g5 aplicaciones de edo 2 grado

• Movimiento no Amortiguado

• Movimiento Amortiguado

• Movimiento forzado

Movimiento NO Amortiguado

Oscilaciones

Sistema resorte/masa, movimiento libre no amortiguado

Ley de Hooke

Sistema resorte/masa, movimiento libre no amortiguado

Segunda Ley de Newton

Sistema resorte/masa, movimiento libre no amortiguado

Ecuación Diferencial

Sistema resorte/masa, movimiento libre no amortiguado

Ecuación Diferencial

Términos de uso frecuente:

Movimiento Amortiguado

Oscilador amortiguado

Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de fricción

son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que es disipado

fuera del sistema. Como consecuencia, el movimiento está amortiguado, salvo que

alguna fuerza externa lo mantenga. Cuando el amortiguamiento no supera este valor

crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejante al

movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye

exponencialmente con el tiempo.

Movimiento Amortiguado

Oscilador amortiguado

Movimiento Amortiguado

Oscilador amortiguado

En todos los casos físicos existe alguna fuerza de rozamiento que generalmente seconsidera proporcional a la velocidad quedando la ecuación diferencial de movimiento

Consideremos una masa m en una posición de equilibrio y sujeta a una fuerza de recuperaciónproporcional al desplazamiento x del equilibrio y opuesta a él según la ecuación

F= -kx

Movimiento Amortiguado

Oscilador amortiguado

donde b es la constante de amortiguamiento. Dado que Fr se opone almovimiento, signo opuesto a la velocidad del objeto, realiza un trabajo negativo y es lacausa de que la energía disminuya. Introducido este término en la 2º ley de Newtonobtenemos la ecuación diferencial de movimiento de un sistema amortiguado.

Movimiento Amortiguado

Oscilador sobre amortiguado

En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución esde la forma: En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. Lasolución es de la forma:

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales :

Movimiento Amortiguado

Oscilador con Amortiguamiento Crítico

Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurrecuando

La solución única es:

Movimiento Amortiguado

Oscilador con Amortiguamiento Débil

En este caso, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente.Sucede cuando:

Al dividir la ecuación por la masa m, la ecuación diferencial del movimiento amortiguado

Movimiento Amortiguado

Oscilador con Amortiguamiento Débil

CASO III: ʎ ^2 – w^2< 0

Movimiento Forzado

Movimiento Forzado con Amortiguamiento

Ahora tomaremos en cuenta una fuerza externa, f(t), que actúa sobre una masa

oscilatoria en un resorte; por ejemplo, f(t) podría representar una fuerza de impulsión

que causara un movimiento oscilatorio vertical del soporte del resorte (Véase la figura).

La inclusión de y(t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación

diferencial del movimiento forzado:

Al dividir esta ecuación por m se obtiene

Movimiento Forzado

Movimiento Forzado con Amortiguamiento

Para resolver esta ecuación no homogénea tenemos el

método de los coeficientes indeterminados o el de la

variación de parámetros.

Movimiento Forzado

Términos Transitorios y Estacionarios

Cuando f es una función periódica como:

Consiste en: X= Termino transitorio + Termino estacionario

La solución general de la ecuación

Movimiento Forzado

Términos Transitorios y Estacionarios

en el entendido que a la solución que encontremos debemos quedarnos con la parte real. La solución

puede adivinarse de la forma

Una solución particular.

Si la fuerza forzadora es periódica de la forma

Ahora damos paso a:Ejercicios y Problemas