fórmulario cálculo avanzado pep2
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Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Curso: Cálculo Avanzado
FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
Son de la forma:
).,,.........,().,,.........,(
:
2121 nn
n
xxxfxxx
Df
f representa a una función real de “n” variables.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
1.-Gráfico de f
1:))(,()( nDxxfxfG
*Si f es una función de 2 variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los punto (x,y,z) en R3 tal que z=f(x,y) y (x,y) está en D
2.- Líneas de Nivel de f (2 variables)
Sea 2: Df , para cada valor de C
Cyxfyx ),(:),(
3.- Superficies de Nivel
Sea ),,(),,(
: 3
zyxfzyx
Df
Revisar resumen de las cuádricas.
LÍMITES Y CONTINUIDAD
Para comenzar el estudio de límites, se define el análogo bidimensional de lo que era un intervalo en la recta . Usando la fórmula de la distancia entre 2 puntos (x,y) y (x0,y0) podemos definir el -entorno centrado en (x0,y0) como el disco centrado en (x0,y0) de radio .
Disco abierto: 2
0
2
0 )()(:),( yyxxyx
Para el resto de las definiciones topológicas, es posible imaginarlas según la siguiente figura.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE 2 VARIABLES
Sea f una función de 2 variables definida en un disco abierto centrado en (x0,y0), excepto quizás en el punto (x0,y0), y sea L un número real. Entonces :
Lyxflímyxyx
),(),(),( 00
si 0)(,0 tal que si
2
0
2
0 )()(0),( yyxxLyxf
Desigualdades Importantes
22 yxx ; 222 yxx ; 1)),(( yxfsen
Nota: Una manera de obtener un POSIBLE valor de el límite L es mediante trayectorias o direcciones.
Las direcciones clásicas a verificar son:
a)eje x: )0,(0
1 xflímLx
b)eje y: ),0(0
2 yflímLy
c)recta y=mx: ),(0
3 mxxflímLx
d)Parábola y=x2: ),( 2
04 xxflímL
x
Si alguno de los límites por direcciones es distinto inmediatamente concluimos que el límite no existe.
De cumplirse que el valor de los límites por direcciones es el mismo, probamos por definición el posible valor de L.
Profesor: Carlos Silva Cornejo Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
RESUMEN PEP2 CÁLCULO AVANZADO
DERIVADAS PARCIALES
Del cálculo elemental sabemos que la idea de derivada nos permite ahondar en la gráfica de la función pudiendo calcular por ejemplo máximos y mínimos. Una función
diferenciable de 2 debe ser tal que su gráfica no
esté “rota”, pero además debe tener bien definido un plano tangente a la gráfica en cada punto.
Así, no debe haber dobleces, esquinas o picos en la gráfica. En otra palabras, la gráfica debe ser suave.
En 2 variables se tiene:
h
yxfyhxfyx
x
flím
h
),(),(),(
0
k
yxfkyxf
kyx
y
flím
),(),(),(
0
Para derivadas de orden superior, las notaciones que encontramos son las siguientes:
Ej: yxfyx
f
yx
2
Para el caso de funciones de n-variables se tiene:
SeanU un conjunto abierto, y nUf : una
función con valores reales. Entonces las derivada parcial
de f respecto a la variable xj es:
h
xfhexfxxx
x
f j
h
n
j
lím)()(
),...,,(0
21
El vector canónico ej corresponde a: (0,….,1,….,0). La posición j del vector indica la variable respecto a la cual derivamos f.
Así: h
yxfhyxfyx
x
flím
h
),())0,1(),((),(
0
Derivada Direccional
h
PfuhPfP
u
flím
h
)()()(
0
Nota: SI f es diferenciable, el valor máximo de la derivada
direccional es f
Teorema(Schwartz): Igualdad de las derivadas parciales cruzadas
Si f es una función de 2 variables con derivadas parciales cruzadas continuas en un disco abierto R, entonces, para todo (x,y) se tiene:
yxxy ff
DIFERENCIABILIDAD DE f
Definiciones de diferenciabilidad
1.- f es diferenciale en P si existe una aplicación lineal
nT : tal que:
0)()())(
0
h
hTPfhPflímh
Nota: Si T existe, es única y se llama diferencial de f el
punto P a: PfT
2.- Para funciones en 2 variables, la función z=f(x,y) es diferenciable en P(x0,y0) si existen A y B tales que:
0)()(
)]()(),([),(
2
0
2
0
0000
),(),( 00
yyxx
yyBxxAyxfyxflím
yxyx
Para que la función f sea diferenciable en (x0,y0) es necesario que existan sus derivadas parciales en ese punto. En ese caso:
))(,())(,(
))(()(
)()(),(
0000000
000
0000
yyyxfxxyxfzz
yyPy
fxxP
x
fzz
yyBxxAyxfz
yx
Es el plano tangente a f en el punto P.
Teorema 1: Si f es diferenciable en P, entonces f es
continua en P.
Teorema 2: Si f es diferenciable en P, entonces:
a)Todas las derivadas parciales ix
Pf
)(existen para
todo i=1,….,n
Además, podemos definir el vector gradiente por:
n
fx
Pf
x
Pf
x
PfPfPDT
)(,.......,
)(,
)()()(
21
b)Todas las derivadas direccionales de f en P existen y:
n
i
i
i
P
P
n
ux
Pfuf
u
Pf
ufDux
Pf
x
Pf
x
Pf
u
Pf
1
21
)(,
)(
)()(
,.......,)(
,)()(
Teorema 3: Sea nUf : y P
( interior de )
Si las derivadas parciales existen en una vecindad de P y son continuas en P, entonces f es diferenciable en P .
DIFERENCIAL TOTAL
La diferencial dz que en ocasiones se usa la notación df para llamar al diferencial total se define por:
dyyxfdxyxfdz yx ),(),(
INCREMENTO DE f
Si f es una función de 2 variales z=f(x,y), entonces el incremendo de z viene dado por:
),(),( yxfyyxxfz
REGLA DE LA CADENA (VERSIÓN GENERAL)
Suponga que una función u es una función diferenciable de
las n variables x1,x2,…………,xn y cada xj es una función
diferenciable respecto de las m variables
t1,t2,…………,tm. Entonces:
j
n
njjj t
x
x
u
t
x
x
u
t
x
x
u
t
u
........2
2
1
1
Para cada j=1,2…..,m
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Para 2 variables x e y podemos considerar el sistema F(x,y)=F(x,f(x))=0
Así: ),(
),(
yxF
yxF
dx
dy
y
x
ALGUNAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
Ecuación del calor
La temperatura de un cuerpo en el espacio (x,y,z) en el tiempo t. Fourier demostró que T debe satisfacer :
t
T
z
T
y
T
x
Tk
2
2
2
2
2
2
Ecuación del potencial
Consideremos el potencial gravitacional V(con frecuencia llamado de Newton) de masa m en un punto (x,y,z)
02
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
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