fonctions dérivées
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1Séquence 6 – MA11
Séquence 6
Fonctions dérivées
Sommaire
Pré-requis
Définition – Dérivées des fonctions usuelles
Dérivation et opérations algébriques
Applications de la dérivation
Synthèse de la séquence
Exercices d’approfondissement
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3Séquence 6 – MA11
1 Pré-requisFonctions de référence
� Fonction « carré » f x x: � 2
� La fonction « carré » est :
] − ∞ ; 0]
[ [0 ; + ∞
� f �.f est paire : f x f x( ) ( )− =Variation
x −∞ 0 +∞
f x( )0
� �
A
–2 –1 1
1
2
3
4
y
2 x0
y = x2�
Dans le plan muni d’un repère, la fonction « carré » est définie par
f x x( ) = 2 où x est un nombre réel.
À savoir
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4 Séquence 6 – MA11
� Fonction « inverse » f xx
: �1
–2 –1 1
–1
–2
1
2
y
2 x0
y = x
asymptotes
1�
� �
� Fonction « racine carrée » f x x: �� La fonction f +∞� Variation
x 0 +∞
f x( ) 0
�* ] [ ] [.= − ∞ ∪ + ∞; ;0 0
� La fonction « inverse » est :
] [.− ∞; 0
] [.0 ; + ∞
� f �*� f est impaire : f x f x( ) ( )− = −� Variation
x −∞ 0 +∞
f x( )
À savoir
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5Séquence 6 – MA11
y = x�
1 2 3 4 5
1
2
3
y
x
� Fonction « cube » f x x: � 3
� −∞ +∞
x
y
1
1
8
0–1
–8
2 –1 –2
y = x3�
x −∞ 0 +∞
f x( ) 0
�
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6 Séquence 6 – MA11
Nombre dérivé
Maximum et minimum d’une fonction� Définitions
Soit f I.f atteint un maximum en a I∈ tout
x I∈ , f x f a( ) ( ).≤f a( ) a.
f atteint un minimum en a I∈ toutx I∈ , f x f a( ) ( ).≥
f a( ) a.
f a( ) extremum.
00123456789
10111213141516171819202122232425
–1–2–3–4–5–6–2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
m1 m2
P
Q
M
B
C
On donne une fonction f et un nombre a.
lim( ) ( )
h
f a h f ah→→
++ −−0
existe on l’appelle nombre dérivé de
f en a et on la note f a'( ).
On dit alors que f est dérivable en a.
f est dérivable en a, le nombre dérivé f a'( ) est le coefficient
directeur de la tangente à �f au point A a f a) .( )�f au point A a f a)( ) est donc :
y f a f a x a−− == ′′ −−( ) ( )( ).
À savoir
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7Séquence 6 – MA11
f −6 18
f m1 et m2.
f M.
P et Q f−6 18
� Exemple
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8 Séquence 6 – MA11
2 Définition – Dérivées des fonctions usuelles
Activités
� Nombre dérivé d’une fonction f en un point d’abscisse a (a quelconque)
� Cas de la fonction « carré »f
a f x x( ) = 2 et a = 0 8,
a
f x x: .� 2
0–1–2–3–4–5 1 2 3 4 50123456789
1011121314151617181920212223242526
Cf
A
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9Séquence 6 – MA11
a –1 0 1 2 3 4 5
f a'( )
′f a( ) a ?
� Cas d’une fonction constantef x ∈� par f x( ) .= 3
Cf ∆
Cf a
f a'( ) ......=
� Cas d’une fonction affinea) f x ∈ � par f x x( ) .= +7 3
Cf ∆
Cf a
′ =f a( ) ......
f x( ) f x'( )
Si x ∈ � par mx p( ) = + (m et p sont a, on a ′ =( ) ......
Coursf en x a= .
f a'( ).
� Définition� Définition
f I fI fonction dérivée de f ′f
x I f en x : f Ix f x
' :
'( )
→��
B
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10 Séquence 6 – MA11
� Dérivées des fonctions usuelles
f a'( )f x'( ) f x( )
tions f
connaître.
Fonction f Dérivée f’ Intervalle I
(1) f x c( ) = (c f x'( ) = 0
I =�
(2) f x mx p( ) = + f x m'( ) =
(3) f x x( ) = 2 f x x'( ) = 2
(4) f x x( ) = 3 f x x'( ) = 3 2
(5) f x xn( ) = , n ∈ −� { }0 f x nxn'( ) = −1
(6) f x x( ) = f xx
'( ) = 1
2 I = +∞0
(7) f xx
( ) = 1 f xx
'( ) = −12
I
I
= − ∞
= + ∞
0
0
Rappel Lorsqu’on parle d’un intervalle I cela signifie qu’on est dans l’un
des sept cas suivants : I a b= ; ,
I a b=
; ,
I a b=
; ,
I a b=
; ,
I a= +∞[ ; [, I b= ∞]– ; ], I = ∞+∞]– ; [.
� A savoir
C’est en 1797 qu’apparait pour la première fois l’écriture f x' . Le mathématicien Joseph-Louis Lagrange l’utilise pour désigner le nombre dérivé qu’aujourd’hui on note f x'( ).
Remarque
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11Séquence 6 – MA11
(avec m p c= =0 et ).
f x mx p( ) = + ′ =f x m( ) .
f xf x x
'( )( ) ( )= + −
→0.
≠0
f x x m x x mx mxm
( ) ( ) ( )+ − = + − = + − = =
≠0 , f x x
m( ) ( )+ − =
m( ) ( )
.f x x
m→
+ − =0
f x m'( ) .=
Exercices d’apprentissage
f x x: � 2
On posef x x( ) = 2
� Conclusion
C
Exercice 1
� On dit souvent « la dérivée de la fonction f » à la place de « la fonction dérivée de la fonction f ».
� La fonction « racine carrée » f x x: � est définie sur 0 +∞ alors que sa dérivée f x
x' : �
1
2n’est définie que sur
0 +∞ Autrement dit, la fonction « racine carrée » est défi-
nie en zéro (et 0 0= ) mais sa dérivée n’est définie pour x = 0. Graphiquement, ceci se traduit par une tangente verticale au point d’abscisse x = 0 ; c’est-à-dire par une tangente dont on ne peut pas calculer le coefficient directeur.
� Dire que n ∈ −� { }0 signifie que n est un entier naturel dif-férent de zéro. Ainsi la formule de la dérivée de la fonction « puissance n-ième » f x xn: � (donnée ligne (5)) généralise les formules des dérivées des fonctions « carré » et « cube » (don-nées lignes (3) et (4)).
Remarques
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12 Séquence 6 – MA11
� ≠0,f x x( ) ( )+ −
.
� m( ) ( )
.f x x
x→
+ − =0
2 f x x'( ) .= 2
f x x: � 3
On posef x x( ) = 3
� ≠0,f x x( ) ( )+ −
� m( ) ( )
.f x x
x→
+ − =0
23 f x x'( ) .= 3 2
f x x: �
On posef x x( ) =
� ≠0,f x x( ) ( )+ −
� m( ) ( )
.f x x
x→
+ − =0
1
2f x
x'( ) .= 1
2
f xx
: �1
On posef xx
( ) = 1
� ≠0,f x x( ) ( )+ −
� m( ) ( )
.f x x
x→
+ − = −0 2
1f x
x'( ) .= − 1
2
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
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13Séquence 6 – MA11
3 Dérivation et opérations algébriques
Activités
� En somme, c’est simple !
et v � par x( ) = +7 1 et v x x( ) .= 2
Les fonctions et v �.
� '( )3 etv '( ).3
� f �, et v : v= + .
f en a fonction f a = 3.
f '( )3
� Un produit dérivé pas si docile !
et v � par x( ) = 4 et v x x( ) , .= 0 25
et v �.
� '( )3 et v '( ).3
� f 0 +∞tions et v : v= .
f '( )3
Cours, , ,
« )
A
B
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14 Séquence 6 – MA11
� Dérivée d’une somme
Propriété Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel.
La fonction k u× est dérivable sur I et ( ) .k u k u× ′ = × ′La fonction u v+ est dérivable sur I et ( ) .u v u v+ ′ = ′ + ′
f f x x x( ) .= + −2 3 7
f x x x v x( ) ( ) ( )= + −( ) = +2 3 7 où x( ) = 2 etv x x( ) .= −3 7
x'( ) = 2 etv x'( ) = 3 .
( )'( ) '( ) '( )x v x x+ = + = +2 3f x x'( ) .= +2 3
� Dérivée d’un produit
f f x x x( ) ( ).= +3 2
f x v x( ) ( ) ( )= × où x( ) = etv x x( ) .= +3 2
x'( ) = 1
2 et ′ =v x( ) 3 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x v x v xx
x x× ′ = ′ × + × ′ = + + ×1
23 2 3
soit f x xx
x'( ) = +9
2.
′ × ′ = =x
xx
3
2
32
f x'( ).
� Exemple
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
La fonction u v× est dérivable sur I et ( ) .u v u v u v× ′ = ′ × + × ′
� Exemple
On peut résumer la propriété en disant que « la dérivée de la somme est la somme des dérivées ». De même pour la multiplication par un réel.L’activité 2 soulevait le problème : nous allons voir que la dériva-tion (c’est-à-dire le calcul de la dérivée) ne se comporte pas aussi agréablement que l’addition vis-à-vis de la multiplication et de la division entre fonctions.
Remarque
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15Séquence 6 – MA11
ne pas commettre ×à ' '.×
� Dérivée d’un quotient
f f xx xx
( ) .= ++
34 1
2
Posons x x( ) = +3 2 etv x x( ) .= +4 1
I = + ∞14
vI).
f xv x
( )( )( )
= .
′ = +x( ) 6 1et ′ =v x( ) .4
vx
v x v x
v x
=
−
( )=( )
'( ) ( ) ( ) '( )
( )
(2
6xx x x x
x
+ + − + ×
+
1 4 1 3 4
4 1
2
2)( ) ( )
( )
Soit f xx x x x
x'( )
( )= + + − −
+
24 10 1 12 4
4 1
2 2
2
Donc f xx x
x'( )
( ).= + +
+
12 6 1
4 1
2
2
Propriété Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que v ne s’annule pas sur I.
La fonction uv
est dérivable sur I et uv
u v u v
v
=
× − ×'
' '.
2
� Exemple
Propriété Soit u une fonction dérivable et ne s’annulant pas sur un inter-valle I.
La fonction 1u
est dérivable sur I et 12uu
u
=−
''.
Un cas particulier important est celui de = 1. Il s’agit alors de calculer la dérivée de l’inverse de v.Dans ce cas ′ = 0 et la formule de la propriété précédente
devient 1 0 12 2v
v v
v
v
v
=
× − ×=−
'' '
.
Ce résultat mérite d’être signalé en tant que tel.
Remarque
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16 Séquence 6 – MA11
f f xx
( ) .= 1
Posons x( ) = f x( )( )
.= 1
′ =x
( )1
2
f x x
x x x'( )
'( )
( ).= −
( )= −
( )= −
2 2
1
2 1
2
f xx x
'( ) .= − 1
2
Exercices d’apprentissage
′f x( ) f
� f x x x( ) = − +2 7 4 � f xx
( ) = − +7 111
� f x x x( ) ,= − − +0 175
310 5
� f x x x( ) = − − +2 7 12 � f x x( ) .= −932
4 � f x xx
( ) = − +5 57
′f x( ) f
� f xx
( ) =2
� f xx
x( ) = −52 3 � f x
x
xx( ) ( )= − + +4
2 12
2
f et �
x x x� 6 2 12 − +
f f x( )
� f x x x( ) ( )( )= − −3 4
� f x x x( ) ( )( )= − +3 2 3 2
� f x x x xx
x( ) = −
′f x( ) f
� f xxx
( ) = +−
5 13 1
� f xx
x( ) = −
33
� f xx
x( ) = −
+
3
21
1
′f x( ) f f xxx
( ) = ++
3 61
�
� f xx
( ) .= ++
33
1
� Exemple
C
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
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17Séquence 6 – MA11
4 Applications de la dérivation
Activités
� Des tangentes horizontales
f −4 5
0
–2
2
4
6
8
10
0
–1–2–3–4 1 2 3 4 5
�
C f
C f
x1 = ......... , x2 = ......... , x3 = .........
f x'( ) .........1 = , f x'( ) .........2 = , f x'( ) .........3 =
�
− −4 2 f
−2 1 f
1 4 f
4 5 f
A
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18 Séquence 6 – MA11
� Variations et signe de la dérivée
f −10 15
–6
–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16–1
–5–4–3–2
123456781
0
« Si f x'( ) ≥ 0 x ∈ ∪..... ...... ...... ..... »
« Si f x'( ) ≤ 0 x ∈ ∪..... ...... ...... ..... »
Cours
� Dérivée et sens de variations
� Théorèmes
f 0 +∞ par f xx
xx( ) .= − −
3
31
2
f f est croissante
.0 +∞
B
Théorème 1
On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Si f est constante sur I alors pour tout réel x I∈ , f x'( ) .= 0 Si f est croissante sur I alors pour tout réel x I∈ , f x'( ) .≥ 0
Si f est décroissante sur I alors pour tout réel x I∈ , f x'( ) .≤ 0
� Exemple
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19Séquence 6 – MA11
x ∈ +∞0 f x'( ) .≥ 0
f x'( ).
f x xx
xx
'( ) .= −−
− = + −
13
31
21
222
22
fx ∈ + ∞ ,0
xx
22
12 0+ − ≥
x > 0 xx
22
12+ ≥ .
f
x ∈ + ∞ ,0 f x'( ) .≥ 0
f '
ff est croissante.
f ' est positive.
f '
f '( ) .1 0= f a
f traverse
.
–50
–40
–30
–20
–10
–1
10
0
20
30
40
10 2 3 4
–50
–40
–30
–20
–10
–1
10
0
20
30
40
50 Cf’
10 2 3 4
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20 Séquence 6 – MA11
réciproque
f Ix I∈ , f x( ) .≥ 0 ».
Si alorsOn note ceci A B⇒
Si alorsOn note ceci B A⇒
A B⇒ et oùB A⇒ on écrit A B⇔
donc⇒ Si alors
Attention
� f x x: � 3 f x x': � 3 2 .
x �, 3 02x ≥f x'( ) .≥ 0
f est croissante.
�.
� f � par f x x x( ) .= +13
3
f x �, f x x x'( ) .= + = +13
3 1 12 2
x, x 2 0≥x 2 1 0+ > f x'( ) .> 0
f �.
� 0 + ∞ par x xx
( ) .= − + +23
883
x ,0 + ∞ xx
'( ) .= − + −2 8822
'( ):x
x x'( ) = − − +( )24 4
24 2
réciproque
Théorème 2
On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Si pour tout réel x I∈ , f x( ) = 0 alors f est constante sur I.
Si pour tout réel x I∈ , f x( ) ≥ 0 alors f est croissante sur I.
Si pour tout réel x I∈ , f x( ) ≥ 0 alors f est décroissante sur I.
� Logique
� Exemple
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21Séquence 6 – MA11
xx'( ) .= − −( )2
22
2 2
x ,0 + ∞ −−
≤2
20
22
xx
. '( ) .≤ 0
� Tableau de variations
� par f x x x( ) .= + −2 2 3
f � x �, f x x'( ) = +2 2
Comme 2 2 0 1x x+ = ⇔ =− , f 'x = −1. 2 2x + en
x −∞ −1 +∞
2 2x + — 0 +
f x'( ) < 0 − ∞ −1 f .− ∞ − 1
f x'( ) > 0 − + ∞1 f .− + ∞1
f
x −∞ −1 +∞
f ' — 0 +
f−4
f ( ) ( ) ( )− = − + × − − = −1 1 2 1 3 42
� Exemple
Cet exemple a mis en évidence la propriété suivante :
L’abscisse a du sommet de la parabole est solution de l’équation f x'( ) .= 0
Cette propriété est vraie plus généralement pour tous les poly-nômes du 2nd degré.
Remarque
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22 Séquence 6 – MA11
� Extremum d’une fonction
� f 0 + ∞ par f x x x( ) ( ).= − 2
0 + ∞ (attention, pas en x = 0) .
x ,0 + ∞
f xx
xx
xx
xx
x'( ) ( ) ( ) .= − + = − = −1
22
1
2
1
22 2
1
Comme f x x x'( ) ,= ⇔ − = ⇔ =0 1 0 1 si f
f
–2
–1
10–1
1
2
3
2 3 4 5 6 7 8 9
fx ,0 + ∞ f x f( ) ( )≥ 1
f x f( ) ( )− ≥1 0 .
f x f x x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .− = − − − = − + = −1 2 1 2 1 1 2
x ,0 + ∞( )x − ≥1 02 f x f( ) ( ) .− ≥1 0
Théorème 3
On considère une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert I.Si f a un extremum en un point d’abscisse a alors f a'( ) .= 0
Autrement dit, un extremum est à prendre parmi les points où la dérivée s’annule. Cependant, la dérivée peut s’annuler en a I∈ sans que la fonction f n’atteigne d’extremum en a. L’exemple 2 suivant en est une illustration. Mais d’abord, dans l’exemple 1 suivant, voyons une application du théorème 3.
Remarque
� Exemple
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23Séquence 6 – MA11
La fonction f x = 1 −1
x ≥ 0, x x( ) .− ≥ −2 1
� f � par f x x( ) ( ) .= − +1 23
f
f x x'( ) ( ) ,= −3 1 2 f '( ) .1 0=f
x = 1,
x >1 ( )x − >1 03
( )x − + > +1 2 0 23
f x f( ) ( ).> 1
x <1, ( )x − <1 03
( )x − + < +1 2 0 23
f x f( ) ( ).< 1
C fC f « traverse » cette tan
nées )1 2 point d’inflexion. –0,5Cf
–0,5
0,5
1
1,5
2,0
2,5
3
3,5
0,500
1 1,5 2–1
� Une fonction peut atteindre un extremum en plusieurs points comme l’illustre la courbe de fonction définie sur l’intervalle −6 18 ci-dessous :
00123456789
10111213141516171819202122232425
–1–2–3–4–5–6–2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
� Une fonction peut aussi ne pas avoir d’extremum sur un intervalle. C’est le cas par exemple de la fonction « inverse » sur l’intervalle 0 + ∞ (définie par f x
x( ) = 1
), dont
les valeurs sont aussi grandes que voulues puisque f ( , ) ,0 001 1000= f ( , ) , ...0 000001 106= (elle n’a donc pas de maximum) et dont les valeurs sont aussi proche de zéro que vou-lues mais positives puisque f f( ) , , ( ) , , ...100 0 01 10 0 0000016= = (elle n’a donc pas de minimum puisque la valeur zéro n’est jamais atteinte).
Remarque
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24 Séquence 6 – MA11
� Optimisation
x
X
X
x
premier temps.
x 032
V x( ) x.
3 2− x x V x x x( ) ( )= −3 2 2 3
V x x x x( ) .= − +4 12 93 2
La fonction V 032
etV x x x'( ) .= − +12 24 92
V x'( )
V x x x x x'( )= − + = − +
12 24 9 3 4 8 32 2
4 8 32x x− +∆= − − × × = =( )8 4 4 3 16 42 2
� Exemple
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25Séquence 6 – MA11
∆>0 2 4 8 32x x− + est 4 1 2( )( )x x x x− −
où x1
82 4
12
=−− −
×=
( ) ∆x2
82 4
32
=−− +
×=
( ) ∆
V x x x'( ) ( )( ) ,= − −
3 4
32
12
V x x x'( ) ( )( ).= − −1232
12
1232
12
( )( )x x− − �
x −∞ 0,5 1,5 +∞
x − 32
— — 0 +
x − 12
— 0 + +
1232
12
( )( )x x− − + 0 — 0 +
V 032
x 0 0,5 1,5
V ' + 0 — 0
V0
2
0
V ( ) ,0 4 0 12 0 9 0 03 2= × − × + × = V ( , ) , , ,0 5 4 0 5 12 0 5 9 0 5 23 2= × − × + × = et
V ( , ) , , , .1 5 4 1 5 12 1 5 9 1 5 03 2= × − × + × =
m3,
f
f '
f x'( )
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26 Séquence 6 – MA11
Exercices d’apprentissage
Soit f −4 3 par f x x x x( ) .= + − +2 3 12 13 2
� f ' f.
� f x'( ).
� f −4 3
� f
a. −3 2 ?
−4 3 ?
� −3 2 f x( ) = 0
Soit f −∪4 0 0 4 parf x x
x( ) .= + −2 1
4
� f ' f.
� f x'( ) .
� f −4 4
Soit f − ∞ − ∪ − +∞2 2 parf xx
x( ) .= −
+3 1
2� f ' f.
� f x'( ) .
� f − ∞ − ∪ − +∞2 2
f et f x x( ) = etx x
( ) .= − +2 3 32
2
�
.
� a. A, ce point).
P P est P
� A,
C
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
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27Séquence 6 – MA11
« Si f x'( ) ≥ 0 x I∈ M Cf x I∈ Cf
f est croissante ».
f Cf
f x'( ) ≥ 0 ».
« Si ′ =f a( ) 0 a x) ».
« Si ′ =f a( ) 0a ».
f −∞ ∪ +∞0 0f
� f f( ) ( )− ≥1 1 ?
� f f( ) ( )− >1 1 ?
C C C1 2 3, , f, et 1 8
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–1
1
0
2
3
4
5
6C3
C2
C17
10 2 3 4 5 6 7 8
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
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28 Séquence 6 – MA11
La fonction ffonction .
f, et
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29Séquence 6 – MA11
5 Synthèse de la séquence
� Dérivées des fonctions usuelles
Fonction f Dérivée f’ Intervalle I
f x c( ) = (c f x'( ) = 0 I =�
f x mx p( ) = + f x m'( ) =
f x x( ) = 2 f x x'( ) = 2
f x x( ) = 3 f x x'( ) = 3 2
f x xn( ) = , n ∈ −� { }0 f x nxn'( ) = −1
f x x( ) = f xx
'( ) = 1
2I = +∞0
f xx
( ) = 1 f xx
'( ) = −12
I
I
= −∞
= +∞
0
0
� Dérivation et opérations sur les fonctions
Soient et v I' etv '.
Fonction Dérivée
+ ( )' ' '+ = +
où k ∈�. ( )' '=
( )' ' '= +
2 ( )' '2 2= ⋅ ⋅
3 ( )' '3 23= ⋅ ⋅
n où n ∈ −� { }0 ( )' 'n n= ⋅ ⋅−1
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30 Séquence 6 – MA11
1 ( I) 1
2
=−
''
v (v I)
v v
=
⋅ − ⋅'
' '2
� Applications de la dérivation
f I.
« f I x I∈ , f x'( ) = 0 ».
« f I x I∈ , f x'( ) ≥ 0 ».
« f I x I∈ , f x'( ) ≤ 0 ».
f I.
Si f a f a'( ) .= 0
� Théorèmes 1 et 2
� Théorème 3
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31Séquence 6 – MA11
5 Exercices d’approfondissement
I– Démontrons d’abord le premier point du théorème à savoir :
Si f I x I∈ , f x'( ) .≥ 0
f
f
x I∈ , f x'( ) .≥ 0
a I∈ .
� f a'( ).
� a) > 0, f a a( ) ( ).+ ≥
> 0, f a a( ) ( )
.+ − ≥ 0
� a) < 0, f a a( ) ( ).+ ≥
< 0, f a a( ) ( )
.+ − ≥ 0
� f a'( ) .≥ 0
� x I∈ , f x'( ) .≥ 0
II– Démontrons ensuite le second point du théorème 1, à savoir :
Si f x I∈ , f x'( ) .≤ 0
� −f
� −f
f f x x x xx
( ) ( ) .= + + − − −2 2 1 24
2
� a) f.
f '( ).−1
Exercice I
Exercice II
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32 Séquence 6 – MA11
c) a f a'( ) .≥ 0
f est croissante.
� f '.
f x'( )
� a) f x xx
'( ) .= + − −3 12
1
x a∈ +∞
vraie 3 12
1xx+ ≥ + .
er poste.
f et ) et
La fonction f 0 2 par f x x( ) .= − +12
152
La fonction 5 12 par x( ) ( ) .= −17
12 2
( )SR
� a) Cf S
Exercice III
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Cg
Cf
S
R
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
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33Séquence 6 – MA11
C R
�
a) f et .
Fonction[f,a,b]
( )SR .
c)
x3, est
V xx
= −
30 1
102π où 0 10≤ ≤x .
Déterminer x
f tt
t( ) = +
+24 10
8 où t f t( ) est
f t'( )
� a)
t 10 30
Année1980 +t 2008 2009
� f
� a) f '( )28 f '( ).29
�
Exercice IV
Exercice V
Exercice VI
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34 Séquence 6 – MA11
x er
G x x x( ) , ,= −50 1 52 3 où 0 31≤ ≤x .
G .
� Déterminer ′G x( ).
�
x 0 1 2 3 5 10 15 20 25 30
′G x( )
� G.
�
■
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