função do 2 grau f x ax bx c - unemat – campus...
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1
Função do 2o Grau
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Função do 2o Grau
1.Definição
2.Gráfico
3.Concavidade
4.Forma canônica
5.Zeros
6.Máximo e mínimo
7.Vértice da parábola
8.Imagem
9.Eixo de simetria
10.Informações que auxiliam a construção do gráfico
Função do 2o Grau
11.Sinal da função quadrática
12.Inequação do 2o grau
4
Uma aplicação f de em recebe o nomede função quadrática ou do 2o grau quando associaa cada x ∈ o elemento (ax2 + bx + c) ∈ , em quea, b, c são números reais dados e a ≠ 0.
(a ≠ 0)
1. Definição
ℝ ℝ
ℝℝ
2( )f x ax bx c= + +
5
Exemplos de funções quadráticas
1. Definição
2
2
2
2
a) ( ) 3 2 em que 1, 3, 2
b) ( ) 2 4 3 em que 2, 4, 3
c) ( ) 3 5 1 em que 3, 5, 1
d) ( ) 4 em qu
f x x x a b c
f x x x a b c
f x x x a b c
f x x
= − + = = − == + − = = = −= − + − = − = = −= −
2
2
e 1, 0, 4
e) ( ) 2 5 em que 2, 5, 0
f) ( ) 3 em que 3, 0, 0
a b c
f x x x a b c
f x x a b c
= = = −= − + = − = =
= − = − = =
6
O gráfico da função quadrática é umaparábola.
2. Gráfico
2
7
Exemplos1o) Construir o gráfico de y = x2 - 1.
2. Gráfico
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y ==== x2 - 1 8 3 0 -1 0 3 8
8
2. Gráfico
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4(0,-1)
(1,0)
(2,3)
(3,8)(-3,8)
(-2,3)
(-1,0)
x
y
9
Exemplos2o) Construir o gráfico de y = -x2 + 1.
2. Gráfico
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y ==== -x2 + 1 -8 -3 0 1 0 -3 -8
10
2. Gráfico
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
xy(0,1)
(1,0)
(2,-3)
(3,-8)(-3,-8)
(-2,-3)
(-1,0)
11
Exercício 1: Determinar uma função quadrática ftal que f(-1) = -4, f(1) = 2 e f(2) = -1.
2. Gráfico
12
A parábola representativa da funçãoquadrática y = ax2 + bx + c pode ter a concavidadevoltada para “cima” ou voltada para “baixo”.
Se a > 0, a concavidade da parábola estávoltada para cima.
Se a < 0, a concavidade da parábola estávoltada para baixo.
3. Concavidade
3
13
3. Concavidade
x
y
a >>>> 0
x
y
a <<<< 0
14
A construção do gráfico da funçãoquadrática y = ax2 + bx + c com o auxílio de umatabela de valores x e y, como foi feito no itemanterior, torna-se às vezes um trabalho impreciso,pois na tabela atribuímos a x alguns valoresinteiros e pode acontecer que em determinadafunção quadrática os valores de abscissa (valoresde x), em que a parábola intercepta o eixo dos x oua abscissa do ponto da parábola de maior ou menorordenada, não são inteiros.
4. Forma canônica
15
Para iniciarmos um estudo analítico maisdetalhado da função quadrática, vamosprimeiramente transformá-la em outra forma maisconveniente, chamada forma canônica.
4. Forma canônica
2 22 2 2
2 2
22 2 22
2 2 2
( )4 4
44 4 2 4
b c b b b cf x ax bx c a x x a x x
a a a a a a
b b b c b b aca x x a x
a a a a a a
= + + = + + = + + − + =
− = + + − − = + −
16
Representando b2 – 4ac por ∆, tambémchamado discriminante do trinômio do segundograu, temos a forma canônica.
4. Forma canônica
2
2( )2 4b
f x a xa a
∆ = + −
17
Zeros ou raízesOs zeros ou raízes da função quadrática
f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais taisque f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação dosegundo grau.
5. Zeros
2 0ax bx c+ + =
18
Utilizando a forma canônica, temos:
5. Zeros
22
2
2 2
2 2
0 02 4
02 4 2 4
2 2 2
bax bx c a x
a a
b bx x
a a a a
b bx x
a a a
∆ + + = ⇔ + − = ⇔
∆ ∆ ⇔ + − = ⇔ + = ⇔
∆ − ± ∆⇔ + = ± ⇔ =
4
19
Número de raízesObserve que a existência de raízes reais
para a equação do segundo grau ax2 + bx + c ficacondicionada ao fato de ser real. Assim, temostrês casos a considerar:
5. Zeros
∆
20
1o) ∆ > 0, a equação apresentará duas raízesdistintas, que são:
2o) ∆ = 0, a equação apresentará duas raízesiguais, que são:
3o) ∆ < 0, sabendo que nesse caso , di-remos que a equação não apresenta raízes reais.
5. Zeros
1 2 e 2 2
b bx x
a a− + ∆ − − ∆= =
1 2 2b
x xa
−= =
∆ ∉ℝ
21
Resumo
5. Zeros
2
0 ou 2 2
02
0 não existem raízes reais
b bx x
a ab
ax bx c xa
− + ∆ − − ∆∆ > ⇒ = =+ + ⇔ ∆ = ⇒ = −
∆ < ⇒
22
Significado geométrico das raízesInterpretando geometricamente, dizemos
que os zeros da função quadrática são as abscissasdos pontos onde a parábola corta o eixo dos x.
ExemploConstruindo o gráfico da função y = x2 – 4x
+ 3 podemos notar que a parábola corta o eixo dosx nos pontos de abscissas 1 e 3, que são as raízesda equação x2 – 4x + 3 = 0.
5. Zeros
23
5. Zeros
x
y
(2,-1)
(3,0)
(4,3)
(5,8)(-1,8)
(0,3)
(1,0)
Exercício 2: Determine o zero real das funçõesabaixo.
5. Zeros
2
2
2
) ( ) 2 2
) ( ) 2 1
1) ( ) 2
2
a f x x x
b f x x x
c f x x x
= − +
= − −
= − +
5
Exercício 3: Resolva o sistema abaixo.
5. Zeros
1 1 712
12
x y
x y
+ = ⋅ =
Exercício 4: Determinar os zeros reais dasfunções.
5. Zeros
4 2
4 2
4 2
4 2
) ( ) 5 4
) ( ) 5 36
) ( ) 3 3
) ( ) 3 12
a f x x x
b f x x x
c f x x x
d f x x x
= − +
= − + +
= − + −
= −
27
Exercício 5: Determinar os valores de m para quea função quadrática f(x) = (m – 1)x2 + (2m + 3)x + mtenha dois zeros reais e distintos.
5. Zeros
28
Exercício 6: Determinar os valores de m para quea equação do 2o grau f(x) = (m + 2)x2 + (3 – 2m)x +(m – 1) = 0 tenha raízes reais.
5. Zeros
29
Exercício 7: Determinar os valores de m para quea função f(x) = mx2 + (m + 1)x + (m + 1) tenha umzero real duplo.
5. Zeros
30
Exercício 8: Determinar os valores de m para quea equação f(x) = x2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) = 0tenha duas raízes reais iguais.
5. Zeros
6
31
Exercício 9: Determinar os valores de m para quea função f(x) = (m + 1)x2 + (2m + 3)x + (m - 1) nãotenha zeros reais.
5. Zeros
32
Exercício 10: Determinar os valores de m para quea equação f(x) = mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = 0 nãotenha raízes reais.
5. Zeros
33
Exercício 11: Mostre que na equação do 2o grauax2 + bx + c = 0, de raízes reais x1 e x2, temos paraa soma S das raízes S = x1 + x2 = -b/a e paraproduto P das raízes P = x1 . x2 = c/a.
5. Zeros
Exercício 12: Na equação do 2o grau 2x2 – 5x – 1 =0 de raízes x1 e x2, calcular:
5. Zeros
( ) ( )
( ) ( )
2 21 2 1 2
1 21 2
2 1
3 31 2
1 2
) d)
) e)
1 1) f)
a x x x x
x xb x x
x x
c x xx x
+ +
⋅ +
+ +
35
Exercício 13: Mostre que uma equação do 2o graude raízes x1 e x2 é a equação x2 – Sx + P = 0, ondeS = x1 + x2 e P = x1 . x2.
5. Zeros
Exercício 14: Obter uma equação do 2o grau deraízes
5. Zeros
)2 e 3 d) 1 e 2
1 3) e e) 1 3 e 1 32 2
)0,4 e 5
a
b
c
− −
− + −
7
37
Exercício 15: Determinar m na equaçãomx2 – 2(m - 1)x + m = 0 para que se tenhax1/x2 + x2/x1 = 4, onde x1 e x2 são as raízes daequação.
5. Zeros
38
Dizemos que o número ym ∈ Im(f) é o valormínimo da função y = f(x) se, e somente se, ym ≤ ypara qualquer y ∈ Im(f). O número xm ∈ D(f) talque ym = f(xm) é chamado ponto de mínimo dafunção.
6. Máximo e mínimo
39
6. Máximo e mínimo
x
y
V
ym
xm
Ponto de mínimo
Valor mínimo
Im(f)
40
Dizemos que o número yM ∈ Im(f) é o valormáximo da função y = f(x) se, e somente se, yM ≥ ypara qualquer y ∈ Im(f). O número xM ∈ D(f) talque yM = f(xM) é chamado ponto de máximo dafunção.
6. Máximo e mínimo
41
6. Máximo e mínimo
x
y
VyM
xM
Ponto de máximo
Valor máximo
Im(f)
42
I. Se a < 0, a função quadrática y = ax2 + bx +c admite o valor máximo para .
II. Se a > 0, a função quadrática y = ax2 + bx+ c admite o valor mínimo para .
6. Máximo e mínimo
4Mya
∆= −2M
bx
a= −
4mya
∆= −2m
bx
a= −
8
43
DemonstraçãoI. Consideremos a função quadrática na
forma canônica:
Sendo a < 0, o valor de y será tanto maiorquanto menor for o valor da diferença
6. Máximo e mínimo
2
22 4b
y a xa a
∆ = + −
2
22 4b
xa a
∆ + −
(I)
44
Nessa diferença, é constante (porque
não depende de x; só depende de a, b, c) e
para todo x real. Então a diferença assume o menor
valor possível quando , ou seja, quando
6. Máximo e mínimo
24a∆−
2
02b
xa
+ =
2
02b
xa
+ ≥
2b
xa
= −
45
Para , temos na expressão (I):
6. Máximo e mínimo
2b
xa
= −
22
2 20
2 2 4 4 4b b
y a aa a a a a
∆ ∆ ∆ = − + − = − = −
46
DemonstraçãoII. Prova-se de modo análogo
6. Máximo e mínimo
47
Aplicações
1o) Na função real f(x) = 4x2 – 4x – 8, temos:a = 4, b = -4, c = -8 e ∆ = 144.
6. Máximo e mínimo
48
Como a = 4 > 0, a função admite um valormínimo:
6. Máximo e mínimo
144, isto é: 9
4 4 4em
4 1, isto é:
2 2 4 2
m m
m m
y ya
bx x
a
∆= − = − = −⋅
−= − = − =⋅
9
49
Aplicações
2o) Na função real f(x) = -x2 + x + ¾, temos:a = -1, b = 1, c = ¾ e ∆ = 4.
6. Máximo e mínimo
50
Como a = -1 < 0, a função admite um valormáximo:
6. Máximo e mínimo
4, isto é: 1
4 4 ( 1)
em
1 1, isto é:
2 2 ( 1) 2
M M
M M
y ya
bx x
a
∆= − = − =⋅ −
= − = − =⋅ −
51
O ponto é chamado vértice da
parábola representativa da função quadrática.
7. Vértice da parábola
,2 4b
Va a
∆ − −
Exercício 16: Determinar o valor máximo ou o valormínimo, e o ponto de máximo ou ponto de mínimo dasfunções abaixo.
7. Vértice da parábola
2
2
) 3 12
) 4 8 4
a y x x
b y x x
= − +
= − +
Exercício 17: Determinar o valor de m na funçãoreal f(x) = 3x2 - 2x + m para que o valor mínimo seja5/3.
7. Vértice da parábola
Exercício 18: Determinar o valor de m na funçãoreal f(x) = -3x2 + 2(m – 1)x + (m + 1) para que o valormáximo seja 2.
7. Vértice da parábola
10
Exercício 19: Determinar o valor de m na funçãoreal f(x) = mx2 + (m - 1)x + (m + 2) para que o valormínimo seja 2.
7. Vértice da parábola
Exercício 20: Determinar o valor de m na funçãoreal f(x) = (m – 1)x2 + (m + 1)x - m para que o valormínimo seja 1.
7. Vértice da parábola
Exercício 21: Dentre todos os números reais desoma 8 determine aqueles cujo produto é máximo.
7. Vértice da parábola
Exercício 22: Dentre todos os números reais x e ztais que 2x + z = 8 determine aqueles cujo produtoé máximo.
7. Vértice da parábola
Exercício 23: Dentre todos os retângulos deperímetro 20 cm, determine o de área máxima.
7. Vértice da parábola
Exercício 24: Dentre todos os números de soma 6determine aqueles cuja soma dos quadrados émínima.
7. Vértice da parábola
11
Exercício 25: Determine o retângulo de áreamáxima localizado no primeiro quadrante, com doislados nos eixos cartesianos e um vértice na retay = -4x + 5.
7. Vértice da parábola
Exercício 26: É dado uma folha de cartolina comona figura abaixo. Cortando a folha na linhapontilhada resultará um retângulo. Determinar esseretângulo sabendo que a área é máxima.
7. Vértice da parábola
Exercício 27: Determine o retângulo de maior áreacontido num triângulo equilátero de lado 4 cm,estando a base do retângulo num lado do triângulo.
7. Vértice da parábola
Exercício 28: Num triângulo isósceles de base 6 cme altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determineo retângulo de área máxima sabendo que a base doretângulo está sobre a base do triângulo.
7. Vértice da parábola
Exercício 29: Determinar os vértices das parábolasabaixo
7. Vértice da parábola
2
2
) 4
) 2 5 2
a y x
b y x x
= −
= − +
66
Para determinarmos a imagem da funçãoquadrática, tomemos inicialmente a função na formacanônica:
ou seja,
8. Imagem
2
2( )
2 4b
f x a xa a
∆ = + −
2
2 4b
a xa a
∆ + −
12
67
Observemos que para qualquer
x ∈ ; então temos que considerar dois casos:
8. Imagem
2
02b
xa
+ ≥
ℝ
68
1o caso:
a > 0 ⇒ , e, portanto:
8. Imagem
2
02b
a xa
+ ≥
2
2 4 4b
y a xa a a
∆ ∆ = + − ≥ −
69
2o caso:
a < 0 ⇒ , e, portanto:
8. Imagem
2
02b
a xa
+ ≤
2
2 4 4b
y a xa a a
∆ ∆ = + − ≤ −
70
Resumindo:
8. Imagem
0 , 4
0 , 4
a y xa
a y xa
∆> ⇒ ≥ − ∀ ∈
∆< ⇒ ≤ − ∀ ∈
ℝ
ℝ
71
ou ainda:
8. Imagem
0 Im(f) /4
0 Im(f) /4
a y ya
a y ya
∆ > ⇒ = ∈ ≥ −
∆ < ⇒ = ∈ ≤ −
ℝ
ℝ
72
Exemplos1o) Obter a imagem da função f de em de-
finida por
8. Imagem
ℝ ℝ
2( ) 2 8 6f x x x= − +
13
73
Na função , temos:
a = 2, b = -8 e c = 6
logo:
∆ = b2 – 4ac = (-8)2 – 4 . 2 . 6 = 16
e portanto:
Como a = 2 > 0, temos:
8. Imagem
2( ) 2 8 6f x x x= − +
162
4 4 2a∆− = − = −
⋅
{ }Im( ) / 2f y y= ∈ ≥ −ℝ
74
8. Imagem
-4
-2
0
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4 5 6 x
y
-2
75
Exemplos1o) Obter a imagem da função f de em de-
finida por
8. Imagem
ℝ ℝ
2 5( ) 2
3 3x
f x x= − + −
76
Na função , temos:
a = -1/3, b = 2 e c = -5/3
logo:
∆ = b2 – 4ac = 22 – 4 . (-1/3) . (-5/3) = 16/9
e portanto:
Como a = -1/3 < 0, temos:
8. Imagem
2 5( ) 2
3 3x
f x x= − + −
( )16 49
14 34 3a
∆− = − =−⋅
4Im( ) /
3f y y
= ∈ ≤
ℝ
77
8. Imagem
-3
-2
-1
0
1
2
-1 0 1 2 3 4 5 6 x
y
4/3
Exercício 30: Determinar a imagem das funçõesdefinidas em ℜ.
8. Imagem
2
2
) 4
1) 1
2
a y x
b y x x
= − +
= + +
14
Exercício 31: Determinar m na funçãof(x) = 3x2 – 4x + m definida em ℜ para que aimagem seja Im = {y ∈ ℜ / y ≥ 2 }.
8. Imagem
Exercício 32: Determinar m na funçãof(x) = -x2/3 + mx – 1/2 definida em ℜ para que aimagem seja Im = {y ∈ ℜ / y ≤ 7 }.
8. Imagem
81
O gráfico da função quadrática admite um
eixo de simetria perpendicular ao eixo dos x e que
passa pelo vértice.
Os pontos da reta perpendicular ao eixo dos
x e que passa pelo vértice da parábola obedecem à
equação , pois todos os pontos dessa reta
têm abscissa .
9. Eixo de simetria
2b
xa
= −
2ba
−
82
9. Eixo de simetria
x
y
v
BMA
2ba
−
2b
ra
− −2b
ra
− +
83
Para fazermos o esboço do gráfico da funçãoquadrática f(x) = ax2 + bx + c, buscaremos, daquipara a frente, informações preliminares que são:
1o) O gráfico é uma parábola, cujo eixo de
simetria é a reta perpendicular ao eixo dos
x.
2o) Se a > 0, a parábola tem a concavidadevoltada para cima. Se a < 0, a parábola tem aconcavidade voltada para baixo.
10. Informações que auxiliama construção do gráfico
2b
xa
= −
84
3o) Zeros da função.
Se ∆ > 0, a parábola intercepta o eixo dos xem dois pontos distintos.
Se ∆ = 0, a parábola tangencia o eixo dos x noponto.
10. Informações que auxiliama construção do gráfico
1 2, 0 , 02 2
b bP e P
a a
− − ∆ − + ∆
1 , 02b
Pa
−
15
85
Se ∆ < 0, a parábola não tem pontos no eixodos x.
4o) O vértice da parábola é o ponto de
coordenadas , que é máximo se a < 0 ou
é mínimo se a > 0.
Seguem os tipos de gráficos que podemos
obter:
10. Informações que auxiliama construção do gráfico
,2 4b
Va a
∆ − −
86
10. Informações que auxiliama construção do gráfico
xP1 P2
y
V
a >>>> 0e
∆∆∆∆ >>>> 0
x
y
V
a >>>> 0e
∆∆∆∆ <<<< 0y
xV
a >>>> 0e
∆∆∆∆ ==== 0
x
P1 P2
yV
a <<<< 0e
∆∆∆∆ >>>> 0
x
y
V
a <<<< 0e
∆∆∆∆ ==== 0
x
y
V
a <<<< 0e
∆∆∆∆ <<<< 0
Exercício 33: Fazer o esboço do gráficoy = x2 – 4x + 3.
10. Informações que auxiliama construção do gráfico
Exercício 34: Fazer o esboço do gráficoy = -x2 + 4x - 4.
10. Informações que auxiliama construção do gráfico
Exercício 35: Fazer o esboço do gráficoy = 1/2x2 + x + 1.
10. Informações que auxiliama construção do gráfico
90
Consideremos a função quadrática
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)e vamos resolver o problema: “para que valores dex ∈ temos:
a) f(x) > 0 b) f(x) < 0 c) f(x) = 0?”
Na determinação do sinal da funçãoquadrática, devemos começar pelo cálculo dodiscriminante ∆, quando três casos distintos podemaparecer:
a) ∆ < 0 b) ∆ = 0 c) ∆ > 0
11. Sinal da função quadrática
ℝ
16
91
Vejamos como prosseguir em cada caso.
1o caso: ∆ < 0Se ∆ < 0, então -∆ > 0.
Da forma canônica, temos:
11. Sinal da função quadrática
não negativo positivo
22
positivo
( ) ( ) 0, 2 4b
a f x a x a f x xa a
∆ ⋅ = + + − ⇒ ⋅ > ∀ ∈
ℝ
����� �����
92
Isso significa que a função f(x) = ax2 + bx +c, quando ∆ < 0, tem o sinal de a para todo x ∈ , oumelhor:
11. Sinal da função quadrática
ℝ
0 ( ) 0,
0 ( ) 0,
a f x x
a f x x
> ⇒ > ∀ ∈< ⇒ < ∀ ∈
ℝ
ℝ
93
A representação gráfica da funçãof(x) = ax2 + bx + c, quando ∆ < 0, vem confirmar adedução algébrica.
11. Sinal da função quadrática
x
f(x) >>>> 0
xf(x) < 0
94
Exemplos1o) apresenta
e, como a = 1 > 0, concluímos que:
11. Sinal da função quadrática
( ) 0, f x x> ∀ ∈ℝ
2( 2) 4 1 2 4 0∆ = − − ⋅ ⋅ = − <
2( ) 2 2f x x x= − +
95
Exemplos2o) apresenta
e, como a = -1 < 0, concluímos que:
11. Sinal da função quadrática
( ) 0, f x x< ∀ ∈ℝ
21 4 ( 1) ( 1) 3 0∆ = − ⋅ − ⋅ − = − <
2( ) 1f x x x= − + −
96
2o caso: ∆ = 0Da forma canônica, temos:
então .
11. Sinal da função quadrática
não negativo zero
2 22 2
positivo
0( ) a
2 4 2b b
a f x a x xa a a
⋅ = + + − ⇒ + ����� �����
( ) 0, a f x x⋅ ≥ ∀ ∈ℝ
17
97
Isso significa que a função ,
quando ∆ = 0, tem o sinal de a para todo ,
sendo zero duplo de f(x), ou melhor:
11. Sinal da função quadrática
{ }1x x∈ −ℝ
1 2b
xa
= −
2( )f x ax bx c= + +
0 ( ) 0,
0 ( ) 0,
a f x x
a f x x
> ⇒ ≥ ∀ ∈< ⇒ ≤ ∀ ∈
ℝ
ℝ
98
A representação gráfica da funçãof(x) = ax2 + bx + c, quando ∆ = 0, vem confirmar adedução algébrica.
11. Sinal da função quadrática
x
f(x) >>>> 0 f(x) >>>> 0x1 ==== x2
xf(x) < 0 f(x) < 0x1 ==== x2
99
Exemplos1o) apresenta
então f(x) tem um zero duplo para
e, como a = 1 > 0, concluímos:
11. Sinal da função quadrática
{ }( ) 0, 1
( ) 0, se 1
f x x
f x x
> ∀ ∈ −
= =
ℝ
2( 2) 4 1 1 0∆ = − − ⋅ ⋅ =
2( ) 2 1f x x x= − +
1 12b
xa
= − =
100
Exemplos2o) apresenta
então f(x) tem um zero duplo para
e, como a = -2 < 0, concluímos:
11. Sinal da função quadrática
{ }( ) 0, 2
( ) 0, se 2
f x x
f x x
< ∀ ∈ −
= =
ℝ
28 4 ( 2) ( 8) 0∆ = − ⋅ − ⋅ − =
2( ) 2 8 8f x x x= − + −
1 22b
xa
= − =
101
3o caso: ∆ > 0Da forma canônica, temos:
Lembremos que a fórmula que dá as raízes deuma equação do segundo grau é:
11. Sinal da função quadrática
( )2
2
2 2
( ) a2 2 2 2 2 2
b b ba f x a x x x
a a a a a a
∆ ∆ ∆⋅ = + − ⇒ + + ⋅ + −
1
2
2 isto é
2
2
bx
b axa b
xa
− − ∆=− ± ∆ = − + ∆ =
102
fica evidente que a forma canônica se transformaem:
O sinal de a . f(x) depende dos sinais dosfatores (x – x1) e (x – x2). Admitindo x1 < x2, temosque:
11. Sinal da função quadrática
2 2
1 2( ) ( ) ( )
2 2
b ba f x a x x a x x x x
a a
− − ∆ − + ∆⋅ = − ⋅ − = ⋅ − ⋅ −
18
103
I) se x < x1, temos:
11. Sinal da função quadrática
x x 1 x2
1
2
1 2 1 2
2
0
e ( ) ( ) ( ) 0
0
x x
x x x a f x a x x x x
x x
− <
< < ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ − >
− <
��� �����
+ - -
104
II) se x1 < x < x2, temos:
11. Sinal da função quadrática
x1 x x 2
1
2
2 1 2
2
1
0
e ( ) ( ) ( ) 0
0
x x
x x x a f x a x x x x
x x
− >
< < ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ −
− <
<
��� �����
+ -+
105
III) se x > x2, temos:
11. Sinal da função quadrática
x1 x2 x
1
2
1 1 2
2
2
0
e ( ) ( ) ( ) 0
0
x x
x x x a f x a x x x x
x x
− >
> > ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ − >
− >
��� �����
+ + +
106
Isso significa que:
1) O sinal de f(x) é o sinal de a para todo x,tal que x < x1, ou x > x2;
2) O sinal de f(x) é o sinal de -a para todo x,tal que x1 < x < x2.
Em resumo:
11. Sinal da função quadrática
x ==== x1 x ==== x2x1 <<<< x <<<< x2x <<<< x1 x >>>> x2
0 0f(x) tem osinal de a
f(x) tem osinal de a
f(x) tem osinal de -a
107
O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c,quando ∆ > 0, vem confirmar a dedução algébrica.
11. Sinal da função quadrática
x
f(x) < 0 f(x) < 0
x1 x2f(x) >>>> 0
x
f(x) >>>> 0 f(x) >>>> 0
x1f(x) <<<< 0 x2
108
Exemplos1o) apresenta
então f(x) tem dois zeros reais e distintos:
11. Sinal da função quadrática
2( 1) 4 1 ( 6) 25 0∆ = − − ⋅ ⋅ − = >
2( ) 6f x x x= − −
1 2
1 5 1 52 e 3
2 2 2 2b b
x xa a
− − ∆ − − + ∆ += = = − = = =
19
109
e, como a = 1 > 0, concluímos que:
11. Sinal da função quadrática
( ) 0, para 2 ou 3
( ) 0, para 2 ou 3
( ) 0, para 2 3
f x x x
f x x x
f x x
> < − > = = − = < − < <
110
Exemplos2o) apresenta
logo f(x) tem dois zeros reais e distintos:
11. Sinal da função quadrática
23 4 ( 2) 2 25 0∆ = − ⋅ − ⋅ = >
2( ) 2 3 2f x x x= − + +
1 2
3 5 1 3 5 e 2
2 4 2 2 4b b
x xa a
− − ∆ − + − + ∆ − −= = = − = = =− −
111
e, como a = -2 < 0, concluímos que:
11. Sinal da função quadrática
1( ) 0, para ou 2
21
( ) 0, para ou 221
( ) 0, para 22
f x x x
f x x x
f x x
< < − > = = − = > − < <
112
Se a ≠ 0, as inequações ax2 + bx + c > 0,ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ 0 e ax2 + bx + c ≤ 0são denominadas inequações do 2o grau.
Resolver, por exemplo, a inequação
ax2 + bx + c > 0é responder à pergunta: “existe x real tal quef(x) = ax2 + bx + c seja positiva?
A resposta a essa pergunta se encontra noestudo do sinal de f(x), que pode, inclusive, serfeito através do gráfico da função. Assim, no nossoexemplo, dependendo de a e de ∆, podemos ter umadas seis respostas seguintes:
12. Inequação do 2º grau
113
12. Inequação do 2º grau
xx1 x2
a >>>> 0e
∆∆∆∆ >>>> 0
{ }1 2/ ou S x x x x x= ∈ < >ℝ
x
a >>>> 0e
∆∆∆∆ ==== 0
x1 ==== x2
{ }1/S x x x= ∈ ≠ℝ
x
a >>>> 0e
∆∆∆∆ <<<< 0
S = ℝ
x
x1 x2
a <<<< 0e
∆∆∆∆ >>>> 0
{ }1 2/S x x x x= ∈ < <ℝ
x
a <<<< 0e
∆∆∆∆ ==== 0
x1 ==== x2
S = ∅
x
a <<<< 0e
∆∆∆∆ <<<< 0
S = ∅
114
Exercício 36: Resolver a inequação x2 – 2x + 2 > 0.
12. Inequação do 2º grau
20
115
Exercício 37: Resolver a inequação x2 – 2x + 1 ≤ 0.
12. Inequação do 2º grau
116
Exercício 38: Resolver a inequação -2x2 + 3x + 2 ≥0.
12. Inequação do 2º grau
117
Exercício 39: Resolver em ℜ as inequações
12. Inequação do 2º grau
( ) ( )2 2
3 2
) 6 2 1 0
)2 6 3 0
a x x x x
b x x x
− − ⋅ − + − >
− + − ≤
118
Exercício 40: É dada a função
Determinar:
a) os pontos de intersecção do gráfico da funçãocom o eixo das abscissas.
b) o conjunto dos valores de x para os quais y ≤ 0.
12. Inequação do 2º grau
( ) ( )2 22 9 5 2 2y x x x x= − − ⋅ − +
119
Exercício 41: Resolver em ℜ as inequações
12. Inequação do 2º grau
2
2
2
2
4 5) 0
2 3 2
3 16) 1
7 10
x xa y
x x
x xb y
x x
+ −= >− −+ −= ≥
− + −
120
Exercício 42: Resolver as inequações
12. Inequação do 2º grau
2
2 2 2
)4 12 4
)4 5 4 3 6 6 3 4
a x x
b x x x x x x
< − ≤
− + < − + < + −
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