electromagntismo de alta frecuencia grado en física

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 1

APÉNDICE.- REVISIÓN DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

ELECTROMAGNTISMO DE ALTA FRECUENCIA

Grado en Física

PROFESOR: José Represa Fernández. Dpto. Electricidad y Electrónica. e-mail: jrepresa@ee.uva.es

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REVISIÓN DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA

Grado en Física

Ecuaciones de Maxwell. Descripción de los medios. Condiciones de contorno. La ecuación de ondas. Ondas planas. Energía y Potencia. Reflexión y refracción de ondas planas.

Bibliografía: POZAR D. M.- "Microwave Engineering". Wiley. 1997

MARSHALL, S.V. & SKITEK, G.G.- "Electromagnetic Concepts and Applications". Prentice Hall International Editions. 1990. PAUL, C. R. ,NASAR, S. A. & WHITES, K. V.- “Introduction to Electromagnetic Fields”. Mcraw-Hill. 1997.

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 3

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Ecuaciones de Maxwell

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 4

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Relaciones constitutivas y condiciones de contorno

Ligan los vectores de campo tanto en medios materiales

como en el vacío

Necesarias en las superficies de separación de medios

diferentes

Existen condiciones de contorno “especiales”

Derivan de las propias ecuaciones de campo

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 5

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Relaciones constitutivas

Los vectores eléctricos y los vectores magnéticos,

respectivamente, significan lo mismo (Solo un factor de

escala)

Carece de sentido la relación J ↔ E

Contribución de la materia

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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Relaciones constitutivas

Comportamiento estático Comportamiento dinámico

Relaciones

Diferentes comportamientos

Linealidad

Homegeneidad

Isotropía

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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Relaciones constitutivas. Caso estático.

Medios H. I. L.

Parámetros del medio

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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Relaciones constitutivas. Caso dinámico.

Descripción en el dominio del tiempo.

- PRINCIPIO DE CAUSALIDAD

- RETARDO DE LA RESPUESTA

Descripción en el dominio de la frecuencia.

- NOTACION COMPLEJA

- DISIPACION DE ENERGIA

Transformada de Fourier

Transf. inversa de Fourier

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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Relaciones constitutivas. Caso dinámico.

DESCRIPCION EN EL DOMINIO DEL TIEMPO PRINCIPIO DE CAUSALIDAD:

La respuesta no puede ser anterior a la causa.

ε (t-τ ) = 0 , µ (t-τ ) = 0 �si �τ > t (Respuesta de impulso)

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TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Relaciones constitutivas. Caso dinámico.

DESCRIPCION EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

RELACION ENTRE DOMINIOS

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 11

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Relaciones constitutivas. Caso dinámico.

DESCRIPCION EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA SUPONE CAMPOS DE

VARIACION TEMPORAL ARMONICA

SUPONE REGIMEN ARMONICO ESTACIONARIO

SEÑALES MONOCROMATICAS

COMPONENTES DE FOURIER

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 12

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Relaciones constitutivas. Caso dinámico.

DESCRIPCION EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

PARA CADA FRECUENCIA ω"

Tangente de pérdidas

Relaciones de Kramers-Kronig

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 13

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Condiciones de contorno.

DERIVADAS DE LAS PROPIAS ECUACIONES DE LOS CAMPOS

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 14

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Condiciones de contorno.

DERIVADAS DE LAS PROPIAS ECUACIONES DE LOS CAMPOS

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 15

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Condiciones de contorno. Casos particulares. Dieléctrico perfecto

“Conductor magnético”

Conductor perfecto

Condiciones de radiación (Problemas abiertos)

Los campos deben ser “salientes”

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 16

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión El dominio de la frecuencia.

NOTACION COMPLEJA

Consideramos campos de variación armónica en el tiempo

Tomamos:

Que es un VECTOR COMPLEJO dependiente de las variables ESPACIALES

El CAMPO FISICO es:

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 17

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión El dominio de la frecuencia.

NOTACION COMPLEJA

Para campos armónicos arbitrarios

Tomamos:

Que es un VECTOR COMPLEJO dependiente de las variables ESPACIALES

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 18

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia.

Ecuaciones en divergencia

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 19

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia.

Derivación temporal

Ecuaciones rotacionales

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 20

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia.

Ecuación de continuidad

Ecuaciones rotacionales

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 21

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia.

Forma integral

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 22

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión El vector de Poynting

Forma real Forma compleja

Relaciones de interés (en régimen armónico)

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 23

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión El vector de Poynting. Valor medio temporal.

Forma real Forma compleja

Teorema de Poynting (forma real)

Energía del campo e.m. Flujo de potencia

Efecto Joule Potencia de los generadores

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 24

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión El vector de Poynting. Valor medio temporal.

Teorema de Poynting (forma compleja)

Energía del campo e.m. Flujo de potencia Efecto Joule Potencia de los generadores

Pérdidas dieléctricas y magnéticas

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 25

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

La ecuación de ondas

Término de atenuación

Fuera de las fuentes: ρ=0, Jg=0

Medio H. I. L. ε, µ, σ"

Tomar el rotacional de las ecuaciones rotacionales de Maxwell y usar las

divergencias

Para cada componente (i=x, y, z) del campo E (H) en el dominio del tiempo:

Término de propagación

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 26

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

La ecuación de ondas

Término de atenuación

Fuera de las fuentes: ρ=0, Jg=0

Medio H. I. L. ε, µ, σ"

Usar la notación compleja o hacer la transformada de Fourier de la

ecuación en el dominio del tiempo

Para cada componente (i=x, y, z) del campo E (H) en el dominio de la frecuencia:

Término de propagación

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 27

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

La ecuación de ondas Dos casos particulares

Medio con pérdidas conductoras altas: difusión

Medio sin pérdidas: onda no atenuada

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 28

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

La ecuación de ondas Un caso simple: Ondas planas uniformes.

Condiciones Características

Régimen armónico estacionario

Medio no conductor sin pérdidas

Campo Ex

Dependencia espacial con z

Ondas planas: Los vectores de campo están contenidos en un

plano

Ondas uniformes: los vectores de campo no cambian (módulo y fase)

con la posición en el plano

Ecuación de Helmholtz

con:

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 29

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas uniformes

con:

Número de onda

(Cte. Propagación)

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 30

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas

Solución a la ecuación de Helmholtz

con constantes complejas a determinar

que corresponde, en el dominio del tiempo, a:

Onda que avanza en z+ Onda que avanza en z-

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 31

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas

t0

z0

t1

z1

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 32

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas El campo magnético

Puede obtenerse de la ley de Faraday

Onda que avanza en z+ Onda que avanza en z-

OBSERVAR EL SIGNO -

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 33

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas Características de propagación

- Velocidad de fase

- Longitud de onda

- Constante de propagación (fase) o número de ondas

- Impedancia de onda (intrínseca) λ"

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 34

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas Transversalidad de los campos

Onda plana transversal electromagnética (TEM)

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 35

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 36

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

La ecuación de ondas Medios con pérdidas

Condiciones

Fuera de las fuentes

Régimen armónico estacionario

Medio con conductividad finita

Campo Ex

Dependencia espacial con z

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 37

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas Medios con pérdidas

Cte. de propagación compleja Cte. de atenuación Cte. de fase

Con pérdidas dieléctricas (magnéticas), utilizamos ε (µ)"

y análogamente si tuviéramos µ’’"

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 38

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Medios con pérdidas

Solución a la ecuación de Helmholtz

con constantes complejas a determinar

corresponde, en el dominio del tiempo, a:

Onda que avanza en z+ Onda que avanza en z-

Como

Atenuándose a medida que avanzan en su sentido de propagación

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 39

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Medios con pérdidas

El campo magnético Puede obtenerse de la ley de Faraday

Onda que avanza en z+ Onda que avanza en z-

OBSERVAR EL SIGNO -

Atenuadas en su sentido de propagación

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 40

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Medios con pérdidas Características de propagación

- Velocidad de fase

- Longitud de onda

- Constante de propagación

- Impedancia de onda (en general, compleja) λ"

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 41

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Medios con pérdidas

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 42

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Buenos conductores

Domina la conductividad σ>>ωε

Corriente de conducción >>Corriente de desplazamiento

Profundidad de penetración

����������������������

����������������������

���� ����������

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 43

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Buenos conductores

Profundidades de penetración a 10 GHz. �(' -�,(*� �(' -�,$.$ � ���/�����&�� �*("-' $ � ���/����&���%-&$'$(���%�� ��� ������(�*!���-�� ����� � ���*(���-�� ����� ��� ��%�,����#�� ���� ����

Profundidades de penetración para el cobre

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Electromagnetismo de Alta Frecuencia 44

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Caso general.

La ecuación de Helmholtz en coordenadas cartesianas.

con

Para cada componente de E (H)

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 45

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Caso general.

Resolución mediante separación de variables.

Que llevado a la ecuación de Helmholtz:

Constantes de separación

Suponemos

donde cada sumando sólo depende de su variable, como mucho y,

puesto que k es una constante, los sumandos deben serlo también

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 46

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Caso general.

Resolución mediante separación de variables.

Cada componente f, g, h obedece a una ecuación

de soluciones

cualquier componente del campo (i=x, y, z) será de la forma:

suma de dos ondas que avanzan en sentidos contrarios.

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 47

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Caso general.

Dirección de propagación. Definimos un vector de onda Vector

unitario

Para cada onda (+ ó –) i= x, y , z

La condición

Solamente dos de las amplitudes son independientes

Los vectores y son perpendiculares

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 48

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Caso general.

El campo magnético. Se obtiene, de nuevo, de la ley de Faraday.

Tanto para la onda + como para la onda -

H es perpendicular a E

y a k Las características de propagación

son idénticas a las ya vistas.

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 49

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Caso general.

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 50

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Ondas planas. Caso general.

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 51

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción.

Incidencia normal.

E i

H i

E t

H t

E r H r

ε 1 , µ 1 ε 2 , µ 2

z

x Onda incidente:

Onda reflejada:

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 52

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción.

Incidencia normal. Onda transmitida:

- Elección de sentidos de los campos.

- Coeficientes Γ, Τ, en general, complejos.

- Continuidad de Et, Ht.

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 53

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción.

Incidencia normal.

Condiciones de contorno en z=0

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 54

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia normal. El vector de Poynting.

Potencia reactiva

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 55

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia normal.

El vector de Poynting. Observaciones.

El flujo de potencia se conserva en la interfaz.

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 56

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia normal.

Formación de una onda estacionaria.

En la región z<0 se superponen dos ondas de la misma frecuencia, con distintas amplitudes:

y análogamente para H

que representan ondas de amplitud variable con z

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 57

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia normal.

Ondas estacionarias. Las amplitudes de los campos.

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 58

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia normal.

Ondas estacionarias. Las amplitudes de los campos.

Campo eléctrico

Campo magnético

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 59

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia normal en un buen conductor.

Lo que hace cambiar los valores de Γ y Τ, que ahora serán complejos.

Cambian la constante de propagación y la impedancia de onda del segundo medio.

Los campos transmitidos son:

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 60

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia normal en un buen conductor.

Campo eléctrico

Campo magnético

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 61

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia normal en un buen conductor.

El vector de Poynting.

Para z<0:

Para z>0:

Resultando de nuevo:

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 62

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia normal en un conductor perfecto.

Representa el caso límite cuando σ → ∞.

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Reactivo puro

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 63

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia normal en un conductor perfecto.

Campo magnético

Campo eléctrico

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 64

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Planteamiento general.

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 65

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.

Onda incidente:

Onda reflejada:

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 66

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua.

Onda transmitida:

Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.

Dirección de los campos Dirección de propagación

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 67

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.

En z=0 para todo x

La igualdad de fases: Leyes de Snell

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 68

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.

Coeficientes de reflexión y de transmisión (Fresnel).

Obsérvese que para el que (Angulo de Brewster)

i.e. para medios no magnéticos:

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 69

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.

Módulo del coeficiente de reflexión frente al ángulo de incidencia. Nótese el ángulo de Brewster.

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 70

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia.

Onda incidente:

Onda reflejada:

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 71

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia.

Dirección de los campos Dirección de propagación

Onda transmitida:

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 72

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia.

En z=0 para todo x

La igualdad de fases: Leyes de Snell

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 73

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia.

Coeficientes de reflexión y de transmisión (Fresnel).

¿ para el que ?

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 74

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia.

Módulo del coeficiente de reflexión frente al ángulo de incidencia.

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 75

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Reflexión total. Ondas de superficie.

De la ley de Snell:

conocido como ángulo crítico o de reflexión total.

¡La onda no pasa al medio 2!

Angulo crítico. Si la onda viaja de un medio más denso a uno menos denso (ε2<ε1)

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 76

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Reflexión total. El ángulo crítico.

Para θi> θc sería

Llamamos :

Los campos transmitidos (pol. paralela):

Propagación en x Atenuación en z

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 77

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Reflexión total. Ondas de superficie.

El coeficiente de reflexión:

La onda transmitida:

-Se propaga en la dirección x.

-No se propaga en la dirección z, pero existen campos que decaen exponencialmente con z.

- Se conoce como ONDA DE SUPERFICIE.

- Es una onda plana NO UNIFORME (varía en la dirección transversal)

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 78

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Reflexión total. Ondas de superficie.

El vector de Poynting para la onda transmitida:

Potencia reactiva Potencia transmitida

Ambas decaen a medida que nos adentramos en el medio 2