elipsa chyb a helmertova křivka
Post on 04-Feb-2016
77 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Elipsa chyb a Helmertova křivka
Jiří BunešPavel Hromádka
AbstraktHelmertova křivka a elipsa chyb jako nositel
informace o středních chybách souřadnic v rovině a v prostoru. Geometrický význam HK a elipsy chyb, její odvození. Ukázka výpočetního prostředí Matlab užitého při vykreslení křivek, ploch a tvorbě uživatelského rozhraní.
Význam elipsy chyb jako nositele informace
• Elipsa chyb vyjadřuje velikost středních chyb ve směru svých poloos
• Velikost poloos a,b odpovídá odmocninám vl. čísel kovarianční matice
• Směr poloos odpovídá vl. vektorům kovarianční matice
• Elipsa chyb je geometrické místo koncových bodů vektorů majících stejnou hustotu pravděpodobnosti výskytu
• Poloosy a,b elipsy chyb
21
222222222
21
222222221
42
1
42
1
yxyxyx
yxyxyx
b
a
0
0;
22222
2
2
yxyx
yyx
yxx EDDetD
Význam Helmertovy křivky jako nositele informace
• Helmertova křivka vyjadřuje velikost středních chyb v libovolném směru
• Pro zjištění velikosti střední chyby užijeme zákon hromadění středních chyb a výsledkem je průvodič HK
• Zjednodušené vyjádření bez uvážení korelace
• Průvodič HK
• Průvodič ECH
2
2
2
0
0
y
x
Tf
Dy
x
f
Dffm
22222 sincos yxh
sin
cos
y
x
2222
222
cossin ba
bae
Vznik fce. elipsy chyb z hustoty pravděpodobnosti
• Hustota pravděpodobnosti pro nezávislé 2D chyby
• V případě konstantní hustoty pravděpodobnosti (nekorelované), je rce. elipsy
• Volbou parametru t určuji procento výskytu možných hodnot, pro t=2,5 je 95,6% případů
2
2
2
2
2
1
2
1, yx
yx
yx
eyx
xosevchybastřx .yosevchybastřy .
22
2
2
2
tyx
yx
yxosáchvchybyDvektort ,2
• Hustota pravděpodobnosti pro závislé (korelované) 2D chyby
• V případě proměnné hustoty pravděpodobnosti (korelované), je rce. elipsy
yxyx
xyyx
yx
eyx
212
1
2
2
2
2
2
2
12
1,
22
2
2
2
22
1
1t
xyyx
yxyx
korelacekoef .
• V případě závislých (korelovaných) stř. chyb má elipsa své poloosy pootočeny a proto je potřeba souřadnice x a y transformovat do nové soustavy pro zjištění velikosti poloos
• Úhel stočení
• Transformační rce
2222
yx
yxtg
cossin
sincos
yx
yx
cossin
sincos
y
x
Helmertova plocha a elipsoid chyb
• HP a ECH mají svou podobu i v 3D, stejně jako v rovině je největší rozdíl mezi oběma plochami to, že ECH zobrazuje stř. chybu v jednotlivých poloosách, kdežto HP v libovolném směru
• Opět je zde volen parametr t jež určuje procento výskytu možných hodnot
• Poloosy a,b,c elipsoidu chyb
• Řešení vl. Čísel této matice vede k rovnici 3. stupně
022
22
0;
2
22222
2
2
2
zxyzxyxzy
xyzyzxzyx
z
zy
zx
yz
y
xz
xy
yxx
EDDetD
Význam HP jako nositele informace
• Pro zjištění střední chyby v libovolném směru zjistíme velikost průvodiče v daném místě
• Pro zjištění rozdělení pravděpodobnosti v požadovaném směru vedeme řez HP a výsledkem je Gaussova křivka rozdělení hustoty pravděpodobnosti
• Zjednodušené vyjádření průvodiče HP a ECH bez uvážení korelace
• Odvození je provedeno pomocí zákona hromadění středních chyb
• Průvodič HP
• Průvodič ECH
2
2
2
2
0
0
00
00
z
y
x
Tf
D
z
y
x
f
Dffm
222222222 sincossincoscos cbarh
sin
sincos
coscos
z
y
x
22222222222
2222
sincossincoscos bacacb
cbare
Vznik fce. elipsoidu chyb z hustoty pravděpodobnosti
• Hustota pravděpodobnosti pro nezávislé 3D chyby
• V případě konstantní hustoty pravděpodobnosti (nekorelované), je rce. Elipsoidu
• Volbou parametru t určuji procento výskytu možných hodnot, pro t=2,5 je 95,6% případů
2
2
2
2
2
2
2
1
38
1),,( zyx
zyx
zyx
ezyx
zyxosáchvchybyDvektort ,,322
2
2
2
2
2
tzyx
zyx
• Hustota pravděpodobnosti pro závislé (korelované) 3D chyby
2
3
1
det8
1,,
xxT
ezyx
222222 21det yzxzxyyzxzxyzyx
2
2
2
z
zy
zx
yz
y
xz
xy
yxx
222 ,, zyxx
Vysvětlivky
• Geometrické charakteristiky rozptylu
vektorusložekchjednotlivýuEuuEuEuu
diagonálumimoauEuuEuEudiagonále
naobsahujeježDmaticípopsánjeuvektorunáhodnéhoRozptyl
jjiiji
iiiii
,cov
var
rozptylůvlastnostidávajíuuvektoryvlastníačíslaVlastní 2121 ,,
Příklad• Vyrovnání jednoduché vázané sítě kde
byly měřeny pouze délky a ukázka použití ECH a HK v praxi za použití skriptu vytvořeného v prostředí Matlab
• Kovarianční matice
82,44549,6002,5135,1502,12825.69
49,6098,62086,1737,582,4424.24
02,5186,1791,44750,5524,13271,63
35,1537,550,5565,61179,3917,19
02,12882,4424,13279,3966,27766,0
25,6924,2471,6317,1966,067,443
xM
• Parametry a,b elips vypočtené jako vl. čísla diagonálních submatic
• Situační náčrt
g
mmb
mma
bod
25,0
7,16
1,21
407
g
mmb
mma
bod
96,18
8,20
1,25
422
g
mmb
mma
bod
76,180
7,20
3,25
424
• Vykreslení HK a ECH bod 407
• Vykreslení HK a ECH bod 422
• Vykreslení HK a ECH bod 424
Děkuji za pozornost
top related