exercícios - estimadores
Post on 09-Dec-2015
77 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
EXERCÍCIOS
STATÍSTICADE E
Vol. 2
EXERCÍCIOS DE
STATÍSTICAEJaime Fonseca Daniel Torres
EDIÇÕES SÍLABO
Vol. 2
2ª EdiçãoRevista e Corrigida
Baseado na longa experiência dos autores no ensino da estatís-tica nos mais diversos cursos e escolas, esta obra apresenta umvasto conjunto de exercícios práticos resolvidos que permitirão aosalunos testar e validar os conhecimentos teóricos adquiridos.
Os estudantes de estatística encontrarão aqui as mais variadasaplicações, podendo seleccioná-las de entre os temas tratados,consoante a área de ensino e a profundidade da abordagem feita àmatéria.
DANIEL FERNANDES TORRES
JAIME RAÚL SEIXAS FONSECA
é licenciado em Economia (Universidade Lusíada, 1992) e mestreem Matemática Aplicada à Economia e à Gestão (Instituto Superior de Economia e GestãoUniversidade Técnica de Lisboa, 1997). Possui uma pós-graduação em E-Business (Instituto Supe-rior de Economia e Gestão, 2001). Obteve o DEA ( ) do programade Doutoramento em pela UPSAM (UniversidadePontifícia de Salamanca-Pólo de Madrid, 2005). É Técnico Oficial de Contas e membro efectivo daOrdem dos Economistas.Desde 1992 tem exercido docência em várias universidades, entre as quais, Universidade Lusíada,Universidade Internacional, Instituto Superior de Gestão Bancária, Universidade Autónoma de Lis-boa e Universidade Aberta.Para além da docência, no início da sua carreira profissional estagiou e trabalhou como técnico nodepartamento financeiro de uma empresa de de um grupo bancário, tendo vindo aolongo da última década a desenvolver, ao nível da gestão, actividade como administrador e gerentede empresas e ao nível contabilístico-financeiro, actividade como director administrativo-financeiroe como Técnico Oficial de Contas de várias empresas.
é licenciado em Engenharia Electrotécnica (Faculdade de Enge-nharia – Universidade do Porto, 1977) e mestre em Probabilidades e Estatística Computacional eAnálise de Dados (Faculdade de Ciências – Universidade de Lisboa, 1988).Leccionou em universidades públicas e privadas, entre as quais, Universidade Nova, InstitutoSuperior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa, Universidade Lusíada, Universidade Modernae Universidade Internacional. Paralelamente exerceu funções no Instituto Português da Qualidade.Actualmente é docente no Instituto Superior de Ciências Sociais e Políticas – Universidade Técnicade Lisboa.
Diploma de Estudios AvanzadosSociedad de la Información y el Conocimiento
factoring
9 789726 187745
ISBN 978-972-618-774-5
146
����������
�
�����������
JAIME FONSECA
DANIEL TORRES
EDIÇÕES SÍLABO
É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio, NOMEADAMENTE FOTOCÓPIA, esta obra. As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor.
Visite a Sílabo na rede
www.silabo.pt
Editor: Manuel Robalo
FICHA TÉCNICA:
Título: Exercícios de Estatística – Vol. 2 Autores: Jaime Fonseca e Daniel Torres © Edições Sílabo, Lda. Capa: Pedro Mota
1ª Edição – Lisboa, Junho de 2002 2ª Edição – Lisboa, Outubro de 2014 Impressão e acabamentos: Europress, Lda. Depósito Legal: 382188/14 ISBN: 978-972-618-774-5
EDIÇÕES SÍLABO, LDA. R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 Lisboa Telfs.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: silabo@silabo.pt www.silabo.pt
Índice
PREFÁCIO 7
Capítulo 6 ESTIMAÇÃO PONTUAL 9 Capítulo 7 ESTIMAÇÃO REGIONAL 65 Capítulo 8 TESTES DE HIPÓTESES 97 Capítulo 9 REGRESSÃO LINEAR 171 Capítulo 10 ANÁLISE DE VARIÂNCIA 223
BIBLIOGRAFIA 295
Prefácio
Na sequência do volume I surge agora o volume II de Exercícios de Estatística, necessariamente mais virado para a Inferência Estatística.
A Estatística pretende fundamentalmente concluir sobre a população ou populações em estudo, em aspectos variados como sejam, a título de exemplo: � determinação de estimativas (pontuais ou regionais) de parâmetros
desconhecidos;
� estabelecer relações de ordem entre parâmetros desconhecidos de duas ou mais populações;
� fazer Previsões para uma determinada variável.
Este volume II tenta acompanhar tais desígnios.
Usando uma perspectiva traçada no volume I, estamos seguros de que pode ser uma boa contribuição para o domínio desses aspectos.
Os autores
Capítulo 6
����������� ��
10
11
Exercício 1
Sabendo que certa população tem distribuição Binomial, com parâmetro p desconhecido, obtenha o estimador de máxima verosimilhança de p, com base numa amostra aleatória de dimensão n, ( nXXX ,...,, 21 ), dela obtida. Proceda à
análise do estimador.
Resolução:
Pode aplicar-se o método de máxima verosimilhança dado tratar-se de uma função regular segundo Cramer-Rao (é duplamente diferenciável e os limites de variação não dependem do parâmetro a estimar). 1. Obtenção do estimador
( ) ( ) xnxX pp
x
nxfX −−
=> 1~ : pn=µ ; ( )ppn −=σ 12
( ) ( ) =−
= ∏
=
−n
i
xnx
i
ii ppx
npL
11
( )
( )( )∑∑
=−
=
=−
−= ∏
n
i
n
ii
xni
xn
i iipp
xnxn 11
11
!!!
Logaritmizando a função de verosimilhança, tem-se:
( )
( )( )
=−++
−
=∑∑=
−=
=∏
n
i
n
ii
xni
xn
i iipp
xnx
npL 11
11loglog
!!
!log])([log
( )
( ) ( ) =−−++
−= ∑∑∑
===
n
ii
n
ii
n
i iipxnpx
xnx
n
1111loglog
!!!
log
( )
( ) ( )pxpnpxxnx
n n
ii
n
ii
n
i ii−−−++
−= ∑∑∑
===1log1loglog
!!!
log1
2
11
12
Derivando em ordem ao parâmetro,
p
xp
np
xpd
pLd n
ii
n
ii −
−−−−++= ∑∑
== 11
111
0])([log
1
2
1
Igualando a zero, tem-se, após eliminar denominadores,
( ) ⇔=+−− ∑∑==
011
2
1
n
ii
n
ii xppnxp
⇔=−⇔=+−−⇔ ∑∑∑∑====
00 2
11
2
11pnxxppnxpx
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
nx
pn
x
pxpn
n
iin
ii =⇔=⇔−=−⇔
∑∑ =
=ˆ
21
1
2 (estimativa)
2. Análise do estimador n
Xp =ˆ
i) Não enviesamento
Um estimador diz-se não enviesado ou centrado, desde que E [ θ̂ ] = θ. Conse-quentemente,
=
=
=
= ∑
∑
=
=n
ii
n
ii
XEnn
X
En
XEpE
122
1 1]ˆ[
ppnnn
pnn
XEn
n
i
n
ii ==== ∑∑
==2
12
12
11][
1
Assim, pode dizer-se que θ̂ é um estimador não enviesado para p.
13
ii) Coerência ou consistência
[ ]∑∑∑
==
= =
=
=
=
n
ii
n
ii
n
ii
XVarn
XVarnn
X
Varn
XVarpVar
14
142
1 11]ˆ[
( ) ( ) ( ).
11
11
124
14 n
ppppnn
nppn
n
n
i
−=−=−= ∑=
Sendo ( )
,01
lim]ˆ[lim2
=−=∞→∞→ n
pppVar
nn
Por ser não enviesado e por verificar a condição anterior, diz-se que n
X é um
estimador coerente para p.
Exercício 2
a) Obtenha, através do método de máxima verosimilhança, com base na informação contida na amostra (4, 3, 0, 2, 1, 1), uma estimativa do parâmetro desconhecido da distribuição Poisson.
b) Dessa população extraiu-se uma amostra aleatória ( )521 ,...,, XXX .
Escolha, entre os dois estimadores seguintes, o mais adequado para estimar a média ( )µ da população. Justifique adequadamente a sua opção.
( )542121 23261
; XXXXTXT ++−==
Resolução:
a) ( ) ( ) � 2, 1, 0,;!
:~ =λ=λ> λ− xex
xfPXx
X
14
Como a função é regular no sentido de Cramer-Rao (é duplamente diferenciável e os limites de variação não dependem do parâmetro a estimar) pode aplicar-se o método de máxima verosimilhança. Assim,
( ) λ−λ−
∏∏∑
λ=λ=λ n
i
ix
i
xe
ixi
ex
L
ii
!!
( ) λ−−λ=λ ∑∑ nxxL
ii
ii !logloglog
( )
nxLd
ii −
λ=
λ∂λ ∑ 1log
( ) ⇔=λ−⇔=−
λ⇔=
λλ ∑∑ 00
10
lognxnx
d
Ld
ii
ii
xxn i
i ==λ⇔ ∑1ˆ (estimativa)
XXn i
i ==λ ∑1ˆ (estimador)
Cálculo do valor da estimativa
1,833336
1120341ˆ =+++++===λ ∑ xxn i
i
b) Estimadores Consistentes? i) Análise do enviesamento
1. Caso de 1T
Para que seja um estimador não enviesado deverá ter-se λ=λ]ˆ[E . Sendo
=
=
=λ ∑∑
==
n
ii
n
ii XE
nX
nEE
11
11]ˆ[
[ ] λ=λ=λ== ∑∑==
nnn
XEn
n
i
n
ii
111
11
1T constitui assim um estimador centrado ou não enviesado para µ = λ
15
2. Caso de 2T
Identicamente, deverá ter-se λ=µ=][ 2TE . Porque
( ) =
++−= 54212 232
61
][ XXXXETE
( ) =++−= ][2][3][][261
542 XEXEXEXE
µ=µ=µ+µ+µ−µ=6
6)232(
61
2T constitui assim um estimador centrado ou não enviesado para µ = λ
ii) Análise da consistência
1. Caso de 1T
Para que seja consistente ou coerente, deverá ter-se 0]ˆ[lim =λ∞+→
Vn
, desde
que o estimador seja não enviesado. Ora
=
=
=λ= ∑∑
==
n
ii
n
ii XV
nX
nVVTV
12
11
11]ˆ[][
n
nnn
XVn
n
i
n
ii
λ=λ=λ== ∑∑==
21
21
211
][1
Sendo que 0lim →λn
e por se tratar de um estimador centrado podemos
afirmar que o estimador é consistente.
2. Caso de 2T
( ) =
++−= 54212 X2X3XX2
61
Var][Var T
( ) =+++= ][4][9][][4361
5421 XVarXVarXVarXVar
( )236
18494
361 λ=λ=λ+λ+λ+λ=
16
Porque 02
lim ≠λ, pode concluir-se que o estimador 2T não é consistente.
Em conclusão, face a estes resultados, poder-se-ía concluir nesta fase que o melhor estimador para a média da população é 1T .
Exercício 3
Obtenha através do método de máxima verosimilhança e da amostra que se segue, uma estimativa do parâmetro da distribuição exponencial.
4; 3; 2; 0; 3; 0
Resolução:
Obtenha-se em primeiro lugar a função de verosimilhança com base no produto das funções densidade exponencial.
Função densidade da variável com distribuição exponencial:
( )
<≥λ=
λ−
0;0
0;
x
xexf
x
X
( ) ( )∑=
λ−
=
λ−
=λ=λ==λ ∏∏
n
ii
ii
xn
n
i
xn
iiX eexfL 1
11
Dado tratar-se de uma função regular no sentido de Cramer-Rao, pode aplicar-
se o método de máxima verosimilhança.
Aplique-se a função logaritmo à função de verosimilhança para facilitar posteriormente a derivada.
( ) =+λ=
λ=λ
∑∑==
λ−λ−n
ii
n
ii x
nx
n eeL 11 loglogloglog
∑=
λ−λ=n
iixn
1log
17
Derive-se agora em ordem a λ e iguale-se a derivada a zero.
( ) ⇔=∑−
λ=
λλ
=0
1log
1
n
iixn
d
Ld
⇔∑=λ
⇔=
n
iixn
1
1
⇔∑
=λ
⇔ =n
xn
ii
11
x
x
nn
ii
1ˆ
1
=∑
=λ⇔
=
Logo com base na amostra dada tem-se o seguinte valor para a estimativa do
parâmetro:
0,5126
03023461ˆ ==
+++++==λ
x
Exercício 4
Seja ( )nXXX ...,,, 21 uma amostra aleatória extraída de uma população com
função densidade da forma:
( )
>λ>
λ=
λ−
..;0
0,0;2 3
/2
cc
xex
xf
x
a) Identifique o estimador de máxima verosimilhança do parâmetro desconhe-cido, com base na amostra aleatória.
b) Classifique o estimador, ao nível de enviesamento e consistência.
18
Resolução: a) Obtenha-se em primeiro lugar a função de verosimilhança com base no produto
das funções densidade.
( ) ( )λ−
==
λ−
=
∑=
λ=
λ==λ ∏∏∏
/2
13
13
/2
1
1
2
1
2
n
iii
i
xn
ii
nn
i
xi
n
iiX ex
exxfL
Tratando-se de uma função regular segundo Cramer-Rao, aplique-se a função logaritmo à função de verosimilhança para facilitar posteriormente a derivada.
( ) =
λ=λ
λ−
=
∑=∏
/2
13
1
2
1loglog
n
iixn
ii
n
exL
λ
∑−∑+λ−= =
=
n
iin
ii
xxn 1
1
3 log2)2(log
Derive-se agora em ordem a λ e iguale-se a derivada a zero.
( ) ⇔=λ
∑+
λ−=
λλ = 0
3log21
n
iix
nd
Ld
⇔=∑+λ−⇔=
031
n
iixn
3
ˆ x=λ⇔ (estimativa)
3
ˆ X=λ⇔ (estimador)
b) Em função do resultado anterior ficamos a saber que o estimador correspon-
dente é 3
ˆ X=λ .
19
1. Enviesamento
( ) λ=λ== ∑
=3
3)(
1)(
1 n
nXE
nXE
n
ii ,
uma vez que E [X] = 3λ, tratando-se de uma distribuição Ga (3, λ). Assim,
λ==λ )(31
)ˆ( XEE ,
ou seja, λ̂ constitui um estimador não enviesado ou centrado para λ.
2. Consistência
Atendendo a que V [X] = 3 2λ ,
03
)(9
1)(
91
)ˆ(2
12 limlimlim =λ===λ
∞→=∞→∞→∑
nXV
nXVV
n
n
ii
nn.
Conclui-se assim que λ̂ é um estimador consistente para λ .
Exercício 5
Considere a variável aleatória X com a seguinte função densidade
( ) 0,10;3
3 3 >α≤≤+δ= δ xxxfX
Estime com base numa amostra aleatória de tamanho n, através do método de
máxima verosimilhança o parâmetro δ.
Resolução:
Como a função é regular no sentido de Cramer-Rao pode aplicar-se o método de máxima verosimilhança.
20
( ) ( ) ( )∏ ∏∏=
δ
=
δ
=
+δ=+δ==δn
i
n
iin
n
i
n
iiX xxxfL
1
3
1
3
1 3
33
3
( ) ( ) =
+δ=δδ
=∏
3
13
3loglog
n
iin
nxL
( ) ∑=
δ+−+δ=n
iixnn
1log
33log3log
( ) ( ) =
δ+−+δδ
=δ
δ ∑=
n
iixnn
d
d
d
Ld
1log
33log3log
log
∑=
++δ
=n
iix
n
1log
31
3
( ) ⇔=+
+δ⇔=
δδ ∑
=0log
31
30
log
1
n
iix
n
d
Ld
( ) ⇔=+δ+⇔ ∑=
0log331
n
iixn
( ) ⇔−=+δ⇔ ∑=
nxn
ii 3log3
1
⇔−=+δ⇔∑=
n
iix
n
1log
33
3
log
3ˆ
1
−−=δ⇔∑=
n
iix
n
3
log
3ˆ
1
−−=δ∑=
n
iix
n (estimativa) e 3
log
3ˆ
1
−−=δ∑=
n
iiX
n (estimador)
EXERCÍCIOS
STATÍSTICADE E
Vol. 2
EXERCÍCIOS DE
STATÍSTICAEJaime Fonseca Daniel Torres
EDIÇÕES SÍLABO
Vol. 2
2ª EdiçãoRevista e Corrigida
Baseado na longa experiência dos autores no ensino da estatís-tica nos mais diversos cursos e escolas, esta obra apresenta umvasto conjunto de exercícios práticos resolvidos que permitirão aosalunos testar e validar os conhecimentos teóricos adquiridos.
Os estudantes de estatística encontrarão aqui as mais variadasaplicações, podendo seleccioná-las de entre os temas tratados,consoante a área de ensino e a profundidade da abordagem feita àmatéria.
DANIEL FERNANDES TORRES
JAIME RAÚL SEIXAS FONSECA
é licenciado em Economia (Universidade Lusíada, 1992) e mestreem Matemática Aplicada à Economia e à Gestão (Instituto Superior de Economia e GestãoUniversidade Técnica de Lisboa, 1997). Possui uma pós-graduação em E-Business (Instituto Supe-rior de Economia e Gestão, 2001). Obteve o DEA ( ) do programade Doutoramento em pela UPSAM (UniversidadePontifícia de Salamanca-Pólo de Madrid, 2005). É Técnico Oficial de Contas e membro efectivo daOrdem dos Economistas.Desde 1992 tem exercido docência em várias universidades, entre as quais, Universidade Lusíada,Universidade Internacional, Instituto Superior de Gestão Bancária, Universidade Autónoma de Lis-boa e Universidade Aberta.Para além da docência, no início da sua carreira profissional estagiou e trabalhou como técnico nodepartamento financeiro de uma empresa de de um grupo bancário, tendo vindo aolongo da última década a desenvolver, ao nível da gestão, actividade como administrador e gerentede empresas e ao nível contabilístico-financeiro, actividade como director administrativo-financeiroe como Técnico Oficial de Contas de várias empresas.
é licenciado em Engenharia Electrotécnica (Faculdade de Enge-nharia – Universidade do Porto, 1977) e mestre em Probabilidades e Estatística Computacional eAnálise de Dados (Faculdade de Ciências – Universidade de Lisboa, 1988).Leccionou em universidades públicas e privadas, entre as quais, Universidade Nova, InstitutoSuperior Técnico – Universidade Técnica de Lisboa, Universidade Lusíada, Universidade Modernae Universidade Internacional. Paralelamente exerceu funções no Instituto Português da Qualidade.Actualmente é docente no Instituto Superior de Ciências Sociais e Políticas – Universidade Técnicade Lisboa.
Diploma de Estudios AvanzadosSociedad de la Información y el Conocimiento
factoring
9 789726 187745
ISBN 978-972-618-774-5
146
top related