ensembel grand kanonik (kanonik...
Post on 12-Aug-2019
239 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Ensembel Grand KanonikKlasik
Part-2
Penerapan Ensembel Grand Kanonik PadaGas Ideal monoatomik
Contoh: Gas ideal dalam volum V sejumlah N partikel dengantemperatur T. Partikel gas tidak saling berinteraksi, dantak terbedakan (atau non localized).Dari ensembel Kanonik telah diperoleh fungsi partisikanonik gas ideal ini secara lebih umum boleh kitatuliskan bahwa:
ðð ð,ð =ð1ð
ð!â ð1 =
ð
ð3ð(ð) = â/ 2ðððð
Dengan ð1 adalah fungsi partisi kanonik 1 partikel
Persamaan Keadaan
Kita mulai dari :
ð ð§, ð, ð â¡ ð=0â ð§ððð ð, ð = ð=0
â ð§ð ð1ð
ð!=
ð = exp(ð§ð1) = expð§ð
ð3
Butuh 2 persamaan :ðð
ðð= ln ð â
ðð
ðð=ð§ð
ð3
ð = ð§ðln{ð ð§, ð, ð }
ðð§= ð§ð(ð§ð/ð3)
ðð§=ð§ð
ð3
Eliminasi z dari kedua persamaan: ðð
ðð= ð
Energi rata-rata
Kita mulai dari :
ð = âð
ððœln ð ð§, ð, ð ð = â
ð
ððœ
ð§ð
ð3
ð = âð§ðð
ððœ
1
ð3=3
2
ð§ð
ð3ðð =3
2ððð
Untuk langkah terakhir telah dipakai ungkapan bagi N:
ð =ð§ð
ð3
Energi Bebas Helmhotz
ðŽ = ððð ln ð§ â ðð ln ð(ð§, ð, ð)
ðŽ = ððð ln ð§ âððð§ð
ð3= ðð ln ð§ â
ððð§ð
ð3
Dengan bantuan N: ðŽ = ððð lnðð3
ðâ ððð
Hasil ini sama dengan ensemble kanonik. Selanjutnya misalnya:
ð = âððŽ
ððð,ð
=ððð
ð
Diperoleh persamaan keadaan dst.
Penerapan Ensembel Grand Kanonik PadaGas Ideal (secara umum)
Contoh: Gas ideal dalam volum V sejumlah N partikel dengantemperatur T. Partikel gas tidak saling berinteraksi, dantak terbedakan (atau non localized).Dari ensembel Kanonik telah diperoleh fungsi partisikanonik gas ideal ini secara lebih umum boleh kitatuliskan bahwa:
ðð ð,ð =ð1ð
ð!â ð1 ð, ð = ðð(ð)
Dengan ð1 adalah fungsi partisi kanonik 1 partikel danð = ð(ð) adalah suatu fungsi yg hanya bergantung T.Bentuk eksplisit f(T) bergantung pada derajat kebebasansystem yg dibahas.
Penerapan Ensembel Grand Kanonik PadaGas Ideal
Sehingga fungsi partisi grand kanonik dapat diperoleh:
ð ð§, ð, ð =
ð=0
â
ð§ððð(ð, ð) =
ð=0
âð§ðð ð ð
ð!
ð(ð§, ð, ð) = exp ð§ðð ð
Berarti penerapan hubungan (A) akan menghasilkan :
ðð
ðð= ln ð = ð§ðð ð
Atauð = ð§ððð ð (ðŽ. 1)
Penerapan Ensembel Grand Kanonik PadaGas Ideal
Dan untuk jumlah partikel rata-rata:N
ð = ð§ð ln ð
ðð§= ð§ðð ð (ðµ)
Eliminasi z dari kedua persamaan (A dan B) diperoleh
persamaan keadaan gas ideal (agar mudah ð = ð) :
ðð
ðð= ð
Perhatikan untuk hasil ini tidak perlu bentuk eksplisitf(T)! Berarti persamaan keadaan ini tak bergantung derajat kebebasan gas idealnya!
Penerapan Ensembel Grand Kanonik PadaGas Ideal
Hasil-hasil lain dapat diperoleh melalui ungkapan energiU:
ð = âð
ððœln ð = ð§ððð2ðâ²(ð)
Nilai z kita eliminasi dengan bantuan (..), akan diperoleh:
ð = ððð2ðâ²(ð)/ð(ð)
Fungsi energy bebas Helmhotz akan diberikan oleh:
ðŽ = ððð ln ð§ â ðð ln ð(ð§, ð, ð)
Penerapan Ensembel Grand Kanonik PadaGas Ideal
Dan Entropi denga pertolongan ðŽ = ð â ðð :
ð = âðð ln ð§ + ð§ðð {ððâ² ð + ð(ð)}
Kedua persamaan terakhir (A dan S) ini bisa dinyatakansbg fungsi N,V dan T dengan mengiliminasi z memakaibantuan ungkapan bagi N! (lihat B)!
Gas Ideal Monoatomik (Klasik)
Contoh: Misalkan sejumlah N partikel gas ideal monoatomikdalam volum V dengan temperatur T . Sehingga derajatkebebasan hanya energy kinetic 3D.Dari ensembel Kanonik telah diperoleh fungsi partisikanonik gas ideal monoatomic ini untuk 1 partikel :
ð1 ð, ð =ð
ð3 ðâ ð ð =
â
2ðððð
3
Maka akan didapatkan hasil sbb:
ð1 ð, ð = ðð ð â ð ð =1
ð3 ð=2ðððð
â
3
Gas Ideal Monoatomik (Klasik)
Berarti
ðâ² ð =3
2ðð(ð)
Sehingga diperoleh berbagai hasil berikut ini, dari (A,B)
ð = ð§ððð ð danð = ð§ðð(ð), dengan eliminasi z jelasmemberikan
ðð = ðððEnergi (C):
ð = ððð2ðâ² ð
ð ð=3
2NkT
Energi bebas helmhotz :
ðŽ = ððð ln ð§ â ðð ln ð(ð§, ð, ð)
Gas Ideal Monoatomik (Klasik)
Dengan bantuan: ðð
ðð= ln ð(ð§, ð, ð) dan ungkapan N, dan
maka:ð = ð§ðð(ð)
ðŽ = ððð lnð
ðð ðâ ðð
= ððð lnð
ð
â
2ðððð
3
â 1
Telah dipergunakan pers. Keadaan PV=NkT.Hasil ini sama dengan yang diperoleh melalui ensemble kanonik.
Model : N localized independent 1D harmonic oscillators
⢠Model : N buah osilator harmonic klasik terlokasilir tak salingberinteraksi, telah diturunkan (lihat Bab. Aplikasi Ensembel
Kanonik), bahwa ð1 ð = ð ð =ðð
âð
Sehingga :
ð ð§, ð â¡
ð=0
â
ð§ððð ð =
ð=0
â
ð§ð ð1ð =
ð =1
1 â ð§ð1=1
1 âð§ððâð
=1
1 â ð§ðð(ð) =
ðð
âð
Partikel Rata-rata
⢠Jumlah partikel rata-rata
ð = ð§ð
ðð§ln ð = âð§
ð
ðð§ln 1 â
ð§ðð
âð
ð =ð§ððâð
1 âð§ððâð
=ð§ð
1 â ð§ð
⢠Energi rata-rata
ð = âð
ððœln ð = â
ð
ððœln 1 â
ð§ðð
âð=ð2ð2
ð§âð
1 âð§ððâð
Energi dalam Rata-rata
⢠Dengan bantuan N untuk eliminasi z:
ð =ð§ð
1 â ð§ð
⢠Energi rata-rata
ð = ððð âð
ð= ðð
Hasil ini sejalan dengan prinsip ekipartisi dg 2 derajat kebebasan di kasus klasik.
Energi Bebas Helmhotz
ðŽ = ððð ln ð§ â ðð ln ð(ð§, ð)
ðŽ = ððð ln ð§ + ðð ln 1 âð§ðð
âð= ððð ln ð§ + ðð ln 1 â ð§ð
⢠Aproksimasi:
ð =ð§ð
1 â ð§ðð§ð =
ð
ð + 1â 1 ð¢ðð¡ð¢ð ð â« 1
ðŽ â ððð ln1
ð+ ðð ln
ð§ð
ð
ðŽ â âððð lnð â ðð ln ð â â ððð lnðð
âð+ ð(ln ð )
Entropi
ðŽ = ð â ðð â ð =ð â ðŽ
ð
ðð â ððð + ððð lnðð
âð
ð â ðð lnðð
âð+ 1
Atau cara alternartif:
ð = âððŽ
ððâðððð ln
ððâð
ðð= ðð ln
ðð
âð+ ðð
Diperoleh lagi hasil yang sama.
Model : N localized independent particles
Model : N partikel terlokalisasi tak berinteraksi (serupadengan N osilator harmonis terlokalisir).
Fungsi partisi kanonik 1 partikel ð1 ð, ð dan untuk N partikel (distinguishable!) adalah:
ðð ð, ð = ð1 ð, ðð
Karena partikelnya terlokalisir maka tak bergantungvolume sehingga bisa dituliskan ð1 ð, ð = ð(ð).Fungsi partisi Grand Kanonik :
ð ð§, ð, ð â¡
ð=0
â
ð§ððð ð, ð =
ð=0
â
ð§ð ð ð =1
1 â ð§ð ð
Model : N localized independent particles
Berbagai besaran thermo dapat diperoleh:1.
ðð
ðð= ln ð(ð§, ð, ð) = âln 1 â ð§ð ð
Dalam limit thermo ð â â, maka
ð = limðââ
ðð
ðln 1 â ð§ð = 0
2.
< ð >â¡ ð = ð§ðln{ð ð§, ð, ð }
ðð§= âð§ð ln 1 â ð§ð ð
ðð§
ð =ð§ð(ð)
1 â ð§ð ð
Model : N localized independent particles
3. Energi rata-rata < ð» >= ð:
ð = âð
ððœln ð ð§, ð, ð =
ð
ððœln 1 â ð§ð ð
=ð§ðð2ðâ²(ð)
(1 â ð§ð(ð))
4. Fungsi energy bebas Helmhotz :
ðŽ = âðð lnð
ð§ðâ ðŽ = ððð ln ð§ + ðð ln 1 â ð§ð ð
5. Entropi :
ð =ð â ðŽ
ð=ð§ðð ðâ² ð
1 â ð§ð ðâ ðð ln ð§ â
ð
1 â ð§ð ð
Model : N localized independent particles
⢠Dari (2): ð =ð§ð(ð)
1âð§ð ð
⢠Maka ð§ð =ð
ð+1â 1 â
1
ðuntuk N >>
⢠Sehingga :
⢠ð =ð§ðð2ðâ²(ð)
(1âð§ð(ð))â ðð§ðð2ðâ² ð â
ð
ðâ ð§ðð2ðâ² ð =
ðð2ðâ² ð
ð ð
⢠ðŽ = ððð ln ð§ + ðð ln 1 â ð§ð ððŽ
ðâ âðð lnð ð + ð(
ln ð
ð)
â¢ð
ððâ lnð ð + ð
ðâ² ð
ð ð+ð(
ln ð
ð)
Model : N localized independent harmonic oscillator
⢠Untuk osilator N harmonic klasik terlokasilir tak salingberinteraksi, telah diturunkan (lihat Bab. Aplikasi Ensembel
Kanonik), bahwa ð1 ð = ð ð =ðð
âð
â¢ð
ðâ ð§ðð2ðâ² ð =
ðð2ðâ² ð
ð ð= ðð
â¢ðŽ
ðâ âðð lnð ð = âðð ln
ðð
âð
â¢ð
ððâ lnð ð + ð
ðâ² ð
ð ð= ln
ðð
âð+ 1
Fluktuasi Jumlah Partikel di EnsembelGrand Kanonik
Akan ditunjukkan bahwa fluktuasi jumlah partikel untukEnsembel Grand Kanonik sangat kecil. Tinjau ukuranfluktuasi yaitu <(N)2>.
< Îð 2 >=< ð â< ð > 2 >=< ð2 > â< ð >2
Ungkapan terakhir ini bisa dikaitkan dengan fungsipartisi grand kanonik. Telah diperoleh:
< ð >= ð§ðln{ð ð§, ð, ð }
ðð§Jika diambil derivative thd z:
ð < ð >
ðð§=ð
ðð§
ð=0â ðð§ððð ð, ð
ð=0â ð§ððð ð, ð
Fluktuasi Jumlah Partikel di EnsembelGrand Kanonik
ð < ð >
ðð§
=1
ð§
ð=0â ð2ð§ðð ð, ð
ð=0â ð§ððð ð, ð
â1
ð§
ð=0â ðð§ðð ð, ð
ð=0â ð§ððð ð, ð
2
ð§ð < ð >
ðð§=< ð2 > â< ð >2
Jadi:
< Îð 2 >= ð§ð
ðð§ð§ð ln ð ð§, ð, ð
ðð§
Fluktuasi Jumlah Partikel di EnsembelGrand Kanonik
Mengingat ð§ = ððœð , maka bisa dituliskan juga:
< ð >=1
ðœ
ðln ð
ðð
< Îð 2 >=1
ðœ2
ð2(ðððð)
ðð2= ððð
ð2ð
ðð2
Untuk mendapatkan ungkapanð2ð
ð2ð, dilakukan dengan
mendefinisikan fungsi sbb:ðŽ ð, ð, ð = ðð ð£
Dengan A : fungsi energi bebas Helmhotz, yg terakitdengan dan tekanan P.
Fluktuasi Jumlah Partikel di EnsembelGrand Kanonik
Telah diturunkan bahwa:
ð = âðA
ððð,ð
ð =ðA
ððð,ð
Jadi:
Untuk mendapatkan ungkapanð2ð
ð2ð, dilakukan dengan
mendefinisikan fungsi sbb:ðŽ ð, ð, ð = ðð ð£
Dengan A : fungsi energi bebas Helmhotz, yg terakitdengan dan tekanan P. Memakai definisi tsb, maka:
Fluktuasi Jumlah Partikel di EnsembelGrand Kanonik
ð = âðð(ð£)
ðð£
ð =ððð(ð£)
ðð= ð ð£ + ð
ðð(ð£)
ðð£
ðð£
ðð= ð ð£ â ð£
ðð(ð£)
ðð£
Memakai hasil tsb maka:ðð
ðð£= âð£ð2ð(ð£)
ðð£2
Fluktuasi Jumlah Partikel di EnsembelGrand Kanonik
ðð
ðð= âðð ð£
ðð£
ðð ð£
ðð£
ðð£
ðð= â
ð2ð ð£ðð£2
âð£ð2ð ð£ðð£2
=1
ð£
Sehinggað2ð
ðð2=1
ð£3ð2ððð£2
=1
âð£3ðððð£
Isothermal kompresibilitas didefinisikan sbg:Îð = â1ððð
ðð£
,
maka:ð2ð
ðð2=Îðð£2
Fluktuasi Jumlah Partikel di EnsembelGrand Kanonik
Sehingga:
< Îð 2 >= ðððð2ð
ðð2= ððð
Îðð£2=ðððÎðð£
Berarti fluktuasi relatif rata-rata:
< Îð 2 >
ðâ1
âðIni berarti dalam limit thermodinamika, lebar distribusiN sangat sempit sekali. Probabilitas suatu sistem di ensembel grand kanonikmemiliki jumlah partikel N akan sebanding denganW(N):
ð ð â¡ ð§ððð ð, ð = ðâðœ(ððâðŽ ð,ð,ð )
Fluktuasi Jumlah Partikel di EnsembelGrand Kanonik
Jika fluktuasi M sangat sempit, maka fungsi partisi grand
kanonik sangat didominasi suku yg terkait denganð â¡<ð >, sehingga secara aproksimasi:
ð ð§, ð, ð â ð§ðQð V, T = exp[ðœ ðð â ðŽ ð, ð, ð ]
Dalam kondisi ini maka fungsi energi bebas Helmhotzbisa didekati dengan:
ðŽ ð, ð, ð = ððð ln ð§ â ðð ln ð ð§, ð, ð
top related