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Equações Diferenciais Ordinárias
Semanas 15, 16 e 17
Professor Luiz Claudio Pereira
Departamento Acadêmico de Matemática
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Material Previsto para três semanas
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 149
Equações Diferenciais Ordinárias
1 Sistemas Gerais de Equações Diferenciais
De ordem 1: forma normal, sistema canônico.
De ordem k ≥ 1: desacoplamento, sistema canônico, forma simétrica.
2 Sistema linear, não-homogêneo, de equações diferenciais ordinárias
3 Série de potências e equações diferenciais ordinárias
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 2 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1
Conceitos
A forma normal de uma edo, de ordem k , ψ(x ,y ,y ′, . . . ,y (k)
)= 0 é dada
por y (k) = φ(x ,y ,y ′, . . . ,y (k−1)
).
Sejam y1,y2, . . . ,yn funções dependentes de x . Um sistema de m equações
de ordem 1, envolvendo n incógnitas yi , consiste em um conjunto de
expressões da forma
φi
(x ,y1,y
′1,y2,y
′2 . . . ,yn,y
′n
)= 0, i = 1,2, . . . ,m
Quando m = n, o sistema é dito canônico.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1
Conceitos
A forma normal de uma edo, de ordem k , ψ(x ,y ,y ′, . . . ,y (k)
)= 0 é dada
por y (k) = φ(x ,y ,y ′, . . . ,y (k−1)
).
Sejam y1,y2, . . . ,yn funções dependentes de x . Um sistema de m equações
de ordem 1, envolvendo n incógnitas yi , consiste em um conjunto de
expressões da forma
φi
(x ,y1,y
′1,y2,y
′2 . . . ,yn,y
′n
)= 0, i = 1,2, . . . ,m
Quando m = n, o sistema é dito canônico.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Conceitos
A solução geral de um sistema de m equações de ordem 1, envolvendo n
funções incógnitas yi , é uma n-upla (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)), contendo k ≤ n
constantes, tal que, tomando yi = fi (x), i = 1,2, . . . ,n , cada equação do
sistema é satisfeita. Uma solução particular é obtida pela atribuição de
valores particulares às constantes da solução geral.
Ao invés de indicar a solução geral por um n-upla, é possível denotá-la por
uma matriz-coluna f1(x)f2(x)...
fn(x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Conceitos
A solução geral de um sistema de m equações de ordem 1, envolvendo n
funções incógnitas yi , é uma n-upla (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)), contendo k ≤ n
constantes, tal que, tomando yi = fi (x), i = 1,2, . . . ,n , cada equação do
sistema é satisfeita. Uma solução particular é obtida pela atribuição de
valores particulares às constantes da solução geral.
Ao invés de indicar a solução geral por um n-upla, é possível denotá-la por
uma matriz-coluna f1(x)f2(x)...
fn(x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Conceitos
Sejam y1,y2, . . . ,yn funções dependentes de x . Diz-se que um sistema de m
equações de ordem 1, envolvendo n incógnitas yi , está na forma normal
quando está escrito na forma
dyjdx
= ϕj (x ,y1,y2, . . . ,yn) , j = 1,2, . . . ,m (1)
Eventualmente, para obter a forma normal (1) a partir de
φi
(x ,y1,y
′1,y2,y
′2 . . . ,yn,y
′n
)= 0, i = 1,2, . . . ,m
pode ser necessário um reordenamento das funções incógnitas.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 5 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
O sistema, de ordem 1,
2dy
dx− dz
dx= y − z
dy
dx+
dz
dx= 2z
não está na forma normal,
mas é canônico.
Sua solução geral (y(x),z(x)) é dada pela matriz-coluna c1e(3+√3)x/3 + c2e
(3−√3)x/3
c1(2+√3)e(3+
√3)x/3 + c2
(2−√3)e(3−
√3)x/3
Veri�que!
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
O sistema, de ordem 1,
2dy
dx− dz
dx= y − z
dy
dx+
dz
dx= 2z
não está na forma normal,
mas é canônico.
Sua solução geral (y(x),z(x)) é dada pela matriz-coluna c1e(3+√3)x/3 + c2e
(3−√3)x/3
c1(2+√3)e(3+
√3)x/3 + c2
(2−√3)e(3−
√3)x/3
Veri�que!
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Veri�cação
Como
[y(x)z(x)
]=
c1e(3+√3)x/3 + c2e
(3−√3)x/3
c1(2+√3)e(3+
√3)x/3 + c2
(2−√3)e(3−
√3)x/3
tem-se:
(i) 2dy
dx− dz
dx=
{2c1
(3+√3
3
)− c1
(2+√3)(3+
√3
3
)}e(3+
√3)x/3
+
{2c2
(3−√3
3
)− c2
(2−√3)(3−
√3
3
)}e(3−
√3)x/3
=−c1(√
3+1)e(3+
√3)x/3 + c2
(√3−1
)e(3−
√3)x/3
= y(x)− z(x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 7 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Veri�cação
Como
[y(x)z(x)
]=
c1e(3+√3)x/3 + c2e
(3−√3)x/3
c1(2+√3)e(3+
√3)x/3 + c2
(2−√3)e(3−
√3)x/3
tem-se:
(ii)dy
dx+
dz
dx=
{c1
(3+√3
3
)+ c1
(2+√3)(3+
√3
3
)}e(3+
√3)x/3
+
{c2
(3−√3
3
)+ c2
(2−√3)(3−
√3
3
)}e(3−
√3)x/3
= c1(3+2
√3+1
)e(3+
√3)x/3 + c2
(3−2
√3+1
)e(3−
√3)x/3
= 2 · z(x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Observação
Note que também se pode escrever que c1e(3+√3)x/3 + c2e
(3−√3)x/3
c1(2+√3)e(3+
√3)x/3 + c2
(2−√3)e(3−
√3)x/3
=
c1e(3+√3)x/3
c1(2+√3)e(3+
√3)x/3
+
c2e(3−√3)x/3
c2(2−√3)e(3−
√3)x/3
=
c1e(3+√3)x/3
[1
2+√3
]+ c2e
(3−√3)x/3
[1
2−√3
]=
[y(x)z(x)
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1
Conceitos
Na forma normal, um sistema de m equações de ordem 1, envolvendo n
funções incógnitas xi é dado por
dxidt
= ϕi (t,x1,x2, . . . ,xn) , i = 1,2, . . . ,m
O sistema é dito linear quando
ϕi (t,x1,x2, . . . ,xn) =n
∑j=1
aij (t)xj +gi (t)
= ai1 (t)x1 +ai2 (t)x2 + . . .+ain (t)xn +gi (t)
Sendo o sistema linear canônico, tem-se m = n, ou seja, o número de
(funções) incógnitas é igual ao número de equações.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1
Conceitos
Assim, na forma normal, um sistema linear de m equações de ordem 1,
envolvendo n funções incógnitas xi é dado por
dxidt
=n
∑j=1
aij (t)xj +gi (t)
= ai1 (t)x1 +ai2 (t)x2 + . . .+ain (t)xn +gi (t) , i ∈ {1,2, . . . ,m}
Mais detalhadamente, tem-sex ′1 = a11 (t)x1 +a12 (t)x2 + . . .+a1n (t)xn +g1 (t)
x ′2 = a21 (t)x1 +a22 (t)x2 + . . .+a2n (t)xn +g2 (t)
...
x ′m = am1 (t)x1 +am2 (t)x2 + . . .+amn (t)xn +gm (t)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1
Conceitos
Ora, um sistema linear de m equações de ordem 1, envolvendo n funções
incógnitas xi ,x ′1 = a11 (t)x1 +a12 (t)x2 + . . .+a1n (t)xn +g1 (t)
x ′2 = a21 (t)x1 +a22 (t)x2 + . . .+a2n (t)xn +g2 (t)
...
x ′m = am1 (t)x1 +am2 (t)x2 + . . .+amn (t)xn +gm (t)pode ser escrito na forma matricial
x ′1x ′2...
x ′m
=
a11(t) a12(t) . . . a1n(t)a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
......
...
am1(t) am1(t) . . . amn(t)
·
x1 (t)x2 (t)...
xn (t)
+
g1 (t)g2 (t)...
gn (t)
⇔ X ′ (t) = A(t) · X (t) + G (t)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 12 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1
Conceitos
Na forma matricial, um sistema linear de m equações de ordem 1,
envolvendo n funções incógnitas xi ,
X ′ (t) = A(t) ·X (t) +G (t)
é dito homogêneo quando a matriz G (t) = 0. Neste caso, o sistema linear
se reduz a forma X ′(t) = A(t) ·X (t).
Sejam Ψ1,Ψ2, . . . ,Ψk (matrizes-coluna) soluções deste sistema linear
homogêneo. Quaisquer que sejam as constantes ci , tem-se
d
dt
{k
∑i=1
ciΨi
}=∑
ki=1 ciΨ
′i = ∑
ki=1 ciA(t) ·Ψi = A(t) ·
{∑ki=1 ciΨi
}Mostrou-se assim que o principio da superposição também se aplica a um
sistema linear homogêneo.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1
De�nição
Considere
X ′ (t) = A(t) ·X (t)
(a forma matricial de) um sistema linear (homogêneo) de m equações de
ordem 1, envolvendo n funções incógnitas xi . Diz-se que {Ψ1,Ψ2, . . . ,Ψk}é um conjunto fundamental de soluções quando (i) é linearmente
independente; (ii) cada função Ψi é solução do sistema dado; (iii) dada
qualquer solução Ψ, o conjunto {Ψ,Ψ1,Ψ2, . . . ,Ψk} é LD, ou seja, ∃ci ∈ Rtais que
Ψ(t) = c1Ψ1 (t) + c2Ψ2 (t) + . . .+ ckΨk (t)
Quando o sistema linear homogêneo é canônico, tem-se m = n e se espera
que ocorra k = n. Por quê?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 14 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Preliminares de álgebra linear
Seja T um operador linear de um espaço vetorial V de dimensão (�nita)
m. Um escalar k é dito autovalor de T , quando
Tv = kv ⇔ (kI −T )v = 0 (2)
para algum v ∈ V −{0}. Neste caso, os elementos v 6= 0 que satisfazem
(2) são chamados autovetores associados ao autovalor k . O polinômio
(mônico, de grau m) de�nido por
p(x) = det{xI − [T ]}
é dito polinômio característico de T . Destarte, os autovalores de T são as
raízes do polinômio característico de T .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 15 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Observação
Do sistema canônico, de ordem 1,
2dy
dx− dz
dx= y − z
dy
dx+
dz
dx= 2z
segue o sistema
na forma normaldy
dx=
y
3+z
3
dz
dx=−y
3+
5z
3
⇔ d
dx
[y
z
]≡[y ′
z ′
]=
[1/3 1/3−1/3 5/3
][y
z
]
Exercício
Determine os autovalores e autovetores da matriz
[1/3 1/3−1/3 5/3
].
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 16 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Observação
Do sistema canônico, de ordem 1,
2dy
dx− dz
dx= y − z
dy
dx+
dz
dx= 2z
segue o sistema
na forma normaldy
dx=
y
3+z
3
dz
dx=−y
3+
5z
3
⇔ d
dx
[y
z
]≡[y ′
z ′
]=
[1/3 1/3−1/3 5/3
][y
z
]
Exercício
Determine os autovalores e autovetores da matriz
[1/3 1/3−1/3 5/3
].
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 16 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k
Conceitos
Pode ocorrer de que dado um sistema canônico, de ordem k , envolvendo n
funções incógnitas yj ,
φi
(x ,y1,y
′1, . . . ,y
(k)1 ,y2,y
′2, . . . ,y
(k)2 , . . . ,yn,y
′n, , . . . ,y
(k)n
)= 0, j = 1,2, . . . ,n
seja possível obter n equações diferenciais, cada uma envolvendo apenas a
função yj . Assim, cada função yj pode ser obtida independentemente das
demais incógnitas. Neste caso, diz-se que o sistema foi desacoplado.
Exemplo
(a) Obtenha um sistema desacoplado a partir do sistema de equações{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k
Conceitos
Pode ocorrer de que dado um sistema canônico, de ordem k , envolvendo n
funções incógnitas yj ,
φi
(x ,y1,y
′1, . . . ,y
(k)1 ,y2,y
′2, . . . ,y
(k)2 , . . . ,yn,y
′n, , . . . ,y
(k)n
)= 0, j = 1,2, . . . ,n
seja possível obter n equações diferenciais, cada uma envolvendo apenas a
função yj . Assim, cada função yj pode ser obtida independentemente das
demais incógnitas. Neste caso, diz-se que o sistema foi desacoplado.
Exemplo
(a) Obtenha um sistema desacoplado a partir do sistema de equações{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k
Exemplo
(a) Obtenha um sistema desacoplado a partir do sistema de equações{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)
Solução
(a) Ora, do sistema dado decorre que y ′′(t) =−x ′(t) e x ′′(t) = y ′(t).Logo, o sistema desacoplado é{
x ′′(t) =−x(t)
y ′′(t) =−y(t)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 18 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k
Exemplo
(a) Obtenha um sistema desacoplado a partir do sistema de equações{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)
Outras perguntas
(b) Quantas constantes (independentes) estão envolvidas na solução do
sistema dado? Por quê?
(c) Resolva o sistema e con�rme (ou não) sua resposta ao item(a).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 19 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k
Preliminares
Pode ocorrer de que dado um sistema canônico, de ordem k , envolvendo n
funções incógnitas yj ,
φi
(x ,y1,y
′1, . . . ,y
(k)1 ,y2,y
′2, . . . ,y
(k)2 , . . . ,yn,y
′n, , . . . ,y
(k)n
)= 0, j = 1,2, . . . ,n
seja possível obter n equações diferenciais, cada uma envolvendo apenas a
função yj . Assim, cada função yj pode ser obtida independentemente das
demais incógnitas. Neste caso, diz-se que o sistema foi desacoplado.
No desacoplamento de um sistema, por vezes, o uso do operador D =d
dxsimpli�ca a manipulação algébrica.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 20 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k
Exercício
Use o operador D =d
dxpara desacoplar o sistema
d2y
dx2−3
dz
dx= x2
d2y
dx2−2
dz
dx= x +2y − z
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 21 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k
Exercício
Use o operador D =d
dxpara desacoplar o sistema
d2y
dx2−3
dz
dx= x2
d2y
dx2−2
dz
dx= x +2y − z
Solução
Como D2y −3Dz = x2 e
D2y −2Dz = x +2y − z ⇔ (D2−2)y − (2D−1)z = x , decorre que{ (D2−2
)D2y −3
(D2−2
)Dz = 2−2x2
D2(D2−2)y −D2(2D−1)z = 0e
D2(2D−1)z−3(D2−2
)Dz = 2−2x2⇔ D3z +D2z−6Dz =−2+2x2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 22 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k
Exercício
Use o operador D =d
dxpara desacoplar o sistema
d2y
dx2−3
dz
dx= x2
d2y
dx2−2
dz
dx= x +2y − z
Solução
Como D2y −3Dz = x2 e
D2y −2Dz = x +2y − z ⇔ (D2−2)y − (2D−1)z = x , decorre que{(2D−1)D2y −3(2D−1)Dz = 4x− x2
−3D(D2−2)y +3D(2D−1)z =−3 e
D3y +D2y +6Dy = 3−4x + x2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 23 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k
Exercício
Use o operador D =d
dxpara desacoplar o sistema
d2y
dx2−3
dz
dx= x2
d2y
dx2−2
dz
dx= x +2y − z
Solução
As equações desacopladas obtidas do sistema
são
{D3z +D2z−6Dz =−2+2x2
D3y +D2y +6Dy = 3−4x + x2.
Quantas constantes (independentes) estão envolvidas na solução do
sistema? Por quê?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 24 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k
Exercício
Resolva o sistema d2y
dx2−3
dz
dx= x2
d2y
dx2−2
dz
dx= x +2y − z
sabendo que as equações desacopladas obtidas do sistema são{D3z +D2z−6Dz =−2+2x2
D3y +D2y +6Dy = 3−4x + x2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 25 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Conceito
A forma simétrica de um sistema canônico de n equações, de ordem 1, na
forma normal
dyjdx
= φj (x ,y1,y2, . . . ,yn) , j = 1,2, . . . ,n
é dada pordy1φ1
=dy2φ2
=dy3φ3
= . . . =dynφn
=dx
1
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 26 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Observações
Eventualmente, dependendo da forma de φj , um sistema canônico de n
equações, de ordem 1, na forma normal assume a forma simétrica
dy1F1
=dy2F2
=dy3F3
= . . . =dynFn
=dx
M
Em particular, sendo y e z funções desconhecidas da variável x , tem-se
dy
P(x ,y ,z)=
dz
R(x ,y ,z)=
dx
M(x ,y ,z)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Observações
Seja y e z funções desconhecidas da variável x . Considere a equação na
forma simétricady
P(x ,y ,z)=
dz
R(x ,y ,z)=
dx
M(x ,y ,z). Geometricamente, a
solução deste sistema representa uma família de curvas dependente de dois
parâmetros. Além disso, se for possível encontrar funções auxiliares
p(x ,y ,z),r(x ,y ,z) e m(x ,y ,z) tais que
dy
P(x ,y ,z)=
dz
R(x ,y ,z)=
dx
M(x ,y ,z)=
pdy + r dz +mdx
p ·P + r ·R +m ·M
então, a partir das condições impostas p ·P + r ·R +m ·M = 0 e
pdy + r dz +mdx = 0, obtém-se duas relações distintas entre as variáveis
x , y e z que representam a solução do sistema.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 28 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx
y=
dy
x=
dz
x.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 29 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx
y=
dy
x=
dz
x.
Solução
Sejam p, r , m funções tais que p · y +q · x + r · x = 0 e
pdx +q dy + r dz = 0.
(i) Tomando p = 0, q = 1, r =−1 resulta que
dy −dz = 0⇔ d(y − z) = 0⇔ y − z = const.
(ii) Tomando p = x e q =−y decorre que
x dx− y dy = 0⇔ d
(x2− y2
2
)= 0⇔ x2− y2
2= const.
Portanto, a solução (geral) do sistema é dado pelas
relações
{y − z = k1
x2− y2 = k2EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 30 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx
x(z2− y2)=
dy
y(x2− z2)=
dz
z(y2− x2).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 31 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx
x(z2− y2)=
dy
y(x2− z2)=
dz
z(y2− x2).
Solução
Sejam p, r , m funções tais que
p · x(z2− y2) +q · y(x2− z2) + r · z(y2− x2) = 0 e pdx +q dy + r dz = 0.
(i) Note quep · x(z2− y2) +q · y(x2− z2) + r · z(y2− x2) = 0 ⇔z2 · (px−qy) + y2 · (rz−px) + x2 · (qy − rz) = 0
Tomando p = yz , q = xz , r = xy resulta que
yz dx + xz d+xy dz = 0⇔ d(xyz) = 0⇔ xyz = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 32 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx
x(z2− y2)=
dy
y(x2− z2)=
dz
z(y2− x2).
Solução
Sejam p, r , m funções tais que
p · x(z2− y2) +q · y(x2− z2) + r · z(y2− x2) = 0 e pdx +q dy + r dz = 0.
(ii) Observe que
p · x(z2− y2) +q · y(x2− z2) + r · z(y2− x2) = 0 ⇔xz · (pz− rx) + xy · (qx−py) + yz · (ry −qz) = 0
Tomando p = x , r = z , q = y decorre que
x dx + y dy + z dz = 0⇔ d
(x2 + y2 + z2
2
)= 0⇔ x2 + y2 + z2
2= const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 33 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx
x(z2− y2)=
dy
y(x2− z2)=
dz
z(y2− x2).
Solução
Portanto, a solução (geral) do sistema é dado pelas relações{xyz = k1
x2 + y2 + z2 = k2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 34 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Observação
O método de resolução em que se impõem as condições
(∗){
p ·P + r ·R +m ·M = 0
pdy + r dz +mdx = 0
à equação diferencial na forma simétrica
dy
P(x ,y ,z)=
dz
R(x ,y ,z)=
dx
M(x ,y ,z)
(=
pdy + r dz +mdx
p ·P + r ·R +m ·M
)permite obter uma in�nidade de soluções, dependendo da habilidade em
resolver (∗).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 35 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exercício
Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx
y=
dy
x=
dz
z.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 36 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Preliminares 1
Seja Xj(t) =
x1j(t)x2j(t)
...
xnj(t)
, j = 1,2, . . . ,n uma matriz-coluna. Segue que
n
∑j=1
cjXj(t) = c1
x11(t)x21(t)
...
xn1(t)
+ c2
x12(t)x22(t)
...
xn2(t)
+ . . .+ cn
x1n(t)x2n(t)
...
xnn(t)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 37 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Preliminares 1
Seja Xj(t) =
x1j(t)x2j(t)
...
xnj(t)
, j = 1,2, . . . ,n uma matriz-coluna. Segue que
n
∑j=1
cjXj(t) =
c1x11(t) + c2x12(t) + . . .+ cnx1n(t)c1x21(t) + c2x22(t) + . . .+ cnx2n(t)
...
c1xn1(t) + c2xn2(t) + . . .+ cnxnn(t)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 38 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Preliminares 1
Seja Xj(t) =
x1j(t)x2j(t)
...
xnj(t)
, j = 1,2, . . . ,n uma matriz-coluna. Segue que
n
∑j=1
cjXj(t) =
x11(t) x12(t) . . . x1n(t)x21(t) x22(t) . . . x2n(t)
......
...
xn1(t) xn1(t) . . . xnn(t)
c1c2...
cn
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 39 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Preliminares 1
Seja Xj(t) =
x1j(t)x2j(t)
...
xnj(t)
, j = 1,2, . . . ,n uma matriz-coluna. Segue que
n
∑j=1
cjXj(t) =[X1(t) X2(t) . . . Xn(t)
]·
c1c2...
cn
= Φ(t) · C
Assim, {X1(t),X2(t), . . . ,Xn(t)} é LI se, e só se, detΦ(t) 6= 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 40 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Preliminares 2
Seja B uma matriz constante, quadrada, de ordem n. A função exponencial
ex , para todo x ∈ R, admite a representação em série de potências:
+∞
∑k=0
xk
k!= 1+ x +
x2
2!+x3
3!+ . . .
Admitindo que seja possível usar, no lugar de x , a matriz t ·B , segue a série
+∞
∑k=0
(tB)k
k!=
+∞
∑k=0
tkBk
k!= I + tB +
t2B2
2!+t3B3
3!+ . . .
a qual, em sendo convergente, determina uma nova função de t.
Denotando-se por exp(tB) esta (nova) função, pode-se
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 41 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Preliminares 2
de�nir que
exp(tB) = I + tB +t2B2
2!+t3B3
3!+ . . .
sendo B uma matriz constante, quadrada, de ordem n, e t ∈ R.
Note que
exp(0) = I
Uma questão de notação
Frequentemente, os autores, abusando da notação, escrevem exp(Bt) ao
invés de exp(tB).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 42 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Preliminares 2
de�nir que
exp(tB) = I + tB +t2B2
2!+t3B3
3!+ . . .
sendo B uma matriz constante, quadrada, de ordem n, e t ∈ R.
Note que
exp(0) = I
Uma questão de notação
Frequentemente, os autores, abusando da notação, escrevem exp(Bt) ao
invés de exp(tB).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 42 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Preliminares 2
Derivando, termo a termo, em relação a t, a série
exp(tB) = I + tB +t2B2
2!+t3B3
3!+ . . .
obtém-se que
d
dt{exp(tB)}=B + tB2 +
t2B3
2!+t3B4
4!+ . . .
=B
(I + tB +
t2B2
2!+t3B3
3!+ . . .
)=B exp(tB)
sendo B uma matriz constante, quadrada, de ordem n, e t ∈ R.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 43 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Preliminares 2
Porque B é uma matriz constante, quadrada, de ordem n, da igualdade
d
dt{exp(tB)}= B exp(tB)
decorre que, qualquer que seja a matriz-coluna, de n linhas, constante C ,
d
dt{exp(tB) ·C}= B exp(tB) ·C
Assim, pondo Z (t) = exp(tB) ·C , tem-se que{Z ′ (t) = B ·Z (t)
Z (0) = C
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 44 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Preliminares 2
O raciocínio desenvolvido revelou que se B é uma matriz constante,
quadrada, de ordem n, e C é qualquer matriz-coluna, de n linhas,
constante, então a função
Z (t) = exp(tB) ·C
é tal que
(∗)
{Z ′ (t) = B ·Z (t)
Z (0) = C
Interpretando um pouco mais
Se a matriz-coluna C for especi�cada numericamente, Z (t) será solução
particular. Caso contrário, será solução geral.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 45 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Preliminares 2
O raciocínio desenvolvido revelou que se B é uma matriz constante,
quadrada, de ordem n, e C é qualquer matriz-coluna, de n linhas,
constante, então a função
Z (t) = exp(tB) ·C
é tal que
(∗)
{Z ′ (t) = B ·Z (t)
Z (0) = C
Interpretando um pouco mais
Se a matriz-coluna C for especi�cada numericamente, Z (t) será solução
particular. Caso contrário, será solução geral.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 45 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Determine a solução geral do sistema de equações
{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)
Uma técnica de resolução consiste em: (i) reescrever o sistema na forma
matricial{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)⇔
[x ′(t)y ′(t)
]=
[0 1
−1 0
]·[x(t)y(t)
]⇔ X ′(t) = A · X (t)
com A =
[0 1
−1 0
]e X (t) =
[x(t)y(t)
].
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 46 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Determine a solução geral do sistema de equações
{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)
Uma técnica de resolução consiste em: (i) reescrever o sistema na forma
matricial{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)⇔
[x ′(t)y ′(t)
]=
[0 1
−1 0
]·[x(t)y(t)
]⇔ X ′(t) = A · X (t)
com A =
[0 1
−1 0
]e X (t) =
[x(t)y(t)
].
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 46 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Determine a solução geral do sistema de equações
{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)
Uma técnica de resolução consiste em: (ii) observar - a partir do vimos
acima - que a solução geral do sistema
X ′(t) = A ·X (t)
é dado pela função
X (t) = exp(tA) ·C
com A =
[0 1
−1 0
]e C =
[c1c2
]uma matriz-coluna, constante qualquer.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 47 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Determine a solução geral do sistema de equações
{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)
Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C e
A =
[0 1
−1 0
], segue que A2 =
[0 1
−1 0
]·[
0 1
−1 0
]=
[−1 0
0 −1
]
A3 =
[0 −11 0
], A4 =
[1 0
0 1
], A5 = A, A6 = A2, . . .
e, por conseguinte,
exp(tA) = I + tA+t2A2
2!+t3A3
3!+ . . .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 48 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Determine a solução geral do sistema de equações
{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)
Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C e
A =
[0 1
−1 0
], A2 =
[−1 0
0 −1
], A3 =
[0 −11 0
], A4 = I , A5 = A, ...
obtém-se que
exp(tA) =
[1 0
0 1
]+ t
[0 1
−1 0
]+t2
2!
[−1 0
0 −1
]+t3
3!
[0 −11 0
]+t4
4!
[1 0
0 1
]+t5
5!
[0 1
−1 0
]+ . . .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 49 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Determine a solução geral do sistema de equações
{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)
Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C e
A =
[0 1
−1 0
], A2 =
[−1 0
0 −1
], A3 =
[0 −11 0
], A4 = I , A5 = A, ...
obtém-se que
exp(tA) =
1− t2
2!+t4
4!− t6
6!+ . . . t− t3
3!+t5
5!− t7
7!+ . . .
−t +t3
3!− t5
5!+t7
7!− t9
9!+ . . . 1− t2
2!+t4
4!− t6
6!+ . . .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 50 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Determine a solução geral do sistema de equações
{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)
Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C e
A =
[0 1
−1 0
], A2 =
[−1 0
0 −1
], A3 =
[0 −11 0
], A4 = I , A5 = A, ...
obtém-se que
exp(tA) =
cos t t− t3
3!+t5
5!− t7
7!+ . . .
−t +t3
3!− t5
5!+t7
7!− t9
9!+ . . . 1− t2
2!+t4
4!− t6
6!+ . . .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 51 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Determine a solução geral do sistema de equações
{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)
Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C e
A =
[0 1
−1 0
], A2 =
[−1 0
0 −1
], A3 =
[0 −11 0
], A4 = I , A5 = A, ...
obtém-se que
exp(tA) =
cos t sen t
−t +t3
3!− t5
5!+t7
7!− t9
9!+ . . . 1− t2
2!+t4
4!− t6
6!+ . . .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 52 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Determine a solução geral do sistema de equações
{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)
Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C e
A =
[0 1
−1 0
], A2 =
[−1 0
0 −1
], A3 =
[0 −11 0
], A4 = I , A5 = A, ...
obtém-se que
exp(tA) =
cos t sen t
−sen t cos t
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 53 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Exemplo
Determine a solução geral do sistema de equações
{x ′(t) = y(t)
y ′(t) =−x(t)
Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C ,
exp(tA) =
[cos t sen t
−sen t cos t
]e C =
[c1c2
], tem-se que
X (t) =
[cos t sen t
−sen t cos t
]·[c1c2
]=
[c1 cos t + c2 sen t
−c1 sen t + c2 cos t
]Noutras palavras, a solução geral do sistema é dada pelas funções{
x(t) = c1 cos t + c2 sen t
y(t) =−c1 sen t + c2 cos tEDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 54 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
O raciocínio desenvolvido revelou que
Se A é uma matriz constante, quadrada, de ordem n, então a função
φ(t) = exp(tA) ·C
é solução geral do sistema (linear) de equações
X ′ (t) = A ·X (t)
sujeito ao valor inicial
X (0) = C
onde C é uma matriz-coluna, de n linhas, constante.
Que críticas podem ser tecidas sobre o método de resolução apresentado?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 55 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Sistemas não-homogêneo e homogêneo associado
Considere o sistema de equações não-homogêneo, na forma matricial,
X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)
onde A é uma matriz constante, quadrada, de ordem n, X (t) =
x1(t)x2(t)...
xn(t)
é a matriz incógnita e F (t) é uma matriz-coluna de n linhas.
Se Γ(t) é solução particular de (3) e Ψ(t) é qualquer solução, entãod
dt{Ψ(t)−Γ(t)} = Ψ′(t)−Γ′(t)
= A ·Ψ(t) +F (t)−A ·Γ(t)−F (t) = A · {Ψ(t)−Γ(t)}
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 56 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Sistemas não-homogêneo e homogêneo associado
Considere o sistema de equações não-homogêneo, na forma matricial,
X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)
onde A é uma matriz constante, quadrada, de ordem n, X (t) =
x1(t)x2(t)...
xn(t)
é a matriz incógnita e F (t) é uma matriz-coluna de n linhas.
Se Γ(t) é solução particular de (3) e Ψ(t) é qualquer solução, entãod
dt{Ψ(t)−Γ(t)} = Ψ′(t)−Γ′(t)
= A ·Ψ(t) +F (t)−A ·Γ(t)−F (t) = A · {Ψ(t)−Γ(t)}
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 56 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Sistemas não-homogêneo e homogêneo associado
Considere o sistema de equações não-homogêneo, na forma matricial,
X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)
onde A é uma matriz constante, quadrada, de ordem n, X (t) =
x1(t)x2(t)...
xn(t)
é a matriz incógnita e F (t) é uma matriz-coluna de n linhas.
Noutras palavras, se Γ(t) é solução particular de (3) e Ψ(t) é qualquer
solução, então Ψ(t)−Γ(t) é solução do sistema homogêneo associado
X ′(t) = A ·X (t)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 57 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Conceito
A solução geral do sistema homogêneo X ′(t) = A ·X (t) associado ao
sistema não-homogêneo X ′(t) = A ·X (t) +F (t) é chamada solução
complementar.
A solução geral de X ′(t) = A ·X (t) é uma combinação linear da forma
c1X1(t) + c2X2(t) + . . .+ cnXn(t) = Φ(t) ·C
tal que {X1(t),X2(t), . . . ,Xn(t)} é um conjunto LI, ou seja, um conjunto
fundamental de soluções. Neste caso,
Φ(t) =[X1(t) X2(t) . . . Xn(t)
]é dita matriz fundamental. Note que
a matriz fundamental é não-singular e tem inversa.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 58 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1
Sistemas não-homogêneo e homogêneo associado
Considere o sistema de equações não-homogêneo, na forma matricial,
X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)
Seja Φ(t) ·C a solução complementar do sistema homogêneo associado
X ′(t) = A ·X (t) (4)
Se Γ(t) é solução particular de (3) e Ψ(t) é qualquer solução, então
Ψ(t)−Γ(t) é solução de (4). Desta forma,
Ψ(t)−Γ(t) = Φ(t) ·C ⇔Ψ(t) = Φ(t) ·C + Γ(T ) (5)
A solução qualquer Ψ(t) dada pela expressão (5) é chamada solução geral
de (3).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 59 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, não-homogêneo, de equações de ordem 1
Resumo
Para obter a solução geral do sistema não-homogêneo de equações
X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)
(i) Encontre a solução complementar do sistema homogêneo associado
X ′(t) = A ·X (t) (4)
(ii) Ache uma solução particular do sistema não-homogêneo (3).
(iii) A solução geral do sistema não-homogêneo é a soma das soluções
complementar e particular.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, não-homogêneo, de equações de ordem 1
Resumo
Para obter a solução geral do sistema não-homogêneo de equações
X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)
(i) Encontre a solução complementar do sistema homogêneo associado
X ′(t) = A ·X (t) (4)
(ii) Ache uma solução particular do sistema não-homogêneo (3).
(iii) A solução geral do sistema não-homogêneo é a soma das soluções
complementar e particular.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, não-homogêneo, de equações de ordem 1
Resumo
Para obter a solução geral do sistema não-homogêneo de equações
X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)
(i) Encontre a solução complementar do sistema homogêneo associado
X ′(t) = A ·X (t) (4)
(ii) Ache uma solução particular do sistema não-homogêneo (3).
(iii) A solução geral do sistema não-homogêneo é a soma das soluções
complementar e particular.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, não-homogêneo, de equações de ordem 1
Resumo
Para obter a solução geral do sistema não-homogêneo de equações
X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)
(i) Encontre a solução complementar do sistema homogêneo associado
X ′(t) = A ·X (t) (4)
(ii) Ache uma solução particular do sistema não-homogêneo (3).
(iii) A solução geral do sistema não-homogêneo é a soma das soluções
complementar e particular.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Considere o sistema homogêneo de equações
X ′(t) = A ·X (t) (∗)
Baseado no que já vimos, um palpite para solução de (∗) é uma função
(matricial) da forma
X (t) = eλ t ·B
sendo λ e B elementos ainda desconhecidos. Ora, X ′(t) = λeλ t ·B e
X ′(t) =A ·X (t)⇔ λeλ t ·B =A ·eλ t ·B⇔ eλ t (λ I −A) ·B = 0⇔A ·B = λB
Assim, pode-se a�rmar que λ é autovalor de A e B é autovetor associado
ao autovalor λ . Ora, determinando todos os autovalores λ1,λ2, . . . ,λk de A
e os autovetores associados, obtém-se Xi (t) = eλi t ·Bi , i ∈ {1,2, . . . ,k},k ≤ n, vetores linearmente independentes. Por quê?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 61 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Considere o sistema homogêneo de equações
X ′(t) = A ·X (t) (∗)
Se k = n, então as matrizes-coluna Xi (t) = eλi t ·Bi , i ∈ {1,2, . . . ,n}, ondeλi são os autovalores de A e Bi os autovetores associados, são tais que
c1X1(t) + c2X2(t) + . . .+ cnXn(t) = Φ(t) ·C
fornece a solução geral de (∗).
Pergunta
O que se pode fazer quando k < n? E se ocorrer λi ∈ C?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 62 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +3y
y ′ = 5x +3y⇔ X ′ =
[1 3
5 3
]X .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 63 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +3y
y ′ = 5x +3y⇔ X ′ =
[1 3
5 3
]X .
(i) Autovalores de A =
[1 3
5 3
].
0 = det(λ I −A) =
∣∣∣∣ λ −1 −3−5 λ −3
∣∣∣∣= λ2−4λ −12 = (λ +2)(λ −6)
Logo, os autovalores de A são λ1 =−2 e λ2 = 6.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 64 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +3y
y ′ = 5x +3y⇔ X ′ =
[1 3
5 3
]X .
(ii) Autovetores B =
[α
β
]associados aos autovalores. Para λ1 =−2,
tem-se
0 = (−2I −A) ·B =
[−3 −3−5 −5
][α
β
]⇔ α + β = 0⇔ β =−α
Logo, B1 = α
[1
−1
]e X1 = e−2t
[1
−1
].
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 65 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +3y
y ′ = 5x +3y⇔ X ′ =
[1 3
5 3
]X .
(ii) Autovetores B =
[α
β
]associados aos autovalores. Para λ2 = 6,
tem-se
0 = (6I −A) ·B =
[5 −3−5 3
][α
β
]⇔ 5α−3β = 0⇔ β =
5α
3
Logo, B2 = α
[1
5/3
]e X2 = e6t
[1
5/3
].
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 66 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +3y
y ′ = 5x +3y⇔ X ′ =
[1 3
5 3
]X .
(iii) As matrizes-coluna X1(t) = e−2t[
1
−1
]=
[e−2t
−e−2t]e
X2 (t) = e6t[
1
5/3
]=
[e6t
5e6t/3
]são tais que {X1(t),X2(t)} é um
conjunto fundamental de soluções. Porquê? A solução geral do sistema
dado é
X (t) = c1X1(t) + c2X2(t)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 67 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +3y
y ′ = 5x +3y⇔ X ′ =
[1 3
5 3
]X .
(iii) A solução geral do sistema dado é
X (t) = c1X1(t) + c2X2(t) =
[c1e−2t + c2e
6t
−c1e−2t +5c2e6t/3
]=
[e−2t e6t
−e−2t 5e6t/3
][c1c2
]Uma matriz fundamental do sistema é
Φ(t) =
[e−2t e6t
−e−2t 5e6t/3
]=[X1(t) X2(t)
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 68 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +2y
y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =
[1 2
−1/2 1
]X .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 69 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +2y
y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =
[1 2
−1/2 1
]X .
(i) Autovalores de A =
[1 2
−1/2 1
].
0 = det(λ I −A) =
∣∣∣∣ λ −1 −21/2 λ −1
∣∣∣∣= λ2−2λ +2 = (λ −1− i)(λ −1+ i)
Logo, os autovalores de A são λ1 = 1+ i e λ2 = 1− i .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 70 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +2y
y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =
[1 2
−1/2 1
]X .
(ii) Autovetores B =
[α
β
]associados aos autovalores. Para λ1 = 1+ i ,
tem-se
0 = [(1+ i) I −A] ·B =
[i −2
1/2 i
][α
β
]⇔ iα−2β = 0⇔ β = iα/2
Logo, B1 = α
[1
i/2
]e X̃1 = e(1+i)t
[1
i/2
]= et (cos t + i sen t)
[1
i/2
].
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 71 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +2y
y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =
[1 2
−1/2 1
]X .
(ii) Autovetores B =
[α
β
]associados aos autovalores. Para λ2 = 1− i ,
tem-se
0 = [(1− i) I −A] ·B =
[−i −21/2 −i
][α
β
]⇔−iα−2β = 0⇔ β =− iα
2
Logo, B2 = α
[1
−i/2
]e
X̃2 = e(1−i)t[
1
−i/2
]= et (cos t− i sen t)
[1
−i/2
]= X̃ ∗1 .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 72 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +2y
y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =
[1 2
−1/2 1
]X .
(iii) As soluções reais para o sistema linear são
X1 (t) =X̃1 + X̃2
2=
1
2
{et (cos t + i sen t)
[1
i/2
]+ et (cos t− i sen t)
[1
−i/2
]}= et cos t
[1
0
]− et sen t
[0
1/2
]e
X2 (t) =X̃1− X̃2
2i=
1
2i
{et (cos t + i sen t)
[1
i/2
]− et (cos t− i sen t)
[1
−i/2
]}= et sen t
[1
0
]+ et cos t
[0
1/2
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 73 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +2y
y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =
[1 2
−1/2 1
]X .
(iv) As matrizes-coluna
X1(t) = et cos t
[1
0
]− et sen t
[0
1/2
]=
[et cos t
−(et sen t)/2
]e
X2 (t) = et sen t
[1
0
]+ et cos t
[0
1/2
]=
[et sen t
(et cos t)/2
]são tais que
{X1(t),X2(t)} é um conjunto fundamental de soluções. Porquê? A solução
geral do sistema dado é
X (t) = c1X1(t) + c2X2(t)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 74 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema homogêneo
{x ′ = x +2y
y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =
[1 2
−1/2 1
]X .
(iv) A solução geral do sistema dado é
X (t) = c1X1(t) + c2X2(t) = c1
[et cos t
−(et sen t)/2
]+ c2
[et sen t
(et cos t)/2
]=
[et cos t et sen t
−(et sen t)/2 (et cos t)/2
][c1c2
]Uma matriz fundamental do sistema é
Φ(t) =
[et cos t et sen t
−(et sen t)/2 (et cos t)/2
]=[X1(t) X2(t)
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 75 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 76 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
Primeiro passo - A solução do sistema linear homogêneo associado
(i) Autovalores de A =
[3 −53/4 −1
].
0 = det(λ I −A) =
∣∣∣∣ λ −3 5
−3/4 λ +1
∣∣∣∣= λ2−2λ +
3
4= (λ −3/2)(λ −1/2)
Logo, os autovalores de A são λ1 = 3/2 e λ2 = 1/2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 77 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
(ii) Autovetores B =
[α
β
]associados aos autovalores. Para λ1 = 3/2,
tem-se
0 =
(3
2I −A
)·B =
[−3/2 5
−3/4 5/2
][α
β
]⇔−3
2α +5β = 0⇔ β =
3α
10
Logo, B1 = α
[1
3/10
]e X1 = e3t/2
[10
3
].
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 78 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
(ii) Autovetores B =
[α
β
]associados aos autovalores. Para λ2 = 1/2,
tem-se
0 =
(1
2I −A
)·B =
[−5/2 5
−3/4 3/2
][α
β
]⇔−5
2α +5β = 0⇔ β =
α
2
Logo, B2 = α
[1
1/2
]e X2 = et/2
[2
1
].
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 79 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
(iii) As matrizes-coluna X1(t) = e3t/2[10
3
]=
[10e3t/2
3e3t/2
]e
X2 = et/2[2
1
]=
[2et/2
et/2
]são tais que {X1(t),X2(t)} é um conjunto
fundamental de soluções. (Porquê?) Assim, a solução complementar do
sistema linear homogêneo associado X ′ = A ·X é
Xc(t) = c1X1(t) + c2X2(t) = c1e3t/2
[10
3
]+ c2e
t/2
[2
1
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 80 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
A solução complementar pode ser escrita na forma
Xc(t) = c1X1(t) + c2X2(t) =
[10c1e
3t/2 +2c2et/2
3c1e3t/2 + c2e
t/2
]=
[10e3t/2 2et/2
3e3t/2 et/2
][c1c2
]Assim, Φ(t) =
[10e3t/2 2et/2
3e3t/2 et/2
]=[X1(t) X2(t)
]é uma matriz
fundamental do sistema.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 81 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução particular
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
Segundo passo - Uma solução particular do sistema dado
Para determinar uma solução particular de um sistema da forma
X ′ (t) = A ·X (t) +F (t)dispõe-se de alguns métodos:
(i) Da diagonalização, quando a matriz constante A é diagonalizável.
(ii) Dos coe�cientes indeterminados, quando quando as componentes de
F (t) são funções polinomiais, exponenciais, senoidais ou produtos dessas.
(iii) De variação de parâmetros, que se aplica a casos em que a matriz A
não é constante ou não é diagonalizável.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 82 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução particular
Método de variação de parâmetros
Considere um sistema não-homogêneo da forma
X ′ (t) = A(t) ·X (t) +F (t)
Seja
Xc (t) = Φ(t) ·C
a solução complementar do sistema homogêneo correspondente
X ′ (t) = A(t) ·X (t). O método de variação de parâmetros consiste em
buscar uma solução particular para o sistema não-homogêneo da forma
Xp (t) = Φ(t) ·U (t)
onde U (t) é uma função vetorial a ser encontrada; Φ(t) é uma matriz
fundamental do sistema homogêneo correspondente.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 83 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução particular
Método de variação de parâmetros
Como Xp (t) = Φ(t) ·U (t), tem-se que X ′p (t) = Φ′ (t) ·U (t) + Φ(t) ·U ′ (t)e
X ′ (t) = A(t) ·X (t) +F (t) ⇔Φ′ (t) ·U (t) + Φ(t) ·U ′ (t) = A(t) ·Φ(t) ·U (t) +F (t) ⇔
[Φ′ (t)−A(t) ·Φ(t)]U (t) + Φ(t) ·U ′ (t) = F (t)
Por outro lado, Xc (t) = Φ(t) ·C é tal que, para toda matriz constanteC ,
X ′c (t) = A(t) ·Xc (t) ⇔ Φ′ (t) ·C = A(t) ·Φ(t) ·C⇔ [Φ′ (t)−A(t) ·Φ(t)] ·C = 0
Logo, Φ′ (t)−A(t) ·Φ(t) = 0 e
Φ(t) ·U ′ (t) = F (t)⇔ U ′ (t) = Φ−1 (t) ·F (t)
que permite determinar uma solução particular!EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 84 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
Solução particular
Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =
[10e3t/2 2et/2
3e3t/2 et/2
]é
uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.
Sendo U (t) =
[α (t)β (t)
], U ′ (t) =
[α ′ (t)β ′ (t)
]e, pelo método de variação de
parâmetros,
U ′ (t) = Φ−1 (t) ·F (t)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 85 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
Solução particular
Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =
[10e3t/2 2et/2
3e3t/2 et/2
]é
uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.
Sendo U (t) =
[α (t)β (t)
], U ′ (t) =
[α ′ (t)β ′ (t)
]e, pelo método de variação de
parâmetros, [α ′ (t)β ′ (t)
]=
1
4e4t/2
[et/2 −2et/2−3e3t/2 10e3t/2
]·[
et/2
−et/2]
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 86 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
Solução particular
Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =
[10e3t/2 2et/2
3e3t/2 et/2
]é
uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.
Sendo U (t) =
[α (t)β (t)
], U ′ (t) =
[α ′ (t)β ′ (t)
]e, pelo método de variação de
parâmetros, [α ′ (t)β ′ (t)
]=
1
4
[e−3t/2 −2e−3t/2−3e−t/2 10e−t/2
]·[
et/2
−et/2]
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 87 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
Solução particular
Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =
[10e3t/2 2et/2
3e3t/2 et/2
]é
uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.
Sendo U (t) =
[α (t)β (t)
], U ′ (t) =
[α ′ (t)β ′ (t)
]e, pelo método de variação de
parâmetros, [α ′ (t)β ′ (t)
]=
1
4
[e−t +2e−t
−3−10
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 88 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
Solução particular
Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =
[10e3t/2 2et/2
3e3t/2 et/2
]é
uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.
Sendo U (t) =
[α (t)β (t)
], U ′ (t) =
[α ′ (t)β ′ (t)
]e, pelo método de variação de
parâmetros, [α ′ (t)β ′ (t)
]=
[3e−t/4−13/4
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 89 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
Solução particular
Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =
[10e3t/2 2et/2
3e3t/2 et/2
]é
uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.
Sendo U (t) =
[α (t)β (t)
], U ′ (t) =
[α ′ (t)β ′ (t)
]e, pelo método de variação de
parâmetros,
α ′ (t) = 3e−t/4 e β ′ (t) =−13/4
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 90 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
Solução particular
Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =
[10e3t/2 2et/2
3e3t/2 et/2
]é
uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.
Sendo U (t) =
[α (t)β (t)
], U ′ (t) =
[α ′ (t)β ′ (t)
]e, pelo método de variação de
parâmetros,
α (t) =−3e−t/4 e β (t) =−13t/4. Daí,
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 91 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
Solução particular
Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =
[10e3t/2 2et/2
3e3t/2 et/2
]é
uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.
Uma solução particular da forma Xp (t) = Φ(t) ·U (t) é
Xp (t) =
[10e3t/2 2et/2
3e3t/2 et/2
][−3e−t/4−13t/4
]=−et/2
[15/29/4
]−tet/2
[13/213/4
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 92 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros
Exemplo
Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2
y ′ =3
4x− y − et/2
⇔ X ′ =
[3 −53/4 −1
]X +
[et/2
−et/2].
Solução geral
A solução complementar é Xc(t) = Φ(t) ·C =
[10c1e
3t/2 +2c2et/2
3c1e3t/2 + c2e
t/2
].
Uma solução particular é Xp (t) =−et/2[15/29/4
]− tet/2
[13/213/4
]. Logo,
a solução geral do sistema não-homogêneo é
X (t) = c1e3t/2
[10
3
]+ c2e
t/2
[2
1
]− et/2
[15/29/4
]− tet/2
[13/213/4
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 93 / 149
Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros
Exercício
Considere o sistema não-homogêneo{x ′ = 2x +3y −7
y ′ =−x−2y +5⇔ X ′ (t) = A ·X (t) +F (t).
1. Em relação ao sistema homogêneo associado:
(a) Mostre que os autovalores de A são −1 e 1.
(b) Prove que Φ(t) =
[e−t −3et−e−t et
]é uma matriz fundamental.
(c) Determine Φ−1 (t), isto é, a matriz inversa de Φ(t).2. Em relação ao sistema não-homogêneo:
(d) Use o método de variação de parâmetros para mostrar que é
solução particular a função vetorial Xp (t) =
[−13
].
(e) Encontre a solução geral.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 94 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Preliminares
Uma série de potências em torno do ponto x0 é uma expressão da forma
+∞
∑j=0
aj (x− x0)j = a0 +a1 (x− x0) +a2 (x− x0)2 + . . .
em que x é uma variável (independente) e cada aj é uma constante.
A série de potências é dita convergente no ponto x = c , quando o limite
das somas parciais
limn→+∞
n
∑j=0
aj (c− x0)j
é um número real L. Neste caso, escreve-se+∞
∑j=0
aj (x− x0)j = L. Caso
contrário, a série de potências é dita divergente.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 95 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Preliminares
Uma série de potências em torno do ponto x0 é uma expressão da forma
+∞
∑j=0
aj (x− x0)j = a0 +a1 (x− x0) +a2 (x− x0)2 + . . .
em que x é uma variável (independente) e cada aj é uma constante.
A série de potências é dita convergente no ponto x = c , quando o limite
das somas parciais
limn→+∞
n
∑j=0
aj (c− x0)j
é um número real L. Neste caso, escreve-se+∞
∑j=0
aj (x− x0)j = L. Caso
contrário, a série de potências é dita divergente.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 95 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Preliminares
A série de potências+∞
∑n=0
an (x− x0)n = a0 +a1 (x− x0) +a2 (x− x0)2 + . . .
é convergente no ponto x = x0, pois
limn→+∞
n
∑j=0
aj (x− x0)j = limn→+∞
n
∑j=0
aj (x0− x0)j = limn→+∞
0 = 0
Nesta situação,+∞
∑n=0
an (x− x0)n =+∞
∑n=0
an (x0− x0)n = a0 +0+0+ . . . = a0
Uma pergunta natural
A série de potências+∞
∑n=0
an (x− x0)n é convergente em outros valores de x
diferentes de x0? Em caso a�rmativo, como se determina tais valores?EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 96 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Preliminares
A série de potências+∞
∑n=0
an (x− x0)n = a0 +a1 (x− x0) +a2 (x− x0)2 + . . .
é convergente no ponto x = x0, pois
limn→+∞
n
∑j=0
aj (x− x0)j = limn→+∞
n
∑j=0
aj (x0− x0)j = limn→+∞
0 = 0
Nesta situação,+∞
∑n=0
an (x− x0)n =+∞
∑n=0
an (x0− x0)n = a0 +0+0+ . . . = a0
Uma pergunta natural
A série de potências+∞
∑n=0
an (x− x0)n é convergente em outros valores de x
diferentes de x0? Em caso a�rmativo, como se determina tais valores?EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 96 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Preliminares
Para uma dada série de potências+∞
∑j=0
aj (x− x0)j pode ocorrer convergência:
(a) ou apenas em x = x0; (b) ou em qualquer x ∈ R; (c) ou somente em x
pertencente a um intervalo de x0−ρ até x0 + ρ , para algum ρ > 0.
Visando uni�car a nomenclatura, é usual indicar a ocorrência de (a) pela
notação ρ = 0; de (b) por ρ = +∞ e chamar ρ de raio de convergência.
O intervalo de (convergência) de x0−ρ até x0 + ρ , determinado pelo raio
de convergência ρ , pode ser aberto, fechado ou aberto em uma
extremidade e fechado em outra.
Existem diversos modos de determinar o raio de convergência de uma dada
série de potências. Dois critérios, particularmente simples e úteis, são
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 97 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Preliminares
Para uma dada série de potências+∞
∑j=0
aj (x− x0)j pode ocorrer convergência:
(a) ou apenas em x = x0; (b) ou em qualquer x ∈ R; (c) ou somente em x
pertencente a um intervalo de x0−ρ até x0 + ρ , para algum ρ > 0.
Visando uni�car a nomenclatura, é usual indicar a ocorrência de (a) pela
notação ρ = 0; de (b) por ρ = +∞ e chamar ρ de raio de convergência.
O intervalo de (convergência) de x0−ρ até x0 + ρ , determinado pelo raio
de convergência ρ , pode ser aberto, fechado ou aberto em uma
extremidade e fechado em outra.
Existem diversos modos de determinar o raio de convergência de uma dada
série de potências. Dois critérios, particularmente simples e úteis, são
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 97 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Preliminares
Para uma dada série de potências+∞
∑j=0
aj (x− x0)j pode ocorrer convergência:
(a) ou apenas em x = x0; (b) ou em qualquer x ∈ R; (c) ou somente em x
pertencente a um intervalo de x0−ρ até x0 + ρ , para algum ρ > 0.
Visando uni�car a nomenclatura, é usual indicar a ocorrência de (a) pela
notação ρ = 0; de (b) por ρ = +∞ e chamar ρ de raio de convergência.
O intervalo de (convergência) de x0−ρ até x0 + ρ , determinado pelo raio
de convergência ρ , pode ser aberto, fechado ou aberto em uma
extremidade e fechado em outra.
Existem diversos modos de determinar o raio de convergência de uma dada
série de potências. Dois critérios, particularmente simples e úteis, são
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 97 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
O critério da razão
A série de potências+∞
∑j=0
aj (x− x0)j é convergente em todos os valores de
x ∈ R tais que
|x− x0|<1
limn→+∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = limn→+∞
∣∣∣∣ an
an+1
∣∣∣∣Deste modo, de acordo com o critério da razão, o raio de convergência é
ρ = limn→+∞
∣∣∣∣ an
an+1
∣∣∣∣EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 98 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
O critério da raiz
A série de potências+∞
∑j=0
aj (x− x0)j é convergente em todos os valores de
x ∈ R tais que
|x− x0|<1
limn→+∞
n√|an|
= limn→+∞
|an|−1/n
Assim, de acordo com o critério da raiz, o raio de convergência é
ρ = limn→+∞
|an|−1/n
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 99 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Preliminares
Existem a derivada e a integral de�nida de uma série de potências+∞
∑n=0
an (x− x0)n = a0 +a1 (x− x0) +a2 (x− x0)2 + . . .
em todos os pontos do intervalo de convergência.
A derivação termo a termo e a integração termo a termo de uma série de
potências não altera o raio de convergência, porém pode alterar o intervalo
de convergência.
Por esta (e outras razões), em geral, a análise da convergência de uma
série de potências nos extremos do intervalo exige mais cautela.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 100 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Anteriormente, foi visto que, para todo x ∈ R, vale a representação em
série de potências
ex =+∞
∑n=0
xn
n!, senx =
+∞
∑n=0
(−1)nx2n+1
(2n+1)!, cosx =
+∞
∑n=0
(−1)nx2n
(2n)!
De�nição
Uma função f é dita analítica em x0, quando existe um intervalo aberto I ,
em torno de x0, e uma série de potências+∞
∑n=0
an (x− x0)n , com raio de
convergência ρ > 0, tal que
f (x) =+∞
∑n=0
an (x− x0)n
para todo x ∈ I .
Nesta perspectiva, as funções elementares ex , senx e cosx são analíticas
em todo x0 ∈ R.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 101 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Anteriormente, foi visto que, para todo x ∈ R, vale a representação em
série de potências
ex =+∞
∑n=0
xn
n!, senx =
+∞
∑n=0
(−1)nx2n+1
(2n+1)!, cosx =
+∞
∑n=0
(−1)nx2n
(2n)!
De�nição
Uma função f é dita analítica em x0, quando existe um intervalo aberto I ,
em torno de x0, e uma série de potências+∞
∑n=0
an (x− x0)n , com raio de
convergência ρ > 0, tal que
f (x) =+∞
∑n=0
an (x− x0)n
para todo x ∈ I .
Nesta perspectiva, as funções elementares ex , senx e cosx são analíticas
em todo x0 ∈ R.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 101 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Anteriormente, foi visto que, para todo x ∈ R, vale a representação em
série de potências
ex =+∞
∑n=0
xn
n!, senx =
+∞
∑n=0
(−1)nx2n+1
(2n+1)!, cosx =
+∞
∑n=0
(−1)nx2n
(2n)!
De�nição
Uma função f é dita analítica em x0, quando existe um intervalo aberto I ,
em torno de x0, e uma série de potências+∞
∑n=0
an (x− x0)n , com raio de
convergência ρ > 0, tal que
f (x) =+∞
∑n=0
an (x− x0)n
para todo x ∈ I .
Nesta perspectiva, as funções elementares ex , senx e cosx são analíticas
em todo x0 ∈ R.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 101 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Se S = 1+ x + x2 + x3 + . . . , então xS = x + x2 + x3 + . . . ,
(1− x)S = 1⇔ S =1
1− xe
1
1− x= 1+ x + x2 + x3 + . . .
para todo x ∈ R−{1}. Fazendo x =−t, com |t|< 1⇔ t ∈ (−1,1),obtém-se
1
1+ t= 1− t + t2− t3 + . . .
Integrando termo a termo em relação a t, de 0 até x , com x ∈ (−1,1),tem-se ∫ x
0
dt
1+ t=
t
1
∣∣∣x0− t2
2
∣∣∣∣x0
+t3
3
∣∣∣∣x0
− t4
4
∣∣∣∣x0
+ . . .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 102 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Se S = 1+ x + x2 + x3 + . . . , então xS = x + x2 + x3 + . . . ,
(1− x)S = 1⇔ S =1
1− xe
1
1− x= 1+ x + x2 + x3 + . . .
para todo x ∈ R−{1}. Fazendo x =−t, com |t|< 1⇔ t ∈ (−1,1),obtém-se
1
1+ t= 1− t + t2− t3 + . . .
Integrando termo a termo em relação a t, de 0 até x , com x ∈ (−1,1),tem-se ∫ x
0
dt
1+ t= x− x2
2+x3
3− x4
4+ . . .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 103 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Se S = 1+ x + x2 + x3 + . . . , então xS = x + x2 + x3 + . . . ,
(1− x)S = 1⇔ S =1
1− xe
1
1− x= 1+ x + x2 + x3 + . . .
para todo x ∈ R−{1}. Fazendo x =−t, com |t|< 1⇔ t ∈ (−1,1),obtém-se
1
1+ t= 1− t + t2− t3 + . . .
Integrando termo a termo em relação a t, de 0 até x , com x ∈ (−1,1),tem-se
ln(1+ x) = x− x2
2+x3
3− x4
4+ . . .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 104 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Se S = 1+ x + x2 + x3 + . . . , então xS = x + x2 + x3 + . . . ,
(1− x)S = 1⇔ S =1
1− xe
1
1− x= 1+ x + x2 + x3 + . . .
para todo x ∈ R−{1}. Fazendo x =−t, com |t|< 1⇔ t ∈ (−1,1),obtém-se
1
1+ t= 1− t + t2− t3 + . . .
Integrando termo a termo em relação a t, de 0 até x , com x ∈ (−1,1),tem-se
ln(1+ x) = x− x2
2+x3
3− x4
4+ . . . =
+∞
∑n=1
(−1)n−1
nxn
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 105 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Como, para todo x ∈ (−1,1),
ln(1+ x) =+∞
∑n=1
(−1)n−1
nxn
conclui-se que a função f (x) = ln(1+ x) é analítica em todo x ∈ (−1,1).Além disso, a mudança de variável t = x +1⇔ x = t−1, permite escrever
que
ln t =+∞
∑n=1
(−1)n−1
n(t−1)n
Deste modo, veri�ca-se que a função ϕ(x) = lnx também é analítica em
qualquer x ∈ (0,2).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 106 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Determine a solução da equação
y ′ = x2y
em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e
escreva a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
anxn.
Solução
Considere uma solução da forma y =+∞
∑n=0
anxn = a0 +a1x +a2x
2 +a3x3 + . . .
Segue que y ′ = a1 +2a2x +3a3x2 + . . . =
+∞
∑n=1
nanxn−1 e
y ′ = x2y ⇔+∞
∑n=1
nanxn−1 = x2
+∞
∑n=0
anxn. Daí,
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 107 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Determine a solução da equação
y ′ = x2y
em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e
escreva a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
anxn.
Solução
y ′ = x2y ⇔+∞
∑n=1
nanxn−1 = x2
+∞
∑n=0
anxn
⇔+∞
∑n=1
nanxn−1−
+∞
∑n=0
anxn+2 = 0
⇔ a1 +2a2x ++∞
∑n=3
nanxn−1−
+∞
∑n=0
anxn+2 = 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 108 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Determine a solução da equação
y ′ = x2y
em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e
escreva a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
anxn.
Solução
a1 +2a2x ++∞
∑n=3
nanxn−1−
+∞
∑n=0
anxn+2 = 0
A mudança de variável m = n−3⇔ n = m+3, acarreta
a1 +2a2x ++∞
∑m=0
(m+3)am+3xm+2−
+∞
∑n=0
anxn+2 = 0
Logo, a1 +2a2x ++∞
∑n=0
(n+3)an+3xn+2−
+∞
∑n=0
anxn+2 = 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 109 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Determine a solução da equação
y ′ = x2y
em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e
escreva a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
anxn.
Solução
Logo, a1 +2a2x ++∞
∑n=0
(n+3)an+3xn+2−
+∞
∑n=0
anxn+2 = 0
a1 +2a2x ++∞
∑n=0
[(n+3)an+3−an]xn+2 = 0
Disso segue que a1 = 0, a2 = 0 e, vale a relação de recorrência,
(n+3)an+3−an = 0⇔ an+3 =an
n+3, para todo n = 0,1,2,3, . . .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 110 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Determine a solução da equação
y ′ = x2y
em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e
escreva a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
anxn.
Solução
De a1 = 0, a2 = 0 e, da relação de recorrência, an+3 =an
n+3, n = 0,1,2, . . .
segue que a3 =a0
3, a4 = 0, a5 = 0, a6 =
a0
3 ·6=
a0
1 ·2 ·32, a7 = 0, a8 = 0,
a9 =a0
3 ·6 ·9=
a0
1 ·2 ·3 ·33, a10 = 0, a11 = 0,
a12 =a0
3 ·6 ·9 ·12=
a0
1 ·2 ·3 ·4 ·34, a13 = 0, a14 = 0, ... Em resumo,
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 111 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Determine a solução da equação
y ′ = x2y
em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e
escreva a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
anxn.
mostrou-se que a3k =a0
k!3k, k = 0,1,2, . . ., e que an = 0 para n 6= 3k .
A solução em série de potências de x é dada pela funçãoy = a0 +a1x +a2x
2 +a3x3 + . . .
= a0 +a0
1!31x3 +
a0
2!32x6 +
a0
3!33x9 +
a0
4!34x12 + . . .
= a0
(1+
x3
1!31+
x6
2!32+
x9
3!33+
x12
4!34+ . . .
)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 112 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Determine a solução da equação
y ′ = x2y
em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e
escreva a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
anxn.
mostrou-se que a3k =a0
k!3k, k = 0,1,2, . . ., e que an = 0 para n 6= 3k .
A solução em série de potências de x é dada pela funçãoy = a0 +a1x +a2x
2 +a3x3 + . . .
= a0 +a0
1!31x3 +
a0
2!32x6 +
a0
3!33x9 +
a0
4!34x12 + . . .
= a0
(1+
x3
1!31+
x6
2!32+
x9
3!33+
x12
4!34+ . . .
)= a0
+∞
∑n=0
x3n
n!3n
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 113 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Observação
A solução, em série de potências, de y ′ = x2y é y(x) = a0+∞
∑n=0
x3n
n!3n.
Ora, sabemos que, para todo x ∈ R, ex =+∞
∑n=0
xn
n!. Nesta função, pondo
x 7→ x3/3, tem-se
ex3/3 =
+∞
∑n=0
1
n!
(x3
3
)n
=+∞
∑n=0
x3n
n!3n
Assim, reconhecemos a função y (x) = a0ex3/3 como solução da equação.
Esta solução é a que seria obtida, v. g., pelo método do fator integrante!
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 114 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Determine a solução da equação
y ′ = x +1
y
em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e
escreva a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
anxn.
Resposta
y(x) = a0 +x
a0+a30−1
2a30x2 +
3−a306a50
x3 + . . .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 115 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Observação
Funções elementares como polinômios, exponenciais, logaritmos, senos e
cossenos (e outras relacionadas) admitem representação em série de
potências. Por outro lado, do exercício anterior, conclui-se que funções
de�nidas por série de potências formam uma classe mais abrangente de
funções, que são distintas das funções elementares.
Deste modo, quando se encontra uma equação (diferencial), cujas soluções
não podem ser expressas em termos de funções elementares, deve-se
contentar em expressar a solução como uma integral, ou como uma
aproximação numérica ou como uma série de potências (em torno de algum
ponto).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 116 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Então, saber encontrar uma solução em série de potências e conhecer suas
propriedades são fundamentais, uma vez que existem equações importantes
cujas soluções são funções de�nidas por série de potências.
Exemplo
y(x) = 1+Γ(γ)
Γ(α)Γ(β )
+∞
∑n=1
Γ(α +n)Γ(β +n)
n!Γ(γ +n)xn é solução da equação hiper-
geométrica x (1− x)y ′′+ [γ− (α + β +1)x ]y ′−αβy = 0, com α , β e γ
parâmetros �xos. A função y(x) é chamada de função hipergeométrica ga-
ussiana, sendo indicada pelo símbolo F (α;β ;γ;x). A equação hipergeomé-
trica é uma equação genérica cujas soluções incluem as funções especiais
de Legendre (referente à dependência latitudinal em coordenadas esféricas),
Chebyshev (relativa à teoria da aproximação e �ltros), Gegenbauer (referen-
te à eletrostática ultraesférica) e Jacobi (relativa a polinômios ortogonais).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 117 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Suponha que a edo linear de primeira ordem
a1 (x)y ′+a0 (x)y = g (x) (5)seja colocada na forma padrão
y ′+P (x)y = f (x) (6)
De�nição
Os valores de x para os quais a1 (x) = 0 são chamados pontos singulares da
equação.
Observação
Os pontos singulares são potencialmente perturbadores. Especi�camente,
em (6), se P (x)≡ a0 (x)/a1 (x) for descontínua em um ponto, a
descontinuidade poderá ser transportada para as soluções da equação
diferencial.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 118 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Suponha que a edo linear de primeira ordem
a1 (x)y ′+a0 (x)y = g (x) (5)seja colocada na forma padrão
y ′+P (x)y = f (x) (6)
De�nição
Os valores de x para os quais a1 (x) = 0 são chamados pontos singulares da
equação.
Observação
Os pontos singulares são potencialmente perturbadores. Especi�camente,
em (6), se P (x)≡ a0 (x)/a1 (x) for descontínua em um ponto, a
descontinuidade poderá ser transportada para as soluções da equação
diferencial.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 118 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Determine a solução da equação xy ′− y = x ⇔ y ′− 1
xy = 1 em série de
potências de x−1. Se possível, ache uma relação de recorrência e escreva
a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
an(x−1)n.
Solução
Note que a equação diferencial possui um ponto singular em x = 0. A
técnica do fator integrante conduz à solução y = x lnx +kx , k ∈ R , que é
descontínua em x = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 119 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Solução:
Da série de potências y (x) =+∞
∑n=0
an(x−1)n, obtém-se
y ′ (x) =+∞
∑n=1
nan(x−1)n−1 =+∞
∑n=0
(n+1)an+1(x−1)n.
Como x = (x−1) +1, decorre que
x = xy ′− y ⇔ 1+ (x−1) = (x−1)y ′+ y ′− y e, por conseguinte,
1+ (x−1) =+∞
∑n=1
nan(x−1)n ++∞
∑n=0
(n+1)an+1(x−1)n−+∞
∑n=0
an(x−1)n
= a1 (x−1) ++∞
∑n=2
nan(x−1)n +a1 +2a2 ++∞
∑n=2
(n+1)an+1(x−1)n
−a0−a1 (x−1)−+∞
∑n=2
an(x−1)n. Assim, a1 = 1+a0, a2 = 1/2 e
nan + (n+1)an+1−an = 0⇔ an+1 =1−n
1+nan, n ≥ 2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 120 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Determine a solução da equação xy ′− y = x ⇔ y ′− 1
xy = 1 em série de
potências de x−1. Se possível, ache uma relação de recorrência e escreva
a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
an(x−1)n.
Solução
Porque a1 = 1+a0, a2 = 1/2 e vale a relação de recorrência
an+1 =1−n
1+nan, para n ≥ 2, tem-se a3 =−1
3a2, a4 =−2
4a3, ... e a série
y (x) = a0 +a1 (x−1) +a2 (x−1)2 + . . . , solução da equação, é dada por
y(x) = a0 + (1+a0)(x−1) +(x−1)2
2− (x−1)3
6+
(x−1)4
12− . . .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 121 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Suponha que a edo linear de segunda ordem
a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão
y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)
De�nição
Diz-se que x0 é um ponto ordinário da equação (7) se tanto
P (x)≡ a1 (x)/a2 (x) quanto Q (x)≡ a0 (x)/a2 (x) na forma padrão forem
analíticas em x0. Um ponto singular da equação é um ponto que não é
ordinário.
Teorema de existência de soluções em série de potências
Se x = x0 é um ponto ordinário da equação (7), então é sempre possível
encontrar duas soluções linearmente independentes na forma de série de
potências, centradas em x0, com raio de convergência ρ > 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 122 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Suponha que a edo linear de segunda ordem
a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão
y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)
De�nição
Diz-se que x0 é um ponto ordinário da equação (7) se tanto
P (x)≡ a1 (x)/a2 (x) quanto Q (x)≡ a0 (x)/a2 (x) na forma padrão forem
analíticas em x0. Um ponto singular da equação é um ponto que não é
ordinário.
Teorema de existência de soluções em série de potências
Se x = x0 é um ponto ordinário da equação (7), então é sempre possível
encontrar duas soluções linearmente independentes na forma de série de
potências, centradas em x0, com raio de convergência ρ > 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 122 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Determine a solução da equação (de Airy) y ′′− xy = 0 em série de
potências de x−1. Se possível, ache uma relação de recorrência e escreva
a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
an (x−1)n.
Solução
Note que x0 = 1 é um ponto ordinário da equação. Da série de potências,
y (x) =+∞
∑n=0
an(x−1)n, obtém-se y ′ (x) =+∞
∑n=1
nan(x−1)n−1 e
y ′′ (x) =+∞
∑n=2
n (n−1)an(x−1)n−2. Como x = (x−1) +1, decorre que
0 = y ′′− xy = y ′′− (x−1)y − y e, por conseguinte,
0 =+∞
∑n=2
n (n−1)an(x−1)n−2−+∞
∑n=0
an(x−1)n+1−+∞
∑n=0
an(x−1)n. Daí,
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 123 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
0 = 2a2 ++∞
∑n=3
n (n−1)an(x−1)n−2 −+∞
∑n=0
an(x−1)n+1
n = m+3⇔m = n−3
m 7→ n
−a0 −+∞
∑n=1
an(x−1)n
n = m+1⇔m = n−1
m 7→ n
= 2a2−a0 ++∞
∑n=0
(n+3)(n+2)an+3(x−1)n+1−+∞
∑n=0
an(x−1)n+1
−+∞
∑n=0
an+1(x−1)n+1
= 2a2−a0 ++∞
∑n=0
[(n+3)(n+2)an+3−an−an+1] (x−1)n+1. Assim,
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 124 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Determine a solução da equação (de Airy) y ′′− xy = 0 em série de
potências de x−1. Se possível, ache uma relação de recorrência e escreva
a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
an (x−1)n.
a2 =a0
2e (n+3)(n+2)an+3 = an +an+1, n ≥ 0, é a relação de recorrência.
Em particular, a3 =a0
6+a1
6, a4 =
a1
12+
a2
12, a5 =
a2
20+
a3
20, ... A série,
solução da equação, y (x) = a0 +a1 (x−1) +a2 (x−1)2 +a3 (x−1)3 + . . . ,é dada por
y(x) = a0
[1+
(x−1)2
2+
(x−1)3
6+
(x−1)4
24+
(x−1)5
30+ . . .
]+a1
[(x−1) +
(x−1)3
6+
(x−1)4
12+
(x−1)5
120+ . . .
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 125 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exemplo
Uma equação não-linear clássica que ocorre no estudo do comportamento
termal de uma nuvem esférica é a equação de Emden
y ′′+2
xy + yα = 0
com condições iniciais y (0) = 1 e y ′ (0) = 0. Embora x = 0 não seja um
ponto ordinário para essa equação (que é não-linear para α 6= 1), acontece
que existe uma solução analítica em x = 0.
Supondo que α é um inteiro positivo, uma solução em série de potências
da equação é a função (não elementar)
y (x) = 1− x2
3!+n
x4
5!+ . . .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 126 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Suponha que a edo linear de segunda ordem
a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão
y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)
De�nição
Um ponto singular x0 é dito ponto singular regular da equação (7) se as
funções p (x) = (x− x0)P (x) e q (x) = (x− x0)2Q (x) forem ambas
analíticas em x0. Um ponto singular que não seja regular é chamado ponto
singular irregular da equação.
Observação
Note que, se x0 é um ponto singular regular, a equação original pode ser
posta na forma (x− x0)2 y ′′+ (x− x0)p (x)y ′+q (x)y = 0, onde p (x) e
q (x) são analíticas em x0.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 127 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Suponha que a edo linear de segunda ordem
a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão
y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)
Teorema de Frobenius
Se x0 é um ponto singular regular da equação (7), então existirá pelo
menos uma solução, com raio de convergência ρ > 0, da forma
y (x) = (x− x0)r ·+∞
∑n=0
an (x− x0)n = ∑n≥0
an (x− x0)n+r
onde r é uma constante a ser determinada.
Observação
A equação envolvendo r é chamada equação indicial, e os valores soluções
dela são ditos raízes indiciais ou expoentes da singularidade x0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 128 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Suponha que a edo linear de segunda ordem
a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão
y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)
Teorema de Frobenius
Se x0 é um ponto singular regular da equação (7), então existirá pelo
menos uma solução, com raio de convergência ρ > 0, da forma
y (x) = (x− x0)r ·+∞
∑n=0
an (x− x0)n = ∑n≥0
an (x− x0)n+r
onde r é uma constante a ser determinada.
Observação
Se a raiz indicial r não é um inteiro não-negativo, a solução correspondente
y = ∑n≥0
an (x− x0)n+r não será uma série de potências.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 129 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Suponha que a edo linear de segunda ordem
a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão
y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)
Resumo
ponto x0
ordinário
singular
{regular
irregular
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 130 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0, usando séries.
Solução
Note que
2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0 ⇔ y ′′+
(1
2x+
1
2
)y ′+
1
2xy = 0
⇔ (x−0)2 y ′′+ (x−0)
(1
2+x
2
)y ′+
x
2y = 0
e as funções p (x)≡ 1
2+x
2e q (x)≡ x
2são analíticas em x0 = 0. Assim,
x0 = 0 é um ponto singular regular e uma solução deve ser alcançada
através do teorema (ou método) de Frobenius.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 131 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0, usando séries.
De y =+∞
∑n=0
anxn+r = a0x
r +a1xr+1 +a2x
r+2 +a3xr+3 + . . . segue que
y ′ =+∞
∑n=0
(n+ r)anxn+r−1, y ′′ =
+∞
∑n=0
(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−2 e
0 = 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y
= 2 ∑n≥0
(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−1
+ ∑n≥0
(n+ r)anxn+r−1 + ∑
n≥0(n+ r)anx
n+r + ∑n≥0
anxn+r
0 = 2r (r −1)a0xr−1 +2
+∞
∑n=1
(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−1
+ra0xr−1 +
+∞
∑n=1
(n+ r)anxn+r−1 +
+∞
∑n=0
(n+ r)anxn+r +
+∞
∑n=0
anxn+r .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 132 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0, usando séries.n = m+1⇔m = n−1
m 7→ n
0 = 2r (r −1)a0xr−1 +2
+∞
∑n=1
(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−1
+ra0xr−1 +
+∞
∑n=1
(n+ r)anxn+r−1 +
+∞
∑n=0
(n+ r)anxn+r +
+∞
∑n=0
anxn+r
= r (2r −1)a0xr−1 +2
+∞
∑n=0
(n+1+ r)(n+ r)an+1xn+r
++∞
∑n=0
(n+1+ r)an+1xn+r +
+∞
∑n=0
(n+ r +1)anxn+r
= r (2r −1)a0xr−1 +
+∞
∑n=0
(n+ r +1) [(2n+2r +1)an+1 +an]an+1xn+r .
Daí,
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 133 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0, usando séries.
r (2r −1) = 0 é a equação indicial. r = 0 ou r = 1/2 são os expoentes da
singularidade x0 = 0. (n+ r +1) [(2n+2r +1)an+1 +an] = 0, n ≥ 0, é a
relação de recorrência.
(i) Para r = 0, an+1 =− an
2n+1, para n ≥ 0. Assim, a1 =−a0, a2 =
a0
1 ·3,
a3 =− a0
1 ·3 ·5, a4 =
a0
1 ·3 ·5 ·7, a5 =− a0
1 ·3 ·5 ·7 ·9, ... e, por indução,
an =(−1)n a0
1 ·3 ·5 · . . . · (2n−1), para todo n ≥ 1. Neste caso, uma solução é a
série (de potências) y1 = x0 ·[1+
+∞
∑n=1
(−1)n
1 ·3 ·5 · . . . · (2n−1)xn].
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 134 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0, usando séries.
r (2r −1) = 0 é a equação indicial. r = 0 ou r = 1/2 são os expoentes da
singularidade x0 = 0. (n+ r +1) [(2n+2r +1)an+1 +an] = 0, n ≥ 0, é a
relação de recorrência.
(ii) Para r = 1/2, an+1 =− an
2(n+1), para n ≥ 0. Assim, a1 =− a0
2 ·1,
a2 =a0
22 ·1 ·2, a3 =− a0
23 ·1 ·2 ·3, a4 =
a0
24 ·1 ·2 ·3 ·4, a5 =− a0
25 ·5!, ... Por
indução, an =(−1)n a02n ·n!
, para todo n ≥ 1. Neste caso, uma solução é a
série y2 = x1/2 ·[1+
+∞
∑n=1
(−1)n
2n ·n!xn]
=+∞
∑n=0
(−1)n
2n ·n!xn+1/2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 135 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0, usando séries.
O desenvolvimento precedente permitiu obter duas soluções da equação, a
saber,
y1 = 1++∞
∑n=1
(−1)n
1 ·3 ·5 · . . . · (2n−1)xn e
y2 = x1/2[1+
+∞
∑n=1
(−1)n
2n ·n!xn]
=+∞
∑n=0
(−1)n
2n ·n!xn+1/2.
Baseado na forma dessas soluções, nenhuma das séries é um múltiplo
constante da outra. Logo, {y1,y2} é um conjunto fundamental de soluções
e, pelo princípio da superposição, a solução geral da equação é
y = c1 ·[1+
+∞
∑n=1
(−1)n
1 ·3 ·5 · . . . · (2n−1)xn]
+ c2 ·+∞
∑n=0
(−1)n
2n ·n!xn+1/2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 136 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Suponha que a edo linear de segunda ordem
a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão
y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)
Seja x0 um ponto singular regular de (7). Suponha que as raízes indiciais
desta singularidade r1 e r2, r1 ≥ r2, sejam números reais. Ao usar o método
de Frobenius, distinguem-se três casos:
(i) r1 e r2 são distintos e não diferem por um inteiro positivo .
Neste caso, há duas soluções y1 =+∞
∑n=0
xn+r1 e y2 =+∞
∑n=0
xn+r2 ; y1 não é
múltiplo constante de y2; {y1,y2} é um conjunto fundamental de soluções;
a solução geral é da forma
y (x) = c1 · x r1+∞
∑n=0
xn + c2 · x r2+∞
∑n=0
xn = (c1 · x r1 + c2 · x r2) ·+∞
∑n=0
xn
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 137 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Suponha que a edo linear de segunda ordem
a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão
y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)
Seja x0 um ponto singular regular de (7). Suponha que as raízes indiciais
desta singularidade r1 e r2, r1 ≥ r2, sejam números reais. Ao usar o método
de Frobenius, distinguem-se três casos:
(ii) r1 e r2 são iguais.
Neste caso, há apenas uma solução y1 =+∞
∑n=0
xn+r1 . Uma outra solução y2
pode ser obtida a partir do método de redução de ordem, usando
y2 = u · y1 = y1 (x)∫
e−∫P(x)dx
[y1 (x)]2dx . O conjunto {y1,y2} será linearmente
independente e a solução geral será uma combinação linear de y1 e y2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 138 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Suponha que a edo linear de segunda ordem
a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão
y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)
Seja x0 um ponto singular regular de (7). Suponha que as raízes indiciais
desta singularidade r1 e r2, r1 ≥ r2, sejam números reais. Ao usar o método
de Frobenius, distinguem-se três casos:
(iii) r1 e r2 são distintos e diferem por um inteiro positivo.
Neste caso, pode-se encontrar ou não duas soluções linearmente indepen-
dentes. Se eventualmente apenas uma solução y1 for obtida, uma outra
solução y2 pode ser obtida a partir do método de redução de ordem, usando
y2 = u · y1 = y1 (x)∫
e−∫P(x)dx
[y1 (x)]2dx . O conjunto {y1,y2} será linearmente
independente e a solução geral será uma combinação linear de y1 e y2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 139 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.
Solução
Note que
xy ′′+ y = 0 ⇔ y ′′+1
xy = 0
⇔ (x−0)2 y ′′+ (x−0) ·1 · y = 0e as funções p (x)≡ 0 e q (x)≡ 1 são analíticas em x0 = 0. Assim, x0 = 0 é
um ponto singular regular e uma solução deve ser alcançada através do
teorema (ou método) de Frobenius.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 140 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.
De y =+∞
∑n=0
anxn+r = a0x
r +a1xr+1 +a2x
r+2 +a3xr+3 + . . . segue que
y ′ =+∞
∑n=0
(n+ r)anxn+r−1, y ′′ =
+∞
∑n=0
(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−2 e
0 = xy ′′+ y
= ∑n≥0
(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−1 + ∑
n≥0anx
n+r
= r (r −1)a0xr−1 +
+∞
∑n=1
(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−1 +
+∞
∑n=0
anxn+r
= r (r −1)a0xr−1 +
+∞
∑n=0
(n+1+ r)(n+ r)an+1xn+r +
+∞
∑n=0
anxn+r
= r (r −1)a0xr−1 +
+∞
∑n=0
[(n+1+ r)(n+ r)an+1 +an]xn+r . Daí,
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Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.
r (r −1) = 0 é a equação indicial. r = 0 ou r = 1 são os expoentes da
singularidade x0 = 0, que diferem por um inteiro positivo.
(n+ r +1)(n+ r)an+1 +an = 0, n ≥ 0, é a relação de recorrência.
(i) Para r = 0, (n+1)nan+1 =−an, para n≥ 0. Assim, a0 = 0, a2 =− a1
1 ·2,
a3 =a1
1 ·2 ·2 ·3, a4 =− a1
1 ·2 ·3 ·2 ·3 ·4, a5 =
a1
1 ·2 ·3 ·4 ·2 ·3 ·4 ·5, ... Por
indução, an =(−1)n−1 a1(n−1)! ·n!
, para todo n ≥ 2. Neste caso, uma solução é a
série (de potências) y1 = x0 ·
[x +
+∞
∑n=2
(−1)n−1
(n−1)! ·n!xn
].
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Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.
r (r −1) = 0 é a equação indicial. r = 0 ou r = 1 são os expoentes da
singularidade x0 = 0, que diferem por um inteiro positivo.
(n+ r +1)(n+ r)an+1 +an = 0, n ≥ 1, é a relação de recorrência.
(ii) Para r = 1, (n+2)(n+1)an+1 =−an, para n ≥ 0. Assim, a1 =− a0
1 ·2,
a2 =a0
1 ·2 ·2 ·3, a3 =− a0
1 ·2 ·3 ·2 ·3 ·4, a4 =
a0
1 ·2 ·3 ·4 ·2 ·3 ·4 ·5, ... Por
indução, an =(−1)n a0
n! · (n+1)!, para todo n ≥ 1. Uma solução é a série (de
potências) y2 = x1 ·[1+
+∞
∑n=1
(−1)n
n! · (n+1)!xn]
= x ++∞
∑n=2
(−1)n−1
(n−1)! ·n!xn = y1.
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Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.
A partir de y1 = x ++∞
∑n=2
(−1)n−1
(n−1)! ·n!xn =
+∞
∑n=1
(−1)n−1
(n−1)! ·n!xn
= x− x2
2+x3
12− x4
144+
x5
2880− . . .
uma segunda solução pode ser construída pelo método de redução de
ordem, usando
y2 = u · y1 (x) = y1 (x)∫
e−∫P(x)dx
[y1 (x)]2dx .
Como P (x) = 0, y2 = y1 (x) ·∫
1
[y1 (x)]2dx . Ora,
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Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.
y1 = x− x2
2+x3
12− x4
144+
x5
2880− . . .
x− x2
2+x3
12− x4
144+
x5
2880− . . .
[y1 (x)]2 = x2 +
(−1
2− 1
2
)x3 +
(1
12+
3
12+
1
12
)x4
+
(− 6
144− 6
144− 1
144− 1
144
)x5 + . . .
= x2− x3 +5
12x4− 7
72x5 + . . . e
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Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
1 x2− x3 + 512x4− 7
72x5 + . . .
−1+ x− 512x2 + 7
72x3 + . . . 1
x2+ 1
x+ 7
12+ 19
72x + . . .
x− 512x2 + 7
72x3 + . . . Assim, 1
[y1(x)]2 = 1
x2+ 1
x+ 7
12+ 19
72x + . . .
−x + 1212x2− 30
72x3 + 7
72x4− . . . e, por conseguinte,
712x2− 23
72x3 + . . .
∫1
[y1(x)]2 dx =− 1
x+ lnx
− 712x2 + 42
72x3− . . . + 7
12x + 19
144x2 + . . .
1972x3 + . . . Como y2 (x) = y1 (x) ·
∫1
[y1(x)]2 dx
segue que
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Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.
y2 (x) = y1 (x) lnx + y1 (x)
[−1
x+
7
12x +
19
144x2 + . . .
]Lembrando que
y1 (x) =+∞
∑n=1
(−1)n−1
(n−1)! ·n!xn = x− x2
2+x3
12− x4
144+
x5
2880− . . .
conclui-se que a solução geral da equação é dada por
y (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x)
= y1 (x) ·{c1 + c2
[lnx +
(−1
x+
7
12x +
19
144x2 + . . .
)]}EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 147 / 149
Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências
Exercício
Determine a solução da equação (de Airy)
y ′′− xy = 0
em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e
escreva a série na forma (compacta)+∞
∑n=n0
anxn.
Exercício
Resolva a equação dada, usando séries.
(a) 9x2y ′′+9x2y ′+2y = 0.
(b) xy ′′− xy ′+ y = 0.
(c) xy ′′+ (1− x)y ′− y = 0.
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Leitura Recomendada I
Abunahman, S. A.
Equações diferenciais.
Rio de Janeiro: EDC, 1989.
Boyce, W. E. e Diprima, R. C.
Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno.
Rio de Janeiro: LTC, 2002.
Edwards, C. H. e Penney, D. E.
Equações diferenciais elementares com problemas de contorno.
Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1995.
Zill, D. G.
Equações diferenciais: com aplicações em modelagem.
São Paulo: Pioneira Thomson, 2003.
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