5. máximos e mínimos de funções de várias · pdf file71...
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5. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1 5.1. Introdução: Consideremos os seguintes enunciados: • Quais são as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume v e com a menor área de
superfície possível?
• A temperatura T em qualquer ponto ),( yx do plano é dada por ),( yxTT = . Como vamos determinar a temperatura máxima num disco fechado de raio r centrado na origem? E a temperatura mínima?
Para resolver essas e outras questões, vamos pesquisar máximos e/ou mínimos de funções de duas ou mais variáveis. O máximo ou mínimo de uma função de duas variáveis pode ocorrer na fronteira de uma região ou no seu interior. Inicialmente, vamos analisar exemplos em que os máximos e mínimos encontram-se no interior de uma região. Posteriormente, mostraremos as técnicas para determinar máximos e mínimos na fronteira de um conjunto e também sobre uma curva. Diversos exemplos são dados para ilustrar a aplicação de conceitos e proposições para a resolução de problemas práticos. Alguns exemplos serão dados para visualizarmos o caso de funções com mais de duas variáveis. 5.2. Definições:
Definição 1: Seja ),( yxfz = uma função de duas variáveis. Dizemos que )(),( 00 fDyx ∈ é ponto de
máximo absoluto ou global de f se: ),(),()(),( 00 yxfyxffDyx ≤⇒∈∀ . Neste caso, dizemos que
),( 00 yxf é o valor máximo de f .
Exemplo: 1) A figura a seguir, gerada a partir do software MAPLE, através das linhas de comando também
apresentadas, mostra o gráfico da função 224),( yxyxf −−= . O ponto )0 ,0( é um ponto de máximo absoluto ou global de f , pois,
)0 ,0(4)(),( 22 fyxfDyx ≤−−⇒∈∀ ou
222 ),( ,44 ℜ∈∀≤−− yxyx
O valor máximo de 224),( yxyxf −−= é 4)0 ,0( =f .
1 O presente material faz parte da Apostila de Cálculo II, elaborada pelo prof. José Donizetti de Lima. Alguns tópicos da versão original foram suprimidos.
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Linhas de comando: MAPLE => plot3d(4-x^2-y^2,x=-2..2,y=-2..2);
Definição 2: Dizemos que a função ),( yxfz = admite um máximo local no ponto ),( 00 yx , se existe
um disco aberto R contendo ),( 00 yx tal que ),(),( 00 yxfyxf ≤ , para todos os pontos ),( yx em R ,
conforme ilustra a figura a seguir.
Definição 3: Seja ),( yxfz = uma função de duas variáveis. Dizemos que )(),( 00 fDyx ∈ é ponto de
mínimo absoluto ou global de f se: ),(),()(),( 00 yxfyxffDyx ≥⇒∈∀ . Neste caso, dizemos que
),( 00 yxf é o valor mínimo de f .
Exemplo: 1) A figura a seguir, gerada a partir do software MAPLE, através das linhas de comando também apresentadas, mostra o gráfico da função 221),( yxyxf ++= . O ponto )0 ,0( é um ponto de mínimo absoluto ou global de f , pois,
)0 ,0(1)(),( 22 fyxfDyx ≥++⇒∈∀ ou
222 ),( ,11 ℜ∈∀≥++ yxyx
O valor mínimo de 221),( yxyxf ++= é 1)0 ,0( =f .
Linhas de comando: MAPLE => plot3d(1+x^2+y^2,x=-2..2,y=-2..2);
Definição 4: Dizemos que a função ),( yxfz = admite um mínimo local no ponto ),( 00 yx , se existe
um disco aberto R contendo ),( 00 yx tal que ),(),( 00 yxfyxf ≥ , para todos os pontos ),( yx em R ,
conforme ilustra a figura a seguir.
71
Nota: Ao máximo local e ao mínimo local de uma função chamam-se extremos dessa função, ou em outras palavras, dizemos que uma função admite um extremo num dado ponto, se ela tem nesse ponto um máximo ou um mínimo. Exemplos: 1) Mostre que a função 1)2()1(),( 22 −−+−= yxyxf admite um mínimo local no ponto )2 ,1(P . Solução: Sabemos que:
0)1( 2 ≥−x e 0)2( 2 ≥−y Assim,
0)2()1( 22 ≥−+− yx1) - somando(
⇒ 11)2()1( 22 −≥−−+− yx ⇒ )2 ,1(1),( fyxf =−≥
)2 ,1( ∴ é um ponto de mínimo.
2) Mostre que a função )( sen2
1),( 22 yxyxf +−= admite um máximo local na origem.
Solução:
De fato, para a origem, 0=x e 0=y , temos: 2
1)0 ,0( =f .
Por outro lado, fazendo: 62
1sen )( sen
2
1 222222 π=+⇒
=+⇒+= yxarcyxyx
Escolhendo no interior (vizinhança do ponto analisado) do círculo de raio 6
π=r e centro
)0 ,0(6
22 π=+ yx , um ponto ) ,( yx , então, 6
0 22 π≤+≤ yx e deste modo 0)( sen 22 ≥+ yx (pois o
ângulo analisado é agudo).
)0 ,0(2
1)( sen
2
1),( 22 fyxyxf =≤+−=
)0 ,0( ∴ é um ponto de máximo. Teorema 1: (Condições necessárias para existência de um extremo)
Se a função ),( yxfz = admite um extremo para os valores 0xx = e 0yy = , então cada derivada
parcial de primeira ordem de z anula-se para esses valores das variáveis independentes ou não existem.
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Assim, nos pontos extremos, temos:
0 e 0 =∂∂=
∂∂
y
z
x
z
Geometricamente, esse teorema nos diz que se ),( 00 yx é um ponto extremo de ),( yxfz = então o
plano tangente à superfície dada, no ponto analisado é paralelo ao plano xOy (plano horizontal).
Nota: Este teorema fornece uma condição necessária, mas não uma condição suficiente. Em outras palavras, se o ponto for um ponto extremo as derivadas se anulam, porém quando as derivadas se anulam não podemos garantir que este ponto seja um ponto extremo. Ou ainda, não vale a volta. Exemplos:
1) Dada a função 22),( yxyxf += , temos: 22 yx
x
x
f
+=
∂∂
e 22 yx
y
y
f
+=
∂∂
e estas derivadas
parciais não são definidas para 0=x e 0=y (não sendo diferenciável nesse ponto). O gráfico da
função 22),( yxyxf += , apresenta um ponto anguloso na sua origem, )0 ,0 ,0(P , não admitindo
plano tangente neste ponto.
Observe que essa função admite um ponto de mínimo em
0=x e 0=y A parte final do Teorema 1 garante que, se não existir as derivadas parciais, no ponto analisado, nesse caso também, esse ponto será um ponto extremo. plot3d(sqrt(x^2+y^2),x=-2..2,y=-2..2);
Nota: Esse teorema não fornece uma condição suficiente para a existência de um extremo, ou seja, se as derivadas parciais de 1a ordem de uma função ),( yxfz = anulam-se no ponto ),( 00 yx não
implica que esse ponto é um extremo dessa função.
2) Dada a função 22),( yxyxf −= , temos: xx
f2=
∂∂
e yy
f2=
∂∂
e estas derivadas anulam-se para
0=x e 0=y . Mas esta função não tem nem máximo nem mínimo para estes valores. Com efeito, ela anula-se na origem, mas toma, na vizinhança deste ponto, tanto valores positivos como valores negativos, portanto o valor zero não é um extremo, como mostra as figuras a seguir. Tal ponto é conhecido como ponto de sela.
Figura gerada pelo software MAPLE
O plano tangente é horizontal
73
Construção de uma função no software MAPLE
plot3d(x^2-y^2,x=-2..2,y=-2..2);
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5.3. Ponto crítico de uma função de duas variáveis Seja função ),( yxfz = definida num conjunto aberto. Um ponto ),( 00 yx desse conjunto é um ponto
crítico de f se as derivadas parciais ),( 00 yxx
f
∂
∂ e ),( 00 yx
y
f
∂∂
são iguais a zero ou se f não é
diferenciável em ),( 00 yx . Geometricamente, podemos pensar nos pontos críticos de uma função ),( yxfz = como os pontos em que seu gráfico não tem plano tangente ou o plano tangente é horizontal. Nota: Os extremantes (pontos extremos, ou seja, ponto de máximo ou de mínimo) de ),( yxfz = estão entre os seus pontos críticos. No entanto, um ponto crítico nem sempre é um ponto extremante. Um ponto crítico que não é um ponto extremante é chamado um ponto de sela. Exemplo:
1) Verifique que o ponto )0 ,0( é ponto crítico da função
=
≠+=
)0 ,0() ,( 0,
)0 ,0() ,( ,2
) ,( 22
3
yx
yxyx
y
yxf .
Solução: O ponto )0 ,0( é ponto crítico da função dada, pois ),( yxf não é diferenciável (as derivadas de 1a ordem não são contínuas no ponto analisado). A figura a seguir mostra que essa função não admite plano tangente na origem.
Linhas de comando no software MAPLE
plot3d((2*y^3)/(x^2+y^2),x=-2..2,y=-2..2);
5.4. Condição necessária para a existência de pontos extremantes (= teorema 1)
Seja função ),( yxfz = uma função diferenciável num conjunto aberto. Se um ponto ),( 00 yx desse
conjunto é um ponto extremante local (ponto de máximo ou de mínimo local), então,
0),( e 0),( 0000 =∂∂=
∂∂
yxy
fyx
x
f
isto é, ),( 00 yx é um ponto crítico de .f
75
Exemplos: 1) Determine os pontos críticos da função xxxyyxf 33),( 32 −+= . Solução: 1o Passo) Determinação das derivadas parciais:
xyy
fxy
x
f6 e 3-33 22 =
∂∂+=
∂∂
2o Passo) Resolução do sistema:
==−+
⇒
=∂∂
=∂∂
06
0333
0
0 22
xy
xy
y
fx
f
(1)
Da equação 06 =xy concluímos que 0=x ou 0=y . Fazendo 0=x , na primeira equação de (1), vem
1 1033 22 ±=⇒=⇒=− yyy
Assim, temos os pontos )1 ,0( e )1 ,0( − Por outro lado, fazendo 0=y , na primeira equação de (1), vem
1 1033 22 ±=⇒=⇒=− xxx
Logo os pontos críticos são: )0,1( e )0 ,1(− . Portanto, a função dada tem quatro pontos críticos: )1 ,0( ),1 ,0( − , )0 ,1( e )0 ,1( − .
2) Determine os pontos críticos da função 22
.),( yxexyxf −−= Solução: 1o Passo) Determinação das derivadas parciais:
222222
.2.2 2 yxyxyx exyy
f e exe
x
f −−−−−− −=∂∂−=
∂∂
2o Passo) Resolução do sistema:
{ {
=⇒=−⇒=−
±=⇒=⇒=⇒=⇒
=∂∂
=∂∂
≠
−−
≠≠
−−
−−−−
00...2 0.2
2
2
2
12 1.2
0
0
000
222
2222
2222
yeyxexy
xxxexe
x
fx
f
yxyx
yxyx
321
Logo os pontos críticos são:
− 0,
2
2 e 0,
2
2.
76
5.5. Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local Teorema: Seja ),( yxfz = função cujas derivadas parciais de 1a e 2a ordem são contínuas num
conjunto aberto que contém ),( 00 yx e suponhamos que ),( 00 yx seja um ponto crítico de f . Seja
),( yxH o determinante:
),(),(
),(),(),(
2
22
2
2
2
yxy
fyx
yx
f
yxxy
fyx
x
f
yxH
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
=
Temos:
• Se 0),( 00 >yxH e 0),( 002
2
>∂∂
yxx
f, então ),( 00 yx é um ponto de mínimo local de f .
• Se 0),( 00 >yxH e 0),( 002
2
<∂∂
yxx
f, então ),( 00 yx é um ponto de máximo local de f .
• Se 0),( 00 <yxH , então ),( 00 yx não é extremante local. Nesse caso, ),( 00 yx é um ponto de sela.
• Se 0),( 00 =yxH , nada se pode afirmar (pode ser um ponto de máximo, mínimo ou sela).
Notas:
• A matriz
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
=),(),(
),(),(),(
2
22
2
2
2
yxy
fyx
yx
f
yxxy
fyx
x
f
yxH aparece em diversas situações num curso de
Cálculo e é conhecida como matriz hessiana. O seu determinante, ),( yxH , é chamado determinante hessiano da função ),( yxfz = , ou hessiano da função.
• A demonstração desse teorema é bastante complexa. A idéia fundamental é usar as derivadas
parciais de 2a ordem da função ),( yxf para determinar o tipo de parabolóide que melhor se
aproxima do gráfico da função próximo de um ponto crítico ),( 00 yx . O parabolóide que melhor se
aproxima do gráfico de ),( yxf , próximo ao ponto crítico ),( 00 yx , é o gráfico da função
polinomial: GFyDxCyBxyAxyxP +++++= 22
2
1
2
1),( .
77
Exemplos: 1) Classificar os pontos críticos da função xxxyyxf 33),( 32 −+= . Solução: Em exemplo anterior, mostramos que os pontos críticos são: )1 ,0( ),1 ,0( − , )0 ,1( e )0 ,1( − .
O determinante hessiano é dado por: 22
2
22
2
2
2
363666
66
),(),(
),(),(),( yx
xy
yx
yxy
fyx
yx
f
yxxy
fyx
x
f
yxH −==
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
= .
Temos:
• Análise do ponto (0, 1). Nesse caso,
3606
60)1 ,0( −==H
Assim, como 0)1 ,0( <H , (0, 1) é ponto de sela.
• Análise do ponto (0, -1). Nesse caso,
3606
60)1- ,0( −=
−−
=H
Assim, como 0)1- ,0( <H , (0, -1) é ponto de sela.
• Análise do ponto (1, 0). Nesse caso,
3660
06)0 ,1( ==H
Logo, como 0)0 ,1( >H , devemos analisar o sinal de )0 ,1(2
2
x
f
∂∂
.
Temos 6)0 ,1(2
2
=∂∂
x
f.
Assim, como 0)0 ,1( >H e 0)0 ,1(2
2
>∂∂
x
f, (1, 0) é ponto de mínimo local de f .
• Análise do ponto (-1, 0). Nesse caso,
3660
06)0 ,1( =
−−
=−H
Logo, como 0)0 ,1( >−H , devemos analisar o sinal de )0 ,1(2
2
−∂∂
x
f.
Temos 6)0 ,1(2
2
−=−∂∂
x
f.
Assim, como 0)0 ,1( >−H e 0)0 ,1(2
2
<−∂∂
x
f, (-1, 0) é ponto de máximo local de f .
Portanto, os pontos críticos de xxxyyxf 33),( 32 −+= são classificados como:
• (0, 1) e (0, -1) são pontos de sela. • (1, 0) é ponto de mínimo local. • (-1, 0) é ponto de máximo local.
78
2) Mostrar que 533
),( 22 +++++=yx
yxyxyxf tem mínimo local em (1, 1).
Solução: Vamos, inicialmente, verificar se (1, 1) é ponto crítico. Temos
2
32
xyx
x
f −+=∂∂
e 2
32
yyx
y
f −+=∂∂
Como 0)1 ,1( =∂∂x
f e 0)1 ,1( =
∂∂y
f, concluímos que (1, 1) é ponto crítico de f .
Vamos agora determinar o hessiano,
16
2.6
2621
16
2),(
33
3
3
−
+
+=+
+=
yxy
xyxH
Assim, 063)1 ,1( >=H
Temos também que
08)1 ,1(2
2
>=∂∂
x
f
Portanto, como 0)1 ,1( >H e 0)1 ,1(2
2
>∂∂
x
f, (1, 1) é um ponto de mínimo local da função dada.
3) Determinar e classificar os pontos críticos da função 22
.),( yxexyxf −−= Solução:
Determinação das derivadas parciais: 222222
.2.2 2 yxyxyx exyy
f e exe
x
f −−−−−− −=∂∂−=
∂∂
Resolução do sistema:
{ {
=⇒=−⇒=−
±=⇒=⇒=⇒=⇒
=∂∂
=∂∂
≠
−−
≠≠
−−
−−−−
00...2 0.2
22
21
2 1.2
0
0
000
222
2222
2222
yeyxexy
xxxexe
x
fx
f
yxyx
yxyx
321
Logo os pontos críticos são:
− 0,
2
2 e 0,
2
2.
Determinação das deriadas parcias de 2a ordem:
)46(442 332
222222222
xxeexexexx
f yxyxyxyx +−⋅=⋅+⋅−⋅−=∂∂ −−−−−−−−
)42(42 222
222222
yxyeexeyxy
f yxyxyx +−⋅=⋅+⋅−=∂∂
∂ −−−−−−
)42(42 222
222222
yxyeeyxeyyx
f yxyxyx +−⋅=⋅+⋅−=∂∂
∂ −−−−−−
)42(42 222
2222222
xyxeexyexy
f yxyxyx +−⋅=⋅+⋅−=∂∂ −−−−−−
79
O determinante hessiano é dado por: ),(),(
),(),(),(
2
22
2
2
2
yxy
fyx
yx
f
yxxy
fyx
x
f
yxH
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
= .
Para
− 0,
2
2e0,
2
2, temos:
ee
ee11
2
1
02
102
2 22
===−−−
±−
• Análise do ponto 0,2
2
−
Nesse caso,
( )e
e
e
e
e
ee
eeH4
20
022
21
0
0221
21
01
01
2231
0,2
2 =⋅
=⋅
⋅=
⋅⋅
⋅−⋅=
−
022
0,2
22
2
>=
−
∂∂
ex
f
Desta forma, como 00,2
2 >
−H e 00,
2
22
2
>
−
∂∂
x
f,
− 0,
2
2 é um ponto de mínimo local.
• Análise do ponto
0,
2
2
Nesse caso,
( )( )
( )( ) e
e
e
e
e
ee
eeH4
20
022
21
0
0221
211
0
10223
1
0,2
2 =−
−==
−⋅
−⋅=
−⋅⋅
⋅+−⋅=
022
0,2
22
2
<−=
∂∂
ex
f
Dessa forma, como 00,2
2 >
H e 00,
2
22
2
<
∂∂
x
f,
0,
2
2 é um ponto de máximo local.
Portanto, ponto de máximo:
0,
2
2 e Ponto de mínimo: 0,
2
2
−
4) Determinar e classificar os pontos críticos da função yxyxyxf 6622),( 33 −−+= . Resposta: Pontos de sela =>(1, -1) e (-1, 1); Ponto de máximo=>(-1, -1); Ponto de mínimo=>(1,1)
5) Determinar e classificar os pontos críticos da função 22122 ).2(),( yxeyxyxf −−+=
Resposta: Pontos críticos => (0, 0) ; (0, 1); (0, -1); (1, 0); (-1, 0) Pontos de sela => (0, 1) e (0, -1); Ponto de máximo => (1, 0); Ponto de mínimo => (1, 0)
80
Visualização gráfica, usando o software MAPLE: 1) xxxyyxf 33),( 32 −+= => plot3d(3*x*y^2+x^3-3*x,x=-2..2, y=-2..2);
2) 533
),( 22 +++++=yx
yxyxyxf =>
plot3d(x^2+x*y+y^2+3/x+3/y+5,x=-2..2,y=-2..2);
3)
22
.),( yxexyxf −−= => plot3d(x*exp(-x^2-y^2),x=-2..2,y=-2..2);
81
4) yxyxyxf 6622),( 33 −−+= => plot3d(2*x^3+2*y^3-6*x-6*y,x=-2..2,y=-2..2);
5)
22122 ).2(),( yxeyxyxf −−+= => plot3d((2*x^2+y^2)*exp(1-x^2-y^2),x=-3..3,y=-3..3);
6) Seja 44 23),( yxyxf += . O único ponto crítico de f é )0,0( e temos 0)0,0( = H ; logo, o teorema
não nos fornece informação sobre este ponto crítico. Entretanto, trabalhando diretamente com a função verifica-se, sem dificuldade, que )0,0( é ponto de mínimo global.
Teorema: Se leydxcxybyaxyxf +++++= 22),( , onde l e e d c b a ,,,, são constantes, então se
),( 00 yx for extremante local de f (mínimo local ou máximo local), então será extremante global.
Nota: A demonstração pode ser feita ao observarmos que o gráfico de ),()( 00 ktyhtxftg ++=
( k e h constantes) é uma parábola.
82
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS: 1) Usando o teorema anterior, estude com relação a extremantes globais as funções: a) yxyxyxyxf 222),( 22 +−++=
Resposta: Mínimo Global => (2, -3/2) b) yxxyyxyxf 43),( 22 ++−−=
Resposta: Ponto de sela => (10/13, 11/13), ou seja, não admite extremantes c) 22 322),( yxxyyxyxf −−−+=
Resposta: Máximo Global => (1/4, 1/4) d) yxxyyxyxf 223),( 22 −−++=
Resposta: Mínimo Global => (2/11, 10/11) e) yxxyyxyxf 2232),( 22 ++++=
Resposta: Ponto de sela => (2, -2), ou seja, não admite extremantes f) yxyxyxf 42),( 22 −−+=
Resposta: Mínimo global => (1, 2) Teorema: Seja ),,( zyxf de classe 2C (admite todas as derivadas parciais de ordem 2 contínuas) e
seja ),,( 000 zyx um ponto interior do domínio de f . Considerando que ),,( 000 zyx seja um ponto
crítico de f e sejam ainda ),,( zyxH e ),,(1 zyxH dadas por:
2
222
2
2
22
22
2
2
z
f
zy
f
zx
fzy
f
y
f
yx
fzx
f
yx
f
x
f
H
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
= e
2
22
2
2
2
1
y
f
yx
fyx
f
x
f
H
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
=
Notas:
1) Lembre-se pelo teorema de Schwartz, temos: yx
f
xy
f
∂∂∂=
∂∂∂ 22
; zx
f
xz
f
∂∂∂=
∂∂∂ 22
e zy
f
yz
f
∂∂∂=
∂∂∂ 22
2) As derivadas de cada variável são colocadas por colunas e não por linhas. 3) Essas matrizes são matrizes simétricas (M = Mt). Na realidade elas são matrizes positiva definida.
• Se 0),,( 0002
2
>∂∂
zyxx
f, 0),,( 0001 >zyxH e 0),,( 000 >zyxH , então ),,( 000 zyx será ponto de
mínimo local.
• Se 0),,( 0002
2
<∂∂
zyxx
f, 0),,( 0001 >zyxH e 0),,( 000 >zyxH , então ),,( 000 zyx será ponto de
máximo local. • Se 0),,( 000 <zyxH ou 0),,( 0001 <zyxH , então ),,( 000 zyx será um ponto de sela.
83
Exemplo: 1) Estude com relação a máximo e mínimos locais da função
2842425),,( 222 +−−−+++= zyxxyzyxzyxf . Resposta: Mínimo Local => (1, 0, 2)
Solução: 20,1
2
4104
242
084
04104
0242
===⇒
==+
=+⇒
=−=∂∂
=−+=∂∂
=−+=∂∂
z e y x
z
yx
yx
zz
f
yxy
f
yxx
f
Assim, (1, 0, 2) é o único ponto crítico.
xz
f
xy
f
x
f0;4;2
22
2
2
=∂∂
∂=∂∂
∂=∂∂
; yz
f
yx
f
y
f0;4;10
22
2
2
=∂∂
∂=∂∂
∂=∂∂
e zy
f
zx
f
z
f0;0;4
22
2
2
=∂∂
∂=∂∂
∂=∂∂
Logo,
0166480
400
0104
042
)2,0,1( >=−== H ; 01620104
42)2,0,1(1 >−== H
02)2,0,1(2
2
>=∂∂
x
f
Portanto, como 0)2,0,1(2
2
>∂∂
x
f, 0)2,0,1(1 > H e 0)2,0,1( > H , então )2,0,1( é ponto de mínimo
local.
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 1) Estude com relação a máximo e mínimos locais das funções: a) 2333),,( 333 +−−−++= zyxzyxzyxf Resposta: Mínimo Local => (1, 1, 1); Máximo Local => (-1, -1, 1); Pontos de sela => (1, -1, 1); (1, 1, -1); (1, -1, -1); (-1, 1, 1); (-1, 1, -1) e (-1, -1, -1),ou seja, não são extremantes b) zxzyxyxzyxf 452),,( 223 −−+++= Resposta: Mínimo Local => (5/3, -5/3, 2); Ponto de sela => (-1, 1, 2), ou seja, não é extremante c) zxyzxzzyxzyxf 62424),,( 222 −−−++−= Resposta: Ponto de sela => (5/7, -4/7, 2/7), ou seja, não é extremante.
84
5.6. APLICAÇÕES: A maximização e a minimização de funções de várias variáveis são problemas que aparecem em vários contextos práticos, como, por exemplo:
• Problemas geométricos.
• Problemas físicos
• Problemas econômicos, etc.
A seguir são apresentadas aplicações enfatizando problemas econômicos. Revisão conceitual: CUSTOVENDADESPESARECEITALUCRO −=−= Exemplos: 1) Uma industria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de x
unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por:
xyyxyxyxL −−−+= 22
2
3
2
310060),(
Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que maximiza o lucro. Determine, também, esse lucro.
Solução:
Diante do problema apresentado, temos que:
0 , :a 2
3
2
310060),( 22
≥
−−−+=
yxsujeito
xyyxyxyxLMax
Inicialmente, determinemos os pontos críticos dessa função. Temos:
xyy
Lyx
x
L −−=∂∂−−=
∂∂
3100 e 360
Resolvendo o sistema:
=−−=−−
03100
0360
xy
yx obtemos a solução: 10=x e 30=y .
Agora, resta nos verificar se esse ponto encontrado é um ponto de máximo.
Temos: 831
13),( =
−−−−
=yxH ⇒ 08)30 ,10( >=H e 03)30 ,10(2
2
<−=∂∂x
L.
Assim, o ponto (10, 30) é um ponto de máximo e representa a produção que maximiza o lucro da indústria.
Para determinar o lucro máximo, basta calcularmos:
800.13010)30(2
3)10(
2
3301001060)30 ,10( 22 =⋅−⋅−⋅−⋅+⋅=L unidades monetárias (u. m).
85
2) Uma determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y . Tais
produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários 1p e 2p , respectivamente, que
dependem de x e y conforme equações: xp 21201 −= e yp −= 2002 . O custo total da empresa
para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por xyyxC 22 22 ++= . Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro máximo? Resposta: (10, 30) =>3.600
Solução: Produto 1: x e Preço 1: 1p ; Produto 2: y e Preço 2: 2p Como: CUSTOVENDALUCRO −= : L = V – C, Onde: Vendas: 22 2002120)200()2120( yyxxVyyxxV −+−=⇒⋅−+⋅−=
Custo: xyyxC 22 22 ++=
Assim, xyyyxxLxyyxyyxxL 232003120222002120 222222 −−+−=⇒−−−−+−=
30101003
603
20026
12026
026200
026120
==⇒
=+=+
⇒
=+=+
⇒
=−−=∂∂
=−−=∂∂
y e xxy
yx
xy
yx
xyy
L
yxx
L
Deve-se determinar o hessiano para mostrar que realmente este ponto é um ponto de máximo.
Para determinar o lucro máximo, basta calcular:
301023033020010310120)30,10( 22 ⋅⋅−⋅−⋅+⋅−⋅=L ⇒ 600.3)30,10( =L
Portanto, deve-se produzir 10 unidades do produto 1 e 30 unidades do produto 2 e o lucro será de 3.600 unidades monetárias (u.m).
3) Para produzir determinado produto cuja quantidade é representada por z , uma empresa utiliza dois fatores de produção (insumos) cujas quantidades serão indicadas por x e y . Os preços unitários dos fatores de produção são, respectivamente, 2 e 1. O produto será oferecido ao mercado consumidor a um preço unitário igual a 5. A função de produção da empresa é dada por
yxyxz 4132900 22 ++−−= . Determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro máximo? Resposta: (15,8; 20,4) => 1.576,20
Solução: Produto 1: x e Custo: 2; Produto 2: y e Custo: 1; Preço de venda: 5
Produção: yxyxz 4132900 22 ++−−= Como: CUSTOVENDALUCRO −= : L = V – C, Onde: Vendas: zV ⋅= 5 Custo: yx +2
Assim, yxyxyxyxyxyxL −−++−−=+−++−−⋅= 220516055500.4)2()4132900(5 2222
4,208,1520410
15810
0120510
0216010
==⇒
−=−−=−
⇒
=−+−=∂∂
=−+−=∂∂
y e xy
x
yy
L
xx
L
Deve-se determinar o hessiano para mostrar que realmente este ponto é um ponto de máximo.
Para determinar o lucro máximo, basta calcular:
20,576.1...);8,15( ==20,4 L Portanto, deve-se produzir 15,8 unidades do produto 1 e 20,4 unidades do produto 2 e o lucro será de 1.576,20 unidade monetárias (u.m.).
86
4) Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 3 4m e com a menor área de superfície possível?
Solução: Vamos considerar a caixa, conforme ilustra a figura a seguir.
Sendo yx e as arestas da base e z a altura, da geometria elementar (plana e espacial), temos: • Volume da caixa: xyzV = .
• Área da superfície total: yzxzxyA 22 ++=
Nosso objetivo é minimizar yzxzxyA 22 ++= sabendo que 4=xyz e 0 , , >zyx .
Podemos simbolicamente escrever:
>=
++=
0 , ,
4 .
22 min
zyx
xyzas
yzxzxyA
Costumamos, ao usar essa notação, chamar a função yzxzxyA 22 ++= de função objetivo e as equações e/ou inequações de restrições. O símbolo s. a lê-se “sujeito a”.
Como, pelo volume, 4=xyz , temos: xy
z4= , e a área a ser minimizada pode ser expressa como
função de duas variáveis yx e , xy
xyA88 ++= .
Procuramos um ponto crítico dessa função, isto é, um ponto em que:
08
2=−=
∂∂
xy
x
A e 0
82
=−=∂∂
yx
y
A
Dessas equações resulta que 2=x e 2=y , ou seja, o ponto crítico é o ponto (2, 2). Usando o hessiano, podemos confirmar se o mesmo é ponto de mínimo.
3
3
161
116
),(
y
xyxH = ⇒ 02)2 ,2( e 0 31421
12
8
161
18
16
)2 ,2(2
2
>=∂∂>=−===
x
AH
Assim, (2, 2) é um ponto de mínimo.
Portanto, as dimensões da caixa são: metrosx 2= , metrosy 2= e metroxy
z 12.2
44 === .
Conclusão: A caixa de volume dado, sem tampa, com área de superfície mínima, tem uma base quadrada e altura medindo metade do valor da aresta da base.
87
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 1) Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza: a) 121023),( 22 +++++= yxyxyxyxf Resposta: Ponto de mínimo => (-2, 1)
b) xyyxyxf 6),( 32 −+= Resposta: Ponto de sela => (0; 0) e Ponto de mínimo => (18, 6) 2) Determine e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções de duas variáveis. a) 422),( 22 +−−−−= yxyxxyyxf Resposta: Máximo => )2 ,2( −−
b) xyyx
yxf 493
),( 33
−+= Resposta: Sela =>
9
4 ,
3
4 Mínimoe )0 ,0(
c) yeyxf x cos.),( 2−= Resposta: Não tem ponto crítico
d) ).ln(2),( 2 yxxxyyxf −+= com 0>x e 0>y Resposta: Ponto de mínimo => (1/2, 2) 3) Determine e classifique os extremos e os pontos de sela de f :
a) 124),( 22 −+−−−= yyxxyxf Resposta: Ponto de máximo: 4)1 ,2( =−f
b) 22 32),( yxyxyxf ++= Resposta: Ponto de mínimo: 0)0 ,0( =f
c) 33 3),( yxyxyxf −+= Resposta: Ponto de sela: 0)0 ,0( =f e Ponto de mínimo: 1)1 ,1( −=−f
d) 234 422
1),( yxyxxyxf ++−= Resposta:
Ponto de sela: 0)0 ,0( =f ; Ponto de mínimo: 64)8 ,4( −=−f ; Ponto de mínimo: 2
3)2 ,1( −=−f
e) yeyxf x sen.),( =
Resposta: yexistenãoysen
y
ysene
yex
x
⇒
==
⇒
=
=0
0cos
0.
0cos., logo: não existem pontos críticos.
4) Mostre que a função 44),( yxyxf += tem um mínimo local na origem.
Resposta:004
004
3
3
=⇒==∂∂
=⇒==∂∂
yyy
f
xxx
f
)0,0(),( =⇒ yx e 2
2
120
012),(
y
xyxH =
0)0,0( =H => Nada a concluir pelo teste da 2a derivada. Mas trabalhando diretamente com a função
dada, vemos que o mesmo é ponto de mínimo.
0ou0),,(0)0,0( ≠∀≠∀<= yxyxff
5) Mostre que 22 42),( yxyxf += tem um ponto de mínimo em )0 ,0(
Resposta: Para verificar que é mínimo trabalha-se com a função:
0ou0),,(0)0,0( ≠∀≠∀<= yxyxff Nota: Observe que não existe as derivadas parciais da função no ponto )0 ,0( , por isso, o mesmo é um ponto crítico.
88
6) Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume dado terá a menor área de superfície se for cúbica.
Solução:
yzxzxyzyxA 222),,( ++=
kxyzV == , onde: k é o volume dado
De kxyz=xy
kz =⇒ ⇒
x
k
y
kxyyxA
222),( ++=
kyxy
kx
y
A
kxyx
ky
x
A
=⋅⇒=−=∂∂
=⋅⇒=−=∂∂
22
22
02
2
02
2
xy =⇒
Logo xxy
yx
xy
kz ===
2
zyx ==⇒
32
2 4
x
k
x
A =∂∂
; 22
=∂∂
∂xy
A; 2
2
=∂∂
∂yx
A;
32
2 4
y
k
y
A =∂∂
Lembre-se: 0,, >zyx , pois são as dimensões da caixa. E mais, xyzke === zyx .
0416
42
24
),(33
2
3
3
>−==yx
k
y
kx
k
yxH e 04
32
2
>=∂∂
x
k
x
A
Conclusão: As embalagens deveriam ser cúbicas para se minimizar o custo na confecção das mesmas. 7) Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 3 8m e com a menor área de
superfície possível? Solução:
38 mV = ⇒ xy
zxyz8
8 =⇒= e xy
xyxy
yxy
xxyyxA16168
28
2),( ++=⋅+⋅+=
16016
16016
22
22
=⋅⇒=−=∂∂
=⋅⇒=−=∂∂
yxy
xy
A
xyx
yx
A
xy =⇒
De 52,2222816161616 333322 ≅=⋅==⇒=⇒=⋅⇒=⋅ xxxxxy m
Logo: 52,2223 ≅== xy m e 26,14
2
44
8
2222
883333
≅==⋅
==xy
z m
84
22222
3
33 =⋅⋅=V m3 ou 826,152,252,2 =⋅⋅=V m3
Nota: Em situação semelhante a esta sempre teremos: 22
32 xx
xV =⋅=
89
5.7. MÁXIMO E MÍNIMOS CONDICIONADOS – MULTIPLICADOR ES DE LAGRANGE •••• Introdução Consideremos os seguintes problemas: 1) Maximizar 224),( yxyxf −−= => Máx 224),( yxyxf −−=
2) Maximizar 224),( yxyxf −−= sujeito a: 2=+ yx => 2 : .
4),( 22
=+−−=
yxas
yxyxfMáx
O problema (1) é um problema de otimização irrestrita (sem restrição), e podemos solucioná-lo usando as proposições já apresentadas. Por outro lado, no problema (2), temos a presença de uma restrição ou vínculo. Neste último problema, estamos diante de um problema de otimização restrita, onde queremos encontrar o maior valor da função num subconjunto de seu domínio, nesse caso, o subconjunto do plano xy, dado pela reta 2=+ yx . Nesse contexto, a solução do problema (1) é chamada um ponto de máximo livre ou não-condicionado de f . A solução do problema (2) é dita um ponto de máximo condicionado def . Uma visualização da solução desses problemas é dada na figura a seguir.
Notas: 1) Se a função ),...,,( 21 nxxxfz = , conhecida como função objetivo (função que se quer maximizar
ou minimizar) e a restrição 0),...,,( 21 =nxxxg forem lineares, teremos problemas de Programação
Linear. 2) De forma geral, problemas de otimização restrita podem ser muito complexos, não havendo um
método geral para encontrar a solução de todas as classes de problemas. Em algumas situações simples, podemos resolvê-los, explicitando uma variável em função das outras, na restrição, substituindo na função objetivo e resolvendo o problema de otimização irrestrita resultante, como ilustra o exemplo a seguir:
90
Exemplo 1: 2 .
4),( 22
=+−−=
yxas
yxyxfMáx
Solução: Como: xyyx −=⇒=+ 22 . Substituindo na função objetivo, temos:
xxxxxxxxxxxxfyxf 42444)44(4)2(4)2,(),( 2222222 +−=−+−−=−−−−=−−−=−=
Assim, temos a seguinte função de uma variável a ser maximizada: xxxf 42)( 2 +−= Calculando a sua derivada, temos: 44)(' +−= xxf . Determinando o ponto crítico: 1440 =⇒+−= xx . Verificando que o mesmo é de máximo: 04)1('' 4)('' <−=⇒−= fxf Logo, 1 é ponto de máximo. Substituindo o valor 1=x em xy −= 2 , temos: 1=y .
∴ O ponto máximo é (1, 1). Nota: Ás vezes, a resolução de 0),( =yxg é muito difícil ou mesmo impossível. Por isso, teremos que examinar o problema através de um novo método. Lembre-se: que as coordenadas do vetor gradiente de uma função ),...,,( 21 nxxxfz = são as derivadas
parciais da função, ou seja:
∂∂
∂∂
∂∂=∇=
nnn x
f
x
f
x
fxxxfxxxfgrad ,...,,),...,,(),...,,(
212121 .
O MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
O método dos multiplicadores de Lagrange permite analisar situações mais gerais. Através desse método, um problema de otimização restrita com n variáveis e m restrições de igualdade é transformado num problema de otimização irrestrita com (n + m) variáveis. Algumas situações particulares são apresentadas a seguir.
Nota: Esse método, é aplicável também a funções não lineares.
• PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS E UM A RESTRIÇÃO
Consideremos o seguinte problema: 0),g( : .
),(
=yxas
yxfMáx
Usando as propriedades do vetor gradiente, vamos obter uma visualização geométrica do método de Lagrange, que nos permite determinar os candidatos a pontos de máximo e/ou mínimo condicionados de f . Para isso, esboçamos o gráfico de 0),( =yxg e diversas curvas de nível kyxf =),( da função objetivo, observando os valores crescentes de k. O valor máximo de ),( yxf sobre a curva 0),( =yxg coincide com o maior valor de k tal que a curva kyxf =),( interpreta a curva 0),( =yxg . Isso ocorre num ponto P0 . Nesse ponto, as duas curvas tem a mesma reta tangente t , conforme mostra a próxima figura.
91
Como fgrad e ggrad são perpendiculares à reta t , eles tem a mesma direção no ponto P0, ou seja:
g grad f ⋅= λgrad Para algum número real λ . Nota: Os vetores f∇ e g∇ são múltiplos (ou paralelos, ou de mesma direção ou L. D.) Claramente, nesse argumento geométrico, fizemos a suposição de que )0,0(),( ≠∇ yxg em P0. Além disso, o mesmo argumento pode ser facilmente adaptado para problemas de minimização. Temos o seguinte teorema: Teorema: Seja ),( yxf diferenciável num conjunto aberto U. Seja ),( yxg uma função com derivadas parciais contínuas em U tal que )0,0(),( ≠∇ yxg para todo }0)(){()( =∈=∈ x,yU / gx,y V, onde V x,y . Uma
condição necessária para que Vyx ∈),( 00 seja extremante local de f em V é que:
),(),( 0000 yxgyxf ⋅=∇ λ
para algum número real λ . Assim, podemos dizer que os pontos de máximo e/ou mínimo condicionados de f devem satisfazer as equações:
0y) g(x, e .;. =∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
y
g
y
f
x
g
x
f λλ (1)
para algum número real λ . O número real λ que torna compatível o sistema é chamado multiplicador de Lagrange. O método proposto por Lagrange consiste, simplesmente, em definir a função de três variáveis:
),(),(),,( yxgyxfyxL ⋅−= λλ
e observar que o sistema (1) é equivalente à equação:
0=∇L ou 0L
e 0;0 =∂∂=
∂∂=
∂∂
λy
L
x
L.
Assim, os candidatos a extremantes locais de f sobre 0),( =yxg são pesquisados entre os pontos críticos de L . Os valores máximo e/ou mínimo de f sobre 0),( =yxg coincidem com os valores máximo e/ou mínimo livres de L . É importante observar que o método só permite determinar potenciais pontos extremantes. A classificação desses pontos deve ser feita por outros meios, tais como argumentos geométricos, etc.
92
Exemplos:
1) 2 : .
4),( 22
=+−−=
yxas
yxyxfMáx
Solução: Para resolver esse problema pelo método de Lagrange, como apresentado, devemos escrever a restrição 2=+ yx na forma 02 =−+ yx .
A função lagrangeana é dada por: )2(4),,( 22 −+−−−= yxyxyxL λλ Derivando L em relação às três variáveis λ e , yx , temos:
λ−−=∂∂
xx
L2 ; λ−−=
∂∂
yy
L2 e 2+−−=
∂∂
yxL
λ
Igualando essas derivadas a zero, obtemos o sistema de equações:
=+−−=−−=−−
02
02
02
yx
y
x
λλ
⇒
=+=−=−
2
2
2
yx
y
x
λλ
⇒ 1 e 1 2
22==⇒
=+=⇒−=−
yxyx
yxyx
Assim, o ponto extremante é (1, 1) e substituindo na função objetivo vemos claramente que é ponto de máximo condicionado. Fazendo o teste da vizinhança do ponto: 224114)1,1( 22 =−=−−=f ;
0044)0,2( =−−=f ; 0404)2,0( =−−=f ),(2)1,1( yxff ≥=⇒ . Portanto, (1, 1) é ponto de máximo 2) Aplicação: Um galpão retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo,
conforme a figura a seguir. Determinar a área máxima possível para o galpão.
Solução: Na figura a seguir, representamos a situação a ser analisada num sistema de coordenadas cartesianas, traçado convenientemente.
Revisão: Equação segmentaria da reta:
1=+q
y
p
x
=> 20211020
=+⇒=+ yxyx
Observando a figura anterior, vemos que a área do galpão é dada por: yxyxA ⋅=),( e que o ponto
),( yxP deve estar sobre a reta 202 =+ yx .
93
Temos, então, o seguinte problema: 202 : .
),(
=+=
yxas
xyyxfMáx
Para resolver o problema pelo método dos multiplicadores de Lagrange, como apresentado, devemos escrever a restrição 202 =+ yx na forma 0202 =−+ yx . A função lagrangeana é dada por: )202(),,( −+−= yxxyyxL λλ Derivando L em relação às três variáveis λ e , yx , temos:
λ−=∂∂
yx
L; λ2−=
∂∂
xy
L e 202 +−−=
∂∂
yxL
λ
Igualando essas derivadas a zero, obtemos o sistema de equações:
=−+=−
=−
0202
02
0
yx
x
y
λλ
Resolvendo esse sistema, encontramos: 5 e 5y ,10 === λx As dimensões do galpão que fornecem um valor extremo para a sua área são x = 10 m e y = 5 m. Com essas dimensões, a área do galpão será: A = 10 m . 5 m = 50 m2. Embora o método não possibilite verificar se esse valor é um valor máximo ou mínimo, através de uma simples inspeção geométrica da figura anterior vemos que, de fato, as dimensões encontradas fornecem a área máxima do galpão.
Podemos, também, usar o método da vizinhança do ponto para avaliar se o mesmo é ponto de máximo ou de mínimo: ),(50)5,10(18)1,18(;32)2,16(;48)4,12(;50)5,10( yxAAAAAA ≥=⇒==== , logo, ponto de máximo.
Nota: O multiplicador de Lagrange λ desempenha um papel auxiliar, não sendo de interesse na solução final do problema.
PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS E UM A RESTRIÇÃO
Nesse caso, podemos visualizar o método fazendo um esboço do gráfico de 0),,( =zyxg e de diversas superfícies de nível kzyxf =),,( da função objetivo, observando os valores crescentes de k . Como podemos ver na figura a seguir, no ponto extremante P0, os vetores fgrad e ggrad são paralelos. Portanto, nesse ponto, devemos ter: λλ real algum para ,gf ∇⋅=∇ .
O método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os potenciais pontos extremantes de
),,( zyxfw = sobre 0),,( =zyxg consiste em definir a função lagrangeana: ),,(),,(),,,( zyxgzyxfzyxL ⋅−= λλ
e determinar os pontos (x, y, z) tais que: 0=∇L ,
ou, de forma equivalente: 0),,( e 0;0;0 ==∂∂=
∂∂=
∂∂
zyxgz
L
y
L
x
L
As hipóteses necessárias para a validade do método são análogas às do teorema anterior.
94
Exemplos: 1) Determinar o ponto do plano: 2x + y + 3z = 6 mais próximo da origem. Solução:
Nesse caso, queremos minimizar a distância 222 zyx ++ , dos pontos do plano 2x + y + 3z = 6 até a
origem. Para simplificar os cálculos, podemos minimizar o quadrado da distância. Temos o seguinte problema de otimização:
632:.
222
=++++zyxas
zyxMin
Para esse problema, a função lagrangeana é dada por:
)632(222 −++−++= zyxzyxL λ
Derivando L em relação às variáveis λ e ,, zyx e igualando essas derivadas a zero, obtemos o sistema:
=−++=−
=−=−
0632
032
02
022
zyx
z
y
x
λλλ
cuja solução é:
7
6,
7
9,
7
3,
7
6 ==== λzyx
Geometricamente, é claro que o ponto
7
9,
7
3,
7
6P é um ponto de mínimo, como podemos visualizar
na figura a seguir.
Nota: Usando a função objetivo podemos mostrar que
7
9,
7
3,
7
6P é ponto de mínimo.
• .60,17
143
7
126
49
126
7
9
7
3
7
6
7
9,
7
3,
7
6222
≅===
+
+
=
f
• ( ) ( ) ( ) ( ) 22002,0,0 222 =++=f (o ponto a ser analisado deve pertencer necessariamente ao
domínio da função). • Tomando um outro ponto do domínio, por exemplo: (1, 1, 1), temos:
73,13111)1,1,1( 222 ≅=++=f , ∴ 63yy2x:plano,,),,,(7
9,
7
3,
7
6 =++∈∀≥
zyxzyxff .
95
2) Aplicação: Um fabricante de embalagens deve fabricar um lote de caixas retangulares de volume 64=V cm3. Se o custo do material usado na fabricação da caixa é de R$ 0,50 por centímetro
quadrado, determinar as dimensões da caixa que tornem mínimo o custo do material usado em sua fabricação.
Solução. Sejam x , y e z as dimensões da caixa, conforme a figura a seguir:
O volume da caixa é dado por: xyzV = A sua área de superfície é: yzxzxyA 222 ++= O custo do material usado para a fabricação da caixa é dado por:
yzxzxyyzxzxyzyxC ++=++= )222.(5,0),,(
Estamos, assim, diante do seguinte problema de otimização: 64:.
),,(min
=++=
xyzas
yzxzxyzyxC
A função lagrangeana, para esse problema, é dada por:
)64(),,,( −−++= xyzyzxzxyzyxL λλ
Derivando L em relação às variáveis λ e ,, zyx e igualando a zero as derivadas, obtemos o sistema:
=+−=−+=−+=−+
064
0
0
0
xyz
xyyx
xzzx
yzzy
λλλ
⇒
==+=+=+
64xyz
xyyx
xzzx
yzzy
λλλ
Da última equação, segue que: 0z e 0y ,0 ≠≠≠x . Das três primeira equações, concluímos que 0≠λ , pois em caso contrário teríamos 0=x , 0=y e
0=z . Assim, sabendo que 0≠λ e isolando λ nas duas primeiras equações, obtemos as seguintes equações equivalentes:
yz
zy
xz
zx +=+ ⇒ xzzyyzzx )()( +=+ ⇒ 22 xzxyzyzxyz +=+ ⇒ 22 xzyz = ⇒ xy =
Da mesma forma, trabalhando com a segunda e a terceira equação, temos que zy = .
Substituindo esses resultados na última equação, obtemos: 4643 ==== zyx
Portanto, o único candidato a extremante condicionado da função custo C(x, y, z) é o ponto (4, 4, 4). O custo de material correspondente é: C(4, 4, 4) = 48. Para verificar que é ponto de mínimo, tomemos, por exemplo: x = 4, y = 16 e z = 1, cujo custo é dado por: 4 . 16 + 4 . 1 + 16 . 1 = 84 reais => Ponto de máximo.
96
PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS E DU AS RESTRIÇÕES
Consideremos o seguinte problema de otimização:
0),,(
0),,g( : .
),,(
==
zyxh
zyxas
zyxfMáx
Para visualizarmos o método, nesse caso, vamos supor que a interseção das superfícies 0),,( =zyxg e
0),,( =zyxh seja uma curva C . Queremos determinar, então, um ponto de máximo, 0P , de f sobre
C . Como nos casos anteriores, traçamos diversas superfície de nível kzyxf =),,( de f , observando os valores crescentes de k .
Observando a figura a seguir, vemos que, no ponto 0P , a curva C tangência a superfície de nível
kzyxf =),,( de f .
Assim, )( 0Pf∇ deve ser normal à curva C . Temos também que )( 0Pg∇ e )( 0Ph∇ são normais à curva
C . Portanto, no ponto 0P , os três vetores f∇ , g∇ e h∇ são coplanares e, então, existem números
reais λ e µ tais que:
ggf ∇⋅+∇⋅=∇ µλ
Observamos que, nessa argumentação geométrica, estamos supondo que os vetores g∇ e h∇ são linearmente independentes (L. I.), ou seja, tem direções diferentes, não são múltiplos. Lembre-se: Dizer que os vetores f∇ , g∇ e h∇ são coplanares significa que os mesmos estão contidos num mesmo plano. A seguir, temos o seguinte teorema: Seja 3ℜ⊂A um conjunto aberto. Suponhamos que ),,( zyxf é diferenciável em A e que ),,( zyxg e ),,( zyxh têm derivadas parciais de 1a ordem contínuas em A . Seja }0),,( e 0),,(/),{( ==∈= zyxhzyxgAzx,yB . Suponhamos, também, que g∇ e h∇ são
linearmente independentes em B . Se 0P é um ponto extremante local de f em B , então existem
números reais λ e µ tais que:
)()()( 000 PgPgPf ∇⋅+∇⋅=∇ µλ
Com base neste teorema, podemos dizer que os candidatos a extremantes condicionados de f devem satisfazer a equação: 0=∇L ,
onde a função lagrangeana L , nesse caso, é uma função de 5 (cinco) variáveis, dada por:
),,(),,(),,(),,,,( zyxhzyxgzyxfzyxL ⋅−⋅−= µλµλ
97
Exemplo: 1) Determinar o ponto da reta de intersecção dos planos 2=++ zyx e 1223 =++ zyx que esteja
mais próxima da origem. Solução: Para simplificar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância. Assim, temos o seguinte problema de otimização:
0122z3y x
02zy x: .
222
=−++=−++
++as
zyxMin
A função lagrangeana L é dada por:
)1223()2(),,,,( 222 −++⋅−−++⋅−++= zyxzyxzyxzyxL µλµλ Derivando L em relação às variáveis µλ ,,, ezyx , vem:
µλ −−=∂∂
xx
L2 ; µλ 32 −−=
∂∂
yy
L; µλ 22 −−=
∂∂
zz
L;
)2( −++−=∂∂
zyxL
λ e )1223( −++−=
∂∂
zyxL
µ
Assim, a equação 0=∇L nos fornece o sistema de equações lineares:
=++
=⇒=⇒=+⇒=++
⇒+=⇒=−−
⇒+=⇒=−−
⇒+=⇒=−−
1223
3/223222
22022
32032
202
4
3
2
1
zyx
zzzzzyx
zz
yy
xx
µλµλ
µλµλ
µλµλ
(1) – (3) => µ−=− zx 22 e (2) – (3) => µ−=− zy 22 => zyxzyzxzyzx 22222 =+⇒+−=−⇒+−=+ (substitui em (4))
3/14286436463/4123/423/4123
3/4=⇒−=−⇒+−=−⇒+−=−⇒
−=+=+
− yyyyyx
yx
3/103/143/4 −=−=x Assim, temos:
8 e 3
44,
3
2,
3
14,
3
10 =−===−= µλzyx
Portanto, o ponto
−3
2,
3
14,
3
10 é o único candidato a extremidade condicionado de f .
Geometricamente, é fácil constatar que esse ponto constitui a solução do problema. Por outro lado,
72,876)6,2,6(77,53
310
3
2,
3
14,
3
10 ≅=−<≅=
− ff
Sugestão de atividade: Usar softwares matemático para resolver o sistema e para construir a representação geométrica, quando for possível.
98
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS Nos exercícios a seguir, use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos indicados. Você pode supor que o extremo existe. 1) Determinar os pontos de máximos e/ou mínimos da função dada, sujeita às restrições indicadas: a) 1 x;22 =++= yyxz
b) 1 ;324 22 =+−−= yxyxz
c) 4 ;2 22 =++= yxyxz
d) 16 2 ; 22 =+= yxxyz
e) 9 ; ),,( 222 =++++= zyxzyxzyxf Resposta:
a) Ponto de mínimo =>
2
1,
2
1
b) Ponto de mínimo =>
13
3,
13
2 e Ponto de máximo =>
−−13
3,
13
2
c) Ponto de mínimo =>
−−5
2,
5
4 e Ponto de máximo =>
5
2,
5
4
d) Pontos de mínimo => ( )22,2 − e ( )22,2− e Pontos de máximo => ( )22,2 e ( )22,2 −−
e) Ponto de mínimo => ( )3 ,3 ,3
2) Encontre o valor máximo de xyyxf =),( , sujeita á restrição 1=+ yx .
Resposta:4
1
2
1,
2
1 =
f
3) Encontre os valores máximo e mínimo da função xyyxf =),( , sujeita á restrição 122 =+ yx .
Resposta: Pontos de mínimo =>
−
−
2
2,
2
2
2
2,
2
2e e
Pontos de máximo =>
−−
2
2,
2
2
2
2,
2
2e
4) Encontre o valor mínimo da função 22),( yxyxf += , sujeita á restrição 1=xy . Resposta: 2)1- ,1()1 ,1( =−= ff
5) Encontre o valor mínimo da função 22 2),( yxyxyxf +−= , sujeita á restrição 222 =+ yx . Resposta: 77)4,9( =f (exemplo de que é mínimo f(11, 0) = 121 > 77 = f(9, 4)
6) Encontre o valor mínimo de 22),( yxyxf −= , sujeita á restrição 422 =+ yx . Resposta: 4)2- ,0()2 ,0( −== ff
7) Seja 22 248),( yxyxyxf +−= . Encontre os valores máximo e mínimo da função dada, sujeita à
restrição 18 22 =+ yx .
Resposta: )2/2,4/1()2/2,4/1( 21 −−PeP são pontos de mínimos => 231)()( 21 −== PfPf
)2/2,4/1()2/2,4/1( 43 −− PeP são pontos de mínimos => 231)()( 43 +== PfPf
99
8) Seja 22 2),( yyxyxf −−= . Encontre os valores máximo e mínimo da função dada, sujeita à
restrição 122 =+ yx .
Resposta: Pontos de máximos =>2
3
2
1,
2
3
2
1,
2
3 =
−−=
− ff ; Ponto de mínimo => 3)1 ,0( −=f
Nota: Essa função possui um ponto de sela em (0, -1) cujo valor funcional é 1. Cuidado: Na resolução do sistema:
±=⇒=+
−=⇒=−−
=⇒≠⇒=
2
31
2
1
2
22
102
2
22 xyx
yy
y
xSex
x
λ
λλ
Por outro lado, se 0=x , substituindo na restrição )1( 22 =+ yx , temos: 1±=y . 9) Seja xyyxf =),( . Encontre os valores máximo e mínimo da função dada, sujeita à restrição
822 =+ yx .
Resposta: Pontos de máximos => ( ) ( ) 42,22 ,2 =−−= ff ;
Ponto de mínimo => ( ) ( ) 42,22 ,2 −=−=− ff
10) Encontre o valor máximo de 2),( xyyxf = , sujeita à restrição 1=+ yx . Resposta: (1/3, 2/3) => Ponto de máximo e (1, 0 ) => Ponto de mínimo => Valor máximo = 4/27
11) Seja 3232342),( 22 +−−−+= yxxyyxyxf . Encontre o valor mínimo da função dada, sujeita à restrição 15=+ yx . Resposta: 18)7 ,8( −=f
12) Seja 72422),( 22 +++++= yxxyyxyxf . Encontre o valor mínimo da função dada, sujeita à
restrição 144 2 =+ xyx . Resposta: f(-1/2, 0) = 11/2 => Valor mínimo, pois é maior por exemplo que f( 1/2, 0) =19/2
13) Determinar o ponto do plano 12423 =++ zyx para o qual a função 222 54),,( zyxzyxf ++= tenha um valor mínimo.
Resposta: ( )exemploPor
ff ⇒=<≅
453,0,090,10
11
8,
11
5,
11
30Ponto
11
8,
11
5,
11
30
14) A reta t é dada pela intersecção dos planos 1=++ zyx e 632 =++ zyx . Determinar o ponto da
reta t cuja distância até a origem seja mínima.
Resposta: f
−3
5,
3
7,
3
1 < f(1, 2, -2) por exemplo
15) Achar os valores extremos de xyz 2= sujeitos à condição 2=+ yx .
Resposta: Ponto de máximo => )1 ,1(
100
16) O departamento de estrada está planejando construir uma área de piquenique para motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular, com uma área de 5.000 metros quadrados, e cercada nos três lados não-adjacentes à auto-estrada. Qual é a quantidade mínima de cerca que será necessária para realizar o trabalho? Solução:
000.5 : .
2),(
=+=
xyas
yxyxfMin
Portanto, a quantidade mínima é : 100 m + 50 m + 50 m = 200 m
17) Há 320 metros de cerca disponíveis para cercar um campo retangular. Como a cerca deve ser
usada de tal forma que a área incluída seja a máxima possível? Solução:
32022 : .
),(
=+=yxas
xyyxfMáx
Portanto, o campo deve ser um quadrado com 80 metros de lado.
18) Deseja-se construir um aquário, na forma de um paralelepípedo retangular de volume 1 m3
(1.000 L). Determine as dimensões do mesmo que minimizam o custo, sabendo que o custo do material usando na confecção do fundo é o dobro do da lateral e que o aquário não terá tampa.
Solução: 1 :.
222
=++
xyzas
yzxzxyMín, usando os multiplicadores de Lagrange.
Portanto, deve-se construir um cubo de aresta 1 m. 19) Projete uma caixa retangular de leite com largura x , comprimento y e altura z , que contenha
512 cm3 de leite. Os lados da caixa custam 3 centavos/cm2 e o topo e o fundo custam 5 centavos/cm2. Ache as dimensões da caixa que minimizem o custo total. Qual é esse custo?
Solução: 512 :.
yz66xz0xy1
=++
xyzas
Mín, usando os multiplicadores de Lagrange. Portanto, as dimensões
devem ser: Largura ≅ 6,75 cm; Comprimento ≅ 6,75 cm e Altura ≅ 11,24 cm. Em relação ao custo, temos: reais.14,08centavos1.4088)8,C(8,reais13,66centavos065,366.1)24,11,75,6,75,6( ==<==C 20) Encontre o volume máximo que uma caixa retangular pode ter, sujeita a restrição de que a área da
superfície é 10 m2. Resposta: 15,2≅V m3 ou 2.151 L 657 mL > 2 = V(1, 1, 2).
21) Determinar os pontos de máximos e mínimos da função dada, sujeita à restrição indicada: yxzyxf +=),,( e 1),,( 222 −++= zyxzyxg .
Resposta:
0,
2
2 ,
2
2=> Máximo e
−− 0,
2
2 ,
2
2=> Mínimo
22) Determinar os pontos de máximos e mínimos da função dada, sujeita às restrições indicadas:
zyxzyxf ++=),,( e
=+==+=
1),,(
2),,( 22
zxzyxh
yxzyxg
Resposta: )1 ,2 ,0( => Máximo e )1 ,2- ,0( => Mínimo
101
23) Aplicação: Encontre o volume máximo que uma caixa retangular pode ter, sujeita a restrição de que a área da superfície é 10 m2.
Solução:
xyzV = , como 10=A m2 e
510222 =++⇒=++= yzxzxyyzxzxyA 5),,( −++=⇒ yzxzxyzyxg Assim, devemos maximizar xyzV = sujeito a 5=++ yzxzxy
yzx
V =∂∂
, xzy
V =∂∂
e xyz
V =∂∂
⇒ ),,(),,( xyxzyzzyxV =∇
zyx
g +=∂∂
, zxy
g +=∂∂
e yxz
g +=∂∂
⇒ ),,(),,( yxzxzyzyxg +++=∇
=+++=+=+=
⇒
=+++++=
5
)(
)(
)(
5
),,(),,( *
yzxzxy
zyxy
zxxz
zyyz
yzxzxy
zyzxzyxyxzyz
λλλ
λ⇒
=++
=+
=+
=+
5yzxzxy
yx
xyzx
xz
zy
yz
λ
λ
λ
⇒
0 e 0 ,0*
≠≠≠ zyx
yxxzyzxzxyyzyxzyxzxyzx
x
zy
y
zx
xz
zy
yz =⇒=⇒+=+⇒+=+⇒+
=+
⇒+
=+
).().( (1)
yzyxzxyzyxzyzxzxyyxzyx
y
zx
z
yx
xy
zx
xz =⇒=⇒+=+⇒+=+⇒+
=+
⇒+
=+
).().( (2)
Substituindo (1) e (2) em 5=++ yzxzxy , temos:
⇒=⇒=++ 535 2222 yyyy3
5=y
logo: 3
5=== zyx
e o volume é:
1516574,227
125
3
5
3
5
3
5 ≅=⋅⋅=V
ou seja:
15,2≅V 2 m3 ou 2.151 L 657 mL.
102
24) Determinar os pontos de máximos e mínimos da função dada, sujeita à restrição indicadas: 22),( yxyxf += e 1),( −−= xyyxg
Solução:
Como
=∇⋅=∇
0),(
),(),(
yxg
yxgyxf λ ⇒
=−−=
1
)1 ,1()2 ,2(
xy
yx λ ⇒
=−=−=
1
2
2
xy
y
x
λλ
⇒
=−
=
=−
12
2
xy
y
x
λ
λ
⇒
=−−=
1xy
xy ⇒
2
1−=x e 2
1=y
Assim, 2
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1,
2
122
=+=
+
−=
−f
25) 22),( yxyxf −= e 1),( 22 −+= yxyxg
Como
=∇⋅=∇
0),(
),(),(
yxg
yxgyxf λ ⇒
=+=1
)y2 ,2()2- ,2(22 yx
xyx λ ⇒
1a Parte) )0( ≠x
=+⋅=
=⇒⋅−=
1
22-
122
22 yx
yy
xx
λλλ
⇒
=+=⇒=
=
1
022-
1
22 yx
yyy
λ ⇒ 1102 ±=⇒=+ xx
Assim, os pontos são )0 ,1(1P e )0 ,1(2 −P
máximos de pontos ambos 101)0 ,1(
101)0 ,1(
=−=−=−=
f
f
2a Parte) )0( =x
=+−=⇒⋅=
⋅=
1
122-
22
22 yx
yy
xx
λλλ
⇒
=+−=
=⇒−=
1
1
022
22 yx
xxx
λ ⇒ 1102 ±=⇒=+ yy
Assim, os pontos são )1 ,0(3P e )1 ,0(4 −P => mínimos de pontos ambos 110)1 ,0(
110)1 ,0(
−=−=−−=−=
f
f
INTERPRETAÇÃO PARA O MULTIPLICADOR DE LAGRANGE λ Podemos resolver a maioria dos problemas de otimização condicionados pelo método dos multiplicadores de Lagrange sem obter efetivamente um valor numérico para o multiplicador de Lagrange λ . Em alguns problemas, contudo, podemos querer conhecer λ . Isto seria devido a λ ter uma interpretação útil. Suponha que M seja o valor máximo (ou mínimo) de ),( yxf , sujeita à restrição kyxg =),( . O
multiplicador de Lagrange λ é a taxa de variação de M em relação à k . Isto é: dk
dM=λ
Assim, ≅λ variação em M resultante de um aumento de 1 unidade em k
Lembre-se: Nosso objetivo é: kyxas
yxfMáx
=),g( : .
),( ou
kyxas
yxfMin
=),g( : .
),(