중학교 수학 전과정 공식 총 정리...s ì Ð /695' ò2 Ãl4v qõö2s: y 1 52jk...
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1. 집합 ··· 어떤 조건에 알맞은 대상이 명확하게 구별되는 모임
2. 집합 기호
집합과 원소 ∈(속한다), ∉(속하지 않는다)
집합과 집합 ⊂(부분집합이다), ⊄(부분집합이 아니다), =(서로같다)
3. 집합의 표현
가. 원소나열법 ··· 집합에 속하는 모든 원소를 { }안에 나열하는 방법, 중복되는 원소는 한 번만 씀
나. 조건제시법 ··· 모든 원소들의 공통된 성질을 제시하는 방법
4. 집합의 분류
가. 유한(有限)집합 ··· 원소의 개수가 유한개인 집합
나. 무한(無限)집합 ··· 〃 무한개인 집합
다. 공(空)집합 ··· 〃 0개인 집합 (유한집합에 속함)
5. 부분집합
가. A⊂B ··· 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, A를 B의 부분집합이라고 한다.
나. A=B ⇔ A⊂B이고 B⊂A
다. 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다.
라. 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.
마. 부분집합의 개수 n (A )= p일 때, A의 부분집합의 개수 2 p
ⓐ 특정 원소 l 개를 반드시 포함하는 부분집합의 개수 2 p - l
ⓑ 〃 m 개를 포함하지 않는 〃 2 p - m
ⓒ 진부분집합의 부분집합의 개수 2 n - 1
6. 집합의 연산
집합의 연산 정의 성질
교집합 A∩B={x|x∈A 그리고 x∈B }
(A∩B)⊂A, (A∩B)⊂B
{ A⊂B 이면 A∩B= AB⊂A 이면 A∩B= B
A∩ø= ø, A∩A=A
합집합 A∪B={x|x∈A 또는 x∈B }
A⊂(A∪B), B⊂(A∪B)(A∩B)⊂(A∪B)
{ A⊂B 이면 A∪B= BB⊂A 이면 A∪B= A
A∪ø=A, A∪A=A
여집합 A c={x|x∈U 그리고 x /∈A}A∩A c= ø, A∪A c=U(A c ) c=Aø c=U, U c= ø
차집합 A-B={x|x∈A 그리고 x /∈B}
A c = U-A
A-B= A∩B c = (A∪B)-B= (A ∪B)- (A∩B)
B-A=B∩A c
7. 유한집합의 원소 개수 n (A∪B)= n (A)+ n (B)- n (A∩B)
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8. 기수법
진법 사용가능한 수 묶음 단위 십진법의 수로 전환 각 진법의 수로 나타내기
십진법의 수 0 ~ 9 10 ·
오진법의 수 0 ~ 4 5 오진법의 전개식으로 고쳐 계산
5로 계속 나누어 4이하의 나머
지가 나올 때까지 나누고 나머
지를 역순으로 씀
이진법의 수 0 ~ 1 2 이진법의 전개식으로 고쳐 계산
2로 계속 나누어 1이하의 나머
지가 나올 때까지 나누고 나머
지를 역순으로 씀
오진법의 수↔이진법의 수
각진법을 십진법의 수로 바꾼 뒤 전환해야 함
9. 약수와 배수
가. 몫과 나머지 A = BQ+ R (단 , R < B )
나. 약수와 배수 A= BC(A,B,C : 자연수 )일 때 A는 B,C의 배수 , B,C는 A의 약수
다. 여러 가지 수의 배수
ⓐ 2(5)의 배수 : 일의 자리의 수가 0 또는 2(5)의 배수인 수
ⓑ 3(9)의 배수 : 각 자리의 숫자의 합이 3(9)의 배수인 수.
ⓒ 4의 배수 : 끝에서 두 자리의 수가 00 또는 4의 배수인 수
10. 소인수분해
가. 소수 ··· 1과 그 자신만을 약수로 갖는 수
나. 합성수 ··· 약수가 3개 이상인 자연수
※ 1은 소수도 합성수도 아니다.
다. 소인수분해 ··· 소수들만의 곱으로 나타내는 것
라. 약수의 개수 ··· P= a n×bm ··· 일 때 ( n + 1 )× ( m + 1 ) ··· 개 (단, a, b는 서로소)
11. 최대공약수와 최소공배수
구분 뜻 성질
최대공약수 공약수 중 가장 큰 수 최대공약수의 약수 집합 = 공약수
최소공배수 공배수 중 가장 작은 수 최소공배수의 배수 집합 = 공배수
두 수를 A,B 라 하고 최소공배수를 L , 최대공약수를 G라 할 때
G A B
a b ① A= aG ② B= bG ③ AB=GL ④ abG= L
12. 소수
{ 유한소수 (유리수 )
무한소수 { 순환소수 (유리수 )
순환하지 않는 무한소수 (무리수 )
가. 유한소수 판별법 ··· 기약분수의 분모가 2나 5만의 거듭제곱꼴인 수
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나. 순환소수를 분수로 바꾸기
ⓐ 0.a =0.aaaaa·······=a9
0.a b= 0.ababababab····=ab99
ⓑ 0.a b= 0.abbbb·····=ab-a90
0.a bc= 0.abcabc abc·····=abc999
ⓒ 0.a bc= 0.abcbcbcbc·····=abc-a990
a.bc d=a.bcdbcdbcd···=abcd-a
999
ⓓ a.bc d=a.bcdcdcd·····=abcd-ab
990
13. 수(數)
실수 (實數 )
유리수 { 양의정수 (자연수 )0
음의정수유리수 :a, b( b /= 0)가 정수일 때,
ab로 나타내어지는 수
무리수 2, π
14. 근사값
가. 참값 ··· 실제의 값 측정값 ··· 측정하여 얻은 값
나. 근사값 ··· 참값에 가까운 값 오차 = 근사값 - 참값
다. 오차의 한계 =12×최소눈금
라. 참값의 범위
근사값 - 오차의 한계 ≦ 참값 < 근사값 + 오차의 한계
15. 유효숫자
가. 반올림에 의해 처리되지 않은 수
나. 덧셈, 뺄셈 : 유효숫자의 끝자리를 맞추어 계산
다. 곱셈, 나눗셈 : 유효숫자의 개수를 맞추어 계산하고 결과도 개수를 맞춘다.
라. 근사값의 표현 ··· a ×10 n 또는 a ×1
10 n (단, 1≦a<10, n은 자연수)
16. 제곱근
가. 제곱근 ··· 어떤수 a 를 제곱해서 a 가 되는 수
a ⇔ + a(양의 제곱근 ), - a (음의 제곱근 )
ⓐ a > 0 ··· 제곱근이 2개 존재
ⓑ a < 0 ··· 제곱근이 없다
ⓒ a = 0 ···· 1개 존재
나. 제곱근의 성질
ⓐ a > 0 일 때 a 2 = (- a ) 2 = a , ( a ) 2 = (- a ) 2 = a
ⓑ a 2 = a = { a ( a ≧ 0 일 때 )- a ( a < 0 일 때 )
다. 제곱근의 대소 { a - b > 0 ⇔ a > ba - b = 0 ⇔ a = ba - b < 0 ⇔ a < b
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라. 근호를 포함한 식의 계산
ⓐ 제곱근의 성질
㉠ a b= ab ㉡ a 2b= a b ㉢ab
=ab
ⓑ 분모의 유리화
ab
=a × bb × b
=a bb
(단 b > 0 )
ⓒ 제곱근의 덧셈과 뺄셈
㉠ m a+ n a = (m+ n ) a ㉡ m a- n a = (m- n ) a
17. 지수법칙
가. a m×a n = a m + n ( a m ) n = a mn
나. { m > n 일 때 , a m÷ a n = a m - n
m = n 일 때 , a m÷ a n = 1
m < n 일 때 , a m÷ a n =1
a m - n
다. ( a b) n = a nb n ( ab )
n
=a n
b n ( b ≠ 0 )
라. a 0 = 1 a - n =1
a n ( a ≠ 0 )
18. 단항식(單項式)과 다항식(多項式)의 계산
가. 계산 방법
ⓐ 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱하여 계산
ⓑ 같은 문자의 곱은 거듭제곱의 지수를 써서 나타낸다.
나. 다항식의 덧셈과 뺄셈 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 한다
※ 동류항(同類項) 문자와 차수가 같은 항
다. 사칙 계산 : 괄호 -> 곱셈 · 나눗셈 -> 덧셈 · 뺄셈
19. 곱셈공식
가. (a + b) 2= a 2+2ab+ b 2 (a- b) 2= a 2-2ab+ b 2
나. ( a + b)(a - b ) = a 2- b 2 ( x+ a )( x+ b)= x2+ (a+ b)x+ ab
다. ( ax+ b)( cx+ d)= acx2+(ad+ bc)x+ bd ( a + b+ c) 2=a 2+b 2+c 2+2a b+ 2bc+ 2ca
20. 곱셈공식의 이용
가. ( y- x) 2 = ( x- y) 2 (- x- y) 2 = ( x+ y) 2
나. x 2+ y 2= (x+ y) 2- 2xy x 2+ y 2= (x- y) 2+ 2xy
다. ( x+ y) 2= (x- y) 2+ 4xy ( x- y) 2 = ( x+ y) 2 - 4xy
21. 복잡한 다항식의 전개
가. 같은 식이 있을 때는 다른 한 문자로 치환한 뒤 곱셈공식 적용
나. 동류항끼리 모아 간단히 한다
22. 인수분해
가. 뜻 ··· 다항식을 단항식의 곱의 꼴로 나타내는 것
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나. 인수분해 공식
ⓐ a 2+2ab+ b 2= (a + b) 2
ⓑ a 2-2ab+ b 2= (a - b) 2
ⓒ a 2-b 2= ( a + b)( a - b)
ⓓ x2+ (a+ b)x+ ab= (x+ a )( x+ b)
ⓔ acx2+(ad+ bc)x+ bd= ( ax+ b)( cx+ d)
다. 복잡한 식의 인수분해
ⓐ 공통부분이 있으면 공통인수끼리 묶는다.
ⓑ 같은 다항식이 있으면 문자로 치환한다.
ⓒ 문자가 여러개 있을 때에는 한 문자에 관해 내림차순으로 정리.
23. 일차방정식
가. 방정식 미지수의 값에 따라 참 또는 거짓이 되는 식
항등식 미지수의 값에 상관없이 항상 참이 되는 식
나. a x= b 의 꼴로 정리 ➡ 양변을 a ( ≠ 0 ) 로 나눔 ➡ x=ba
다. 소수나 분수가 나올 경우 양변에 알맞은 수(분수는 최소공배수, 소수는 10의 거듭제곱) 로 곱해 정수로
고쳐서 계산한다.
라. 해집합이 특별한 일차방정식
0․x=0의 꼴 해집합은 수 전체의 집합
0․ x= ( 0 이 아닌 수 )의 꼴 해집합은 공집
합
마. 해집합이 특별한 연립방정식
{ a x + b y = ca 'x+ b'x= c '
일 때,
a = a', b= b', c = c'이면 해가 무수히 많음.
a = a', b= b', c≠c' 이면 해는 공집합.
바. 응용문제 공식
ⓐ 물건의 가격 = 개당 가격 × 수량 거리 = 속력 × 시간
ⓑ 소금의 양 = 소금물의 양 × 농도 x 년 후의 나이 = 현재의 나이 + x
ⓒ 직사각형의 넓이 = 가로 × 세로 삼각형의 넓이 =12× 밑변의 길이 × 높이
24. 연립방정식
가. 연립방정식의 풀이 : 가감법, 대입법, 등치법
나. A=B=C 꼴
{ A = BA = C
, { A = BB = C
, { A = CB = C
중 하나를 선택하여 푼다
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25. 부등식
가. 부등식의 성질
a < b 일 때 { a + c < b + ca - c < b - c
a < b 일 때 { c > 0 : a c < bc ,ac
<bc
c < 0 : a c > bc ,ac
>bc
나. 일차부등식의 풀이
ⓐ 계수가 분수, 소수 ⇒ 정수로
ⓑ 괄호가 있으면 괄호를 푼다
ⓒ 문자는 좌변, 상수는 우변으로 이항
ⓓ 양변을 간단히 하여 a x> b, a x≧ b, a x< b, a x≦ b의 꼴로 고친다
ⓔ 양변을 x의 계수로 나누고 만약 계수가 음수이면 부등호의 방향은 반대로 바꾼다
다. A < B < C 모양의 연립부등식 ··· { A < BB < C
의 모양으로 고쳐서 푼다
라. 부등식의 응용 문제 풀이 방법
ⓐ 문제의 뜻을 정확히 파악하고, 구하고자 하는 것을 미지수 x로 놓는다
ⓑ 문제의 뜻에 알맞은 부등식을 세운다.
ⓒ 이 부등식을 푼다
ⓓ 문제의 뜻에 알맞은 답을 구한다
26. 이차방정식 ( ax2+bx+c= 0 )
가. 인수분해가 되면 인수분해하여 구한다.
나. 인수분해가 되지 않으면 완전제곱식이나 근의 공식을 사용한다.
근의 공식 x=- b± b 2- 4ac
2a
다. 근의 개수
서로 다른 두 실근 ⇨ b 2 - 4a c > 0
한 개의 중근 ⇨ b 2 - 4a c = 0
근이 없다. ⇨ b 2 - 4a c < 0
라. 근과 계수와 관계(두 근을 α, β 라 할 때)
α+β = -ba
αβ =ca
27. 일차함수
가. 대칭인 점의 좌표 : 점 P( a , b )가 주어졌을 때.
ⓐ x 축에 대칭인 점의 좌표 ⇨ ( a , - b ) y 축에 대칭인 점의 좌표 ⇨
( - a , b )
ⓑ 원점에 대칭인 점의 좌표 ⇨ ( - a, - b )
나. 기울기와 절편
ⓐ 기울기: a (= y 값의 증가량x 값의 증가량 ) x 절편: y= 0일 때 x의 값. y 절편: x= 0일 때 y의 값.
기울기가 같다 ⇔ 두 직선이 평행
다. y = a x ( a≠ 0 )
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ⓐ a > 0 일 때 오른쪽 위로 향하는 직선. a < 0 일 때 오른쪽 아래로 향하는 직선.
ⓑ 원점( 0, 0 )을 지나는 직선.
라. y= ax+ b (a≠ 0 )
ⓐ y = a x ( a≠ 0 )의 그래프를 y 축의 방향으로 b 만큼 평행이동시킨 직선.
ⓑ b> 0 이면 y 축의 양의 방향으로 b 만큼 평행이동.
ⓒ b< 0 이면 y 축의 음의 방향으로 b만큼 평행이동.
마. y =ax
( a ≠ 0 )
ⓐ 원점에 대칭인 쌍곡선으로 나타남. a > 0 일 때 제 1사분면과 제3사분면을 지난다.
ⓑ a < 0 일 때 제2사분면과 제4사분면을 지난다.
28. 직선의 방정식
기울기가 a , y 절편이 b일 때 y= ax+ b
기울기가 a , 점( m, n )을 지날 때 y- y 1 = a (x- x 1 )
두 점( ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )을 지날
때y- y 1 =
y 2 - y 1
x 2- x 1
( x- x 1 )
x절편이 a , y 절편이 b 일 때 y=-ba
x+ b
29. 이차함수
가. y = a x 2 ( a ≠ 0 )
ⓐ 꼭지점 ( 0, 0 ) 축 ( x = 0 )
ⓑ { a > 0 : 아래로 볼록a < 0 : 위로 볼록 절대값이 클수록 폭이 좁다.
ⓒ y=-ax 2의 그래프와 x 축에 대칭
나. y = a x 2 + q ( a≠ 0 )
ⓐ y= ax 2 의 그래프를 y 축의 방향으로 q 만큼 평행이동. 축: y 축 ( x = 0 ) , 꼭지점 : ( 0. q
)
다. y = a ( x- p) 2 ( a ≠ 0 )
ⓐ y= ax 2 의 그래프를 x 축의 방향으로 p 만큼 평행이동. 축: x= p , 꼭지점 : ( p . 0 )
라. y = a ( x- p) 2 + q ( a≠ 0 )
ⓐ y= ax 2 의 그래프를 x 축의 방향으로 p 만큼 , y 축의 방향으로 q 만큼 평행이동.
ⓑ 축: x= p , 꼭지점 : ( p . q ) { a> 0 일때 ,x= p에서최소값a< 0 일때 ,x= p에서최대값
y= ax 2+ bx+ c ( a≠0 ) 의 그래프에서 꼭지점의 x 좌표 -b2a
> 0 ⇒ a , b 의 부호가 다르고,
-b2a
< 0 ⇒ a , b 의 부호가 같다.
마. 이차함수의 활용
이차함수 y= ax2+bx+ c= a ( x- p) 2+q 에서
ⓐ a > 0 면 x= p 일 때 최소값 q a < 0 면 x= p 일 때 최대값 q
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ⓑ 이차방정식 ax2+bx+ c= 0 의 근
서로 다른 두 실근 ⇨ 두점에서 만난다.
한 개의 중근 ⇨ 한 점에서 만난다.
근이 없다. ⇨ 만나지 않는다.
ⓒ 이차함수의 결정
꼭지점 ( p, q ) 가 주어질 때 y= a ( x- p) 2+ q 에 대입
x 축과의 교점
( m , 0 ) , ( n , 0 ) 이 주어질 때y= a ( x- m )(x- n ) 에 대입
그래프 위의 3점 y= ax2+bx+ c 에 대입
30. 확률 ( P ) =어떤 사건이 일어날 수 있는 경우의 수일어날 수 있는 모든 경우의 수
가. 경우의 수 어떤 사건이 일어날 수 있는 방법의 수
ⓐ 합의 법칙 m+n → ‘또는’, ‘~이거나’의 개념일 때 적용
ⓑ 곱의 법칙 m×n → ‘동시에’, ‘~이어서’, ‘~이고’, ‘그리고’, ‘~이고’의 개념일 때 적용
ⓒ 수형도 면이 없는 선형도형으로 나뭇가지 모양의 그림을 활용하여 경우의 수를 구함
31. 확률의 성질
0 ≦ P≦ 1
P= 0 확률이 절대로 일어나지 않을 사건의 확률. P= 1 반드시 일어나는 사건의 확률.
32. 확률의 계산
가. 확률의 덧셈 “또는” -> 각각의 확률을 더한다
나. 확률의 곱셈 “동시에 일어날 확률” -> 각각의 확률을 곱한다
33. 여사건의 확률 『적어도 ~』의 개념이 나올 때 적용
A 가 일어나지 않을 확률 q= 1- p
34. 기대값 = 상금 × 확률
35. 자료의 정리
가. 도수분포표
ⓐ 변량 ····· 자료를 수량으로 나타낸 것 계급 ····· 변량을 나눈 구간
ⓑ 계급의 크기 ····· 구간의 나비 도수 ····· 각 계급에 속하는 자료의 수
ⓒ 계급값 ····· 계급 중앙의 값
나. 도수분포 그래프
ⓐ 히스토그램 ····· 가로축에 계급, 세로축에 도수를 잡고, 각 계급의 크기를 가로로, 도수를 세로로
하는 직사각형으로 나타낸 그래프
ⓑ 도수분포다각형 ····· 히스토그램에서 각 직사각형의 윗변의 중점을 차례로 이은 선분의 그래프
다. 상대도수=그 계급의 도수도수의 합
ⓐ 상대도수의 총합 : 1 그 계급의 도수 = 상대도수 × 도수의 합,
ⓑ 도수의 합 =그 계급의 도수상대도수
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라. 누적도수= 각각의 계급까지의 합
ⓐ 처음 계급의 누적도수 = 그 계급의 누적도수 마지막 계급의 누적도수 = 도수의 총합
ⓑ 누적도수 분포다각형 ····· 점을 잡을 때 윗변의 오른쪽 점을 설정한다
36. 자료의 비교
가. 가평균 : 임의의 평균으로 자료가 가장 많은 계급 또는 자료들 중 중앙에 해당하는 값을 선정
나. 과부족 = 각 계급값 - 가평균
다. 평균= 가평균+(계급값 - 가평균 )의 총합도수의 총합 편차= 각 변량-평균
라. 분산( S 2 ) =(편차 ) 2 ×도수의 총합도수의 총합 표준편차( S )= S 2 (분산의 양의 제
곱근)
표준편차를 구하는 순서
가평균 ⇨ 과부족의 평균 ⇨ 평균 ⇨ 편차 ⇨ { (편차 ) 2 ×도수 }의 총합 ⇨ 도수의 총합으로 나눈다(분산)
⇨ 양의 제곱근(표준편차)
산포도 ····· 변량들이 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 값
37. 상관관계
가. 상관관계 두 변량의 값 사이에서 변량의 관계로 그 종류는 다음 5가지가 있다
ⓐ 강한 양의 상관관계 약한 양의 상관관계 강한 음의 상관관계 약한 음의 상관관계
ⓑ 상관관계가 없는 경우
38. 직선, 선분, 반직선
가. 선분 AB : AB 반직선 AB : AB 직선 AB : A B
39. 동위각과 엇각 ··· 두 직선이 평행 ⇔ 동위각과 엇각의 크기가 각각 같다
40. 삼각형의 결정조건
가. 세 변의 길이가 주어질 때 ( 다른 두 변의 차 < 임의의 한 변 < 다른 두 변의 합 )
나. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때
다. 한 변의 길이와 그 양끝각이 주어질 때
41. 삼각형의 합동조건
가. 세 대응변의 길이가 각각 같을 때 ( SSS 합동 )
나. 두 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 각각 같을 때 ( SAS 합동 )
다. 한 대응변의 길이가 각각 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 같을 때 ( ASA 합동 )
※ 합동 성질 ····· 대응변의 길이와 대응각의 크기가 각각 같다.
c f ) 직각삼각형의 합동 ····· ① 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같다 (RHA 합동)
② 빗변의 길이와 한 변의 길이가 각각 같다 (RHS 합동)
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
A B
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S : 변, A : 각, H : 빗변의 길이, R : 직각
42. 삼각형의 성질
가. 두 변의 길이의 차 < 다른 한 변의 길이 < 두 변의 길이의 합
나. 세 내각의 합 = 180°
다. 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
43. 다각형의 내각과 외각
가. n 각형의 내각의 크기의 합 = 180 × ( n - 2 ) n 각형의 외각의 크기의 합 = 360
나. n 각형의 대각선의 총수 =n ( n - 3 )
2한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 수 = n - 3
44. 정다면체
가. 정다각형 : 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같은 다각형
나. 정다면체 : 모든 면이 합동이고 모든 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체
정 다 면 체 정사면체 정육면체 정팔면체 정십이면체 정이십면체
면의 모양 정삼각형 정사각형 정삼각형 정오각형 정삼각형
한 꼭지점에
모이는 면의
개수
3 3 4 3 5
45. 위치 관계
가. 평면의 결정 조건
ⓐ 한 직선 위에 있지 않은 세 점 만나는 두 직선
ⓑ 한 직선과 그 직선 밖의 한 점 평행한 두 직선
나. 두 직선의 위치 관계
ⓐ 한 점에서 만난다
ⓑ 일치한다 한 평면 위에 있다
ⓒ 평행하다
ⓓ 꼬인 위치에 있다 한 평면 위에 있지 않다
( 꼬인위치 : 공간상에서 만나지도 평행하지도 않은 위치 관계 )
다. 직선과 평면의 위치 관계
ⓐ 직선이 평면에 포함된다 한 점에서 만난다 만나지 않는다 ( 평행 )
라. 두 평면의 위치 관계
ⓐ 만난다 ( 교선이 생김 ) 일치 만나지 않는다 ( 평행 )
46. 입체도형의 겉넓이와 부피
입체도형 겉넓이 부피
기둥 2×밑넓이+옆넓이 2×밑넓이×높이
뿔 밑넓이+옆넓이13×밑넓이×높이
구 4πr 2 43
πr 3
※ 삼각형의 넓이 =12×밑넓이×높이 사각형의 넓이 = 가로 × 세로 원의 넓이 = πr 2
- 11 -
부채꼴의 넓이 = πr 2×중심각의 크기
360=
12
r l ( 호의 길이 l= 2πr×중심각의 크기
360)
47. 연결상태가 같은 도형
가. 연결상태가 같은 도형 - 잘라내거나 오려 붙이지 않고 한 도형을 늘이거나 줄이거나 구부려도 처음
도형과 같은 도형
나. 단일폐곡선 - 연결상태가 원과 같은 도형
다. 한붓그리기 - 연필을 떼지 않고 어느 선도 한 번만 지나도록 그리는 것
조건 : 홀수점이 0개 (시작점 = 끝점), 2개 (시작점 /= 끝점)
라. 꼭지점, 모서리, 면의 개수
연 결 상 태 공 식
수형도 v- e= 1
꼭지점과 변으로 이루어진 도형 v- e+ f= 1
연결상태가 구와 같은 도형 v- e+ f= 2(오일러의 공식 )
연결상태가 튜브와 같은 도형 v- e+ f= 0
한 꼭지점 또는 한 모서리를 공유하는 도형 v- e+ f= 3
( v : 꼭지점의 개수, e : 모서리의 개수, f : 면의 개수 )
48. 명제 ····· 참, 거짓을 판별할 수 있는 문장이나 식
가. 구성 p이면 q이다 ⇔ p → q ( p :가정, q :결론) 역 q → p
49. 삼각형의 오심(五心)
오 심 작도방법 성 질
외심 세 변의 수직이등분선의 교점 세 꼭지점에 이르는 거리가 같다
내심 세 내각의 이등분선의 교점 세 변에 이르는 거리가 같다
무게중심 세 중선의 교점 꼭지점으로부터 2:1의 비로 나누어 진다
방심한 내각과 나머지 두 각의 외각의
이등분선의 교점한 삼각형에 3개의 방심이 존재
수심 각 꼭지점에서 내린 수선의 교점
50. 이등변삼각형의 정의 ····· 두 변의 길이가 같은 삼각형
성질 ····· 두 밑각의 크기가 같고, 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다
51. 평행사변형
가. 정의 ····· 두 쌍의 대변이 평행한 사각형
나. 성질 ① 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다.
② 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
③ 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
다. 조건 ① 두 쌍의 대변이 평행 ② 두 쌍의 대변의 길이가 같다
③ 두 쌍의 대각의 크기가 같다 ④ 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다
⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.
- 12 -
52. 여러 가지 사각형
사각형 ····· 각이 4개인 도형
사다리꼴 ····· 한 쌍의 대변이 평행한 사각형
평행사변형 ····· 두 쌍의 대변이 평행한 사각형
직사각형 ····· 4각의 크기가 같은 마름모 ····· 네 변의 길이가 같은 사각형
사각형
정사각형 ····· 네 변의 길이가 같고, 네 각의
크기가 같은 사각형
53. 닮음
가. 평면도형에서의 닮음
ⓐ 대응변의 길이의 비가 일정하다 대응각의 크기가 같다
닮음비 ····· 두 닮은도형에서 대응변의 길이의 비
나. 입체도형에서의 닮음의 성질
ⓐ 대응면이 닮은도형이다 대응하는 선분의 길이의 비가 일정하다.
54. 삼각형의 닮음
가. 삼각형의 닮음 조건
ⓐ SSS SAS AA
나. 삼각형과 비
ⓐ DE// BC ⇔ { AD : AB = AE : AC
AD : DB = AE : EC
ⓑ 평행선과 선분의 비
AB : BC = A'B' : B'C'
AB : A'B'= BC : B'C'
大
小
A
B C
D E A
B C
DE
a
b
c
l l`
A
B
C
A`
B`
C`
- 13 -
다. 삼각형의 중점연결정리
MN // BC, MN =12
BC
라. 사다리꼴의 중점연결정리
AD // BC 이고 , M, N이 각각 AB , DC 의 중점이면
MN // AD // BC, MN =12
( AD + BC )
마. 삼각형의 무게중심
① AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1
② △ABG=△BCG=△ACG=13△ABC
△AFG=△FBG=△BDG=△DCG=△CEG=△EAG=16△ABC
55. 닮은도형의 닮음비와 넓이비와 부피비
닮음비 m : n ⇒ 넓이비 m 2 : n 2 ⇒ 부피비 m 3 : n 3
56. 피타고라스의 정리
가. 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변을 a , b
빗변의 길이가 c 이면
⇔ c 2 = a 2+ b 2
( ⇒ 피타고라스의 정리, ⇐ 피타고라스의 역 )
나. 삼각형의 길이와 각의 크기 사이의 관계
ⓐ c 2 < a 2 + b 2 ⇔ 예각 삼각형 c 2 = a 2 + b 2 ⇔ 직각 삼각형
ⓑ c 2 > a 2 + b 2 ⇔ 둔각 삼각형
다. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리
두 점 A ( x 1, y 1 ), B ( x 2, y 2 )사이의 거리 AB = ( x 2 - x 1 )2 + ( y 2 - y 1 )
2
라. 대각선의 길이
ⓐ 정사각형의 대각선의 길이 (한 변의 길이 a ) l = a 2+a 2 = 2a
ⓑ 직사각형의 〃 (가로 a , 세로 b ) l= a 2+b 2
ⓒ 직육면체의 〃 (가로 a , 세로 b , 높이 c ) l= a 2+b 2+c 2
ⓓ 직육면체의 〃 (한 변의 길이 a ) l= a 2+a 2+a 2= 3a
ⓔ 정삼각형의 높이와 넓이 (한 변의 길이 a ) h=32
a, S =34
a 2
ⓕ 정사면체의 높이와 부피 (한변의 길이 a , 높이 h ) h=63
a, V=2
12a 3
ⓖ 원뿔의 높이와 부피(모선 l , 높이 h , 밑면의 반지름 r ) h= l 2-r 2, S=13
πr 2h
A
B C
D E
A
B C
D
M N
A
B CD
EF
G
A
B C
cb
a
- 14 -
57. 중심각과 호
가. 원, 중심, 반지름, 활꼴, 부채꼴
나. 중심각의 크기와 호의길이와 부채꼴의 넓이 ··· 비례
※ 중심각의 크기와 현의 길이는 비례하지 않는다.
58. 원과 현
가. 원의 중심에서 현에 대한 수선은 현을 이등분한다
나. 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다
다. 한 원 또는 합동인 두 원에서 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다
59. 원과 접선
가. 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직이다.
나. 원의 외부의 한 점에서 그은 2 개의 접선의 길이는 같다.
60. 두 원의 위치 관계와 공통 접선
위 치 관 계 중심거리와 반지름 공통외접선의 개수 공통내접선의 개수
한 원이 다른 원의
외부에 있는 경우d > r + r ' 2 2
외접하는 경우 d=r+r' 2 1
두 점에서 만나는 경우 r - r ' < d < r + r ' 2 ×
내접하는 경우 d=r-r' 1 ×
포함되는 경우 d < r - r ' × ×
61. 공통접선의 길이
( 중심간의 거리 d , 큰 원의 반지름 r , 작은 원의 반지름 r ' )
가. 공통내접선의 길이 l= d 2- ( r + r ') 2
나. 공통외접선의 길이 l= d 2- ( r - r ') 2
62. 원주각
가. 원주각 =12×중심각
나. 한 원에서 같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 같다
다. 반 원의 원주각 = 90°
63. 원과 사각형
가. 대각의 크기의 합 ··· 180°
나. 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다
반지름
A B현AB
활꼴
중심각
부채꼴
내대각
외각
중심
원●
- 15 -
64. 접선과 현이 이루는 각
원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는
각의 크기는 그 각 내부에 있는 호에 대한
원주각의 크기와 같다.
65. 원에서의 비례 관계
가. PA×PB= PC×PD
나. PA×PB= PC 2 또는 PA×PB= PD 2
다. PA×PB= r 2- OP 2 PA×PB= OP 2-r 2
66. 원의 외부의 한 점에서의 할선과 접선
PT 2= PA×PB
67. 비례 관계의 활용
가. 공통현(공통접선) PA×PB= PC×PD
▲
▲◎
◎
A
BC
D
P
A B
C
D
P
A B
CD
P
A B
C DP
r
A
B
C DP
r
P T
A
B
P
A
C
D
BA
B
P
C
D
- 16 -
68. 삼각비의 뜻
가. 삼각비의 정의
sinA=BCAC
=대변빗변 =
ab
cosA=ABAC
=밑변빗변 =
cb
tanA=BCAB
=대변밑변 =
ac
나. 특수한 각의 삼각비
각
삼각비0° 30° 45° 60° 90°
sin A 012
22(=
12)
32
1
cos A 032
22(=
1
2)
12
0
tan A 033(=
13) 1 3 없다(∞)
다. 삼각비 사이의 관계
ⓐ sin A = cos (90°- A) cosA= sin (90°- A) tan A =1
tan (90 -A)
라. 세 삼각비 사이의 관계
ⓐ tan A =sinAcosA
tan 2A + 1=1
cos 2Asin 2A+ cos 2A = 1
69. 삼각비의 활용
가. 직각삼각형의 변의 길이
c= a 2+b 2
a= csinA= ccosB= btanA
b= csinB= ccosA= atanB
a
b
cA
C
B
대변빗변
밑변
60°
30°
1
32
45°
45°
1
12
A
B
C
ca
b
- 17 -
나. 일반삼각형의 변의 길이
ⓐ 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때
h= bsinA, AH = bcosA를 이용하여
BH 를 구한 다음 피타고라스의 정리 이용
ⓑ 한 변의 길이와 그 양 끝각을 알 때
b=AHsin C
=csinBsin C
, a =BGsin C
=csinAsin C
ⓒ 둔각삼각형에서 밑변의 길이와 ∠A , ∠CBH의 크기를 알 때
h =c
tan (90 - x)- tan (90 - y)
다. 도형의 넓이
ⓐ 삼각형의 넓이
㉠ ∠B 가 예각인 경우 S=12
acsinB
㉡ ∠B 가 둔각인 경우 S=12
acsin ( 180- B)
ⓑ 평행사변형의 넓이
S= absinx
ⓒ 사각형의 넓이 사다리꼴의 넓이
S=12
absinx S =12
a ( b+ c ) sin x
B
C
AH
b a
c
h
b
c
a
C
H
G
A
AB H
C
x y
c
h
A
B C
D
xa
b
xab a
b
c
x
absinx
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