fundamentos ii

FundamentosCap. I

1

Introducción general • El análisis numérico es la rama de la matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través

de números y reglas matemáticas simples simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. Introducción general [editar]

• El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.

• En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.

• El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

• Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

2

Contenido:

3

1. Números Reales2. Exponentes y radicales3. Expresiones Algebraicas4. Expresiones Racionales5. Ecuaciones6. Modelación mediante ecuaciones7. Desigualdades

1.1 Números Reales

4

Números Naturales: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Números Cardinales: 0, 1, 2, 3, …

Números Enteros: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …

Números Racionales: Cualquier número de la forma r = m/n.

Números Irracionales:

23 3

,,2,5,3

Propiedades

5

Propiedad Ejemplo Descripción

Conmutativa

a + b = b + aab = ba

7 + 3 = 3 + 73.5 = 5.3

Cuando se suman dos números, no importa el orden.

Cuando se multiplican dos números no importa el orden.

Asociativas

(a + b) + c = a + (b + c)

(ab)c = a(bc)

(2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)

(3.7) 5 = 3 (7.5)

Cuando se suman tres números no importa cuáles dos se suman primero.

Cuando multiplicamos tres números no importa cuáles dos se multiplican primero.

Distributiva a(b + c) = ab + ac

(b + c)a = ab + ac

2(3 + 5) = 2(3) + 2(5)

(3 + 5)2 = 2(3) + 2(5)

Cuando se multiplica un número por una suma de dos números se obtiene el mismo resultado al multiplicar el número por cada uno de los términos y luego sumar los resultados.

Propiedad de los negativos

6

Propiedad Propiedad EjemploEjemplo

3.(-1)a = -a (-1)5 = -5

4.-(-a) = a -(-5) = 5

5.(-a)b = a(-b) = -(ab) (-5)7 = 5(-7) = -(5.7)

6.(-a)(-b) = ab (-4) (-5) = 4.5

7.-(a + b) = -a – b -(3 + 6) = -3 – 6

8.-(a – b) = -a + b -(5 – 9) = 9 – 5

Propiedad de las fracciones

7

Propiedad Ejemplo1.

2.

3.

4.

5.

6.

bd

ac

d

c

b

a.

21

10

)7(3

)5(2

7

5.

3

2

bc

ad

c

d

b

a

d

c

b

a

c

ba

c

b

c

a

bd

bcad

d

c

b

a

b

a

bc

ac

bcadd

c

b

a

15

14

5

7

3

2

7

5

3

2

7

8

7

62

7

6

7

2

21

29

21

1514

21

)3(5)7(2

7

5

3

2

3

2

5

5.

3

2

)6(3)9(29

6

3

2

Definición de valor absoluto

8

Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es:

a

aa si

si 0

0

a

a

b

a

b

a

baab

aa

a

01)

2)

3)3

12

3

12

5252

55

033

El valor absoluto de un número es siempre positivo o cero.

Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto.

El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.

El valor absoluto de un número es el cociente de los valores absolutos.

PROPIEDAD DE VALOR ABSOLUTO

1.2 Exponentes y radicales

9

Notación Exponencial

Si a es un número real cualquiera y n es un entero positivo, entonces la potencia n-ésima de a es:

aaaaaan ,...,...

n factores

El número a se denomina base y n es el exponente.

Exponente cero y negativo

10

Si es un número real y n es un entero positivo, entonces;

0a

10 a nn

aa

1

y

Ejemplo 2:

3

1

0

2)

)

7

4)

c

xb

a

8

1

8

1

2

1

11

1

3

1

xx

Leyes de exponentes

11

n

nn

nnn

mnnm

nmn

m

nmnm

b

a

b

a

baab

aa

aa

a

aaa

)5

)4

)3

)2

)1

2

22

222

105252

3252

5

75252

4

3

4

3

4343

333

333

3

3333

Se suman los expentes.

Se restan los exponentes.

Se mulplican los exponentes.

Se eleva cada factor a la potencia.

Se eleva cada factor al numerador y denominador de la potencia.

Aplicacion de las leyes:

12

5

9

124

84

)

)

)

c

cc

yyb

xxa

4

88

12

1

c

yy

x

Ejemplo 3: Ejemplo 4:

4

57

43

843

4

48

3

3

4

442

3

3

423

116

9323

333323

3323

1

)

54

272

32

32)

z

yx

zy

yxx

z

xy

y

x

z

xy

y

x

z

xy

y

xb

ba

baba

baba

abbaa

Notación científica

13

Se dice que un número positivo x está escrito en notación científica si está expresado como sigue:

nax 10 101 adonde y n es un entero.

Los científicos utilizan la notación exponencial para compactar la escritura de números muy grandes o de los muy pequeños. Por ejemplo la estrella más cercana más allá del Sol, Alfa Centauro, está a casi 40 000 000 000 000 kilómetros. Por otro lado la masa de un átomo de hidrógeno es de casi 0.00 000 000 000 000 000 000 000 166 gramos.Son números díficiles de leer y de escribir, de modo que se expresan en notación científica.

00004000000000104 13 El punto décimal 13 lugares a la derecha.

Ejemplos:

14

Ejemplo 6: Escritura de números en notación científica

Ejemplo 7: Cálculos con ayuda de la notación científica, halla; :

18

22

1091.2

10697.1

00046.0

c

b

ac

ab

18

224

1091.2

10697.1106.4

c

ab

36

18224

107.2

1091.2

697.16.4

4

4

5

5

1027.6000627.0)

10279.3327900)

b

alugares

lugares

Definición de raíz n-ésimas

15

Si n es un entero positivo, entonces la raíz n-ésima principal de a se define:

esto significa .

Si n es par, debemos tener y .

ban abn

0a 0b

Propiedades de las raíces n-ésimas

333)5

22;55)4

3729729)3

3

2

81

16

81

16)2

632278278)1

4 4

5 53 3

63

4

4

4

333

n ab

aa

aa

aa

b

a

b

a

baab

n n

n n

mnm n

n

n

n

nnn

)5

)4

)3

)2

)1

si n es impar

si n es par

Exponentes racionales

16

Para definir lo que se quiere decir con exponente racional o, lo que es lo mismo, exponente fraccionario como a1/2, necesitamos usar radicales. Con objeto de dar significado al símbolo a1/n de manera que sea consistente las Leyes de los exponentes, tendríamos:

(a1/n)n = a(1/n)n = a1 = aEntonces según la regla de la raíz n-ésima:

a1/n =n a

Definición de exponentes racionalesPara cualquier exponente racional m/n de los términos más bajos, donde m y n son enteros y n>0, definimos,

am/n = o en forma equivalente am/n = mn an ma

1.3 Expresiones algebraicas

17

Una variablevariable es una letra que representa a cualquier número de un conjunto dado de números. La combinación de variables y números reales, representan expresiones algebraicasexpresiones algebraicas.

Un monomiomonomio es una expresión de la forma axk, donde aa es un número real y kk es un entero negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma de tres monomios. En general la suma de monomios se En general la suma de monomios se llama polinomiosllama polinomios.

PolinomiosUn polinomio en la variable x es una expresión de la forma:

Donde ao , a1,…an son números reales, y n es un entero negativo. o

nn

nn axaxaxa

11

1 ...

Ejemplo 1: Adicion y sustracion

18

a) Efectúe la suma de (x3 – 6x2 + 2x +4) + (x3 + 5x – 7x)

b) Encuentre la diferencia (x3 – 6x2 + 2x + 4) – (x3 + 5x2 – 7x)

452

4)72()56()(

)75()426(

23

2233

2323

xxx

xxxxxx

xxxxxx

4911

4)72()56()(

)75426

)75()426(

2

2233

2323

2323

xx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

Ejemplo 2: Multiplicación

19

a) (2x + 1)(3x – 5) = 6x2 – 10x + 3x – 5

= 6x2 – 7x – 5

e) (x2 – 3)(x3 + 2x + 1) = x2(x3 + 2x + 1) - 3(x3 + 2x + 1)

= x5 + 2x3 + x2 – 3x3 – 6x – 3

= x5 – x3 + x2 – 6x – 3 c)

)32)(1( xx

xxx 3232

xx 32

Productos especiales:

20

Ejemplos

21

)2)(2)(

)2)(

)53)(

32

2

yxyxc

xb

xa 253095)5)(3(2)3( 222 xxxx

3222232 2)2)((3)2()(3)( xxx

8126 246 xxx

22 )()2( yx

yx 24

22

Logo manzana

23

1.1. Definir el concepto de expresión racionalDefinir el concepto de expresión racional.

2.2. Simplificar expresiones racionalesSimplificar expresiones racionales.3. Multiplicar expresiones racionales4. Dividir expresiones racionales

5.5. Sumar expresiones racionales.Sumar expresiones racionales.

6.6. Restar expresiones racionalesRestar expresiones racionales.

7.7. Simplificar fracciones complejas.Simplificar fracciones complejas.

Objetivos

24

DefiniciónDefiniciónUna expresión racionalexpresión racional es una expresión de la forma

, donde p(x) y q(x) son polinomios y

( ) 0.q x ﾹ

( )

( )

p x

q x

25

Ejemplos de expresiones racionalesEjemplos de expresiones racionales

31)

2 5

x

x

2

3

52)

25

x x

x x

2

2

63)

2 3

x x

x x

26

Procedimiento para simplificar expresiones Procedimiento para simplificar expresiones racionalesracionales

1.1. Factorice completamente el numerador y el Factorice completamente el numerador y el denominador de la expresión racional.denominador de la expresión racional.

2.2. Cancele o divida aquellos factores que sean Cancele o divida aquellos factores que sean comunes (iguales) en el numerador y en el comunes (iguales) en el numerador y en el denominadordenominador.

Simplificación de expresiones racionales

27

EjemplosEjemplosSimplifiqueSimplifique cada expresión racional. cada expresión racional.

2

41)

16

x xy

y

4

4 4

x y

y y

4

x

y

4

x

y

4 22)

1 2

w

w

2 2 1

1 2

w

w

2 2 1

2 1

w

w

2

1

2

28

2 2

2 2

10 243)

5 4

x xy y

x xy y

6 4

4

x y x y

x y x y

6x y

x y

38 274)

2 3

x

x

22 3 4 6 9

2 3

x x x

x

24 6 9x x

29

Procedimiento para multiplicar expresiones racionales

1. Factorizar los numeradores y denominadores de las expresiones racionales.

2. Dividir los factores comunes que hayan entre los numeradores y denominadores.

3. Multiplicar los numeradores y colocar el resultado sobre la multiplicación de los denominadores.

Multiplicación de expresiones racionales

30

2

2

4 11.

2 43 2

x x

xx x

￦ ￦ ￨￨

g

2 2 1

1 2 2 2

x x x

x x x

1

2

2

2

2 8 32.

49

x x x

xx

￦ ￦ ￨￨

2 4 3

3 3 4

x x x

x x x

2; 3, 3, 4

3

xx x x

x

ﾹ ﾹ ﾹ

Ejemplos

31

2

2

2 8 43.

216

x x x

xx

￦ ￦ ￨￨

4 2 4

4 4 2

x x x

x x x

12

2

2 14.

21

x x x

xx

￦ ￦ ￨￨

2 1

1 1 2

x x x

x x x

1

x

x

, 1, 1, 2x x xﾹ ﾹ ﾹ

, 4, 4, 2x x xﾹ ﾹ ﾹ

32

Procedimiento para dividir expresiones racionales

1. La división se cambia a la multiplicación por el reciproco del divisor.

2. Factorizar los numeradores y denominadores de las expresiones racionales.

3. Dividir los factores comunes que hayan entre los numeradores y denominadores.

4. Multiplicar los numeradores y colocar el resultado sobre la multiplicación de los denominadores.

División de expresiones racionales

33EjemplosLleva a cabo la operación indicada.

2

2

9 31.

4 2 4

x x

x x

ﾸ

3 3 3

2 2 2 2

x x x

x x x

ﾸ

3 3 2 2

2 2 3

x x x

x x x

2 3

2

x

x

2 6

2

x

x

2 2

3 2

2 1 22.

3 3

x x x x

x x x

ﾸ

2 2

1 1 2 1

1 3 1

x x x x

x x x

ﾸ

34

2

2

3 11 1

2 11

xx x

x xx x

2 2

1 1 2 1

1 3 1

x x x x

x x x

ﾸ

3 1

2

x

x x

2

3 3

2

x

x x

352 2

2 2

6 9 2 33.

3 3 3

x x x x

x x x x

ﾸ

3 3 3 1

3 3 1

x x x x

x x x x

3

36

Procedimiento para sumar y/o restar Procedimiento para sumar y/o restar expresiones racionales.expresiones racionales.

1.1. Para sumar o restar expresiones racionales Para sumar o restar expresiones racionales con el mismo denominador; sumamos o con el mismo denominador; sumamos o restamos los numeradores conservando el restamos los numeradores conservando el denominador común.denominador común.

2.2. Para sumar o restar expresiones racionales Para sumar o restar expresiones racionales con denominadores distintos, con denominadores distintos,

a.a. Encuentra un denominador común, el Encuentra un denominador común, el denominador común recomendado es el denominador común recomendado es el mínimo común múltiplo.mínimo común múltiplo.

Suma y resta de expresiones racionales

37

a. Encuentra las expresiones equivalentes usando el denominador común.

b. Suma o resta los numeradores y coloca el resultado sobre el denominador común.

c. Simplifica si es posible.

38

Efectúe la operación indicada.Efectúe la operación indicada.

5 3 2 51)

7 7

x x

x x

5 3 2 5

7

x x

x

7 2

7

x

x

22 3 4

2) 3 2 3 2

x x x

x x x x

22 3 4

3 2

x x x

x x

22 3 4

3 2

x x x

x x

2 5 4

3 2

x x

x x

39

4 3 53)

2 1

x x

x x

4 1 3 5 2

2 1

x x x x

x x

2 24 4 3 6 5 10

2 1

x x x x x x

x x

2 24 4 3 6 5 10

2 1

x x x x x x

x x

40

2 24 4 3 6 5 10

2 1

x x x x x x

x x

22 2 6

2 1

x x

x x

41

2

2 2 2

3 14)

2 7 3 4 4 3 2 3 9

y y y

y y y y y y

23 1

+2 1 3 2 1 2 3 2 3 3

y y y

y y y y y y

22 3 3 3 1 2 1

2 1 2 3 3

y y y y y y

y y y

42

22 3 3 3 1 2 1

2 1 2 3 3

y y y y y y

y y y

2 2 3 22 3 6 9 2 2 1

2 1 2 3 3

y y y y y y y

y y y

2 2 3 22 3 6 9 2 2 1

2 1 2 3 3

y y y y y y y

y y y

43

2 2 3 22 3 6 9 2 2 1

2 1 2 3 3

y y y y y y y

y y y

3 22 4 5 10

2 1 2 3 3

y y y

y y y

44

EjemplosEjemplos

1)

x yx

x yy

2

15

2) 1 5

x

x x

3

3) 3

aaa

DefiniciónDefinición

Una Una fracción complejafracción compleja es una división de dos es una división de dos

expresiones racionales.expresiones racionales.

45

Procedimiento para simplificar fracciones complejas.

1. Simplifica las operaciones en el numerador.2. Simplifica las operaciones en el denominador.3. Cambia la división a la multiplicación por el

reciproco del divisor.4. Multiplica las expresiones racionales.

46

Procedimiento alterno para simplificar fracciones complejas

1. Encuentra el denominador común de los denominadores en las expresiones racionales del numerador y del denominador.

2. Multiplica el numerador y el denominador de la fracción compleja por el denominador común.

47

Ejemplos:Ejemplos:Simplifique cada fracción compleja.Simplifique cada fracción compleja.

3 24 31) 1 14 6

3 212

4 3

1 112

4 6

￦ ￨ ￦ ￨

9 8 3 2

17

1 17

1

2) 1

cd

dc

1

1

cd cd

cd dc

￦￨ ￦ ￨

2

2

c d c

cd d

1

1

c cd

d cd

c

d

48

1 2

2 2 13)

x xy

xy x y

2

2 2

1

1

xx yxy x y

2 22

2 22 2

1

1

xx y

x y

xx y

y x y

￦

￨

￦

￨

2 3

3

xy x

x y

49

1 2

2 14)

x x

x x

2

2

1 1

1 1x x

x x

22

2

2

1 1

1 1

xx xx

x x

1

1

x

x

2 2

2

2 2

2

x xx xx xx x

50

1 2

2 15)

x x

x x

2

2

1 1

1 1x x

x x

2 2

2 2

1

1

xx x

xx x

2

2

1

1

x x

x x

2

2

1

1

xx

xx

Simplifica la fracción compleja simplificando el numerador y el denominador primero.

1

1

x

x

V e r o t r o s e je m p lo s p á g . V e r o t r o s e je m p lo s p á g . 4 0 .4 0 .

51

1 . 5 E c u a c io n e s y 1 . 5 E c u a c io n e s y R e s o lu c ió n d e R e s o lu c ió n d e

E c u a c io n e s Lin e a le sE c u a c io n e s Lin e a le s

52DefiniciónDefiniciónUna Una variablevariable es un símbolo o letra que se usa es un símbolo o letra que se usa para representar números o cantidades en una para representar números o cantidades en una expresión matemática expresión matemática ..

Ejemplo:Ejemplo: En la expresión En la expresión 5xy + 3a 5xy + 3a , las letras , las letras x,y,ax,y,a se consideran variables.se consideran variables.

DefiniciónDefiniciónUna Una ecuaciónecuación es una relación de igualdad quees una relación de igualdad que contiene al menos una variable.contiene al menos una variable.

DefiniciónDefiniciónUna ecuación con variableUna ecuación con variable x x que se puede que se puede reducir a la forma reducir a la forma ax = bax = b se le llama se le llama ecuación líneal.ecuación líneal.

53

Ejemplos de ecuacionesEjemplos de ecuaciones

712 .1 x LINEALLINEAL1 VARIABLE1 VARIABLE

04 .2 2 x 1 VARIABLE1 VARIABLE NO LINEALNO LINEAL CUADRÁTICACUADRÁTICA

32 .3 yx 2 VARIABLES2 VARIABLES LINEALLINEAL

4 .4 22 yx 2 VARIABLES2 VARIABLES NO LINEALNO LINEALCUADRÁTICACUADRÁTICA

54

5. 6 6x x 1 VARIABLE1 VARIABLE

6. 3 4 2 0x y z 3 VARIABLES3 VARIABLES

LINEALLINEAL

LINEALLINEAL

55

DefiniciónDefiniciónEl valor o valores de las variables que hacen El valor o valores de las variables que hacen cierta una ecuación se llamancierta una ecuación se llaman soluciones.soluciones.

Ejemplos:Ejemplos:

712 .1 x solución una es 3 , x

712 377

04 .2 2 x 2y 2 , xxAclaración: Verifica que son soluciones.Aclaración: Verifica que son soluciones.

56

DefiniciónEl conjunto de todas las soluciones de una El conjunto de todas las soluciones de una

ecuación se llama ecuación se llama conjunto soluciónconjunto solución.

DefiniciónSe dice que dos ecuaciones son Se dice que dos ecuaciones son equivalentesequivalentes si sitienen el mismo conjunto de soluciones.tienen el mismo conjunto de soluciones.

3 6

2 4

x

x

￬￭ ￮

Ejemplo:Ejemplo:.

2

2

x

x

{ }Ejemplo: 2 1 7

Conjunto Solución es 3

x

57

Tipos de ecuacionesTipos de ecuaciones

Las ecuaciones se pueden clasificar en tres tiposLas ecuaciones se pueden clasificar en tres tipos

dependiendo de su conjunto de soluciones.dependiendo de su conjunto de soluciones.

1.1. Identidades :Identidades :

Las identidades son ecuaciones ciertasLas identidades son ecuaciones ciertas

para todo valor posible de la variable.para todo valor posible de la variable.

1. 3 3

2.

Ejempl

3 3

:

2

o

2

x x

x x

58

2. Ecuaciones InconsistentesEcuaciones Inconsistentes: Las ecuaciones inconsistentes son ecuacionesecuaciones inconsistentes son ecuaciones

falsas para todo valor posible de la variable.falsas para todo valor posible de la variable.

1. 3 2 3 5

2. 2 3 2 3

Ejemp

3. 7 6

los:

x x

x x

59

3. Ecuaciones Condicionales:Condicionales: Las ecuaciones condicionales son ecuacionesecuaciones condicionales son ecuaciones

que pueden ser ciertas o falsas dependiendo delque pueden ser ciertas o falsas dependiendo del

valor asignado a la variable.valor asignado a la variable.

1. 7 21

2. 2 3 9

Eje

3.

mplos

3 5

:

2 2

x

x

x x

CIERTA SI x = 7CIERTA SI x = 7

CIERTA SI x = 6CIERTA SI x = 6

CIERTA SI x = 3CIERTA SI x = 3

AclaraciónAclaración:: Para otros valores de Para otros valores de xx las ecuaciones las ecuacionesson falsasson falsas..

60

Propiedades de ecuacionesPropiedades de ecuaciones

1.1. Propiedad AditivaPropiedad Aditiva : Si sumamos o restamos el mismo número o cantidad enSi sumamos o restamos el mismo número o cantidad en ambos lados de una ecuación, obtenemos otra ecuación ambos lados de una ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente a la ecuación original.equivalente a la ecuación original.

Si a = b y c es un número real entonces a + c = b + c

Aclaración: las soluciones de ecuación no cambian.Aclaración: las soluciones de ecuación no cambian.

61

Ejemplos:Ejemplos:

1. 2 3 8

3 3

2 5

x x

x x

5x

2 5

5

x x

x x

x

{ }5 esSoluciónConjunto

62

Transposición de términos:Transposición de términos:

Podemos pasar un término (o número) de un ladoPodemos pasar un término (o número) de un lado

al otro de una ecuación con el al otro de una ecuación con el signo opuestosigno opuesto y y

obtenemos una ecuaciónobtenemos una ecuación equivalente a la original.equivalente a la original.

Aclaración: Aclaración: Las soluciones no cambian.

63Ejemplos:Ejemplos:Resuelve cada ecuaciónResuelve cada ecuación

4x

2 7 3x

1. 2 = 7 x x

2 7 3x x

{ }Conjunto Solución es 4

3 3

xx

64

2. 3 3 2 8 x x

3 2 8 3x x

5x

{ }5 esSolución Conjunto

65

3 6 2 4 3 x x x

5 6 4 3x x

3x

{ }Conjunto solución es 3

3. 3 2 2 4 3x x x

5 4 3 6x x

66

2 3 4 4 2 3 3 3 2 x x x x x 2 23 12 12 2 3 9 3 2x x x x x

0 12

{ }Conjunto Solución es ￆ

24. 3 2 2 3 3 3 2x x x x

2 23 3 12 12 2 14x x x x

La ecuación es inconsistenteLa ecuación es inconsistente

67

Propiedades de ecuaciones:Propiedades de ecuaciones:

2. Propiedad multiplicativa:Si multiplicamos o dividimos ambos lados de una multiplicamos o dividimos ambos lados de una ecuación por un número real distinto de cero, obtenemosecuación por un número real distinto de cero, obtenemos una ecuación equivalente a la ecuación original.una ecuación equivalente a la ecuación original.

Si y entonces y .

Aclaración: Aclaración: Las soluciones no cambianLas soluciones no cambian.

0c ﾹ

c

b

c

a

ba ac bc

68Ejemplos:Ejemplos:Resuelve la ecuación.Resuelve la ecuación.

123 x

4 8 4x x

1. 4 4 8 x x

123 x33

4x

{ }Conjunto Solución es 4

69

2) 0.5 2.6 3.2 5.1x x

5.27.2 x6.21.52.3.50 xx

0.925x

2.7 2.5x

{ }Conjunto Solución es 0.925

2.7 2.7

70

2) 4 5 4 5 15x x

0 0x

4 5 4 20 15x x

4 4 20 15 5x x

0 0 CiertoAnotación:Anotación: La ecuación se reduce a una identidadLa ecuación se reduce a una identidad..

Conjunto Solución es el conjunto de todos los reales.

Conjunto Solución es R

71

Resuelve las ecuacionesResuelve las ecuaciones::

4 10 81. x x

13 82. x x 4 10 3 3 3 13. ( ) x x x

4 2 10 11 8 4 4. ( ) ( ) x x x

3 110 8

4 35. x x

SoluciónSolución

SoluciónSolución

SoluciónSolución

SoluciónSolución

SoluciónSolución

72

Soluciones:

4 8 10x x

3 2x 3 3

2

3x

2Conjunto Solución es

3

￬￭�￮

1. 4 10 8 x x

73

13

13

5 x

0 5 La ecuación es inconsistente.(falsa)

x

{ }Conjunto Solución es f

2. 13 8 x x

8 x x

EjerciciosEjercicios

74

4 10 3 3 3 13. ( ) x x x

4 10 9 9 1 x x x

4 10 10 10 x x

6 0 x

6 60 x

4 10 10 10 x x

{ }0 essolución ConjuntoEjerciciosEjercicios

75

8 40 11 8 32 x x x

61 x1

61x

{ }Conjunto Solución es 61

4 2 10 11 8 4 4. ( ) ( ) x x x

8 29 9 32 x x

8 9 32 29 x x

1

EjerciciosEjercicios

763 110 8

4 35. x x

Multiplicando por el denominador común se simplifica la ecuaciónMultiplicando por el denominador común se simplifica la ecuación

3 110 8

4 3 ( ) ( )x x 12 12

9 120 4 96 x x 9 4 96 120 x x

5 24 x5 5

24

5 x

5

24 esSolución Conjunto

77

Factorización

Raíz Cuadrada

Completar Cuadrado

Fómula Cuadrática

Ejercicios

Fin

78

Ecuaciones CuadrEcuaciones Cuadrááticasticas

Definición Una ecuación con variable x que se puede reducir a la forma 02 cbxax

0con constantesson y , donde acbase conoce como ecuación cuadrática.

Podemos resolver las ecuaciones cuadrPodemos resolver las ecuaciones cuadrááticas mediante los ticas mediante los siguientes msiguientes méétodos:todos:Método de factorizaci factorizacióónnMétodo de raíces cuadradasMétodo de completar el cuadrado completar el cuadradoMétodo de la F la Fóórmula Cuadrrmula Cuadrááticatica

79

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

0910 )1 2 xx

3319 2 )2 2 xx

259 )3 2 x

205 )4 2 x

0148 )5 2 xx26) 7 0x

80

El procedimiento para el El procedimiento para el Método de Método de Factorización es:Factorización es:

1.1. Iguale la ecuación a cero.Iguale la ecuación a cero.

2.2. Factorice el polinomio que forma la ecuación.Factorice el polinomio que forma la ecuación.

3.3. Use la propiedad del producto nulo para reducir a Use la propiedad del producto nulo para reducir a ecuaciones lineales.ecuaciones lineales.

4.4. Resuelva las ecuaciones lineales.Resuelva las ecuaciones lineales.

Empezar

1. Método de Factorización1. Método de Factorización

Métodos de solución de las ecuaciones cuadráticasMétodos de solución de las ecuaciones cuadráticas

81

Ejemplos:Ejemplos:Resuelve las ecuaciones usando el método de Resuelve las ecuaciones usando el método de factorización.factorización.

910 )1 2 xx

09102 xx

019 xx

09 x ó 01x

9x 1x

{ }C. S.= 9, 1

82

3319 2 )2 2 xx

033192 2 xx

01132 xx

032 x ó 011x

32 x

2

3x

11x

3C.S.= , 11

2

￬￭�￮

8323) 2 18x x22 18 0x x

2 9 0x x

2 0x ó 9 0x

0

2x

0x

9x

{ }C.S.= 0, 9

8424) 9 36x 29 36 0x

2 4 0x

2 0x

ó

2 0x

2 2 0x x

2x 2x

{ }C. S.= 2, 2

29 36 0

9 9 9

x

85

2Si entonces ó .

Teorema:

x p x p x p

2. El método de raíz cuadrada2. El método de raíz cuadrada

2Recordar que x x x ﾱ0

0

x si x

x si x

ﾳ￬￭ ￮

86

El procedimiento para el Método de Raíz Cuadrada

1. Despeje la variable cuadrática2. Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de

la ecuación3. Simplifique

Aclaración : Este método se puede aplicar cuando el coeficiente del término lineal es cero.

Empezar

Método de Raíz Cuadrada

87

21) 9 25x

9

25

9

9 2

x

9

252 x

2 25

9x

3

5x

5 5C. S.= ,

3 3

￬￭�￮

5

3x ﾱ

Ejemplos:Ejemplos:Resuelve las ecuaciones usando el método de la Resuelve las ecuaciones usando el método de la raíz cuadrada.raíz cuadrada.

88

22) 5 20x

25 20x

205 x

5 4 5x ﾱ ￗ

525 x

525x

{ }C. S.= 5 2 5, 5 2 5

89

Procedimiento para completar el cuadrado

1. Deje a un lado los términos con variables.

2. Divida por el coeficiente de la variable cuadrática.

3. Encuentre el término que completa el cuadrado.El término que completa el cuadrado se encuentra dividiendo el coeficiente del términolineal por 2 y elevando al cuadrado.

4. Sume el término que completa el cuadrado en ambos lados de la ecuación.

5. Factorice y use el Método de la Raíz Cuadrada.

3. El método de completar el cuadrado

90

0148 )1 2 xx

1482 xx

2

2

8 24 16

14 82 xx 16 16

21682 xx

91

21682 xx

244 xx

24 2 x

24 2 x

24 x

92

24x

24 x

{ }. 4 2, 4 2C S

93

014129 )2 2 xx29 12 14

=9 9 9

x x

2 4 14

3 9x x

2 4 14

3 9 x x

4

9

4

9

9

4

3

2

23

422

94

2 2 18

3 3 9x x

￦ ￦ ￨ ￨

2 4 14

3 9 x x

4

9

4

9

22

23

x￦ ￨

22

23

￦ ￨

x

95

22

3x ﾱ

22

23

￦ ￨

x

22

3x ﾱ

2 2. . 2, 2

3 3C S ￬ ￭�

￮

96Ejemplo:Ejemplo:Resuelva para Resuelva para x x completando el cuadradocompletando el cuadrado

2 0ax bx c

2 a b c

x xa a a

2 b c

x xa a

2 b c

x xa a

2

24

b

a

2

24

b

a

2 22

2 24 4

b b b cx x

a a a a

2 2

2

4

2 4

b b acx

a a

￦ ￨

4a

4a

2

22

42 a

b

a

b

972 2

2

4

2 4

b b acx

a a

￦ ￨

2

2

4

2 4

b b acx

a a

ﾱ

2

2

4

2 4

b b acx

a a

ﾱ

2 4

2 2

b b acx

a a

ﾱ

2 4

2 2

b b acx

a a

ﾱ

2 4

2

b b acx

a

ﾱ

2 2

2

4

2 4

b b acx

a a

￦ ￨

98

Teorema: Las soluciones de una ecuación cuadrática 02 cbxaxdonde , y son constantes y 0a b c a ﾹestán determinadas por la fórmula:

aacbbx 2

42 La misma es llamada la fórmula cuadrática.

Empezar

4. La Fórmula Cuadrática

99

aacbbx 2

42 2Al número se le llama el discriminante d

Definición

e la ecuacb ón.4 iac

Aclaración:Aclaración:1. Si el discriminante es un número positivo; la Si el discriminante es un número positivo; la ecuación tendrá dos soluciones reales.ecuación tendrá dos soluciones reales.2. Si el discriminante es un2. Si el discriminante es un número negativo; la número negativo; la ecuación tendrá dos soluciones complejasecuación tendrá dos soluciones complejas conjugadas.3.Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una Si el discriminante es cero; la ecuación tendrá una solución real de multiplicidadsolución real de multiplicidad dos.

100Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.

018248 )1 2 xx

8, b 24 y c 18a

aacbbx 2

42

1018, b 24 y c 18a

82

18842424 2 x

16

57657624 x

24

2x

ﾱ 24 24 8

8

18

102

16

57657624 x

16

024 x

24 0

16x

ﾱ

24

16x

2

3

2

3..SC

1030523 )2 2 xx

3, b 2 y c 5a

aacbbx 2

42

2 4 60

6

ﾱ

22 2 3 54

32x

ﾱ

104

2 4 60

6x

ﾱ

6

562

2 4 14 1

6

ﾱ

2 2 14

6

ix

ﾱ

1052 2 14

6

ix

ﾱ

2 2 14

6 6i ﾱ

iSC3

14

3

1..

1 14

3 3x i ﾱ

10623) 3 2x x

1, b 3 y c 2a

aacbbx 2

42

23 3 4 1 2

2 1

ﾱ

2 3 2 0x x

107

23 3 4 1 2

2 1x

ﾱ

3 9 8

2x

ﾱ

3 1

2x

ﾱ

3 1

2x

ﾱ

3 1 3 1

2 2x ó x

2x 1x

{ }. . 2,1C S

108Ejercicios:Resuelve la ecuación por el método de factorización.

ddd

nn

dd

y

mm

dd

dd

163215.7

4.6

01617.5

04936.4

0124.3

0144.2

012144.1

23

3

24

2

2

2

2

109Ejercicios:Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.

2

2

2

2

4

1. 4 16 0

2. 1 0

3. 4 32 0

4. 36 49

5. 16 0 *

d

d

m

y

d

110Ejercicios:Resuelva la ecuación completando el cuadrado.

2

2

2

2

2

1. 4 14 12 0

2. 4 12 0

3. 2 4

4. 17 16 0

5. 3 1

d d

m m

y y

d d

d d

111

Ejercicios:Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.

2

2

2

2

2

1. 4 14 12 0

2. 4 4 1 0

3. 4 12 0

4. 36 49 0

5. 17 16 0

d d

d d

m m

y

d d

112

Resuelve la ecuación usando factorización.

012144.1 2 dd2

2 2

4 14 2

2

0

2

1d d

22 7 6 0d d

2 3 2 0d d

2 3 0 2 0d ó d

113

2 3 0d

2 3d

3

2d

2d

2 0d

3. , 2

2C S ￬ ￭�

￮

114

22. 4 4 1 0d d

2 1 2 1 0d d

2 1 0 2 1 0 d ó d

2 1d

1

2d

1

2d

1. .

2C S

￬ ￭�￮

115

23. 4 12 0m m

4 3 0m m

4 0 3 0 m ó m0

4m

0m

3m

{ }. . 0. 3C S

11624. 36 49 0y

6 7 6 7 0y y

6 7 0 6 7 0y ó y

7

6y

7

6y

7 7. . ,

6 6C S ￬ ￭�

￮

6 7 6 7y ó y

117

4 25. 17 16 0d d

2 216 1 0d d

4 0 4 0 1 0 1 0d ó d ó d ó d

4d 4d 1d

{ }. . 4, 4,1, 1C S

4 4 1 1 0d d d d

1d

118

36. 4n n

2 4 0n n

0 2 0 2 0n ó n ó n

0n 2n 2n

{ }. . 0, 2 2C S

3 4 0n n

2 2 0n n n

119

3 27. 15 32 16 0d d d

215 32 16 0d d d

0 5 4 0 3 4 0d ó d ó d

0d 4

5d 4

3d

4 4. . , ,0

5 3C S

￬ ￭�￮

5 4 3 4 0d d d

120

21. 4 16 0d

Resuelva la ecuación por el método de la raíz cuadrada.

24 16d 24 16

4 4

d

2 4d 2 4d

2d ﾱ{ }. . 2, 2C S

121

{ }

2

2

2

2. 1 0

1

1

1

. . 1, 1

ﾱ

d

d

d

d

C S

122

{ }

2

2

2

2

2

3. 4 32 0

4 32

4 32

4 4

8

8

4 2

2 2

. . 2 2, 2 2

ﾱ

m

m

m

m

m

m

m

C S

1232

2

2

2

4. 36 49

36 49

36 3649

36

49

367

67 7

. . ,6 6

ﾱ

￬ ￭�￮

y

y

y

y

y

C S

124

{ }

4

4

4

2

2 2

2 2

5. 16 0 *

16

16

4

4 o 4

4 o 4

2 o 2

. . 2, 2, 2 , 2

ﾱ

ﾱ ﾱ

d

d

d

d

d d

d d

d d i

C S i i

125

2

2

2

2

2

2

1. 4 14 12 0

4 14 12

4 14 12

4 4 47

347 49 49

34 16 16

7 48 49

4 16 16

￦ ￨

d d

d d

d d

d d

d d

d

Resuelva la ecuación completando el cuadrado.2

7 1

4 16

7 1

4 47 1

4 46 8

o 4 43

o 22

3. . , 2

2

￦ ￨

ﾱ

ﾱ

￬ ￭�￮

d

d

d

d d

d d

C S

126

2

2

2

2

2

2. 4 12 0

4 12 0

4 4 4

3 0

9 93

4 4

3 9

2 4

￦ ￨

m m

m m

m m

m m

m { }

3 3

2 23 3 3 3

o 2 2 2 23 o 0

. . 3,0

ﾱ

m

m m

m m

C S

127

2

2

2

2

2

3. 2 4

2 4

2 2 21

221 1 1

22 16 16

1 32 1

4 16 16

￦ ￨

y y

y y

y y

y y

y

1 33

4 16

1 33

4 4

1 33.

4 4

ﾱ

ﾱ

￬ ﾱ￭�￮

y

y

C S

128

2

2

2

2

2

4. 17 16 0

17 16

289 28917 16

4 4

17 64 289

2 4 4

17 225

2 4

￦ ￨

￦ ￨

d d

d d

d d

d

d { }

17 15

2 217 15

2 217 15 17 15

o 2 2 2 2

16 o 1

. 16,1

ﾱ

ﾱ

d

d

d d

d d

C S

129

2

2

2

2

5. 3 1

9 93 1

4 4

3 4 9

2 4 4

3 5

2 4

￦ ￨

￦ ￨

d d

d d

d

d

3 5

2 4

3 5

2 2

3 5 3 5 o

2 2 2 2

3 5.

2 2

ﾱ

ﾱ

￬ ﾱ￭�￮

d

d

d d

C S

130Resuelva la ecuación usando la fórmula cuadrática.

2

2

2

2

1. 4 14 12 0

4 14 12 0

2 2 2 2

2 7 6 0

7 7 4 2 6

2 2

7 49 48

4

7 1

4

ﾱ

ﾱ

ﾱ

d d

d d

d d

d

d

d

7 1

47 1 7 1

o 4 4

6 8 o

4 43

o 22

3. . , 2

2

ﾱ

￬ ￭�￮

d

d x

d x

d x

C S

131

2

2

2. 4 4 1 0

4 4 4 4 1

2 4

4 16 16

8

4 0

84 0

84 1

8 21

. .2

ﾱ

ﾱ

ﾱ

ﾱ

￬ ￭�￮

d d

d

d

d

d

d

C S

132

{ }

2

2

3. 4 12 0

12 12 4 4 0

2 4

12 144

812 12

812 12 12 12

o 8 8

0 24 o

8 80 o 3

. . 0, 3

ﾱ

ﾱ

ﾱ

m m

m

m

m

m m

m m

m m

C S

133

2

2

4. 36 49 0

0 0 4 36 49

2 36

2 6 7

2 6 6

7

67 7

o y6 6

7 7. . ,

6 6

ﾱ

ﾱ

ﾱ

￬ ￭�￮

y

y

y

y

y

C S

134

{ }

2

2

5. 17 16 0

17 17 4 1 16

2 1

17 289 64

2

17 225

217 15

232 2

o 2 2

16 o 1

. . 1,16

ﾱ

ﾱ

ﾱ

ﾱ

d d

d

d

d

d

d d

d d

C S

135

136

1) Identificar la Variable: Identifique la cantidad que el problema le pide determinar. Por lo regular, esta cantidad se puede determinar por medio de una lectura cuidadosa.

2) Expresar todas las incógnitas en terminos de la variable: Lea una vez más cada oración del problema y exprese todas las cantidades mencionadas en el problema en términos de la varible que definió en el paso 1.

3) Plantear el modelo: Encuentre el hecho decisivo en el problema que relaciona las expresiones que usted listó en el paso 2.

4) Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta: Resuelva la ecuación, verifique la respuesta y exprésela como una oración que responde la pregunta.

137

Ejemplo: Renta de un automóvilEjemplo: Renta de un automóvil

Una compañia que renta automóviles cobra 30 dólares al Una compañia que renta automóviles cobra 30 dólares al día más 15 centavos de dólar por milla al rentar un día más 15 centavos de dólar por milla al rentar un automóvil. José, renta un automóvil por dos días y su automóvil. José, renta un automóvil por dos días y su cuenta es de 108 dólares. ¿Cuántas millas recorrió? cuenta es de 108 dólares. ¿Cuántas millas recorrió?

Solución: Solución: Se pide determinar la cantidad de millas que Se pide determinar la cantidad de millas que José recorrió. José recorrió.

x = millas recorridasx = millas recorridas

En palabras Algebricamente

Cantidad de millas recorridas x

Costo de la cantidad de millas recorridas (15 cent.) 0.15x

Costo diario (30 dólares el día) 2(30)

Solución:

Ecuación:Ecuación:Costo de las millas recorridas + costo diario = costo total

xx + + 2(30)2(30) == 108108

0.15 x = 48

x = 48/0.15

xx == 320320

138

En palabras Algebricamente

Cantidad de millas recorridas x

Costo de la cantidad de millas recorridas (15 cent.) 0.15x

Costo diario (30 dólares el día) 2(30)

139

Ejemplo: Interés de una inversiónEjemplo: Interés de una inversión

María hereda 100 000 dólares y los invierte en dos María hereda 100 000 dólares y los invierte en dos certificados de depósito. Uno de los certificados paga el certificados de depósito. Uno de los certificados paga el 6% y el otro paga 4 ½ de interés anual simple. Si el interés 6% y el otro paga 4 ½ de interés anual simple. Si el interés total de María es 5025 dólares por año. ¿Cuánto dinero total de María es 5025 dólares por año. ¿Cuánto dinero está invertido en cada tasa? está invertido en cada tasa?

Solución: Solución: El problema pide la cantidad que María invirtió El problema pide la cantidad que María invirtió a cada una de las tasas.a cada una de las tasas.

x = cantidad invertida a 6%x = cantidad invertida a 6%

140Solución:

Ecuación:Ecuación:Interés al 6% + Interés al 4 ½ = Interés Total

0.06x + 0.045(100 000 – x) = 50250.06x + 4500 – 0.045x = 5025 0.015x + 4500 = 5025

0.015x = 525 x = 525/0.015 x = 35 000

En palabras Algebricamente

Cantidad Invertida al 6% x

Cantidad Invertida al 4 ½ 100 000 – x

Interés ganado al 6% 0.06x

Interés ganado al 4 ½ 0.045(100 000 – x)

141

Ejemplo: Ejemplo: Dimensiones de un terreno para Dimensiones de un terreno para construcciónconstrucción

Un terreno de forma rectangular para construir mide 8 pies Un terreno de forma rectangular para construir mide 8 pies más que el ancho y su área es de 2900 pies cuadrados. más que el ancho y su área es de 2900 pies cuadrados. Determina las dimensiones del lote.Determina las dimensiones del lote.

Solución: Solución: Se pide determinar el ancho y el largo del Se pide determinar el ancho y el largo del terreno.terreno.

x = cantidad invertida a 6%x = cantidad invertida a 6%

142

143

Objetivos:Objetivos:

1.1. Resolver desigualdades lineales.Resolver desigualdades lineales.

2.2. Resolver desigualdades compuestasResolver desigualdades compuestas.

144

Ejemplos de desigualdades:Ejemplos de desigualdades:

372 )1 x

2) 5 2 1x ﾳ

3) 1 2 3 9x ﾣ

4) 8 1 3 2 13x ﾣ

5) 6 3 5 6x } Desigualdades

Compuestas osimultáneas

145

Recordar:Para resolver una desigualdad lineal se utiliza el mismo procedimiento que se utilizó para resolver ecuaciones lineales con la excepción de que si multiplicamos o dividimos ambos lados de la desigualdad por un número negativo el signo de la desigualdad cambia de dirección o sentido.

146

Resuelva las desigualdades:Resuelva las desigualdades:

372 )1 x

732 x

42 x

2

4

2

2

x

2x

147

AclaraciónAclaración::El conjunto solución de una desigualdad se puede expresar en tres formas.

Estas son:Estas son:1. Forma de conjunto1. Forma de conjunto

2. 2. Forma gráficaForma gráfica 3. 3. Forma de intervaloForma de intervalo

148

En el problema anterior obtuvimos como En el problema anterior obtuvimos como soluciónsolución 2x

Forma conjunto: { }2x R x ￎ

:gráfica Forma0 1 2 313

:intervalo de Forma

2

2,

1492) 5 2 1x ﾳ

2 1 5x ﾳ

2 4x ﾳ

2

4

2

2

x

2 x 2 ,

Forma conjunto:

{ }2x R xￎ ﾣ

:gráfica Forma

:intervalo de Forma

0 1 2 313 2

150

3) 3 7 8x

3 8 7x

3 15x

3 15

3 3

x>

5x >

. . 5,C S ﾥ:gráfica Forma

1 0 1 235

4

151

Definición:

Las desigualdades compuestas son dos desigualdades en la misma expresión. Se pueden resolver por separado o de manera simultánea. La recomendación es que se resuelvan simultáneamente siempre que sea posible.

152

9321 )1 x

1 3 2 9 3x ﾣ

2 2 6x ﾣ

2

6

2

2

2

2

x

31 x

Conjunto Solución

1. . , 3C S

Forma de conjunto: { }. . 1 3 ￎ ﾣC S x R x

:gráfica Forma

0 1 2 313

:intervalo de Forma

2

Resuelve las siguientes desigualdades compuestas.Resuelve las siguientes desigualdades compuestas.

153 2) 8 1 3 2 13x ﾣ

8 1 3 6 13x ﾣ

8 3 7 13x ﾣ

8 7 3 13 7x ﾣ

15 3 6x ﾣ

154 15 3 6x ﾣ

15 3 6

3 3 3

x

>ﾳ

25 > x

52 x

Conjunto Solución

2 C.S.= , 5

Forma de conjunto:

{ }. . 2 5 ￎ ﾣC S x R x

:gráfica Forma

32

:intervalo de Forma

0 1 2 4 5-1

155

3) 6 3 5 6x

1131 x

3

11

3

3

3

1 x

3

11

3

1

x

Conjunto Solución

1 11

3 3. . , C S

￦￨

6 5 3 6 5x Forma de conjunto:

1 11. .

3 3￬ ￎ￭�￮

C S x R x

:gráfica Forma

:intervalo de Forma

1

3

11

3

156

4) 5 2 1 2x

5 2 1 2x

{ }. .C S f

falso

157

5) 6 3 5 6 4 x x x

6 3 5 3 5 6 4 x x y x x

3 5 6 3 4 6 5 x x y x x

2 1 11 x y x12 11 x x

y2 2 1 1

111

2> > x y x

111

2

( (

> >

1,

2￦ ﾥ￨

158

1. . ,

2￦ ﾥ￨

C S

159

6) 6 3 2 6 2 ﾣx x x

6 3 2 3 2 6 2 ﾣx x y x x

3 2 6 3 2 6 2 ﾣx x y x x

2 4 8 ﾣx y x42

8

x

y x2 2

2 8 ﾳx y x

2 8

[ )

ﾳ

160

. . 2,8 C S

161

162

El Plano Cartesiano:El Plano Cartesiano:

),( yx

Cuadrante

),( yx

Cuadrante

),( yx

Cuadrante

),( yx

V

Cuadrante

x

y

x ≥ 0

│x│= - 1

163

Ejemplo: Gráficas de regiones en el plano cartesianoEjemplo: Gráficas de regiones en el plano cartesiano

Describa y grafique las regiones representadas mediante cada conjunto.

{ }0/),() xyxa

{ }1/),() xyxb

{ }1/),() xyxc

x = 1

164Fórmula de la distancia

La distancia entre los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) en el plano es:

212

212 )()(),( yyxxBAd

Ejemplo: Aplicación de la fórmula de la distanciaEjemplo: Aplicación de la fórmula de la distancia

¿Cuál de los puntos P(1, -2), Q(8, 9), está más cerca al punto A(5, 3)?

4154))2(3()15(),( 2222 BAd

45)6()3()93()85(),( 2222 AQd

Se demuestra que Se demuestra que d(P, A) < d(Q, A). d(P, A) < d(Q, A). De modo que P esta más cerca de A.De modo que P esta más cerca de A.

165

2,

22121 yyxx

Fórmula del punto medio

El punto medio del segmento de recta desde A(x1,y1), B(x2, y2) es:

Ejemplo: Fórmula del punto medio.Ejemplo: Fórmula del punto medio.Demostrar que el cuadrilátero P(1, 2), Q(4, 4), R(5, 9), S(2, 7).

Esto significa que las diágonales son congruentes.Esto significa que las diágonales son congruentes.

2

11,3

2

74,

2

24

2

11,3

2

92,

2

51

SQ

PR

166

Gráfica de una ecuación:

La gráfica de una ecuación con x y y es el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano coordenado que satisfacen la ecuación.

Trazo de una gráfica mediante la ubicación de puntos:

32 yx32 xy

167

22 xy

2

2 2

x

x

2 2

168

Ecuación de la circunsferencia:

rkyhx 22 )()(

Forma ordinaria:

222 ryx

169

Gráfica de circunsferencia

2522 yx 25)1()2( 22 yx