�º{�

fk,T��qsu

k¶D��q5�1�i�K·i��~|}���z|���(��¸n��qsu8¸¹}s�Q�¼��z|���

α[0,T/k]Á�z���qFz �#��uB~ ¸�ÀÓÁ2u � u� �su*��qsuf��z|t8uf�P·�uB����¬�u 〈A〉(k)(T ) =

∫ T

0

A('(t),

)(t)) fk,T (t) dt

½ µ u�B�����s���-·�u�: ¥�<ZÀs}s� � u�����qsu�����t8u»�i����}st8����z��i���������ºQ�-·iu�ÀK��q���

〈A〉(k)(T ) = 〈A〉 +O

(

1

T k

)

.ÅD¤�È

p�q{}�BÀ.¸¹�i�8���{� ²�±P®��Æ°�±-²�± Ë¡�Q�K��z���z|·�u�z|�i��u�¬iu��kÀ^z��az��a�Q�K����z|ºs~�u���� � ug��z|¬�� ���¿�P·iu��#��¬�z|�s¬_���#qsu�t8u

Á�qz|�#q��1�i�K·iu���¬�ug�O���8��qsu�uB���uBt*ºs~|u��P·�uB����¬�u��������Iu�u �1/T k ½p�qsu � z|���1��u1��u»·iu��#��z|������¸ 〈A〉(k)(T )

z|�

〈A〉(k)num(δt, T ) =

1

Nk

k(N−1)∑

j=0

C(k,N − 1, j)A( '

j ,)

j

)

,ÅÆ£iÈ

Á�qu���u('

j ,)

j)kNj=0

z��.��qu��{}st8u���z|�B��~���������uB�¼��������¬�z|·�uB�fº{�8���8z|�i��u�¬i������z|���8���#qsuBt8u���¸T��z|t8u�����u��δtÀ

T = kN δt��� � Á�qsu���u

C(k,N − 1, j)z��n��qsu>�{}st*ºIu�����¸

k¶D��}s�~�ug����¸7�I�i��z ��z�·iuoz|�K��uB¬�u��#�

j1, . . . , jkÁ�q�i��u_��}st�z��� s��u � ��� ºIuj��� � Á�qz|�#q ��~�~oºQuB~��i�s¬5���

[0, N − 1]½¡p�qsuB��u_�{}stfºQuB����������ºIu

����t8�s}���u � º{����ug�1}s�#��z��i�ÐÀsz|�F��}Q�#q_��Á2�P�0��q������qsu�z|�o����t8�s}��#�-��z|���Fz|�o��~|ta�K����¸¹��uBu�z��(�1��t8�����z���������a��qsu�����t8�s}��#�-��z|������¸$��qu>���#�-��uB�1���i���

('

j ,)

j)kNj=0

½p�qsu�¸¹����t*}s~���ÅÆ£iÈ�z|���8¬iu��suB����~�z5GB����z|������¸�ÅU¥iÈ���z|��1u 〈A〉(k=1)

num (δt, T ) = 〈A〉Rienum(δt, T )

½np��8��qsuºIuB���8��¸���}�3={�s�-Á�~|u � ¬iu�À$��qu����#qsu�t8u6ÅÆ£iÈ � �{uB�f�s���a��u�u�t ���(ºIu�}Q��u � z�� ����~|uB��}s~����f�o�{���t8z������z|t*}s~��-��z��i���ÀÓ�i���-�>~�ug�����»����ºIu8��uB�Q�i����u � ���6z��(��qsu8~|z ��u��#�-��}s��ui½ $�¸n����}s�#��u�ÀÐ���{��z|��¸¹����t��-��z��i�F�����}s¬i¬�uB����z|���8¸¹����t ��qsu»��ug� � uB�BÀK�������z��1}~|����~|�f�i�V��qsz|�2�I��z|�K�2�i�n�i�0t8����u�¬iu��suB����~z�����}suB�BÀ{Á�z�~|~T��ug�1uBz�·iu�i}s��ºIuB�����-����u��K��z|���7½

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

Page 10: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� ¤

�æ�_� �s� z���z|���ÐÀsz�¸.�����{t8�s~|uB�¼��z|�����#qsuBtau���¸$�i� � u��r0z|��}Q��u � ���V�1�ita�}���u>��qsu>���#�-��ug�¼���i���(Ź��uB����~�~

��q�-�gÀ�¸¹���fz����������1uiÀ$��qsu�·�uB~����1z����FÇ.uB��~|u1�8���#qu�t8u0z��*���{ta�~�ug�¼��z��0��� � ��¸��i� � u��r0 = 2

È1À.Ánu����������-·iu3:Ý¥�<Ð��qsu>¸¹��~|~��-Á�z|�s¬au������i��uB����z|t8����u >

| 〈A〉(k)num(δt, T ) − 〈A〉 | ≤ C

(

1

T k+ δtr0

) Å��iÈ

¸¹�i�����it8u>������������K�CÁ�qsz��#q � �Kug���s��� � u��Iu�� � ���

T���δt½

µ uV}s� � u���~�z|�sua��q������qu��Q�i~��{�s�itaz���~ � uB���P�F��¸2��qsu�uB�������>Á�z���q ��ug���IuB�1��������qsu8��������~O��z|tau���¸��z|t*}s~��-��z��i�

Tz���t�� � u��I�i����z|ºs~|u>ºK�0��qsu�¸Æ���¼����q�-����qsu�·-��~|}sug�

A( '

j ,)

j

) ����u��1�i����u�~��-��u � z|����z|t8u�Àz|�6��qsuV��u��Q��ua��qQ�-����qu��(����u8�iº�����z��su � º{�F��qsuV��z�tf}s~��-��z|���6��¸����u8��z|�s¬�~|ua���#�-��uB�1���i���i½ µ qu�� ���su}Q��ug�.�������K��u��2����~|�ot8u���qs� � Ài��qsu�·-��~�}sug�

A( '

j ,)

j

) ����u2�s���^��������uB~|����u � ���{��t8����u�Ài��� � ��qu�u������i��i�s~|� � ug���P���O�-�^��qsuo}s�sz|·�u��#����~��#�-��u

1/√TÅÆ��u�u���~|���>��qu�u1�s��ta�~�u���¸I��qsu � ��}sºs~|u�Á2u�~|~sz|��x{uB��½$ª½ v{ȼ½

p�qsuo�s���K��¸I��¸^Å��KȼÀi����¬iu1��qsu��OÁ�z���q � u1�#��z|~|�^���8��qu ~���uB�^}��u � z|�8¸¹����t*}~|�VÅU£iÈ1Àit��P�aºQu���uB� � z��V�����t8����sz��i�a������z|��~�u$:Ý¥-<Z½O�n}s����u��K�Ou�ÂI�i���#�.��¸Ó��uB��uB���#�#qf����u � z���uB�1��u � ���-Á2��� � � � uB��z�¬i�sz��¬»����qsuB� ~���uB�����q�-��t8z|¬�qK��¸¹}s����qsuB��z�t8�s���-·�uo��qu�u1ÄV�1z|u�����V��¸$��}s�����s�s���i�i�#qн

� � )��������1�n�*3 ���V�*� 4�3����

µ u��s�-Á ��}s���0�����{}st8u���z|�B��~Tu1�s��t8�s~|uB�2��q�-����qs�-Á >� ��qsu_��q�����s�uB���*��¸���qu�uB����z|t8����u5Å��KÈ*¸¹���8z��K��u�¬��#��º~�u ���taz|~������z|��� ��������u�t��8������z���¸¹�{z|�s¬�ÅÆ�-�~�ug���������itau>��¸�È2��qu�������}st8����z��i��2}s� � uB��Á�qsz��#q0��qsu�uB����z|t��-��u�������ºIu���z|¬��i}s���i}��~��8�s���-·�u � ½

� ��q������qsu�ug����z�t�����uVÅ��KÈ2��~����8qs�i~ � �2¸¹�i���s���s¶Dz|�K��u�¬i����ºs~|u»��������u�t�����¸$�s���i�¼��z|�B��~Óz|�i��u���uB���B½µ u� Q�����o�s��uB��u��K����uB��}s~����oz��_��qsu8���i��u���¸^�0����~|~�ug�¼��z|������¸Oz�� � u��Iu�� � u��K�»qQ����ta�i�sz����i���1z|~�~��-�����#��ÅÆ��u�ux�uB��½�ªs½|«gÈ1À���qu���������qsu��>u��~�uB���s����ºs~|u�t ÅÆ��u�ufx{ug��½�ªs½Ý¨�È1½2����q���������u�t�������u�z|�K��u�¬i����ºs~|u�À��� � ����u~|z5=�u�~|�����f¸Æ��~�~ÓÁ�z���qz�����qu�qK�{�I����qsuB��uB����¸���}����qsuB����u1��z�����~T��ug��}s~��B½.�æ��x{ug��½Oªs½ ªsÀ�Á2u�����} � �0�8��������u�t��¸�%�©(�������z|��~�ug�a��}sº���ug�¼��u � ���(��qsu��ÐuB�s���� � ¶æ¦i���sug�*�I����u��K��z���~D½ C$z|���~|~��iÀOz|� x{ug��½ ªs½ vÀ^Á2u�����} � ����������z|��~�u���}sºst8z�����u � ���_� � �i}sºs~|u�ÁnuB~�~.�I����u��K��z���~Oz|� ¨��f½7p�qsz��>���-�K¶Zt8� � u�~.z��>��uB�s��ug��uB�K���-��z�·iuf��¸t����K����������uBt8������} � z|u � z|�_�#qsu�t8z������������ � �sq{����z|�B��Àsz|����qu*��uB���u>��q������qsu*�Q����u��K��z|��~7q�i����uB·�uB����~ºQ����z���>z|� Á�qsz��#q(��qsuV���{����uBt��B���5���#�P��¸¹������~|���¬���z�t8ui½0p�qsu�u1���s~|���#�-��z��i�(��¸n��qsu�Á�qs�i~�u��sqQ����u����i�1u��suBu � u � ���*�i���1}������u�~|�f����t8�s}���u���qu���ta� � �{���t8z|������i�QuB����z�ug�.z|�^z��8��qsuB��u��B����uB�.�������z|��}s~�����~��� z ÄV�1}~ �g½

C���O��qsuo����=iu���¸7����t8�s~|u1��uB�suB���BÀi��� � ���f��qs�-Á¿��q���n�i}s�n���s�s���i���#qaz��^z|���u����z ��z�·iu�������qsuo�K}tauB��¶z�����~.���{t8�s~|uB�¼��z|�az|�K��u�¬i������z|���6���#qsuBt8u�ÀÓÁ2uaqQ�P·�u*}Q��u � ��qs��uBu � z ÂTu���u��K����~|¬��i��z���qt8�3:î¤�<O��¸ � z�ÂIuB��uB�i��i� � u��#�^���8z��K��uB¬��#�-��uo��qsu � �{���t8z�����~Ð��������u�t Å�«PÈ >

� ��qsuf���#��� � ��� � ·iu�~|�{��z ���0Ç.u���~�u��o��~|¬��i��z���qst�À�Á�qsz��#q�z���À�i����uB����~�~|u � ��ºQ�-·iu�Às���Kt8�s~|uB�1��z������ � ��¸��� � u��*¨�B�Á2u � u������u�º{�

φV Vδt

������uB�6��¸n��qsuV��~|¬��i��z���qt ��¸2��z|tau�����u��δt

>('

n+1,)

n+1) =φV V

δt ('

n,)

n)B

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

Page 11: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

£ ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

� �1�ita�I�i��z���z|����2��¸���qsu�·iu�~|���1z�����Ç.u���~�u�����~�¬i����z ��qst Á�z ��q�z �#��uB~ ¸����f��q������qsu>�i� � uB�n��¸7��qsu���~|¬���¶��z���qt'z|��1��uB�i��ug�^����v B����t8u�~|��À

('

n+1,)

n+1) = φ(4)δt (

'n,)

n) = φV Vb1δt ◦ φV V

b0δt ◦ φV Vb1δt(

'n,)

n)

Á�z ��qb1 = 1/(2− 21/3)

��� �b0 = 1 − 2b1

½� �1�ita�I�i��z���z|����2��¸���qsu�·iu�~|���1z�����Ç.u���~�u�����~�¬i����z ��qst Á�z ��q�z �#��uB~ ¸����f��q������qsu>�i� � uB�n��¸7��qsu���~|¬���¶��z���qt'z|��1��uB�i��ug�^��� %�B����t8u�~|��À

('

n+1,)

n+1) = φ(6)δt (

'n,)

n) = φV Vc3δt ◦ φV V

c2δt ◦ φV Vc1δt ◦ φV V

c0δt ◦ φV Vc1δtφ

V Vc2δt ◦ φV V

c3δt('

n,)

n)

Á�z ��qc1 = −1.17767998417887

Àc2 = 0.235573213359357

Àc3 = 0.784513610477560

��� �c0 = 1 − 2(c1 + c2 + c3)

½�æ�6��~|~���qsu� ¬�}��ug��ºIu�~|�-Á�ÀÓÁnua�s~|���>u�z���qsuB����qsu8�K}tauB��z�����~7��z�t8u8�P·�uB����¬�u 〈A〉(k)

num(δt, T )��¸n���

�iº��u���·P��ºs~|uA���f��qsu�u������i� | 〈A〉(k)

num(δt, T ) − 〈A〉 | �i�f�F¸¹}s��1��z|��� ��¸ T ½ �n�����u �K}suB�K��~|��À.��qsu����t8�s}��#�-��z��i���~Ð���i����z��2��qu�����tau»¸¹�i����~|~Ó�Q�iz��K����·�u�����z�����~�~|�V��~|z|¬��su � ½

����� ���������� �������������������������! "�#�$�����% &�'�(

�æ����qz|����uB�1��z|���ÐÀ�Á2u��1���Q��z � u����8���{����uBt,��¸ ·�u>�������z|��~�ug�nz|� «B� Á�qs�K��u � �{���taz�����z�� � uB���1��z|ºQu � º{���qsu# ���t8z�~����i�sz|���

H =

5∑

i=1

p2i

2+ ω2

i

q2i2,

Á�z���q���qsu>¸¹��~|~��-Á�z|�s¬a�s}s~�������z|���� >

ω1 = 1.0, ω2 = 8.01256, ω3 = 12.25245, ω4 = 17.234, ω5 = 20.98765.

�7u1�»}�o¸¹���»z����������1ua����} � ����qsua�P·iu��#��¬iu���¸A = p2

4

½�p�qsuau1�s�i�¼�o·-��~�}suf��¸O��qsuau����u�tfºs~�ua�P·�uB����¬�u�B����ºQu��iº�����z��u � ºK�������~��K��z�����~Ð����~|��}s~|����z|��� > 〈A〉 = 0.5

½�7u1��}��ºs��z|u*)�0�#quB��=�Á�qsu���qsuB����qsu�q{�{�Q����qsug��ug�2�su�u � u � ���8�s���-·�u»��}s��ug����z�t��-��uB������u>������z�� Qu � ½

p�qufz|�K��u�¬i������z|���_��~�¬i����z ��qst z|�»���{t8�s~|uB�1��z���½�p�qsu8�����~��K��z|��z ������� � z|�i��u�¬i����ºsz�~|z������i����}st8����z|���Q���i���qsu ���t8z|~ �����sz����V¸¹}s��¼��z��i�6ÅU��uBuo���s�QuB� � z���¥�½|«gÈ^����uo���-��z|� u � ½ µ u»����u»��ºs~|u��u�z���qsuB�n���f����-·iu��s������ � z|���s���-·�uo��qsu � z��i�sq���K��z��su��i����}st8����z|��� ÅÆ��u�u*x�uB��½O¥s½ ¨iȼ½µ u�}��u���qsu�¸¹����t*}s~���ÅÆ£KÈ$Á�z ��q � z ÂTu���u��K�^·-��~�}sug�.��¸

kÅk = 1

����vKÈ1À�¸¹���n�>¬�z|·�u��δtÅδt = 0.025

ȼÀ��� � Á�z���qf��qu2�i� � u���¶ %���~�¬i����z ��qst�½$�n~|uB����~|�VÅÆ��u�u C�z|¬½2«gÈ1À-z��Q�1��uB����z|�s¬

k¬iz�·iuB���oºQu�����uB�.�1���{·iu���¬�u��Q�1u�½

���,+ -���/.021���2�31����'45����

µ u��su��K����}s�������8��qsu���z�tf}s~��-��z|������¸$��qsu �>uB�s~|u����s����ºs~|u�t�½ µ u��1���Q��z � u��2��qsu# ���taz|~������z|���

H =

) 2

2− 1

| ' | ,

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

Page 12: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� �

k � vk � ¨k � «

| 〈p24〉(k)

num − 〈p24〉 |

T

¨i¥¨�©«g¥«B©¥

©s½|«©½ ©«©s½ ©�©«©s½ ©�©i©s««�u�¶Z©K¥«�u�¶Z© %«�u�¶Z©{¤«�u�¶Z©i£«�u�¶Z© �

C$z|¬�}s��u*« >����������� ����������〈p2

4〉(k)num(δt, T ) � � 〈p2

4〉����������������� � �����! ��"#��� k $ �!� ��% &�'�(")*���+�,�����!�!�� � �!������.- % �(��/0���1�!�2��")���!�!�3� � ����"�4657�1� � �8�(�1�����9��� � �3����"6�(�� q1 = 4 $ p1 = −1.2 $ qi = 0

�����pi = 1

�����i = 2, . . . , 5

4

� uB���1��z�ºsz|�s¬8��ª�� �������z|��~�u>z|�������-�������i�¼��z�·iu��n�i}s~|��t*º��Q����uB�i��z|��~U½�7u1�8}��¸¹�i�fz|���������1u�����} � �6��qu��P·iu��#��¬�u���¸

A = | ' | ½5���fz|� ��qu��s��u�·{z|��}�fu1�s��ta�~�uiÀ���qsuuB���u�t*º~�u��P·�uB����¬�ua����� ºIuV�1�ita�}���u � �����~|�K��z�����~�~|� > 〈| ' |〉 =(

3 + 2E0L20

)

/(4 | E0 |) À�Á�qu���uE0z��n��qsu»z��z ��z|��~�ÅÆ�su�¬K�-��z�·iugÈ.uB�su���¬������ �

L0z��^��qsu»�s����t ��¸Ð��qsuoz|�sz���z���~ ={z��u1��z��ota�it8u��K��}st�½Op�qsu

��z|t*}s~��-��z��i�_��z|t8u�����u��6z|�δt = 0.01

ÀÐ��� � Á2u8}��uf��qua�i� � u���¶ %V��~�¬i����z ��qst�½*���»¸¹�i�»��qsu8q����t8���z|��K����z�~|~��-���i���BÀ{��qu" ���taz|~������z|����¸¹}��¼��z��i��z|�������~|�K��z�����~7��� � z|�K��u�¬i����ºs~|u�À���qsu�z|�i��u�¬i������z|�������#qsuBt8u�z|����{t8�s~�ug�¼��z|��À.ºs}��fÁ2u�����uV��ºs~|u0�suBz ��qsu��f���(�s���-·iu��s���*��� � z|���s���-·�u8��qsu � z|���q���K��z|�su�������}st8����z��i�ÅU��uBu�x{uB��½^¥�½Ý¨�ȼ½µ ua����t8�s}���u*��qsu8�P·�u��#��¬iuB��Á�z���q

k�#���s¬iz��s¬V¸¹���it «*����¥�½ µ u8��u�u���q�-�gÀT�i�

kz��Q�1��uB����uB�BÀQ��qsu

��t8�s~�z���} � u���¸���qsu��K����z�~|~|����z|��������2��qsu�ºIu�¬�z|�s�sz|�s¬8��¸$��qu���z|t*}s~��-��z��i�0z|��1��uB�i��ug�>ÅÆ��u�u�C$z�¬Q½O¨�ȼ½Op�qz|�¸Æ�i�¼��z|�n¬�uB�su���z���À{��� � �s������ug������z��¼��u � ������qsu �>uB�s~|u��2�s���iºs~|u�t�½ ��-Á2u�·�uB�BÀi��}s������s���K���#q8¸¹���1}Q��ug�^�i�~|���¬���z|t*}s~��-��z��i�(��z�t8ug��½ µ u0��u�u�qu���uf��q�-�gÀ7¸¹�i�

T ≥ 40ÅÆ���s�s���P��z�t��-��u�~|�_ºIu����i� � v���uB·���~|}���z��i�

�Iu���z|� � ��È1À{��qsu�~�����¬�uB�kÀ{��qsu>¸Æ�i����u�����qu��1���{·iu���¬�u��Q�1ufÅU��uBu�C$z�¬Q½�ªKȼ½

$o����qsz��»�B����u�ÀIÁnua����u*��º~�u*�����#quB��=���q������qufug����z�t��-��u�Å �iÈ�z��»��q�����7½ Cs�i����qsz����s}���I�i��u�ÀIÁnu����} � ����qu � u��Iu�� � uB��1u>��¸7��qu»uB�������nÁ�z ��q���ug���IuB�1�n���

T��� �

δtz|���i� � uB�^�����#qsuB��=�Á�qsu���qsuB�2��qsuB��u

u���z|�����1���Q���#���K���C1(k)

��� �C2(r0)

��}�#q���q���

| 〈A〉(k)num(δt, T ) − 〈A〉 | ≈ C1(k)

T k+ C2(r0)δt

r0 .

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

Page 13: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

«g© ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

k � ¥k � ªk � «

〈| ' |〉(k)num

T

vK©ªi¥ª�©¨�¥¨�©«P¥«B©¥

«�½ %

«�½Ý¥

«�½ v

«�½ ª

«�½Ý¨

C$z|¬�}s��u»¨ >��&")���3�!�3� � �!����"���� 〈| � |〉(k)num(δt, T )

� �2��% �� � ��3�1���!�� ��� ��% &")�!/ ��3� � �!������� ��!���1�����1�!�/� $ ���(��1��������� � �����! ��"2�(� k4 5 ��� � �3��� �������1� � �!����"�� �� � = (0.9, 0, 0)

�(�9���= (0, 1.1, 0.5)

4

µ u� Q��������������� � u1��uB��t8z|�suC1(k)

½�p7� � ����qsz|�BÀTÁnu*Án�i��=�Á�z ��qF·�uB������t���~�~$·-��~|}suB����¸δt��� � �s���

���{�f~�����¬�uo·P��~�}uB�2��¸TÀ���}�#q0��q������qsu»~�ug� � z|�s¬f��uB��t!��¸Ð��qu»uB�������2z��

C1(k)/Tk ½ µ u��1��t8�s}s��u»��qsu

��uB������~�u � u������i�T k | 〈A〉(k)

num(δt, T ) − 〈A〉 | ½��Z¸^��}��uB����z|t��-��u�z|�»��q�����ÐÀQ��qsz�� �K}���K��z�������qs��}~ � ºIuºI��}� � u � z|� � uB�QuB� � uB�i��~�����¸T½ µ u Q� � z|� � u�u � ��qQ�-��¸¹�i�

k = 1ÀQ��qu���ug���B��~|u � u���������z���ºI��}s� � u �

º{�0©½ %À ���$Ï Ê )^Ê �$Ï Ê �T° $ Ë Î��r0²��$Ï

δt½

�O�����1uBu � z|�s¬8z�����qsu�����t8u»Á��P�8¸¹������qsu�����qsu���·-��~�}sug����¸kÀ�Á2u���º��#��z|�

C1(k = 1) ≈ 0.6, C1(k = 2) ≈ 14.4, C1(k = 3) ≈ 212,C1(k = 4) ≈ 8270, C1(k = 5) ≈ 250, 000.

�����>��}s���s��z|��z|�s¬�~|��À��qsua·-��~|}suB�o��¸C1(k)

�K}sz���={��z|�����ug����u�Á�z ��qkŹ��qsz��»z|�oz|�F��¬i��uBu�t8u��K��Á�z���qF��qsu

¸Æ�i�¼�O��q�-�n��qsuo�i���1z|~�~��-��z��i��O���O��qsuoºQuB¬�z|�s�sz|�s¬���¸I��qsuo��z|t*}s~��-��z��i�V����u�~|����¬iu��.¸¹�i�^~�����¬�u��.·-��~�}sug�O��¸kȼ½

�æ�_�i� � u������ � u���u���t8z��u���qsuf·-��~|}suB����¸C2(r0)

ÀTÁnu*�s������u�u � �����{·�uB����u�~|�0��� � �1�ita�}���ua��~��i�s¬�¶��z�t8u���������uB�1��������Á�z���qV������.���{�*��t���~|~s·-��~|}su���¸

δt½%Cs�i�

k > 1ÀK���

Tz��O~�����¬�uiÀ-��qsu���u���t

C1(k)/Tkz���·iu����(��t���~|~^Á�z���q5��uB���Qug�¼��������qsu0��uB��t

C2(r0)δtr0À.������quVu������i��z��*����s���P��z|t��-��uB~��F¬�z|·�u�� º{�

C2(r0)δtr0½ µ u � � ·-��~|}sug�^¸¹�i�

C2(r0)Á�qsz��#q � u��Iu�� ��� Ê �Æ°�� Ê ± Î �

k� Î ± Î �

T��� � ����u»¬�z|·�uB�

º{�C2(r0 = 6) = 0.163, C2(r0 = 4) = 1.09, C2(r0 = 2) = 0.622.p�qsug��u��{}st8u���z|�B��~^u����QuB��z|t8u��K���*��qsuB��u�¸¹����u0�1�i� ��t ��qsu���q������suB������¸���qsu �1E,�"�7��"�nuB����z|t��-��u

Å �iÈ1½

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

Page 14: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� «i«

k � ¥k � ªk � «

| 〈| ' |〉(k)num − 〈| ' |〉 |

T

¨i¥�©¨�©�©«g¥�©«B©i©¥�©

©s½|«©½ ©«©s½ ©�©«©s½ ©�©i©s««�u�¶Z©K¥«�u�¶Z© %«�u�¶Z©{¤«�u�¶Z©i£«�u�¶Z© �

C$z|¬�}s��uVª > ���������� ������0�(�〈| � |〉

(k)num(δt, T ) � � 〈| � |〉

� ��� �1��������� � �����! ��" �(� k $ �3� ��% �'�(") ��� ��% � ��!�����������!�/ 4 5 ��� � �3��� �������1� � �!���1"�� �� � = (0.9, 0, 0)���9���

= (0, 1.1, 0.5)4

���,� ��� 1�� �� &�$�#��� �$� � &��� ��� � ���� �� � �������!�� � 1 � &��! ���� �

�æ����qsz���������gÀÁ2u�����} � ���V��������uBt'��¸M = 60

�������z|��~�ug��z|�_ª�� z|�K��uB���i�¼��z|�s¬8��qs���i}s¬�q��a����}s�Q���-��u ��7u��s�Q��� � ¶Z¦i���uB�n�Q����u��K��z|��~U½Op�qsu o��t8z�~����i�sz�������¸���qsu���������u�t!��uB� � �

H =

M∑

i=1

) 2i

2+

M∑

i=1

j>i

V (| ' j −'

i |)

Á�z���qVLJ(z) =

4

z12− 4

z6

��� �V (z) = VLJ (z)−VLJ(zc)−V ′

LJ(zc)(z−zc)z ¸z ≤ zc

À0����qsu���Á�z|��u�½

p�q{}�BÀTºQ����qF��qsua�Q����uB�i��z|��~$��� � ��qsuf¸¹���#�1uB�o����uf�����K��z|�{}s��}�»�-�o��qsu8�1}s����Â5�#� � z|}�zc = 3.08

½ µ u���s�s~|�>�QuB��z|� � z|�nºI��}s� � �����>����� � z ��z��i��nŹ��qsu���z�tf}s~��-��z|���*ºQ�P��z��

[−3.2; 3.2]3È$��� � }Q��un��qsu2t8z��z�tf}st

z|t���¬iuo�1�i�{·�u��K��z��i� :�«�<D½.�æ�sz���z���~Ó����� � z���z|���Q�2����u»��}Q�#qV��qQ�-�2��qsu � u��Q��z�������¸Ð��qsu���������uBt,z|�0.229

��� ���qsu8�P·�u��#��¬iu���¸^��qsu ={z��u1��z��*��u�t8�Iu��#�-��}s��uaz��

2.50½ µ z���q ��}�#q6���(z��sz���z���~O����� � z ��z��i�ÐÀT��qsu8���{����uBt

��u�t���z���Ðz��*��~�z��K}sz � �sq����u�½ ��{�I����quB��uB�7����~|~�ug�¼��u � z|�*���s�Iu�� � z �f¥�����u.�s����������z�� u � Źz|���������z|��}s~|���BÀ��qsu���u8����u*�s���»uB�s��}s¬iq_z|�K·-����z����K��¸¹}��¼��z��i���È1½*p�qsua��º��u���·-��ºs~|u*}� � u��>u�����t8z������z|���_z��o��qsuat8uB���� z|��������1u>ºIu1��Á2u�u����������z|��~�ug��À

A('

1, . . . ,'

M ) =2

M(M − 1)

M∑

i=1

j>i

| ' j −'

i | .

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

Page 15: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

«P¨ ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

µ u�Á2��� =�Á�z ��q���qsu�·�uB~�����z ����Ç.uB��~|u1����~�¬i����z ��qst�À�}��z|�s¬��f��z|t8u�����u�����¸δt = 5.10−3 ½

$o���u���¬K��z|�ÐÀ�Á2u���u�u���q�-�gÀK¸¹���O~�����¬�u�uB�s��}s¬iqV��z|t*}~|����z|���8��z|t8uB�TÀ���qsu�~�����¬�uB�

kÀ���qsu�¸Æ�i����u��^��qsu

�����{·�uB��¬iu����ufÅU��uBu C$z|¬½.v{ȼ½

k � ¥k � ªk � «

| 〈A(')〉(k)

num − 〈A(')〉estim |

T

%i¥�©�©�©i©¥�©i©�©i©�©ªi¥�©i©�©i©¨�©i©�©i©�©¥�©�©i©�©

©s½ ©�©i©s«

«�u�¶Z©K¥

C$z|¬�}s��u�v > ���������� ������,���〈A( � )〉(k)

num(δt, T ) � � 〈A( � )〉estim

� ��� ���!�� ���� � �����! ��"&��� k $ �!� ��% �'��") �����% �� ������(� �����������"�"���" � �/ � ��% *���1")����������! �!" ��% */0'�(� ���3" � �(���� � �� ��� ��(� � �!���!�" 4

���� �3� 1����& ����#��0��� � � � ��45��� ���$� 1 �' %� ������

�æ����qsz|���Q�����BÀsÁ2u � uB��~ÓÁ�z ��q���qsu# ���t8z�~����i�sz|���

H =p2

x

2+p2

y

2+ V (qx, qy),

Á�qu���uV (qx, qy) = (q2x − 1)2 + (qy + q2x − 1)2,

� uB���1��z�ºsz|�s¬8��¨�� �������z|��~�u»z���� � �i}sºs~|u»Á2u�~|~Ó�I����uB�K��z���~D½�p�qu»�I����u��K��z���~V¬i�{uB�n���

+∞ �-��z|� �sz������� � q���2��qs��u�u��1��z���z�����~Ó�I��z|�K��� > ��Án�8¬i~��iº��~Ót8z|�sz�t��8~|�����-��u � �-�(±1, 0)

Às�-��Á�qz|�#qV (±1, 0) = 0

À��� � ���su���� �s� ~|u>�Q�iz��K��~|�����-��u � �-�

(0, 1)Às�-��Á�qsz��#q

V (0, 1) = 1½

p�qsu8ºIu�q�P·{z|��}s�»��¸n��z|t8u8�P·iu��#��¬iuB�����������s¬i~�� � uB�QuB� � �>�i�_��qua·-��~�}sua��¸n��qsu8uB�su���¬��E0��¸n��qsu

�Q������z��1~|u*Á�z���qF��uB���IuB�¼�o���0��qsu8��� �s� ~|u*�I��z|�K�»uB�su���¬�� ŹqsuB��ufu �K}��~7���1È1½�p�qs��uBu � z�ÂTu���u��K�o��u�¬iz�t8uB�

�B����ºQu�z � uB�i��z Qu �?>

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

Page 16: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� «gª

«�½2¸¹���E0��t���~|~�uB����q���

1À��qsu*���#�-��ug�¼���i���0���s~|��u����s~��i��ug���V��z��¬�~|u�º����z��7½�p�qsu���z|t8uf�P·iu��#��¬�ug�

�1�i�K·iu���¬�u����*��~|z�t8z������ � }��z��¬���qu ~���uB��z|�s¬�¸¹}s�Q�¼��z|���fk,Tz�t8�s���-·�ug����qsu»�1�i�K·iu���¬�uB��1u��#�-��u

¸¹���it1/T���

1/T k Åõ¸¹�i����������ºsz����#����� k È�����z|����qsu��s��u�·{z|��}�2u1�s��ta�~�ug� B¨�½2¸¹���

E0t*}Q�#q_~|����¬iu�����q���

1ÅÆ���P�

E0 ≥ 5ȼÀT��qsu8�������z��1~|u*z��>����u��suB��¬iu1��z�����q�-��z�� � �Kug�»�s���

��ug��~|~����渹uBu�~ �o��qu»ºQ������z|u������ � ��qsu��1�i�K·iu���¬�uB��1uo��¸7��qsu>��z|t8u��P·�uB����¬�uB�^z|����z|t8z�~����2���8��qsu>���su��º��u���·�u � z|����qsu �#�����B����u B

ªs½2¸¹���E0�»~|z ����~|u�~|����¬iu�����q���

1À-��qsu���������u�t ��ug��~|~�� ��¸¹u�uB~|� �n��qsu��s��uB��u����un��¸��Á2� � z|����z|��¼�OºQ����z���

��� � ���u � �Kug�»�s������ºQ��uB��·iua���K�_�����{·�uB��¬iu����u���¸n��qsu8��z�t8u��P·�uB����¬�ug��¸¹������z�tf}s~��-��z|���(��z|t8uB���¸O��qsuf����t8uf��� � u��o��¸Ot���¬i�sz ��} � u�Ź�i��u�·iu�� «g©sÀ ©�©i©a��z|taug�»~��i�s¬�uB�#È��i����qs�i��u*Á�qz|�#q_~|uB� � ����1�i�K·iu���¬�uB��1uoz�����qu��s��uB·{z��i}�2��Án�8���i��ug��ÅÆ��u�u$C$z�¬Q½^¥�È1½

k � ¥k � ªk � «

〈qx〉(k)num

T

«�u��»©K¤£�u��»© %%�u��»© %viu��»© %¨-u��»© %©

©s½ ©�©iª©s½ ©�©K¨©s½ ©�©«©

¶æ©s½ ©�©«¶æ©s½ ©�©K¨¶æ©s½ ©�©iª¶æ©s½ ©�©�v¶æ©s½ ©�©K¥¶æ©s½ ©�© %¶æ©s½ ©�©{¤

C$z|¬�}s��u�¥ >�� ����! � �3���0���〈qx〉

(k)num(δt, T )

��"6�&�� 1��� � �!���0�(�T� ���� �1�!

���!� � � �� � �8�(� $ ��� �� � �(����4 ��- ���!��")

� � ��% ���(�)���!�����1��� � $ ������� � �!/0*" � δt = 0.05�(�9�

2.108 � �!/0*" � �"�4

���1��}��~�~|��À^�i�*�i�su��B��� ��u�u0¸¹���it C$z�¬Q½ %À���qsu��������z|��~�u����Iu�� � � ���_~|���¬���z|t8u ��z|� �i�su0º�i��z|�ÐÀ��qsu����K}sz���=K~|��}s� � uB��¬i�{uB�»�V���������z���z|���(z��K���0��qsuf����qsuB�>º����z��7ÀÓz��(Á�qsz|�#q6z��>���QuB� � �����s����qsu�����~|���¬��z�t8u �#À���� � ���*���7½$�æ�V��qsz�����z|t8�s~�u»u1�s��ta�~�uiÀi��qsu»~���������z|����n��¸Ó��qsuo��Án�fº����z��Q�n����u =K��-Á��0��� � ��qsut8ug���Fu���z �>��z|t8u������6ºIuaug����z�~|��uB����z|t��-��u � ¸¹����t��_�,��z|t*}~|����z|����B½*p�qsug��u � �����������(ºQu8}��u � ����Q���#��t8u1����z5G�u��8��Á2��¶æ�����-��u��_��� =��-·��#q��z|��t8� � u�~ : £�<$t8z�t8z���=Kz|�s¬���qsu����������z ��z��i��ºQu���ÁnuBu�����qu���Á2�ºQ����z���B½o�Ã�1�it8�����z|������ºIu1��Á2u�uB����qua�����{·�uB��¬iu����u»�#�-��u*��¸.��qsuf��z|t8ua�P·iu��#��¬�ug��ÅÆ£KÈ�����t8�s}���u � º{��F� �i�f��qsu��i�su�q��� � ��� � ºK�f��qu�����¶D�iº�����z��u � �_��� =��-·f�#q��z|��t8� � u�~�i�8��qsu�����qu��^qQ��� � Ài¸¹���^��qsu

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

Page 17: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

«Bv ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

�iº��u���·P��ºs~|uqxŹ��qsu��P·iu��#��¬�u.��¸QÁ�qsz��#qaz|� GBu���� � }su�������qsu����{t8t8u1��������¸��qsu��Q����u��K��z|��~�È1À�z|����u��I������u �

�i� C$z|¬½�¤�½0p�qsu�¬i�K� � �K}���K��z�������z|·�u���¬i��uBu�t8u��K�>ºQu���ÁnuBu��6��qu8��Án�_�����{·�uB��¬iu����u*�#�-��ug���1�i� ��t8���q�-�*��qsu�ºQ������~|u��uB��=6z�� ��qsu�����t8�s}��#�-��z|��� ��¸��P·iu��#��¬iuB�»º{�(ºs��}���u�¸¹���#�1u0�F�'��z�tf}s~|����z|����*z|����qsu���ug��uB��1u���¸n��u�·�uB����~7Á2u�~|~ ¶æ��u����������u � º�i��z|���BÓz��F��qsz��»������u�ÀI��qsua�����{·�uB��¬iu����u�������ufz|�o�s�0~|���¬�u��»z|�1/T�i��ºIu1����u��gÀºs}s��¸Æ��~|~|� � �-Á������

1/√TÀ����~�ug������z�����qsu��#���s¬iu>��¸$��� � �P���i����uB����z|ºs~|u���z|t*}s~��-��z��i�

��z�t8ug��À � }su»���8��qu��i}Q����z ¶æ�������#q������z������������z���z|���Q��ºQu���ÁnuBu�����qsu�º�i��z|��B½

qx(t)

p��#�-��uB�1���i���qx(t)

��z|t*}s~��-��z��i�0��z�t8ut

«g©�©£�©%�©vi©¨�©©

«�½Ý¥

«

©s½Ý¥

©

¶æ©s½Ý¥

¶#«

¶#«�½Ý¥

C$z|¬�}s��u�% > � ����3 � �!��� �(�qx(t)

�("��,�� 1��� � �!��� �(� ��% � �3/0t� ���� ���!

���!� � � �� � �3��� $ ������ � ������4 ��- ���!��")

� � ��% ���(�)���!�����1��� � $�� �!/0*" � δt = 0.01 4

�7u1��}�»u�� � ��qz|����uB�1��z|���Fº{�_� � z�����}����z|���_�i�_��quauB��¬i� � z|��z ������¸^��qu8¨�� � ��}sº~�uaÁnuB~�~.��������u�t}� � u��»����} � �i½��Z�oz���ug�����V�����#qsug��=0��q�-�o��qsufz|���{u��suB��¬iu1��z�����}s��¸Æ�i�1u

H(qx, qy, px, py) = E0�����_ºQu

�Q���#��t8u1����z5G�u � º{����q��uBu>���s¬�~|uB� >

qx = ±√

1 +√

E0 cos(θ), qy =√

E0 (sin(θ) cos(φ) − cos(θ)),

px =√

2E0 sin(θ) sin(φ) cos(ψ), py =√

2E0 sin(θ) sin(φ) sin(ψ), Å�«B©iÈÁ�z���q

(θ, φ, ψ) ∈ [0, θM ]× [0, π]× [0, 2π]À�Á�qsuB��u

θM = πz ¸E0 ≤ 1

��� �θM = arccos(−1/

√E0)z�¸

E0 > 1½��Z��z|�n��qu���u1¸¹����u��I�i����z|ºs~|u����a����t8�s}���uo�{}st8u���z�����~|~|�*��qsu»��ÇA@ u����u�tfºs~|uo�P·�uB����¬�u���¸����{�

ÅÆ��uB¬�}s~����¼È^��º��u���·-��ºs~|uoÁ�z���q��aqsz|¬�q����B�1}s�#������½$�Z����ug� � �

〈A〉(E0) =

[0,θM ]×[0,π]×[0,2π]

A (θ, φ, ψ) w(θ, φ) dθ dφ dψ,Å�«�«gÈ

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

Page 18: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� «P¥

1.96√

755/N

755/N

| 〈∑Nj=1 q

jx〉ic | /N

NÅδt � ©s½ ©s«gÈ

«�u��»© �«�u��»©�£«Bu��»©K¤

©s½ ©s«

©s½ ©�©s«

C$z|¬�}s��u*¤ > � " � �!/ � � �3��� ��� ��% *����������� ���1�� ��� 1

N

N∑

j=1

qjx � � � �

� ��% ���" �� ��� � N �� ��% ��� �(���� � � % ���!�

/0���1�� � �1�� ���!���3� � � �� � �3��� $ ��� �� � �(� ��4 ��- ���!��") � � ��% �9� �)���!�� ��1��� � $ δt = 0.01 � 〈·〉ic

�1��1� � �"� ���� �� � �(���� ��� �!��� � �3���.�������1� � �!���1" 4

Á�qu���uw(θ, φ) = C

sin(φ) sin(θ)2√

1 +√

E0 cos(θ)

z�����qsu8z��{·-����z����K���s����º��ºsz|~�z���� � u����z�������¸O��qsu � �{���t8z�����~

��������u�t ���(θ, φ, ψ)

ÅCz|����qsuf�s����t���~|zHGBz��s¬V������������K�#ȼ½��æ�Fp���ºs~|uV«�ÀIÁnuf�1��t8�����u>��qsz���uB���uBt*ºs~|u

�P·iu��#��¬iu�Á�z���q*��u�·iu��#��~P��z�t8u^�P·iu��#��¬�ug�T�1��t8�s}s��u � ¸¹���it ���#�-��ug�¼������z�ug�ÓÁ�z ��q�·-����z��i}�Óz|�sz ��z|��~i����� � z���z|���Q��½�æ��¬�uB�su��#��~DÀi��qsug��u»��z|t8u��P·�u��#��¬iuB�O����u � z�ÂIuB��uB�K�n¸¹����t,��qsu>u����u�tfºs~|u»�P·iu��#��¬�ui½7p�qsz�� � z�ÂIuB��uB��1u>�����ºIu>u1���s~���z|�su � u�z���qsuB��ºK�8��qsuo¸Æ���¼����q�-����quoz����{uB�su���¬�u���z�����}s��¸Æ�i�1u»q���2z|�{·P����z����K����}sºQ��u����>Åõ��qsz|��t��P�ºIu � }suo���f��qsu>u1��z�����u����u���¸��f��uB����� � z��{·-����z|���K�^��qQ�-��Ánu � z � �s���2t����Q��¬�u����az � u��K��z�¸¹�sȼÀ����2º{�8��qsu¸Æ�i�¼����qQ�-�.��qu���������u�t z��.uB��¬i� � z|�nºs}��O�i�f·iu�����~��i�s¬���z�t8u�������~�ug��À-tf}�#q8~��i�s¬�uB����q���f��qu���z|t*}s~��-��z��i���z�t8ug��Ánu��B�����-ÂT��� � ½

C���it �o�s�#���1��z�����~i�Q�iz��K����¸s·{z|u�Á�À-���u^Á��P�����»����~|·�u.��qsz���z�����}sunz|�7���>�1�it8�s}���u^��qsu2t8uB���*·-��~|}su^��¸��qsu2��z|t8u��P·iu��#��¬iuB�Ó�-·iu�����uB·�u��#��~ � z�ÂIuB��uB�K��z|�sz���z���~s����� � z���z|���Q��½ C�z|�#���gÀ����$z|�a�»�����K��u��2����~|��t8u1��qs� � ÀÁ2u��#qs�{�i��u�t����{�0z|�sz���z���~$�1��� � z ��z��i��

('

i,)

i)i�i����qsuf��}s��¸Æ����u���¸O�1�i��������K��uB�su���¬��

E0ÀI��������� � z|�s¬

���a��qsu>�s����º��ºsz|~�z���� � u����z����w(θ, φ)

Åõ��� � �8���À{Á2uo}Q��u � ��qsu������1uB��������1u�¶Z �u���uB�1��z|����t8u1��q� � : �-<õÈ1½C������~�~7��qsug��u*z��sz���z���~��1�i� � z���z|����BÀÁ2u��1�it8�s}���ua���_� ���#�-��uB�1���i���0��� � �8��z�t8uf�P·iu��#��¬iu�Às��� � ��qsu����qsu�t8uB����·-��~|}su

µ(E0)��� � ��qsu�������� � ��� ��� u�·{z��-��z|���

σMC+MD(E0)��¸���qsuB��u � �-�#�s½O �ug��}s~���������u

��u��I������u � z|� C�z|¬½O£ > ��qsz���t8u1��qs� � �{z|u�~ � ���a¬��{� � ���s�s���P��z�t�����z|���V��¸���qsu�u����u�tfºs~|u>�P·iu��#��¬iu�½

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

Page 19: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

« % ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

$oº��u���·P��ºs~|uA 〈A〉(E0 = 0.5) 〈A〉(k=5)

num ('

1,)

1) 〈A〉(k=5)num (

'2,)

2) 〈A〉(k=5)num (

'3,)

3)

qx¶æ©s½ ��vivK¥ � ¶æ©s½ ��ª«�«B£ ¶Z©½ �K¥�¥�£i¥ ¶æ©s½ �i¨�ª�£ %

q2x©s½ �i¨�£�viª ©s½ ��©i©K¤i¤ ©s½ �i¥�«-¤-© ©½ £i£i¥ %K¥

q4x©s½ ��£ � %�v ©s½ �i¨�£i¥i¥ «�½ ©�vi©{¤Pv ©½ £ �i¥ %K¥

qy©½ ©{¤{«P¥ %i¨ ©s½ © � �i¨�¨s« ©½ ©�vi£K¨ �i¨ ©s½|«�«Bviª�v %

q2y©s½Ý¨�¥�¥s«P¤ ©s½|«�v{¨ �i£ ©s½ ª�v{¤�¨�¥ ©s½ ©�£K¥�« �i¨

p2x

©s½Ý¨-v�vK£i¨ ©s½ ª�ª ��v � ©s½|« %K¤ ��v ©½ ªi£K¤{«-¤p2

x

©s½Ý¨-v�vK£i¨ ©s½|«�v %s«P¥ ©s½ ªi¨�¥K¤Pv ©s½ © �K¥�¨K¤-£V (qx, qy)

©s½Ý¨�¥�¥s«P¤ ©s½Ý¨�¥K¤{«-¤ ©s½Ý¨�¥�ª«g¥ ©½ ¨i¥�£K¤�£

p$��º~�u5« > ����/ 1 � '� ���(�! ��"0���(� ��% ��1")�/ �1�3 � ���� �� � �(�9� ��% � �!/0 �'��� �( � ���,���!�� ���� � ����") ��� ������!�" � ���� ���!

���!� � � �� � �3��� 4�� % ��1")�/ �1�3 �'��� �( ��" �(�� ����/ 1 � '� �8����/ � � � 4������ ��% � �!/0

� ���� �� ��" $ ����/ � � '� �8����/ ��� $ �!��� � �3��� �����9��� � �!����" �(��( � 1,

�1) = (−1, 0.5; 0.5,−0.5) $ ( � 2,

�2) =

(−0.9, 0.772 . . . ; 0,−0.5)�(�9�

( � 3,�

3) = (−1.05, 0.549; 0.3606 . . . , 0) $ ���(�)���" �����1�!�� � � ��% ��1��� �� 4 - $���% � �!/0�" � �!"

δt = 0.0054�� �� % �� ��� ��% � � �,")�!/ ��3� � �!��� ���.�!��� ��% T = 5000 �

�("#�!���� ����� � % 4�#�3/0*� ���� �� �,�����! 1�"��1� �1� � �� ��9� ���k4

p�z�t8u��P·�uB����¬�uaŹ�s�i��t���~|z5G�u � È@^���uBt*ºs~|u��P·�uB����¬�uaŹ�s�i��t���~|z5G�u � È

E0

©s½î¤©s½ %©½ ¥©s½ v©s½ ª©½ ¨©½�«©

«�½|««�½ ©�£«�½ © %«�½ ©�v«�½ ©i¨«

©s½ ��£©s½ � %©s½ ��v

C$z|¬�}s��u�£ > ����/ ��(���!")��� � �� ��� ��% ���")�/ ���! �'��� �� � �(�A = q2

y $ ����/ � � �� � ����/ � � � $ ����� ��% � �� � '� � �!/0 �'��� �( ��� ��)����� ���(��" ���(�)���" ����� � � �95%

������ �1����� �3� � �������� $ ��� ��% �1�� ���!���!�

� � �� � �3��� $ ���(� �1��������� � ��1��� � �!����!"E0

4 ���!��� 9�(� � � � �!�" % �'� � ��� ������/ �(�!����'� � � ��% ���")�/ ���!� ���� �� �

〈q2y〉(E0)

4

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

Page 20: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� «-¤

p�qsunt8uB���*·P��~�}uµ(E0)

�����{·�uB��¬iuB�I������qu^u��Q��uBt*ºs~|u^�P·�uB����¬�u 〈A〉 �-�$������u σMC+MD(E0)/√MÀ

Á�qu���uMz�����qsuV�{}st*ºIu��*��¸�z��z ��z|��~n�1�i� � z���z|����B½��Z¸���������� � ��� � ���i�i��u��2����~���t8u1��qs� � z|�*}��u � À

��qsu��#�-��u���¸������{·�uB��¬iu����u*z��σMC(E0)/

√MÀ�Á�qsu���u

σMC(E0)z|����qsu0������� � ��� �6� u�·{z��-��z��i�(��¸

AÁ�z���q6��uB���Qug�¼�>������qu��s���iº��ºz�~|z ��� � u����z ���w(θ, φ)

½Vp�qsuV�1�i�{·�u���¬�uB��1uf�1���Q���#���K���σMC+MD(E0)��� �

σMC(E0)����u��1��t8�����u � z�� C$z|¬½� > ¸¹�i���8¬�z|·�uB���{}stfºQuB����¸��I��z|�i�#����¸���qsu*�1�i��������K��uB�su���¬��

��}s��¸Æ����u�Às��qsu*uB���u�t*º~�ua�P·�u��#��¬iu 〈A〉 z|�»�1�ita�}���u � Á�z ��q(��¬i��ug�-��uB�����B�1}s�#�����0z�¸.��qsua�����K��ua�2����~���I��z|�K��������u>}��u � ����¬iu��suB������u>�_� ���#�-��ug�¼������z�ug�2��� � ��z|tau��P·iu��#��¬iuB�B½

�(� t8u1��qs� ��6� �»�_�¡t8u1��qs� �

x{����� � ��� �0� uB·{z|����z|���

E0

«©½ £©s½ %©½ v©s½Ý¨©

©s½Ý¥©s½ vK¥©s½ v©s½ ªi¥©s½ ª©s½Ý¨�¥©s½Ý¨©s½|«g¥©s½|«©s½ ©i¥©

C$z|¬�}s��u � > ����/ � � � � �!��� �(� ��% ���")�/ ���! �'��� �� � 〈q2y〉(E0)

��� ��% ���� ���!���!� � � �� � �3�����*" � �(�9��� � ��1����3� � �!��� σMC+MD(E0) ��% �� �'��� �� ��!�� ��� � �!/0��'��� �� ��" �(���� �3�1� � �8�(�9�����9�1� � �!���1" � ")���!�8� �!�!��

� ���� �

/0����!�'���!� � � % �� �'� ��% � �6��% �!"��� ���� � � � � �1� �"6��� � �� ��9� ��� ��% ��� �/ � �� ��� �!��� � �3���9�����9��� � �3����" $ " � �(�9��� � ��1����3� � �!��� σMC(E0) ��% �� �")�!�� 0� " � ���9�1�(� � � � /0 ��% ��� ��� � � 4�� � � � ���(" % '� �3�!�1 4

p�q{}�BÀK���8�1��t8�s}s��u>���0uB���u�t*º~�u»�P·�u��#��¬iu�ÀiÁnu»��������}¬�¬�ug���^���8�#qs�{�i��uo��u�·�uB����~ � z�ÂTu���u��K�2z|�sz���z���~����� � z ��z��i��2���V��qsu>�1���Q���#���K�2uB�su���¬�����}s��¸Æ���1uiÀ���� � ���a}��u»uB�i�#q0��¸Ð��qsuBt,���8�1�it8�s}���u��*���#�-��ug�¼���i������ � ����z|tau��P·�u��#��¬iu�½8�,¬��{� � ���s�s���P��z�t�����z|���F��¸n��qsuVuB���uBt*ºs~|uV�P·�uB����¬�ufz|�>��qsu�t8uB���6·-��~�}su���¸��qsuB��u»��z|t8u��P·�u��#��¬iuB�B½

� � ����n31)��7������

�æ���i� � u��.���f�1�it8�s}���u�u����u�tfºs~�uo�P·�u��#��¬iuB�$��¸Ó�iº��uB��·-��ºs~�ug��Ài���suo������}Q��u��_��~|uB�1}~|���^���{���t8z|�B�^��� �����t8�s}���u»�*��z|t8u»�P·iu��#��¬iu���¸Ð��qsuB��uo�iº��u���·P��ºs~|uB�n�-·�u��n���su8Ź�i�2��u�·iu��#��~õÈ���������uB�¼�������f��¸�� � �{���t8z�����~

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

Page 21: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

«g£ ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

��������u�t�½�¾�� � uB�.��qu�u���¬�� � z���������}st8����z��i�ÐÀ-��qsz|�O��z|t8u��P·�uB����¬�un�����{·�uB��¬iuB�BÀ-������qsu����#�-��ug�¼���i���*~�uB�s¬���q¬i�{uB������z�� Q�sz ���iÀT���-Á���� � ����qsu8u����u�tfºs~|ua�P·iu��#��¬�ui½ µ ufqQ�P·�u*���ug��uB�i��u � �V�{}st8u���z|�B��~�t8u1��qs� � ������Iu�u � ¶D}s� ��qsz|�0�1���{·iu���¬�u��Q�1u����6��qQ�-�0�6���#�-��ug�¼�������5��¸>��u � }�1u � ~�uB�s¬���q ÅU��� � ��qK}Q���su�u � z|�s¬ ~�ug�������t8�s}��#�-��z��i���~�u�ÂI�i���¼Èaz|���u�u � u � ��� �i�#qsz�uB·�u��6¬�z|·�uB�¿�s��uB��z|��z|���н ��~��i�s¬ Á�z ��q ��qsz����{}st8u���z�����~t8u���qs� � ÀKÁnuoq�P·�u����ug��uB�i��u � ��q�����8u������i�OºI��}s� � �O��q�-�^t��P�aºQuo}��u � ����������z�t8z5G�u���qsu»��z|t*}s~��-��z��i��Q���#��t8u1��u��#��½� ���{�sz�����~.�s����ºs~|u�t�z��5���i~�ug�1}s~������o�{���t8z����>z��>��qsu0u1���s~|���#�-��z|���(��¸2��qsu0Á�qs��~|u8�sq����uV�������u

Á�qu��»��qsu^�Q����u��K��z|��~�u��suB��¬i����¸{��qsuO��������uBt q�i�Ð��uB·�uB����~-º����z��Q�Ð�1�i����uB���Q�i� � z|�s¬n��� � z�����z��Q�¼�7t8u1�#��������ºs~�u��������ug��½�p�qsu8t8u1��qs� � Á2ufqQ�P·�ua�s��ug��uB�K��u � z��(��qsz��»����Iu�� � �{ug�o��������i~�·iu���qz|�>z�����}su�Źz�� � �{uB�»�s���z|t8�s���-·�u>��qu*�sq�i��uf����i�1u�u����s~��i������z|���ÐÀºs}�����qsuf����t8�s}��#�-��z��i����¸.��qu���z|t8uf�P·iu��#��¬�uPȼÀs��� � ����qsu��t8u���qs� � ��qQ�P·�uo���8ºQu�}Q��u � À�¸¹����z|���������1u»��q�i��u>��}s¬i¬�uB����u � z|�� �u1¸Æ�B½ : £�ÀЫB©sÀЫ�«"<Z½

­�� É�������� ��� #� �����

µ u8Án�i}s~ � ~|zH=iu*������q��� =��»z�~|~�ug��� ���#��qF¸¹���>qsz��>·�uB����qsuB~���¸¹}~^��}¬�¬�ug����z��i��BÀÐ�nq��z�����z|���(�7}sºsz��#q¸¹�i�.��qu��1��z ��z|�B��~s��uB� � z��¬»��¸T��qsu�t����K}Q������z|���O��� � �nqs��z��������sqsuo�nqz��I���O¸¹�i�^����z|t*}s~��-��z��s¬ � z|���1}����z��i���½µ uf��~|����¬���uB����¸¹}s~|~|���i��=K��-Á�~�u � ¬�u»��qu� �����1z���~$��}�s�Q�i���o��¸.���� ���� ��qs����}¬�q���quf�1�i�K���#���¼��¬i�����K������¼��z��i� � u� �uB�#qsuB���#qu��n�i��1uB������u»�^  @nx�p���xx{��� $��¼½

� � 4�46���� �� �

�æ�*��qsz���������BÀ-Á2u � u�����z�~K��qunq{�{�Q����qsug��ug�7�u�u � u � ���o�s���-·�uO��qsunuB����z|t8����ug�2ÅÆvKÈ7��� � ÅD¤�È1½�p��o����-·iu.��qsuug����z�t�����uVÅ��KȼÀI���_� �� z ��z��i�s���~7������}ta�s��z|����z|���su�u � u �?> ��qsu*�K}tauB��z�����~7���#qsu�t8u�}��u � ����z��K��uB¬��#�-��u��qsu_u �i}Q�-��z|���Q����¸>t8����z|��� ��qs�i}s~ � ºIuF���Kt8�s~|uB�1��z���½ ���0Ánu�q�P·iu�t8u��K��z|���su � z �0z|� x{ug��½¡¨�À�Ánu�������z � u��2�*���{����uBt ��¸

M�������z|��~�ug�Oz|��ªi�*À � uB���1��z|ºQu � º{�f��qsu ���t8z|~ �����sz����

H(',))½O�7u1�

('

0,)

0)ºIu>��qu�z��sz���z���~Ð����� � z ��z��i�н

����� �� � ��1 &���� �!� &� ��0� � ��� &������ � � ��� �� �����H �

µ u_��}s�s�I�i��u���q�-�8��qsu( ���taz|~������z|���Hz|�0��� �����~��K��z�����~2¸¹}s��¼��z��i�ÐÀ���� � ��qQ�-��z �Vz��(����AE,45��& ��4��

��� & � � ��� ) 4H��À���qQ�-��z��2���V���P�8��q���*ÅÆ��u�u� �u�¸�½ : %-<ZÀs�s�_¨s«�v8��� � ¨i¤�¨�È >� ��qsuB��u*u1��z|����� 3M

z��{·-����z����K��¸¹}s��1��z|����Ij(',))Àj = 1, . . . , 3M

ÀQ��¸���qsu � �{���t8z�����~���������u�tÅ�«PÈoŹ��qsu � u� �sz���z|������¸����0z|�{·P����z����K�n¸¹}s��¼��z��i��z�����uB����~�~|u � z���x{uB��½O¨�È"B�Á2u � u��s����u»º{�

S(',))��qsu�~|u�·iu�~Ð��u1����¸7��qu�z��{·-����z|���K�2¸¹}��¼��z��i�� {Ij}1≤j≤3M

ÅU�¼¸�½�ÅD¨�È�È�B� ��qsug��u�z|�{·-����z|���i�#� Ij ����u>z|��z��{·��i~�}s��z|���ÐÀ{zD½ ui½O������z���¸¹����qsu��1�i� � z���z|���

∀(',)) ∈ 3M × 3M , ∀j1, j2, ∇ ' Ij1(

',))·∇ ) Ij2 (

',)) = ∇ ) Ij1(

',))·∇ ' Ij2 (

',)),

Á�qsu���u ∇ ' z|����qsu�¬i��� � z�uB�K��Á�z���q���uB���IuB�¼�.������qu��Q�K��z���z|����·-����z���ºs~|uB�.��� � ∇ ) z|����qsu�¬i��� � z�uB�K�Á�z ��q���ug���IuB�1�����a��qsu�t8�itauB�K��}st�·P����z���º~�ug� B

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

Page 22: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� « �

� ��qsuB��ufu1��z����#�o�0�su�z|¬�q{ºI��}s��qs�{� � ��¸.��qufz|�sz���z���~��1��� � z ��z��i� ('

0,)

0)��}�#q���qQ�-�BÀI¸¹�i�»��~�~

(',))z��0��qsz��n�su�z|¬�q{ºI��}s��qs�{� � ÀIÅÆz�ÈO��quo~|u�·iu�~T��u��

S(',))z��n����t8����1�2��� � �1�i�s�sug�¼��u � :|«g¨�<ZÀ���� � ÅÆz�zõÈ

��qsu�¬i��� � z|u��K��� ∇Ij ��¸���qsu�z|�{·P����z����K��¸¹}s��1��z|���������u>~|z��uB����~|�Vz�� � u��Iu�� � u��K��B

���,+ � ���'15��� �! &�$�� � " ��� 1 ������

�7u1� � ºIu���qsu�������}� /2π �

½ ¾�� � u�����qsuF��ºI�-·�u�q{�{�Q����qsug��ug��À2z ��z|���I�i����z�ºs~|u : %À2¤�<����� � � �ºI��}� � u � �i�QuB� ��u1�

B ⊂ 3M �����K����z��z��s¬ (I1('

0,)

0), . . . , I3M ('

0,)

0))À$��ºI��}� � u � �i�QuB� ��u1�

B′ ⊂ 3M × 3M �����K����z��z��s¬0��qsuaz|�sz ��z|��~.�1��� � z ��z��i� ('

0,)

0)��� � ��~�������~$�#qQ���s¬iu*��¸O·-����z���ºs~|uB�

ψÀ

ψ : (², θ) ∈ B × � 3M 7→ (

',)) ∈ B′ ⊂ 3M × 3M ,

��}�#q���q������qsu��u�Á ·-����z���ºs~|uB�(²(t), θ(t)) = ψ−1(

'(t),

)(t))�iºQuB�V��qu���z|t8�s~�u � �{���t8z|�B�

d²dt

= 0,dθ

dt= ω(²(t)).

Å�«P¨�È

��}s�s�~�z|u � Á�z���q�z��z ��z|��~T����� � z ��z��i�(²(0), θ(0)) = (

²0, θ0) = ψ−1(

'0,)

0)½��æ�(Å�«g¨iȼÀ

ωz|�2��¸¹}s�Q�¼��z|���

¸¹����t 3M ���� 3M ½Op�qsu»���#�-��ug�¼���i����z|����qsu��u�Á ·P����z���º~�ug�nz�� ² (t) =²0Àθ(t) = θ0 + ω(

²0)t½

µ u8��qsuB� t8� =�uf��qsu8¸¹�i~�~|�-Á�z|�s¬�� �s� z���z|�����~O������}ta�s��z|���¿Å¹��qsuV����¶æ����~�~|u �(� z|���sq���K��z|�su�������}st8��¶��z��i�QÈ��i�5��qu0·�ug�¼�����

ω(²0)

> ��qsuB��u0u1��z|�����a�_������������i�C0 > 0

��� � ��� u����Q�i�su��K�γ0 ≥ 0

��}�#q��q�-�

∀α ∈ � 3M \ {0}, | α · ω(²0) | ≥

C0

| α |γ0

,

Á�qu���u�Ánu>�s����u | α | = α1 + . . .+ α3M��� �

α · ω(²0) = α1ω1(

²0) + . . .+ α3Mω3M (

²0)½np�qz|�

q{�{�I����quB��z|�$t8uB����$��q������qsu �K}���K��z ���α ·ω(²0)�����a¬�u��O�1~|�i��u^��� GBu����o�i�s~|��z ¸ | α | ¬i�{uB�����»z��& �sz�����½

¾�� � u�����qsua������}ta�s��z|������q������qu ���t8z�~����i�sz|����¸¹}s��1��z|���Hz������Q��~|�i��z|����� � z|�i��u�¬i����ºs~�uiÀ��� �

��qsu � z|���sqQ���K��z|�su�������}ta�s��z|���ÐÀ����su������ �s���-·iu*��qsuV����¶æ����~|~|u � uB��¬i� � z|�f��qsu��i��uBt ÅÆ��u�uVx{ug��½�¨���� � �u1¸Æ�B½ : ¥{À %�<¹È¼½

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

Page 23: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

¨�© ����� ��� ����������� �-�"& � 4�4H���� ����� � ���"&6�7���������� ���+�������� ��� �"� �������� � � �4�4��������+��"��� �7� �

� ��+-���������2���

:�« <�� ½ ��½Ð��~|~|u��F��� � �f½ ¦Q½Óp�z�~ � uB��~|u���À�� ��AE,+�& � ���"���3+�45��&6�7�� .34 ��� +��7 -�fÅ $��{¸¹��� � x��1z|u����u*�O}ºs~�z�¶�B�-��z��i���ÀÓ« ��£{¤�ȼ½

: ¨�<��f½�Cs��u���=iu�~Q��� � »½Kx{t8z��BÀ�� � � ���"& ���, �������� �4H����+�45��� �"����+�4H��&6�7�� ��.�� �� ��4 ����"��&����*� & �� E�E,4 �������& �7����¼ÀI¨�� � u � ½7ÅU����� � u�t8z|�»�O��uB���BÀ¨�©�©K¨�È1½

: ª�<�� ½ @�½Qp7}��=iu���t����0��� � �a½ ¦½s�F�������K�Q�sÀ�� �, ������"& ��� ���� �1� � � �"� �!�4H��� +�4H���* ���,���3�7�����A& ��� ���� ����+ ���*��� �� E�E,4 �7����& �7����¼ÀI¦Q½s�Oq{���B½Q�nqsu�t�½ �� �7ÀT«P¥ �sÀ¨�©�©i©s½

: v <�xÓ½ �f½ 2��� � À »½ ¦Q½7�7u�z|t�={}sq~�uB����� � »½ »½Ð����z|� � À �,� ���*-��� � ���� ��������� � &'��� �.��� � ����"& ��� && � � E ��� ��&6+����$�!�4H��� +�4H���� ���,���3�7���¼ÀQ¦Q½Q�n��t8�s}��g½s�Oq{����½������QÀT«i«�vÀÓ« � � �s½

: ¥�< @�½Q�2�����rB�BÀ�C2½�2������uB~�~��sÀ{�Oq7½Q�nq������z|u��gÀ�@�½�C���i}ÐÀ�o½��Ðu n��z���À�C2½s�Ðu�¬i��~|~I��� � �a½�p�}s��z��sz��1zDÀ�z|����uB����#�-��z��i�н

: %�<>Çf½ �¼½Q�����s��~ � À?/(��&'��� �!��&6�7� ��4 �!��&'��� -�3.���45�-���"�7� ��4 �!��� � ��� �7�"�>ÅUx{�s��z|�s¬�uB��¶ZÇ.u���~|��¬ÀT« �i£ �Kȼ½:ݤ-< @�½ o��z|��uB�BÀ5�nqн��7}sºsz��#qÐÀ �a½ µ ���s�suB�BÀ � ���� � & �"�7� � +��!� �"�7� ��4F��� & � ������& �7������,& �"+ � & +�� ���

E ������� �"����� � ��4 � ��"��&'���3� .����� � ����,��� �*0�� � ����� � &6�7��4 ����+ ��& �7�����ÅUx{���z|�s¬�uB��¶ZÇ.u���~���¬À�¨�©i©i¨iȼ½: £�<*�nq7½�x��#q�������uF��� � µ ½� �}sz���z|�s¬i�À�z�� > �3���, �)���� .F� +��!� �"�7� ��4 ���,��4��-��� ��� � �4 ��! �"��E � � �7��4

���4�+�� ��� �%�� E +�& ��& �7��,��4 ����� �3� �"&6� �aÅU���i����q�¶ ���~|~|��� � À¨�©�©�ªKȼ½: ��<� �½ #a½Q �}sºz������uBz��7À$� ����+�4H��&6�7�� ��� !&'����/ �� & � � ���"4H1�!� &�� � 8Å µ z�~|u��iÀ7« �i£s«Pȼ½

:|«B©�<>�*½Ð�7��z��QÀÐ�5½T��������z|�su�~|~��QÀ�� � � ��E,�����*.������ ���� ���6� � �3��� ��� ��À7�O������½Ó������~D½Ð����� � ½Ðx��1zD½Ó¾ox��&%'%ÐÀ«P¨�¥ %i¨�Às¨�©�©i¨s½

:|«�« <>� ½  �½Ðx{�i��uB���u��ÐÀI��½ Cn½TÇ.����u��gÀ�� � � E � ����&6+���� �� ������4H� ����& �� ��� �����7�"� .���*������+�4H��& �7�� .3����.���� �� + � � & � ����� &7�¼À¦Q½Q�nqsu�t�½s�^qK���B½$� �)(ÐÀ �i¥ � �sÀs¨�©i©�©½

:|«g¨�< �a½ C2½Qx{z|t8ta�i��BÀ�� �E��4H � � ���, 1� � � �"� ���,��4 �-�"� �>ÅU�_� �»�#�PÁ�¶ �z�~|~DÀÓ« � %iªiÈ1½

Ö¹Þ$ÔÐÖõú

Page 24: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

������������ ������������������������������ �!�"�$#%��&'�(� �"����*)��+��, -�%.����/102�"���3+�45��&6�7���� ¨s«

� *�*"$���*"$�

��� �T°B± Î Ï �$³�° � Î � �

( # ² ����¯ Ê °B° � ���6²��$Ï�± Ê ¯ ��$¹° �

� � ��� Ê ± �Ƴ�²"$ Ê�²&� ) $ Ê ¯ �

ª½�« �n�i~�~|uB�1��z|������¸�q����t8���sz��o�i���1z|~�~��-�����#�(½�½>½�½>½�½�½>½�½>½�½»½�½>½�½�½>½�½>½�½>½�½�½»½�½ £ª½ ¨<p�qu �>u��s~|u����s����ºs~|u�t ½�½>½�½>½�½�½»½�½>½�½>½�½�½>½�½>½�½»½�½>½�½�½>½�½>½�½>½�½�½»½�½ £ª½ ª %i©a�������z��1~|uB��z|���a����}�������u � �ÐuB�s���� � ¶æ¦i���sug�^�I����u��K��z���~o½»½�½>½�½�½>½�½>½�½>½�½�½»½�½ «i«ª½ v $o�u»�Q������z��1~|u»z|��� � ��}sº~�u�Á2u�~|~Ó�Q����uB�i��z|��~F½>½�½�½>½�½>½�½»½�½>½�½�½>½�½>½�½>½�½�½»½�½ «P¨

� � Î ��³�$ �$¯ � Î �$¯ � �

� ­ ) )^Ê �$Ï ��

���¥s½�« �o����}st8����z��i���������qu# ���t8z|~ �����sz�����¸¹}s��1��z|���

H> ½�½>½�½»½�½>½�½�½>½�½>½�½>½�½�½»½�½ «g£

¥s½ ¨<�oz|���sq���K��z|�su�������}ta�s��z|��� > ½�½>½�½�½»½�½>½�½>½�½�½>½�½>½�½»½�½>½�½�½>½�½>½�½>½�½�½»½�½ « �

Ô�Ô â�Isò1ë1ñ#ó

Page 25: High-order averaging schemes with error bounds for ... · Unité de recherche INRIA Rocquencourt Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France) Téléphone

Unité de recherche INRIA RocquencourtDomaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Futurs : Parc Club Orsay Université - ZAC des Vignes4, rue Jacques Monod - 91893 ORSAY Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334 Montbonnot Saint-Ismier (France)

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis : 2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399