ensembles de test et morphismes sans répétition francis wlazinski - gwénaël richomme
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Ensembles de test etEnsembles de test etmorphismes sans répétitionmorphismes sans répétition
Francis Wlazinski - Gwénaël Richomme
2
IntroductionIntroduction
• Alphabet ensemble fini de symboles (lettres)Exemples : {} {0,1}
{a,b,c} {a,b}
Exemples : abaca abbabaabbaababbabaababbaabbabaabbaababbaabb a
• Mot suite finie de lettres
• C’est de l’informatique ???
(ASCII binaire) 1000011010011111001011110011111010001000
001100100110010101000001101100010011111010011101110
110011011011111110010110110111000011110100110100111
10001111010111001010100000011111101111110111111
• ADN
Applications de la combinatoire des mots :
- compression de données
- biologie : recherche de séquences
- systèmes distribués, calcul parallèle
- compilateurs
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de ababacaba
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de abaababacaba
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de ababaabacaba
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de ababacabaaba
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de ababacaba
• Répétitions :
Chevauchement
Puissance k
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de ababacaba
• Répétitions :
Chevauchement : x u x u x avec x A et u A*
Puissance k
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de ababacaba
• Répétitions :
Chevauchement : x u x u x avec x A et u A*Exemples : abcabca ou aaa
Puissance k
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de ababacaba
• Répétitions :
Chevauchement : x u x u x avec x A et u A*Exemples : aa bcbc aa bcbc aa ou aaa
Puissance k
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de ababacaba
• Répétitions :
Chevauchement : x u x u x avec x A et u A*Exemples : abcabca ou a a aa a a
Puissance k
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de ababacaba
• Répétitions :
Chevauchement : x u x u x avec x A et u A*Exemples : abcabca ou aaa
Puissance k : uk avec u A+ A*\{} et k *Exemples : abab k carré
ababab k cubeabababab k puissance 4
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de ababacaba
• Répétitions :
Chevauchement : x u x u x avec x A et u A*Exemples : abcabca ou aaa
Puissance k : uk avec u A+ A*\{} et k *Exemples : ab abab ab k carré
ababab k cubeabababab k puissance 4
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de ababacaba
• Répétitions :
Chevauchement : x u x u x avec x A et u A*Exemples : abcabca ou aaa
Puissance k : uk avec u A+ A*\{} et k *Exemples : abab k carré
ab ab abab ab ab k cubeabababab k puissance 4
• A* monoïde libre engendré par l’alphabet A.
• u facteur de v v p u s avec p,s A*Exemple : aba est facteur de ababacaba
• Répétitions :
Chevauchement : x u x u x avec x A et u A*Exemples : abcabca ou aaa
Puissance k : uk avec u A+ A*\{} et k *Exemples : abab k carré
ababab k cubeab ab ab abab ab ab ab k puissance 4
ab abab ab ba est un mot sans chevauchement
• Mots sans chevauchement, mots sans carré, mots sans cube, mots sans puissance k.
f (bb aacacbaacacb)
f (b) f (aacacb)
f (b) f (a acacba acacb) f (b) f (a) f (acacb)
f (b) f (a) f (a) f (c) f (a) f (c) f (b)
f (baacacb)
Exemple :
• Morphisme : f : A* B* vérifiant f (u v) f (u) f (v) u,v A*
Exemple : soit f un morphisme défini sur {a,b,c}*
ababba est un mot sans chevauchementababba est un mot sans chevauchement
• Exemples de morphismes :
Le morphisme de Thue-Morse : {a,b}* {a,b}* a ab
b ba(abba) ab abbaba
Le morphisme de Fibonacci (a) ab et (b) a
Morphismes qui préservent l’absence d’une répétition
Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition
Morphismes qui préservent l’absence d’une répétitionMorphismes qui préservent l’absence d’une répétition
Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition
• Morphisme sans chevauchement : morphisme qui préserve l’absence de chevauchement
Exemples :
le morphisme (échange) E : {a,b}* {a,b}* a b b a
est sans chevauchement.
le morphisme de Thue-Morse est sans chevauchement
(Thue 1912).
le morphisme de Fibonacci n’est pas sans chevauchement :
bba sans chevauchement
(bba) a a aa a ab
chevauchementchevauchement chevauchementchevauchement
• Morphisme sans : morphisme qui préserve l’absence de
Exemples :
le morphisme (échange) E : {a,b}* {a,b}* a b b a
est sans chevauchement.
le morphisme de Thue-Morse est sans chevauchement
(Thue 1912).
le morphisme de Fibonacci n’est pas sans chevauchement :
bba sans chevauchement
(bba) a a aa a ab
• Morphisme sans : morphisme qui préserve l’absence de
carrécarré carrécarré
cubecube cubecube
• Morphisme sans : morphisme qui préserve l’absence de
puissance puissance kk puissance puissance kk
• Morphisme sans : morphisme qui préserve l’absence de
le morphisme de Thue-Morse est sans puissance k pour
tout entier k 2 (Brandenburg 1983).
Exemples :
le morphisme échange sur {a,b}* est sans puissance k
pour tout entier k 2.
le morphisme d’Istrail défini par
h(a) abc, h(b) ac et h(c) b n’est pas sans carré :
aba sans carréh(aba) abc ac ac ac abc
• T ensemble de test fini pour morphismes
sans de A* vers B*: chevauchement
f sans chevauchement f (T) sans chevauchement
f : A* B*,
Exemple : {a,aa} est un ensemble de test pour les morphismes sans chevauchement de {a}* vers B*.
• T ensemble de test fini pour morphismes
sans de A* vers B*: chevauchement
f sans chevauchement f (T) sans chevauchement
f : A* B*,
Exemple : {aa} est un ensemble de test pour les morphismes sans chevauchement de {a}* vers B*.
• T ensemble de test fini pour morphismes
sans de A* vers B*: chevauchementchevauchement
f sans chevauchementchevauchement f (T) sans chevauchementchevauchement
f : A* B*,
Exemple : {aa} est un ensemble de test pour les morphismes sans chevauchement de {a}* vers B*.
• T ensemble de test fini pour morphismes
sans de A* vers B*: carrécarré
f sans carrécarré f (T) sans carrécarré
f : A* B*,
Exemple : {a} est un ensemble de test pour les morphismes sans carré de {a}* vers B*.
• T ensemble de test fini pour morphismes
sans de A* vers B*: cubecube
f sans cubecube f (T) sans cubecube
f : A* B*,
Exemple : {aa} est un ensemble de test pour les morphismes sans cube de {a}* vers B*.
• T ensemble de test fini pour morphismes
sans de A* vers B*: puissance puissance kk
f sans puissance puissance kk f (T) sans puissance puissance kk
f : A* B*,
Exemple : {a k} est un ensemble de test pour les
morphismes sans puissance k de {a}* vers B*.
Morphismes sans
Carré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2 > 2 1 2 > 2< Card A Cro 82 Cro 82 Lec 85 ? ?
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 RS 99 ? Lec 85 ? ? ?
> Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? ? ?
Nombre fini de mots et/ou de morphismes
Inexistence d'ensemble de test fini
Existence d'un ensemble de test fini
Caractérisation de tous les ensembles de test finis
Ensembles de test finis
Morphismes sans
Carré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2 > 2 1 2 > 2< Card A Cro 82 Cro 82 Lec 85 ? ?
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 RS 99 ? Lec 85 ? ? ?
> Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? ? ?
Morphismes uniformes sansCarré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2&3 > 3 1 2&3 > 3< Card A Cro 82 Cro 82 Lec 85 ? Lec 85 ?
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? Lec 85 ?
> Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? Lec 85 ?
Ensembles de test finis
Morphismes qui préservent l’absence d’une répétition
Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition
Morphismes sans chevauchement
Morphismes uniformes sans chevauchement
Morphismes sans cube
Morphismes sans puissance k
Morphismes qui préservent l’absence d’une répétition
Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition
Morphismes sans chevauchementMorphismes sans chevauchement
Morphismes uniformes sans chevauchement
Morphismes sans cube
Morphismes sans puissance k
37
Morphismes sans chevauchementMorphismes sans chevauchement
PropositionSi Card(B) Card(A) 3, il n'y a pas d'ensemble de test fini pour morphismes sans chevauchement de A* vers B*.
Idée de la preuve u{a,b}* tel que a u a sans chevauchement.f u : {a,b,c}* {a,b,c}* f u(a) abc, f u(b) bca et f u(c) cababc f u(u) abccaab.
w mot sans chevauchement sur {a,b,c},
f u(w) contient un chevauchement c a u a c facteur de w.
Proposition
f : {a,b}* B* non-effaçant.f (TB) sans chevauchement f sans chevauchement
TB {aba, bab, abba, baab}.
ThéorèmeCard(B) 3 et T {a,b}*.T ensemble de test pour morphismes sans chevauchement non-effaçants de {a,b}* vers B*
• wT, w sans chevauchement • TB Fact(T).
Corollaire
Card(B) 3 et T {a,b}*.T ensemble de test pour morphismes sans chevauchement de {a,b}* vers B*
Corollairef : {a,b}* B* avec Card(B) 3.f sans chevauchement
sans chevauchement
• wT, w sans chevauchement. • TB Fact(T). • uT / |u|a 3. • vT / |v|b 3.
TB {aba, bab, abba, baab}.
f (abbabaab)f (abbabaabaab)f (abbabbabaab)f (abbaabbabaab)f (abbabaabbaab)f (abbabaab)
• wT, w sans chevauchement. • TB Fact(T).
• • uuTT / | / |uu||aa 3. 3.
• • vvTT / | / |vv||bb 3. 3.
• wT, w sans chevauchement. • TB Fact(T). • uT / |u|a 3. • vT / |v|b 3.
Morphismes qui préservent l’absence d’une répétition
Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition
Morphismes sans chevauchement
Morphismes uniformes sans chevauchementMorphismes uniformes sans chevauchement
Morphismes sans cube
Morphismes sans puissance k
41
Morphismes uniformes sans Morphismes uniformes sans chevauchementchevauchement
Théorème
Card(B) Card(A) 3 et T A*.T ensemble de test pour morphismes uniformes sans chevauchement de A* vers B*
• wT, w sans chevauchement. • TU Fact(T).
TU1 { xw0x | x A, w0 A* et a A, |xw0|a 1}
x,y, A et w1,w2 A*
TU2 xw1w2y a A, |w1w2 |a 1
|w1| |w2| 1, |w2|x 0 |w1|y
TU TU1 TU2
où A alphabet
Corollaire
Card(B) Card(A) 3 et f : A* B* uniforme.
f sans chevauchement f sans chevauchement jusqu'à Card(A) 2.
Théorème
T {a,b}*.T ensemble de test pour morphismes uniformes sans chevauchement de {a,b}* vers B*
(si Card(B) 2)
• {ab,ba} Fact(T) • {aa,bb} Fact(T) • {aab,bba,ababb,babaa} Fact(T) • {baa,abb,bbaba,aabab} Fact(T)
(si Card(B) 2)
• {aa,bb,aba,bab} Fact(T) • {aab,bba,ababb,babaa} Fact(T) • {baa,abb,bbaba,aabab} Fact(T)
CorollaireCard(B) Card(A) 2 et f : A* B* uniforme.
f sans chevauchement f sans chevauchement jusqu'à 3.
Corollairef : {a,b}* {a,b}* uniforme.f sans chevauchement f (abba) sans chevauchement
Corollairef : {a,b}* B* uniforme et Card(B) 3.f sans chevauchement
f (aababb) sans chevauchement
Morphismes qui préservent l’absence d’une répétition
Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition
Morphismes sans chevauchement
Morphismes uniformes sans chevauchement
Morphismes sans cubeMorphismes sans cube
Morphismes sans puissance k
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w mot sans cube sur A,
f u,v(w) contient un cube a v a u a facteur de w.
Morphismes sans cubeMorphismes sans cube
PropositionSi Card(A) 3 et Card(B) 2, il n'y a pas d'ensemble de test fini pour morphismes sans cube de A* vers B*.
Idée de la preuve aA, x,y,zA et u,v(A\{a})* sans cube tels que (u,v) . f u,v : A* (A\{a} {x,y,z})* f u,v(a) x (z y u x y v x)2 z y et f u,v(b) b b A\{a}.
w mot sans cube sur A,
f u,v(w) contient un cube aa vv aa uu aa facteur de w.
Tmin {abbabba, ababba, abbaba, aabba, abbaa, ababa, baabaab, babaab, baabab, bbaab, baabb, babab}
ThéorèmeT {a,b}*.T ensemble de test pour morphismes sans cube de {a,b}* vers B*
• wT, w sans cube • Tmin Fact(T).
Corollairef : {a,b}* B*
f sans cube f (aabbababbabbaabaababaabb) sans cube
Corollaire (Leconte 85)f : {a,b}* B*
f sans cube
f sans cube jusqu’à 7.
Les images par f de tous les mots sans cube de longueur 7 sont sans cube.
Morphismes qui préservent l’absence d’une répétition
Morphismes qui engendrent des mots sans une répétition
Morphismes sans chevauchement
Morphismes uniformes sans chevauchement
Morphismes sans cube
Morphismes sans puissance Morphismes sans puissance kk
50
Morphismes sans puissance Morphismes sans puissance kk
Proposition
Si Card(A) 3 et Card(B) 2, il n'y a pas d'ensemble de
test fini pour morphismes sans puissance k de A* vers B*.
Idée de la preuve
aA, x,y,zA et u,v(A\{a})* sans puissance k
f u,v : A* (A\{a} {x,y,z})*
a x(z y u x y v x)k1 z y
b b b A\{a}.
• (tk)k 2 est la suite d'entiers définie par :
t2 3 tk si k 4 est pair
t3 4 tk si k 5 est
impair
Définitions
• w mot primitif si w v n n 1
k2
2k (k 1) 2
Proposition
Un morphisme binaire sans puissance k ( 2) jusqu’à tk est
primitif.
• f morphisme primitif si f préserve les mots primitifs
Théorèmef morphisme primitif binaire et k 2.
f sans puissance k f sans puissance k jusqu'à 2k 1.
Corollairef morphisme binaire et k 2.
f sans puissance k f sans puissance k jusqu'à t'k
avec t'2 3, t'3 7 et t'k tk si k 4.
CorollaireA alphabet binaire et k 2.{wA* / |w| k2 et w sans puissance k} est un ensemble de test pour morphismes sans puissance k sur A.
Morphismes qui préservent l’absence d’une répétition
Morphismes qui engendrent des mots sans une Morphismes qui engendrent des mots sans une répétitionrépétition
Morphismes sans chevauchement
Morphismes uniformes sans chevauchement
Morphismes sans cube
Morphismes sans puissance k
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Rappel : morphisme de Thue-Morse : {a,b}* {a,b}*a abb ba (a)
ab2(a ) ((a)) (ab)
3(a ) (2(a)) (abba) 4(a ) abbabaabbaababba5(a ) abbabaabbaababbabaababbaabbabaab
abba
abba abba
Mots engendrés par morphismesMots engendrés par morphismes
(a ) lim n(a ) n
Proposition (Thue 12)f endomorphisme sur {a,b} sans chevauchement
f i ou f E i pour un entier i.
Proposition (Séébold 84)f endomorphisme sur {a,b} prolongeable en a.
f engendre un mot sans chevauchement f sans chevauchement
Proposition (Karhumäki 81)f endomorphisme sur {a,b} prolongeable en a.
f engendre un mot sans chevauchement
f 7(a) sans chevauchement
Proposition (Crochemore 82)f endomorphisme sur {a,b,c} prolongeable en a.
f engendre un mot sans carré
1. f ({abc, acb, bac, bca, cab, cba}) sans carré 2. f (xyx) ou f (xzx) ou f (xyzx) sans carré pour toute permutation 3. f (w) sans carré wFact(f (a)) et |w| 5
Proposition (Crochemore 82)f endomorphisme sur {a,b,c} prolongeable en a.
f engendre un mot sans carré f sans carré
Proposition (Berstel 79 - Crochemore 82)f endomorphisme sur {a,b,c} prolongeable en a.
f engendre un mot sans carré f p(a) sans carré
Propositionf endomorphisme sur {a,b} prolongeable en a.
f engendre un mot sans cube f sans cube
Proposition (Karhumäki 83)f endomorphisme sur {a,b} prolongeable en a.
f engendre un mot sans cube
f 10(a) sans cube
Contre-exemple :
f (a) abba
f (b) baababaababbaabbabaabbaababbaabbabaababaababbaab
babaabbaababbaabbabaababaab
Propositionf endomorphisme sur {a,b} prolongeable en a.
f engendre un mot sans cube
1. f ({abba, baab, aba, bab}) sans cube 2. f (w) sans cube wFact(f (a)) et |w| 7
longueur de f 4 6 8 10 12méthode Kar : 1 mot de longueur 65536 279936 2097152 10000000 35831808méthode RW : 36 mots de longueur 28 42 56 70 84
Exemple :
Dans le cas d’un endomorphisme uniforme f tel que :
| f(a)|a | f(a)|b | f(b)|a | f(b)|b,
Morphismes sans
Carré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2 > 2 1 2 > 2< Card A Cro 82 Cro 82 Lec 85 ? ?
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 RS 99 ? Lec 85 ? ? ?
> Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? ? ?
Morphismes uniformes sansCarré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2&3 > 3 1 2&3 > 3< Card A Cro 82 Cro 82 Lec 85 ? Lec 85 ?
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? Lec 85 ?
> Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? Lec 85 ?
Conclusion : Ensembles de test finis
Morphismes sans
Carré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2 > 2 1 2 > 2< Card A Cro 82 Cro 82 Lec 85 ? ?
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 RS 99 RW 02a Lec 85 ? ? ?
> Card A Cro 82 Cro 82 RW 02a RW 02a Lec 85 ? ? ?
Morphismes uniformes sansCarré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2&3 > 3 1 2&3 > 3< Card A Cro 82 Cro 82 Lec 85 ? Lec 85 ?
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? Lec 85 ?
> Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? Lec 85 ?
Conclusion : Ensembles de test finis
Morphismes sans
Carré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2 > 2 1 2 > 2< Card A Cro 82 Cro 82 RW 00 RW 00 ?
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 RS 99 RW 02a RW 00 RW 00 ? ?
> Card A Cro 82 Cro 82 RW 02a RW 02a RW 00 RW 00 ? ?
Morphismes uniformes sansCarré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2&3 > 3 1 2&3 > 3< Card A Cro 82 Cro 82 Lec 85 ? Lec 85 ?
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? Lec 85 ?
> Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? Lec 85 ?
Conclusion : Ensembles de test finis
Morphismes sans
Carré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2 > 2 1 2 > 2< Card A Cro 82 Cro 82 RW 00 RW 00 Wla 01 RW 02b
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 RS 99 RW 02a RW 00 RW 00 Wla 01 RW 02b
> Card A Cro 82 Cro 82 RW 02a RW 02a RW 00 RW 00 Wla 01 RW 02b
Morphismes uniformes sansCarré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2&3 > 3 1 2&3 > 3< Card A Cro 82 Cro 82 Lec 85 ? Lec 85 ?
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? Lec 85 ?
> Card A Cro 82 Cro 82 ? ? Lec 85 ? Lec 85 ?
Conclusion : Ensembles de test finis
Morphismes sans
Carré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2 > 2 1 2 > 2< Card A Cro 82 Cro 82 RW 00 RW 00 Wla 01 RW 02b
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 RS 99 RW 02a RW 00 RW 00 Wla 01 RW 02b
> Card A Cro 82 Cro 82 RW 02a RW 02a RW 00 RW 00 Wla 01 RW 02b
Morphismes uniformes sansCarré Chevauchement Cube Puissance k
Card A < 3 3 > 3 1 2 > 2 1 2&3 > 3 1 2&3 > 3< Card A Cro 82 Cro 82 Lec 85 ? Lec 85 ?
Card B = Card A Cro 82 Cro 82 RW 02a RW 02a Lec 85 ? Lec 85 ?
> Card A Cro 82 Cro 82 RW 02a RW 02a Lec 85 ? Lec 85 ?
Conclusion : Ensembles de test finis
Conclusion : problèmes connexes
• Puissances fractionnaires
• Sans puissance k sans puissance k 1
• Sans chevauchement sans puissance k
• Sans cube primitif (cas non binaire)
65
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