estatística básica aula nº. 1 medidas de centralização professores: edu/vicente
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Estatística Básica AULA Nº. 1
Medidas de Centralização
Professores: Edu/Vicente
Definições Importantes
• Noções de Estatística• Podemos entender a Estatística como sendo
o método de estudo de comportamento coletivo, cujas conclusões são traduzidas em resultados numéricos. Podemos, intuitivamente, dizer que:
• Estatística é uma forma de traduzir o comportamento coletivo em números.
Universo Estatístico ou População Estatística
• Conjunto formado por todos os elementos que possam oferecer dados pertinentes ao assunto em questão.
• Exemplo 1: Um partido político quer saber a tendência do eleitorado quanto a preferência entre dois candidatos à Presidência da República. O Universo Estatístico é o conjunto de todos os eleitores brasileiros.
AMOSTRA
• É um subconjunto da população estatística.
• Quando o Universo Estatístico é muito vasto ou quando não é possível coletar dados de todos os seus elementos, retira-se desse universo um subconjunto chamado amostra. Os dados são coletados dessa amostra .
Exemplo 2
• “Numa pesquisa para saber a intenção de votos para presidente da república, foram ouvidas 400 pessoas...”
• Esse grupo de 400 pessoas é uma amostra.• Cada pessoa ouvida nessa pesquisa é uma
unidade estatística.
• Cada informação numérica obtida nessa pesquisa é um dado estatístico.
ROL
• É toda seqüência de dados numéricos colocados em ordem não decrescente ou não crescente.
• Exemplo 3: Os 5 alunos de uma amostra apresentam as seguintes notas de matemática:
• 6; 4; 8; 7; 8• O rol desses resultados é :• (4; 6; 7; 8; 8 ) ou (8; 8; 7; 6; 4 ).
Frequências
• Frequência absoluta(F):• É o número de vezes que um determinado
valor é observado na amostra.
• Frequência total(Ft):
• É a soma de todas as frequências absolutas.
Frequência Relativa(Fr)
%100Fou F :quociente o É rr tt F
F
F
F
Exemplo 3
• Numa turma foram registradas as idades de todos os 25 alunos. Qual a freqüência absoluta e a freqüência relativa do número de alunos de 14 anos:
15 16 16 15 14
15 17 16 14 14
14 17 15 16 15
16 14 15 15 15
16 15 15 16 17
Solução: Tabela de Frequencias
Idade Frequência absoluta
Frequência Relativa
14 5 (5/25).100%=20%
15 10 (10/25).100%=40%
16 7 (7/25).100%=28%
17 3 (3/25).100%=12%
Total 25 100%
• Resposta: F = 5 e Fr = 20%
Medidas de Centralização
• Média Aritmética Simples: Considere a seguinte situação:
• A tabela a seguir mostra as notas de matemática de um aluno em um determinado ano:
Bimestre Nota
1º Bimestre 3,5
2º Bimestre 7,5
3º Bimestre 9,0
4º Bimestre 6,0
A média aritmética dessas notas é dada por:
5,64
26
4
695,75,3
x
• Obs.: Ter média 6,5 significa dizer que, apesar de ele ter obtido notas mais altas ou mais baixas em outros bimestres, a soma das notas (26) é a mesma que ele alcançaria se tivesse obtido nota 6,5 em todos os bimestres.
Média Aritmética Ponderada
• Suponha que, em cada bimestre, os “pesos” sejam:
• 1º bimestre: Peso 1
• 2º bimestre: Peso 2
• 3º bimestre: peso 3
• 4º bimestre: peso 4
Logo, a média aritmética ponderada é:
95,64321
463925,715,3
pM
Note que se as notas ocorressem de forma invertida, ou seja,
Bimestre Nota
1º Bimestre 6,0
2º Bimestre 9,0
3º Bimestre 7,5
4º Bimestre 3,5
A média ponderada seria:
05,64321
45,335,72916
pM
anterior. média a quemenor seja,ou
maiores. pesos tem
provas últimas as porque ocorre Isso
• Analisando as situações anteriores de maneira bem simples, é como se toda avaliação durante o ano tivesse nota máxima 10,0. Desse total, o 1º bimestre vale 1,0; o 2º bimestre vale 2,0; o 3º bimestre vale 3,0 e o 4º bimestre vale 4,0.
Considere agora, a seguinte situação:
• Cinco baldes contêm 4 litros de água cada um, três outros 2 litros de água, cada um e, ainda, dois outros contém 5 litros de água, cada um. Se toda essa água fosse distribuída igualmente em cada um dos baldes, com quantos litros ficaria cada um?
Solução:
• A quantidade de litros que ficaria em cada balde é a média aritmética ponderada:
llll
x p 6,3235
2.53254
Resp: Cada balde teria 3,6 litros de água.
• Ou seja, a quantidade, em litros, de água em cada balde é chamada de média ponderada dos valores 4 litros, 2 litros e 5 litros, com pesos 5; 3 e 2.
• Resumindo o “peso” é o número de vezes que o valor se repete.
Situação 1Os salários de 5 pessoas que trabalham em uma empresa são: R$700,00 ; R$800,00 ; R$900,00 ; R$1.000,00 e R$5.600,00. O salário médio dessas 5 pessoas é:
•1) Considere as seguintes situações:
00,800.15
000.95
600.5000.1900800700
x
Parece lógico que, neste caso, a média aritmética não é a melhor medida de centralização para representar esse conjunto de dados, pois a maioria dos salários é bem menor que R$1.800,00. Em algumas situações a mediana é um número mais representativo. A mediana é o termo central do rol*. Logo, escrevendo o rol* dos dados numéricos dessa situação, temos:
(700; 800; 900; 1000; 5600)Logo, o termo central desse rol* é “900”. Então a mediana é igual a 900. (Rol: É toda seqüência de dados numéricos colocados em ordem crescente(ou não decrescente) ou decrescente(ou não crescente))
Situação 2:Se acrescentarmos à lista o salário de R$1.000,00 de outro funcionário, ficaríamos com um número par de dados numéricos:
(700; 800; 900;1000;1000; 5600) Nesse caso, a mediana seria a média aritmética dos termos centrais:Logo a mediana é dada por:
00,9502
1000900
mediana
Podemos interpretar esse resultado da seguinte maneira:Metade dos funcionários ganha menos de R$950,00 e a outra metade mais de R$950,00.
Note que a média aritmética desses valores é:
66,666.16
000.106
600.5000.1000.1900800700
x
ou seja, bem superior ao salário da maioria dos funcionários.
Generalizando:Se n é ímpar, a mediana é o termo central do rol.Se n é par, a mediana é a média aritmética dos termos centrais do rol
MODA Definição: Em uma amostra cujas freqüências dos elementos não são todas iguais, chama-se moda, que se indica por , todo elemento de maior freqüência possível. EX: Na lista de salários do exemplo anterior:
(700; 800; 900;1000;1000; 5600)
O salário que aparece com maior frequência é o de R$1.000,00. Logo a Moda=R$1.000,00 ou o “salário modal” é de R$1.000,00.
oM
Resumindo:Na sequência de salários:
(700; 800; 900;1000;1000; 5600)
temos:Salário médio:
Salário mediano= Salário Modal = R$1.000,00
66,666.16
000.106
600.5000.1000.1900800700
x
00,9502
1000900
Observações importantes sobre moda:
Na amostra (3; 3; 4; 7; 7; 7; 9) a moda é
Na amostra (1;5; 7; 9; 9; 10; 10; 22) Aqui temos duas modas: e
( amostra bimodal) Na amostra (1; 3; 5; 7; 9) não apresenta moda, pois todos os elementos tem a mesma frequência.
7oM
9oM 10oM
2) Os salários dos funcionários de uma empresa estão distribuídos na tabela abaixo:
Salário Frequência
R$400,00 5
R$600,00 2
R$1.000,00 2
R$5.000,00 1
O salário médio, o salário mediano e o salário modal são, respectivamente:A) R$1750,00; R$500,00 e R$500,00B) R$1020,00; R$400,00 e R$500,00C) R$1750,00; R$500,00 e R$400,00D) R$1020,00; R$800,00 e R$400,00E) R$1020,00; R$500,00 e R$400,00
OPÇÃO E
3) ENEM 2009 – Prova cancelada
OPÇÃO B
4)ENEM 2009(Prova Cancelada)
OPÇÃO C
5) ENEM 2009(Cancelado)
Solução:Média 4 : 4 alunosMédia 5 :10 alunosMédia 6 : 18 alunosMédia 7 : 16 alunosMédia 8 : 2 alunosTotal de alunos: 50 alunosAlunos com média maior ou igual a 6 :18+16+2 = 36 alunosPercentual de aprovados:
%72%10050
36
OPÇÃO E
6) ENEM 2009(Cancelado)
Solução:100 kg de milho 1000 litros/kg = 100.000 litros100 kg de trigo 1500 litros/kg = 150.000 litros100 kg de arroz 2500 litros/kg = 250.000 litros100 kg de c.de.p 5000 litros/kg = 500.000 litros600 kg de c.de.boi 17000 litros/kg=10.200.000 litrosTotal de litros de água = 11.200.000 litrosTotal de kg de alimentos = 1000 kg Quantidade média de água por kg:
Opção B
kglitroskg
litros/200.11
1000
000.200.11
7)A tabela traz as idades, em anos, dos filhos de 5 mães.
Mãe Ana Márcia Cláudia Lúcia Heloísa
Idade dos filhos
7; 10; 12
11; 15 8; 10; 12
12; 14 9; 12; 15; 16; 18
A idade modal desses 15 filhos é inferior à idade média dos filhos de Heloísa em ____ ano(s).a) 4 b) 3 c) 2 d) 1
Solução:
Idade
7 8 9 10 11 12 14 15 16 18
Freq.
1 1 1 2 1 4 1 2 1 1
Logo idade modal = 12 anos
Média dos filhos de Heloísa: = = = anos Logo é inferior em 14 – 12 = 2 anosOPÇÃO C
5
181615129 x
5
70 14
8) ENEM CANCELADO
Cidades da Região Norte:
Belém(PA):2ºBoa Vista(RR): 1ºMacapá(AP): 1º
Manaus(AM): 2ºPalmas(TO): 1º
Porto Velho(RO):2ºRio Branco(AC): 1º.
Frequência relativa = %8,42%1007
3
OPÇÃO A
9) ENEM Cancelado
Solução:523 milhões/12 meses = 43,58... milhões por mês. 43,58... milhões por mês/ 180 mil trabalhadores=
3
6
10180
1058,43
4
6
1018
1058,43
18
435800,242
OPÇÃO: B
ENEM 2010
ENEM 2010
A)6
B)6,5
C) 7
D) 7,3
E) 8,5
OPÇÃO:
B
ENEM 2009
• OPÇÃO: D
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