ejercicios propuestos

A) Matriz de Adyacencia (Ma(6))

Ma (6) =

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8v1 0 1 1 1 0 0 1 1

v2 1 0 1 0 1 1 0 1

v3 1 1 0 1 1 1 1 0

v4 1 0 1 0 1 0 1 0

v5 0 1 1 1 0 1 1 1

v6 0 1 1 0 1 0 0 1

v7 1 0 1 1 1 0 0 1

v8 1 1 0 0 1 1 1 0

B) Matriz de Incidencia (Mi(6))

Mi (6)=

v1 v2 v3 v4 v5 V6 v7 v8

a1 1 1 0 0 0 0 0 0

a2 1 0 1 0 0 0 0 0

a3 0 1 1 0 0 0 0 0

a4 1 0 0 1 0 0 0 0

a5 1 0 0 0 0 0 1 0

a6 1 0 0 0 0 0 0 1

a7 0 0 1 0 0 1 0 0

a8 0 1 0 0 1 0 0 0

a9 0 1 0 0 0 0 0 1

a10 0 1 0 0 0 1 0 0

a11 0 0 1 1 0 0 0 0

a12 0 0 1 0 0 0 1 0

a13 0 0 1 0 1 0 0 0

a14 0 0 0 1 1 0 0 0

a15 0 0 0 1 0 0 1 0

a16 0 0 0 0 1 1 0 0

a17 0 0 0 0 1 0 1 0

a18 0 0 0 0 0 0 1 1

a19 0 0 0 0 1 0 0 1

a20 0 0 0 0 0 1 0 1

C) Es Conexo.?

Si es conexo, pues cada par de vértices se puede conectar por al menos un cambio.

D) Es Simple.?

Si es simple, pues no tiene bucle y entre cada par de vértices existe una única vista que los conectas ( si están conectados).

E) Es Regular.?

No es regular, ya que todo los vértices no tienen igual grado. Veamos:

Gr(v1)=5, Gr(v2)=5, Gr(v3)=6, Gr(v4)=4, Gr(v5)=6, Gr(v6)=4, Gr(v7)=5, Gr(v8)=5.

F) Es Completo.?

No es completo, pues existen vértices ( digamos v1 y v6) que no tiene aristas que los conectas.

G) Una cadena simple no elemental de grado 6

C= [v1 a1 v2 a10 v6 a16 v5 a14 v4 a11 v3 a3 v2] no es elemental pues repite el vértice v2.

H) Un ciclo no simple de grado 5

C= [v5 a19 v8 a18 v7 a17 v5 a19 v7 a9 v2] no es simple pues repite la arista v19.

I) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor

Paso 1 : Escogemos s1=v1 hacemos h1={v1}

Paso 2 : Escogemos la arista a4 que conecta a v1 con v4 y hacemos h2={v1,v4}

v4

v1a4

Paso 3 : Escogemos la arista a15 que conecta a v4 con v7 y hacemos h3 es ={v1 v4 v7 }

v4

v1

v7a15

a4

Paso 4 : Escogemos la arista a17 que conecta a v7 con v5 y hacemos h4={v1 v4 v7 v5}

v1

v4

v7

v5a4

a15a17

Paso 5 : Escogemos la arista a19 que conecta v5 con v8 y hacemos h5={v1 v4 v7 v8}

v1

v4

v7

a4

a15

a17

v5

a19

v8

Paso 6: Escogemos la arista a20 que conecta v8 con v6 y hacemos h6={v1 v4 v7 v5 v8 v6}

v1

v4

v7

a4

a15

a17

v5

a19

v8

a20

v6

Paso 7 : Escogemos la arista a10 que conecta v6 con v2 y hacemos h7={v1 v4 v7 v5 v8 v6 v2}

v1

v4

v7

a4

a15

a17

v5

a19

v8

a20

v6

a10

v2

Paso 8 : escogemos la arista a3 que conecta a v2 con v3 y hacemos h8=h={v1 v4 v7 v5 v8 v6 v2 v3}

v1

v4

v7

a4

a15

a17

v5

a19

v8

a20

v6

a10

v2a3v3

Árbol Generador

J) Subgrafo ParcialSea v1={v1 v4 v7 v3} y a1={a4 a5 a2 a11 a15}

entonces g1=[v1, a, g1=g/a1] en un subgrafo parcial de g. veamos:

v1

v4

v7

v3a4

a15a5

a11

a2

k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury

El grafo dado no es un euleriano pues no todos los vértices tienen grado par, luego no es posible construir un ciclo eureliana. Es decir un ciclo que contenga todas las aristas de G sin repetirlas, partiendo desde cualquier vértice y al aplicar el algoritmo de Fleury en alguna interacción debemos repetir una arista.

L) Demostrar si es hamiltonianoEl numero de vértices de G en 8, Gr(v1)≥ 8/2=4 (i=1,2,8) y el grafo es simple, podemos concluir q G es hamiltoniano. Veamos un ciclo hamiltoniano en 6:

v1 v2

v3

v4

v5

v8v7

v6

a3a2a10a14

a15 a20a17 a19

DIGRAFOS

A) Encontrar matriz de conexión

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 0 1 1 0 1 0

v2 0 0 1 1 0 1

v3 0 0 0 1 1 0

v4 1 0 0 0 0 1

v5 0 1 0 1 0 1

v6 0 0 0 0 1 0

Mc(0)=

B) Es simple.?

Si es un dígrafo simple pues no tiene lazos ni arcos paralelos.

C) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5

C= [v5 a13 v6 a14 v5 a11 v4 a12 v6 a14 v5]C es una cadena no simple, no elemental de grado 5

D) Encontrar un ciclo simpleC= [v1 a1 v2 a3 v4 a9 v1] es un ciclo simple.

E) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de

accesibilidad0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 0 1

0 0 0 1 1 0

1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 1 0

M=Mc(0)=

0 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 0

1 1 1 1 0 1

0 1 1 0 1 0

1 0 1 1 0 1

0 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1

M²=

M³=

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

M⁴=

M⁵=

F) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el

algoritmo de DijkstraUi: Vértices utilizados

Datos Li: (V) V є V Ui

U1= {v2} d0= (v2)= 0U0= v2D0(v)=∞V є V={v1 v3 v4 v5 v6}

D1(v1)= min{∞,∞}=∞D1(v3)= min{∞,3}=3D1(v4)= min{∞,4}=4D1(v5)= min{∞,∞}=∞D1(v6)= min{∞,3}=3

U1= v3D1(U1)= 3

U2= {v2 v3} U1= v3D1(v1)= ∞D1(v4)= 4D1(v5)= ∞D1(v6)= 3

D2(v1)= min{∞,3+∞}= ∞D2(v4)= min{4,3+1}= 4D2(v5)= min{∞,3+4}= 7D2(v6)= min{3,3+∞}= 3

U2= v6D2(U2)= 3

U3={v2 v3 v6} U2= v6D2(v1)= ∞D2(v4)= 4D2(v5)= 7

D3(v1)= min{∞,3+∞}=∞D3(v4)= min{4,3+∞}=4D3(v5)= min{7,3+3}=6

U3= v4D3(U3)=4

U4={v2 v3 v6 v4} U3=v4D3(v1)= ∞D3(v5)= 6

D4(v1)= min{∞,4+4}= 8D4(v5)= min{6,4+∞}= 6

U4= v5D4(U4)= 6

U5={v2 v3 v6 v4 v5}

U4= v5D4(v1)= 8

D5(v1) min{8,6+∞}= 8 U5= v1D5(v5)= 8

U= { v2 v3 v6 v4 v5 v1}

FIN

En Conclusión:

D(v2 v1)= 8, D(v2 v2)= 0, D(v2 v3)= 3, D(v2 v4)= 4, D(v2 v5)= 6, D(v2 v6)=3

Luego:

Acc(0)= [I6+M+M²+M³+M⁴+M⁵]

Donde I6= 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Así:Acc(D) bin=

Luego:Acc(D)=

4 5 5 4 5 4

4 4 4 5 4 4

4 3 5 5 4 4

3 4 4 4 4 4

4 4 4 5 4 5

3 4 3 4 4 5

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

En Conclusión: El dígrafo dado es fuertemente conexo.